Uiverzit Krlov v Prze Pedgogiká fklt SEMINÁRNÍ PRÁCE Z LGERY ELEMENTY LINEÁRNÍ LGERY 999/ CIFRIK
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ iárí rele R iárí rele R mezi možimi moži Pro dv prvky b (prvek) je v reli R s (prvkem) b Zákldí pojmy je libovolá podmoži R krtézského soči tkové že b R iárí rele je: refleiví jestliže pltí M : R irefleiví jestliže pltí M : o R symetriká jestliže pltí y M : Ry yr y M : Ry yr trzitiví jestliže pltí y z M : Ry yrz Rz y M : Ry y yr tisymetriká jestliže pltí y koektiví jestliže pltí píšeme též Rb čteme iárí rele U možiě M se zývá (eostré) spořádáí možiě M je-li refleiví tisymetriká trzitiví ostré spořádáí možiě M je-li irefleiví tisymetriká trzitiví (ostré či eostré) lieárí spořádáí možiě M jestliže je (ostrým či eostrým) spořádáím M je ví koektiví Příkld Je dá moži ) Určeme výčtem prvků biárí reli R y b) Určeme obor biárí rele R ) Určeme výčtem prvků reli R doplňkovo k R d ) R d b) prví obor O R drhý obor O R d ) y ; y R y R ; / y y To zmeá že reli R vytvoříme z rele R záměo pořdí složek ve všeh spořádýh dvojiíh rele R Tedy R Příkld Nehť M je moži přímek v roviě Defijme reli R tkto: prq zmeá že přímk p emá společý bod s přímko q Které vlstosti má rele R? Rele R eí refleiví protože přímk p má sm se sebo dokoe ekoečě moho společýh bodů Rele R je symetriká protože zřejmě p má společý bod s q právě když q má společý bod s p Rele eí trzitiví Kdyby byl trzitiví zmelo by to že emá-li p společý bod s q sočsě emá q společý bod s r pk p emá společý bod s r Zvolme speiálě p q prq tj p q p q r p Pk zřejmě prq qrp le p eí v reli R sm se sebo wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Zobrzeí DefI Zobrzeí (fke) f možiy do možiy (ozčeí f : ) je jkákoli rele mezi možimi tková že pro kždé eistje právě jede prvek b tkový že b f Prvek b zýváme hodoto zobrzeí f v bodě (příp obrzem prvk při zobrzeí f ) píšeme strčě b f Prvek zýváme vzorem prvk b při zobrzeí f Defiičí obor D f ; b : b f Obor hodot D f zobrzeí f je moži H f zobrzeí f je moži H f y ; : y f DefII Zobrzeím z možiy do možiy rozmíme tkovo podmoži f možiy pro ktero pltí: )( y y ){[( y ) f ( y ) f ] y } ( y Zobrzeí f : se zývá prosté (ijeke) jestliže pro libovolá D f pltí: Je-li je f f (tj kždým dvěm růzým vzorům příslší dv růzé obrzy); (srjeke) je-li H f ; vzájemě jedozčé (bijeke) jestliže je zároveň prosté (tj D f H f f je prosté) iárí opere (iárí) operí možiě M rozmíme kždé zobrzeí (elého) krtézského soči M M do M Neí-li defiičím oborem elá moži M M hovoříme o priálí ebo též částečé operi Říkáme že opere možiě M je komttiví jestliže b M b b je soitiví jestliže b M ( b ) = ( b ) má etrálí prvek jestliže M M M M má gresiví prvek jestliže má iverzí prvek M M ke kždém prvk jestliže eistje etrálí prvek pltí Grp Grpo rozmíme spořádo dvojii (G ) kde G je eprázdá moži tzv osič grpy G je biárí opere G která je soitiví má etrálí prvek ke kždém prvk i prvek iverzí Je-li ví opere komttiví hovoříme o komttiví (eboli belově) grpě wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Číselé těleso Číselým tělesem rozmíme spořádo trojii T kde T je podmoži možiy kompleíh čísel C tková že T T pltí: ( y T)( y T y