PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku (dvojrozměrném intervalu) 3+y spojitá. Užitím Fubiniovy věty převedeme dvojný integrál na dvojnásobný integrál (přičemž nezáleží na pořadí, ve kterém budeme integrovat) a postupnou integrací dostaneme x 3 + y da = 3 = π 3 8 x 3 [ x dy dx = arctg y ] y= dx = 3 + y 3 3 y= 3 x dx = π 3. Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x sin y da, kde =,, π/. Řešení: Funkce f(x, y) = x sin y je na spojitá. Pomocí Fubiniovy věty opět převedeme dvojný integrál na dvojnásobný. Protože meze pro x i y jsou konstantní, opět nezáleží v jakém pořadí budeme integrovat. Postupně dostaneme Date:
ZDENĚK ŠIBRAVA π/ x sin y da = x sin y dx dy = = 3 π/ sin y dy = 3. π/ [ x sin y ] x= x= dy = Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál x y da, kde =,,. Výsledek: 4 Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál e x y da, kde =,, 4. Výsledek: 8(e ) Příklad.5. Vypočítejte dvojný integrál ( + x + y) da, 3 kde =,, 4. Výsledek: 9 Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál x y e xy da, kde =,,. Výsledek: Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál xy sin (x + y) da, kde =, π, π/. Výsledek: 4 π Příklad.8. Vypočítejme dvojný integrál xy da, kde je množina ohraničená křivkami y = x a y = x x.
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 3,5 x -,5,5,5 -,5 - -,5 - Obr. Řešení: je ohraničená přímkou y = x a parabolou y = x x (Obr. ). Souřadnice průsečíků obou křivek získáme řešením soustavy dvou rovnic y = x, y = x x. Řešením této soustavy zjistíme, že křivky se protnou v bodech (, ) a (, ). Funkce f(x, y) = xy je na spojitá a je zřejmé, že pro libovolné x, je x y x x. Užitím Fubiniovy věty pak dostáváme xy da = = x x x xy dy dx = Příklad.9. Vypočítejme dvojný integrál x y da, [ ] y=x x xy y= x (x(x x ) x 3 ) dx = 6 5. kde je množina ohraničená křivkami y = x, y = x a x = 3. dx = Řešení: nožina je část roviny ohraničená přímkami y = x, x = 3 a hyperbolou y = (Obr. ). x Vyšetřením průsečíků křivek, které tvoří hranici množiny a také z obrázku je zřejmé, že pro všechny body (x, y) množiny je x, 3 a y x. Protože x
4 ZDENĚK ŠIBRAVA 3,5 3,5 y,5,5,5,5,5 3 x Obr. 3,5 funkce f(x, y) = x y je na spojitá můžeme použít Fubiniovu větu. Potom x y da = = 3 x 3 /x x 3 dy dx = y ( x + x 3 ) dx = ] y=x [ x y y=/x dx = ] 3 [ x + x4 = 6. 4 Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x y da, kde je množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Řešení: nožina je ohraničena parabolou y = x a přímkou y = x (Obr. 3), přičemž hraniční křivky se protnou v bodech (, ), a (4, ) Z obrázku je patrné, že v tomto případě bude lepší dvojný integrál převést pomocí Fubiniovy věty na dvojnásobný tak, abychom integrovali nejdříve podle x a teprve pak podle y. V opačném případě bychom totiž museli množinu rozdělit na dvě množiny, a to na, kde x, a x y x a na, kde x, 4 a x y x. V případě, že zaměníme pořadí integrace, platí pro, že y, a y x y +. Potom
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 5 y - 3 x 4 - Obr. 3 x y da = = y+ y x y dx dy = [ ] x=y+ 3 x3 y dy = x=y 3 y ( (y + ) 3 y 6) dy = 63 4. Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál (x + y ) da, kde je množina ohraničená křivkou x + y =. Řešení: Hraniční křivkou množiny je lomená čára, s vrcholy v bodech (, ), (, ), (, ) a (, ), (Obr. 4). Funkce f(x, y) = x + y je na množině spojitá a nezáporná. Z definice dvojného integrálu f(x, y) da víme, že jeho geometrickým významem (za předpokladu, že funkce f je na spojitá a nezáporná) je objem válcového tělesa (Obr. 5) Ω = { (x, y, z) R 3 : (x, y) z f(x, y) }. Těleso, jehož objem máme počítat (část hranolu jehož osa je rovnoběžná s osou z), je symetrické podle rovin x = a y =. Stačí tedy počítat pouze přes část množiny ležící v. kvadrantu. Výsledný integrál bude čtyřnásobkem takto
6 ZDENĚK ŠIBRAVA -,5 y -,5,5 x -,5 - Obr. 4 -,4, z,8,6,4 -, -,5 x -,5,5 y Obr. 5 vypočítaného integrálu. Je tedy (x + y ) da = 4 = 4 x (x + y ) dy dx = 4 (x ( x) + ( x)3 3 Příklad.. Vypočítejte dvojný integrál (x + y) da, ] y= x [yx + y3 dx = 3 y= ) dx = 3. kde = {(x, y) R : x y x + y 3}. Výsledek: 7/ Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál xy y da, kde = {(x, y) R : y y x y}. Výsledek: 6 Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál y x + y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Výsledek: ln (5/4)
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 7 Příklad.5. Vypočítejte dvojný integrál e x/y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x, x = a y =. Výsledek: / Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál (x + y ) da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Výsledek: 33/4 Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál x y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x x + a y = x +. Výsledek: 79/8 Příklad.8. Vypočítejte dvojný integrál 4x y da, kde je trojúhelník s vrcholy (, ), (, ), (, ). Výsledek: 8 (3 3 + π) Příklad.9. Vypočítejte dvojný integrál x(y ) da, kde = {(x, y) R : x + y y x + y }. Výsledek: / Příklad.. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = { (x, y) R : x + 4y 8 y x } (Obr. 6). Výsledek: Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál 4xy da, kde = {(x, y) R : x y x + x y x}.
