I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce t = 4 (rcsin) d substituce t = rcsin) e d substituce t = rccosd u = rccos v = u = v = 3 3 substituce t =, 3 =, t = d substituce t = e sin tg cos d = cos d = cos d 3 e 4 d substituce t = 4 6 + d = 6( + 6 )d subst. t = 4 e d substituce t = + e + e 3 + d = 3( + 3 )d subst. t = 3 e + e d = e e + C ( + ) d subst. t =, + t = +, dt = d 3 + 3 d subst. t = + 3 ln d 3 7 + 3 d subst. t = ln subst. t = 7 + 3 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 30. 3. 3. 33. 34. sin 5 sin 5d, R = cos 5 5 sin 5 + C 4 7 + 5 d subst. t = + 5 sin 3 + cos d 4 7 3 + 5 d subst. t = 3 + cos subst. t = 3 + 5 cos d subst. t = + sin + sin d subst. t = 3 sin d subst. t = + cos + cos 3 d sin 5 d 3 d subst. t = 3 subst. t = cos subst. t =, 3 =, = t cos 5 d subst. t = sin d 3 subst. t = 3 sin( ) d subst. t = 5 + d = ( ) 5 d 4 3 e d subst. t =, dt = 4d, te t dt u = t v = e t u = v = e t e + e d = e + e d = e d + e subst. t = e ln d subst. t = ln
II. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5 3 5 + 6 d 3 3 + d 5 4 8 + d d 3 + + 3 d 6 + 5 d 4 9 d 7 + 6 + d + 3 + d 4 + + 3 4 d 3 d + 3 + 3 0 d 3 d + + 3 4 d A + B + 3 A + + B 3 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 8 03 + 5 ( )( + 3)( 6) d 8 + 4 ( )( 3) d ( + )( + 3 + ) d ( + ) d + ( ) d + 4 + 4 ( ) d 3 + ( + ) d 3 ( )(4 6 + 5) d 4 + 6 ( 4) d (6 7 3) d + 4 9 ( )( + 3)( 4) d ( + 4) d ( + )( + )( + 3) d ( )( + ) d
Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného křivkmi III.Aplikce. y = 4 ; y = 0. y = 6 ; y = 0 3. y = 4 ; y = 4. y = + 4 ; + y = 5. y = ; y = 6. y = ; = y 7. y = 6; y = + 5 + 4 8. y = 3 ; y = 4 9. y = 4; + y = 5 0. y = tg; y = 0; = π 4. y = sin ; y = π. y = e ; y = e ; = ln 3. y = ln ; y = ln 4. y = sin ; y = cos ; = π 4 ; = 3π 4 5. y = rcsin; y = 0; = 0; = 6. y = 4 ; y = 8 + 4 7. y = ; = ; = 0; y = 0 8. y = 3 ; y = ; y = ; 0 9. y = +, y = 0 0. y = tg, y = cos, y = 0 3. y = rctg, y = rccos, = 0. y = ln 4, y = ln Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného. prbolou y = + její tečnou v bodě [3, 5] osmi o, o y.. křivkou y = e její tečnou v bodě [0, ] přímkou =. 3. grfem funkce y = 3 + 6 pro 3 3 osou. 4. prbolou y = 6+8 jejími tečnmi v bodech [, 3] [4, 0] 5. křivkmiy = 6, + y 7 = 0 6. křivkmiy = 8 + 4, y = + 4 + 4 Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného osou prmetricky zdnou křivkou. = 3t, y = 3t t 3 ; 3 t 3. = sin t, y = cos t, 0 t π; = sin t, y = cos t, 0 t π 3. = (t sin t), y = ( cos t), 0 t π 4. = 3 sin 3 t, y = 3 cos 3 t, 0 t π 5. = t t, y = t t 3, 0 t Vypočtěte obsh rovinné oblsti ohrničené k k : k : = cos t, y = b sin t; k : = b cos t, y = b sin t,, b R, > b > 0, t < π, π Vypočtěte obsh smyčky křivky = 3t, y = 3t t 3, 3 t 3 Vypočtěte obsh rovinné oblsti dné nerovnostmi. + y 8, y. y 4, y, 4y
Délk oblouku křivky Necht je funkce f() definovná n intervlu <, b > má zde spojitou derivci. Pk délk této křivky s = b + [f ()] d. Necht funkce f je dán prmetrickými rovnicemi = ϕ(t) y = ψ(t), přičemž funkce ϕ(t) ψ(t)jsou spojité pro t, β, přičemž funkce ϕ(t) ψ(t) mjí spojité derivci n intervlu, β Pk délk této křivky Vypočtěte délku křivky. y = rcsin +,. y = ln, 3 8 s = β [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt. 3. y = ln(cos ), 0 π 4 4. y = 4 3, 0, y > 0 5. y = ln( ), 0 6. = cos t, y = sin t, 0 t π 7. = cos 3 t, y = sin t, 0 t π
