9. Bilineární formy 9. Bilineární formy p. 1/14
9. Bilineární formy p. 2/14 Bilineární formy 1. Definice a příklady 2. Klasifikace bilineárních forem 3. Matice bilineární formy 4. Změna báze 5. Kongruentní matice
9. Bilineární formy p. 3/14 9.1 Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí:
9. Bilineární formy p. 3/14 9.1 Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w)
9. Bilineární formy p. 3/14 9.1 Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w) 2. B(αu,v) = αb(u,v)
9. Bilineární formy p. 3/14 9.1 Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w) 2. B(αu,v) = αb(u,v) 3. B(u,v+w) = B(u,v)+B(u,w)
9. Bilineární formy p. 3/14 9.1 Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w) 2. B(αu,v) = αb(u,v) 3. B(u,v+w) = B(u,v)+B(u,w) 4. B(u,αv) = αb(u,v)
9. Bilineární formy p. 3/14 9.1 Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w) 2. B(αu,v) = αb(u,v) 3. B(u,v+w) = B(u,v)+B(u,w) 4. B(u,αv) = αb(u,v) Bilineární funkce je tedy při zvolené hodnotě jedné proměnné lineární funkcí druhé proměnné. Můžeme ji považovat za zobecnění funkce z = axy dvou proměnných x ay na vektorové prostory.
9. Bilineární formy p. 4/14 8.1 Definice a příklady PŘÍKLAD 1 Na prostoru V = R 3 sloupcových vektorů dimenze 3 si definujeme formu B předpisem, který každé dvojici vektorů x = [x i ] ay = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3. Interpretujeme-li x jako sílu a y jako dráhu, pak B(x,y) je práce konaná silou x po dráze y. Snadno se ověří, žeb je bilineární forma.
9. Bilineární formy p. 4/14 8.1 Definice a příklady PŘÍKLAD 1 Na prostoru V = R 3 sloupcových vektorů dimenze 3 si definujeme formu B předpisem, který každé dvojici vektorů x = [x i ] ay = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3. Interpretujeme-li x jako sílu a y jako dráhu, pak B(x,y) je práce konaná silou x po dráze y. Snadno se ověří, žeb je bilineární forma. PŘÍKLAD 2 Necht A = [a ij ] je daná reálná čtvercová matice řádu 2. Pak zobrazení, které každé dvojici sloupcových vektorů druhého řádu x = [x i ] a y = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x Ay = a 11 x 1 y 1 +a 12 x 1 y 2 +a 21 x 2 y 1 +a 22 x 2 y 2, je bilineární forma.
8.1 Definice a příklady PŘÍKLAD 1 Na prostoru V = R 3 sloupcových vektorů dimenze 3 si definujeme formu B předpisem, který každé dvojici vektorů x = [x i ] ay = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3. Interpretujeme-li x jako sílu a y jako dráhu, pak B(x,y) je práce konaná silou x po dráze y. Snadno se ověří, žeb je bilineární forma. PŘÍKLAD 2 Necht A = [a ij ] je daná reálná čtvercová matice řádu 2. Pak zobrazení, které každé dvojici sloupcových vektorů druhého řádu x = [x i ] a y = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x Ay = a 11 x 1 y 1 +a 12 x 1 y 2 +a 21 x 2 y 1 +a 22 x 2 y 2, je bilineární forma. PŘÍKLAD 3 Necht F je vektorový prostor všech reálných funkcí. Pak předpis, který každé dvojici funkcí f F a g F přiřazuje B(f,g) = f(1)g(1)+f(2)g(2), definuje bilineární formu. 9. Bilineární formy p. 4/14
9. Bilineární formy p. 5/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem DEFINICE 2 Necht V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická, jestliže pro libovolné vektory u, v V platí B(u, v) = B(v, u) a antisymetrická, jestliže B(u, v) = B(v, u).
9. Bilineární formy p. 5/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem DEFINICE 2 Necht V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická, jestliže pro libovolné vektory u, v V platí B(u, v) = B(v, u) a antisymetrická, jestliže B(u, v) = B(v, u). Antisymetrické formy lze ekvivalentně charakterizovat též rovností B(u,u) = 0 pro libovolné u V.
9. Bilineární formy p. 5/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem DEFINICE 2 Necht V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická, jestliže pro libovolné vektory u, v V platí B(u, v) = B(v, u) a antisymetrická, jestliže B(u, v) = B(v, u). Antisymetrické formy lze ekvivalentně charakterizovat též rovností B(u,u) = 0 pro libovolné u V. Skutečně, platí-li B(u,u) = 0, pak B(u+v,u+v) = B(u,v)+B(v,u) = 0, odkud dostaneme B(u, v) = B(v, u).
