Parametrický popis křivek Jan Suchomel Smíchovská střední průmslová škola Maturitní práce 013/014 Garant: Mgr. Zbšek Nechanický Konzultanti: RNDr. Alena Rbáková a RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D.
Obsah 1 Kuželosečk 1.1 Kružnice..................................... 3 1. Parabola..................................... 10 1.3 Elipsa...................................... 1.4 Hperbola.................................... 30 Další rovinné křivk 39 3 Šroubovice 45 4 Další prostorové křivk 59 5 Příklad na procvičení 7 5.1 Výsledk..................................... 73 6 Křivk v prai 78 1
1. Kuželosečk Kuželosečk nazýváme také kvadratické křivk, nebot mohou být popsáný pomocí kvadratického polnomu dvou proměnných a. Obecná rovnice kuželosečk je A + B + C + D + E + F = 0 (alespoň jedno z čísel A, B, E je nenulové). Takto mohou být popsán regulární kuželosečk (kružnice, elipsa, parabola, hperbola) i singulární kuželosečk (jeden bod, jedna přímka, dvě různoběžné přímk, dvě rovnoběžné přímk) a prázdná množina. Jsou-li os regulárních kuželoseček rovnoběžné se souřadnicovými osami soustav souřadné (O,, ), v obecné rovnici se nevsktuje člen E, tj. E = 0. V dalším tetu se budeme zabývat výhradně regulárními kuželosečkami s osami rovnoběžnými se souřadnicovými osami. Připomeňme, jak z obecné rovnice poznáme, o jakou kuželosečku se jedná. Je-li jedno z čísel A, B nulové, kuželosečka je parabola. Je-li A B > 0, je kuželosečka elipsa, je-li navíc A = B, je kuželosečka kružnice. Je-li A B < 0, je kuželosečka hperbola. U elips a hperbol převedeme obecnou rovnici na středový tvar, pak snadno určíme souřadnice středu a velikost poloos. U parabol převedeme obecnou rovnici na vrcholový tvar a snadno určíme souřadnice vrcholu a parametr.
1.1. KRUŽNICE KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY 1.1 Kružnice Pro určování hodnot goniometrických funkcí vužíváme jednotkovou kružnici + = 1. Souřadnice bodu kružnice jsou = cos t a = sin t, kde t je orientovaný úhel. Kružnici můžeme ted popsat takto Obrázek 1.1: Jednotková kružnice k(t) = [cos t, sin t] a to je právě parametrický popis kružnice (také parametrické rovnice kružnice), t se nazývá parametr. Parametr t je proměnný a jeho hodnot můžeme vbírat z různých intervalů: t R kružnice je probíhána neustále t 0, π výchozí bod je k(0) = [cos 0, sin 0] = [1, 0] koncový bod je k (π) = [cos π, sin π] = [1, 0] jeden oběh kružnice t 0, 4π výchozí bod je k(0) = [1, 0] koncový bod je k (4π) = [1, 0] dva oběh kružnice t 0, π výchozí bod je k(0) = [1, 0] koncový bod je k (π) = [ 1, 0] popis půlkružnice (horní půlkružnice) t π, π výchozí bod je k ( ) [ π = cos ( π ), sin ( π)] = [0, 1] koncový bod je k ( ) π = [0, 1] popis půlkružnice (pravá půlkružnice) t 3π, π výchozí bod je k ( ) [ 3π 4 3 4 =, ] koncový bod je k ( ) [ π 3 = 1, ] 3 popis části kružnice 3
1.1. KRUŽNICE KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY O O O (a) t R (b) t 0, π (c) t 0, 4π O O O (d) t 0, π (e) t π, π (f) t 3π 4, π 3 Obrázek 1.: Kružnice k pro různé interval parametru t Při parametrickém vjádření k(t) = [cos t, sin t] je kružnice, či její část, probíhána vžd v kladném směru (tj. proti směru hodinových ručiček). Jak parametrický popis upravit, ab bla kružnice nebo její část probíhána v záporném směru? Zkusíme zaměnit parametr t hodnotou t: k(t) = [cos ( t), sin ( t)] = [cos t, sin t] (vužíváme, že cos je sudá funkce a sin je lichá funkce). Uvažujme pro parametr t interval 0, π. Snadno vpočítáme k(0) = [1, 0], k ( ) π = [0, 1], k(π) = [ 1, 0] a k(π) = [1, 0]. Výchozí i koncový bod je [1, 0] a kružnice je probíhána v záporném směru (tj. ve směru hodinových ručiček). Můžeme vzkoušet i další kombinace. Pro jeden oběh kružnice je výhodné použít vžd interval 0, π. 4
1.1. KRUŽNICE KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY k(t) = [ cos t, sin t] výchozí bod je k(0) = [ 1, 0] pro určení směru použijeme bod k ( ) π = [0, 1] tj. kružnice je probíhána v záporném směru k(t) = [ cos t, sin t] výchozí bod je k(0) = [ 1, 0] k ( ) π = [0, 1] tj. kružnice je probíhána v kladném směru Ještě můžeme zaměnit souřadnice (stále t 0, π ): k(t) = [sin t, cos t] k(0) = [0, 1] k ( ) π = [1, 0] záporný směr k(t) = [sin t, cos t] k(0) = [0, 1] k ( ) π = [1, 0] kladný směr k(t) = [ sin t, cos t] k(0) = [0, 1] k ( ) π = [ 1, 0] kladný směr k(t) = [ sin t, cos t] k(0) = [0, 1] k ( ) π = [ 1, 0] záporný směr Pro kružnici, která má střed [0, 0] a její poloměr r není roven 1, lze vužít podobné popis k(t) = [r cos t, r sin t], k(t) = [r cos t, r sin t] atd. Ve všech předchozích popisech jednotkové kružnice, kde t 0, π, je výchozí bod na jedné ze souřadnicových os a. Jak popsat kružnici, ab výchozí bod mohl být vbrán obecněji? Jistě bchom mohli změnit interval pro parametr t, t α, β, ale určení úhlu α nemusí [ být vžd jednoduché. Chceme vžd použít pro jeden oběh interval 0, π. Vberme 1 bod, ] 3 na jednotkové kružnici. Chceme, ab tento bod bl výchozí a kružnice bla probíhána v kladném[ směru. 1 Požadujeme k(0) =, ] 3 a k ( π ) [ = ] 3, 1. k O Obrázek 1.3: Kružnice probíhána z obecného bodu V první i druhé souřadnici parametrického popisu se musí objevit funkce cos i sin: [ ] 1 3 3 k(t) = cos t sin t, cos t + 1 sin t, t 0, π. 5
1.1. KRUŽNICE KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Pro oběh kružnice v záporném směru stačí změnit znaménka u funkce sin, jak jsme mohli vpozorovat v předchozím popisu. Pro kružnici o středu S = [0, 0] a pro výchozí bod P = [p, q] můžeme psát k(t) = [p cos t q sin t, q cos t + p sin t], t 0, π, kladný směr, k(t) = [p cos t + q sin t, q cos t p sin t], t 0, π, záporný směr. Lze také použít zápis s vužitím vektorů nebo k(t) = [0, 0] + (p, q) cos t + ( q, p) sin t k(t) = [0, 0] + (p, q) cos t + (q, p) sin t, [0, 0] je střed S, vektor (p, q) = P S, vektor ( q, p) nebo (q, p) je kolmý k vektoru P S. Nní již snadno získáme parametrický popis libovolné kružnice o středu S = [m, n], jejíž výchozí bod je bod P = [p, q]: k n S q P p m Obrázek 1.4: Libovolná kružnice probíhána z obecného bodu P S = (p m, q n) a vektor kolmý je ( (q n), p m), pro kladný směr nebo (q n, (p m)), pro záporný směr. Ted k(t) = [m, n] + (p m, q n) cos t + ( (q n), p m) sin t, 6
1.1. KRUŽNICE KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY tj.: k(t) = [m + (p m) cos t (q n) sin t, n + (q n) cos t + (p m) sin t], t 0, π. kružnice probíhána (1 oběh) od bodu P v kladném směru. Pro změnu směru stačí změnit znaménko u funkce sin. Tento popis nevžaduje znalost poloměru kružnice, poloměr si lze ovšem vžd spočítat, je to vzdálenost bodů P, S: r = (p m) + (q n). Je vidět, že parametrický popis má oproti obecné rovnici navíc důležitou informaci. Parametr t si můžeme představit jako čas a z parametrického popisu lze včíst, jak je křivka probíhána v čase. 7
1.1. KRUŽNICE KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Příklad Napište parametrické vjádření kružnice zadané obecnou rovnicí + 6 8 = 0. Ověřte, zda kružnice prochází počátkem soustav souřadné. Pokud ano, napište parametrické vjádření kružnice (jeden oběh), výchozí bod necht je počátek [0, 0] a kružnice je probíhána v záporném směru. Řešení: 1. Obecnou rovnici upravíme na středový tvar ( 3) + ( 4) = 5, popř. ( 3) 5 + ( 4) 5 Bod S = [3, 4] je střed, poloměr r = 5. Pokud nám nezáleží, jakým způsobem je kružnice probíhána, můžeme vužít vzorec cos t + sin t = 1. = 1. Dáme do rovnosti a (nebo 3 = sin t a 4 = cos t). 5 5 Vjádříme a : Parametrický popis kružnice je 3 5 4 5 = cos t = sin t = 3 + 5 cos t, = 4 + 5 sin t. k(t) = [3 + 5 cos t, 4 + 5 sin t], t 0, π. Dosazením t = 0 a t = π ( π ) k(0) = [8, 4], k = [3, 9] zjistíme, že výchozí bod je [8, 4] a kružnice je probíhána v kladném směru.. Bod [0, 0] je bodem kružnice (dosadíme do zadané rovnice = 0 a = 0). Nní můžeme použít vzorec k(t) = [m + (p m) cos t + (q n) sin t, n + (q n) cos t (p m) sin t], t 0, π 8
