Mechaka soustavy hmotých bodů a tuhého tělesa Učebí text pro výuku předmětu Fyzka pro KME, letí semestr školího roku 00/ Autor: Mart Žáček, katedra fyzky, Fakulta Elektrotechcká, ČVUT Vymezeí a souvslost se souvsejícím fyzkálím obory Mechaka soustavy hmotých bodů se zabývá popsem pohybu možy těles, u chž lze zaedbat vlastí rozměry a a které působí (zcela obecé) síly. Tvoří obecou teor pro řadu specálích oborů jako je apříklad ebeská mechaka, v íž jsou síly mez tělesy dáy Newtoovým gravtačím zákoem, ebo fyzkou plazmatu, kde jsou síly mez částcem způsobeé Lorezovou slou z teore elektromagetckého pole. Fyzka plazmatu a také ketcká teore plyů, u íž se vyskytují specálí síly působící je a malou vzdáleost, se však zabývají velkým možstvím částc a používají se u ch avíc přístupy ze statstcké fyzky, kdy se eřeší pohybové rovce jedotlvých částc ale odvozují se z ch pravděpodobostí rozděleí mechackých velč, jako jsou apříklad eerge částc ebo jejch rychlost. Zvláští případ soustavy je tzv. tuhá soustava hmotých bodů, kdy jsou délky myšleých spojc bodů kostatí a teto případ má jž blízko tuhému tělesu a ěkteré vztahy jsou dokoce totožé a erozlšují mez spojtým a dskrétím rozložeím hmoty. V případě, že přpustíme proměé vzdáleost mez tělesy, vede lmtí přechod od dskrétího prostředí ke spojtému k mechace kotua, která popsuje pohyb spojtých prostředí jako jsou kapaly ebo plyy. Teto pops se v ěkterých případech používá jako alteratva k částcovému popsu v jž zmíěé fyzce plazmatu. Mechaka pružého tělesa je ěkde a pomezí mez tuhým tělesem a mechakou kotua, kdy v ejjedodušší teor předpokládáme leárí odezvu deformace tělesa a působící sílu, ve varatě délkových deformací zámou jako tzv. Hookův záko. Obecější teore pružost zavádějí růzé modely odezvy těles a deformačí síly, azývaé reologcké modely. Mechaka Hmotého bodu tatstcký přístup Teore elektromag. pole Mechaka soustavy hmotých bodů Ketcká teore plyů Fyzka plazmatu Nebeská mechaka Mechaka tuhého tělesa Mechaka pružého tělesa Mechaka kotua Obrázek : ouvslost mechaky soustavy hmotých bodů s příbuzým fyzkálím obory.
Hmotý střed, prví věta mpulsová Řešme pohyb hmotých bodů, -té těleso echť má hmotost m, achází se v poloze r a působí a ěj síla F. Každé těleso tedy bude splňovat druhý Newtoův pohybový záko d r F. () = m Máme tedy rovc (), pro každé těleso jedu rovc. ečtěme yí všechy rovce () pro všecha tělesa, obdržíme vztah d r F = m. () = = Předpokládejme, že všechy hmotost jsou kostatí, tj. že tělesa žádým mechasmem ezískávají a eztrácejí hmotost. Dervováí proto můžeme apsat pro celý souč m r, dokoce můžeme dervac předsuout před sumu, eboť dervace je leárí operace a kostatu lze apsat před dervac (my ale provádíme opačý úko) a součet dervací fukcí je dervace součtu fukcí, dostaeme tedy výraz d F r. = m = = Z důvodů, které se ozřejmí pozděj, upravme pravou strau tak, že celý výraz vyásobíme a zároveň vydělíme sumou hmotostí všech těles a obdržíme vztah = = ml = l= mr d F. (3) m čítací dex jsme pro přehledost ozačl v každé sumě jak. Ozačme yí celkovou sílu působící a hmoté body jako a zaveďme polohu hmotého středu r vzorcem = k = k F = F (4) mr = r =. (5) m k = Pak můžeme vzorec (3) apsat v kompaktějším tvaru k d r F = m, (6) který představuje pohybovou rovc pro soustavu hmotých bodů a je formálě shodý s Newtoovým pohybovým zákoem () pro jedý hmotý bod. Vzorce () a (6) se však od sebe lší v tom, že F ve vzorc (6) je souhrá síla působící a všechy hmoté body, m je jejch celková hmotost a r je vektor hmotého středu soustavy. Hmotý střed soustavy
