Lece Nejjedodušší Měřeí a charaterty úrově vlatotí datového ouboru je jeho úroveň, azývaá taé poloha. Charaterty úrově dělíme především podle toho, zda jou tvořey a báz výzamých hodot ebo zda jou fucem všech hodot ouboru. Nejvýzamější upou charatert úrově jou ovšem průměry. Společé pro všechy charaterty úrově je to, že jde o charaterty rozměré. artmetcý průměr; geometrcý průměr; harmocý průměr; medá; mocový průměr; protá forma; robutí charaterta; polečý průměr; tupeň průměru; úroveň; typcá hodota; vážeá forma. Úroveň a její měřeí Jedím ze záladích, uverzálích, atrbutů číelých tattcých dat je jejch úroveň (poloha). Běžě e etáváme tvrzeím typu žey e dožívají vyššího věu ež muž, právíc mají vyšší žvotí úroveň ež učtelé ebo třeba obchodíc e zemědělým omodtam mají vyšší zy ež jejch výrobc apod. Př tom amozřejmě vůbec ejde o to, že aždá žea bez výjmy e dožje vyššího věu ež terýol muž ebo že aždý práví má utě vyšší žvotí tadard ež terýol učtel. Jde pouze o určtou tattcou tedec, týající e porovávaých ouborů jao celu, ol aždé jedoty zvlášť. Způob, ja obdobá tvrzeí objetvě doložt, je rovat ouhré tattcé charaterty úrově (polohy) dvou (ebo více) datových ouborů. V úrov e mohou tattcá data více č méě lšt ebo aopa hodovat (vz obr..). Obr.. Dva oubory lšící e v úrov Soubor A Soubor B artmetcý průměr medá modu artmetcý průměr medá modu Dva tříděé datové oubory a obrázu e záměrě lší pouze v úrov, tj. v poloze vůč počátu ouřadcové oy. Pro zvýšeí přehledot jme zvoll ta velý rozdíl v úrov obou ouborů, že v tomto případě utečě platí, že aždá hodota ouboru B je větší ež teráol z hodot ouboru A. Na obrázu oučaě vdíme určté charaterty, teré mohou být použty měřeí úrově. Z obr.. je mj. zřejmé, že úroveň číelých tattcých dat lze charaterzovat apř. pomocí výzamých hodot, orétě typcé hodoty (modu) a protředí hodoty (medáu). Předot vša dáváme charatertám otruovaým jao fuce všech hodot řady, teré polečě azýváme průměry. 6
. Průměry jao charaterty úrově Pod pojmem průměry rozumíme míry polohy, teré plňují tyto záladí vlatot: jou fucí všech hodot, jejch hodota tedy záví a aždé z aměřeých hodot, leží vždy mez mmálí a mamálí aměřeou hodotou, změí-l e teráol z hodot řady, změí e ve tejém mylu hodota průměru (e vša o tejou hodotu). Kofrotujte právě uvedeé vlatot průměrů vlatotm medáu, terý určíte z dvou datových ouborů tvořeých hodotam 9, 3, 45, 36 a druhý oubor, 45, 3, 36, 9. K jaému závěru jte dopěl? Charaterty, teré vojí hodotou ereagují a přítomot etrémích hodot v datech e azývají robutí. Zcela obecě defovaý průměr e azývá mocový průměr tupě a je defová jao tá moca artmetcého průměru -tých moc hodot číelého zau X:, de (pro,,, ) je -tá hodota zau X, je rozah ouboru a je reálé čílo, azývaé tupeň mocového průměru. V této, tzv. proté formě, vyjadřujeme mocový průměr pro etříděé údaje. Jou-l údaje tříděé bodovým ebo tervalovým tříděím, vyjádříme mocový průměr ve vážeé formě jao, de (pro,,, ) jou tředy tervalů (u tervalového tříděí) ebo varaty (u