Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u k je vektor tvaru kde a 1, a 2,... a k K. a 1 u 1 + a 2 u 2 +... a k u k, Definice Neprázdnou podmnožinu V U nazveme vektorovým podprostorem prostoru U, jestliže (1) pro všechna u, v V je u + v V, (2) pro všechna a K, u V je au V.

Vlastnosti a příklady vektorových podprostorů Vlastnosti: (i) u 1, u 2,..., u k V, pak k i=1 a iu i V. (ii) o V. (iii) Každý podprostor je vektorový prostor. Příklady: (1) {o} a U jsou triviální podprostory prostoru U. (2) V = {(s + t, s, t) R 3 ; t, s R} je podprostor v R 3. (3) A je matice k n, V = {x R n ; Ax = o} je podprostor v R n. (4) Podprostory v R 2 : {o}, přímky procházející počátkem, R 2. (5) Podprostory v R 3 : {o}, přímky procházející počátkem, roviny procházející počátkem, R 3. (6) Průnik podprostorů je podprostor.

Lineární obal vektorů Definice Lineární obal množiny vektorů {u 1, u 2,..., u k } U je množina [u 1, u 2,..., u k ] = {a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a k u k U; a 1, a 2,..., a k K}. Pro prázdnou množinu [ ] = {o}. Lemma Lineární obal konečné množiny vektorů z U je vektorový podprostor. Důkaz: u, v [u 1, u 2,..., u k ] znamená, že u = k i=1 a iu i, v = k i=1 b iu i. Potom u + v = au = k (a i + b i )u i [u 1, u 2,..., u k ], i=1 k aa i u i [u 1, u 2,..., u k ]. i=1

Lineární obal úloha Lze definovat lineární obal nekonečné množiny. Je to opět vektorový podprostor. Prakticky budeme počítat jen s lineárními obaly konečných množin. Kdy je daný vektor v prvkem [u 1, u 2,..., u k ]? Právě když rovnice x 1 u 1 + x 2 u 2 + + x k u k = v o neznámých x 1, x 2,..., x k má nějaké řešení. Příklad U prostor reálných matic 2 2. Je ( ) [( ) 1 2 1 2 3 4 0 1, ( )] 0 2? 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 0 2 1 2 Rovnice x 1 + x 0 1 2 = vede na soustavu 1 1 3 4 x 1 = 1, 2x 1 + 2x 2 = 2, x 2 = 3, x 1 + x 2 = 4, která nemá řešení.

Lineární nezávislost vektorů Vektory u 1, u 2,..., u k U jsou lineárně závislé, existuje-li k-tice (x 1, x 2,..., x k ) (0, 0,..., 0) z K k taková, že ( ) x 1 u 1 + x 2 u 2 + + x k u k = o. Jinými slovy: Rovnice ( ) o neznámých x 1, x 2,..., x k má netriviální (= nenulové) řešení. Příklad u 1 = (1, 2, 1), u 2 = (1, 1, 1), u 3 = (3, 0, 3) R 3 jsou lineárně závislé, neboť 1 u 1 + 2 u 2 + ( 1) u 3 = o. Definice Vektory u 1, u 2,..., u k U jsou lineárně nezávislé, jestliže rovnice ( ) má pouze triviální řešení x 1 = x 2 = = x k = 0. Jinak: x 1 u 1 + x 2 u 2 + + x k u k = o x 1 = x 2 = = x k = 0.

Jak si představit lineární závislost Lemma Vektory u 1, u 2,..., u k U jsou lineárně závislé, právě když lze jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních u j = a 1 u 1 + + a j 1 u j 1 + a j+1 u j+1 +... a k u k. Důkaz: Nechť u 1 = a 2 u 2 + + a k u k. Potom ( 1)u 1 + a 2 u 2 + + a k u k = o a koeficient u u 1 je nenulový. Nechť u 1, u 2,..., u k jsou lineárně závislé. Pak x 1 u 1 + x 2 u 2 + + x k u k = o a některý koeficient je různý od 0, např. x 1. Proto x 1 u 1 = k ( x i )u i u 1 = i=2 k i=2 ( x i x 1 )u i.

