Čás IV. Aalýza časových řad Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Časovou řadou rozuíe posloupos věcě a prosorově srovaelých pozorováí (da), kerá jsou jedozačě uspořádáa z hlediska času ve sěru iulos příoos. Časovou řadou v olasi doprav ůže ý apř. poče dopravích ehod v jedolivých leech, poče regisrovaých vozidel v jedolivých leech apod. Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3
Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
Časové řad lze člei podle růzých kriérií:. Podle rozhodého časového hlediska.. Podle periodici, s jakou jsou údaje sledová. 3. Podle druhu sledovaých ukazaelů. 4. Podle způsou vjádřeí údajů. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5
) Podle rozhodého časového hlediska rozlišujee: Časové řad iervalové (resp. časové řad iervalových ukazaelů). Časové řad okažikové (resp. časové řad okažikových ukazaelů). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6
Iervalovou časovou řadou rozuíe řadu akového ukazaele, jehož velikos závisí a délce iervalu, za kerý je sledová. Pro ukazaele ohoo pu á ssl voři souč, ukázkou iervalové časové řad ůže ý řada zorazující vývoj poču dopravích ehod v jedolivých leech. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7
Sledovaé údaje se ají vzahova ke sejě dlouhý časový iervalů, provádíe zv. očišěí časových řad od vlivů kaledářích variací(sledovaé údaje přepočíáváe a jedokový časový ierval) Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8
Údaje očišěé a kaledáří d získáe podle vzahu: ( o) k k, kde: je hodoa očišťovaého ukazaele, k je poče kaledářích dí v daé odoí, k je průěrý poče kaledářích dí v daé odoí. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9
k 366 k 3,5 Měsíc Poče dí ěsíce k Poče ehod Očišěý poče ehod () Lede 3 8939 8634 Úor 9 637 697 Březe 3 7849 756 Due 3 574 5986 Kvěe 3 7694 749 Červe 3 794 83 Červeec 3 6 699 6 43 Srpe 3 7386 76 Září 3 689 79 Říje 3 95 8797 Lisopad 3 8644 8955 Prosiec 3 8596 896 apř. k 3,5 8939 & k 3 () 8634 Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Údaje očišěé a pracoví d získáe podle vzahu: ( o) p p, kde: je hodoa očišťovaého ukazaele, p je poče pracovích dí v daé odoí, p je průěrý poče pracovích dí v daé odoí. Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Okažikové časové řad jsou voře z údajů, keré se vzahují k určiéu okažiku. Příklade ůže ý poče evidovaých vozidel v ČR k 3.. každého roku. U ěcho řad eá ssl saovova souč. Řad ohoo pu se shrují poocí chroologického průěru. Ig. Michal Dorda, Ph.D.
V případě, že je délka ezi jedolivýi časovýi okažik sejá, počíáe prosý chroologický průěr: kde: jsou jedolivé hodo okažikového ukazaele. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3,...... 3,,...,,
V případě, že délka ezi jedolivýi časovýi okažik eí kosaí, počíáe vážeý chroologický průěr: d d d 3 d...... d kde:,,...,, jsou jedolivé hodo okažikového ukazaele, d, d,..., d jsou délk jedolivých časových iervalů. d, Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
Dau Poče zaěsaců Délka časové ezer d..9 5 3..9 64 8.3.9 58 3.4.9 74 3.5.9 76 3.6.9 7 5 64 64 3 58 58 74 74 8 3 3 8 3 3 3 76 76 3 7 3 & 67 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5
) Podle periodici, s jakou jsou údaje sledová, rozlišujee: Krákodoé časové řad (periodicia je kraší ež rok) zpravidla ěsíc. Ročí (dlouhodoé) časové řad(periodicia je ročí eo ješě delší). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6
3) Podle druhu sledovaých ukazaelů rozlišujee: Časovou řadu asoluích hodo (zpravidla časová řada očišěá od kaledářích variací). Časovou řadu odvozeých charakerisik vzikají a základě asoluích údajů, apř. časové řad součové (apř. časová řada klouzavých ročích úhrů) Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7
Klouzavý ročí úhre rozuíe hodou iervalového ukazaele za celé ročí odoí, keré kočí sledovaý ěsíce. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8
Měsíc Poče ehod Rozdíl roku 5 6 6-5 Klouzavé ročí úhr Lede 6 96 7 9 58 996 58 995 Úor 6 375 6 789 44 995 44 99934 Březe 5 57 7 748 99934 55 Due 4 68 5 598 43 55 43 3585 Kvěe 6 87 7 3 4 3585 4 3789 Červe 6 77 7 996 89 3789 89 578 Červeec 5 937 746-49 578-49 887 Srpe 7 65 3 595-347 887-347 9747 Září 6 536 3 854-68 9747-68 94735 Říje 6 7 5 84-88 94735-88 93855 Lisopad 7 693 5 63-6 93855-6 9794 Prosiec 8 745 4 96-389 9794-389 87965 996 87965 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9
4) Podle způsou vjádřeí údajů rozlišujee časové řad: Naurálích ukazaelů (hodo příslušého ukazaele jsou vjádře aurálí kriérie). Peěžích ukazaelů (hodo ukazaele jsou vjádře v peěží forě). Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Mezi základí charakerisik časových řad zařazujee:. Diferece jedolivých řádů (zejéa. a. řádu).. Tepa růsu (řeězové idex). 3. Průěré epo růsu. 4. Průěr hodo časové řad. Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Měje hodo sledovaého ukazaele pro,,...,. ) Difereci. řádu saovíe dle vzahu: D pro,..., Difereci. řádu určíe podle vzahu: D D D pro 3,...,.. Ig. Michal Dorda, Ph.D.