9. Bilineární formy p. 5/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem DEFINICE 2 Necht V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická, jestliže pro libovolné vektory u, v V platí B(u, v) = B(v, u) a antisymetrická, jestliže B(u, v) = B(v, u). Antisymetrické formy lze ekvivalentně charakterizovat též rovností B(u,u) = 0 pro libovolné u V. Skutečně, platí-li B(u,u) = 0, pak B(u+v,u+v) = B(u,v)+B(v,u) = 0, odkud dostaneme B(u, v) = B(v, u). Obráceně z B(u, v) = B(v, u) plyne B(u,u) = B(u,u), tedy platí B(u, u) = 0.
9. Bilineární formy p. 6/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem PŘÍKLAD 4 Bilineární formy z příkladu 1 a 3 jsou zřejmě symetrické, zatímco forma z příkladu 2 je symetrická, právě když A = A. Bilineární forma z příkladu 2 bude antisymetrická, právě když A = A
9. Bilineární formy p. 6/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem PŘÍKLAD 4 Bilineární formy z příkladu 1 a 3 jsou zřejmě symetrické, zatímco forma z příkladu 2 je symetrická, právě když A = A. Bilineární forma z příkladu 2 bude antisymetrická, právě když A = A Vskutku B(y,x) = y Ax = ( y Ax ) = (Ax) y = x A y. Jelikož B(x,y) = x Ay pak B(x,y) = B(y,x) A = A. Obdobně B(x,y) = B(y,x) A = A. Například pro matici [ 0 1 1 0 ]. Bilineární forma je antisymetrická, nebot splňuje B(x,y) = x 1 y 2 x 2 y 1 = (y 1 x 2 y 2 x 1 ) = B(y,x).
9. Bilineární formy p. 7/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem VĚTA 1 Každou bilineární formub můžeme vyjádřit ve tvaru součtu symetrické a antisymetrické formy B(u,v) = B S (u,v)+b A (u,v), kde B S (u,v) = 1 ( ) B(u,v)+B(v,u) 2 B A (u,v) = 1 ( ) B(u,v) B(v,u) 2 přičemžb S (u,v) = B S (v,u) ab A (u,v) = B A (v,u). FormyB S ab A se nazývají po řadě symetrická část a antisymetrická část bilineární formyb.
9. Bilineární formy p. 7/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem VĚTA 1 Každou bilineární formub můžeme vyjádřit ve tvaru součtu symetrické a antisymetrické formy B(u,v) = B S (u,v)+b A (u,v), kde B S (u,v) = 1 ( ) B(u,v)+B(v,u) 2 B A (u,v) = 1 ( ) B(u,v) B(v,u) 2 přičemžb S (u,v) = B S (v,u) ab A (u,v) = B A (v,u). FormyB S ab A se nazývají po řadě symetrická část a antisymetrická část bilineární formyb. DŮKAZ: B(u,v) = 1 2( B(u,v)+B(v,u) ) + 1 2 ( B(u,v) B(v,u) )
9. Bilineární formy p. 8/14 9.3 Matice bilineární formy Necht V je vektorový prostor s bází E = (e 1,...,e n ) a necht B je bilineární forma nav. Necht x,y V jsou dva vektory, které lze zapsat pomocí souřadnic ve tvaru x = x 1 e 1 + +x n e n, y = y 1 e 1 + +y n e n.
9. Bilineární formy p. 8/14 9.3 Matice bilineární formy Necht V je vektorový prostor s bází E = (e 1,...,e n ) a necht B je bilineární forma nav. Necht x,y V jsou dva vektory, které lze zapsat pomocí souřadnic ve tvaru x = x 1 e 1 + +x n e n, y = y 1 e 1 + +y n e n. Pak B(x,y) = B(x 1 e 1 + +x n e n,y) = x 1 B(e 1,y)+ +x n B(e n,y) = B(e 1,y) B(e 1,y 1 e 1 + +y n e n ) = [ x 1,...,x n ]. =[ x 1,...,x n ]. B(e n,y) B(e n,y 1 e 1 + +y n e n ) B(e 1,e 1 )y 1 + +B(e 1,e n )y n = [ x 1,...,x n ]. = B(e n,e 1 )y 1 + +B(e n,e n )y n B(e 1,e 1 )...B(e 1,e n ) y 1 = [ x 1,...,x n ]... B(e n,e 1 )...B(e n,e n ) y n =
9. Bilineární formy p. 9/14 9.3 Matice bilineární formy DEFINICE 3 Necht V je libovolný vektorový prostor a E = (e 1,...,e n ) je jeho báze. Maticí bilineární formy B v bázie rozumíme matici [B] E = [B(e i,e j )]
9. Bilineární formy p. 9/14 9.3 Matice bilineární formy DEFINICE 3 Necht V je libovolný vektorový prostor a E = (e 1,...,e n ) je jeho báze. Maticí bilineární formy B v bázie rozumíme matici [B] E = [B(e i,e j )] VĚTA 2 Necht [B] E je matice bilineární formyb v bázie vektorového prostoru V. Pro libovolné vektory x,y V B(x,y) = [x] E [B] E [y] E.