Geometrická představa Jediný vektor u 1 je lineárně nezávislý, právě když u 1 o. Dva vektory u 1, u 2 jsou lineárně nezavislé, právě když jeden není násobkem druhého. Geometrická představa v R 3 : Dva lin. nezávislé vektory u 1, u 2 určují rovinu. Každý vektor u 3 ležící v této rovině je s nimi lineárně závislý. Každý vektor neležící v této rovině je s nimi lin. nezávislý. Příklad Zjistěte, zda vektory u 1 = (1, 2, 1, 0) T, u 2 = (1, 1, 1, 2) T, u 3 = (1, 0, 1, 1) T R 4 jsou lineárně závislé. Rovnice x 1 (1, 2, 1, 0) T + x 2 (1, 1, 1, 2) T + x 3 (1, 0, 1, 1) T = (0, 0, 0, 0) dává homogenní soustavu x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 1 + x 2 = 0 2x 2 + x 3 = 0

Báze konečnědimenzionálního prostoru Vektory u 1, u 2,..., u n generují prostor U, jestliže [u 1, u 2,..., u n ] = U. Jinými slovy: každý vektor u U lze psát jako lineární kombinaci u = a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a n u n. Vektorový prostor se nazývá konečnědimenzionální, jestliže je generován nějakou konečnou množinou vektorů. Definice Báze konečnědimenzionálního prostoru U je posloupnost vektorů (u 1, u 2,..., u n ) taková, že (1) vektory u 1, u 2,..., u n generují U, (2) vektory u 1, u 2,..., u n jsou lineárně nezávislé.

Příklady R 3 e 1 = (1, 0, 0) T, e 2 = (0, 1, 0) T, e 3 = (0, 0, 1) T je báze R 3. Říkáme jí standardní. u 1 = (1, 0, 1) T, u 2 = (0, 1, 1), u 3 = (0, 0, 1) je jiná báze R 3. R 3 [x] prostor reálných polynomů v proměnné x stupně 3. Má bázi (1, x, x 2, x 3 ). C[0, 1] prostor spojitých reálných funkcí na intervalu [0, 1] není konečnědimenzionální prostor. Naší snahou bude dokázat, že každý konečnědimenzionální prostor má bázi a že každé dvě báze takového prostoru mají stejný počet prvků.

Výběr lineárně nezávislých generátorů Věta Nechť vektory v 1, v 2,..., v k U jsou lineárně nezávislé a nechť vektory u 1, u 2,..., u l U jsou libovolné. Potom lze z druhého seznamu vektorů vybrat vektory u i1, u i2,..., u ir tak, že (1) vektory v 1, v 2,..., v k, u i1, u i2,..., u ir jsou lineárně nezávislé, (2) [v 1, v 2,..., v k, u i1, u i2,..., u ir ] = [v 1, v 2,..., v k, u 1, u 2,..., u l ]. Důsledek V konečnědimenzionálním prostoru U lze každý seznam lineárně nezávislých vektorů doplnit na bázi. Speciálně, v U existuje báze.

Důkazy Důkaz důsledku: v 1, v 2,..., v k lineárně nezávislé. U má konečnou dimenzi, tedy existují u 1, u 2,..., u l [u 1, u 2,..., u l ] = U. Podle předchozí věty lze vybrat indexy i 1, i 2,..., i r tak, že vektory v 1, v 2,..., v k, u i1, u i2,..., u ir jsou lineárně nezávislé a [v 1, v 2,..., v k, u i1, u i2,..., u ir ] = [v 1, v 2,..., v k, u 1, u 2,..., u l ] [u 1, u 2,..., u l ]] = U. Tedy v 1, v 2,..., v k, u i1, u i2,..., u ir tvoří bázi prostoru U. Speciálně seznam vektorů v může být prázdný a bázi lze vybrat ze seznamu generátorů. Důkaz věty se provádí indukcí podle čísla n, tj. počtu vektorů u.

Algoritmus pro předchozí větu v K n Mějme vektory u 1, u 2,..., u l K n. Chceme z nich vybrat seznam lineárně nezávislých vektorů se stejným lineárním obalem: [u i1, u i2,..., u ir ] = [u 1, u 2,..., u l ]. Algoritmus: Zapíšeme vektory u 1, u 2,..., u l jako sloupce matice. Provedeme řádkové úpravy této matice na schodovitý tvar. V něm určíme sloupce i 1, i 2,..., i r, v nichž leží vedoucí koeficient některého řádku. Vektory u i1, u i2,..., u ir mají výše požadovanou vlastnost. Příklad: 1 ( ) u1 u 2 u 3 u 4 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 Hledané vektory jsou u 1, u 2, u 4.