T) (je zvřeá sčítáí ásobeí) ( T)( ) T (je zvřeá opčé prvky) ( T)( T) (je zvřeá převráeé hodoty elovýh prvků) Obeě číselým tělesem rozmíme kždo spořádo trojii T kde T je spoň dvoprvková moži; jso opere T pltí y z T : y y y z y z ( T)( ) y y y z y z ( T )( ) ( )( T) ( )( T) y z z y z (distribtivit opere vzhledem k operi ) ritmetiký vektor Nehť T je těleso přirozeé číslo Uspořádo -tii kde i T i zveme -rozměrým ritmetikým vektorem d tělesem T Prvek i zýváme i-tým čleem ritmetikého vektor Moži všeh -rozměrýh ritmetikýh vektorů d T bdeme zčit V T Rovost dvo ritmetikýh vektorů Dv vektory y se sobě rovjí právě když Sočet dvo ritmetikýh vektorů α-ásobek Nlový ritmetiký vektor i yi i y y y y o tj všehy čley jso rovy lovém prvk těles T Lieárí kombie Nehť k jso vektory z (T ) V k prvky z T ritmetiký vektor zýváme lieárí kombií ritmetikýh vektorů k s koefiiety k triviálí lieárí kombií - zýváme lieárí kombii která má všehy koefiiety rové lovém prvk z těles T etriviálí lieárí kombii jestliže je spoň jede koefiiet růzý od lová lieárí kombie jestliže pro prvky k T vektory k V( ) pltí: o T k k k k wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Lieárí závislost ezávislost vektorů závislé eistje lová etriviálí lieárí kombie ezávislé eistje poze triviálí lieárí kombie Příkld Rozhoděme zd ásledjíí vektory z ritmetikého vektorového prostor R d R jso lieárě závislé ebo ezávislé v w Rozhodot zd vektory v w jso lieárě závislé resp ezávislé zmeá rozhodot zd rovie v w má elové resp poze lové řešeí Tto rovii lze přepst sostv Tto sostv má poze triviálí řešeí tkže vektory v w jso LN Poz O ezávislosti vektorů v w lze rozhodot též zákldě výpočt ermit mtie sostvy (Sostv rovi má poze triviálí řešeí právě tehdy když ermit mtie sostvy eí ) Příkld Určeme reálé číslo b tk by vektory 9 lieárě ezávislé v w z ritmetikého vektorového prostor R d R byly lieárě závislé v w b by vektory v w byly lieárě závislé msí eistovt čísl R z ihž spoň jedo je elové pltí v w Zkomáme tedy pro které hodoty prmetr b má sostv b lové řešeí Odečteím rovie od rovie dosteme b Sdo zjistíme že pro b je pro b má sostv ekoečě moho řešeí tedy pro b jso vektory v w lieárě závislé wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Určeme všehy hodoty R pro které je vektor v lieárí kombií vektorů v Vektor v je lieárí kombií vektorů právě tehdy když eistjí R tková že v tz když sostv rovi má spoň jedo řešeí Podle Frobeiovy věty je tto sostv řešitelá právě tehdy když je hodost mtie sostvy rov hodosti rozšířeé mtie sostvy ' Mtii ' prvíme trojúhelíkový tvr: ' Vidíme že pro je ' h h tedy sostv je řešitelá (protože hodost mtie sostvy je rov počt ezámýh je toto řešeí právě jedo) To zmeá že vektor v je lieárí kombií vektorů pro libovolé reálé Pmtjme: Neeistje i jed oblst mtemtiky to ť je jkkoli bstrktí která by se jedo edl plikovt jevy reálého svět NI Lobčevskij
