Výslednce, ovnováha slové soustavy. Základy mechanky, 2. přednáška Obsah přednášky : výslednce a ovnováha slové soustavy, ovnce ovnováhy, postoová slová soustava Doba studa : as 1,5 hodny Cíl přednášky : Seznámt studenty s úlohou výslednce a ovnováhy sl.
Základy mechanky, 2. přednáška Slová soustava je soustava dvou nebo více sl. O způsobu stanovení výslednce slové soustavy jž pojednávala předcházející kaptola. Tuto poblematku je však třeba doplnt, potože má ještě jeden, zatím nezmíněný aspekt. Ekvvalentní nahazení slové soustavy - výslednce. Jž v předcházejícím textu jsme používal temín výslednce. Defnujme jej : Výslednce slové soustavy je taková síla, kteá ekvvalentně nahazuje slovou soustavu. Výslednce slové soustavy má stejné účnky jako slová soustava. Zdůazněme na tomto místě, že účnky síly nebo slové soustavy jsou dvojí - slový a momentový. V předcházející kaptole jsme podobně popsal způsob, jak učíme velkost a smě výslednce. Takto stanovená výslednce má stejný slový účnek, jako samotná slová soustava. Zatím jsme se však nezmínl o momentovém účnku. Jak jsme ukázal v předchozí kaptole, momentový účnek souvsí s působštěm síly. Vyvstává tedy otázka působště výslednce slové soustavy. V předchozí kaptole, př výkladu o zjšťování výslednce, jsme uvažoval soustavu sl, jež všechny působly v jednom bodě - ve společném působšt. 1 2 3 4 Zde je řešení otázky působště výslednce zřejmé - výslednce samozřejmě působí ve stejném bodě, ve kteém působí všechny síly slové soustavy.
Základy mechanky, 2. přednáška Působí-l však síly na těleso o učtých, nezanedbatelných ozměech, nemusí všechny síly nutně působt ve stejném bodě. 1 2 V tomto případě je jž otázka působště výslednce aktuální. Výslednc tedy můžeme defnovat takto : 3 4 Výslednce slové soustavy je síla,kteá má stejný slový účnek a stejný momentový účnek jako slová soustava,kteou nahazuje. Poznámka : Dvě síly lze vždy považovat za slovou soustavu se společným působštěm. V předchozí kaptole jsme fomuloval a vysvětll tez, že síla je volná po své nostelce. Dvě síly s lbovolným působštěm můžeme vždy posunout do půsečíku nostelek tak, že tvoří soustavu se společným působštěm. 2 1
Základy mechanky, 2. přednáška Po danou slovou soustavu tedy umíme učt její výslednc, jak velkost, tak smě. Je však třeba učt též působště této výslednce, esp. její nostelku. V? 1 2 V? 3 4 V? V 1 + 2 + 3 + 4 ve kteém bodě je působště výslednce? Nostelku výslednce učíme z podmínky stejného momentového účnku. Postupujeme tak, že nejpve vypočteme celkový momentový účnek slové soustavy ke zvolenému momentovému bodu. Výslednce pak musí ležet na takové nostelce, aby její moment k tomuto zvolenému momentovému bodu byl stejný.
Základy mechanky, 2. přednáška Vaťme se na chvíl k momentu síly k bodu. V předchozí kaptole jsme ukázal, že moment síly k bodu vypočteme jako součn síly a jejího amene. y y p y y p? ameno síly y y φ y p x p x p působště síly φ x x p x ameno síly x x Učt délku amene síly se někdy může ukázat jako poněkud komplkované, zejména je-l působště síly dáno pavoúhlým souřadncem x p a y p. Jný způsob učení momentu síly k bodu (v tomto případě k počátku souřadného systému), je následující : - Nejpve sílu ozložíme na složky x a y (což stejně musíme udělat za účelem zjštění výslednce; je to úkon, kteý využjeme dvakát). -Vypočteme moment těchto dvou složek (to je obvykle jednoduché, je-l působště zadáno pavoúhlým souřadncem). - Výsledný moment síly učíme jako součet momentů obou složek x a y. p p ( x sn φ y φ) x y sn φ x cos φ y cos p p
Základy mechanky, 2. přednáška Postup učení nostelky výslednce demonstujeme na příkladu. 3 y 2 1 y p1 φ 1 4 x p1 x Je-l výsledný momentový účnek slové soustavy V V 7,984 N cm, je ameno výslednce V / V 7,984/2,942,716 cm. Nostelka výslednce je tedy přímka, skloněná od osy x o 116º (26º od osy y), ležící v kolmé vzdálenost 2,716 cm od počátku souřadného systému. Potože síla je volná po své nostelce, exstuje nekonečně mnoho přípustných působšť, jež ale všechna musí ležet na této nostelce; např. : {3,022; 0} nebo {2,441; 1,191} nebo {1,227; 3,679} nebo {0; 6,196} nebo... φ x p y p x cos φ y sn φ y x p - x y p [N] [º] [cm] [cm] [N] [N] [N cm] y 1 4 70º 3 1 1,368 3,759 9,908 V 2 1 10º -1 3 0,985 0,174-3,128 3 3-130º -2-1 -1,928-2,298 2,668 4 2 150º 2-2 -1,732 1,000-1,464 φ V x Σ 2,94 116º -1,307 2,635 7,984
Základy mechanky, 2. přednáška Závěem konstatujme, že poblém stanovení výslednce slové soustavy nás vede k tomu, že ozlšujeme dva typy slových soustav : - slová soustava se společným působštěm, - slová soustava s ůzným působšt. V předchozím textu jsme fomuloval jednu za základních úloh statky - Ekvvalentní nahazení slové soustavy jednou slou - výsledncí, a popsal její řešení. V pax se však často setkáváme s dalším typem poblému. Rovnováha slové soustavy Jde o poněkud odlšnou úlohu, než úloha výslednce, má však společné ysy. Slová soustava je v ovnováze jestlže má nulové účnky. Souvslost s úlohou výslednce je zřejmá. Jestlže je slová soustava v ovnováze, má nulovou výslednc. Jak však ukážeme dále, toto je nutná, nkolv však postačující podmínka. Jestlže slová soustava má nulovou výslednc, neznamená to automatcky, že je v ovnováze. (V pvní přednášce je popsána slová dvojce. Jde o slovou soustavu, jejíž výslednce je nulová, jež však má nenulový momentový účnek, není tedy v ovnováze.)
