Střední průmyslová škol sdělovcí techniky Pnská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl
OBSAH Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 Diferenciální počet 4 Elementární funkce 4 Limit funkce 5 Zákldní pojmy, zvedení pojmu limit 5 Limit v odě 6 Jednostrnná limit 8 3 Nevlstní limity funkce v odě 9 4 Limit funkce v nevlstním odě Neurčité výrzy 3 Důležité limity 4 Užití limity funkce 3 4 Asymptoty grfu funkce 3 4 Asymptoty se směrnicí 3 4 Asymptoty ez směrnice 4 4 Tečn grfu funkce 5 3 Spojitost funkce 6 3 Spojitost v odě v intervlu 7 3 Spojité funkce n uzvřených intervlech 8 4 Derivce funkce 9 4 Fyzikální význm derivce 9 4 Definice derivce 0 43 Derivce vyšších řádů 44 Vlstnosti derivce 45 Derivce elementárních složených funkcí 3 5 ***Diferenciál funkce 4 6 l Hospitlovo prvidlo 6 7 Průěh funkce 6 7 Věty o spojitosti 7 7 Monotónnost funkce derivce 8 73 Etrémy funkce derivce 8 74 Stcionární ody 9 75 Etrémy funkce druhá derivce 9 76 Konvenost konkávnost funkce 30 77 Inflení ody 3 78 Vyšetřování průěhu funkce 3 8 Užití diferenciálního počtu 3 Integrální počet 33 Historický úvod 33 Primitivní funkce 33 Zvedení primitivní funkce 33 Primitivní funkce elementárních funkcí 34 3 Integrční metody 35 3 Per prtes 35 3 Sustituční metod 36 3 Určitý integrál 37 3 Pojem určitý integrál 37 3 Definice určitého integrálu 38 33 Výpočty určitých integrálů 38 33 Sustituce v určitém integrálu 39 33 Metod per prtes v určitém integrálu 40 4 Užití integrálního počtu 4 4 Osh rovinného orzce 4 4 Útvr omezený grfem jedné funkce 4 4 Útvr omezený grfy více funkcí 4 4 Ojem rotčního těles 4 43 Délk křivky 43 44 Povrch rotčního těles 45
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 Tet je psán pomocí několik zvláštních stylů: Běžný tet, odvozování vzthů, výsledné vzthy, D EFINICE DŮ LEŽITÝCH MATEMATICKÝCH POJMŮ, ZNĚ NÍ MATEMATICKÝCH VĚ T Komentář, který proírnou látku rozšiřuje, upřesňuje či doplňuje Zjednodušená tvrzení pro lepší pochopení, která jsou tedy z mtemtického hledisk nepřesná, le která mohou npomoci k lepšímu pochopení proírné látky Tet v některých částech překrčuje ěžně proírnou středoškolskou látku z mtemtiky Tyto rozšiřující pozntky mohou přispět k hlušímu pochopení látky těm žákům, kteří udou mtemtiku studovt i n vysoké škole ( to nejen technického změření) Tet neprošel odornou ni jzykovou korekturou Nrzíte-li n chyy, prosím n jejich upozornění Předem děkuji Jroslv Reichl 3
DIFERENCIÁLNÍ POČET Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 Zákldy diferenciálního integrálního počtu, který ývá též nzýván počet infinitezimální (ltinky infinitesimlis znmená nekonečně mlý), vytvořili nglický mtemtik, fyzik stronom Isc Newton (64-77) německý mtemtik, fyzik, filosof, právník diplomt Gottfried Wilhelm Leiniz (646-76) Tto mtemtická disciplín, která je zložen n nekonečně mlých veličinách, nlezl rychle upltnění v nstupujícím 8 století, protože měl použití nejen v smotné mtemtice, le i v přírodních vědách technice Elementární funkce Vzhledem k tomu, že prolemtik diferenciálního integrálního počtu je zložen n pojmu funkce, je tře ezpodmínečně ovládt zákldní (tzv elementární) funkce jejich vlstnosti (grf, trnsformce grfu v soustvě souřdnic, definiční oor oor hodnot, monotonie, ryzí monotonie, omezenost, inverzní funkce, periodická funkce, ) Při výpočtu limit, derivcí integrálů se čsto využívá rovnost funkcí nvíc většin z vyšetřovných funkcí udou funkce složené, je tře tyto pojmy upřesnit F UNKCE f A g SE ROVNAJÍ NA MNOŽINĚ M D f D g, PLATÍ-LI PRO KAŽDÉ M : f g Ř EKNEME, ŽE FUNKCE h JE SLOŽENA ( h JE SLOŽENÁ FUNKCE) Z FUNKCÍ f A g, PRÁVĚ TEHDY KDYŽ PLATÍ: DhD f ; f D g A Dh: h g f F UNKCE h SE ZNAČ Í SYMBOLEM: h g f S KLÁDÁNÍ FUNKCÍ NENÍ OBECNĚ KOMUTATIVNÍ Mějme npř funkce f : y g : y sin Dvě funkce můžeme složit dvojím způsoem Funkce h g f je funkce, kterou získáme tk, že funkci g plikujeme n funkci f Tedy nejdříve zprcujeme funkci f poté ž funkci g, tj sin sin j f g h g f sin Funkci j f g získáme tk, že n funkci g plikujeme funkci f, tj Spolu se zákldními funkcemi (elementárními funkcemi), které jsou známé ze středoškolské mtemtiky, je tře znát i jejich grfy (včetně trnsformce grfu - posunutí po jednotlivých osách krtézského systému, násoky, ) Přehled zákldních (elementárních) funkcí: n n n polynomická: f : y n n n 0, kde n 0, n, n, n,,, 0, n 0 D f (jejími zvláštními přípdy jsou funkce konstntní, lineární kvdrtická); rcionální: n n n n n n n 0 m m m m m m m 0 P f : y Q oorem jsou reálná čísl vyjm všech nulových odů polynomu jsou nepřímá úměrnost lineární lomená funkce); n 3 mocninná: f : y, kde: ) n D f ; ) n D f 0 c) n D f ; 4 eponenciální: ; f : y 5 logritmická: f : y log 6 goniometrické: ) f : y sin, kde, kde D f ;, kde D f D f ; ) f : y cos, kde D f ; c) f : y tg D f k k ;, kde ; d) f : y cotg, kde D f k; k ; ; Qm, jejímž definičním (jejími zvláštními přípdy 4
7 funkce signum: Limit funkce pro 0 f 0pro 0 pro 0 Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00, kde D f Zákldní pojmy, zvedení pojmu limit Pojem limit funkce je důležitým pojmem nejen v olsti diferenciálního integrálního počtu, le v celé mtemtice vůec N zákldě limit je možné přesně popst řdu pojmů vypočítt řdu údjů, které y zůstly ez použití limit skryty Při vyšetřování limit funkce ( následně i spojitosti funkce - viz odstvec 3) udeme vyšetřovt vlstnosti funkce f v určitém konkrétním odě z definičního ooru dné funkce, tj D f To le neznmená jen vypočítt funkční hodnotu v dném odě (pokud funkční hodnot eistuje), le hlvně zjišťovt, jk se mění funkční hodnoty f v okolí dného odu Tj jk moc se mění funkční hodnoty, když se udeme k dnému odu lížit zlev zprv Před vyslovením definice prozkoumáme limity intuitivně n konkrétním příkldu Je dán funkce f : y Z grfu funkce f, který je zorzen n or, vyplývá, že: 3 pro velká (ptřící do definičního ooru) se funkční hodnoty líží stále více k hodnotě y, le nikdy jí nedosáhnou (tj rovnice nemá řešení) Proto se říká, že funkční hodnoty se 3 pro velká líží k číslu Pro velká tedy eistuje limit (viz odstvec 4): lim 3 pro čísl v okolí odu 3, který neptří do definičního ooru funkce, le už nedostneme jednu hodnotu, k níž se líží funkční hodnoty dné funkce Budeme-li vyšetřovt t v okolí odu -3, která jsou větší než -3, udou funkční hodnoty velká kldná čísl Podíváme-li se le n čísl v lízkosti odu 3, která jsou menší než -3, udou funkční hodnoty záporné jejich solutní hodnoty udou velké Tj pro od 3 se nepodří nlézt jednu funkční hodnotu: eistují tedy tzv dvě jednostrnné limity (viz odstvec 0) lim 3 3 lim 3, le neeistuje limit ooustrnná 3 or 4 Ilustrční příkld: Je dán funkce f : y Určete její definiční oor, nčrtněte její grf pokuste se jí přirozeným způsoem dodefinovt v odech, v nichž není definovná Řešení: Definiční oor funkce je D f 4 uprvit tkto: N definičním ooru dné funkce je možné předpis funkce f získáme tk funkci g: y Krácení výrzem je 5
