VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH J. Tesař, P. Batoš Jihočesá univezita, Pedagogicá faulta, Kateda fyziy, Jeonýmova 0, 37 5 Česé Budějovice Abstat V příspěvu se zabýváme možností využití pogamového balíu MATLAB jao motivačního postředu ve výuce fyziy na středních šolách. Pezentujeme jednoduchou uázu modelu difúze částic neutálního plynu, na teé záoveň vysvětlujeme záladní obaty počítačové fyziy používané při deteministicém přístupu částicového modelování algoitmus po pohyb částic, sážové pocesy mezi moleulami, jevy na oaji pacovní oblasti atp. Úvod Počítačové modelování si nalezlo pevné místo paticy ve všech odvětvích lidsé činnosti a s tím je spojeno i poniání tohoto elativně mladého vědního obou taé do našich šol. Na vysoých šolách technicého či příodovědného zaměření je nabída záladního uzu počítačového modelování již paticy standadem. Čím dál častěji se taé setáváme s využitím počítačových simulací učiteli středních šol ne snad za účelem detailního studia daného jevu, ale spíše ve snaze vytvořit u studentů názonou a atativní cestou tvalý poznate. V následujícím átém příspěvu se pousíme demonstovat možnosti využití pogamovacího postředí MATLAB po tento účel. Je zřejmé, že tento pogam není jediným možným postředem, ja dosáhnout vytvoření působivé a přitom eálné simulace, nicméně jednoduchá a sozumitelná syntaxe tohoto jazya s řadou předpřipavených funcí neodvádí od podstaty studovaného jevu. K vytvoření modelu navíc postačí zpavidla znalost pouze něolia záladních funcí. Zísané zušenosti s pogamem ve šole mohou studenti využít ve své paxi, neboť MATLAB je využíván na celé řadě odboných pacovišť. Počítačové modely se zpavidla dělí do dvou záladních supin podle toho, zda je systém popisován jao ontinuum nebo zda na něj nahlížíme na úovni jednotlivých částic, teé toto ontinuum tvoří. V pvém případě mluvíme o spojitém modelování, při teém řešíme zpavidla soustavu něolia mála difeenciálních ovnic ( tomu lze napřílad využít pogamového postředí COMSOL Multiphysics). Duhý přístup bývá nazýván částicové modelování a zde je nutno hledat tajetoii obvyle velého množství částic pohybujících se podle záladních pavidel dynamiy. Každá z těchto tajetoií je popsána soustavou difeenciálních ovnic, taže částicové metody modelování jsou mnohem více náočné na spotřebu stojového času. Jejich výhodou vša je, že umožňují detailnější popis studovaného jevu, což většinou umožňuje zísat výsledy s vyšší vypovídající hodnotou. Částicové techniy jsou dále děleny na techniy stochasticé, dy je využíváno počtu pavděpodobnosti, a techniy deteministicé. Tyto techniy bývají často vzájemně ombinovány (zpavidla v případě nedostatu vstupních dat). Zaměřme se v tomto příspěvu na něteé záladní obaty deteministicé modelovací metody na příladu difúze neutálních částic. Předpoládejme, že máme pacovní oblast ozdělenou na dvě stejně velé oblasti po částice nepopustnou přeážou. V obou oblastech máme plyn o stejné oncentaci (ten nám představuje pozadí), v levé polovině této oblasti pa umístíme navíc N částic plynu, jehož difúzi do pavé části pacovní oblasti budeme sledovat. Po jednoduchost předpoládejme, že všechny tyto částice můžeme považovat za body zanedbatelné hmotnosti a že všechny částice mají v půběhu expeimentu stejnou ychlost. Dále předpoládejme, že poblém řešíme jao dvoudimenzionální případ (po lepší vizualizaci a pochopení studenty, převedení do 3D postou je zřejmé).