1.1. KRUŽNICE KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY kde [m, n] = [3, 4], [p, q] = [0, 0]. Nebo můžeme vjádřit vektor O S = [0, 0] [3, 4] = ( 3, 4) a vektor kolmý ( 4, 3): k(t) = [3, 4] + ( 3, 4) cos t + ( 4, 3) sin t, t 0, π. k(t) = [3 3 cos t 4 sin t, 4 4 cos t + 3 sin t], t 0, π. k 3 Obrázek 1.5: Kružnice probíhána v záporném směru pro t 0, π 9
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY 1. Parabola Uvažujme známou parabolu =. Tato rovnice je ve vrcholovém tvaru a vrchol parabol je bod [0, 0], osa parabol je osa. Parametr p je p = 1 ( = p, p = 1). Parametr je vzdálenost ohniska F od řídící přímk d. Ohnisko má souřadnice F = [ 0, 1 4], řídící přímka má obecnou rovnici d : = 1 4. Obrázek 1.6: Parabola = Souřadnice libovolného bodu jsou [, ]. Parametrický popis této parabol je např.: k(t) = [t, t ]. Ab bla popsána celá parabola, je potřeba pro parametr t brát interval (, ), k(0) = [0, 0]. Při kreslení parabol s vužitím grafického programu musíme interval omezit z obou stran, např. t 10, 10. 10
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Parametrických popisů zadané parabol je stejně jako u kružnice nekonečné mnoho a liší se tím, jak je parabola probíhána. k(t) = [t, t ], t 3, 3 O Obrázek 1.7: Parabola k pro t 3, 3 k(t) = [ t, t ], t 3, 3 O Obrázek 1.8: Parabola k pro t 3, 3 11
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY k(t) = [t + 1, (t + 1) ], t 3, 3 O Obrázek 1.9: Parabola k pro t 3, 3 k(t) = [1 t, (1 t) ], t 3, 3 O Obrázek 1.10: Parabola k pro t 3, 3 1
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Podobně můžeme postupovat pro další parabol [ ] = p = t, t = p k(t) = t, t, t R, p [ ] = p = t, t t = p k(t) =, t, t R, p [ ] = p = t, t = p k(t) = t, t, t R. p V případě parabol s vrcholem V = [m, n] volíme často parametrizaci tak, ab k(0) = V. Volbou intervalu pro parametr t snadno vbereme požadovanou část parabol. Např. ( m) = p( n), t = m, = t + m, t = p( n), = t p + n, ] k(t) = [t + m, t p + n, t R, ( n) = p( m), t = n, = t + n, t = p( m), = t p + m, ] k(t) = [ t p + m, t + n, t R. 13
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Příklad 1 Napište parametrické vjádření parabol zadané obecnou rovnicí 6 10 + 49 = 0. Napište parametrické vjádření části parabol mezi jejími bod P a Q, jejichž -ové souřadnice jsou rovn 13. Řešení: 1. Obecnou rovnici upravíme na vrcholový tvar ( 3) = 10( 4). Bod V = [3, 4] je vrchol, parametr p = 5, ohnisko F = [ ] 3, 13, řídící přímka d : = 3 Volíme t = 3, pak t = 10( 4). Vpočítáme = t + 3, = t + 4. 10 Parametrické vjádření parabol je ] k(t) = [t + 3, t 10 + 4, t R.. Obrázek 1.11: Parabola pro t 10, 10 14
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY. Souřadnice bodů P a Q můžeme vpočítat z obecné rovnice nebo z parametrického vjádření 6 10 13 + 49 = 0 6 16 = 0 1 = 8, = = t + 3, t = 3 t 1 = 5, t = 5 Pro parametr t vbereme interval 5, 5, [ k( 5) =, 13 ], [ k(5) = 8, 13 ]. t 10 + 4 = 13 t 10 = 5 t = 5 t 1 = 5, t = 5 Obrázek 1.1: Parabola pro t 5, 5 15
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Příklad Napište parametrické vjádření parabol zadané obecnou rovnicí 6 + 10 31 = 0. Napište parametrické vjádření části parabol mezi bod P a Q, P = a Q = 13. Parametrizaci volte tak, ab k(0) = P a část parabol bla probíhána směrem od bodu P do bodu Q. Řešení: 1. Obecnou rovnici upravíme na vrcholový tvar ( 3) = 10( 4). Bod V = [3, 4] je vrchol, parametr p = 5, ohnisko F = [ 3, ] 3, řídící přímka d : = 13 Volíme t = 3, pak t = 10( 4). Vpočítáme = t + 3, = t + 4. 10 Parametrické vjádření parabol je ] k(t) = [t + 3, t 10 + 4, t R.. Obrázek 1.13: Parabola pro t 10, 10 16
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY. Interval pro parametrizaci parabol mezi bod P a Q můžeme vpočítat například z parametrického vjádření t + 3 = t 1 = 5 t + 3 = 13 t = 10 Daná parabola b ted bla probíhaná z bodu P do bodu Q pro parametr t 5, 10. Ab blo k(0) = P, změníme parametr t = s 5 a máme: ] (s 5) k(s) = [s, + 4, s 0, 15 10 (s = t + 5, s 1 = 5 + 5 = 0, s = 10 + 5 = 15). Obrázek 1.14: Parabola pro s 0, 15 17
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Příklad 3 Napište parametrické vjádření parabol, bod V = [3, 4] je vrchol, osa parabol je rovnoběžná s osou a bod P = [13, 14] je bodem parabol. Napište parametrické vjádření části parabol mezi bodem P a průsečíkem parabol s osou. Řešení: 1. Abchom mohli parabolu parametrick vjádřit, nejdříve napíšeme vrcholový tvar rovnice parabol. Parabola má rovnici ( n) = p( m). Dosazením bodů V a P získáme parametr p: Obecná rovnice parabol je ted (14 4) = p(13 3), 100 = 0p, p = 5. ( 4) = 10( 3). Parametr je p = 5, ohnisko F = [ 11, 4], řídící přímka d : = 1. Volíme t = 4, pak t = 10( 3). Vpočítáme = t + 3, = t + 4. 10 Parametrické vjádření parabol je [ ] t k(t) = 10 + 3, t + 4, t R. Obrázek 1.15: Parabola pro t 10, 10 18
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY. Hodnot parametru t pro požadovanou část parabol získáme z rovnic t + 4 = 0 (průsečík s osou ) t 1 = 4 t + 4 = 14 (bod P) t = 10 Část parabol mezi bodem P a průsečíkem s osou má parametrické vjádření [ ] t k(t) = 10 + 3, t + 4, t 4, 10. Obrázek 1.16: Parabola pro t 4, 10 19
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Příklad 4 Napište parametrické vjádření parabol, bod F = [ 1, 4] je ohnisko, obecná rovnice řídící přímk d je = 11. Napište parametrické vjádření části parabol mezi průsečíkem P parabol s osou a průsečíkem Q parabol s osou, Q > 0. Řešení: 1. Abchom mohli parabolu parametrick vjádřit, nejdříve napíšeme vrcholový tvar rovnice parabol. Protože řídící přímka je rovnoběžná s osou, je osa parabol rovnoběžná s osou. Parametr p je vzdálenost ohniska F od řídící přímk d, p = 5. Snadno zjistíme i vrchol V = [3, 4]. Parabola má vrcholovou rovnici ( n) = p( m). Po dosazení konkrétních hodnot nám vjde ( 4) = 10( 3). Volíme t = 4, pak t = 10( 3). Vpočítáme = t + 3, = t + 4. 10 Parametrické vjádření parabol je ] k(t) = [ t 10 + 3, t + 4, t R. Obrázek 1.17: Parabola pro t 10, 10 0
1.. PARABOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY. Hodnot parametru t pro požadovanou část parabol získáme z rovnic t + 4 = 0 (průsečík s osou ) t 1 = 4 t + 3 = 0 (bod Q) 10 t = 30 t = 30 ( Q > 0) Část parabol mezi průsečík P a Q má vjádření ] k(t) = [ t 10 + 3, t + 4, t 4, 30. Obrázek 1.18: Parabola pro t 4, 30 1
1.3. ELIPSA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY 1.3 Elipsa Kružnice je speciální případ elips. Dá se předpokládat, že parametrizace elips bude podobná parametrizaci kružnice. Uvažujme nejprve elipsu o středu O = [0, 0], velikost hlavní poloos značíme a, velikost vedlejší poloos značíme b. Platí a > b. Rovnice elips ve středovém tvaru je pak a + b = 1 a hlavní osa elips je osa, nebo b + a = 1 a hlavní osa elips je osa. Pro parametrizaci elips použijeme vzorec cos t + sin t = 1. Pro rovnici + = 1 dáme do rovnosti = cos t a = sin t (popř. = sin t a = cos t). a b a b a b Parametrický popis elips je k(t) = [a cos t, b sin t] (popř. k(t) = [a sin t, b cos t]), pro jeden oběh bereme t 0, π. Pro rovnici + = 1 dáme do rovnosti = cos t a = sin t (popř. = sin t a = cos t). b a b a b a Parametrický popis elips je k(t) = [b cos t, a sin t] (popř. k(t) = [b sin t, a cos t]), t 0, π. Snadno ověříme: je-li funkce cos v -ové souřadnici, výchozí bod k(0) je vrchol na ose, je-li funkce cos v -ové souřadnici, je výchozí bod k(0) vrchol elips na ose. Pro obecnější případ, kd střed elips je bod S = [m, n] a rovnice ve středovém tvaru je ( m) ( n) + = 1 a b nebo ( m) ( n) + = 1, b a změníme předchozí parametrický popis přičtením vektoru posunutí S O = (m, n), ted k(t) = [m + a cos t, n + b sin t] (popř. k(t) = [m + a sin t, n + b cos t]) nebo k(t) = [m + b cos t, n + a sin t].