emusí být přtom totožý s žádým hmotým bodem, je to obecě pouze geometrcký bod, získaý ze vzorce (5). ouhrý pohybový záko pro soustavu hmotých bodů (6) se často vyjadřuje pomocí celkové hybost. Zaveďme proto yí celkovou hybost soustavy jako součet hybostí jedotlvých hmotých bodů a vyjádřeme j pomocí těžště soustavy (5), dostaeme m r dr d d d p p v r r v. (7) = = = m = m = m = m = m = m = = = = m Celková hybost je tedy rova souču celkové hmotost a rychlost těžště soustavy. Dosazeím do pohybové rovce (6) dostaeme pohybovou rovc soustavy vyjádřeou pomocí celkové hybost soustavy, popř. po tegrací tegrálí obdobu téhož d p F =, t t F = p( t) p ( t). (8), (9) Posledí dva vztahy se azývají prví věta mpulsová. Podle jejího dferecálího vyjádřeí (8) je celková síla působící a soustavu hmotých bodů rova časové změě celkové hybost soustavy. Její tegrálí vyjádřeí (9) říká, že časový tegrál z celkové síly působící a soustavu je rove rozdílu celkové hybost soustavy a koc a a začátku časového tervalu, přes který je tegrováo. Pozámka (vzorec pro těžště soustavy hmotých bodů pro případ, kdy jeda hmotost domuje): Všměte s, že vzorec (5) pro hmotý střed soustavy je vážeý průměr, kde jako váhy vystupují hmotost jedotlvých těles. To je v souladu s aší tucí, kdy očekáváme, že pohyb soustavy hmotých bodů budou určovat spíše hmotá tělesa a méě hmoté body budou pohyb soustavy jako celek ovlvňovat méě. Pokud budeme uvažovat jako soustavu hmotých bodů apříklad sluečí soustavu, můžeme j v prvím přblížeí ahradt je lucem. kutečě, bude-l za m hmotost luce a m hmotost jedotlvých plaet, v čtatel a ve jmeovatel ve vzorc (4) budou čley obsahující m výrazě domovat oprot ostatím čleům, které tak bude možé zaedbat. Dostaeme tedy polohu hmotého středu sluečí soustavy (pro jedoduchost uvažujme 4 plaety): m m m m r + r + r + r + r m m m m m m m m m rt = = m m + m+ m + m3+ m4 m m3 m4 + + + + m m m m 3 4 3 4 r+ r+ r+ 3r3+ 4r4 r. Těžště luečí soustavy je tedy, jak bychom tutvě očekával, přblžě ve středu luce. To odpovídá skutečost, protože ve luc se achází přblžě 99 % hmoty celé sluečí soustavy a to se započítáím asterodů, komet a ostatí mezplaetárí hmoty. Pozámka (vzorec pro těžště soustavy hmotých bodů pro případ, kdy hmotost těles v soustavě jsou stejé): Pokud budou hmotost všech těles stejé, tj. m = m, lze je v čtatel a ve jmeovatel vytkout a vykrátt a dostaeme výsledý vzorec pro hmotý střed jako artmetcký průměr všech polohových vektorů. = = r = mk m k= k= mr m r r = = =
Druhá věta mpulsová Vyásobme yí v rovc () levou a pravou strau vektorově polohovým vektorem r, d r r F = r m a sečtěme všechy rovce pro všechy hmoté body v soustavě. m jako skalárí velču můžeme předsuout před vektorový souč a dostaeme rovc ( ) = = d r r F = m r. umu a levé straě ozačíme jako celkový momet síly M = ( r F ) a pravou strau upravíme pomocí vztahu pro dervac vektorového souču z dodatku A d dr dr dr d dr d d M = r = r = r v = = m m m = = r = = (0) ( ) ( p ) Posledí vektorový souč je momet hybost -tého hmotého bodu vůč počátku a celkový momet hybost soustavy je součet všech jedotlvých mometů, tj. ( ) = = b = r p = b () a dostaeme výsledý vztah mez celkovým mometem síly a celkovým mometem