V čase t 0 odstaníme část přeážy ta, ja je to patné z obázu nahoře. Spustíme výpočet a sledujeme, ja částice poniají z levé stany pacovní oblasti do pavé, až se počty částic na obou stanách přibližně vyovnají (obáze dole). Změnou vstupních paametů (střední volná dáha částic mezi sážami, jejich ychlost, veliost štěbiny atp.) ta můžeme se studenty simulovat vlastnosti jevu nazývaného difúze. Obáze : Rozložení částic v pacovní oblasti v čase 0 s, s a 0 s od počátu výpočtu. 2 Popis počítačového modelu Zdojový ód tohoto modelu bude sestávat z něolia záladních částí.. Část, v níž zadáme všechny potřebné paamety modelu a dopočítání ostatních fyziálních veličin (řády -3 zdojového ódu viz dále). 2. Rozehání počátečních poloh, ychlostí a náhodných volných dah jednotlivých částic (řády 4-22 zdojového ódu). 3. Euleův algoitmus (řády 59-65 zdojového ódu).
4. Ošetření událostí na oaji pacovní oblasti a na přeážce (řády 85-03 zdojového ódu). 5. Zavedení sážových pocesů v plynu (řády 8 a 9-30 zdojového ódu) 6. Gaficý výstup povedené simulace (řády 24-32 a 49-55 zdojového ódu). Hlavní funce modelu je označena jao main, ostatní funce slouží po povedení dílčích výpočtů a jsou volány uvnitř hlavní funce. Zdojový ód celého pogamu je v následující apitole. 2. Zadání počátečních paametů a dopočítání ostatních veličin V běžném plynu bývá oncentace částic vysoá a ychlosti částic dosahují poměně velých hodnot. Po potřeby taové simulace by bylo potřeba volit pacovní oblast velmi malých ozměů a případně využít výonný počítač. Jeliož pávě tento požadave nebývá na většině šol splněn a povedení simulace s eálnými paamety tudíž nemusí přinést očeávaný efet, je výhodnější, dyž počáteční paamety zvolíme nefyziálně ta, aby byly dobře pozoovatelné podstatné jevy studovaného jevu. V našem případě jsme zvolili veliost hany pacovní oblasti m, ychlost částic 5 m.s -, střední volnou dáhu částic mezi sážami 0,5 m a počet sledovaných částic 200. Studenty na tento fat upozoníme a výlad můžeme doplnit výpočtem eálných hodnot tato zvolených veličin. 2.2 Rozehání počátečních poloh, ychlostí a náhodných volných dah jednotlivých částic Počáteční polohy částic jsou učeny nageneováním bodu ve čtveci pomocí funce and. Smě ychlosti v poláních souřadnicích můžeme zadat nageneováním náhodného úhlu ϕ nebo lze taé využít postupu, dy ve čtveci se středem v bodě [0, 0] a hanami o délce 2 nageneujeme bod, otestujeme, zda se tento bod nachází uvnitř užnice o poloměu a posléze nomujeme souřadnice x a y vzdáleností tohoto bodu od středu. Tato zísané složy poté využijeme ozehání náhodného směu vetou ychlosti. Předpis po ozehávání náhodné volné dáhy zísáme ze vzoce po pavděpodobnost Poissonova jevu a lze psát de λ = λ lnγ, () i st λ i je střední volná dáha i-té částice, λ st je střední volná dáha daného typu částic a γ je 0,. náhodné číslo s ovnoměným ozdělením na intevalu ( ) 2.3 Pohyb částic Pohyb jednotlivých částic uvnitř pacovní oblasti lze ealizovat něolia postupy numeicé matematiy. Nejjednodušším postupem je tzv. Euleův algoitmus, teý disetizuje ovnici po polohu a ychlost částice tato: at = 0 + vt + 2 v = v0 + at F =... 2 v F + + + = = v =... + v F + m t + t 2m F t 2 Pohyb aždé částice je nutné sledovat zvlášť s daným časovým oem t.