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Mtie Nehť T je těleso Obdélíkovo tblk prvků z T sestveýh do m řádků slopů zýváme mtii typ m d tělesem T Je-li m hovoříme o čtverové mtii -tého řád Mtie přiřzje kždé dvojii i k i m k prvek z T který ozčjeme ik zýváme prvkem mtie v i-tém řádk k-tém slopi Mtii zpisjeme m m m ebo zkráeě i m ik k pokd je z tet zámo m píšeme poze ik ritmetiký vektor i i i se zývá i-tý řádek ritmetiký vektor k k mk k-tý slope mtie Digoál digoálí mtie Nehť ik je mtie typ m ritmetiký vektor rr kde r mi m se zývá (hlví) digoál mtie Prvky Mtie ii i r se zývjí digoálí prvky ik která má mimo hlví digoál smé tj ik pro i k se zývá digoálí Jedotková mtie Jedotkovo mtii -tého řád zýváme digoálí mtii E e ik -tého řád pro íž pltí e pro všeh i (Jedotková mtie stpě je čtverová mtie ii e ik E stpě mjíí v hlví digoále všde prvek všde jide prvek ) Trspoová mtie T Trspoová mtie k mtii ik typ m je mtie b typ m ktero pltí ik bik i m k (Trspoovo mtii mtie tk že vzájemě vyměíme řádky slope v mtii ) Příkld Určeme trspoové mtie k mtiím ik pro T dosteme z T T wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Mtie symetriká tisymetriká Mtie se zývá symetriká (tisymetriká) jestliže pltí Trojúhelíková mtie T zobeěá: právě když mtie typ m ik má poze elové řádky b jso-li vedoí prvky tkové žei r pk k s ik rs redková: právě když je zobeěé trojúhelíková mtie typ m kždý vedoí prvek je rove b d kždým vedoím prvkem jso ve slopi poze Čtverové mtie: reglárí siglárí Čtverovo mtii -tého řád zveme reglárí jestliže hod čtverovo mtii -tého řád zveme siglárí jestliže hod (Reglárí mtií zýváme čtverovo mtii -tého řád jejíž hodost je rov V opčém přípdě mlvíme o siglárí mtii) Mtie je reglárí je-li ermit K reglárí mtii eistje iverzí mtie Řádkový prostor Řádkovým prostorem mtie rozmíme podprostor vektorového prostor V (T ) geerový všemi řádky mtie Hodost mtie Hodostí mtie ik typ m T zýváme dimezi jejího řádkového prostor Elemetárí úprvy Elemetárí řádkové (slopové) úprvy: změ pořdí řádků (resp slopů) mtie b hrzeí řádk (resp slope) mtie jeho α-ásobkem kde T hrzeí řádk (resp slope) mtie jeho sočtem s α-ásobkem T jiého řádk mtie d vyeháí řádk (resp slope) který je lieárí kombií osttíh řádků (resp slopů) Dvě mtie jso ekvivletí právě když lze jed z drhé získt koečým počtem elemetáríh úprv řádků Příkld Určeme hodost mtie ik wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Pomoí elemetáríh řádkovýh slopovýh úprv převedeme mtii ekvivletí zobeěo trojúhelíkovo mtii: 9 9 9 Hodost mtie je Rovost mti Mtie ik typ m b ik typ s r se sobě rovjí právě když pltí: m = r = s ik ik b pro všeh k m i Sočet mti Nehť jso dáy mtie ik b ik téhož typ m d týmž tělesem T Sočtem mti zýváme mtii ik C typ m defiovo předpisem k m i b ik ik ik Píšeme C Pltí: b C C ) ( ) ( d T T T e ik kde ik je opčý prvek k ik v tělese T je mtie opčá k mtii tj pltí (Z be plye že moži mti dého typ (m) d tělesem T tvoří komttiví grp) Příkld Sečtěme mtie
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz 9 α-ásobek mtie Nehť ik je mtie typ m d tělesem T Sočiem prvků T mtie zýváme mtii ik C typ m defiovo předpisem k m i ik ik Píšeme C Příkld 9 Určeme mtii D 9 9 9 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D Příkld Vypočítejme mtii X z rovie X Rovie je ve tvr X bdeme ji řešit vyásobeím obo str rovie iverzí mtií zlev: X tkže X Určíme tedy mtii : 9 9 X Zkošk: X 9