8 ZDENĚK ŠIBRAVA,5,5-3 - y - 3 -,5 x - -,5 Obr. 6 Řešení: nožina je dána nerovnicemi tj. x y x + x y x, () y x y + x. Zvolme nyní substituci u = y x a v = y + x. Dosazením u a v do () dostaneme u v. Ze zvolené substituce si vyjádříme x = (v u) a y = (v + u) a spočítáme Jakobián. x x J = u y u v y v = =. Dosazením do integrálu za x a y a dále J = dostaneme 4xy da = (v u)(u + v) du dv = (v u ) du dv =. Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x y da, kde = { (x, y) R : x y 3 x x y x}. Řešení: nožina je dána nerovnicemi tj. x y 3 x x y x, () xy 3 y x. Zvolme nyní substituci u = xy a v = y. Dosazením u a v do (3) dostaneme x u 3 v.
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 9 u Ze zvolené substituce si vyjádříme x = v a y = uv a spočítáme Jakobián. x x J = u v = uv uv v v u uv = v. y u y v uv Dosazením do integrálu za x a y a dále J = v dostaneme 3 x y u 3 ln da = dv du =. v 3 Poznámka: Při řešení předchozího příkladu byl asi nejpracnější výpočet Jakobiánu. Při jeho výpočtu jsme si ale mohli usnadnit práci, kdybychom využili vlastosti regulárního zobrazení a zobrazení k němu inverzního. Platí totiž J(u, v) = Pro u = xy, v = y je tedy x J(x, y) = Dosazením za x = pak u x v x J(x(u, v), y(u, v)). u y v y = y x = y x. y x x u v a y = uv pak dostáváme J(x(u, v), y(u, v)) = v. Odtud J(u, v) = v. Příklad.3. Vypočítejme dvojný integrál y 3 x da, 3 kde = { (x, y) R : x y 3 x x y x }. Řešení: nožina je dána nerovnicemi tj. x y 3 x x y x, (3) xy 3 y x. Zvolme nyní substituci u = xy a v = y. Dosazením u a v do (3) dostaneme x u 3 v.
ZDENĚK ŠIBRAVA u Ze zvolené substituce si vyjádříme x = 3 v, y = 3 uv a spočítáme Jakobián. Pro výpočet Jakobiánu použijeme předchozí poznámku. Je tedy u u J(x, y) = x y = y x y y = 3y x. Dosazením za x = 3 u pak v x v y x x v, y = 3 uv pak dostáváme J(x(u, v), y(u, v)) = 3v. Odtud J(u, v) = 3v. Dosazením do integrálu za x a y a dále J = 3v dostaneme y 3 x 3 da = 3 Příklad.4. Vypočítejme dvojný integrál x + y da, u 5 ln dv du = 3 v 6. kde = { (x, y) R : x + y 4 x y 3x }. Řešení: Při výpočtu tohoto integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic (4) x = r cos ϕ, y = r sin ϕ a J = r. V našem případě je (Obr. 7) obrazem obdélníku N =, π/4, π/3 jak zjistíme dosazením za x a y z (4) do nerovnic popisujících množinu x + y 4, x y 3x, r cos ϕ + r sin ϕ 4, r cos ϕ r sin ϕ 3r cos ϕ, r, tg ϕ 3, π 4 ϕ π 3. Použitím věty o substituci ve dvojném integrálu a Fubiniovy věty pak dostaneme x + y da = = N π/3 π/4 r r da = π/3 π/4 7 3 dϕ = 7 36 π. r dr dϕ = π/3 π/4 [ r 3 3 ] dϕ = Příklad.5. Vypočítejme objem tělesa, které je ohraničeno plochami x + y = x + y, z = x + y a z =.
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY - - x - - Obr. 7 Řešení: Těleso, jehož objem máme nalézt, je část rotačního válce určeného řídicí kružnicí x + y = x + y, zdola ohraničeného rovinou z = a shora rovinou z = x + y. (Obr.8),5,5 z,5 -,4 x-,4,8 -,5,,4 y,8, Obr. 8 Jak víme již z příkladu., je objem takového tělesa číselně roven hodnotě dvojného integrálu (x + y) da, kde = { (x, y) R : x + y x + y }. Doplněním na čtverec a úpravou můžeme podmínku x + y x + y upravit na tvar ( (5) x ) ( + y ). Z (5) je zřejmé, že množina je kruh se středem v bodě (/, /) a poloměrem / (Obr. 9).