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 mtemticky v pořádku - n zákldě definičního ooru funkce f totiž víme, že výrz nemůže nikdy nývt nulové hodnoty Funkce g, která vznikl úprvou výrzu z funkce f, má stejný definiční oor jko funkce f, tj D g D f Její grf je znázorněn n or Jediným odem, kde není funkce g definovná je od Kdyychom le nevěděli, že funkce g vznikl úprvou funkce f, mohli ychom jí v odě dodefinovt velice sndno - prostým doszením odu g 4 Bod o souřdnicích do předpisu funkce g: ; 4 skutečně leží n grfu funkce g i f, čkoliv v odě není funkce f definovná Touto úprvou jsme tedy dodefinovli přirozeným způsoem i funkci f v odě Dodefinovt funkci přirozeným způsoem znmená dodefinovt jí tk, pokud je to možné, ychom získli spojitou funkci (viz odstvec 3) Limitu je tře chápt jko jkousi náhržku funkční hodnoty v dném odě: nejde-li funkční hodnot spočítt přímo, podíváme se, jk se chovjí funkční hodnoty v okolí prolemtického odu, dodefinujeme funkční hodnotu tk, y dodefinovný od n grfu funkce nevyčuhovl Limit v odě or Nyní následuje několik definic, které jsou nezytné pro mtemtické zvedení pojmu limit N úrovni střední školy nejsou zdlek všechny potře, jsou zde uvedeny pouze pro úplnost O KOLÍ BODU SE NAZÝVÁ OTEVŘENÝ INTERVAL ;, KDE JE KLADNÉ REÁLNÉ Č ÍSLO Č ÍSLO SE NAZÝVÁ STŘ ED OKOLÍ, Č ÍSLO POLOMĚ R OKOLÍ O KOLÍ BODU O POLOMĚRU SE ZNAČ Í U, Někdy se též používá název -okolí odu Do množiny U, ptří všechn reálná čísl, která vyhovují nerovnostem, tj menší než Do množiny U, tedy ptří všechny ody n reálné ose, jejichž vzdálenost od dného odu je L EVÉ OKOLÍ BODU SE NAZÝVÁ POLOUZAVŘENÝ INTERVAL ;, KDE JE KLADNÉ REÁLNÉ Č ÍSLO Levé okolí odu tvoří tedy všechn reálná čísl, která vyhovují nerovnostem Jsou to tedy všechn reálná čísl, která leží n reálné ose vlevo od odu ve vzdálenosti nejvýše P RAVÉ OKOLÍ BODU SE NAZÝVÁ POLOUZAVŘENÝ INTERVAL ;, KDE JE KLADNÉ REÁLNÉ Č ÍSLO Prvé okolí odu tvoří tedy všechn reálná čísl, která vyhovují nerovnostem Do prvého okolí odu tedy ptří všechn reálná ležící vprvo od odu ve vzdálenosti nejvýše 6
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 ; ;, TJ MNOŽINA P RSTENCOVÉ OKOLÍ BODU SE NAZÝVÁ MNOŽINA, U Tuto množinu tvoří všechn reálná čísl, která vyhovují nerovnostem neo, tj 0 Prstencové okolí dného odu je tedy normální okolí odu, ze kterého vynecháme od Nyní můžeme definovt limitu funkce v odě F UNKCE f MÁ V BODĚ LIMITU L, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU OKOLÍ BODU L EXISTUJE PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU TAK, ŽE PRO VŠECHNA Z TOHOTO PRSTENCOVÉHO OKOLÍ BODU NÁLEŽÍ FUNKČNÍ HODNOTY f ZVOLENÉMU OKOLÍ BODU L TUTO SKUTEČ NOST ZAPISUJEME VÝRAZEM lim f L S využitím mtemtické symoliky je možné definici přepst ve tvru: Funkce f má v odě limitu L, 0 0: U, f L právě tehdy když Zápis se čte: limit funkce f lim f L pro lížící se k je rovn L Osh právě uvedené definice je možné vysvětlit následujícím způsoem Pokud se podří uzvřít kolem odu L tkový intervl (pás), že pro kždou jeho šířku njdeme n ose tkové okolí odu, že pro všechny ody z tohoto okolí udou jejich funkční hodnoty ležet v intervlu kolem odu L, pk má dná funkce v odě limitu L Cílem není njít široký pás kolem udu L Nopk: snhou je pokusit se njít pás co možná nejužší, y ylo hledání intervlu n ose nmáhvější Je-li možné njít liovolně mlý pás kolem odu L (jeho šířk je ), k němuž lze njít n ose intervl kolem odu (šířk toho intervlu je ), pk dná funkce má limitu L v odě Pokud není možné oecně tkový pás njít, funkce v dném odě limitu nemá Snh njít liovolný intervl (tedy co nejužší intervl, neoť pro široké intervly jsou podmínky splněné snáze) odpovídá v definici limity předpokldu k liovolně zvolenému okolí odu L resp pro kždé kldné Jko příkld funkce, která má v odě limitu L, je možné uvést funkci n or 3 Pro jkkoliv široký pás v okolí odu L (pro všechn kldná ) jsme schopni njít intervl n ose (eistuje kldné číslo ) tkový, že funkční hodnoty všech odů z okolí odu (všechn z množiny ; ) leží v předem dném pásu kolem odu L (v intervlu L; L ) N or 4 je příkld funkce, která v odě sice má limitu, le t není rovn funkční hodnotě dné funkce Tto funkce tedy není v odě spojitá (viz odstvec 3) or 3 or 4 Zákldní vlstnosti limity funkce: Funkce f má v odě nejvýše jednu limitu U, : f g lim g Llim f : lim f lim g L (Rovnjí-li se dvě funkce v prstencovém okolí odu, v němž má nvíc jedn z funkcí limitu, má limitu i druhá funkce oě limity se rovnjí) 3 Jestliže pro všechn z množiny U, pltí f g h lim f lim h L, potom eistuje tké limit funkce g v odě pltí lim g 7 součsně Je to tzv vět o dvou policjtech - funkce f h svírjí funkci g jko dv policjti - viz or 5 4 Limit součtu dvou funkcí f lim f g lim f lim g L g je rovn součtu limit dných funkcí, tj pltí:
5 Limit součinu dvou funkcí f lim f g lim f lim g 6 Limit podílu dvou funkcí f f lim f funkcí, tj pltí: lim g lim g Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 g je rovn součinu limit dných funkcí, tj pltí: g, přičemž lim g 0, je rovn podílu limit dných Pro řdu mtemtických úloh, le i fyzikálních plikcí, je doré znát hodnotu této limity: sin lim lim 0 0sin sin Vzth lim lim lze interpretovt grficky Do téhož grfu sestrojíme grf funkce 0 0sin f : y sin grf funkce g : y Z grfu n or 6 je zřejmé, že pro v okolí odu 0 nývjí oě funkce téměř stejných hodnot To znmená, že podíl těchto funkcí v limitě pro jdoucí k nule je roven jedné Jednostrnná limit or 5 or 6 Uvžme grfy následujících funkcí: f : y, g : y sgn, h: y k: y sgn Jejich definiční oory jsou D f Dh 0 Dg Dk Jejich grfy jsou zorzeny n or 7 ž or 0 Tyto grfy jsou velmi podoné, le liší se definicí průěhem funkce v odě 0 lim f lim g, ztímco 0 lim h 0 lim k Pltí 0 0 neeistují Nicméně z orázků je vidět, že i funkce h k se v odě 0 přiližují k nějké hodnotě - závisí ovšem n tom, z jké strny se k nule udeme přiližovt: zd zlev neo zprv N zákldě toho je potom možné mluvit o jednostrnné limitě: funkce h (resp k) mjí v odě nule zlev jednostrnnou limitu, která je rovn -; funkce h (resp k) mjí v odě nule zprv jednostrnnou limitu, která je rovn or 7 or 8 8