) Tepa růsu určíe dle vzahu: k pro,...,. Pokud pořeujee epo růsu vjádři v proceech, poo: % k ( k ) pro,..., [%]. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3
3) Průěré epo růsu se saoví jako geoerický průěr jedolivých ep růsu: k ( k k ) 3... k. Průěré epo růsu vjádřeé v % získáe podle vzahu: k % k ( ) [%] Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
4) V případěiervalové řad očišěé od vlivu kaledářích variací saovíe průěr všech hodo ukazaele jako arieický průěr:. V případě okažikové řad použijee vzah pro výpoče chroologického průěru (viz dříve). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5
Poče ehod Měsíc D 6 D k [-] k % [%] Lede 7 9 - - - - Úor 6 789-43 -,975 -,5 Březe 3 7 748 959 389,57 5,7 Due 4 5 598-5 -39,8789 -, Kvěe 5 7 3 433 3583,99 9,9 Červe 6 7 996 965-468,567 5,67 Červeec 7 746-65 -75,657-34,73 Srpe 8 3 595 849 899,574 5,74 Září 9 3 854 59-59,9,9 Říje 5 84 987 78,434 4,34 Lisopad 5 63-9 -96,9868 -,3 Prosiec 4 96-76 -57,954-4,58 78 87965 apř. D 6789 79 43 D3 D3 D 959 959 389 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6
apř. k k 6789 & 79,98 6789 &,5% 79 % k ( k k... k ) (,975,57...,954) &, 987 3 k % (,987 ),3% & Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7
Za základí pricip odelu časové řad se používá jedorozěrý odel: f (, ε ), kde je hodoa ukazaele v čase, kde,,...,. a ε je hodoa áhodé složk v čase Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8
K ouo odelu lze přisupova více způso, zpravidla se užívá klasický (forálí) odel, kerý dekopouje časovou řadu a složku: Tredovou (T). Sezóí (S ). Cklickou (C ). Náhodou (ε ). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9
Vlasí rozklad časové řad v adiiví varu poo vpadá: T S C ε Y ε, kde Y se azývá eoreická (deeriisická) složka. Trederozuíe hlaví edeci dlouhodoého vývoje sledovaého ukazaele v čase rosoucí red, klesající red, řada ez redu. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3
Sezóí složka je pravidelě se opakující odchlka od redové složk vskující se u časových řad s periodiciou eší ež rok. Cklickou složkou rozuíe kolísáí okolo redu v důsledku dlouhodoého cklického vývoje s délkou vl delší ež rok. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3
Náhodá složka je složka, kerou elze popsa žádou fukcí času, její zdroje jsou droé a epopsaelé příči. Ní ás ude zajía popis redové složk poocí redových fukcí. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3
Nejčasěji se vužívají o redové fukce:. Lieárí red.. Paraolický red. 3. Expoeciálí red. 4. Modifikovaý (posuuý) expoeciálí red. 5. Logisický red. 6. Goperzova křivka. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 33
) Lieárí red Měje hodo sledovaého ukazaele pro,,...,. Skuečý průěh Y β β ezáe, provádíe pouze odhad ohoo redu ve varu: ). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 34
Pro odhad paraerů lze použí eodu eješích čverců, ed: ( ) ( ) i. ) ϕ Položíe-li parciálí derivací rov ule a upravíe, dosaee: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 35. ), )
Z prví rovice vjádříe:. Dosazeí do druhé rovice a algeraickýi úpravai dosaee: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 36.