bodového tříděí), jou abolutí četot,, mají tejý výzam jao v předchozím případě. V tomto oamžu e poprvé etáváme tím, že tattcé charaterty (a zdalea e to etýá je průměrů) vytupují ve dvou formách: formě proté pro etříděé údaje a formě vážeé pro tříděé údaje. Vaham v tomto případě azýváme četot, odpovídající jedotlvým tředům tervalů (u tervalového tříděí), případě jedotlvým varatám (u bodového tříděí). Př tom jde vždy pouze o dvě formy téže tattcé charaterty, teré mají tejé vlatot a a v ymbolce je tera erozlšujeme. Pro obě formy charatert obecě platí: jou-l všechy hodoty rovy jedé, přechází vzorec vážeého průměru do proté formy, áobíme-l všechy četot lbovolou otatou, hodota průměru e ezměí, tj. hodota průměru zůtae tejá, ahradíme-l apř. abolutí četot četotm relatvím, jou-l hodoty tředy tervalů př tervalovém tříděí, je vypočteá hodota pouze odhadem je evdetí, že ouč eí přeou hodotou úhru -tých moc hodot -tého tervalu. To, co jme právě uvedl v ouvlot mocovým průměrem, e přměřeě týá celé řady dalších tattcých charatert a tomuto problému e jž ebudeme pozděj zovu vracet. Je-l přrozeé čílo, můžeme hovořt o té odmocě. 7
Jedotlvé orétí průměry budeme yí defovat jao zvláští případy mocového průměru pro určté hodoty číla. V této ouvlot uvedeme, že jedou ze záladích vlatotí mocového průměru je, že je eleající fucí číla. Artmetcý průměr Položíme-l ve vzorc protého ebo vážeého mocového průměru, obdržíme ejběžější druh průměru artmetcý průměr v proté ebo vážeé formě:, de výzam jedotlvých ymbolů je tejý jao u mocového průměru tupě. Artmetcý průměr má myl použít všude tam, de má myl oučet dvduálích hodot zau. Vyplývá to z tzv. určující vlatot artmetcého průměru, terou můžeme vyjádřt jao + +... + + +... +, lově vyjádřeo: tálot oučtu hodot zau př jejch ahrazeí artmetcým průměrem. V případě, že data eplňují právě tuto určující vlatot (proto, že plňují ějaou jou), je použtí artmetcého průměru chybé! Artmetcý průměr je zároveň těžštěm hodot zau přílušého ouboru a má z tohoto ttulu ěteré vlatot (ja jme jž uvedl, hodé pro jeho protou vážeou formu): Artmetcý průměr otaty je rove této otatě. Kladé a záporé odchyly hodot od průměru e ompezují, taže ( ) 0, ja otatě plye z určující vlatot tohoto druhu průměru. Artmetcý průměr je hodotou, olem teré jou hodoty zau ejtěěj aupey ve mylu oučtu čtverců odchyle, tj. ( ) < ( c) pro c. Čemu : 45,, 3, 4,,, 3 je rove (a) oučet odchyle, (b) oučet čtverců odchyle datového ouboru od artmetcého průměru a od medáu? Jaý vztah je mez oběma oučty čtverců? Prozoumejme yí chováí artmetcého průměru v tuac, jou-l hodoty zau traformováy použtím adtví a multplatví otaty. Předtavme, že etují zay X a Y, mez terým je vztah Y X + c (de 0 ). Pa y ( + c) + c. Vdíme, že artmetcý průměr e měí tejým způobem jao e měí jedotlvé hodoty zau. Pozděj uvdíme, že toto rozumé chováí artmetcého průměru eí mez tattcým charatertam a zdalea pravdlem. Určete průměrou teplotu ve C, jetlže průměrá teplota a růzých mítech pobřeží Kalfore byla 86 F. Př tom F,8 C+3. 8