1.3. ELIPSA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY (popř. k(t) = [m + b sin t, n + a cos t]) t 0, π pro 1 oběh. Změnou znaménka u funkce cos měníme výchozí vrchol elips, změnou znaménka u funkce sin měníme směr probíhání elips. Otázka je, zda můžeme vbrat za výchozí bod jiný bod elips než vrchol. To je možné, ale museli bchom brát v úvahu sdružené průměr elips, neblo b to tak jednoduché jako u kružnice. Tímto se v tetu zabývat nebudeme. V této části si ukážeme, jak jednoduše můžeme popsat tečn parametrick zadaných křivek. Mějme křivku k(t) = [(t), (t)], t I(interval), vbereme si bod na této křivce K = k(t 0 ) (t 0 je vbrané číslo z intervalu I ). Tečna křivk souvisí s derivací, u parametrick zadaných křivek derivujeme zvlášt každou souřadnici a značíme To jsou tečné vektor křivk k. Tečný vektor v bodě K = k(t 0 ) je vektor k (t) = ( (t), (t)), t I. k (t 0 ) = ( (t 0 ), (t 0 )). Velikost tohoto vektoru vpovídá navíc o rchlosti, jakou je křivka v daném bodě probíhána. Tečna křivk k v bodě K je určena bodem K = k(t 0 ) a směrovým vektorem k (t 0 ). 3
1.3. ELIPSA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Příklad 1 Napište parametrické vjádření elips zadané obecnou rovnicí 9 + 16 7 96 = 0. Dále napište souřadnice průsečíků se souřadnicovými osami a napište obecné rovnice tečen elips v těchto průsečících. Řešení: Obecnou rovnici upravíme na středový tvar ( 4) + 3 ( 3) 18 Střed elips je bod S = [4, 3], hlavní osa je rovnoběžná s osou, velikost hlavní poloos je a = 4, velikost vedlejší poloos b = 3. Dáme do rovnosti např. a máme parametrické vjádření 4 4 = cos t, 3 3 = sin t. = 1. k(t) = [4 + 4 cos t, 3 + 3 sin t], t 0, π. Výchozí bod je bod k(0) = [4 + 4, 3], což je pravý hlavní vrchol. Protože k ( π ) = [4, 3 + 3 ] je horní vedlejší vrchol, je elipsa probíhána v kladném směru. Souřadnice průsečíků se souřadnicovými osami můžeme určit z obecné rovnice nebo z parametrického vjádření: 1. průsečík s osou ( = 0) nebo 9 7 = 0 9( 8) = 0 1 = 0 = 8 3 + 3 sin t = 0 sin t = t 1 = 5π 4 Průsečík s osou jsou bod P 1 P = [8, 0]. = [0, 0] a 4 t = 7π 4 (vbíráme řešení v 0, π ) ( ) 5π k = [0, 0] 4 ( ) 7π k = [8, 0] 4
1.3. ELIPSA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY. průsečík s osou ( = 0) 16 96 = 0 16( 6) = 0 1 = 0 = 6 4 + 4 cos t = 0 cos t = t 1 = 5π 4 Průsečík s osou jsou bod P 1 P 3 = [0, 6]. Nní vpočítáme tečné vektor: = [0, 0] a t 3 = 3π ( ) 4 5π k = [0, 0] 4 ( ) 3π k = [0, 6] 4 k (t) = ( 4 sin t, 3 cos t). V bodě k ( ) ( ) 5π 4 = [0, 0] je tečný vektor k 5π 4 = (4, 3) a obecná rovnice tečn je p 1 : 3 + 4 = 0. V bodě k ( ) ( ) 3π 4 = [0, 6] je tečný vektor k 3π 4 = ( 4, 3) a obecná rovnice tečn je p 3 : 3 4 + 4 = 0. V bodě k ( ) ( ) 7π 4 = [8, 0] je tečný vektor k 7π 4 = (4, 3) a obecná rovnice tečn je p : 3 4 4 = 0. Poslední dvě tečn jsou rovnoběžné. 5
1.3. ELIPSA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY P 3 p 1 p p 3 P 1 O P Obrázek 1.19: Elipsa pro t 0, π 6
1.3. ELIPSA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Příklad Napište parametrické vjádření elips, bod E = [3, 4 + 14] a F = [3, 4 14] jsou její ohniska, velikost vedlejší poloos b = 3 Elipsu parametrizujte tak, ab výchozí bod k(0) bl levý vedlejší vrchol a elipsa bla probíhána v kladném směru. Napište obecné rovnice normál elips v jejich průsečících se souřadnými osami. Poznámka: Normála křivk v bodě K je přímka kolmá k tečně v tomto bodě K. Řešení: Ze zadaných ohnisek snadno získáme ecentricitu e = 14 a pomocí vztahu a = e + b dopočítáme velikost hlavní poloos a = 4. Střed leží ve středu úsečk EF a jeho souřadnice jsou ted S = [3, 4]. Hlavní osa je rovnoběžná s osou. Vpočítané hodnot použijeme pro napsání středového tvaru obecné rovnice elips: ( m) ( n) + = 1, b a ( 3) + 18 Pro parametrizaci dáme do rovnosti např.: ( 4) 3 = 1. 3 3 4 4 = cos t, = sin t. a máme parametrické vjádření k(t) = [3 + 3 cos t, 4 + 4 sin t], t 0, π. Výchozí bod je bod k(0) = [3 + 3, 4], což je pravý vedlejší vrchol. Abchom napsali vjádření s výchozím bodem v levém vedlejším vrcholu, změníme znaménko u funkce cos. Protože je k ( ) π = [3, 4 + 4 ], je elipsa probíhána v záporném směru. Změníme ted i znaménko u funkce sin. Požadované parametrické vjádření elips je pak k(t) = [3 3 cos t, 4 4 sin t], t 0, π. Souřadnice průsečíků se souřadnicovými osami můžeme určit například z parametrického vjádření: 7
1.3. ELIPSA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY 1. průsečík s osou ( = 0) 4 4 sin t = 0 sin t = t 1 = π 4. průsečík s osou ( = 0) t = 3π 4 (vbíráme řešení v 0, π ) ( π ) k = [0, 0] = P 1 ( 4 ) 3π k = [6, 0] = P 4 3 3 cos t = 0 cos t = t 1 = π 4 Nní vpočítáme tečné vektor t 3 = 7π ( 4 π ) k = [0, 0] = P 1 ( 4 ) 7π k = [0, 8] = P 3 4 k (t) = (3 sin t, 4 cos t) V bodě k ( ) ( ) π 4 = [0, 0] je tečný vektor k π 4 = (3, 4) a obecná rovnice normál je n 1 : 3 4 = 0. V bodě k ( ) ( ) 3π 4 = [6, 0] je tečný vektor k 3π 4 = (3, 4) a obecná rovnice normál je n : 3 + 4 18 = 0. V bodě k ( ) ( ) 7π 4 = [0, 8] je tečný vektor k 7π 4 = ( 3, 4) a obecná rovnice normál je n 3 : 3 + 4 3 = 0. 8
1.3. ELIPSA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY p3 p 3 p k O Obrázek 1.0: Elipsa pro t 0, π 9
1.4. HYPERBOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY 1.4 Hperbola Uvažujme hperbolu o středu O = [0, 0], os hperbol jsou souřadnicové os. Rovnice hperbol ve středovém tvaru je a b = 1. hlavní osa je osa, vrchol jsou bod A = [a, 0], B[ a, 0] nebo b + a = 1. hlavní osa je osa, vrchol jsou bod A = [0, a], B[0, a] Kladné číslo a je velikost hlavní poloos, kladné číslo b je velikost vedlejší poloos. O O (a) Hperbola 16 9 = 1 Obrázek 1.1: Hperbol v základní poloze (b) Hperbola 9 + 16 = 1 Připomeňme, že může být a > b i a < b. Je-li a = b, hperbola se nazývá rovnoosá. Každá hperbola má tzv. asmptot, jsou to přímk, ke kterým se tato křivka přibližuje. Pro hperbolu a b = 1 získáme asmptot z rovnice a ( a ) ( b a + ) = 0. b b = 0, tj.: Rovnice asmptot ve směrnicovém tvaru jsou = b a a = b a. 30
1.4. HYPERBOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Pro hperbolu b + a = 1 získáme asmptot z rovnice b ( b + ) ( a b a) + = 0, + a = 0, tj.: a = a b = a b. O Obrázek 1.: Asmptot = a = rovnoosé hperbol 16 16 = 1 Vzhledem k předchozím poznatkům bchom pro parametrizaci hperbol chtěli najít dvě funkce f a g, pro které b platilo f (t) g (t) = 1. Takové funkce se nazývají hperbolické a jsou jimi funkce a D f = D g = R f(t) = et + e t g(t) = et e t. 31