Jelikož plaí:, a ůžee psá: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 37.
Uvedeé vzah pro výpoče odhadů paraerů odelu lze zjedoduši ásledující úpravou. Počáek časové proěé, ed uisťujee a, kde áe z chroologického hlediska prví pozorováí. Zaveďe si proěou ak, a plailo:. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 38
Pro sudý poče pozorováí apř. lede úor řeze due kvěe červe 3 4 5 6-3 - - 3 Pro lichý poče pozorováí apř. lede úor řeze due kvěe 3 4 5 - - Ig. Michal Dorda, Ph.D. 39
Jelikož plaí: k ( ) pro k,3,5,... a, dosaee zjedodušeé vzah pro odhad paraerů odelu ve varu: a ( ). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
Př.: Bl sledová poč prodaých auooilů v jedo roce. Saove rovici lieárího redu pro uo časovou řadu. Dále proveďe předpověď poču prodaých auooilů pro další dva adcházející ěsíce. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
Měsíc ' ' ' ' (') Lede -6 59-374 36 Úor -5 6-35 5 Březe -4 689-756 6 Due -3 69-76 9 Kvěe - 785-57 4 Červe - 8-8 Červeec 898 898 Srpe 95 9 4 Září 3 5 35 9 Říje 4 58 463 6 Lisopad 5 3 66 5 Prosiec 6 5 96 36 33 85 8 99,4 7,36 ) 99,4 7, 36 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
6 4 8 6 4 Poče prodaých auooilů 7,357x 99,4-6 -5-4 -3 - - 3 4 5 6 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 43
Předpověď pro prví ásledující ěsíc získáe dosazeí 7: ) 99,4 7,36 7 4auooilů Předpověď pro druhý ásledující ěsíc získáe dosazeí 8: ) 99,4 7,36 8 48 auooilů Ig. Michal Dorda, Ph.D. 44
Př.: Na základě předchozích sčíáí iezi je záa hodoa RPDI pro předcházející odoí. Odhaděe rovici lieárího redu pro RPDI a exrapolací odhaděe předpokládaou hodou RPDI v příší odoí. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 45
Rok 98 53 985 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 46 99 3 948 995 4 3578 5 4987 5 6 6 7 765 ( ) ( ) R ˆ.
Rok ŷ (ŷ - p ) ( - p ) 98 53 53 8 79347,7 6359763,45 985 44 4 67 35554,7 339989,6 99 3 948 38844 9 36 88385,67 395,59 995 4 3578 543 6 445, 7955,59 5 4987 74935 5 4984 88385,67 887633,6 5 6 6 967 36 593 35554,7 386965, 7 765 9455 49 686 79347,7 96,88 8 49543 4 4678798,89 5597,86 Průěr 4 444,86 RPDI 8 7 6 5 4 3 Vývoj RPDI 938,8x 9 R²,9848 3 4 5 6 7 89,57 938,8 R,98 ˆ 89,57 938, 8 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 47
Předpověď pro prví ásledující odoí (rok 5) získáe dosazeí 8 do rovice redu: ˆ 89,57 938,8 8 & 78 vozidel de 8 -. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 48
) Paraolický red Pro odhad průěhu redu lze psá: ), resp. po provedeí rasforace časové proěé: ) ( ). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 49
Aplikací eod eješích čverců dosaee: ( ) ( ) [ ]. i ) ϕ Položíe-li parciálí derivací rov ule a upravíe, dosaee: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,, 4 3 3
Úpravai získáe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 4 4 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )., 4
Př.: Bl sledová poč prodaých auooilů v jedo roce. Saove rovici paraolického redu pro uo časovou řadu. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5
Měsíc ' ' ' ' (') (') 4 (') ' Lede -6 59-374 36 96 944 Úor -5 6-35 5 65 555 Březe -4 689-756 6 56 4 Due -3 69-76 9 8 68 Kvěe - 785-57 4 6 34 Červe - 8-8 8 Červeec 898 898 898 Srpe 8 64 4 6 384 Září 3 796 388 9 8 764 Říje 4 758 33 6 56 8 Lisopad 5 76 38 5 65 95 Prosiec 6 74 4446 36 96 6676 89 75 8 455 498 88,97 4,9-5,69 ) 88,97 4,9 5,69( ) ( ) Ig. Michal Dorda, Ph.D. 53
Poče prodaých auooilů 9 8 7 6 5 4 3-5,696x 4,98x 88,97-6 -5-4 -3 - - 3 4 5 6 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 54
Pro posouzeí kvali odelu se opě používá idex deeriace, kerý je defiová sejě jako u lieárího redu. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 55
3) Expoeciálí red Pro odhad průěhu redu lze psá: ) pro >. Teo odel eí lieárí v paraerech, elze přío použí eodu eješích čverců. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 56
Odhad paraerů odelu lze získa: a) Meodou liearizujícírasforace a aplikací eod eješích čverců. ) Meodou liearizujícírasforace a aplikací vážeé eod eješích čverců. K odhadu paraerů lze použí i jiých eod ež eoda eješích čverců Meoda vraých odů. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 57