hybost soustavy, který můžeme také tegrovat, d M = b, t M = b ( t) b ( t ). (), (3) t Jde o dvě růzá vyjádřeí druhé věty mpulsové. Její dferecálí vyjádřeí () říká, že celkový momet síly působící a soustavu je rove časové změě celkového mometu hybost soustavy. Podle Itegrálí formulace (3) věty je časový tegrál z celkového mometu síly působící a soustavu rove rozdílu celkového mometu hybost soustavy v časech a koc a a začátku časového tervalu, přes který se tegruje. Vtří a vější síly Pro účely pozdějšího přechodu od dskrétí soustavy koečého počtu hmotých bodů ke spojté soustavě ekoečě moha bodů představujících spojté těleso popřípadě pohybující se kotuum, kdy ěkteré, jž odvozeé vzorce pro soustavu bodů budou shodé ebo obdobé také pro těleso č kotuum, je účelé odlšt vější a vtří síly působící a soustavu. Proto vyjádříme sílu působící a -tý hmotý bod jako součet vější síly, která má příču mmo soustavu hmotých bodů (apříklad gravtačí působeí těles, v jejchž blízkost se soustava achází) a vtří (často se říká vazbové) síly, která je zapříčěa vzájemým působeím bodů v soustavě a je dáa součtem sl od všech ostatích bodů v soustavě (vější síly budeme začt Ext jako exterí a vtří síly It jako terí).
F = FExt + FIt = FExt + F k, kde jako F k jsme ozačl sílu, kterou působí k-tý hmotý bod a -tý hmotý bod. Dosazeím do vztahu (4) pro celkovou sílu působící a soustavu dostaeme k = k F = F = FExt + Fk = F Ext, (4) = = = k= = k eboť dvojtá suma ve výrazu pro vtří sílu je ulová. Platí totž ze zákoa akce a reakce F k = F k a v dvojté sumě se ve výrazu pro vější sílu s v posledím vztahu jedotlvé síly po dvojcích vyruší. Výraz F k je totž koefcet atsymetrcké matce, což je matce, která traspozcí měí zaméko. oučet koefcetů atsymetrcké matce je ulový, eboť součet koefcetů ad dagoálou se odečte od součtu koefcetů pod dagoálou (musel bychom ještě formálě dodefovat F k = 0, aby šlo skutečě o atsymetrckou matc ale přes dagoálu ve vzorc (4) stejě esčítáme). Podle výsledku (4) je tedy celková síla působící a soustavu je tedy dáa je vějším slam, vtří síly se vzájemě vyruší. Podobě vyjádříme momet síly působící a -tý bod soustavy vzhledem k počátku Ext k = = k= k ) ( ) M = M + M = r F + r F = r F + r F Ext It Ext It Ext k k = k a dosadíme ho do výrazu (0) pro celkový momet síly působící a soustavu, dostaeme ( ) ( M = r F + r F Koefcet ve dvojté sumě, představující slový momet, jímž působí vzhledem k počátku k-tý hmotý bod a -tý bod, je také atsymetrcká matce, jak yí dokážeme. Neí to a rozdíl od podobé matce ve výrazu (4) a prví pohled vdět, protože zde avíc vystupuje ve vektorovém souču rameo r, jehož velkost směr jsou zcela obecé. Atsymetrčost však dokážeme ásledující úpravou, kdy ve výrazu pro sumu všech vtřích slových mometů seskupíme čley se symetrckým dexy, celkový výraz však musíme vyásobt jedou polovou, jak bychom sčítal každý koefcet matce dvakrát It. M = r F = r F + r F = ( ) ( ) k k k k = k= = k= k k = ( r F r F ) = ( ) r r F = 0. k k k k k = k= = k= k k Využl jsme opět atsymetrčost vzájemé síly F k v důsledku zákoa akce a reakce a dostal jsme a koc vektorový souč rovoběžých vektorů, který je ale ulový. Dostáváme tak výsledek Ext Ext Ext = = M = M = M = r F ( ),, (5) podle kterého je celkový slový momet všech sl působících a soustavu dá pouze vějším slam, slové momety od vzájemých sl uvtř soustavy se vzájemě vyruší.