Základy mechanky, 2. přednáška Z vyšetřování výslednce slové soustavy se společným působštěm je zřejmé, že má-l být výslednce nulová, musí být nulový součet složek všech sl do dvou, k sobě kolmých směů (obvykle označovaných x a y). x y Po slovou soustavu se společným působštěm jsou tyto dvě slové ovnce plně dostačující, aby jednoznačně pokázaly ovnováhu slové soustavy. Po vyjádření ovnováhy slové soustavy s ůzným působšt je třeba ještě doplnt momentovou ovnc, vyjadřující nulový momentový účnek slové soustavy k lbovolnému momentovému bodu. Potože tyto (posledně uvedené) ovnce vyjadřují ovnováhu slové soustavy, říká se jm ovnce ovnováhy. 0 0 0
Základy mechanky, 2. přednáška Úloha ekvvalentního nahazení a úloha ovnováhy spolu úzce souvsí, tvořídvě stany téže mnce. Je-l výslednce slové soustavy vysl řešením úlohy ekvvalentního nahazení... 3 výsl 2 výsl... a ovnovážná síla ovn řešením úlohy ovnováhy slové soustavy (uvádí slovou soustavu do ovnováhy)... + 3 2 ovn 1 výsl... pak evdentně platí : ovn výsl 1 Tedy výslednce slové soustavy vysl má stejnou velkost, stejný smě a opačnou oentac, než ovnovážná síla ovn, uvádějící slovou soustavu do ovnováhy. Tuto skutečnost můžeme využívat př řešení úlohy výslednce. áme-l řešt úlohu výslednce, vyřešíme úlohu ovnováhy (ovnce ovnováhy) a změníme oentac výsledku.
Postoová slová soustava Základy mechanky, 2. přednáška Veškeý předchozí výklad se týkal ovnných slových soustav, t.j. takových, kdy všechny síly (jejch vektoy) leží v jedné ovně. Síly však mohou tvořt ovněž postoovou slovou soustavu (k souřadným osám x a y pak přdáváme osu z). I v tomto případě se může jednat o soustavu sl se společným působštěm nebo s ůzným působšt. y y x x z Je zřejmé, že každá síla má v tomto případě tř složky - x, y a z. Je však třeba zdůaznt, že moment síly (jedná se však o moment síly k ose, nkolv k bodu) je vekto o třech složkách x, y a z, (momenty síly k osám x, y a z). Poznámka : Toto platí u ovnné slové soustavy. Osa, k níž moment počítáme, je osa z katézského souřadného systému a do ovny x-y se pomítá jako bod, poto v tomto případě obvykle hovoříme o momentu síly k bodu. Vekto momentu pak má vždy smě osy z, tedy kolmý k ovně x-y. Poto se u ovnných slových soustav vektoový chaakte momentu nezdůazňuje. Po paktcké řešení je podstatná velkost momentu (vyjádřená v N m) a jeho oentace (ve směu nebo pot směu hodnových učček). z
Základy mechanky, 2. přednáška Výsledný slový účnek slové soustavy je pak dán výsledncí v, výsledný momentový účnek je dán výsledným momentem v. Vx Vy Vz x y z Rovnováha postoové slové soustavy se společným působštěm je popsána třem slovým ovncem ovnováhy, ovnováha postoové slové soustavy s ůzným působšt je popsána šest ovncem ovnováhy - třem slovým a třem momentovým. x y z Vx Vy Vz x y z x y z
Základy mechanky, 2. přednáška Shňme tedy ozdělení slových soustav a jejch chaaktestky. Slové soustavy se dělí podle dvou ktéí (hledsek). - Slové soustavy ovnné a postoové, - slové soustavy se společným působštěm a s ůzným působšt. Počet ovnc ovnováhy je v každém případě jný. slová soustava se společným působštěm s ůzným působštěm ovnná postoová 2. ovnce ovnováhy 3. ovnce ovnováhy x y x y z 3. ovnce ovnováhy x y 6. ovnc ovnováhy x y z x y z
Základy mechanky, 2. přednáška Závěečná poznámka : Rovnc ovnováhy lze samozřejmě sestavt lbovolný počet - součet složek sl do ůzných směů, součet momentů k ůzným momentovým bodům (osám). Všechny další ovnce, sestavené navíc k základním ovncím (uvedeným v tabulce), jsou však jž jen jejch lneání kombnací, a tedy jsou nepoužtelné po řešení neznámých. Po výpočtové řešení, jak bude popsáno a vysvětleno v dalších kaptolách, lze použít pouze a jen ten počet ovnc ovnováhy, uvedený v tabulce. Zde uvedená posloupnost čísel 2-3 -3-6, v kontextu s uvedeným tříděním, je po mechanku důležtá a setkáme se s ní znovu v úplně jných souvslostech v knematce. V tomto učebním textu se až na výjmky budeme zabývat pouze ovnným slovým soustavam.
Základy mechanky, 2. přednáška Obsah přednášky : výslednce a ovnováha slové soustavy, ovnce ovnováhy, postoová slová soustava