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 or 9 or 0 Nyní vyslovíme definice jednostrnných limit F UNKCE f MÁ V BODĚ LIMITU L ZLEVA, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU OKOLÍ BODU L EXISTUJE LEVÉ OKOLÍ BODU TAK, ŽE PRO VŠECHNA Z TOHOTO LEVÉHO OKOLÍ BODU NÁLEŽÍ HODNOTY f ZVOLENÉMU OKOLÍ BODU L T UTO SKUTEČ NOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim f L S využitím mtemtické symoliky je možné právě uvedenou definici přepst ve tvru: lim f L 0 0 :, f L Jedná se tedy o nlogii ooustrnné limity (viz odstvec ), le v tomto přípdě se zjímáme pouze o ody od odu vlevo To znmená, že k odu se lížíme z olsti čísel, která jsou menší než od F UNKCE f MÁ V BODĚ LIMITU L ZPRAVA, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU OKOLÍ BODU L EXISTUJE PRAVÉ OKOLÍ BODU TAK, ŽE PRO VŠECHNA Z TOHOTO PRAVÉHO OKOLÍ BODU NÁLEŽÍ HODNOTY f ZVOLENÉMU OKOLÍ BODU L T UTO SKUTEČ NOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim f L S využitím mtemtické symoliky je možné právě uvedenou definici přepst ve tvru: lim f L 0 0 :, f L V tomto přípdě se tedy k odu lížíme zprv, tj z olsti čísel, která jsou větší než od N zákldě právě uvedených definic je možné určit podmínku pro eistenci limity funkce v zdném odě: L IMITA FUNKCE f V BODĚ EXISTUJE PRÁVĚ TEHDY, KDYŽ EXISTUJÍ V BODĚ LIMITA ZPRAVA A LIMITA ZLEVA A TYTO LIMITY JSOU SI ROVNY P OTOM SE LIMITA FUNKCE f V BODĚ ROVNÁ SPOLEČNÉ HODNOTĚ LIMIT ZLEVA A ZPRAVA Pokud jedn z jednostrnných limit zlev neo zprv neeistuje neo tyto jednostrnné limity jsou nvzájem různé, ooustrnná limit (tj normální limit ) v dném odě neeistuje 3 Nevlstní limity funkce v odě Až dosud ylo výsledkem počítání limity vždy reálné číslo, tj číslo z intervlu ; Jsou le funkce, které doshují v solutní hodnotě velkých funkčních hodnot tedy limity v dných odech udou růst nde všechny meze Tkovým limitám se říká nevlstní limity F UNKCE f MÁ V BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU Č ÍSLU K EXISTUJE PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU TAK, ŽE PRO VŠECHNA Z TOHOTO PRSTENCOVÉHO OKOLÍ BODU JE ZÁPISEM lim f f K T UTO SKUTEČNOST ZAPISUJEME Stručný zápis definice: lim 0 :, f K U f K Příkld: Nevlstní limitu mjí npř funkce: f : y 3 v odě 3, g: y 5 4 v odě -5, Funkce tedy v dném odě uteče do nekonečn - funkční hodnoty udou při přiližování se k dnému odu stále růst F UNKCE f MÁ V BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU Č ÍSLU K EXISTUJE PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU TAK, ŽE PRO VŠECHNA Z 9
TOHOTO PRSTENCOVÉHO OKOLÍ BODU JE ZÁPISEM lim f Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 f K T UTO SKUTEČNOST ZAPISUJEME Stručný zápis definice: lim 0 :, f K U f K Příkld: Nevlstní limitu mjí npř funkce: h: y ln v odě 0, f : y v odě -, g: y v odě 0, 8 Funkční hodnoty udou při přiližování se k dnému odu tentokráte utíkt do velmi mlých hodnot (tj do záporných hodnot, jejichž solutní hodnot je velká) F UNKCE ZVOLENÉMU Č ÍSLU f MÁ V BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU ZLEVA, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ K EXISTUJE LEVÉ PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU TAK, ŽE PRO T UTO VŠECHNA Z TOHOTO LEVÉHO PRSTENCOVÉHO OKOLÍ BODU JE f K SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim f Stručný zápis definice: lim 0 :, f K f K Příkld: Nevlstní limitu v dném odě zlev mjí npř funkce: f : y 4 v odě -4, g : y log v odě 0, h: y tg v odě, F UNKCE f MÁ V BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU ZPRAVA, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU Č ÍSLU K EXISTUJE PRAVÉ PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU TAK, ŽE PRO T UTO VŠECHNA Z TOHOTO PRAVÉHO PRSTENCOVÉHO OKOLÍ BODU JE f K SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim f Stručný zápis definice: lim 0 :, f K f K Příkld: Nevlstní limitu v dném odě zprv mjí npř funkce: f : y log v odě, h: y cotg v odě 0, f : y 4 v odě -4, F UNKCE f MÁ V BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU ZLEVA, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU Č ÍSLU K EXISTUJE LEVÉ PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU TAK, ŽE PRO T UTO VŠECHNA Z TOHOTO LEVÉHO PRSTENCOVÉHO OKOLÍ BODU JE f K SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim f Stručný zápis definice: lim 0 :, f K f K Příkld: Nevlstní limitu v dném odě zlev mjí npř funkce: g: y log v odě, h: y cotg v odě, f : y 4 v odě -4, F UNKCE f MÁ V BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU ZPRAVA, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU Č ÍSLU K EXISTUJE PRAVÉ PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU TAK, ŽE PRO T UTO VŠECHNA Z TOHOTO PRAVÉHO PRSTENCOVÉHO OKOLÍ BODU JE f K SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim f Stručný zápis definice: lim 0 :, f K f K Příkld: Nevlstní limitu v dném odě zprv mjí npř funkce: g: y log 3 v odě -3, h: y tg v odě 3, f : y 4 v odě -4, 0
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 4 Limit funkce v nevlstním odě Ztím jsme definovli vlstní i nevlstní limity v liovolném odě z intervlu ; Je možné le vyšetřovt funkční hodnoty funkce v krjích odech uvedeného intervlu ; Tj je možné vyšetřovt i limity v odech Tkovým limitám říkáme limit v nevlstním odě Limit v nevlstním odě přitom může ýt vlstní i nevlstní F UNKCE f MÁ V NEVLASTNÍM BODĚ VLASTNÍ LIMITU L, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU KLADNÉMU Č ÍSLU EXISTUJE TAKOVÝ BOD 0, ŽE PRO VŠECHNA 0 PATŘÍ FUNKČNÍ HODNOTY f DO INTERVALU L; L T UTO SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim f L Stručný zápis definice: lim 0 : f L f L 0 0 Příkld: Vlstní limitu v nevlstním odě mjí npř funkce: lim g 3, f : y f lim 0, g: y 3 F UNKCE f MÁ V NEVLASTNÍM BODĚ VLASTNÍ LIMITU L, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU KLADNÉMU Č ÍSLU EXISTUJE TAKOVÝ BOD 0, ŽE PRO VŠECHNA 0 PATŘÍ FUNKČNÍ HODNOTY f DO INTERVALU L; L T UTO SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim f L Stručný zápis definice: lim 0 : f L f L 0 0 Příkld: Vlstní limitu v nevlstním odě mjí npř funkce: lim g 0, f : y lim f, g: 4 y F UNKCE f MÁ V NEVLASTNÍM BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU KLADNÉMU Č ÍSLU K EXISTUJE TAKOVÝ BOD 0, ŽE PRO f K lim f VŠECHNA 0 PLATÍ TUTO SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM Stručný zápis definice: lim : f K f K 0 0 Příkld: Nevlstní limitu v nevlstním odě mjí npř funkce: f : y ln, g : y 3, F UNKCE f MÁ V NEVLASTNÍM BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU KLADNÉMU Č ÍSLU K EXISTUJE TAKOVÝ BOD 0, ŽE PRO f K lim f VŠECHNA 0 PLATÍ TUTO SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM Stručný zápis definice: lim : f K f K 0 0 Příkld: Nevlstní limitu v nevlstním odě mjí npř funkce: 3 f : y, g: y 3, F UNKCE f MÁ V NEVLASTNÍM BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU KLADNÉMU Č ÍSLU K EXISTUJE TAKOVÝ BOD 0, ŽE PRO f K lim f VŠECHNA 0 PLATÍ TUTO SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM Stručný zápis definice: lim : f K f K 0 0 Příkld: Nevlstní limitu v nevlstním odě mjí npř funkce: f : y, 3 g : y, F UNKCE f MÁ V NEVLASTNÍM BODĚ NEVLASTNÍ LIMITU, JESTLIŽE K LIBOVOLNĚ ZVOLENÉMU KLADNÉMU Č ÍSLU K EXISTUJE TAKOVÝ BOD 0, ŽE PRO f K T UTO SKUTEČNOST ZAPISUJEME ZÁPISEM VŠECHNA 0 lim f PLATÍ
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 lim f K : f K Stručný zápis definice: 0 0 Příkld: Nevlstní limitu v nevlstním odě mjí npř funkce: f : y, g: y 5, Neurčité výrzy Při výpočtu limit se můžeme čsto setkt s tzv neurčitými výrzy Název neurčitý výrz zde není zcel přesně n místě, protože limit je definován přesně korektně není n ní nic neurčitého Název je le ntolik vžitý, že nemá smysl ho měnit Neurčité výrzy, tedy výrzy, které není možné počítt přímým výpočtem, jsou tyto výrzy: 0 0,, 0,,, 0, 0 0 Limity, v nichž se vyskytnou neurčité výrzy, je nutné počítt s využitím nějké fintou (rozšířením, zkrácením prolemtického členu, ) Vlstnosti limit - npř počítání s limitmi (limit součtu, limit rozdílu, ), které yly uvedeny pro vlstní limity ve vlstních odech v odstvci, pltí i pro nevlstní limity v nevlstních odech, pouze s výjimkou neurčitých výrzů 3 Důležité limity Některé limity se vyskytují při výpočtu složitějších úloh velmi čsto proto je vhodné je umět rychle správně plikovt Hodnoty těchto limit je v některých přípdech tké vyčíst z grfu dné funkce Hodnoty limit v nevlstních odech (tj limity pro lížící se k ) je možné intuitivně uhodnout, pokud doře známe průěh grfu dné funkce Místo se líží k si lze říct pro hodně velká resp hodně velká záporná Anlogicky lze u limit pro lížící se k nule používt zjednodušení pro mličká Důležité limity tedy jsou: lim lim 0 pro 0; lim pro ; lim 0 lim sin neeistuje lim tg 0 lim lim 0 0 lim 0 lim lim sin neeistuje lim tg lim log lim log 0 n lim 0 ; n lim cos neeistuje lim cotg 0 sin tg lim lim e lim 0 0 0 Při výpočtu limit je vždy doporučeno postupovt dle následujícího postupu: lim log lim log lim neeistuje 0 lim cos neeistuje lim cotg 0 ln lim limit ve vlstním odě - vede-li výpočet po doszení příslušného k neurčitému výrzu 0 0, je nutné pomocí lgerických úprv výrz v čitteli i ve jmenovteli vyjádřit jko součin několik činitelů, z nichž jeden je ten, který způsouje výsledný součin nulový - tj činitel Krácením zlomku tímto činitelem, oejdeme neurčitý výrz Skutečnost, že krátit jde, nás nemusí překvpovt V definici limit se vždy ojevuje prstencové okolí příslušného odu Pozor! I limit ve vlstním odě může ýt nevlstní, tj může vyjít Prstencové okolí odu znmená, že jsme stršlivě lízko odu, le nikdy ne přímo v něm Proto můžeme činitelem celý zlomek dělit limit v nevlstním odě - neoshuje-li zdání úlohy zlomek, je možné přímo dopočítt dnou limitu Je-li zdání ve formě zlomku, pk se doporučuje v čitteli i jmenovteli vytknout nejvyšší mocninu neznámé (v čitteli jmenovteli přitom není nutné vytýkt tutéž mocninu) Po vytknutí je možné ve zlomku krátit poté již opět limitu dopočítt V přípdě výpočtu limit v nevlstním odě není možné doszovt přímo znk pro nekonečno, le je možné doszovt pouze v hlvě stršně velká čísl Příkld: Vypočtěte lim 4 6 6 44 9 0
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 Řešení: Zdná limit je typu 0, tedy jeden z neurčitých výrzů Postupnými lgerickými úprvmi proto 0 uprvíme zdnou limitu do tvru, do kterého je možné dosdit: 4 4 48 4 6 6 3 4 4 3 4 lim lim lim 44 9 3 3 3 3 lim 3 3 3 Doszovt do zdné funkce konkrétní od, ve kterém limitu počítáme, je možné ž poté, co jsme odstrnili neurčité výrzy Jkmile dosdíme konkrétní od, nepíšeme již před funkci lim 3 46 Příkld: Vypočtěte lim 4 5 4 Řešení: Přesně podle výše uvedeného návodu dostneme: 4 6 4 6 46 000 lim lim lim 0 5 4 5 4 lim 0 0 3 3 4 5 4 4 4 4 Z tohoto příkldu je vidět, že u výpočtu limity podílu dvou polynomů v nevlstním odě závisí výsledek pouze n stupni polynomu v čitteli stupni polynomu ve jmenovteli 4 Užití limity funkce 4 Asymptoty grfu funkce Pojem symptot yl uveden při proírání učiv o hyperole, jkožto zvláštní přípd přímky, která nemá s hyperolou žádný společný žádný od S symptotmi se le setkáváme v mtemtice nejen u hyperol (což oecně nemusí ýt funkce), le i u funkcí: lineárně lomená (rovnoosá hyperol), eponenciální, logritmická, funkce tngens kotngens, Později uvidíme, že znlost symptoty funkce je velmi důležitá pro správné sestrojení grfu funkce: vlstnosti funkce v nevlstních odech v okolí odů, v nichž funkce není definovná, velmi úzce souvisí s symptotmi funkce Jsou pochopitelně i funkce, které symptoty nemjí (sinus, kosinus, kvdrtická funkce, ) Eistují dv druhy symptot: symptoty se směrnicí - jsou to přímky, které mjí rovnici y, kde 0,, jsou to symptoty funkce v nevlstních odech; symptoty ez směrnice - jsou přímky ve tvru c, kde c, jsou to symptoty funkce v tkových odech c, v nichž není funkce definován 4 ASYMPTOTY SE SMĚRNICÍ Ilustrční příkld: V nlytické geometrii kvdrtických útvrů v rovině yl prorán hyperol Uvžme nyní y hyperolu Jedná se hyperolu, která má střed v počátku soustvy souřdnic jejíž hlvní os je 9 6 totožná s osou y (viz or ) N zákldě znlosti z nlytické geometrie víme, že tto hyperol má dvě 4 symptoty dné rovnicemi: y 3 JESTLIŽE RESP Jde tedy o příkld symptot se směrnicí, přestože UVEDENÁ HYPERBOLA NENÍ FUNKCE P Ř ÍMKA y SE NAZÝVÁ ASYMPTOTA SE SMĚRNICÍ GRAFU FUNKCE f, lim f 0 () lim f 0 () Definice plně odpovídá intuitivní předstvě, že symptot je přímk, která nemá s grfem funkce společný žádný od, pouze se ke grfu přimykává dotkne se ho ž v nekonečnu 3