Pojem tuhého tělesa Zaveďme ejprve pojem dokoale tuhá soustava hmotých bodů. To je soustava, v íchž jsou velkost vzájemých vektorů r k = r k r eměé, tj. r k = rk r = kost. (6) Takovou soustavu s můžeme představt jako tuhou kostrukc z kulček spojeých vzájemě tyčkam, kde ale hmotost spojovacích tyček zaedbáváme. Hmotý střed (těžště) tuhého tělesa Tuhé těleso s představíme jako tuhou soustavu hmotých bodů, kdy ale bodů je v jstém smyslu hodě, jakoby vyplňovaly celý objem tělesa. Pak ale musíme ve vzorc pro hmotý střed soustavy hmotých bodů (5) ahradt sumac tegrováím a to tak, že tegrujeme ekoečě moho ekoečě malých velč tak, aby výsledek byl koečý. Matematcký aparát dspouje symbolckým počtem, který s takovým tutvím fyzkálím představam umí pracovat a azývá se dferecálí a tegrálí počet. Dferecálí počet umí symbolcky pracovat s ekoečě malým velčam (ale spíše jde o leárí teor, jak porovávat lmtě ekoečě malé přírůstky fukcí) a tegrálí počet umožňuje takovéto přírůstky spojtě sčítat. Formálí zavedeí objemového tegrálu se provádí v tegrálím počtu fukcí více proměých, kde se rověž dokazují příslušé věty, za jakých podmíek apříklad můžeme objemový tegrál ahradt postupým tegrováím přes jedotlvé proměé, že ezáleží a pořadí tegrováí (Fubova věta) popřípadě jak přejít k jé souřadcové soustavě (věta o trasformac souřadcové soustavy). Zde se spokojíme s tutví fyzkálí představou. Za tím účelem ahradíme hmotost m ve vzorc (7) hmotostí objemového elemetu dv, která je rova dm = ρdv, kde ρ je hustota tělesa v daém místě. Vzorec (7) pro spojtý případ bude mít formálě tvar rρdv V r = = ρdv ρdv m r, (7) V který můžete chápat jako součet ekoečě moha bodů (proto tegrál místo sumy) vyplňujících objem tělesa. Objem je třídmezoálí, proto jsou tř tegračí zaméka v tegrálu ale často se všechy typy tegrálů ozačují uverzálě jedím tegračím zamékem, zejméa v odboré lteratuře. Moža V, přes kterou se tegruje, se vyzačuje pod tegračím zamékem. Volba tegračích proměých, ve kterých budeme tegrál počítat a volba pořadí tegrace závsí a symetr tělesa, přes které se tegruje. Pozámka : Objemový (trojý) tegrál je třídmezoálí varata eoretovaého tegrálu přes obecou 3 možu z. Itegrujeme-l apříklad přes možu z, jde o určtý tegrál zámý z tegrálího počtu fukce jedé proměé. Itegrál přes azveme plošým (dvojým) tegrálem, apod. Pozámka : Neoretovaý tegrál přes možu Ω z jedčky je rove míře možy Ω, fyzkálě jde o délku, resp. součet délek tervalů, celkovou plochu, objem možy atd. Pokud má tegrad výzam hustoty (délkové, plošé, objemové, ), je tegrál rove celkové hmotost možy (úsečky, plochy, objemu, ). To je případ jmeovatele ve vzorc (7). Pozámka 3: Vzorec (5) je vektorový, můžete se a ěj dívat jako a úsporý záps tří vzorců pro jedotlvé složky, v kartézských souřadcích to budou apříklad vztahy ρ. x = xρdv, y = yρdv, z = z dv V V V V (8)