Zdůvodnění algoritmu na příkladu 1 ( ) u1 u 2 u 3 u 4 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 u 1, u 2, u 4 jsou lin. nezávislé, neboť soustava x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 4 u 4 = o má pouze triviální řešení. 1 ( ) u1 u 2 u 4 0 2 0 0 1 0 0 0 u 3 je lineární kombinací předchozích vybraných vektorů u 1, u 2. Soustava x 1 u 1 + x 2 u 2 = u 3 má totiž řešení 1 ( ) u1 u 2 u 3 0 2 0 0 0 0 0 0

Steinitzova věta Následující věta nám umožní dokázat, že každé dvě báze prostoru U mají stejný počet vektorů. Věta (Steinitzova) Nechť v 1, v 2,..., v k [u 1, u 2,..., u n ] U. Jestliže jsou vektory v 1, v 2,..., v k lineárně nezávislé, pak k n. Provedeme nepřímý důkaz. Místo implikace p q, budeme dokazovat implikaci non q non p. Výrok p: Vektory v 1, v 2,..., v k jsou lineárně nezávislé. Výrok q: k n

Důkaz Steinitzovy věty 1. část Nechť k > n. Každý z vektorů v i je lineární kombinací vektorů u 1, u 2,..., u n, v i = a 1i u 1 + a 2i u 2 + + a ni u n = (u 1, u 2,..., u n ) a 2i.... Pro všechny vektory to můžeme zapsat takto: a 11 a 12... a 1k (v 1, v 2,..., v k ) = (u 1, u 2,..., u n ) a 21 a 22... a 2k............ a n1 a n2... a nk Matice A = (a ij ) má n řádků a k sloupců. Uvažujme homogenní soustavu rovnic Ax = o s neznámou x K k. a 1i a ni

Důkaz Steinitzovy věty 2. část Matice A má více sloupců (k) než řádků (n), takže po úpravě na schodovitý tvar existuje sloupec (j-tý), v němž neleží vedoucí koeficient žádného řádku. Tedy při řešení můžeme neznámou x j zvolit libovolně, například různou od 0. Tedy soustava má netriviální řešení (x 1, x 2,..., x k ) K k. Potom x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x k v k = (v 1, v 2,..., v k ) x 2... = [(u 1, u 2,..., u n ) A] x = (u 1, u 2,..., u n ) [A x] 0 = (u 1, u 2,..., u n ) 0... = o. 0 Tedy vektory v 1, v 2,..., v k jsou lineárně závislé. x 1 x k

Důsledek Steinitzovy věty a definice dimenze Důsledek Jsou-li (u 1, u 2,..., u n ) a (v 1, v 2,..., v k ) dvě báze vektorového prostoru U, pak n = k. Důkaz: Vektory (v 1, v 2,..., v k ) jsou lineárně nezávislé a leží v U = [u 1, u 2,..., u n ]. Podle SV je k n. Vektory (u 1, u 2,..., u n ) jsou lineárně nezávislé a leží v U = [v 1, v 2,..., v k ]. Podle SV je n k. Tedy k = n. Definice Nechť U je konečnědimenzionální vektorový prostor nad K. Počet prvků nějaké báze se nazývá dimenze prostoru U nad K, označení dim K U.

Dimenze konkrétních prostorů dim K K n = n Tento prostor má bázi e 1, e 2,..., e n, přitom e i je vektor, který má na i-tém místě 1, všude jinde nuly. dim K K n [x] = n + 1 Báze tohoto prostoru je (1, x, x 2,..., x n ). dim R C = 2 Báze vektorového prostoru C nad R je například tvořena dvěma komplexními čísly 1 a i. dim K Mat k n (K) = n k Najděte nějakou bázi!

Čtyři užitečné věty o dimenzi první dvě o bázi První věta Nechť dim K U = n. Jsou-li vektory v 1, v 2,..., v n lineárně nezávislé, pak tvoří bázi prostoru U. Důkaz: Již víme, že každý seznam lineárně nezávislých vektorů lze doplnit na bázi. Ta bude mít n prvků. K v 1, v 2,..., v n není tedy potřeba přidávat žádný další vektor. Druhá věta Nechť dim K U = n. Jestliže vektory u 1, u 2,..., u n generují U, pak tvoří bázi prostoru U. Důkaz: Z daných vektorů u 1, u 2,..., u n lze vybrat lineárně nezávislé se stejným lineárním obalem. Ten je roven U. Proto vybrané vektory tvoří bázi. Ta musí mít n prvků. Je tedy tvořena všemi vektory u 1, u 2,..., u n.