a) Nejdříve provedee liearizujícírasforaci (udee pracova s rasforovaou proěou ): log ) log ) ( ) log( ),, log log Ozače A log, B, poo ůžee psá: log ) A B.. log Ig. Michal Dorda, Ph.D. 58
Ní lze aplikova eodu eješích čverců v logariické varu, ed: Záý posupe dosaee: ( ) ( ). i log log log B A ) ϕ Ig. Michal Dorda, Ph.D. 59 ( ) ( ). log log log log log, log log log log log
Jelikož jse použili eodu eješích čverců v logariické forě, je uo přisoupi ke saoveí idexu deeriace rověž v logariické forě: R ( ) log ˆ log ( ). log log Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6
) Odhad paraerů ouo eodou eá příliš doré saisické vlasosi, vhodější je použí vážeou eodu eješích čverců: ϕ w ) kde ( log log ) w ( log A B ) i, w. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6
Záý posupe dosaee: ( ). log log log, log log log Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6 ( ). log log log
Řešeí cho získali vzah pro odhad paraerů ve varu: ( ), log log log Ig. Michal Dorda, Ph.D. 63 ( ) ( ). log log log, log
Př.: Bl sledová poč prodaých auooilů v jedo roce. Saove rovici expoeciálího redu eodou eješích čverců a vážeou eodou eješích čverců pro uo časovou řadu a dosažeý výsledk poroveje. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 64
Měsíc ' ' log ' ' log ' (') ( ' -ŷ ' ) Lede -6 5.7 -.3 36 79.54 Úor -5 58.4 -.6 5 84.8 Březe -4 59.7 -.89 6 959.38 Due -3 985.99-8.98 9 7573.7 Kvěe - 54 3.8-6.37 4 488863.8 Červe - 5 3.33-3.33 944.84 Červeec 654 3.4 3.4 63.65 Srpe 35 3.5 7. 4 468.46 Září 3 45 3.65.96 9 8378.9 Říje 4 65 3.79 5.7 6 7877.4 Lisopad 5 98 3.99 9.96 5 6395.7 Prosiec 6 54 4.8 5.9 36 75.8 47 38.9 9.7 8 8534.34 log log 3,4 log,6 748,73,46 l,38 a x a x Ig. Michal Dorda, Ph.D. 65
Měsíc ' (') ' ( ' ) log ' ' ( ' ) (') ( ' ) ' ( ' ) log ' ( ' ) log ' ( ' -ŷ ' ) Lede -6 36 5 74.7-64 97344-784.44 464.7 353.93 Úor -5 5 58 66564.4-338 664-8635.7 657.5 478.77 Březe -4 6 59 7984.7-9364 4477456-348538.3 7634.56 4597.79 Due -3 9 985 975.99-9675 8735-879. 9436.67 44.83 Kvěe - 4 54 3576 3.8-46455 9934-4785448.99 73974.49 365395.78 Červe - 5 4634 3.33-4634 4634-5434739.5 5434739.5 78673.34 Červeec 654 74376 3.4 74376 74376 46985.68 46985.68 466.6 Srpe 4 35 3365 3.5 6745 43449 753.39 365.7 9383.5 Září 3 9 45 684 3.65 684 8436 47.3 744737. 434656.5 Říje 4 6 65 38665 3.79 54549 6896 58654.9 46563.73 593.38 Lisopad 5 5 98 96454 3.99 4865 435 955783.6 3855566.3 48.55 Prosiec 6 36 54 3465796 4.8 388794776 833768656 588778.43 968463.4 467394.4 8 47 4465 38.9 447 67866 8595589475.3 66698483.93 378443.43 log 3,6 log,5 833,33,4 l,35 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 66
Meodou eješích čverců jse získali: ϕ ( ) ) 8534,34. & Vážeou eodou eješích čverců jse získali: ϕ ( ) ) 378443,43. & Vidíe, že reziduálí souče čverců je v druhé případě podsaě ižší, proo cho za odhad paraerů zvolili o výsledk. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 67
Poče prodaých auooilů 8 6 4 8 6 4 748,7e,3757x -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 68
4) Modifikovaý expoeciálí red Pro odhad průěhu redu lze psá: ) k pro >. Odhad paraerů je již složiější, proože redovou fukci eůžee liearizovapro použií eod eješích čverců. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 69
, < < < > k, > < > k Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7, < < > > k, > > > k
Meod, keré se používají pro odhad paraerů odifikovaé expoeciálí redové fukce, jsou: a) Meoda čásečých součů. ) Meoda dílčích průěrů. c) Meoda vraých odů. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7
a) Meoda čásečých součů je založea a vvořeí ří a see avazujících a současě disjukích součů S, S a S 3 o délce, přičež plaí, že 3, kde je poče přičež plaí, že 3, kde je poče pozorováí. Plaí ed:.,, 3 3 S S S 7 Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Neí-li poče pozorováí dělielý 3, poo se vechává pořeý poče pozorováí a začáku časové řad pro poře odhadu paraerů vecháe prvích -3 pozorováí, zývající pozorováí poo přiřadíe pořadí až 3. Ní dosadíe do čásečých součů předpis pro odhad odifikovaé expoeciálí redové fukce. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 73