Obáze 2: Tajetoie jedné částice v případě střední volné dáhy 0,5 metu (honí obáze) a 0,0 metu (dolní obáze). 2.4 Pohyb částic Dále je v modelu nutné ošetřit chování částice na oaji pacovní oblasti. V našem případě předpoládáme, že oaj pacovní oblasti představuje po částici nepřeonatelnou přeážu (stěnu, od teé se částice odazí). V tomto případě tedy postačí pouze vyhledat ty částice, teé v daném časovém ou opustily pacovní oblast, a změnit znaméno složy ychlosti, teá je olmá e stěně na opačné. Při vhodně zvoleném časovém ou lze zanedbat vzdálenost, po teou se částice pohybovala mimo pacovní oblast. 2.5 Sážové pocesy V plynu dochází neustálým sážám mezi částicemi. V našem modelu ealizujeme sážy ta, že na počátu výpočtu přidělíme aždé částici náhodnou volnou dáhu, od níž v půběhu výpočtu postupně odečítáme uaženou vzdálenost. V oamžiu, dy daná částice uazí celou náhodnou volnou dáhu, ealizujeme sážu, teá spočívá v nageneování nového náhodného směu, a záoveň částici přidělíme novou hodnotu náhodné volné dáhy. Pávě tento paamet chaateizuje ychlost šíření částic do volného postou. Pogam MATLAB umožňuje jednoduše zvýaznit tajetoii jedné částice (viz. obáze 2). Povedeme-li simulaci po ůzné paamety, umožníme vytvoření názoné představy o fatoech ovlivňujících ychlost difúze částic. 2.6 Gaficý výstup Pogam MATLAB je velmi dobře známý svým valitním gaficým výstupem. Opoti jiným pogamovacím jazyům umožňuje vytvoření obázu zadáním jednoho příazu. Jeliož náš model je nastaven ta, aby půběžně vyesloval pohyb částic v pacovní oblasti, je nejpve vyeslen gaf z počátečních hodnot polohy a následně jsou tyto hodnoty atualizovány příazem set. Přeeslení obázu je vynuceno příazem dawnow.
3 Výpis zdojového ódu
4 Závě Pezentovaný model lze samozřejmě i dále ozšiřovat. Lze napřílad uvažovat, že ozdělení ychlostí moleul není dáno pouze jednou hodnotou, ale že ozdělení ychlostí je maxwellovsé. Poud chceme zcela potlačit pogamátosou stánu do pozadí a používat pogam jao blacbox, můžeme modelu vytvořit efetní gaficé ozhaní pomocí Gaphical Use Inteface, v němž bude možné měnit požadované paamety. Vytvořený model umožňuje dle našeho názou lepší pochopení záladních pojmů moleulové fyziy a jejich vzájemných souvislostí např. ozdíl mezi pojmy náhodná volná dáha a střední volná dáha částic. Vytvoří názonou a déletvající představu o fyziálním jevu zvaném difúze a v ombinaci s dalšími postředy, jao je napřílad fyziální expeiment, doáže motivovat studenty většímu zájmu o příodní vědy na vysoé šole. Komě toho, seznámení se s MATLABem a záladními obaty numeicé matematiy již v půběhu studia na SŠ může být po studenty cennou zušeností po jejich následnou paxi v zaměstnání. Za vhodné považujeme jeho zařazení do fyziálního semináře po žáy s hlubším zájmem o fyziu a pogamování. Jiří Tesař Jihočesá univezita v Česých Budějovicích Pedagogicá faulta, Kateda fyziy Jeonýmova 0 37 5 Česé Budějovice e-mail: aset@pf.jcu.cz Pet Batoš Jihočesá univezita v Česých Budějovicích Pedagogicá faulta, Kateda fyziy Jeonýmova 0 37 5 Česé Budějovice e-mail: batos-pet@seznam.cz