Objem rotčního těles Necht je funkce f() spojitá nezáporná n intervlu <, b >. Pk rotční těleso, které vznikne rotcí křivočrého lichoběžník ohrničeného shor funkcí f(), osou přímkmi =, = b kolem osy, má objem V = π b f () d Necht funkce f je dán prmetrickými rovnicemi = ϕ(t) y = ψ(t), t, β, přičemž funkce ϕ(t) má spojitou derivci n intervlu, β funkceψ(t) je spojitá nezáporná n intervlu, β. Pk pro objem rotčního těles, které vznikne rotcí elementární oblsti ϕ() ϕ(β), 0 y ψ(t) kolem osy pltí: V = β ψ (t) ϕ (t) dt Pro výpočet objemu rotčního těles, které vznikne rotcí oblsti ohrničené křivkmi g() f() kolem osy pro <, b > použijeme vzth b b b V = π f () d π g [ () d = π f () g () ] d Zcel nlogicky můžeme určit objem rotčního těles, jehož plášt vznikl rotcí spojité křivky = h(y), y < c, d > kolem osy y: V = Vypočtěte objem rotčního těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničeného zdnými křivkmi kolem osy :. y =, = y. y =, = y 3 3. y =, y = 4. y =, y =, = 5. y =, y = d c h (y) dy 6. y = tg, y = 0, = 0, = π 4 7. y = rcsin, y = 0, = 0, = 8. y = 4, y = 0, =, = 4 9. y =, 3 4y + 5 = 0 0. y =, y = 0, = 3. + y = 4, + y =. y = sin, y = 0, = 0, = π ( ) 3. y =, y = 5 4. y =, + 4y = 0, 0
Obsh pláště rotčního těles Necht je funkcef() spojitá nezáporná n intervlu <, b > má zde spojitou derivc if (). Pk pro obsh rotční plochy vzniklé rotcí oblouku křivkyy = f() kolem osy pltí S = π b f() + [f ()] d Necht je funkce f dán prmetrickými rovnicemi = ϕ(t) y = ψ(t), t, β, přičemž funkce ϕ(t), ψ(t) mjí spojité derivce n intervlu, β funkceψ(t) je nezáporná n intervlu, β. Pk pro obsh plochy, která vznikne rotcí grfu funkce f kolem osy pltí β S = π ψ(t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt Vypočtěte obsh rotční plochy, která vznikne rotcí dné křivky kolem osy :. y = 3, 3 3. y = e + e, 0 3. y = 4, 0 3 4. y =, 0 5. y = ( e 4 + e 4 ), 0 4 6. y = sin, 0 π. Vypočtěte povrch vrchlíku kulové plochy o poloměru r, jehož výšk je v < r.. Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk prboly y = pro 3 8 při otáčení kolem osy. 3. Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk křivky y = ( ) 3, při otáčení kolem osy. 4. Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk řetězovky y = ( ) e + e, > 0, 0 při otáčení kolem osy. 5. Vypočtěte povrch těles, které vznikne rotcí rovinné oblsti dné nerovnostmi y 0, + y r, + y r, r, r > 0 při otáčení kolem osy.. = cos t, y = sin t, 0 t π. = 3 cos 3 t, y = 3 sin 3 t, 0 t π 3. = 4(t sin t), y = 4( cos t), 0 t π 4. = sin t, y = sin t, 0 t π 5. = e t sin t, y = e t cos t, 0 t π 6. 3 + y 3 = 9. Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk prboly y = 4, při otáčení kolem osy y.. Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk křivky = t, y = t3 3 t, 3 t 0 při otáčení kolem osy. 3. Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk křivky = sin t, y = sin t, 0 t π 4. Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk křivky trktri = cos t+ ln tg t, y = sin t, pi 6 t při otáčení kolem osy. π 5. Vypočtěte povrch těles, jehož plášt vytvoří oblouk křivky = 4 cos t + 4, y = sin t, 0 t 3π při otáčení kolem osy.