Další dvě o podprostorech Třetí věta Nechť V je podprostor v konečnědimenzionálním vektorovém prostoru U nad K. Potom má V konečnou dimenzi a platí dim K V dim K U. Důkaz: Nechť dim K U = n. Kdyby V nebyl generován konečným počtem vektorů, dostaneme postupně posloupnost v 1, v 2,..., v n+1 V lin. nezávislých vektorů ve V, tudíž i v U. To je však ve sporu se Steinitzovou větou. Tedy V je konečné dimenze a má proto bázi v 1, v 2,..., v k. Tento seznam lineárně nezávislých vektorů lze doplnit na bázi prostoru U. Tedy dim K V = k n = dim K U. Čtvrtá věta Nechť V je podprostor v konečnědimenzionálním vektorovém prostoru U nad K. Jestliže dim K V = dim K U, pak V = U. Důkaz: Nechť dim K U = n = dim K V. Nechť v 1, v 2,..., v n je báze podprostoru V. Tyto vektory jsou lineárně nezávislé v U, a proto podle První věty tvoří bázi prostoru U. Tedy V = [v 1, v 2,..., v n ] = U.

Souřadnice vektoru Věta Nechť U je vektorový prostor konečné dimenze. Posloupnost vektorů u 1, u 2,..., u n je báze prostoru U, právě když každý vektor u U lze psát právě jedním způsobem ve tvaru ( ) u = a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a n u n. Důkaz provedeme na tabuli. Definice Nechť α = (u 1, u 2,..., u n ) je báze prostoru U. Každý vektor u U lze psát ve tvaru ( ). n-tici koeficientů (a 1, a 2,..., a n ) nazýváme souřadnice vektoru u v bázi α a zapisujeme ve tvaru sloupce a 1 (u) α = a 2... Kn, u = (u 1, u 2,..., u n ) a 2.... a n a 1 a n

Příklady Příklad α = (1, x 1, (x 1) 2 je báze prostoru polynomů R 2 [x]. Polynom x 2 + x 1 má v této bázi souřadnice (x 2 + x 1) α = 1 3, 1 neboť x 2 + x 1 = 1 1 + 3 (x 1) + 1 (x 1) 2. Příklad Bázi ε = (e 1, e 2,..., e n ) vektorového prostoru K n nazývame standardní bazí. Pro každý vektor x K n platí x 1 x = x 2... = x 1e 1 + x 2 e 2 + + x n e n, (x) ε = x 2.... x n x 1 x n

Přiřazení souřadnic jako zobrazení Každá báze α v prostoru U nad K dimenze n definuje zobrazení ( ) α : U K n, které vektoru přiřazuje jeho souřadnice v bázi α. Toto zobrazení je bijekce a navíc platí (u + v) α = (u) α + (v) α, (au) α = a(u) α. Důkaz je jednoduchý důsledek definice souřadnic.

Průnik a součet podprostorů Věta Průnik libovolného počtu vektorových podprostorů prostoru U je opět podporostor v U. Pozor! Sjednocení vektorových podprostorů není obecně vektorový podprostor. Najděte příklad! Místo sjednocení pracujeme v lineární algebře se součtem podprostorů. Definice Nechť V, W a V i jsou vektorové podprostory v U. Definujeme V + W = {v + w U; v V, w W }, V 1 + V 2 + + V k = {v 1 + v 2 + + v k U; v i V i }. Věta Součet vektorových podprostorů je opět podprostor.

Direktní součet Příklad U = R 4, V = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 ; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0}, W = {(0, y 2, 0, y 4 ) R 4 }. Potom V + W = R 4, neboť (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1, x 2, x 3, x 1 x 2 x 3 ) + (0, 0, 0, x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) V + W. Definice Součet podprostorů V + W se nazývá direktní, jesliže V W = {o}. Direktní součet zapisujeme V W. Součet v příkladu není direktní, neboť (0, 1, 0, 1) V W. Věta Součet podprostorů V + W je direktní, právě když každý vektor u V + W lze psát ve tvaru u = v + w, v V, w W, právě jedním způsobem.

Věta o dimenzi součtu a průniku Předchozí tvrzení umožňuje definovat direktní součet více podprostorů takto: Definice Nechť k 2. Součet podprostorů V 1 + V 2 + + V k je direktní, jestliže každý vektor u V 1 + V 2 + + V k lze psát ve tvaru u = v 1 + v 2 + + v k, v i V i, právě jedním způsobem. Příklad Nechť V = [v 1, v 2,..., v k ], W = [w 1, w 2,..., w l ]. Potom V + W = [v 1, v 2,..., v k, w 1, w 2,..., w l ]. Každý vektor z V + W je totiž součet k i=1 a iu i + l j=1 b jw j. Věta Nechť V a W jsou podprostory ve vektorovém prostoru U konečné dimenze nad K. Potom dim K V + dim K U = dim K (V U) + dim K (V + W ).