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 Předstvíme-li si pohy dvou mrvenců, z nichž jeden půjde do nekonečn po hyperole zorzené n or druhý půjde do nekonečně po její symptotě, půjdou od jistého odu téměř po stejné čáře - po symptotě Výpočet koeficientů, které určují příslušnou symptotu, je možné provést n zákldě definice symptoty úprvou definičního vzthu npř () Pokud totiž pltí vzth (), tím spíše ude pltit f (3) lim 0 Vydělíme-li velkým číslem výrz, který se rovnl nule, ude výsledek opět nulový or f f f Vzth (3) je možné dále uprvit: 0 lim lim lim 0 Odtud sndnou lgerickou úprvou získáme f (4) lim Podoným způsoem je možné nyní odvodit ze vthu () vzth pro výpočet koeficientu : f (5) lim Anlogicky lze odvodit příslušné vzthy pro koeficienty symptoty z definičního vzthu () symptoty Vyjdou nlogické vzthy jen místo limity v nevlstním odě udeme počítt tytéž vzthy v nevlstním odě Asymptot vycházející z definičního vzthu () symptot vycházející z definičního vzthu () nejsou oecně stejné symptoty FUNKCE V Ě TA: P Ř ÍMKA POPSANÁ ROVNICÍ y JE ASYMPTOTOU SE SMĚRNICÍ GRAFU f PRÁVĚ TEHDY, KDYŽ EXISTUJÍ LIMITY f lim A lim f 4 f lim A lim f RESP Asymptot není oecně přímk, která se pouze přiližuje ke grfu funkce, le nikde jí neprotne Asymptot může grf funkce protnout ve vlstním odě - pro symptotu je důležité, jk se chová v nevlstních odech 4 ASYMPTOTY BEZ SMĚRNICE Asymptoty ez směrnice jsou přímky rovnoěžné s osou y, které neprotínjí grf funkce Pokud y symptot ez směrnice protínl křivku v grfu, pk y tto křivk neyl grfickým vyjádřením funkce
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 Asymptot ez směrnice NESMÍ PROTNOUT GRAF FUNKCE V ŽÁDNÉM BODĚ Asymptot se směrnicí (viz odstvec 4) může grf funkce protnout ve vlstním odě - v nevlstním odě se k němu pk jen přiližuje N ECHŤ JE FUNKCE f DEFINOVÁNA V PRSTENCOVÉM OKOLÍ BODU c ( TJ V ) P Ř ÍMKA DANÁ ROVNICÍ c SE NAZÝVÁ ASYMPTOTA BEZ SMĚRNICE GRAFU FUNKCE f, PRÁVĚ TEHDY, KDYŽ MÁ FUNKCE f V BODĚ c ASPOŇ MNOŽINĚ Uc, c JEDNU JEDNOSTRANNOU NEVLASTNÍ LIMITU Ve shodě s definicí hledáme symptoty ez směrnice u funkcí, u kterých eistují ody, v nichž není dná funkce definovná V jiných odech symptot ez směrnice neeistuje Proto stčí vyšetřovt jednostrnné limity pouze v odech, v nichž není dná funkce definován Asymptotu ez směrnice má npř funkce f : y 3 je v tomto přípdě rovn nule) je přímk y 3 - viz or v odě Asymptotou se směrnicí (která 4 Tečn grfu funkce or V nlytické geometrii yl prorán kružnice její vzájemná poloh s přímkou Jednou z možných poloh přímky kružnice yl tečn ke kružnici, která yl definován jko přímk, která má s kružnicí společný právě jeden od (od dotyku T) která je kolmá n spojnici středu tohoto dotykového odu T Prochází-li přímk dvěm různými ody T A kružnice, jedná se o sečnu Čím líže zvolíme od A k odu T, tím méně se liší poloh sečny TA od tečny t kružnice v odě T Říkáme, že tečn t je mezní (limitní) polohou sečny TA, lížíli se od A po kružnici k odu T (viz or 3) or 3 Při hledání tečny v dném odě funkce f ude postup nlogický s tím, že využijeme znlost limit pro nlezení mezního přípdu sečny grfu funkce, tj nlezení tečny Vyšetřování tečny k dné křivce (resp ke grfu funkce f) má velké použití v plikčních předmětech (fyzik, mechnik, elektrotechnik, ): pomocí tečny lze linerizovt tkové průěhy závislostí fyzikálních veličin, které podle teorie lineární ýt mjí Při měření pk vznikjí vždy různé chyy, které lineritu závislosti porušují Přesto je le vhodné nlézt lineární průěh tkových závislostí A při hledání této linerizovné závislosti je očs výše uvedený postup vhodný 5
Pokud chceme npst rovnici tečny t ve tvru Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 y k q (6) v odě T ; y funkce f, zvolíme n grfu funkce f ještě jeden od A ; y y 0 0 0 0 (viz or 4) Body A T je určen přímk p, která je sečnou grfu funkce f Chceme-li npst tečnu grfu funkce v odě T, stčí si uvědomit, že pro zmenšující se přírůstek -ové souřdnice (tj pro přípd 0 ) se od A přiližuje k odu T tudíž se sečn p líží tečně t Při výkldu směrnice přímky (nlytická geometrie lineárních útvrů v rovině), jsme zjistili, že směrnici k přímky lze vypočítt n zákldě následující úvhy: Nechť dv různé ody A A; ya B B; yb leží n přímce p, jejíž rovnice má směrnicový tvr (6) (viz or 5) Pro souřdnice uvedených odů podle rovnice (6) pltí: ya ka q yb kb q Dostáváme tedy soustvu dvou rovnic pro neznámé k q Po provedených úprvách pro směrnici k dostáváme: yb ya y k (7) Směrnici k jsme tedy vyjádřili pomocí rozdílu souřdnic dvou odů, které n dné přímce leží B A or 5 or 4 Anlogicky je možné postupovt v přípdě, že chceme nlézt směrnici tečny grfu funkce n or 4 Směrnici k t tečny t tedy můžeme určit jko limitní přípd směrnice k s sečny (přímk p), tj musí pltit: k lim k (8) t 6 0 Přitom n zákldě právě připomenuté znlosti o směrnici přímky je možné směrnici y0 yy0 y podle vzthu (7): ks Dostneme tedy: 0 0 k t lim k s 0 0 s lim k s psát ve tvru y (9) Přeznčíme-li souřdnice odů T A z or 4 n souřdnice T ; f A ; f možné psát vzth (9) ve tvru 0 0 y f f 0 f f 0 kt lim lim lim 0 0 0 0 Nyní je už možné npst rovnici tečny v odě T 0; y0 víme, že n této tečně leží kromě odu T ještě liovolný od X ; y y y0 kt Rovnici tečny t tedy můžeme psát ve tvru y y k Je-li křivk grfem funkce 0 tedy 0 t 0 t 0 0, je (0), neoť máme k dispozici její směrnici k t, jehož souřdnice musí splňovt vzth () y k y () y f eistuje-li v odě 0 vlstní limit (0), pk tečn křivky v odě T 0; y0 je přímk dná rovnicí () S využitím derivce funkce lze npst rovnici tečny ke grfu dné funkce pohodlněji (viz odstvec 4) 3 Spojitost funkce Mezi všemi funkcemi, s nimiž se postupně seznmujeme, mjí velký význm funkce spojité Zhru řečeno, spojitá funkce je funkce, jejíž grf lze nkreslit jedním them Při kreslení dné funkce n jejím definičním ooru tedy nesmíme zvednout tužku od ppíru (křídu resp fiu od tule, ) - musíme grf nkreslit jedním them
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 Toto intuitivní tvrzení se le opírá o geometrickou předstvu, která není u všech funkcí přístupná resp použitelná Proto je tře tento intuitivní náhled zpřesnit tk, jk se o to snžili mtemtikové ěhem historického vývoje mtemtiky 3 Spojitost v odě v intervlu F UNKCE f SE NAZÝVÁ SPOJITÁ V BODĚ, JESTLIŽE JSOU SOUČASNĚ SPLNĚNY TYTO PODMÍNKY: FUNKCE f JE V BODĚ DEFINOVANÁ; lim f ; EXISTUJE VLASTNÍ LIMITA 3 FUNKČNÍ HODNOTA V BODĚ JE ROVNA VLASTNÍ LIMITĚ V TOMTO BODĚ, TJ f lim f Bod v uvedené definici mluví o eistenci limity, tedy v dném odě musí eistovt ooustrnná vlstní limit Tk jko jednostrnné limity (viz odstvec ) překrčují většinou ěžné učivo středoškolské mtemtiky, tk i následující definice spojitosti funkce v dném odě zprv resp zlev nejsou předmětem ěžného středoškolského kurzu mtemtiky F UNKCE f SE NAZÝVÁ SPOJITÁ ZPRAVA ( RESP ZLEVA) V BODĚ, JESTLIŽE JSOU SOUČASNĚ SPLNĚNY TYTO PODMÍNKY: FUNKCE f JE V BODĚ DEFINOVANÁ; lim f lim f ); EXISTUJE VLASTNÍ JEDNOSTRANNÁ LIMITA ( RESP 3 FUNKČNÍ HODNOTA V BODĚ JE ROVNA VLASTNÍ JEDNOSTRANNÉ LIMITĚ V TOMTO f lim f f lim f ) BODĚ, TJ (RESP or 6 or 7 or 8 or 9 Máme-li ndefinovnou spojitost funkce v odě, můžeme definici rozšířit n otevřený intervl F UNKCE f JE SPOJITÁ V OTEVŘENÉM INTERVALU ; BODĚ TOHOTO INTERVALU V uzvřeném intervlu lze spojitost funkce definovt tké, JE- LI SPOJITÁ V KAŽDÉM 7