( ) ( ),, 3 3 3 k k S k k S ( ). 3 k k S 74 Ig. Michal Dorda, Ph.D. * Je řea si uvědoi, že o výraz reprezeují souče čleů geoerické poslouposi. Pro eo souče oecě plaí:. q q a S
Vužijee-li zalosí o souču prvích čleů geoerické poslouposi, dosaee:, 3 k k S Ig. Michal Dorda, Ph.D. 75., 3 k k S k k S
Máe sousavu 3 rovic o 3 ezáých, kerýi jsou odhad paraerů odifikovaého expoeciálího redu. Vásoe prví rovici (-) a přičěe ji k Vásoe prví rovici (-) a přičěe ji k druhé rovici. Po eších úpravách dosaee: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 76 ( ) ( ) ( ). S S
Z ohoo výrazu již ůžee vjádři: ( ) ( ). S S Ní vásoe druhou rovici (-) a přičěe ji ke řeí rovici. Po eších úpravách dosaee: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 77 ( ) ( ) ( ). 3 S S
Dosadíe-li do získaého výrazu vzah pro výpoče paraeru, dosaee: ( ) ( ) ( ). 3 S S S S Po úpravách ůžee vjádři ve varu Ig. Michal Dorda, Ph.D. 78 ( ) ( ) ( ). 3 S S S S
Posledí paraer kůžee poo vjádři apř. z prví rovice. Dosaee: k S. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 79
Př.: Je zadáa časová řada číající 9 pozorováí. Meodou čásečých součů proveďe odhad paraerů posuuého expoeciálího redu. 3 3 5 4 5 35 6 4 7 58 8 8 9 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8
Odvodili jse si, že odhad paraerů získáe podle vzahů: ( ) ( ), S S Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8 ( ) ( ) ( ), 3 S S S S. a S k
Dosazeí do ěcho vzahů dosaee ásledující výsledk. 3 S 8 S 98 S 3 49,8,9 k -,83 ˆ,83,8, 9 ŷ 3 4,44 8,9 3 5 4,66 4, 5 35 3,73 6 4 44,6 7 58 6, 8 8 8,98 9 7,8 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8
Pozorováí Tred 8 6 4 4 6 8 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 83
) Meoda dílčích průěrů je odifikací eod předchozí. Tao eoda zavádí dolí dílčí souče S d, horí dílčí souče S h a prosředí souče S p. Pro prví dva souč plaí: S S d h 5 5 5 4,. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 84
Máe-li lichý poče pozorováí, poo pro prosředí souče plaí: ( ), 5 S p je-li sudé, poo plaí: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 85 ( ), 5 S p. 6 3 S p
Paraer redu poo saovíe dle vzahu: S h S p S p S d ( 5) Záe-li paraer redu, poo lze redovou fukci považova za lieárí v paraerech a ůžee použí eodu eješích čverců. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 86
Můžee ed psá: ( ). i k ϕ Záý posupe dosaee: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 87 ( )., k k
Z prví rovice ůžee vjádři ve varu:. k Dosadíe-li eo výraz do druhé rovice, dosaee po úpravách: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 88 ( ) ( ). k
c) Meoda vraých odů je založea a výěru počáečího odu, kerý pro jedoduchos zpravidla volíe. Další dva od volíe a, kde opě plaí, že:. 3 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 89
Paraer redové fukce poo saovíe dle vzahů:, Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9.,, k
5) Logisický red Aalýza časových řad Pro odhad průěhu redu lze psá: ) k e. Teo fukčí předpis je jede z ožých předpisů pro logisický red. Logisická křivka se ěkd aké azývá S-křivka. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9
4. fáze 5. fáze 3. fáze. fáze. fáze Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9
Průěh logisického redu lze rozděli do 5 fází:. fáze: vzik ových výroků a iovací, keré se začíají pozvola prosazova (rozvoj je zpoalová exisecí sarých výroků, keré si zaí zachovávají svůj vliv).. fáze: dochází k výrazéu prosazeí ových výroků a iovací. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 93
3. fáze: ové výrok a iovace plě ovládl další vývoj, icéě dochází k ázaku zě redu ojevují se ovější výrok a další iovace (v éo fázi se achází iflexí od). 4. fáze: dochází k úluu a posupéu ahrazováí ovějšíi výrok a iovacei. 5. fáze: dochází k úpléu úluu a ahrazeí ovějšíi výrok a iovacei. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 94
Odhad paraerů logisického redu lze provés více způso a o: a) Meodou čásečých součů. ) Meodou vraých odů. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 95