9. Bilineární formy p. 10/14 9.3 Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 Najděte matici bilineární formy z příkladu 3 definované na prostoru P 3 všech mnohočlenů nejvýše druhého stupně v bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Výsledek využijte k vyčíslení B(p,q) pro p(x) = 1 x a q(x) = x 2 x.
9. Bilineární formy p. 10/14 9.3 Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 Najděte matici bilineární formy z příkladu 3 definované na prostoru P 3 všech mnohočlenů nejvýše druhého stupně v bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Výsledek využijte k vyčíslení B(p,q) pro p(x) = 1 x a q(x) = x 2 x. ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme: B(e 1,e 1 ) = e 1 (1)e 1 (1)+e 1 (2)e 1 (2) = 1 1+1 1 = 2 B(e 1,e 2 ) = e 1 (1)e 2 (1)+e 1 (2)e 2 (2) = 1 1+1 2 = 3 B(e 1,e 3 ) = e 1 (1)e 3 (1)+e 1 (2)e 3 (2) = 1 1+1 4 = 5 B(e 2,e 2 ) = e 2 (1)e 2 (1)+e 2 (2)e 2 (2) = 1 1+2 2 = 5 B(e 2,e 3 ) = e 2 (1)e 3 (1)+e 2 (2)e 3 (2) = 1 1+2 4 = 9 B(e 3,e 3 ) = e 3 (1)e 3 (1)+e 3 (2)e 3 (2) = 1 1+4 4 = 17
9. Bilineární formy p. 10/14 9.3 Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 Najděte matici bilineární formy z příkladu 3 definované na prostoru P 3 všech mnohočlenů nejvýše druhého stupně v bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Výsledek využijte k vyčíslení B(p,q) pro p(x) = 1 x a q(x) = x 2 x. ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme: B(e 1,e 1 ) = e 1 (1)e 1 (1)+e 1 (2)e 1 (2) = 1 1+1 1 = 2 B(e 1,e 2 ) = e 1 (1)e 2 (1)+e 1 (2)e 2 (2) = 1 1+1 2 = 3 B(e 1,e 3 ) = e 1 (1)e 3 (1)+e 1 (2)e 3 (2) = 1 1+1 4 = 5 B(e 2,e 2 ) = e 2 (1)e 2 (1)+e 2 (2)e 2 (2) = 1 1+2 2 = 5 B(e 2,e 3 ) = e 2 (1)e 3 (1)+e 2 (2)e 3 (2) = 1 1+2 4 = 9 B(e 3,e 3 ) = e 3 (1)e 3 (1)+e 3 (2)e 3 (2) = 1 1+4 4 = 17 Ostatní prvky matice formy dopočteme ze symetrie B(e i,e j ) = e i (1)e j (1)+e i (2)e j (2) = e j (1)e i (1)+e j (2)e i (2) = B(e j,e i ).
9. Bilineární formy p. 11/14 9.3 Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 (Pokračování) Matice má tedy tvar: [B] E = 2 3 5 3 5 9 5 9 17.
9. Bilineární formy p. 11/14 9.3 Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 (Pokračování) Matice má tedy tvar: 2 3 5 [B] E = 3 5 9. 5 9 17 Jelikož 1 0 [p] E = 1 a [q] E = 1 0 1,
9. Bilineární formy p. 11/14 9.3 Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 (Pokračování) Matice má tedy tvar: Jelikož platí B(p,q) = [ 1 1 0 2 3 5 [B] E = 3 5 9. 5 9 17 1 0 [p] E = 1 a [q] E = 1 0 1 ] 2 3 5 3 5 9 5 9 17 0 1 1 [ =, 1 1 0 ] 2 4 8 = 2.