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 F UNKCE f JE SPOJITÁ V UZAVŘENÉM INTERVALU, ; JE-LI SPOJITÁ V OTEVŘENÉM INTERVALU ZLEVA ; A V BODĚ JE SPOJITÁ ZPRAVA A V BODĚ JE SPOJITÁ N or 6 je znázorněn grf funkce f : y sgn, která je příkldem funkce nespojité v jednom odě - v odě 0 Funkce g: y 4, jejíž grf je zorzen n or 7, má definiční oor Dg 4; je tedy spojitá ve všech odech otevřeného intervlu 4; V odě 4 je spojitá pouze zprv, neoť v levém okolí odu 4 není funkce g definován Anlogická je situce u funkce h: y 4, jejíž definiční oor je Dh ;4 jejíž grf je zorzen n or 8 Tto funkce je spojitá ve všech odech otevřeného intervlu ;4 v odě 4 je spojitá jen zlev Funkce, které nejsou spojité, nemjí le ody nespojitosti vždy stejného druhu Eistují funkce, které nejsou v určitém odě spojité (protože v dném odě npř nejsou definovány), le které je možné dodefinovt tk, y v dném odě tedy i n svém definičním ooru (resp n množině reálných čísel) spojité yly Tkovou funkcí je npř funkce m: y, jejíž definiční oor je D f N tomto definičním ooru je možné le předpis funkce m uprvit do tvru: Získná funkce n: y má sice stejný definiční oor jko funkce m, le je možné ji v kritickém odě dodefinovt přirozeným způsoem: n Získli jsme tk spojitou funkci, jejíž grf je n or 9 N rozdíl od toho npř funkci f : y sgn (jejíž grf je n or 6) nelze žádným způsoem dodefinovt tk, y yl spojitá Dlší příkldy funkcí, které nelze dodefinovt v odech nespojitosti tk, y yly v těchto odech spojité, jsou zorzeny n or 0 or V Ě TA: V ŠECHNY ELEMENTÁRNÍ FUNKCE JSOU SPOJITÉ VE SVÝCH DEFINIČNÍCH OBORECH To znmená, že jsou spojité polynomické funkce, goniometrické funkce, eponenciální funkce, mocninné funkce, logritmické funkce, (viz odstvec ) or 0 or 3 Spojité funkce n uzvřených intervlech Zvláštní pozornost je věnován v mtemtické nlýze spojitým funkcím n uzvřených intervlech Spojité funkce totiž mjí tkové vlstnosti, n zákldě kterých se s nimi snáze prcuje Pokud se omezíme n uzvřený intervl, mjí spojité funkce n tomto intervlu mimum minimum, což je výhodné zejmén pro plikce mtemtiky W EIERSTRASSOVA VĚ TA: J E-LI FUNKCE f SPOJITÁ V UZAVŘENÉM INTERVALU, ; EXISTUJE ALESPOŇ JEDEN TAKOVÝ BOD ; ALESPOŇ JEDEN TAKOVÝ BOD ;, ŽE ; : f f, ŽE ; : f f intervlu lespoň v jednom odě svého mim lespoň v jednom odě minim 8, A Uvedenou větu lze formulovt tké tk, že funkce spojitá v uzvřeném intervlu ; nývá v tomto
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 I kdyy se jednlo npř o lineární funkci, která n svém definičním ooru (reálná čísl) nemá mimum ni minimum, n uzvřeném intervlu etrémy má V tomto přípdě y mimum minimum funkce ylo v krjních odech uvžovného intervlu Proto je důležité, y se jednlo o UZAVŘENÝ intervl, do nějž krjní ody ptří Pro otevřený intervl uvedená vět nepltí Stejně tk je důležitý předpokld o spojitosti funkce Mimum minimum npř funkce f : y n intervlu ; neeistuje, protože v odě 0 má funkce f jednostrnné nevlstní limity (viz odstvec 3) - tj funkční hodnoty utíkjí do nekonečn neeistuje tedy nejvyšší resp nejnižší funkční hodnot OMEZENÁ V Ě TA: F UNKCE SPOJITÁ V UZAVŘENÉM INTERVALU ; JE V TOMTO INTERVALU Příkld: Omezené funkce jsou npř funkce: f : y cos v intervlu 3;, 3 3 ;, g : y v intervlu Ačkoliv je funkce g omezená jen zdol, pokud omezíme její vyšetřování n uzvřený intervl, omezíme tím i její průěh Proto je funkce g n uzvřeném intervlu omezená - přes nejvyšší funkční hodnotu n dném g 3 9) nás chování funkce prostě nezjímá intervlu (v tomto přípdě přes hodnotu B OLZANOVA - W EIERSTRASSOVA VĚ TA: J E-LI FUNKCE f SPOJITÁ V UZAVŘ ENÉM A JE-LI f f f A f, EXISTUJE ALESPOŇ JEDEN TAKOVÝ BOD c ; INTERVALU ; Č ÍSLY f c K, POTOM KE KAŽDÉMU Č ÍSLU K, KTERÉ LEŽÍ MEZI, ŽE PLATÍ Uvedené větě se někdy též říká vět o nývání mezihodnot, protože podle ní funkce f nývá všech hodnot mezi funkčními hodnotmi f f Pozor! Tto vět pltí pouze pro spojité funkce Pro prktické použití je le důležitý důsledek právě uvedené věty, n zákldě něhož je možné řešit řdu prolémů z olsti rovnic nerovnic D Ů SLEDEK B OLZANOVY - W EIERSTRASSOVY VĚ TY: J E-LI FUNKCE f SPOJITÁ V f A f RŮ ZNÁ ZNAMÉNKA ( TJ f f ), POTOM EXISTUJE ALESPOŇ JEDEN TAKOVÝ BOD c ;, PRO UZAVŘENÉM INTERVALU ; A MAJÍ-LI Č ÍSLA PLATÍ-LI 0 KTERÝ PLATÍ f c 0 Vět hovoří o eistenci lespoň jednoho odu, který má dné vlstnosti To znmená, že tento od může ýt jeden (viz or ) neo tkových odů může ýt více (viz or 3) Z orázků (i z uvedené věty) je ptrné, že funkce f mění v okolí odu c znménko, čehož se využívá při přiližném řešení rovnic nerovnic 4 Derivce funkce or or 3 Derivce funkce ptří spolu s limitmi k nejdůležitějším závěrům infinitezimálního počtu N zákldě derivce funkce je možné vyšetřovt nejen průěh funkcí v mtemtice (viz odstvec 7), le i řešit řdu příkldů z technické pre Derivce totiž umožňuje popst průěh veličin, které se mění v závislosti n jiných veličinách (npř uržená dráh v závislosti n čse - viz odstvec 4) 4 Fyzikální význm derivce V odstvci 4 jsme v souvislosti s určením rovnice tečny grfu funkce v jejím odě T 0; y0 vyšetřovli limitu (0) Tuto limitu jsme psli ve tvru y f 0 f 0 f f 0 (3) lim lim lim 0 0 0 0 Tto limit má geometrickou interpretci: udává směrnici tečny grfu funkce v jejím odě T ; y 0 0 9