ZDENĚK ŠIBRAVA,,8,4,4 x,8, Obr. 9 Dvojný integrál (x + y) da budeme opět počítat pomocí substituce do polárních souřadnic. (Tato substituce převádí integraci přes kruh na integraci přes dvojrozměrný interval.) V našem případě však posuneme těleso tak, aby střed řídicí kružnice byl počátek. Toho dosáhneme tak, že substituci do polárních souřadnic budeme volit ve tvaru (6) x = + r cos ϕ, y = + r sin ϕ a J = r. Dosazením do (5) dostaneme ( x ) + ( y ), ( + r cos ϕ ( ) + + r sin ϕ r. ), Pro ϕ jsme nedostali žádnou omezující podmínku, je tedy ϕ π. Potom (x + y) da = = = π / π π [ r ( r + r (cos ϕ + sin ϕ) ) dr dϕ = + r3 (cos ϕ + sin ϕ) 3 ( 4 + (cos ϕ + sin ϕ) ] r= / r= ) dϕ = dϕ = π. Při počítání objemu jsme mohli místo substituce pomocí posunutých polárních souřadnic (6) použít substituci (4). Dosazením (4) do podmínky x +y x+y
postupně dostaneme PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 3 r (cos ϕ + sin ϕ) r(cos ϕ + sin ϕ), r (cos ϕ + sin ϕ). Z podmínky r cos ϕ + sin ϕ pak plyne π ϕ 3π. Odtud 4 4 3π/4 cosϕ+sin ϕ ( (x + y) da = r (cos ϕ + sin ϕ) ) dr dϕ = = 3 π/4 3π/4 (cos ϕ + sin ϕ) 4 dϕ = π. π/4 V tomto případě je však výpočet posledního integrálu složitější než při substituci (6).,5 - -,5 x,5 -,5 - Obr. Příklad.6. Vypočítejme obsah množiny, která je ohraničená lemniskátou (x + y ) = x y (Obr. ). Řešení: Pro obsah množiny platí µ() = kde v našem případě je da, = { (x, y) R : (x + y ) x y }. Z rovnice lemniskáty je vidět, že tato křivka je symetrická podle osy x i podle osy y (je sudá v obou proměnných). Při výpočtu obsahu plochy ohraničené touto
4 ZDENĚK ŠIBRAVA křivkou stačí počítat obsah pouze té části, která leží v prvním kvadrantu a výsledek násobit čtyřmi. Pro výpočet integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic. Dosazením (4) do nerovnice určující dostaneme (7) (x + y ) x y, r 4 r (cos ϕ sin ϕ), r cos ϕ sin ϕ = cos ϕ. Z podmínky (7) dostáváme r cos ϕ a dále (8) cos ϕ, tj. ϕ π 4, π 4 3π 4, 5π 4. Podle předpokladu počítáme obsah pouze té části, pro kterou je x a y, tj. cos ϕ sin ϕ ϕ, π. Spolu s (8) tedy dostáváme ϕ, π. Potom 4 π/4 cos ϕ µ() = da = 4 r dr dϕ = Příklad.7. Vypočítejme dvojný integrál (x + y ) da, kde = { (x, y) R : x 9 + y 4 }. π/4 cos ϕ dϕ =. Řešení: Protože v tomto případě je množina ohraničená elipsou (Obr. ), bude výhodné použít substituci pomocí zobecněných polárních souřadnic (9) x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ a J = abr, V zobrazení (9) (uvažovaném na množině (, + ) (, π)) má elipsa x /a + y /b = rovnici r =. Při výpočtu integrálu opět stačí, budeme-li integrovat pouze přes část, která leží v prvním kvadrantu. Použitím substituce (9), kde a = 3, b =, tj. x = 3r cos ϕ, y = r sin ϕ a J = 6r, a dosazením do (za podmínky x, y ) dostaneme r, ϕ π.