9. Bilineární formy p. 12/14 9.3 Matice bilineární formy VĚTA 3 Necht B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze. Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru V splňuje [B] E = [B] E (S)
9. Bilineární formy p. 12/14 9.3 Matice bilineární formy VĚTA 3 Necht B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze. Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru V splňuje [B] E = [B] E (S) DŮKAZ:Je-li B symetrická bilineární forma, pakb(e i,e j ) = B(e j,e i ) a vztah (S) platí. Obráceně, necht platí (S). Pak podle věty 2 pro libovolné vektory x,y V platí
9. Bilineární formy p. 12/14 9.3 Matice bilineární formy VĚTA 3 Necht B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze. Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru V splňuje [B] E = [B] E DŮKAZ:Je-li B symetrická bilineární forma, pakb(e i,e j ) = B(e j,e i ) a vztah (S) platí. Obráceně, necht platí (S). Pak podle věty 2 pro libovolné vektory x,y V platí ) = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E ([x] = E [B] E [y] E [y] E [B] E [x] E = [y] E [B] E [x] E = = B(y,x), takže forma B je symetrická. (S)
9. Bilineární formy p. 12/14 9.3 Matice bilineární formy VĚTA 3 Necht B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze. Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru V splňuje [B] E = [B] E DŮKAZ:Je-li B symetrická bilineární forma, pakb(e i,e j ) = B(e j,e i ) a vztah (S) platí. Obráceně, necht platí (S). Pak podle věty 2 pro libovolné vektory x,y V platí ) = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E ([x] = E [B] E [y] E [y] E [B] E [x] E = [y] E [B] E [x] E = = B(y,x), takže forma B je symetrická. (S) Matice A, která splňuje A = A, se nazývá symetrická matice.
9. Bilineární formy p. 13/14 9.4 Změna báze Necht E = (e 1,...,e n ) af = (f 1,...,f n ) jsou dvě bázeu. Necht S je matice přechodu od bázee k nové bázif, takže pro libovolný vektor x U platí [x] E = S[x] F.
9. Bilineární formy p. 13/14 9.4 Změna báze Necht E = (e 1,...,e n ) af = (f 1,...,f n ) jsou dvě bázeu. Necht S je matice přechodu od bázee k nové bázif, takže pro libovolný vektor x U platí [x] E = S[x] F. S použitím věty 2 dostaneme pro libovolné dva vektory x,y U a bilineární formu B na U [x] F [B] F [y] F = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E = [x] F S [B] E S[y] F.
9. Bilineární formy p. 13/14 9.4 Změna báze Necht E = (e 1,...,e n ) af = (f 1,...,f n ) jsou dvě bázeu. Necht S je matice přechodu od bázee k nové bázif, takže pro libovolný vektor x U platí [x] E = S[x] F. S použitím věty 2 dostaneme pro libovolné dva vektory x,y U a bilineární formu B na U [x] F [B] F [y] F = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E = [x] F S [B] E S[y] F. Zvolíme-li x = f i a y = f j dostaneme [B] F = S [B] E S.
9. Bilineární formy p. 13/14 9.4 Změna báze Necht E = (e 1,...,e n ) af = (f 1,...,f n ) jsou dvě bázeu. Necht S je matice přechodu od bázee k nové bázif, takže pro libovolný vektor x U platí [x] E = S[x] F. S použitím věty 2 dostaneme pro libovolné dva vektory x,y U a bilineární formu B na U [x] F [B] F [y] F = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E = [x] F S [B] E S[y] F. Zvolíme-li x = f i a y = f j dostaneme [B] F = S [B] E S. Odtud dostaneme s použitím matice zpětného přechodu T = S 1 od bázef k bázie [B] E = T [B] F T.
9. Bilineární formy p. 14/14 9.5 Kongruentní matice DEFINICE 4 Čtvercová matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje regulární matice T tak, že A = T BT.
9. Bilineární formy p. 14/14 9.5 Kongruentní matice DEFINICE 4 Čtvercová matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje regulární matice T tak, že A = T BT. VĚTA 4 Matice dané bilineární formy v různých bázích jsou kongruentní.
9.5 Kongruentní matice DEFINICE 4 Čtvercová matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje regulární matice T tak, že A = T BT. VĚTA 4 Matice dané bilineární formy v různých bázích jsou kongruentní. Je možno dokázat i tvrzení, že jsou-li matice kongruentní, pak jsou maticemi nějaké bilineární formy v různých bázích. Jelikož podstatné vlastnosti bilineárních forem (například symetrie) nezávisí na bázi prostoru, dá se očekávat, že kongruentní matice budou mít podstatné charakteristiky shodné. 9. Bilineární formy p. 14/14