Je-l tattcý za W defová jao oučet ebo rozdíl dvou zaů X a Y, tj. w ( ± y ) ± y ± y. Je-l tattcý za Z defová jao podíl zaů X a Y, tj. z. y X Z, platí z Y W X ± Y, je y, z čehož Je-l dáo dílčích ouborů průměry,,...,,..., o rozazích,,...,,...,, pa polečý artmetcý průměr je vážeým artmetcým průměrem průměrů dílčích ouborů vaham, terým jou rozahy dílčích ouborů, tj.. Artmetcý průměr je eporě ejzámější a ejpoužívaější tattcou charatertou vůbec. Muíme ovšem uvědomt, že jeho použtí je metodcy eprávé, poud data evyhovují určující vlatot, a že v prcpu mohou etovat tuace, dy ce data formálě vyhovují, ale jeho vypovídací chopot je přejmeším porá. Přílad. Nevhodot artmetcého průměru Jedím z demografcých uazatelů je de maulty (femty), tj. počet mužů přpadajících a jedu žeu a aopa. Budou-l ve třech růzě zalděých regoech dey maulty apř. 0, 96; 99; 98př počtu mužů 5 50 a 00 t., elze z těchto dat určt artmetcý průměr, eboť údaje jou ečtatelé. Taže výpočet ( 96 50 + 99 50 + 98 00) 9688 evede e 400 právému výledu, protože oučet oučů v závorce emá žádou terpretac. Sčtatelé jou ovšem převráceé hodoty 50 + 50 + 00 43, což je úhrý počet že (v t.). Prů- 0, 96 0, 99 98 400 měrý de maulty je tedy 9685. Rozdíl mez oběma výledy ovšem emuí být vždy 43 tato zaedbatelý! Přílad. V tab.. vypočteme vážeý artmetcý průměr pro počet dětí v domácot v příladu. a pro počet obyvatel v obcích v příladu. (lece, modul ). Uážeme př tom použtí abolutích relatvích četotí. 9
Tab.. Pracoví tabula pro výpočet vážeého artmetcého průměru Počet dětí v domácot Obce podle počtu obvatel p p 0 3 4 5 6 8 4 0 5 4 6 50 350 650 950 50 550 76 30 8 5 046 034 3,80 08,50 4,70 09,5 57,50 5,70 5 57 999 483,45 V prvím případě určíme 57, 8, což je průměrý počet dětí v domácot. 5 Ve druhém případě vyčteme v oučtovém řádu poledího loupce přímo hodotu 483,45, což je průměrá velot obce vyjádřeá počtem obyvatel. Mez oběma výledy je ovšem záadí rozdíl. Zatímco průměrý počet dětí je urče přeě, průměrý počet obyvatel je pouze odhadem utečé hodoty, terou bychom taovl z původích etříděých dat (důlede zavedeí tředů tervalů jao hodot reprezetujících celý terval). Harmocý průměr Je-l ve vzorc mocového průměru tupě čílo, přechází mocový průměr do podoby protého ebo vážeého harmocého průměru h h (pro > 0) Harmocý průměr lze počítat pouze z ladých hodot zau a můžeme jej terpretovat jao převráceou hodotu protého ebo vážeého artmetcého průměru převráceých hodot zau. Určující vlatotí harmocého průměru je + +... + +... + + +... +, h h h h lově vyjádřeo: tálot oučtu převráceých hodot zau př jejch ahrazeí harmocým průměrem. Tato vlatot předurčuje vážeý harmocý průměr pro měřeí úrově poměrých číel, jao je apř. rychlot, výo, produtvta práce, jedotové álady apod. Tato číla, ať jž rozměrá ebo bezrozměrá, jou defováa jao podíl dvou velč: apř. rychlot je dráha, terou těleo urazí za jedotu čau, výo zařízeí je možtví produce vyrobeé za jedu měu, produtvta je tržba přpadající a jedoho pracovía