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 5-3 - - y x - 3 - Obr. Odtud µ() = ( x + y ) da = 4 π/ = 6 π/ ( 9r cos ϕ + 4r sin ϕ ) 6r dr dϕ = ( 9 cos ϕ + 4 sin ϕ ) dϕ = 39 π. Příklad.8. Vypočítejme obsah části kuželové plochy z = x + y, kterou z ní vytne parabolický válec z = x (Obr. ). Řešení: Víme, že pro obsah S plochy P, která je částí grafu funkce z = f(x, y), (x, y) platí ( ) ( ) f f () S = + + da. x y V našem případě je plocha částí grafu funkce f(x, y) = x + y. Hranici množiny najdeme jako (pravoúhlý) průmět průniku ploch z = x + y a z = x do roviny z = x = x + y, tj, x + y = x, z =. Je tedy = { (x, y) R : (x ) + y }. nožina je tedy kruh se středem v bodě (, ) a poloměrem. Dále je f(x, y) x = x x + y, f(x, y) y = y x + y
6 ZDENĚK ŠIBRAVA 3 z -3-3 - - - - yx 3-3 Obr. a odtud + ( ) f + x ( ) f =. y Substitucí do polárních souřadnic (4) dostaneme π/ cos ϕ S = da = r dr dϕ = π. π/ Příklad.9. Vypočítejte dvojný integrál ( 3x y) da, kde = {(x, y) R : x + y 4 y x}. Výsledek: π + 8 3 Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál ln (x + y ) da, x + y kde = {(x, y) R : x + y e y }. Výsledek: π/4 Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál x y + x + y da, kde = {(x, y) R : x + y x }. Výsledek: π(π )/4
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 7 Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál sin x + y da, kde = {(x, y) R : π x + y 4π }. Výsledek: 6π Příklad.33. Vypočítejte dvojný integrál arctg y x da, kde = { (x, y) R : 4 x + y 9 3 3 x y 3x Příklad.34. Vypočítejte dvojný integrál x y da, }. Výsledek: 5 48 π kde = {(x, y) R : x + y y x }. Výsledek: 3/ Příklad.35. Vypočítejte dvojný integrál x + y da, kde = {(x, y) R : x + y y y x }. Výsledek: /9 Příklad.36. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = {(x, y) R : x + y ax} (a > ). Výsledek: a 5 π/4 Příklad.37. Vypočítejte dvojný integrál y da, kde = {(x, y) R : (x + y ) ay 3 } (a > ). Výsledek: 56 πa3 Příklad.38. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = {(x, y) R : (x + y ) a (x y )} (a > ). Výsledek:
8 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.39. Vypočítejte dvojný integrál x 4 y 9 da, kde = { (x, y) R : x 4 + y 9 }. Výsledek: 4π Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál (x y) da, kde = { (x, y) R : x + 4y 4 x y }. Výsledek: 3 ( 3) Příklad.4. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x a y = x. Výsledek: 9/ Příklad.4. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami xy = 9, y = x a x = 5. Výsledek: 8 + 9 ln 3 9 ln 5 V příkladech.43.46 vypočítejte obsahy množiny. Příklad.43. = {(x, y) R : (x ) + y x + (y ) }. Výsledek: (π )/ Příklad.44. = {(x, y) R : x + y 4 x + 4y 4 y }. Výsledek: Příklad.45. = {(x, y) R : x + y x + y y}. π Výsledek: 3 3 { ( ) } Příklad.46. = (x, y) R x : + y 9 4 xy. Výsledek: 8 V příkladech.47.53 vypočítejte objemy daných těles. Příklad.47. {(x, y, z) R 3 : 9(x ) + (y + ) z 9}. Příklad.48. {(x, y, z) R 3 : (x ) + 4(y ) z 4}. π Výsledek: 7 π Výsledek: Příklad.49. {(x, y, z) R 3 : x + y ax x z x} (a > ). Výsledek: πa 3 Příklad.5. { (x, y, z) R 3 : x + y (y x) z (x + ) (y ) }. 4π Výsledek: 3 π
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 9 Obr. 3 Příklad.5. { (x, y, z) R 3 : x + y (x y) z 3 (x ) (y + ) }. Výsledek: Příklad.5. {(x, y, z) R 3 : 3x + 7y z 6 3x 7y }. Výsledek: Příklad.53. {(x, y, z) R 3 : 8x + y z 4 8x y }. Výsledek: V příkladech.54.59 vypočítejte objemy těles ohraničených danými plochami: Příklad.54. x =, y =, x + y = 3, z =, z = 4x + y +. Výsledek: 45 Příklad.55. y =, y = x, z =, z = x + y. Výsledek: 88 5 Příklad.56. y = ln x, y = ln x, z =, y + z =. (Pomůcka: Platí ln n x dx = x ln n x n ln n x dx.) Výsledek: 3 e 8 Příklad.57. x + y = x, z = xy, z = (z ). Výsledek: /3 Příklad.58. x + y = y, z = x + y, z =. Výsledek: 3 π Příklad.59. x + y = a, z =, z = e x y (a > ). Výsledek: Příklad.6. Vypočítejte objem tzv. Vivianiova tělesa (Obr. 3) { (x, y, z) R 3 : x + y + z a x + y ax } (a > ). 4π π π ) π ( e a Výsledek: (3π 4)a3 9
ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.6. Vypočítejte objem a povrch tělesa ohraničeného dvěma rotačními válcovými plochami o stejném poloměru R, jejichž osy se kolmo protínají (Obr. 4) a (Obr. 5). Výsledek: 6 3 R3, 6R Obr. 4 Obr. 5 Příklad.6. Vypočítejte obsah části rotačního paraboloidu z = x y, kterou z něj vyřízne rovina z =. Výsledek: π(5 5 )/6 Příklad.63. Vypočítejte obsah části hyperbolického paraboloidu z = 4 + x y, kterou z něj vyřízne válcová plocha x + y = 4. Výsledek: 6 (7 7 )π V příkladech.64.7 vypočítejte obsahy daných ploch. Příklad.64. {(x, y, z) R 3 : x + 3y + 4z = x y z }. Výsledek: 3 9 Příklad.65. {(x, y, z) R 3 : x + y = z z xy}. Výsledek: ( 3π) 9 Příklad.66. { (x, y, z) R 3 : (x + y ) 3/ + z = z }. ( ) Výsledek: 6 3 + ln (3 + ) π { } Příklad.67. (x, y, z) R 3 : x + y x = z + y. 3 9 4 Výsledek: 4( )π Příklad.68. { (x, y, z) R 3 : x + y = z z z ( x + )}. Výsledek: Příklad.69. {(x, y, z) R 3 : x + z = a z y x}. (a > ) Výsledek: a Příklad.7. {(x, y, z) R 3 : x + y + z = a x + y ax, z } (a > ). Výsledek: (π )a, (Obr. 3) 8π