1.4. HYPERBOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY O O (a) Funkce f (b) Funkce g Obrázek 1.3: Graf hperbolických funkcí f a g Snadno ukážeme, že f (t) = g(t), f (t) = f(t), g (t) = f(t) a f (t) = g(t). Něco podobného známe pro funkce sin a cos (až na znaménka): (cost) = sin t, (cost) = cos t, (sin t) = cos t a (sint) = sin t. Proto se funkce f(t) = et +e t nazývá kosinus hperbolický, značíme cosh t. Funkce g(t) = et e t se nazývá sinus hperbolický a značíme sinh t. Nní si ověříme, že platí cosh t sinh t = 1: ( ) ( ) 1 1 (et + e t ) (et e t ) 1 ( e t + e t e t + e t) 1 ( e t e t e t + e t) 4 4 1 4 et + 1 4 1 + 1 1 4 e t 4 et + 1 4 1 1 4 e t 1 + 1 = 1 3
1.4. HYPERBOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Pro parametrizaci hperbol dáme do rovnosti a = cosh t a b a b = 1 = sinh t a získáme parametrické vjádření k(t) = [a cosh t, b sinh t], t R. Toto je ovšem parametrický popis jedné větve hperbol. Víme, že cosh t 1 pro všechna t R (viz graf f ). Uvedený parametrický popis je popisem pravé větve hperbol. Parametrický popis obou větví (smetrie podle os ) je k(t) = [±a cosh t, b sinh t], t R. Pro parametrický popis hperbol + = 1 dáme do rovnosti = sinh t a = cosh t b a b a (zdůrazněme, že se rozhodujeme podle znamének v obecné rovnici). Parametrický popis obou větví je k(t) = [b sinh t, ±a cosh t], t R. (znaménko + je pro horní větev, znaménko - je pro dolní větev). Souřadnice vrcholů jsou k(0) = [b sinh 0, ±a cosh 0] = [0, ±a 1] = [0, ±a]. Pro obecnější případ, kd střed hperbol je bod S = [m, n] a rovnice ve středovém tvaru je ( m) ( n) = 1 a b nebo ( m) ( n) + = 1 b a změníme předchozí parametrizaci přičtením vektoru posunutí S O = (m, n). Parametrický popis hperbol ( m) a ( n) b = 1 je k(t) = [m ± a cosh t, n + b sinh t], t R. parametrický popis hperbol ( m) b + ( n) a = 1 je k(t) = [m + b sinh t, n ± a cosh t], t R. Při kreslení hperbol s vužitím grafického programu musíme interval pro parametr t omezit z obou stran, např. t 10, 10 33
1.4. HYPERBOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Příklad 1 Napište parametrické vjádření hperbol zadané obecnou rovnicí 9 16 54 + 18 319 = 0. Napište souřadnice vrcholů a ohnisek hperbol. Dále napište obecné rovnice asmptot. Řešení: Obecnou rovnici upravíme na středový tvar: ( 3) 16 ( 4) 9 Střed hperbol je bod S = [3, 4], hlavní osa je rovnoběžná s osou. Velikost hlavní poloos je a = 4, velikost vedlejší poloos je b = 3. Pro parametrizaci dáme do rovnosti = 1. 3 4 4 3 a získáme parametrický popis pravé větve = cosh t, = sinh t Parametrický popis obou větví je k(t) = [3 + 4 cosh t, 4 + 3 sinh t], t R. k(t) = [3 ± 4 cosh t, 4 + 3 sinh t], t R. Vrchol můžeme vpočítat z parametrického vjádření k(0) = [3 ± 4 1, 4 + 3 0], ted A = [7, 4], B = [ 1, 4]. Pro velikost ecentricit e platí vztah e = a + b. V našem případě e = 16 + 9 a ted e = 5. Rovnice asmptot získáme z rovnice E = [3 + 5, 4] = [8, 4] F = [3 5, 4] = [, 4] ( 3) ( 4) = 0 16 9 tj.: 9( 3) 16( 4) = 0 [3( 3)] [4( 4)] = 0 [3( 3) 4( 4)] [3( 3) + 4( 4)] = 0. 34
1.4. HYPERBOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Rovnice asmptot jsou a 1 : 3 4 + 7 = 0 a a : 3 + 4 5 = 0. a O k a 1 Obrázek 1.4: Hperbola pro t, 35
1.4. HYPERBOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Příklad Napište parametrické vjádření hperbol zadané obecnou rovnicí 9 16 54 + 18 31 = 0. Napište souřadnice vrcholů, ohnisek a průsečíků hperbol se souřadnicovými osami. Dále napište obecné rovnice asmptot. Řešení: Obdobně jako v minulém příkladu upravíme obecnou rovnici na středový tvar: ( 4) 9 ( 3) 16 Střed hperbol je bod S = [3, 4], hlavní osa je rovnoběžná s osou. Velikosti poloos jsou a = 3 a b = 4. Pro parametrizaci dáme do rovnosti = 1. 4 3 3 4 a získáme parametrický popis horní větve = cosh t, = sinh t Parametrický popis obou větví je k(t) = [3 + 4 sinh t, 4 + 3 cosh t], t R. k(t) = [3 + 4 sinh t, 4 ± 3 cosh t], t R. Vrchol můžeme vpočítat z parametrického vjádření k(0) = [3 + 4 0, 4 ± 3 1], ted A = [3, 7], B = [3, 1]. Pro velikost ecentricit e platí vztah e = a + b. V našem případě e = 9 + 16 a ted e = 5. Rovnice asmptot získáme z rovnice E = [3, 4 + 5] = [3, 9] F = [3, 4 5] = [3, 1] ( 4) ( 3) = 0 9 16 tj.: 16( 4) 9( 3) = 0 [4( 4)] [3( 3)] = 0 [4( 4) 3( 3)] [4( 4) + 3( 3)] = 0. 36
1.4. HYPERBOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY Rovnice asmptot jsou a 1 : 3 4 + 7 = 0 a a : 3 + 4 5 = 0. Souřadnice průsečíků hperbol se souřadnicovými osami můžeme určit a) z obecné rovnice nebo b) z rovnice ve středovém tvaru nebo c) z parametrického vjádření. 1. Průsečík s osou ( = 0) a) b) 9 54 31 = 0 1, = 54 ± 403 18 1, = 54 ± 4 7 18 1 = 3 + 4 7 3 = 3 4 7 3 c) průsečík s osou má pouze dolní větev 16 9 ( 3) = 1 16 ( 3) = 7 16 9 ( 3) = 7 9 16 3 = 4 7 3 1 = 3 + 4 7 3 = 3 4 7 3 4 3 cosh t = 0 4 3 1 (et + e t ) = 0 8 3 (e t + e t ) = 0 8 3e t 3 1 e t = 0 8e t 3(e t ) 3 = 0 3(e t ) 8e t + 3 = 0 e t = 8 ± 8 6 e t = 4 ± 7 3 pro e t = 4+ 7 3 je sinh t = 1 (et 1 e t ) = = 1 (4 + 7 3 3 4 + 7 ) = = 1 (4 + 7 3(4 7) ) = 3 9 = 1 7 7 = 3 3 pro e t = 4 7 3 je sinh t = 1 ( 4 7 3 3 4 ) = 7 7 3 1 = 3 + 4 7 3 = 3 4 7 3 Z výpočtu je vidět, že nejrchlejší výpočet vchází z rovnice ve středovém tvaru. Průsečík s osou jsou bod P 1 = [ 3 + 4 7 3, 0 ] a P = [ 3 4 7 3, 0 ]. 37
1.4. HYPERBOLA KAPITOLA 1. KUŽELOSEČKY. Průsečík s osou ( = 0) vpočítáme z rovnice ve středovém tvaru: ( 4) 9 9 16 = 1 ( 4) = 1 + 9 9 16 ( 4) = 5 16 9 4 = 5 3 4 1 = 4 + 15 4 = 31 4 = 4 15 4 = 1 4 Průsečík s osou jsou bod P 4 = [ ] 0, 31 4 a P3 = [ ] 0, 1 4. a k P4 P3 P O P1 a 1 Obrázek 1.5: Hperbola pro t, 38
. Další rovinné křivk Nní si můžeme definovat nejrůznější křivk sami. Např. k(t) = [t, cos t], t 0, π je část (1 perioda) grafu funkce cos, k(t) = [cos t, cos t], t 0, π je úsečka, která leží na přímce =, k(t) = [ 1 t, 1 t], t (, 0) (0, + ) je rovnoosá hperbola se středem S = [0, 1]. Mnoho křivek je známo, některé mají i své názv a nebo se po někom jmenují. Než si některé z nich ukážeme, zavedeme si pojm singulární bod křivk a uzlový bod křivk. Singulární bod křivk je takový bod K = k(t 0 ), ve kterém neeistuje tečna. To nastane tehd, kdž neeistuje některá z derivací (t 0 ), (t 0 ) (k (t) = ( (t), (t)) je tečný vektor) nebo tečný vektor je nulový, tj. k (t 0 ) = (0, 0). Už jsme poznamenali, že délka tečného vektoru vpovídá o rchlosti, s jakou je křivka v daném bodě probíhána. Pokud je k (t 0 ) = (0, 0), dojde při probíhání křivk v bodě K = k(t 0 ) k zastavení. Uzlový bod křivk je bod, kterým křivka projde vícekrát a tečn v tomto bodě jsou různé. te na (a) Singulární bod te na (b) Uzlový bod 39