a) Při odhadu paraerů eodou čásečých součů zavedee pro,,, susiuci: x ˆ ˆ. Poo ůžee psá: k k ˆ x k což je zápis odifikovaé expoeciálí redové fukce., Ig. Michal Dorda, Ph.D. 96
Dále ed posupujee jako u odhadu paraerů pro odifikovaý expoeciálí red. Zaveďe ásledující začeí: K, k B. k Ig. Michal Dorda, Ph.D. 97
Pro fukci logisického redu ůžee ed psá:. ˆ B K x Ní vvoříe 3 čásečé souč, každý o délce pozorováí: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 98.,, 3 3 S S S
Záýi vzah spočíáe odhad koeficieů odelu: ( ) ( ), S S B Ig. Michal Dorda, Ph.D. 99 ( ) ( ) ( ), 3 S S S S. a B S K
Odhad původích paraerů odelu poo získáe zpěou rasforací: k, K k B. Teo posup lze použí pouze ehd, pokud je ají rozdíl S -S a S 3 -S sejá zaéka. Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Př.: V aulce je dáa časová řada vývoje supě auooilizace v ČR v leech 99 8. Nalezěe odhad logisické redové fukce popisující eo vývoj a odhaděe supeň auooilizace v roce 5. Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Rok Poče osoích vozidel a ovael 99 33 99 4 99 3 5 993 4 66 994 5 83 995 6 95 996 7 39 997 8 39 998 9 339 999 335 335 345 3 358 3 4 363 4 5 374 5 6 387 6 7 399 7 8 4 8 9 44 Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Jelikož eáe poče pozorováí dělielý 3, usíe vecha. pozorováí, poo udee voři čásečé souč o délce 6 pozorováí, pro poře ěcho výpočů zavedee pořeou rasforaci a přečíslujee si časovou proěou. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3
/,45,4 3,376 4,353 5,339 6,34 7,34 8,95 9,99,99,9,79 3,75 4,67 5,58 6,5 7,43 8,36 6 S,7 S,765 S 3,53 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
( ) ( ), S S B Odvozeýi vzah spočíáe odhad paraerů pro susiuovaý red: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5 ( ) ( ) ( ), 3 S S S S. a B S K B,4,89996 K,
A akoec zpěou rasforací získáe odhad paraerů logisického redu:,6 k K,9 k 474,53 k. Dosáváe rovici redu ve varu: ˆ 474,53,6,9., B Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6
Pozorováí Tred Poče osoích voz zidel a ova el 45 4 35 3 5 5 5 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7
Odhad supě auooilizace pro rok 5 dosaee dosazeí za 6: 474,53,6,9 ˆ 6 6 444 auooilů a ovael. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8
) Při eodě vraých odů opě veree počáečí od, kerý pro jedoduchos volíe. Další dva od volíe a. Dosazeí do fukčího předpisu pro logisický red dosaee: k, k, k. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9
Z prvího vzahu vjádříe :. k Dosazeí do druhého vzahu a ásledýi úpravai ůžee vjádři ve varu: Ig. Michal Dorda, Ph.D. ( ) ( ). k k
Dosadíe-li oa paraer do posledí rovice, ůžee vjádři paraer k: ( ). k Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Odhad paraerů logisického redu eodou vraých odů lze realizova i další způsoe. Uvažuje opě od, a (pro jedoduchos opě zvolíe ). Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Zaveďe poocé veliči:, k k S Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3., 3 S k k S
Dosadíe-li za, ůžee psá:, k k k k S Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4., 3 S k k k k S
Dosadíe-li do. rovice. rovici, dosaee: S S, z čehož už sado vjádříe: S S. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5
Dosadíe-li do 3. rovice, ůžee psá:, 3 S S S S S z čehož vjádříe : Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6 S. 3 3 S S S S
Záe-li paraer a, ůžee paraer kvjádři z fukčího předpisu logisické redové fukce, kde dosadíe : k k ( ). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7
Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8
6) Goperzova křivka Má podoý průěh jako logisická křivka, ale eí serická. Pro odhad průěhu redu lze psá: ) k. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9
k Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Chcee-li provés odhad paraerů Goperzovfukce, zlogariováí převedee fukčí předpis do podo: l ˆ l ˆ l k, l k l. Touo úpravou jse v podsaě získali fukci odifikovaého expoeciálího redu. Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Zavedee-li susiuce Klka B l, ůžee paraer redové fukce odhadou sejýi eodai jako u odifikovaého expoeciálího redu. Ig. Michal Dorda, Ph.D.