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY Příklad.7. Vypočítejte obsah části zemského povrchu (za předpokladu, že jde o kulovou plochu o poloměru R = 6378 km), ohraničenou poledníky odpovídajícími západním zeměpisným délkám 3 a 6 a rovnoběžkami odpovídajícími severním zeměpisným šířkám 45 a 6. Výsledek: R π( 3 ) = 3.38 6 km Fyzikální aplikace dvojného integrálu Nechť je dvourozměrná množina (rovinná deska), jejíž plošná hustota v každém bodě (x, y) je h(x, y). (I) Hmotnost této množiny je () m = h(x, y) da. (II) Statický moment této množiny vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y je () S x = yh(x, y) da, resp. S y = xh(x, y) da. (III) Souřadnice těžiště této množiny (v pravoúhlém souřadnicovém systému) jsou (3) x T = S y m, y T = S x m. (IV) oment setrvačnosti této množiny vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y, resp. vzhledem k počátku je I x = y h(x, y) da, resp. I y = x h(x, y) da, (4) resp. I z = I x + I y = (x + y )h(x, y) da. Poznámka.7. V dalších příkladech budeme vždy v případě homogenní desky (tělesa) předpokládat, že h(x, y) = (h(x, y, z) = ). Příklad.73. Najděme souřadnice těžiště nehomogenní rovinné desky ohraničené kružnicí x + y = ax, a >, jejíž plošná hustota v každém bodě (x, y) je rovna vzdálenosti tohoto bodu od počátku (, ).
ZDENĚK ŠIBRAVA Řešení: Víme, že h(x, y) = x + y. Protože deska je symetrická podle osy x a funkce h je sudá v proměnné y, je zřejmé, že těžiště desky bude ležet na ose x, tj. y T =. Pro určení x T potřebujeme znát celkovou hmotnost desky m a dále statický moment desky vzhledem k ose y (viz (3)). Podle () a () je m = x + y da, S y = x x + y da. Použitím substituce pomocí polárních souřadnic (4) dostaneme Potom m = x + y ax, r (cos ϕ + sin ϕ) ar cos ϕ, r a cos ϕ a tedy ϕ π, π. x + y da = π/ a cos ϕ r dr dϕ = a S y = = π/ π/ [ r 3 3 x x + y da = ] a cos ϕ π/ dϕ = 6 3 a3 a cos ϕ π/ cos 3 ϕ dϕ = 3 9 a3, r 3 cos ϕ dr dϕ = Podle (3) je tedy π/ = 8a 4 π/ cos 5 ϕ dϕ = 64 5 a4. x T = S y m = 64a4 5 9 3a = 6a 3 5. Příklad.74. Vypočítejme moment setrvačnosti kruhové desky o poloměru R vzhledem k její libovolné tečně t, jestliže její plošná hustota v každém bodě je rovna vzdálenosti tohoto bodu od tečny t. Řešení: Zvolme si souřadnicový systém tak, že střed kružnice ohraničující desku je v bodě (, R), tj. její rovnice je x + (y R) = R a tečna, ke které budeme moment setrvačnosti počítat, je osa x. Potom plošná hustota desky v každém bodě (x, y) je h(x, y) = y. Je tedy I t = I x = y h(x, y) da = y 3 da,
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 3 kde = {(x, y) R : x + (y R) R }. Použitím substituce pomocí posunutých polárních souřadnic pak dostaneme I t = x = r cos ϕ, y = R + r sin ϕ a J = r, y 3 da = π R (R + r sin ϕ) 3 r dr dϕ = 7 4 πr5. V příkladech.75.79 vypočítejte souřadnice těžiště rovinných homogenních desek: Příklad.75. Deska ohraničená parabolou y = x a přímkou x = a, (a > ). Výsledek: (3a/5, ) Příklad.76. Deska ohraničená křivkami 4y = x, x + y = 3. Výsledek: (, 7/5) Příklad.77. Deska ohraničená křivkami y = x 3x, y = x. Výsledek: Příklad.78. Deska ohraničená křivkou y = x x 4, x. Výsledek: (/, /5) ( 3 π, ) 6 Příklad.79. Deska ohraničená křivkou (x + y ) = x y, (x, y ). ( Výsledek: 6, ) 5π 4 Příklad.8. Nehomogenní deska má tvar půlkruhu o poloměru R, kde plošná hustota v každém bodě desky je rovna vzdálenosti tohoto bodu od středu kruhu. 3 R Určete vzdálenost těžiště desky od středu kruhu. Výsledek: π Příklad.8. Nehomogenní deska má tvar čtvrtkruhu o poloměru R, kde plošná hustota v každém bodě desky je rovna druhé mocnině vzdálenosti tohoto bodu od středu kruhu. Určete vzdálenost těžiště desky od středu kruhu. 8 Výsledek: R 5 π Příklad.8. Vypočítejte moment setrvačnosti kruhové desky o poloměru R a plošné hustotě h(x, y) = x y vzhledem k přímce procházející jejím středem. Výsledek: R 6 /6 Příklad {.83. Vypočítejte moment } setrvačnosti homogenní rovinné desky (x, y) R : x + y y vzhledem k ose x. ( π Výsledek: ) 3 4 3 4 Příklad.84. Vypočítejte moment setrvačnosti rovinné desky ohraničené křivkami y = 4 x a y = vzhledem k ose x, jestliže plošná hustota v každém bodě je rovna vzdálenosti tohoto bodu od osy y. Výsledek: 64/3