KAPITOLA. DALŠÍ ROVINNÉ KŘIVKY Příklad 1 Je dána křivka k(t) = [ cos t ] sin t, cos t sin t, t 0, π. Napište souřadnice singulárních bodů křivk. Dále napište parametrické i obecné rovnice tečen křivk v jejích průsečících s osou. Řešení: Vpočítáme tečné vektor křivk k, tj.: k (t) = ( sin t sin t cos t, cos t sin t). Abchom našli singulární bod, řešíme soustavu a zároveň sin t sin t cos t = 0 cos t sin t = 0. Můžeme najít všechna řešení rovnic na intervalu 0, π a pak udělat průnik. Nebo můžeme najít všechna řešení jedné rovnice na intervalu 0, π a vbrat z nich ta řešení, která splňují i druhou rovnici (ověříme dosazením). Jednodušší je použít druhý způsob. Vbereme rovnici sin t sin t cos t = 0 sin t(1 + cos t) = 0, bud sin t = 0 nebo cos t =. Všechna řešení na intervalu 0, π jsou t {0, 3π4, π, 5π4 }, π. Dosazujeme postupně do rovnice cos t sin t = 0. Této rovnici vhovují pouze t 1 = 3π 4 t = 5π. Singulární bod jsou bod 4 ( ) [ ] 3π S 1 = k = 3 4 4, 1. ( ) [ ] 5π S = k = 3 4 4, 1. a Průsečík s osou ( = 0) vpočítáme z parametrického vjádření křivk k. cos t sin t = 0 40
Průsečík křivk k s osou jsou 3 bod KAPITOLA. DALŠÍ ROVINNÉ KŘIVKY t {0, π, π, 3π }, π P 1 = k(π) = [ 1, 0], ( π ) ( ) [ ] 3π P = k = k =, 0, P 3 = k(0) = [1, 0] = k(π). Vpočítáme tečné vektor a napíšeme rovnici tečen: k(π) = [ 1.0], k (π) = (0, 1), p 1 (s) = [ 1, s], s R parametrická rovnice, p 1 : = 1 obecná rovnice, ( ) [ ] 3π k =, 0, ( ) 3π k = (1, 1), [ ] p (s) = + s, s, s R, p : + + = 0, [ ( π ) ] k =, 0, ( k π ) = ( 1, 1) (1, 1), [ ] q (s) = + s, s, s R, q : + = 0, bod [ ], 0 je uzlový bod křivk k, k(0) = [1, 0] = k(π), k (0) = k (π) = (0, 1), p 3 (s) = [1, s], s R, p 3 : = 1. 41
KAPITOLA. DALŠÍ ROVINNÉ KŘIVKY Nakreslíme-li zadanou křivku, vidíme na obrázku singulární bod (špičk) i uzlový bod. Je také jasné proč se křivka nazývá rba (fish curve). p 3 k O p 3 Obrázek.: Fish curve pro t 0, π 4
KAPITOLA. DALŠÍ ROVINNÉ KŘIVKY Příklad Je dána křivka k(t) = [16 sin 3 t, 13 cos t 5 cos t cos 3t cos 4t], t 0, π. Napište souřadnice singulárních bodů křivk. Dále napište souřadnice bodů křivk, ve kterých má křivka tečn rovnoběžné s osou, napište obecné rovnice těchto tečen. Řešení: Vpočítáme tečné vektor křivk k, tj.: k (t) = (48 sin t cos t, 13 sin t + 10 sin t + 6 sin 3t + 4 sin 4t). Abchom našli singulární bod, řešíme soustavu rovnic a zároveň 48 sin t cos t = 0 13 sin t + 10 sin t + 6 sin 3t + 4 sin 4t = 0. Najdeme všechna řešení první rovnice na intervalu 0, π, jsou to t { 0, π, π, 3π, π}. Tato řešení dosazujeme do druhé rovnice, druhé rovnici vhovují 3 hodnot t 1 = 0, t = π a t 3 = π. Křivka má dva singulární bod: S 1 = k(0) = k(π) = [0, 5], S = k(π) = [0, 17]. Tečný vektor je rovnoběžný s osou, je-li jeho první složka nulová a druhá nenulová. To nastane pro hodnot t 4 = π a t 5 = 3π. Obecné rovnice tečen rovnoběžných s osou jsou: ( ) 3π k = [ 16, 4] = P 1, ( ) 3π k = (0, 19), p 1 : = 16 a ( π ) k = [16, 4] = P, ( π ) k = (0, 19), p : = 16. 43
KAPITOLA. DALŠÍ ROVINNÉ KŘIVKY Nakreslíme-li zadanou křivku, vidíme na obrázku singulární bod (špičk na křivce). Tato křivka se nazývá srdce (heartcurve) a řadíme ji mezi další křivk, které se často souhrnně označují srdcovk. Obrázek.3: Rovinná křivka pro t 0, π 44
3. Šroubovice Nní se budeme věnovat prostorovým křivkám. Nejčastěji se v prai používá šroubovice na válcové ploše. Abchom mohli popsat šroubovici bodu, musíme zadat šroubový pohb. Šroubový pohb je dán 1. osou o,. smslem (pravotočivý a levotočivý), 3. výškou závitu v. Osa šroubového pohbu může být libovolná přímka v prostoru, pro zjednodušení budeme v dalším tetu používat osu z souřadné soustav (O,,, z). Používáme vžd pravotočivou kartézskou souřadnou soustavu, kterou vužívají i grafické program. Šroubový pohb je složením rovnoměrného rotačního pohbu a rovnoměrného translačního pohbu. Pokud je rotační pohb proti směru hodinových ručiček a translační pohb ve směru kladné poloos os z nebo rotační pohb ve směru hodinových ručiček a translační pohb ve směru záporné poloos os z, je šroubový pohb pravotočivý, v opačném případě je levotočivý. z=o z=o O O (a) Pravotočivý šroubový pohb (b) Levotočivý šroubový pohb 45
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE Vberme si bod A v prostoru, který neleží na ose šroubového pohbu. Bod se při šroubovém pohbu rovnoměrně otáčí kolem os o a zároveň se rovnoměrně posunuje ve směru os o. Šroubovice bodu A leží na válcové ploše, jejíž osou je osa o šroubového pohbu a poloměr je roven vzdáleností bodu A od os o. Výška závitu v je vzdálenost bodu A a bodu A, kde A a A jsou bod na povrchové přímce p válcové ploch a mezi nimi není žádný jiný bod šroubovice. Část šroubovice mezi bod A a A je tzv. 1 závit šroubovice a odpovídá otočení o úhel π. o p v A Obrázek 3.: Šroubovice na válcové ploše Po rozstřižení válcové ploch podél p a rozvinutí do rovin máme následující obrázek. p p v A Obrázek 3.3: Válcová plocha rozstřižená podél přímk p a rozvinutá do rovin 46
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE To je také návodem, jak si snadno šroubovici vrobit. Stačí slepit papír, na kterém jsme narýsovali úsečku pro jeden závit nebo více rovnoběžných úseček pro více závitů. V technické prai se často užívá místo výšk závitu tzv. redukovaná výška závitu, kterou značíme v 0. Je to výška posunutí odpovídající otočení o úhel 1 radián (přibližně 57 17 45 ). Úhlu 1 radián odpovídá délka oblouku kružnice rovná poloměru r kružnice. Z obrázku v r Obrázek 3.4: Ilustrační obrázek snadno odvodíme vztah mezi výškou v závitu a redukovanou výškou v 0 : v 0 r = v πr v 0 = v π Jak napsat parametrické vjádření šroubovice bodu A = [a 1, a, a 3 ]? Zadejme šroubový pohb: 1. osa o je souřadnicová osa z,. pravotočivý (resp. levotočivý), 3. výškou závitu je v (nebo redukovaná výška je v 0 ). Šroubovice leží na válcové ploše, jejíž osou je osa z. Průnik této ploch s půdorsnou (, ) je kružnice. Začneme parametrickým popisem kružnice v rovině (, ), střed kružnice je bod [0, 0] a kružnice prochází bodem [a 1, a ]. Je-li šroubový pohb pravotočivý, musíme kružnici popsat tak, ab bla probíhána proti směru hodinových ručiček, tj. v kladném směru. Navíc požadujeme, ab pro t = 0 bl výchozí bod [a 1, a ]. Je-li šroubový pohb levotočivý, musíme kružnici popsat tak, ab bla probíhána ve směru hodinových ručiček, tj. v záporném směru. Opět v čase t = 0 jsme v bodě [a 1, a ]. Ted m(t) = [a 1 cos t a sin t, a cos t + a 1 sin t] pro kladný směr, m(t) = [a 1 cos t + a sin t, a cos t a 1 sin t] pro záporný směr. 47