atd. atd. Vážeý harmocý průměr pa použjeme vždy, dyž jao váha vytupuje velča, terá v poměrém číle fguruje v čtatel zlomu. V ašch amátou zvoleých příladech jou to tedy uražeá dráha, objem produce, objem tržeb apod. Je-l aopa vahou velča fgurující ve jmeovatel poměrého číla, tj. apř. jízdí doba, počet odpracovaých mě, počet pracovíů apod., použjeme e změřeí úrově poměrého číla vážeého artmetcého průměru. Z vlatotí harmocého průměru uvedeme pouze: 0
Součet odchyle převráceých hodot zau od převráceé hodoty harmocého průměru je rove ule, ja plye z jeho určující vlatot ( ) 0. h Náobíme-l všechy hodoty zau ladou otatou, áobí e touto otatou harmocý průměr. Z toho, že mocový průměr je eleající fucí číla (tupě mocového průměru) vyplývá, že př výpočtu ze tejých dat je harmocý průměr ejvýše rove průměru artmetcému ( rovot dochází př výpočtu průměru otaty). Pratcy vša využtí této vlatot epřchází přílš v úvahu, eboť žádá reálá data emohou oučaě plňovat obě určující vlatot. Přílad.3 Poračujme v příladu. (de maulty). Zjtl jme, že př výpočtu průměrého deu maulty elze použít artmetcý průměr. Použjeme tedy harmocý průměr a taovíme 50 + 50 + 00 400 h 9685. Na rozdíl od pouu o artmetcý průměr lze jmeovatel zlomu tetorát terpretovat jde o úhrý počet že (v 50 50 00 43 + + 96 99 98 t.). Poute e avrhout, jaý průměr použjeme, poud budeme počítat průměrý de maulty a jao váhy použjeme počty že. Poud budeme počítat průměrý podíl mužů v populac a jao váhy použjeme počty mužů. Poud budeme průměrovat zovou marž (z/tržby) a jao váhy použjeme hodoty zu. Jaý potup použjeme, poud data uazují a použtí artmetcého/harmocého průměru a my budeme chtít využít te, pro terý data ejou vhodá? Geometrcý průměr Zvláštím případem mocového průměru pro tupeň 0 (blížící e eomezeě ule), za oolotí, jejchž matematcou tráou e ehodláme zabývat, je geometrcý průměr, u terého e výjmečě omezíme pouze a protou formu, g... (pro > 0),... určující vlatotí....... g g... Slově vyjádřeo: tálot ouču hodot zau př jejch ahrazeí geometrcým průměrem. Z dalších vlatotí geometrcého průměru uvádíme: Z určující vlatot bezprotředě plye. g Náobíme-l hodoty zau ladou otatou, áobí e touto otatou geometrcý průměr. Geometrcý průměr lze taé terpretovat jao atlogartmu artmetcého průměru logartmů hodot zau, eboť log g log. Př evetuálím výpočtu artmetcého, harmocého a geo- metrcého průměru z týchž dat by geometrcý průměr ležel vojí hodotou mez harmocým a artmetcým průměrem. g g
Použtí geometrcého průměru e většou omezuje a měřeí úrově bezrozměrých růtových velč zřetězeých v čae (ja pozáme pozděj, tzv. oefcetů růtu ebo řetězových deů). Např. rote-l určtá velča měíčě oefcetem,03 (máme a myl vždy prot úrov předcházejícího měíce, terou považujeme za rovu jedé), pa její ročí oefcet růtu eí pochoptelě dvaáctáobe měíčího oefcetu, ale jeho dvaáctá moca. Přílad.4 Úbyte tudetů během pět let tuda je charaterzová (vždy vzhledem předcházejícímu ročíu, rep. počátečímu tavu) oefcety 8 (prví ročí), 88 (druhý ročí), 