Fyzikální plikce: použití určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, sttických momentů, souřdnic těžiště momentů setrvčnosti. Necht je křivk dán prmetrickými rovnicemi = ϕ(t) y = ψ(t), t, β, přičemž funkce ϕ(t), ψ(t) mjí spojité derivce n intervlu, β. Je-li délková hustot ρ křivky konstntní, pk má křivk hmotnost Pro sttické momenty pltí β m = ρ [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt β S = ρ S y = ρ β Momenty setrvčnosti této křivky dostneme ze vzthů: ψ(t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt ϕ(t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt β I = ρ ψ (t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt β I y = ρ ϕ (t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt Těžiště T = (ξ, η) má souřdnice ξ = S y m, η = S m Necht je hmotná křivk určená eplicitní rovnicíy = f() se spojitou derivci f () n intervlu <, b > konstntní délkovou hustotou ρ. Pk má křivk hmotnost b m = ρ + [f ()] d Pro sttické momenty pltí: S = ρ S y = ρ b Momenty setrvčnosti této křivky dostneme ze vzthů: I = ρ I y = ρ b b b f() + [f ()] d + [f ()] d f () + [f ()] d + [f ()] d Těžiště T = (ξ, η) má souřdnice ξ = S y m, η = S m Těžiště moment setrvčnosti rovinné oblsti Necht je hmotná rovinná oblst ohrničen křivkmi g() f(), kde g() f() n intervlu, b. Pk hmotnost této oblsti s konstntní plošnou hustotou ρ je Pro sttické momenty pltí: m = ρ S = ρ S y = ρ b b b Momenty setrvčnosti této rovinné oblsti dostneme ze vzthů: Těžiště T = (ξ, η) má souřdnice ξ = S y m, η = S m S = ρ 3 S y = ρ b b [f() g()] d [f () g ()] d [f() g()] d [f 3 () g 3 ()] d [f() g()] d
Vypočtěte souřdnice těžiště homogenního rovinného obrzce ohrničeného křivkmi. y =, y = 0. y = 6, = 5 3. y = 4, = 0, y = 4 4. y =, = y 5. y =, y = + 6. y = sin, y = 0, 0 π 7. y = sin, y = π, y = 0 8. y = sin, y =, 0 π 9. + y = 4, y 0 0. = 3(t sin t), y = 3( cos t), 0 t π, y = 0 homogenního rovinného oblouku křivky. y = 0 +,. y = 4 ln, 3. = t, y = t t3 3, 0 t 3 4. = cos t, y = sin t, π 6 t π 6 5. = 3 cos 3 t, y = 3 sin 3 t, 0 t π 6. = (t sin t), y = ( cos t), 0 t π 7. = cos t + t sin t, y = sin t t cos t, 0 π. 3 + y 3 = 4, = 0, y = 0, 0, y 0. = t t, y = t 3 + t, y = 0 Vypočtěte moment setrvčnosti vzhledem k ose y homogenní(ho) hmotné(ho). oblsti ohrničené křivkmi y = +, y =. oblouku křivky dné prmetricky = t, y = t 3 t3, 0 t 3