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Soči mti Nehť je dá mtie ik typ m mtie b ik typ p obě d týmž tělesem T Sočiem mti (v tomto pořdí!) zýváme mtii C typ m p defiovo předpisem ik i b k ibk ibk ijb jk i m k p Píšeme C (Podmík pro typy mti při ásobeí si můžeme zpmtovt pomoí formálího vzth (m)(p) = (mp))!!! Násobeí mti eí komttiví!!! Příkld Určeme soči mti C j ik kde ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 tedy 9 Záměé mtie Jso mtie pro které pltí Frobeiov vět sostv rovi je řešitelá právě tehdy když hodost mtie sostvy * * * je rov hodosti mtie rozšířeé r * * * * * * * wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz djgové mtie Příkld Určeme djgovo mtii dj k mtii djgovo mtii dj vypočítáme tk že kždý prvek mtie hrdíme jeho lgebrikým doplňkem tkto získo mtii trspojeme: T T dj Iverzí mtie ďte čtverové reglárí mtie stpě Řekeme že je iverzí mtie k mtii ebo že je iverzí mtií k mtii jestliže E kde E je jedotková mtie Příkld Určeme iverzí mtii - k mtii
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Určeme iverzí mtii - k mtii Řešeí Zjistíme ermit dé mtie mtii djgovo Je-li ermit elový pltí vzth dj vypočteme sdo pomoí Srrsov prvidl: výpočet dj je vede v předhozím příkldě proto Řešeí Pomoí jedotkové mtie: 9 Zkošk správosti lze provést ověřeím pltosti vzth E kde E je jedotková mtie
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Řešme sostv rovi Jedá se o sostv tří rovi o třeh ezámýh přičemž ermit mtie sostvy tkže sostv má právě jedo řešeí Řešeí Úprvo rozšířeé mtie sostvy (Gssov elimičí metod): Zov jsme se přesvědčili že sostv je řešitelá eboť ' h h (Frobeiov vět; ' je mtie rozšířeá) h ( počet ezámýh) tkže řešeí je právě jedo Z posledí prveé rovie vidíme že tkže Podobě Řešeí Užitím Crmerov prvidl: i i kde mtie i vzike z hrzeím i-tého slope prvými strmi sostvy Tkže
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Řešeí Pomoí iverzí mtie k mtii sostvy : Do sostv lze přepst ve tvr rovie: Řešeí této rovie rčíme tk že vyásobíme zlev obě stry rovie mtií iverzí k mtii Zámým způsobem (iverzí mtie) zjistíme že Proto po doszeí do rovie: Odsd vidíme že Pmtjme: Mtemtik je je tehdy moým ástrojem když spol s í se zvádí ěo ového když vůbe do hlobky vímá jk fyzik tk i mtemtik když žívá právě ty metody které jso pro dý přípd té Zkoší-li bezmyšlekovitě plikovt mtemtiký prát sží-li se kompezovt edosttek pohopeí podstty věi mtemtikými formlemi pk má stejě mlo prvděpodobost že se dobere výsledk jko má dítě zčíjíí mlvit že píše báseň N Krylov
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Permte ermity jejih žití Pořdí prvků ď přirozeé číslo Pořdím prvků rozmíme kždo spořádo -tii i i i prvků kde se kždý z prvků vyskytje právě jedo Iverze v pořdí Iverzí v pořdí i i i rozmíme kždo dvojii čísel i r is tkovo že r s zároveň i (tj větší číslo se v pořdí vyskytje před meším číslem) r i s Permte Permtí možiy rozmíme kždo bijeki možiy Permtí zpisjeme pomoí mtie typ tvr i i i j j j ve které prví řádek zýváme pořdím vzorů drhý řádek pořdím obrzů pro kždé je ( i ) j Moži všeh permtí možiy zčíme S Iverzí zobrzeí k permti zýváme iverzí permtí k permti Říkáme že permte je v zákldím tvr jestliže pořdí vzorů je Iverzí permte Iverzí permti vytvoříme výměo řádků Zméko permte π km