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE Třetí z-ová souřadnice se týká posunutí, parametrický popis pravotočivé šroubovice je k(t) = [a 1 cos t a sin t, a cos t + a 1 sin t, a 3 + v 0 t], t R. Parametrický popis levotočivé šroubovice je k(t) = [a 1 cos t + a sin t, a cos t a 1 sin t, a 3 + v 0 t], t R. Šroubovice je neomezená křivka v obou směrech. Důležitý je jeden závit šroubovice, který se dále jen posunuje. Pokud chceme popsat 1 závit, bereme parametr t z intervalu délk π. Použijeme-li výše uvedený parametrický popis, je k(0) = A a pro jeden závit s krajním bodem A bereme t 0, π. 48
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE Příklad 1 Napište parametrické vjádření šroubovice bodu A = [0, 4, 0]. Osa šroubového pohbu je osa z, šroubový pohb je 1. pravotočivý. levotočivý Výška závitu v = 1. Řešení: 1. Popíšeme kružnici m v rovině (, ), střed je bod [0, 0], výchozí bod je bod [ A, A ] = [0, 4], kružnice je probíhána v kladném směru: m(t) = [ 4 sin t, 4 cos t]. Pro popis pravotočivé šroubovice doplníme z-ovou souřadnici z A +v 0 t, kde v 0 = v = π 1 = 6 : π π k(t) = [ 4 sin t, 4 cos t, 6π ] t, t R, (nebo t 0, π pro 1 závit šroubovice).. Parametrický popis levotočivé šroubovice získáme z předchozího popisu změnou znaménka u funkce sin (oběh kružnice v záporném směru): k(t) = [4 sin t, 4 cos t, 6π ] t, t R, (nebo t 0, π pro 1 závit). 49
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE z k O m A Obrázek 3.5: Pravotočivá šroubovice pro t 0, 4π z k m O A Obrázek 3.6: Levotočivá šroubovice pro t 0, 4π 50
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE Příklad Napište parametrické vjádření šroubovice bodu A = [ 4, 0, 0]. Osa šroubového pohbu je osa z, šroubový pohb je 1. pravotočivý. levotočivý Výška závitu je v = 18. Řešení: 1. Popíšeme kružnici v rovině (, ), střed je bod [0, 0], výchozí bod je bod [ A, A ] = [ 4, 0], kružnice je probíhána v kladném směru: m(t) = [ 4 cos t, 4 sin t]. Pro popis pravotočivé šroubovice doplníme z-ovou souřadnici z A +v 0 t, kde v 0 = v = π 18 = 9 : π π k(t) = [ 4 cos t, 4 sin t, 9π ] t, t R, (nebo t 0, π pro 1 závit šroubovice). z k A O m Obrázek 3.7: Pravotočivá šroubovice pro t 0, 4π 51
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE. Parametrický popis levotočivé šroubovice získáme z předchozího popisu změnou znaménka u funkce sin (oběh kružnice v záporném směru): k(t) = [ 4 cos t, 4 sin t, 9π ] t, t R, (nebo t 0, π pro 1 závit). z k A O m Obrázek 3.8: Levotočivá šroubovice pro t 0, 4π 5
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE Příklad 3 Napište parametrické vjádření šroubovice bodu A = [0, 4, 0]. Osa šroubového pohbu je osa z, šroubový pohb je 1. pravotočivý. levotočivý Redukovaná výška závitu je v 0 = 3. Řešení: 1. Popíšeme kružnici v rovině (, ), střed je bod [0, 0], výchozí bod je bod [ A, A ] = [0, 4], kružnice je probíhána v kladném směru: m(t) = [4 sin t, 4 cos t]. Pro popis pravotočivé šroubovice doplníme z-ovou souřadnici z A + v 0 t: (nebo t 0, π pro 1 závit šroubovice). k(t) = [4 sin t, 4 cos t, 3t], t R, z k A O m Obrázek 3.9: Pravotočivá šroubovice pro t 0, 4π 53
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE. Parametrický popis levotočivé šroubovice získáme z předchozího popisu změnou znaménka u funkce sin (oběh kružnice v záporném směru): (nebo t 0, π pro 1 závit). k(t) = [ 4 sin t, 4 cos t, 3t], t R, z k A O m Obrázek 3.10: Levotočivá šroubovice pro t 0, 4π 54
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE Příklad 4 Napište parametrické vjádření šroubovice bodu A = [4, 0, 3]. Osa šroubového pohbu je osa z, šroubový pohb je 1. pravotočivý. levotočivý Redukovaná výška závitu je v 0 =. Dále popište tečnu šroubovice v bodě A. Řešení: 1. Popíšeme kružnici v rovině (, ), střed je bod [0, 0], výchozí bod je bod [ A, A ] = [4, 0], kružnice je probíhána v kladném směru: m(t) = [4 cos t, 4 sin t]. Pro popis pravotočivé šroubovice doplníme z-ovou souřadnici z A + v 0 t: (nebo t 0, π pro 1 závit šroubovice). Tečné vektor získáme derivováním Pro bod A = k(0) je tečný vektor a parametrický popis tečn p je k(t) = [4 cos t, 4 sin t, t + 3], t R, k (t) = ( 4 sin t, 4 cos t, ). k (0) = (0, 4, ) p(s) = [4, 4s, 3 + s], s R.. Parametrický popis levotočivé šroubovice získáme z předchozího popisu změnou znaménka u funkce sin (oběh kružnice v záporném směru): (nebo t 0, π pro 1 závit). Tečné vektor získáme derivováním Pro bod A = k(0) je tečný vektor k(t) = [4 cos t, 4 sin t, t + 3], t R, k (t) = ( 4 sin t, 4 cos t, ). k (0) = (0, 4, ) 55
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE a parametrický popis tečn p je p(s) = [4, 4s, 3 + s], s R. z k A O p m Obrázek 3.11: Pravotočivá šroubovice pro t 0, π z k p A O m Obrázek 3.1: Levotočivá šroubovice pro t 0, π 56
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE Příklad 5 Napište parametrické vjádření šroubovice bodu A = [3, 4, ]. Osa pravotočivého šroubového pohbu je osa z, výška závitu je v = 0. Dále popište tečn šroubovice v bodech A, k ( π ), k(π) a k(π). Řešení: Popíšeme kružnici v rovině (, ), střed je bod [0, 0], výchozí bod je bod [ A, A ] = [3, 4], kružnice je probíhána v kladném směru: m(t) = [3 cos t 4 sin t, 4 cos t + 3 sin t]. Pro popis pravotočivé šroubovice doplníme z-ovou souřadnici z A + v 0 t, kde v 0 = v 10 : π [ k(t) = 3 cos t 4 sin t, 4 cos t + 3 sin t, 10 ] π t +, t R, (nebo t 0, π pro 1 závit šroubovice). Tečné vektor získáme derivováním ( k (t) = 3 sin t 4 cos t, 3 cos t 4 sin t, 10 ). π Konkrétní tečné vektor jsou ted: ( k (0) = 4, 3, 10 ), π ( π ) ( k = 3, 4, 10 ), π ( k (π) = 4, 3, 10 ), π ( k (π) = 4, 3, 10 ). π V bodech: k(0) = A = [3, 4, ], ( π ) k = [ 4, 3, 7], k(π) = [ 3, 4, 1], k(π) = [3, 4, ] = 0 = π π 57