Odvozeí polohy hmotého středu z rovost mometů pro jedu souřadc Toto odvozeí demostruje, jak lze odvodt vztah pro jedu souřadc hmotého středu z rovost slových mometů a jedé a druhé straě od hmotého středu. Fyzkálě to odpovídá případu, kdy těleso podepřeme v jedom bodě pod těžštěm. Prcp je stejý, jako když počítáme rovováhu a páce, kdy se rovají slové momety vlevo a vpravo od podpěry. Zde však musíme sčítat ftezmálí slové momety v celém tělese, tedy tegrovat, eboť se jedá o spojtý případ ale prcp je stejý. Uvažujme těleso acházející se v homogeím gravtačím pol, které je v rovováze, podepřeme-l ho pod hmotým středem, jak je zázorěo a obrázku vlevo. echť je hmotý střed a x echť je jeho x-ová souřadce, kterou hledáme. Na délkový elemet tělesa (acházející se mez dvěma rovam kolmým k ose x) o tloušťce dx bude působt tíha df = g dm, kde g je tíhové zrychleí a dm = τ x (x) dx je hmotost vyjádřeá pomocí délkové hustoty τ x. Délková hustota je hmotost a jedotku délky tělesa, která závsí a souřadc x, protože se může mět jak průřez tělesa, tak jeho hustota. lový momet působící a zmíěý elemet je pak prostý souč ramee a síly, eboť rameo a síla jsou kolmé, tj. ( ) ( ) dm = x x df = x x gτ ( x) dx. Celkový slový momet, získaý tegrací elemetárího mometu přes celou délku tělesa je ulový, tj. ( ) M = x x gτ ( x) dx= 0. Všměte s, že posledí podmíka vyjadřuje totéž jako tvrzeí, že součet slových mometů vlevo od hmotého středu se rová součtu slových mometů vpravo, eboť rameo x x měí zaméko a v tegrálu se tak momety pro souřadce meší a větší ež je souřadce těžště započítávají s opačým zaméky. Také evadí, že tegrujeme přes celou osu x, eboť délková hustota abývá eulových hodot a omezeém tervalu, tam, kde se achází těleso, takže faktcky se tegruje je přes koečý terval. Itegrad rozásobíme a tegrál rozdělíme a dvě část, vytkeme kostaty a dostaeme x x. x g τ ( x) dx= g xτ ( x) dx Itegrál vlevo je rove celkové hmotost tělesa a po úpravě můžeme vyjádřt souřadc hmotého středu jako x ( ) = xτ x x dx m. (9) Vzorec (9) je shodý se vzorcem (7) resp. s jeho jedou kompoetou (8), eboť délková hustota τ x (x) je vlastě výsledek tegrace přes zbylé souřadce, kolmé k ose x, tj. τ ( x) = ρd = ρdydz x x a dosazeím do (9) a přeeseím x do vtřího tegradu dostaeme prví varatu vzorce (8) pro jedu souřadc hmotého středu, vyjádřeou pomocí objemového tegrálu. ( yz) x
Pohybová rovce pro těleso otáčející se kolem pevé osy Předpokládejme těleso, které se otáčí kolem pevé osy. Odpovídalo by to apříklad setrvačíku uchyceého v pevých ložskách. Pro odvozeí pohybové rovce ejprve ahraďme těleso dokoale tuhou soustavou hmotých bodů a apšme pohybovou rovc pro jede jedý bod o hmotost m acházejícím se ve vzdáleost R od osy otáčeí. Nechť a bod působí síla F. Pohybovou rovc podle. Newtoova zákoa F = ma vyásobme zleva vektorově průvodčem R, což je vektor mířící kolmo od osy otáčeí k vyšetřovaému bodu a dostaeme R F = mr a. (0) Levá straa je slový momet vzhledem k ose otáčeí M = R F= R F + R F = R F (způsobeý je kolmou složkou síly k průvodč). Na