Ní se zaěře a o, a základě jakých kriérií zvoli vhodý p redu. Vhodý p redu lze voli:. Na základě aalýz grafu sudovaé časové řad (zda jde o rosoucí či klesající red, zda přichází v úvahu iflexí od, zda jde o fukci rosoucí do ekoeča eo rosoucí k ějaké koečé liiě apod.) Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3
) Dále lze vhodý p redové fukce vra a základě hodo reziduálího souču čverců, kd z ožých redových fukcí veree u s iiálí reziduálí souče čverců. Další kriérie ůže ý idex deeriace záý z regresí aalýz, jako vhodý p redové fukce veree akový, u kerého je idex deeriace ejvšší. Sahou je ale použí co ejjedodušší odel redové fukce. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
3) Rozhodujee-li se ezi lieárí, paraolický eo expoeciálí rede, lze použí aalýzu diferecí časové řad. Diferece příslušých řádů defiujee: D D D3 ad. D D D pro D,...,, pro pro 3,...,, 4,...,, Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5
Pro lieárí red je pické, že diferece prvího řádu jsou přiližě sejé a diferece druhého řádu jsou přiližě ulové. D D - - - 3 3 4 4 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6
Pro paraolický red je pické, že diferece prvího řádu vkazují lieárí red, diferece druhého řádu jsou přiližě sejé a diferece řeího řádu přiližě ulové. D D D3 - - - 3 - - 3 3 3 5-4 4 4 7 5 5 5 9 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7
Na expoeciálí red udee usuzova a základě relaivích diferecí prvího řádu defiovaých podíle: D pro D 3,..., a eo a základě ep růsu defiovaých: k pro,...,. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8
Budou-li o charakerisik kolísa kole kosa, lze pro popis redové složk časové řad použí expoeciálí red. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9
4) Vhodý p redové fukce lze provés a základě aalýz růsových charakerisik. Předpoklade je očišěí časové řad od áhodých výkvů a výpoče průěrých růsových charakerisik. Očišěí časové řad od ahodilého kolísáí se ejčasěji provádí poocí lieárích filrů, ejčasěji poocí klouzavých průěrů. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3
Výpoče klouzavých průěrů: Zvole liché <, kde je poče pozorováí. Posupě spočíáe průěr pro prvích pozorováí ed pro,,...,, pak pro dalších pozorováí ed pro ad. Oecě, 3,..., ůžee psá: p p... pro p, p,..., p, kde p, p p. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3
Hodou pvolíe zpravidla, 3 eo 4. Zaveďe dále průěrou růsovou charakerisiku počíaou klouzavý způsoe z pozorováí: způsoe z pozorováí: pro Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3 3.......,...,, p p p
Pro dosaee: Pro dosaee: 5. 7 Pro dosaee: Pro dosaee: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 33 7. 8 3 3 3 3 9. 6 4 3 3 4 4 3 3 4
Vhodý p redu pak saovíe a základě chováí průěrých růsových a z ich odvozeých charakerisik. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 34
Růsová charakerisika Charaker zě růsové charakerisik Vhodý p redové fukce Přiližě sejá Lieárí red log log log Lieárě rose Přiližě sejá Lieárě klesá Lieárě klesá Lieárě klesá Paraolický red Expoeciálí red Modifikovaý expoeciálí red Goperzova křivka Logisický red Ig. Michal Dorda, Ph.D. 35
Př.: V aulce jsou uvede poč prodaých osoích auooilů začk X v isícíchkusů za rok. Na základě rozoru růsových charakerisik vere vhodý p redové fukce. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 36
Rok 993 3-994 38-995 3 33 39, 996 4 5 45,8 997 5 5 55, 998 6 57 66, 999 7 85 77,4 8 88 95, 9 6 4, 4 37, 3 5 64,6 4-5 3 5 - Sudovaou časovou řadu ejprve očisíe od ahodilého kolísáí poocí pěičleých klouzavých průěrů: 5 p 5 p. Pro výpoče klouzavých průěrů plaí: p p... p Ig. Michal Dorda, Ph.D. 37.