KAPITOLA 3. ŠROUBOVICE je parametrický popis tečen: [ p 1 (s) = 3 4s, 4 + 3s, + 10 ] π s, s R, [ p (s) = 4 3s, 3 4s, 7 + 10 ] π s, s R, [ p 3 (s) = 3 + 4s, 4 3s, 1 + 10 ] π s, s R, [ p 4 (s) = 3 4s, 4 + 3s, + 10 ] π s, s R. z p 3 k p 4 p m O A p 1 Obrázek 3.13: Pravotočivá šroubovice pro t 0, 5π 58
4. Další prostorové křivk Nní si můžeme definovat nejrůznější křivk sami. Například k(t) = [cos t, ln t sin t, ln t], t (0, + ), z k O Obrázek 4.1: Křivka k pro t 1 10, 10 [ k(t) = 1 t + 1, ] t t + 1, t, t R, t + 1 k z O Obrázek 4.: Křivka k pro t 10, 10 (je to elipsa v rovině + z 1 = 0), 59
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY k(t) = [sinh t, cosh t, sin 6t], t π, π. z O Obrázek 4.3: Křivka k pro t π, π Stejně jako u rovinných křivek mohou na prostorových křivkách být singulární bod nebo uzlové bod. Tečný vektor v singulárním bodě K(t 0 ) bud neeistuje nebo je nulový, tj.: k (t 0 ) = (0, 0, 0). 60
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY Příklad 1 Je dána křivka k(t) = [cos 3 t, sin 3 t, cos t], t 0, π. Napište souřadnice singulárních bodů. Dále popište tečnu křivk v bodě T = k ( π 6 ). Řešení: Vpočítáme tečné vektor k (t) = ( 3 cos t sin t, 3 sin t cos t, sin t). Má-li být nějaký bod singulární, musí být tečný vektor nulový. Řešíme soustavu rovnic na intervalu 0, π : 3 cos t sin t = 0, 3 sin t cos t = 0, sin t = 0. Můžeme najít řešení všech tří rovnic na intervalu 0, π a pak udělat průnik řešení. Výhodnější je najít všechna řešení jedné rovnice na intervalu 0, π a do zbývajících rovnic tato řešení dosadit. Vbereme ta řešení, která vhovují pro všechn rovnice. Vbereme si poslední rovnici sin t = 0 t = kπ t = k π Na intervalu 0, π máme 5 řešení t {0, π, π, 3π }, π Všech 5 řešení vhovuje i zbývajícím rovnicím. Máme 4 singulární bod S 1 = k(0) = k(π) = [1, 0, 1], ( π ) S = k = [0, 1, 1], S 3 = k(π) = [ 1, 0, 1], ( ) 3π S 4 = k = [0, 1, 1]. Tečný vektor v bodě T = k ( ) [ π 6 = 3 3, 1, 1 8 8 nahradit vektorem (3 3, 3, 8). Tečna p křivk k v bodě T je p(s) = ] je k ( ) ( ) π 6 = 9, 3 3, 3, ten můžeme 8 8 [ 3 3 + 3 ] 3s, 1 8 8 3s, 1 + 8s, s R. 61
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY z T k O p Obrázek 4.4: Prostorová křivka pro t 0, π 6
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY Příklad Je dána křivka k(t) = [ ] 1 sin t, sin t, cos t, t 0, π. Napište souřadnice singulárních bodů. Dále popište tečnu křivk v bodě T = k (0) a napište rovnici normálové rovin v bodě T. Poznámka: Normálová rovina v bodě T je množina všech přímek (normál), které procházejí bodem T a jsou kolmé k tečně v bodě T. Řešení: Vpočítáme tečné vektor k (t) = (cos t, cos t, sin t). Pro singulární bod řešíme soustavu rovnic na intervalu 0, π : cos t = 0, cos t = 0, sin t = 0. Druhá a třetí rovnice nejsou splněn zároveň pro žádné t. Křivka nemá singulární bod. Tečný vektor v bodě T = k(0) = [0, 0, 1] je vektor k (0) = (1, 1, 0). Tečna p křivk k v bodě T je p(s) = [s, s, 1], s R. Tečný vektor (1, 1, 0) je vektor kolmý k hledané normálové rovině α. Rovina α má rovnici + + d = 0, číslo d určíme dosazením bodu T, d = 0, α : + = 0. 63
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY p T z O k Obrázek 4.5: Prostorová křivka pro t 0, π 64
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY Příklad 3 Je dána křivka k(t) = [cos 3t, sin t, cos 4t], t 0, π. Popište tečnu křivk v bodě T = k (0) a napište rovnici normálové rovin v bodě T. Řešení: Vpočítáme tečné vektor k (t) = ( 3 sin 3t, cos t, 4 sin 4t). Tečný vektor v bodě T = k(0) = [1, 0, 1] je vektor k (0) = (0,, 0) (ten můžeme v popisu tečn nahradit vektorem (0, 1, 0)). Tečna p křivk k v bodě T je p(s) = [1, s, 1], s R. Tečný vektor (0, 1, 0) je vektor kolmý k hledané normálové rovině α. Rovina α má rovnici + d = 0, číslo d určíme dosazením bodu T, d = 0, Je to rovina (, z). α : = 0, 65
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY (a) t 0, π 4 (b) t 0, π (c) t 0, 3π 4 (d) t 0, π (e) t 0, 5π 4 (f) t 0, 3π (g) t 0, 7π 4 (h) t 0, π Obrázek 4.6: Prostorová křivka k pro různé interval parametru t 66
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY z p T O k Obrázek 4.7: Tečna a normálová rovina křivk k (t 0, π ) 67
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY Příklad 4 Je dána křivka k(t) = [sin t, 1 cos t, cos t], t 0, π. Zjistěte, zda má křivka uzlový bod. Pokud ano, popište všechn tečn v tomto bodě. Pokud všechn tečn v uzlovém bodě leží v jedné rovině, napište obecnou rovnici této rovin. Řešení: Z předpisu křivk k(t) = [sin t, 1 cos t, cos t] můžeme získat 3 rovinné křivk. Křivka l v rovině (, ) l(t) = [sin t, 1 cos t, 0], t 0, π. je pravoúhlý průmět křivk k do rovin (, ) (tzv. půdors křivk k). Křivka m v rovině (, z) m(t) = [0, 1 cos t, cos t], t 0, π je pravoúhlý průmět křivk k do rovin (, z) (tzv. bokors křivk k). Křivka n v rovině (, z) n(t) = [sin t, 0, cos t], t 0, π je pravoúhlý průmět křivk k do rovin (, z) (tzv. nárs křivk k). Zajímavá je pro nás křivka l, ve které snadno rozpoznáme kružnici o středu S = [0, 1, 0] a poloměru r = 1.Tato kružnice je při t 0, π oběhnuta dvakrát. Obrázek 4.8: Půdors křivk k pro t 0, π Křivka k leží na rotační válcové ploše, kružnice l je její řídící kružnice, osa válcové ploch je přímka o rovnoběžná s osou z. Třetí z-ové souřadnice křivk k jsou kladné pro t ) ( 0, π, záporné pro t π, ) 3π a kladné pro t ( 3π, π ). Pro interval ) ) 0, π a π, 3π (pravá polovina kružnice l) má křivka k různě z-ové souřadnice. 68
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY Stejně je tomu tak pro interval ( π, π a ( 3π, π (levá polovina kružnice l). Stejné souřadnice při různých hodnotách parametru t jsou pouze Vpočteme tečné vektor a dosadíme k(0) = k(π) = [0, 0, ] = T, ( π ) ( ) 3π k = k = [0,, 0] = U. k (t) = ( cos t, sin t, sin t). k (0) = k (π) = (, 0, 0), ( π ) k = (, 0, ) (1, 0, 1), ( ) 3π k = (, 0, ) (1, 0, 1). V bodě T je jen jedna tečna rovnoběžná s osou. Křivka začíná a končí v jednom bodě T, křivka je uzavřená. V uzlovém bodě U má křivka dvě různé tečn: Tto tečn určují rovinu: p(s) = [s,, s], s R, q(u) = [u,, u], u R. α : = 0. Podívejme se ještě na křivk m a n, ted na bokors a nárs křivk k. Křivku m(t) = [0, 1 cos t, cos t], t 0, π upravme m(t) = [0, 1 cos t + sin t, cos t] = [0, cos t, cos t]. a provedeme substituci v = cos t. Dostaneme jinou parametrizaci křivk m: m(v) = [0, v, v], v 1, 1. Odsud již vidíme, že bokorsem křivk k je část parabol. 69