4 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.85. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní desky ohraničené elipsou 4(x + ) + y = 4 vzhledem k ose y. Výsledek: 5π/ Příklad.86. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní rovinné desky {(x, y) R : (x + y ) a (x y )}, (a > ) vzhledem k ose x a y. Výsledek: I x = (3π 48 8)a4, I y = (3π + 8)a4 48
.. Trojné integrály. PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 5 Příklad.87. Vypočítejme trojný integrál (x y + z) dv, kde =,,, 3. Řešení: Funkce f(x, y, z) = x y + z je na trojrozměrném intervalu spojitá. Užitím Fubiniovy věty převedeme trojný integrál na jednoduchý integrál z dvojného integrálu (x y + z) dv = (x y + z) da dx. K výpočtu dvojného integrálu nyní použijeme opět Fubiniovu větu (pro dvojný integrál) a tím převedeme zadaný trojný integrál na trojnásobný integrál (x y + z) dv = = = 3 ] z=3 [xz yz + z dy dx = z= [xy y + 5 y ] y= y= (x y + z) dz dy dx = dx = Příklad.88. Vypočítejte trojný integrál ( x 3 y z ) dv, y (x + ) dx =. ( x y + 5 ) dy dx = kde =,,,. Výsledek: 3/4 ln Příklad.89. Vypočítejte trojný integrál xy z dv, kde =,, 3, 4. Výsledek: 5( 4)/3 Příklad.9. Vypočítejte trojný integrál xy z 3 dv, kde =,, 3, 4. Výsledek: 5
6 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.9. Vypočítejte trojný integrál x z e x y+z dv, kde =,,,. Výsledek: (e 5)(e )(e )/( e) Příklad.9. Vypočítejme trojný integrál + x + y dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x y z x + y + z }. Řešení: nožina je čtyřstěn s vrcholy (,, ), (,, ), (,, ) a (,, ). Jeho průmětem do roviny xy je trojúhelník (Obr. 6) s vrcholy (, ), (, ) a (, ). Zřejmě (x, y) je z x y. Pomocí Fubiniovy věty můžeme tedy daný trojný integrál převést na dvojný z jednoduchého + x + y dv = Zapíšeme-li množinu ve tvaru x y + x + y dz da. = { (x, y) R : x y x }, můžeme použitím Fubiniovy věty pro dvojný integrál náš trojný integrál převést na trojnásobný integrál. Potom + x + y dv = = = x x x y [ z + x + y ] z= x y z= dy dx = [ ln ( + x + y) y] y= x y= dx = dz dy dx = + x + y x x y dy dx = + x + y ( ln ln (x + ) + x ) dx = = 3 ln. Při výpočtu trojného integrálu můžeme postupovat také např. takto: Pro libovolné z, leží vždy bod (x, y) v trojúhelníku, jehož kolmý průmět do roviny xy (z = ) je trojúhelník z s vrcholy (, ), ( z, ), (, z) (Obr. 7). Podle Fubiniovy věty můžeme tedy trojný integrál převést na jednoduchý a dvojný, tj. + x + y dv = + x + y da dz. z
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 7 Obr. 6 Obr. 7 Zapíšeme-li množinu z ve tvaru z = { (x, y) R : x ( z) y ( x z) },
8 ZDENĚK ŠIBRAVA může opět použitím Fubiniovy věty pro dvojný integrál zadaný trojný integrál převést na trojnásobný integrál + x + y dv = z x z Příklad.93. Vypočítejme trojný integrál y cos (x + z) dv, + x + y dy dx dz = 3 ln. kde je množina ohraničená plochami y = x, y =, z =, x + z = π. Řešení: nožina (Obr. 8) je část válce ohraničeného válcovou plochou y = x a rovinou y =. Zdola je ohraničena rovinou z = a shora rovinou x + z = π. Kolmý průmět množiny do roviny xy je část roviny ohraničená přímkami y =, x = π a parabolou y = x (Obr. 9), { = (x, y) R : x π y } x. a z x + π. Potom y cos (x + z) dv = = = π/ x x+π/ π/ x = π/ x+π/ y cos (x + z) dz dy dx = y( sin x) dy dx = y cos (x + z) dz da = π/ [ y (x x sin x) dx = π 6. Příklad.94. Vypočítejte trojný integrál z dv, π/ x [y sin (x + z)] z= π x z= dy dx = ] y= x ( sin x) = y= kde je množina ohraničená plochami x =, y =, z =, y = x, z = x. Výsledek: 3/3 Příklad.95. Vypočítejte trojný integrál z 4 sin 3 y dv,
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 9,6,, z,8,8 y,6,4,4,5,5 x,4,8 y Obr. 8,,6,,4,8,,6 x Obr. 9 kde je množina ohraničená plochami x =, x = π, y =, y = π/, z =, z = x. Výsledek: π 6 /45 Příklad.96. Vypočítejte trojný integrál xy sin (x + y + z) dv, kde = { (x, y, z) R 3 : x y z x + y + z π }. Výsledek: π 4 /9 π /4 + Příklad.97. Vypočítejte trojný integrál xyz dv, kde je množina ohraničená plochami y = x, x = y, z =, z = xy. Výsledek: /96 Příklad.98. Vypočítejte trojný integrál x dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z } (Obr. ). Výsledek: /5 Příklad.99. Vypočítejte trojný integrál x 3 yz ( + z ) dv, kde = { (x, y, z) R 3 : x y } x + y z. Výsledek: 6 ln 5 6
3 ZDENĚK ŠIBRAVA,5 - z -,5,5 yx -,5 - -,5,5 - Obr. Příklad.. Vypočítejme trojný integrál x + y dv, kde = { (x, y, z) R 3 : x + y + z a } x + y z (a > ). Řešení: nožina je část koule se středem v bodě (,, ) a poloměrem a, kterou z ní vyřízne kuželová plocha z = x + y. Pro výpočet tohoto integrálu použijeme substituci pomocí sférických souřadnic (5) x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ a J = r cos ψ. Použitím (5) a dosazením do nerovností definujících dostaneme x + y + z a, r ( cos ψ(cos ϕ + sin ϕ) + sin ψ ) a, x + y z, r cos ψ(cos ϕ + sin ϕ) r sin ψ, r a, tg ψ, π/4 ψ π/.