Zmékem permte rozmíme elé číslo kde k je počet všeh iverzí v pořdí vzorů m počet všeh iverzí v pořdí obrzů Zméko permte zčíme sig Je-li sig řekeme že permte je sdá pokd sig je permte lihá Příkld Určeme zméko permte Můžeme postpovt dvěm způsoby ď rčíme počet iverzí v pořdí vzorů v pořdí obrzů () ebo ejprve zpíšeme permti v zákldím tvr (b) Tedy ) iverze v pořdí vzorů: iverze v pořdí obrzů Zméko permte je b) permte zpsá v zákldím tvr je Iverzí v pořdí vzorů je tedy v pořdí obrzů proto zméko permte je wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Determit mtie ď ij rozmíme prvek (číslo) Jso-li čtverová mtie -tého řád d tělesem T Determitem mtie z těles T pro který pltí: sig s s s S s s s řádkové (resp slopové) vektory mtie píšeme místo též Jik defiováo: Determitem -tého stpě mtie zýváme číslo r kk k kde se sčítá přes všehy permte k k k čísel kde r dává počet iverzí v permti k k k Determit mtie je sočet sočiů; v kždém soči se vyskytje z kždého řádk i slope právě jede prvek N drhé strě kždý prvek řádk či slope se vyskytje spoň v jedom sčíti Determit trojúhelíkové mtie je rove soči prvků digoále Vzike-li mtie ze čtverové mtie -tého řád výměo dvo řádků resp slopů potom Pltí = T Vět o sočt ermitů: i i bi i i bi Vět o vytýkáí kostty ze řádk: i i i i i i ď čtverová mtie stpě Jestliže mtie vzike z mtie vyásobeím libovolého řádk prvkem T pk Vět o soči dvo ermitů Hodot ermit se ezměí jestliže k dém řádk resp slopi přičteme libovolo lieárí kombii osttíh řádků resp slopů Determit reglárí (siglárí) mtie je vždy růzý od ly (rove le) wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Příkld Spočtěme ermit pátého stpě 9 9 elemetárí trsforme slopů mtie (Lpleeův) rozvoj podle prvího řádk Mior (sbermit) Miorem (sbermitem) M ij z čtverové mtie příslšým prvk ij rozmíme ermit mtie která vzike z mtie vyeháím i-tého řádk j-tého slope mtie typ ď ij m Kždo mtii která vzike z vyeháím ěkterýh (libovolýh) řádků ěkterýh slopů zýváme dílčí mtií mtie Determit kždé čtverové dílčí mtie zýváme sbermitem mtie Je-li čtverová mtie stpě pk vyeháím libovolýh k řádků k libovolýh k slopů z mtie dosteme dílčí čtverovo mtii stpě k Determit kždé tkové dílčí mtie zýváme sbermitem mtie stpě k Sbermit stpě vziklý vyeháím i-tého řádk j-tého slope ozčíme lgebrikým doplňkem prvk ij Crmerovo prvidlo M Prvek ij ij i j ij M zýváme Je-li mtie reglárí pk rozšířeá mtie má právě jedo řešeí jež se vypočítá i i kde mtie vzike z mtie hrzeím i-tého slope prvými strmi i wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Pomoí Crmerov prvidl řešme sostv ; Zkošk: P L P L P L P L P L P L P L P L
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Vektorový prostor Vektorový prostor Nehť T je těleso V moži Uspořádo trojii V kde + je vitří opere V (tj zobrzeí V V V ) vější opere V d T (tj zobrzeí T V V ) zveme vektorovým prostorem d tělesem T jestliže: V je komttiví grp b vější opere splňje tyto podmíky: T bv : ( b) b T V : ( ) T V : ( ) ( ) V : ( je jedotkový prvek z T) Ve vektorovém prostor V T pltí: V : ( je lový sklár) b T : d V : Nejjedodšším příkldem vektorového prostor je tzv triviálí ebo lový vektorový prostor skládjíí se poze z lového vektor