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 S limitou ve tvru (3) je možné se setkt nejen v mtemtice, le i ve fyzice Uvžujme pohy hmotného s t uržené dráhy od okmžiku odu, u kterého udeme měřit čs t jeho pohyu zároveň sledovt závislost zčátku měření, tj od okmžiku t 0 s Grf závislosti uržené dráhy n čse je zorzen n or 4 Z čs urzil hmotný od dráhu délky t t t 0 s s t s t 0 N zákldě těchto údjů je možné určit velikost průměrné rychlosti v p v uvžovném čsovém intervlu t0; t0 t Dostneme v p s s t t s t s t s t t t tt 0 0 0 0 (4) or 4 Velikost průměrné rychlosti ude vypovídt o velikosti rychlosti v čse t 0 tím přesněji, čím menší ude přírůstek čsu t, n kterém pohy hmotného odu vyšetřujeme N zákldě znlostí limit tedy můžeme velikost okmžité rychlosti v v čse t 0 definovt vzthem s s t0 tst0 st st0 (5) v lim lim lim t t t t tt tt 0 0 0 0 Velikost okmžité rychlosti, kterou udává npř tchometr v utomoilu neo cyklocomputer při jízdě n kole, je vlstně velikost průměrné rychlosti měřené n velmi mlém čsovém ( tedy i dráhovém) intervlu U cyklocomputeru je to přímo vidět: velikost okmžité rychlosti je velikost průměrné rychlosti n dráze rovné ovodu předního kol, v jehož výpletu je umístěn snímč měřící velikost rychlosti Ve shodě s odstvcem 4 tedy můžeme říci, že velikost okmžité rychlosti pohyu hmotného odu v dném čse t 0 získáme jko směrnici tečny, kterou ychom v příslušném odě vedli ke grfu závislosti uržené dráhy n čse Srovnáme-li totiž vzthy (3) (5), je zřejmé, že jsou formálně stejné - liší se jen v názvech použitých funkcí proměnných y Jk je vidět, v právě uvedeném příkldu jsme prcovli s limitou typu lim, tj s limitou podílu 0 přírůstku funkce přírůstku nezávislé proměnné Tto limit postup z právě uvedeného příkldu o pohyu y hmotného odu mjí v mtemtice zásdní význm Proto má limit lim své vlstní oznčení název: 0 derivce funkce (viz odstvec 4) 4 Definice derivce N ECHŤ FUNKCE f JE DEFINOVANÁ V JISTÉM OKOLÍ BODU 0 EXISTUJE-LI LIMITA f 0 f 0 lim, NAZÝVÁME JI DERIVACÍ FUNKCE f V BODĚ 0 ZNAČÍ SE f 0 0 V definici se nemluví o tom, jestli musí eistovt vlstní neo nevlstní limit Důležité je, y limit vůec eistovl Derivce pk může ýt vlstní i nevlstní, i když s nevlstní derivcí se příliš čsto ve středoškolské mtemtice nesetkáme Vzhledem k tomu, že 0 je možné derivci funkce f psát ve tvru f 0 f 0 f f 0 y f0 lim lim lim (6) Symolem f 0 resp symolem y 0 0 0 0 0 se znčí derivce funkce f podle proměnné Vzhledem k tomu, že teorie funkcí v mtemtice prcuje téměř výhrdně s proměnnou, neylo y nutné dlší znčení zvádět Ale protože derivce je velmi důležitá operce s funkcemi pro plikční předměty, je 0
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 nutné si uvědomit, znát chápt dlší způsoy znčení derivce funkce Nprosto ektně správně y se měl df derivce funkce f v odě 0 podle proměnné znčit symolem 0 (resp d y ), který připomíná souvislost d d y derivce s podílem podle vzthu (6) Podronější vysvětlení je uvedeno v odstvci 5, v němž je definován diferenciál funkce Ve fyzice dlších plikčních předmětech se velmi čsto vyšetřují průěhy fyzikálních veličin v závislosti n čse (viz motivční příkld v odstvci 4) Proto se používá pro derivci dné fyzikální závislosti y pode čsu t zvláštní oznčení: d y y (nd příslušnou funkci se dělá tečk) dt Shrnuto: čárkou nd názvem funkce se znčí vždy derivce podle proměnné, tečkou nd názvem funkce se znčí vždy derivce podle čsu t V osttních přípdech (derivce funkce f podle náoje Q, podle elektrického proudu I, ) je nutné použít znčení pomocí zlomku (tj d f dq, d f di, ) Srovnáme-li definiční vzth derivce, tj vzth (6), se vzthem (0) pro směrnici tečny grfu funkce v T ; y z odstvce 4, zjistíme, že o výrzy jsou totožné N zákldě toho je tedy možné jejím odě 0 0 říci, že derivce funkce v odě T 0; y0 grfu funkce v jejím odě T ; y 0 0 je směrnicí tečny grfu funkce v uvedeném odě Rovnici tečny je možné n zákldě právě uvedeného psát ve tvru y y f, (7) 0 0 0 který je totožný se vzthem () Vzth (7) je le pro prktické použití výhodnější, neoť dává návod n výpočet směrnice tečny Směrnici tečny v dném odě určíme tk, že zdnou funkci zderivujeme do zderivovného vzthu dosdíme z konkrétní od 0, v němž tečnu máme nlézt Výpočet derivce lze provádět přímo s využitím definice derivce, tj s využitím vzthu (6) Příkld: Vypočtěte derivci funkce f : y v odě 0 D f Řešení: Vzhledem k tomu, že D f, udeme hledt derivci v odě 0 N zákldě definice derivce (vzth (6)) je možné psát: f f f 0 0 0 0 0 lim lim lim lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z 0 je možné volit liovolný od z definičního ooru, čímž dostneme hodnoty derivce v různých odech To znmená, že tečny sestrojené v různých odech grfu funkce f : y mjí různou směrnici (viz or 5) or 5 Podoným způsoem je možné odvodit ze znlostí výpočtu limit derivce liovolné funkce V rámci urychlení přehlednosti výpočtů le eistuje tulk předem vypočítných derivcí elementárních funkcí (viz odstvec 45) 43 Derivce vyšších řádů V příkldu n konci odstvce 4 yl vypočten n zákldě definice derivce funkce (šlo o funkci f : y D f Pokud le nemáme n mysli konkrétní od, v němž derivci vyšetřujeme, je ) v odě 0 možné vyjádřit derivci v liovolném odě D f psát (v tomto konkrétním přípdě) f derivci funkce v tomto tvru lze tedy nhlížet jko n funkci proměnné Bude-li mít funkce y f N opět
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 d y derivci (viz definice v odstvci 4), oznčíme ji y (resp y resp f resp ) nzýváme ji d druhou derivcí funkce y f d y Pozor! Symol je skutečně npsán doře dvojky jsou umístěné n správných místech d Anlogicky lze zvést třetí derivci funkce, čtvrtou derivci funkce, pátou derivci funkce, Pro prktické účely (vyšetřování průěhů funkcí, fyzikální technické plikce, ) všk většinou vystčíme se druhou derivcí funkce 44 Vlstnosti derivce Derivci v odě (viz odstvec ) lze rozšířit i n derivci n otevřeném intervlu F UNKCE f MÁ V OTEVŘENÉM INTERVALU ; DERIVACI, JESTLIŽE MÁ DERIVACI V KAŽDÉM VNITŘNÍM BODĚ TOHOTO INTERVALU, TJ V LIBOVOLNÉM BODĚ ; Definovt derivci v uzvřeném intervlu není nyní možné: v krjních odech uzvřeného intervlu neeistuje limit (ooustrnná limit), protože s odem do dného intervlu neptří i jeho okolí Bylo y možné mluvit o prvém okolí počátečního odu intervlu resp levém okolí koncového odu intervlu v těchto odech uvžovt jednostrnné limity jednostrnné derivce Spojitost funkce (viz odstvec 3) souvisí s limitou funkce (viz odstvec ) derivce yl definován pomocí limit, proto spolu souvisí derivce funkce spojitost funkce O tom mluví důležitá vět mtemtické nlýzy V Ě TA: MÁ-LI FUNKCE f V BODĚ D f Pozor!!! Orácená vět nepltí Tedy je-li funkce f v odě D f 0 DERIVACI, JE V TOMTO BODĚ SPOJITÁ 0 spojitá, nemusí mít v odě 0 derivci Jko příkld právě uvedeného tvrzení poslouží funkce f : y D f tto funkce je ve svém definičním ooru spojitá V odě 0 0 le nemá derivci Podle definice derivce pomocí vzthu (6) (viz odstvec 4) pro derivci v odě 0 0 pltí f 0 f 0 0 0 f 0 lim lim lim Tto limit le neeistuje, protože limit zlev 0 0 0 limit zprv se nerovnjí Pro limitu zlev totiž pltí lim lim pro limitu v tomtéž odě 0 0 zprv pltí lim lim 0 0 Neeistence derivce v dném odě znmená i to, že v dném odě nelze sestrojit tečnu k dnému grfu funkce Tečn je přímk, která nhrzuje v okolí dného odu grf funkce (tečn je přímk přilepená v dném odě ke grfu funkce ) V odě 0 n grfu funkce f : y (viz or 6) je le špičk tudíž tečnu nelze Její definiční oor je doře přilepit (n grfu funkce se viklá ) Oecně tedy tečn ( tedy i derivce) neeistuje v těch odech grfu funkce f, v nichž je sice funkce spojitá, le grf tvoří v dném odě špičku A to je přípd hlvně nulových odů solutních hodnot, které se vyskytnou v předpisu konkrétní funkce Dále je nutné dávt pozor n nulové ody rgumentů odmocnin - v nich je derivce tké prolemtická or 6 or 7 Proto se zvádí (nlogicky jko u limit) jednostrnné derivce