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 3 4 3 z,5 y -,5,5 - x,5 Obr. Pro ϕ jsme nedostali žádnou podmínku, je tedy ϕ π. Nyní použitím věty o substituci a současně Fubiniovy věty dostaneme x + y dv = π π/ a r cos ψ(cos ϕ + sin ϕ) r cos ψ dr dψ dϕ = = π π/ a = a4 4 π/4 π π/ π/4 π/4 r 3 cos ψ dr dψ dϕ = cos ψ dψ dϕ = a4 8 π π π/ π/4 [ ψ + Příklad.. Vypočítejme trojný integrál xz dv, [ r 4 4 cos ψ ] r=a r= ] ψ=π/ sin ψ ψ=π/4 kde = {(x, y, z) R 3 : x + y x x z x}. dψ dϕ = dϕ = a4 π(π ). 6 Řešení: nožina je část rotačního válce x +y x seříznutého zdola rovinou z = x a shora rovinou z = x (Obr ). Kolmým průmětem do roviny xy je kruh ohraničený kružnicí x + y = x. Pro výpočet integrálu použijeme substituci do cylindrických souřadnic (6) x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = Z a J = r.
3 ZDENĚK ŠIBRAVA Použitím (6) a dosazením do nerovností definujících dostaneme x + y x x z x, r cos ϕ, r cos ϕ Z r cos ϕ. z podmínky cos ϕ pak dostáváme cos ϕ, tj. π/ ϕ π/. Použitím věty o substituci a současně Fubiniovy věty pak dostaneme xz dv = = = 3 π/ π/ π/ π/ π/ π/ cos ϕ cos ϕ r cos ϕ r cos ϕ [ Z r cos ϕ [ r cos 3 5 ϕ 5 ] r= cos ϕ r= r Z cos ϕ dz dr dϕ = ] Z=r cos ϕ Z=r cos ϕ dϕ = 96 dr dϕ = 3 π/ π/ Příklad.. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, π/ π/ cos ϕ cos 8 ϕ dϕ = 8 π. r 4 cos 3 ϕ dr dϕ = kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z x y z }. Výsledek: π/8 Příklad.3. Vypočítejte trojný integrál (x + y ) dv, kde = {(x, y, z) R 3 : 4 x + y + z 9 z }. Výsledek: 844/5π Příklad.4. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z z}. Výsledek: π/ Příklad.5. Vypočítejte trojný integrál e x +y +z kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4}. Výsledek: 8π(e ) Příklad.6. Vypočítejte trojný integrál (x + y + z ) dv, dv,
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 33 kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z az x + y 3z } (a > ). Výsledek: πa 5 / Příklad.7. Vypočítejte trojný integrál z x + y dv, kde je množina ohraničená plochami y =, z =, z = a (a > ), x +y = x. Výsledek: 8a /9 Příklad.8. Vypočítejte trojný integrál (x + y ) dv, kde je množina ohraničená plochami z = x + y, z =. Výsledek: 6π/3 Příklad.9. Vypočítejte trojný integrál x y z dv, kde = { (x, y, z) R 3 : } x + y z. Výsledek: π/9 Příklad.. Vypočítejte trojný integrál (x + y )z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : z 4 x y }. Výsledek: 3π/3 Příklad.. Vypočítejte trojný integrál (x + y + z ) dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 3a x + y az} (a > ). Výsledek: πa 5 (8 3 97)/3 Příklad.. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z x + y + z z}. Výsledek: 3π/ Příklad.3. Vypočítejte trojný integrál z dv,
34 ZDENĚK ŠIBRAVA kde = {(x, y, z) R 3 : (x + y + z ) z 3 }. Příklad.4. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, Výsledek: π/8 kde = {(x, y, z) R 3 : (x + y + z ) xy x y z }. Výsledek: π/ Příklad.5. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z x + y + z z}. Výsledek: 3π/ Příklad.6. Vypočítejte trojný integrál (x + y ) dv, kde = {(x, y, z) R 3 : (x + y ) x y x + y z x y z }. Výsledek: π/6 Příklad.7. Vypočítejte trojný integrál z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4 z }. Příklad.8. Vypočítejte trojný integrál y dv, Výsledek: 9π/4 kde = { (x, y, z) R 3 : x + y + z z } x + y z y. Příklad.9. Vypočítejte trojný integrál y dv, Výsledek: 7/4 π/6 kde = {(x, y, z) R 3 : x + y x z x x y y }. Výsledek: 3/6 Příklad.. Vypočítejme objem tělesa určeného nerovnicemi x + y z a x + y + z z.