Příkld 9 Příkldy vektorovýh prostorů Těleso T spol s operemi sčítáí ásobeí defiovými T je vektorový prostor d T Speiálě těleso reálýh čísel je vektorový prostor d R (reálý vektorový prostor) Moži P všeh kldýh reálýh čísel spol s operemi kde r v v r v P r R je reálý vektorový prostor N možiě T všeh spořádýh -ti prvků z T defijeme opere b b b b b b r r r r Moži T je pk vektorovým prostorem d T který zýváme ritmetikým vektorovým prostorem d T Vektorový podprostor Nehť W je eprázdá podmoži vektorového prostor V Uspořádo trojii W zveme (vektorovým) podprostorem prostor V T jestliže pltí: bw : bw b T W : W Průik libovolého eprázdého systém podprostorů vektorového prostor V je opět podprostorem prostor V wwwmtemtikwebzz 9
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Lieárí obl DefI Nehť jso vektory z vektorového prostor V (T ) Moži M ; T zýváme podprostorem (lieárím oblem) geerovým vektory zčíme O možiě říkáme že geerje moži M ebo že je to moži geerátorů podprostor M DefII ď M podmoži vektorového prostor V Průik všeh podprostorů prostor V obshjííh moži M zýváme lieárím oblem možiy M zčíme M ď M podmoži vektorového prostor V Pk pltí: je-li M je M b je-li M pk i M i Úprvy geerátorů Nehť M je moži všeh lieáríh kombií r i i kde jso vektory z vektorového prostor V T M Provedeme-li skpi vektorů i ěktero z ásledjííh změ dosteme ovo skpi vektorů která geerje stejý podprostor M : změ pořdí vektorů b hrzeí libovolého vektor z M jeho α-ásobkem kde T hrzeí libovolého vektor z M jeho sočtem s lieárí kombií osttíh vektorů z M d vyeháí vektor který je lieárí kombií osttíh vektorů e přidáí vektor který je lieárí kombií vektorů z M Steiitzov vět Nehť vektory V Nehť vektory b b bk z V T jso lieárě ezávislé Pk pltí: k b eistje k vektorů i z které spol s vektory b b bk geerjí V T geerjí vektorový prostor T Koečěrozměrý vektorový prostor Jestliže eistjí vektory V( T) koečěrozměrý áze Nehť (T ) vektorového prostor V (T ) jestliže pltí: jso lieárě ezávislé b V( ) tj geerjí V (T ) k tkové že V T) ( V je koečěrozměrý prostor Podmoži V( ) T T je teto prostor zveme bází wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Dimeze Nehť V (T ) je koečěrozměrý vektorový prostor Dimezí elového prostor V (T ) zýváme počet prvků ěkteré jeho báze Dimeze lového vektorového prostor je Dimeze ekoečěrozměrého vektorového prostor je Dimezi vektorového prostor V (T) zčíme dimv ( T) Sořdie vektor vzhledem k bázi Ozčme skpi vektorů v tomto pořdí ehť je báze vektorového prostor V( T) V( T) Uspořádo -tii sklárů tkovo že pltí zýváme sořdiemi vektor vzhledem k bázi Píšeme Sočet podprostorů Nehť W V T Podprostor U W zýváme lieárím sočtem podprostorů U W b Nehť U W Potom lieárí sočet U W zýváme direktím sočtem podprostorů U W píšeme U W U W b b V T U jso podprostory vektorového prostor Nehť b k jso podprostory vektorového prostor Pk pltí: U W b b b k Nehť U W jso podprostory koečěrozměrého vektorového prostor V T Pk pltí: dim U dim W dim U W dim U W Příkld Rozhoděme zd moži W tvoří podprostor vektorového prostor y V R W V R Msíme ověřit podmíky vektorového podprostor W W y y y y y y W R tedy W etvoří podprostor vektorového prostor V W wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Určeme bázi dimezi vektorového prostor geerového vektory 9 z ritmetikého vektorového prostor R Nejprve zjistíme zd vektory ejso lieárě ezávislé tj zd etvoří bázi dého vektorového prostor Řešíme tedy rovii ktero lze přepst sostv 9 Užitím Gssovy elimičí metody zjistíme že tto sostv je ekvivletí se sostvo která má zřejmě ekoečě moho řešeí závislýh prmetreh Moži všeh řešeí sostvy lze zpst př ve tvr R ; To zmeá že př pro je jedím z řešeí sostvy tkže Vektory jso tedy lieárě závislé bází dého vektorového prostor etvoří Podobě i vektory jso lieárě závislé eboť Vektory jso již lieárě ezávislé protože k k právě tehdy když k k Moži je tedy bází dého vektorového prostor jeho dimeze je rov Jio bázi téhož vektorového prostor rčíme jedodšším způsobem úprvo mtie 9 Řádky mtie jso lieárě ezávislé vektory které tvoří bázi dého vektorového prostor
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Eklidovské vektorové prostory Eklidovský vektorový prostor Vektorový prostor E d R zýváme eklidovským vektorovým prostorem jestliže eistje zobrzeí g : E E R tkové že pro libovolé vektory b E libovolé reálé číslo pltí: g b g b b g b g g b g g d g g Zobrzeí g zýváme sklárím sočiem Úmlv: Eklidovský vektorový prostor E se sklárím sočiem g bdeme v dlším tet zčit E g V eklidovském vektorovém prostor E g pltí: b ; g b b d (Shwrtzov erovost) b b (trojúhelíková erovost) Velikost vektorů jimi sevřeého úhl Nehť E g je eklidovský vektorový prostor b E Délko (velikostí ormo) vektor zýváme reálé číslo g Velikost úhl mezi vektory b defijeme tkto: g b os pro b b os pro ebo b Jestliže pltí os zýváme vektory b kolmými (ortogoálími) píšeme b Ortogoálí doplěk Nehť E g je eklidovský vektorový prostor M podmoži E Ortogoálím doplňkem možiy M zýváme moži M E; b M : b Vektory ortogoálí ortoormálí Nehť Vektory k jso vektory z eklidovského vektorového prostor g k zýváme ortogoálími jestliže i j E pro všeh i j Vektory k zýváme ortoormálí jestliže jso vzájem ortogoálí i i k wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Ortogoálí (ortoormálí) báze Nehť E g je -rozměrý eklidovský vektorový prostor jeho báze Jsoli vektory vzájem ortogoálí resp ortoormálí zýváme ortogoálí resp ortoormálí bází Příkld Nehť V je podprostor ritmetikého vektorového prostor že V Určeme: ortogoálí bázi ve V která eí ortoormálí b ortogoálí doplěk V v prostor R ortoormálí bázi ve V d ortoormálí bázi ve Vektory V R se sklárím sočiem tkový které geerjí vektorový prostor V jso zřejmě lieárě ezávislé tkže moži je bází tohoto podprostor Tto báze všk eí ortogoálí eboť byhom dostli ortogoálí bázi hrdíme př vektor vektorem w V tkovým že w Protože w V msí eistovt čísl R tková že w Pltí tedy tkže K rčeí vektor w stčí jít libovolé elové řešeí této rovie Proto zvolíme př Potom ; po doszeí 9 w Hledý vektor 9 Moži w je tedy ortogoálí bází prostor V která eí ortoormálí eboť př Jio ortogoálí bází prostor V která eí ' ortoormálí je moži b Ortogoálím doplňkem V podprostor V v prostor ortogoálíh vektory V R ; Tedy Pro kždý vektor V tedy msí pltit R je moži všeh vektorů z Tto sostv má ekoečě moho řešeí závislýh jedom prmetr Moži řešeí