93 (třetí ročí), 98 (čtvrtý ročí), 99 (pátý ročí). Vypočtěte průměrý oefcet úbytu tudetů přpadající a jede ro tuda. 5 g 5 8 88 93 98 99 65 0, 98. Iterpretujte čílo 65 pod odmocou! Všměte, že eje oečý výlede, ale všechy mezvýledy v průběhu řešeí lze myluplě terpretovat. To e týá eje tohoto příladu! Kvadratcý průměr Pro abude mocový průměr podoby vadratcého průměru (opět protého ebo vážeého) určující vlatotí. Přetože e teto průměr používá ědy měřeí úrově, tvoří vadratcý průměr určtý přechod charatertám varablty (vz lece tohoto modulu). Poud tedy ze tejých varablích dat vypočteme všechy zde uvedeé průměry, ja e eřadí jejch hodoty? Σ. Nejdůležtější vlatotí datového ouboru je jeho úroveň poloha.. Nejvýzamější upu charatert úrově tvoří průměry. 3. Alteratvou průměrů jou charaterty úrově a báz výzamých hodot. 4. Výchozím tvarem průměru je mocový průměr. V závlot a tup průměru pa vzá průměr artmetcý, harmocý, geometrcý a vadratcý. 5. Průměry, a tejě ta řada dalších charatert vytupují v proté ebo vážeé formě, v závlot a tom, zda e jedá o etříděá ebo tříděá data. 6. I dyž eí zcela uverzálí charatertou úrově, rozhodující výzam má artmetcý průměr. Proto jme e podrobě zabýval jeho vlatotm.
7. Na rozdíl od artmetcého, mají harmocý a geometrcý průměr využtí je v určtých pecálích případech. 8. Všechy charaterty úrově jou rozměré. 9. V lec jme objal taé pojem robutí charaterty.. Charaterzujte úroveň datového ouboru ze cvčeí z lece o tříděí.. Charaterzujte úroveň datového ouboru ze cvčeí z lece o tříděí. 3. Poud datům tříděým bodovým tříděím (apř. domácot podle počtu dětí) přbude varata ejvyšší hodotou a četotí jeda, ěterá charaterta ú- rově e zcela určtě změí, ěterá zcela určtě ezměí a ěterá možá změí, možá e. Idetfujte tyto charaterty. 4. Charaterzujte robutí charaterty úrově a zdůvoděte, proč mez ě epatří průměry. 5. Etují v prcpu bezrozměré charaterty úrově? 6. Ja e zachovají medá a modu př leárí traformac hodot zau? 7. Etují charaterty úrově, teré lze určt je z ladých číel? 8. V jedom ročíu byly u tudetů 3 oborů zazameáy tyto oefcety úbytu: Obor A, počátečí tav 00 tudetů, oefcet úbytu 83, obor B 300 a 95 a obor C 80 a,00. Vypočtěte průměrý oefcet úbytu přpadající a jede obor. Povšměte, že jte oučaě vypočetl (poud jte potupoval právě) taé úbyte pro celý ročí. 9. Řešte úlohu 6 použtím harmocého průměru. 0. Jaý výlede zíáme pro průměrou velot oboru, poud budeme vycházet (a) z formací aždého jedotlvého tudeta? Co e o průměrém počtu tudetů a oboru dozvíme, poud e (b) zeptáme jejch učtelů? Uvažujme počátečí tavy tudetů.. Řeěme, že tejí tudet avštěvují dvě předášy. Na jedé předášce je ávštěvot 30 %. Kol muí čt ávštěvot druhé předášy, aby průměrá ávštěvot a obou předášách byla 60 %? Součaě řešte tuto úlohu: Vozdlo urazlo m (do opce) rychlotí 30 m/hod. Ja rychle muí jet m z opce, aby jeho průměrá rychlot a celé dráze ( m) byla rova 60 m/hod.? Poud budete úlohu 8 a 9 počítat právě, zjtíte, že charaterty úrově přášejí ěteré záludot. 3