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 35,5 z,5 - -,5,5 x Obr. Řešení: Těleso můžeme popsat jako množinu = { (x, y, z) R 3 : x + y + z z x + y z }. Objem množiny (míru množiny) pak vypočítáme jako µ( ) = dv. Těleso, jehož objem počítáme, je průnik koule a rotačního paraboloidu. Řez tělesa rovinou y = je na Obr.. Z geometrie víme, že obě plochy jsou rotační a mají společnou osu. Proto jejich průnikem je kružnice. Řešením soustavy dvou rovnic x + y + z = z, x + y = z, zjistíme, že kružnice průniku leží v rovinách o rovnicích z = a z = s tím, že kružnice v rovině z = se redukuje na bod o souřadnicích (,, ) a v rovině z = je průnikem kružnice, jejíž kolmý průmět do roviny xy má rovnici x + y =. Celé těleso se tedy promítne do roviny xy jako kruh : x + y. Pro libovolné (x, y, z) je tedy x + y x y z x y
36 ZDENĚK ŠIBRAVA Užitím Fubiniovy věty pro trojný integrál pak dostaneme x y Ω = dv = dz da = x y ( = ( ) x y ) ( x y ) da = = π (r r 3 + r ) r dr dϕ = 7 6 π. Pro výpočet dvojného integrálu jsme použili substituci do polárních souřadnic (4). V příkladech..5 vypočítejte objemy daných těles. Příklad.. Těleso je ohraničeno plochami z = 4 y, z = y +, x =, x =. Výsledek: 8/3 Příklad.. Těleso je ohraničeno plochami z = x + y, z = x + y, y = x, y = x, x =. Výsledek: 7/ Příklad.3. Těleso je ohraničeno plochami x + y + z = a, x + y + z = b, x + y z =, přičemž z a < a < b. Výsledek: ( )(b 3 a 3 )π/3 Příklad.4. Těleso je ohraničeno plochami z = 6 x y, z = x + y. Výsledek: 3π/3 Příklad.5. Těleso je ohraničeno plochami x + y + z = 6, x + y + z = 8z. Výsledek: 8π/3 Fyzikální aplikace trojného integrálu Nechť je trojrozměrné těleso, jehož hustota v každém bodě (x, y, z) je h(x, y, z). (I) Hmotnost tohoto tělesa je (7) m = h(x, y, z) dv. (II) Statický moment tohoto tělesa vzhledem k rovině xy, resp. vzhledem k rovině xz, resp. vzhledem k rovině yz (8) S xy = zh(x, y, z) dv, S xz = yh(x, y, z) dv, S yz = xh(x, y, z) dv.
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 37 (III) Souřadnice těžiště tohoto tělesa (v pravoúhlém souřadnicovém systému) jsou (9) x T = S yz m, y T = S xz m, z T = S xy m. (IV) oment setrvačnosti tohoto tělesa vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y, resp. vzhledem k ose z je I x = (y + z )h(x, y, z) dv, () I y = I z = (x + z )h(x, y, z) dv, (x + y )h(x, y, z) dv. V příkladech.6.3 vypočítejte souřadnice těžiště homogenních těles ohraničených danými plochami. Příklad.6. x + y + z = a, x = a, y = a, x =, y =, z =. Výsledek: (5a/, 5a/, 5a/) Příklad.7. z = x + y, z =. Výsledek: (,, /4) Příklad.8. x + y = z, z =. Výsledek: (,, /3) Příklad.9. x + y = z, x + y = z. Výsledek: (,, 5/3) Příklad.3. x + y = az, x + y + z = 3a (a > ). Výsledek: (,, 5a(6 3 + 5)/83) Příklad.3. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenního tělesa ohraničeného plochami z = x + y, x + y = ±, x y = ±, z = vzhledem k ose x. Výsledek: 4/45 Příklad.3. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní koule o poloměru R vzhledem k přímce, která se jí dotýká. Výsledek: 8πR 5 /5 Příklad.33. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní kostky o hraně a vzhledem k její libovolné hraně. Výsledek: a 5 /3 Příklad.34. Hustota v každém bodě nehomogenní koule o poloměru R je rovna vzdálenosti tohoto bodu od jejího středu. Vypočítejte moment setrvačnosti této koule vzhledem k (libovolné) přímce, která a) prochází středem koule, b) se dotýká povrch koule. Výsledek: 4πR 6 /9, 3πR 6 /9