lze zpst příkld ve tvr R Tedy V R ; R wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Ortoormálí bázi vektorového prostor V získáme př z báze ' w' která je poze ortogoálí tk že z vektorů w' vytvoříme vektory jedotkové: w w Moži w w w je tedy ortoormálí bází vektorového prostor V d Vzhledem k tom že dimeze vektorového prostor R je rov dimeze jejího podprostor V je rov msí být dimeze podprostor V rov To zmeá že libovolý elový vektor z V tvoří bázi V Uvžjme př bázi Tto báze zřejmě eí ortoormálí eboť Ortoormálí bázi bde tvořit jedotkový vektor z V tedy vektor Ortoormálí bází prostor V je tedy moži Pmtjme: I kdyby byl ším údělem dlohý život bylo by té šetrě si rozdělit čs by stčil ezbyté záležitosti Jké šíleství čit se zbytečosti v tk velké čsové tísi v íž jsme See wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Lieárí zobrzeí isomorfisms vektorovýh prostorů Lieárí zobrzeí Nehť V (T ) V '( T) jso vektorové prostory d týmž tělesem T Zobrzeí : V V' se zývá lieárí zobrzeí jestliže pro libovolé bv T pltí: b b (zobrzeí se zývá ditiví) b (zobrzeí je homogeí) Obrz lieárí kombie vektor z V je rove lieárí kombii jejih obrzů se stejými koefiiety Jádro obrz zobrzeí ρ Nehť : V T V' T je lieárí zobrzeí Moži V; jádro zobrzeí moži b V'; V : b ker o se zývá Im se zývá obrz zobrzeí ker je podprostor prostor V (T ) Im je podprostor prostor V '( T) Nehť : V T V' T je lieárí zobrzeí V je koečě rozměrý prostor Pk pltí: dimker dimim dim V Nehť : V T V' T je lieárí zobrzeí V je koečě rozměrý prostor Pk jso ásledjíí podmíky ekvivletí: ker o ) dim (Im ) dim V ) je prosté b) Tkto lieárí lgebr rozhodě ekočí kočí je má práe Požitá litertr i L: Lieárí lgebr Prh 99 i L: Lieárí lgebr v úloháh Prh 99 Kopeký M - Emovský P: Sbírk řešeýh příkldů z lgebry Olomo 99 Liebl P: Mtiová lgebr Prh 9 Novotá J - Trh M: lgebr teoretiká ritmetik (Lieárí lgebr) Prh 99 Novotá J - Trh M: lgebr teoretiká ritmetik (Zákldy lgebry) Prh 99 wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ OSH ELEMENTY LINEÁRNÍ LGERY Zákldí pojmy iárí rele R Zobrzeí iárí opere Grp Číselé těleso ritmetiký vektor Rovost dvo ritmetikýh vektorů Sočet dvo ritmetikýh vektorů α-ásobek Nlový ritmetiký vektor Lieárí kombie Lieárí závislost ezávislost vektorů Mtie Digoál digoálí mtie Jedotková mtie Trspoová mtie Mtie symetriká tisymetriká Trojúhelíková mtie Čtverové mtie: reglárí siglárí Řádkový prostor Hodost mtie Elemetárí úprvy Rovost mti Sočet mti α-ásobek mtie 9 Soči mti Záměé mtie Frobeiov vět djgové mtie Iverzí mtie Permte ermity jejih žití Pořdí prvků Iverze v pořdí Permte Iverzí permte Zméko permte π Determit mtie Mior (sbermit) Crmerovo prvidlo Vektorový prostor 9 Vektorový prostor 9 Vektorový podprostor 9 Lieárí obl Úprvy geerátorů Steiitzov vět Koečěrozměrý vektorový prostor wwwmtemtikwebzz
PŘEHLED DEFINIC POJMŮ áze Dimeze Sořdie vektor vzhledem k bázi Sočet podprostorů Eklidovské vektorové prostory Eklidovský vektorový prostor Velikost vektorů jimi sevřeého úhl Ortogoálí doplěk Vektory ortogoálí ortoormálí Ortogoálí (ortoormálí) báze Lieárí zobrzeí isomorfisms vektorovýh prostorů Lieárí zobrzeí Jádro obrz zobrzeí ρ Požitá litertr OSH wwwmtemtikwebzz