Jedolivé pěičleé klouzavé průěr saovíe: M 3 5 4 5 3 38 33 5 5 5 38 33 5 5 57 5 4 5 3 4 9 3 5 5 6 3 39, 45,8, 6 4 5 5 5 64,6. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 38
5 Prodaých auo ooilů v [is. Kč] 5 5 3 5 7 9 3 Časová proěá Ig. Michal Dorda, Ph.D. 39
Ní provedee výpoče průěrých růsových charakerisik počíaých z 5 pozorováí dle vzahu:. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
Posupě dosaee: ( ) ( ) 5,6, 57 5 33 38 6,8, 5 5 38 3 6 5 3 5 4 3 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4 ( ) ( ) 9,8. 5 4 6 5,6, 57 5 33 38 3 9 6 5 3 4 M
3 - - 38 - - 3 33 39, 6,8 4 5 45,8 5,6 5 5 55,, 6 57 66,, 7 85 77,4 4, 8 88 95, 8,7 9 6 4, 8,6 4 37, 7, 5 64,6 9,8 - - 3 5 - - 35, 3, 5,, 5,, 5,, 3 5 7 9 3 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4
Z průěhu růsové charakerisik vidíe, že její průěh zhrua lieárě rose, použií lieárí redové fukce se ed ehodí, paraolická redová fukce v úvahu přichází. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 43
3 - - - 38 - - - 3 33 39, 6,8,7436 4 5 45,8 5,6,7 5 5 55,,,9 6 57 66,,,666 7 85 77,4 4,,87 8 88 95, 8,7,9643 9 6 4, 8,6,687 4 37, 7,,9679 5 64,6 9,8,84 - - - 3 5 - - -,,,8,6,4,, 3 5 7 9 3 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 44
Z průěhu růsové charakerisik vidíe, že její průěh zhrua kolísá kole jedé hodo, použií expoeciálího redu ed přichází rověž v úvahu. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 45
log 3 - - - 38 - - - 3 33 39, 6,8,835 4 5 45,8 5,6,7489 5 5 55,,,453 6 57 66,,,439 7 85 77,4 4,,49 8 88 95, 8,7,784 9 6 4, 8,6,695 4 37, 7,,4336 5 64,6 9,8,474 - - - 3 5 - - -,6,5,4,3,,,,9,8,7 log 3 5 7 9 3 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 46
Jelikož růsová charakerisika v oo případě eklesá lieárě, ýrž aopak rose, lze odifikovaý expoeciálí red vlouči. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 47
3 - - - 38 - - - 3 33 39, 6,8 -,75856 4 5 45,8 5,6 -,968 5 5 55,, -,6966 6 57 66,, -,77947 7 85 77,4 4, -,7395 8 88 95, 8,7 -,768 9 6 4, 8,6 -,7885 4 37, 7, -,7599 5 64,6 9,8 -,74 - - - 3 5 - - - log -,6 -,65 -,7 -,75 -,8 -,85 -,9 -,95 3 5 7 9 3 log Ig. Michal Dorda, Ph.D. 48
Jelikož růsová charakerisika v oo případě lieárě eklesá, lze vlouči použií Goperzov křivk. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 49
3 - - - 38 - - - 3 33 39, 6,8 -,3496 4 5 45,8 5,6 -,57354 5 5 55,, -,43856 6 57 66,, -,63 7 85 77,4 4, -,686 8 88 95, 8,7 -,68543 9 6 4, 8,6 -,8458 4 37, 7, -,84334 5 64,6 9,8 -,95864 - - - 3 5 - - - log -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 -,9-3, 3 5 7 9 3 log Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5
Jelikož růsová charakerisika v oo případě zhrua lieárě klesá, přichází rověž v úvahu logisická redová fukce. Aalýzou růsových charakerisik jse jako ožé redové fukce vrali paraolický, expoeciálí a logisický red. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5
Vhodou křivku cho vrali a základě oho, zda odelovaý jev ůže růs do ekoeča, zda exisuje ějaká hraice asceí apod. Dále cho jako další kriériu ohli vzí souče čverců reziduí, kerý chcee iializova. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5