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY Obrázek 4.9: Bokors křivk k pro t 0, π Křivku n(t) = [sin t, 0, cos t], t 0, π nakreslíme s vužitím grafického programu. Z tohoto obrázku je již zřejmé, že křivka má uzlový bod. Obrázek 4.10: Nárs křivk k pro t 0, π Křivka k se nazývá Vivianiho křivka (nebo také Vivianiho okénko) a je průnikem válcové ploch + ( 1) = 1 a kulové ploch + + z = 4. Viz práce studenta Michala Šestáka: Parametrické vjádření rotačních a šroubových ploch. 70
KAPITOLA 4. DALŠÍ PROSTOROVÉ KŘIVKY T z k O U p Obrázek 4.11: Křivka k pro t 0, π q 71
5. Příklad na procvičení Příklad 1 Je dána křivka k(t) = [3 cos 3 t, 3 sin 3 t], t 0, π. Napište souřadnice singulárních bodů. Pokud tto bod leží na jedné kružnici, napište její parametrické vjádření. Napište souřadnice průsečíků křivk k a přímek = a =. Napište obecné rovnice tečen křivk v těchto průsečících. Křivku nakreslete. Příklad Je dána křivka k(t) = [3 cos t cos 3t, 3 sin t sin 3t], t 0; π. Napište souřadnice průsečíků křivk k se souřadnicovými osami. Napište obecné rovnice tečen v těchto průsečících. Křivku nakreslete. Příklad 3 Napište parametrické vjádření 1 závitu (t 0; π ) šroubovice bodu A = [ 3, 4, 5]. Osa levotočivého šroubového pohbu je osa z. Redukovaná výška v 0 =. Popište tečnu šroubovice v bodě T = k ( ) π a napište obecnou rovnici normálové rovin křivk v tomto bodě. Příklad 4 Je dána křivka k(t) = [t + t, 3t, t 3 t], t R. Popište tečn křivk, které jsou rovnoběžné s rovinou α : + 3z = 0. 7
5.1. VÝSLEDKY KAPITOLA 5. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ 5.1 Výsledk Příklad 1 p 1 p O p 4 p 3 Křivka se nazývá astroida. Singulární bod jsou Kružnice procházející singulárními bod je Obrázek 5.1: Křivka k pro t 0, π S 1 = k (π) = [ 3, 0], ( π ) S = k = [0, 3], ( ) 3π S 3 = k = [0, 3], S 4 = k (0) = k (π) = [3, 0]. m(s) = [3 cos t, 3 sin t], s 0, π. 73
5.1. VÝSLEDKY KAPITOLA 5. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Průsečík přímek = a = s křivkou k jsou [ T 1 = 3 4, 3 ] ( 3π = k 4 4 [ T = 3 ] ( 5π 4, 3 = k 4 4 [ 3 ] ( 7π T 3 = 4, 3 = k 4 4 [ 3 T 4 = 4, 3 ] ( π ) = k. 4 4 Rovnice tečen v těchto bodech jsou ), ), ), p 1 : + 3 p : + + 3 p 3 : 3 p 4 : + 3 = 0, = 0, = 0, = 0. 74
5.1. VÝSLEDKY KAPITOLA 5. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Příklad p O p 3 Obrázek 5.: Křivka k pro t 0, π Průsečík křivk k se souřadnicovými osami jsou P 1 = k(π) = [, 0], ( π ) P = k = [0, 4], ( ) 3π P 3 = k = [0, 4], P 4 = k(0) = k(π) = [, 0]. Bod P 1 a P 4 jsou singulární bod, nebot k (0) = k (π) = k (π) = (0, 0). Tečn v bodech P a P 3 jsou p : = 4 p 3 : = 4 75
5.1. VÝSLEDKY KAPITOLA 5. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Příklad 3 z k p T A O Obrázek 5.3: Levotočivá šroubovice pro t 0, π Parametrické vjádření jednoho závitu šroubovice k je k(t) = [ 3 cos t + 4 sin t, 4 cos t + 3 sin t, 5 + t], t 0, π. Tečna v bodě T = k ( π ) = [4, 3, 5 + π] je Normálová rovina v bodě T je p(s) = [4 + 3s, 3 4s, 5 + π + s], s R. m α : 3 4 + z 10 π = 0. 76
5.1. VÝSLEDKY KAPITOLA 5. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Příklad 4 z p 1 T1 O T p k Tečné vektor křivk k jsou Obrázek 5.4: Křivka k pro t 10, 10 k (t) = (t +, 3, 3t 1). a vektor kolmý k α je (0,, 3). Ab bla tečna rovnoběžná s rovinou α, musí být Tato rovnice má řešení t = 1 a t = 1. Tečna v bodě T 1 = k(1) = [3, 3, 0] je (t +, 3, 3t 1) (0,, 3) = 0, tj. 6 + 9t 3 = 0. p 1 (s) = k(1) + s k (1), p 1 (s) = [3 + 4s, 3 3s, s], s R. Tečna v bodě T = k( 1) = [ 1, 3, 0] je p (u) = k( 1) + u k ( 1), p (u) = [ 1, 3 3u, u], u R. 77
6. Křivk v prai Pokud se pozorně porozhlédnete kolem sebe, jistě někde uvidíte kružnici nebo kruh, at už je to okraj hrnečku, prstýnek na ruce nebo kruhová značka. Kruhová okna (rozet) pak můžeme vidět na gotických chrámech. Obrázek 6.1: Rozeta v kostele svatého Matáše v Richmondu v Anglii Velmi často se setkáme také s elipsou. Stačí vzít válcovou skleničku s vodou (ne úplně plnou) a tu trochu naklonit. Povrch vodní hladin je ohraničen elipsou. Nebo ukrojte našikmo válcovou šišku salámu. Elipsu můžeme vidět i v architektuře, zejména v barokní architektuře (půdors staveb aj.). Kovová vrata u metra Malostranská v Praze jsou sestaven z mnoha nejrůznějších elips. Svítí-li vhodně Slunce, jsou stín na zdech zase elips (jiné než na vratech). 78
KAPITOLA 6. KR IVKY V PRAXI Obra zek 6.: Elips na vratech u stanice metra Malostranska v Praze V architektur e najdeme take c a sti parabol, jsou to c asto mostnı oblouk. Obra zek 6.3: Mostnı oblouk v Bechni tvor en c a stı parabol U administrativnı budov v C esk ch Bude jovicı ch je vuz ita parabola pro ohranic enı oken. Va lcova ve z je zastr es ena s ikmou str echou, hranic nı mnohou helnı k je na hradou elips. 79
KAPITOLA 6. KŘIVKY V PRAXI Obrázek 6.4: Administrativní budova v Českých Budějovicích Co se týče hperbol, můžete mít pocit, že tu hned neuvidíme. Ale vezměte si lampu se stínítkem zakončeným kružnicí v rovině rovnoběžné s podlahou. Lampu postavte blízko zdi. Hranice mezi stínem a světlem je část hperbol. Obrázek 6.5: Hranice mezi stínem a světlem je část hperbol Jistě dokážete naklonit lampu tak, ab hranicí bla elipsa nebo část parabol. Co se týče prostorových křivek, nejčastěji uvidíme šroubovici. Bývá to zábradlí točitých schodišt. Na obrázcích jsou schodiště z Lorettské kaple a z Vatikánského muzea. 80
KAPITOLA 6. KR IVKY V PRAXI Obra zek 6.6: Toc ite schodis te v Lorettske kapli v Santa Fe v Nove m Meiku Obra zek 6.7: Toc ite schodis te tvor ene dvous roubovicı ve Vatika nske m muzeu Jiste si jes te vzpomenete na s roub, v vrtk aj. V neposlednı r ade si pr ipomeneme molekulu DNA (deoribonukleove kselin), ac koliv tu vide t pouh m okem nemu z eme vzhledem k jejı m rozme ru m. DNA ma tvar pravotoc ive dvous roubovice (ale mu z e b t i levotoc iva ). Dve s roubovice majı spolec nou osu a stejnou v s ku za vitu v, jen jsou vza jemne posunut (posunutı ve sme ru spolec ne os). Poznamenejme, z e eistujı i jine zpu sob uspor a da nı. 81
KAPITOLA 6. KR IVKY V PRAXI Obra zek 6.8: DNA ma tvar pravotoc ive s roubovice Obra zek 6.9: Dals ı struktur DNA 8