lim 0 Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 N ECHŤ FUNKCE f JE DEFINOVANÁ V JISTÉM OKOLÍ BODU 0 EXISTUJE-LI LIMITA f 0 f 0, NAZÝVÁME JI DERIVACÍ FUNKCE f V BODĚ 0 ZLEVA T ATO DERIVACE SE ZNAČ Í f 0 lim 0 N ECHŤ FUNKCE f JE DEFINOVANÁ V JISTÉM OKOLÍ BODU 0 EXISTUJE-LI LIMITA f f 0 0 DERIVACE SE ZNAČ Í f 0, NAZÝVÁME JI DERIVACÍ FUNKCE f V BODĚ 0 ZPRAVA T ATO Definice jednostrnných derivcí (stejně jko definice derivce v odstvci 4) požduje pouze eistenci jednostrnné limity Nepožduje, zd má ýt limit vlstní či nevlstní Podle toho pk ude i příslušná derivce funkce vlstní neo nevlstní Nevlstní jednostrnnou derivci má npř grf funkce g : y v odě 0 0 (viz or 7): tečn grfu v tomto odě je kolmá n osu Její směrnice je tedy nekonečná N zákldě jednostrnných derivcí je možné zvést derivci v uzvřeném intervlu (resp v polouzvřeném intervlu či v polootevřeném intervlu) F UNKCE f MÁ V UZAVŘENÉM INTERVALU ; DERIVACI, JESTLIŽE MÁ DERIVACI V KAŽDÉM BODĚ ; ZLEVA A V BODĚ MÁ DERIVACI ZPRAVA A V BODĚ MÁ DERIVACI 45 Derivce elementárních složených funkcí Jedním z předpokldů pro správné ( rychlé) využívání metod infinitezimálního počtu při řešení prktických úloh je dorá znlost derivce elementárních funkcí zákldní prvidl pro počítání derivcí K tomu slouží následující přehled funkcí jejich derivcí (viz t ) zákldních prvidel pro počítání s derivcemi, které je možné odvodit n zákldě definice derivce (viz vzth (6) v odstvci 4) V t jsou uvedeny elementární funkce, které mjí derivce ve svých definičních oorech V tulce jsou též u dných funkcí uvedeny jejich primitivní funkce, které jsou zvedeny vysvětleny v odstvci Funkce Derivce funkce Primitivní funkce y k ; k y 0 F k C ; C n y ( závisí n volě n) n y n y sin y cos y cos y sin y tg y cotg y e y n F C n cos sin y cos y sin y e y ln y ln y y log y ln t ; n ; C F C; C F C ; C F e C ; C F C ; C ln Hodnoty primitivních funkcí, které nejsou v t uvedeny, lze dopočítt se znlostmi z integrálního počtu (viz odstvec 3) je tedy zytečné se je učit zpměti N zákldě jistých prvidel (která je možné odvodit pomocí definice derivce neo pomocí vlstností limit) je možné též zvést derivci součtu dvou funkcí, derivci rozdílu dvou funkcí, derivci součinu dvou funkcí derivci podílu dvou funkcí 3
V Ě TA: J ESTLIŽE FUNKCE u A DERIVACI I SOUČ ET, ROZDÍL A SOUČ IN FUNKCÍ u v A A PLATÍ: Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 v MAJÍ DERIVACI V BODĚ 0, MÁ V BODĚ 0 u, u v uv, u v uv, u v u v u v u u v u v v v Dále je možné zvést derivci složené funkce (viz odstvec ) v A PRO v 0 TAKÉ PODÍL V Ě TA: J ESTLIŽE FUNKCE z g MÁ DERIVACI V BODĚ 0 y f z MÁ DERIVACI V BODĚ z0 g 0, MÁ SLOŽENÁ FUNKCE y f g BODĚ 0 A PLATÍ 0 0 0 f g f g g (8) (9) (0) () A JESTLIŽE FUNKCE DERIVACI V N první pohled vypdá návod n derivci složené funkce nepřehledně složitě, le složená funkce se derivuje tk, že se zderivuje funkce vnitřní násoí se derivcí funkce vnější Stejným způsoem se postupuje, je-li funkce složen z více funkcí Pro názornost konkrétní příkld Příkld: Určete derivci funkce h: y sin Řešení: Podle vzthu () můžeme psát: 5 ***Diferenciál funkce 3 3 sin 3sin cos 6sin cos 3 derivce sin derivce derivce Předpokládejme, že máme funkci f, jejíž grf je n or 8 Otázkou je, jk se změní hodnot funkce, přejdeme-li z odu do odu h Pokusíme se zjistit, zd přírůstek funkce f h f není pro mlé hodnoty h přiližně úměrný číslu h Jinými slovy, zd eistuje číslo A (nezávislé n h) tkové, y chy, které se dopustíme, nhrdíme-li rozdíl f h f číslem A h, yl mlá Mlá chy přitom znmená, y chy yl pro mlé hodnoty h (resp h ) podsttně menší než h (resp h ) Pro přírůstek funkce f v odech h má tedy pltit f h f Ah h chy, které se při výpočtu dopouštíme, kde h () je To znmená, že funkční hodnotu v odě h nhrzujeme hodnotou určenou pomocí tečny t sestrojené ke grfu funkce f v odě (viz or 8) Ř EKNEME, ŽE FUNKCE f MÁ V BODĚ TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL, POKUD EXISTUJE A TAK, ŽE A PŘ ITOM f h f Ah h (3) h0 h lim 0 h Pokud tkové číslo A eistuje, nzývá se výrz A h totální diferenciál h Limit lim 0 vyjdřuje fkt, že chy určení funkční hodnoty v odě h pomocí tečny t (viz h0 h or 8) je mlá (4) 4
Diferenciální integrální počet, Jroslv Reichl, 00 Je otázkou, kdy totální diferenciál ve zvoleném odě eistuje Lze vyjít z definice (3) (4) totálního f h f Ah diferenciálu Dosdíme-li do limity (4) z výrzu (3), dostneme lim 0 po úprvě h0 h f h f máme lim A 0 Odtud vyjádříme h0 h f h f A lim h0 h Limit ve výrzu (5) je nlogická jko limit ve výrzu (6), pomocí něhož je v odstvci 4 definován derivce funkce Proto můžeme psát A f (6) Vzhledem k tomu, že A, musí ýt derivce funkce v dném odě vlstní, y v tomto odě eistovl diferenciál Do množiny reálných čísel totiž nevlstní čísl neptří (5) V Ě TA: F UNKCE FUNKCE f V BODĚ VLASTNÍ DERIVACI or 8 f MÁ V BODĚ TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL PRÁVĚ TEHDY, KDYŽ MÁ Diferenciál funkce f v odě je tedy výrz f h V liovolném odě funkce f ude diferenciál roven f h má-li výrz n prvé strně smysl znčí se df Lze tedy psát d f f h, (7) Výrz n prvé strně uvedené rovnosti neude mít smysl, pokud ude derivce nevlstní neo ude výpočet vycházet z neurčitých výrzů (viz odstvec ) Pro funkci f je f proto df d h h nezávislé proměnné Pro diferenciál liovolné funkce tk lze psát d Výrz d se nzývá diferenciál f f d Odtud je zřejmé, že derivci funkce lze chápt jko podíl diferenciálu funkce diferenciálu nezávislé proměnné, tj df (8) f d Pojem diferenciál funkce hrje podsttnou roli zejmén u funkcí více proměnných 5