VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí a jejich poznávání. Žák sestrojí graf lin. funkce a určuje rovnici lin. funkce z grafu. Procvičuje si vlastnosti lin. funkcí na cvičeních. Vzdělávací oblast: Matematika Autor: Mgr. Robert Kecskés Jazyk: Český Očekávaný výstup: Rozezná funkční vztahy, určí definiční obor funkce a obor hodnot. Druh učebního materiálu: Prezentace Cílová skupina: Žák Stupeň a typ vzdělávání: Druhý stupeň, základní škola Datum (období), ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Školní rok 2012-2013 Ročník, pro který je vzdělávací materiál určen: Devátý ročník základní školy
Lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Každá funkce y = ax + b, kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá lineární funkce.
Lineární funkce Funkci obvykle zapisujeme: y = f(x), např. y = 2x+1 nebo f: y = 2x + 1 Proměnná x je argumentem funkce. Její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Říkáme jí nezávisle proměnná. Definiční obor - množina všech hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat, označujeme ho D(f)
Lineární funkce Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Obvykle ji značíme y nebo f(x). Obor hodnot je množina všech reálných čísel, kterou dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f). Obor hodnot funkce označujeme H(f).
Lineární funkce Lineární funkci můžeme zadat rovnicí, tabulkou nebo grafem. Grafem lineární funkce je množina bodů ležící na přímce.
5 4 3 2 1 y Graf konstanta b y = 3x 2 Sestrojte graf lineární funkce y = 3x 2. x 1 2 y = 3x 2 1 4 0-4 -3-2 -1 1 2 3 4 x -1-2 A[0; 2] Všímejte si souřadnic průsečíku grafu s osou y. -3-4 Označíme jej bodem A, platí A[0; -2], -5 y-nová souřadnice bodu A je rovna konstantě b v rovnici funkce.
Cvičení 1. Urči konstantu b v zadání lineární funkce y = 3x + b, jestliže graf této funkce protíná osu y v bodě o A souřadnicích [0; 4]? b = 4 y = 3x + 4 2. Urči, jaké souřadnice bude mít bod, ve kterém protíná graf lineární funkce y = 4x 1 osu y. [0; 1] 3. Zapište lineární funkci rovnicí, jestliže víte, že platí: a = 4, b = 1. Jaké souřadnice má bod, ve kterém graf této funkce protíná osu y? y = 4x + 1 bodem [0; 1]
Graf konstanta b Graf lineární funkce y = ax + b protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; b]. Graf lineární funkce y = ax (b = 0) prochází počátkem soustavy souřadnic [0; 0].
y Graf konstanta a 5 4 3 2 1 y = 2x 1 0-4 -3-2 -1 1 2 3 4 x -1-2 A[0; 1] -3-4 -5 y = 2x 1 Funkce je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x 1 < x 2, pak y 1 < y 2. x 1 2 y = 2x 1 1 3 Funkce je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x 1 < x 2, pak y 1 > y 2. x 1 2 y = 2x 2 1 2 Všimni si konstanty a v rovnicích!
Graf konstanta a Lineární funkci y = ax + b, kde a = 0, nazýváme konstantní funkce. Jejím grafem je vždy přímka rovnoběžná s osou x, která prochází bodem [0, b]. y y = 2 x 1 3 y = 2 2 2 y = 3 x 1 2 y = 3 3 3 5 4 3 2 1 y = 3 0-4 -3-2 -1-1 1 2 3 4 x -2-3 -4 y = 2
Druhy lineárních funkcí Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, jestliže a > 0. Lineární funkce y = ax + b je klesající, jestliže a < 0. Lineární funkce y = ax + b je konstantní, jestliže a = 0.
Cvičení 1. Rozhodněte, která z daných funkcí je lineární. D f = R. a) y = 3x + 1 b) y = x 2 2 c) y = 1,3 2x d) e) f) Řešení: a), c), e), f) 2. Určete průsečíky grafů daných funkcí s osou y: a) y = x 5 b) y = 0,3x + 3 c) y = 1 0,6x a) [0; 5] a) [0; 3] a) [0; 1] 3. Rozhodněte, zda je daná funkce rostoucí, klesající nebo konstantní: a) y = 5 b) y = 4x + 5 c) y = 1,2x + 0,5 d) y = 4 e) y = 1 2x a) konstantní b) rostoucí c) klesající d) konstantní e) klesající
Cvičení 1. Rozhodněte, zda se jedná o lineární funkci. ANO ANO ANO NE
Cvičení 1. Rozhodněte, zda se jedná o lineární funkci. x 0 1 2 3 4 5 y 1 3 5 7 9 11 ANO x 0 1 3 5 9 10 y 3 2 0-2 -6-7 ANO x 0 2 1 7 5 7 y 2 2 2 2 2 2 ANO x 0 1 5 2 3 5 y 2 3 1 4 1 2 NE