pravé straě rovce (0) rozepíšeme zrychleí a součet tečé a ormálové složky a= aτ + a a pravou strau (0) upravíme (trajektore je zde kružce s poloměrem R a tedy tečá sl ožka zrychleí je kolmá k průvodč, ormálová složka zrychleí je s průvodčem rovoběžá) dv d dr d R a= R a + R a = R a = R = R v v = R v ( ) ( ) τ τ Ra dodatek A dr τ v z a rychlost v dosadíme vzorec pro obvodovou rychlost v = ω R a upravíme dvojtý vektorový souč podle vztahu v dodatku B ( ) ( ) ( R) ωr R v= R ω R = ω R R R ω =. dodatek B ω R Dosazeím všech obdržeých výsledků zpět do rovce (0) obdržíme dω M = mr. () Výsledá pohybová rovce () pro rotačí pohyb hmotého bodu má formálě podobý tvar jako pohybová rovce pro hmotý bod zapsaá jako dv F = m. () Vlevo v obou rovcích () a () je totž velča charakterzující slové působeí a h motý bod a obě časové dervace a pravých straách mají výzam ějakého druhu zrychleí: v rovc () jde o zámý vektor zrychleí jako dervace vektoru rychlost, v rovc () jde o vektor úhlového zrychleí defovaý jako časová dervace vektoru úhlové rychlost. Protože v rovc () vystupuje mez sílou a zrychleím jako koefcet úměrost hmotost m ve výzamu míry setrvačost, dostaeme porováím vztahů () a () fyzkálí výzam kombace velč mr jako míru setrvačost vzhledem k otáčeí. Aby aaloge vzorců () a () ještě lépe vykla, vyplatí se teto souč hmotost a kvadrátu vzdáleost od osy otáčeí defovat jako ovou velču, momet setrvačost hmotého bodu acházejícího se ve vzdáleost R vůč ose otáčeí, vztahem J = mr. (3) Protože odvozeí pro kterýkolv hmotý bod z dokoale tuhé otáčející se soustavy je stejé, dostaeme stejých rovc () pro hmotých bodů a po jejch sečteí dostaeme,
a dω M = mr (4) = defujeme momet setrvačost pro dokoale tuhou soustavu otáčející se kolem pevé osy J = mr. (5) = Pro tuhé těleso musíme ahradt sumu objemovým tegrálem a hmotost jedotlvých bodů součem hustoty a objemového elemetu stejě jako jsme to provedl u vztahu (7) pro hmotý střed a dostaeme podobý vzorec jako je (5) pro momet setrvačost tuhého tělesa = ρ. (6) J R dv V Defujme časovou dervac vektoru úhlové rychlost z rovce (4) jako vektor úhlového zrychleí d ε = ω, (7) zámým jž z mechaky (jedého) hmotého bodu. Jeho použtím spolu s ěkterým ze vztahů (3), (5) ebo (6) dostaeme kompaktější záps pohybové rovce () pro tuhou soustavu hmotých bodů resp. její varaty s tegrálem místo sumy v případě tuhého tělesa, rovc pro otáčvý pohyb kolem pevé osy M = Jε, (8) kde M je celkový momet vějších sl působících a těleso vzhledem k ose otáčeí. Vtří momety sl se totž podle vztahu (5) vyruší, jak jsme jž dříve dokázal. Pozámka: Čteář, který se ad posledím odvozeí pohybové rovce otáčeí tělesa kolem pevé osy zamyslí, s možá uvědomí, že zde vlastě vůbec ebylo třeba používat vektory, když osa je pevá a směry velč jako M, ω, ε apod. jsou kostatí. To je pravda. Použl jsme však přesto vektorové odvozeí, abychom výsledou rovc (8) dostal jako vektorovou a mohl bez důkazu kostatovat, že platí v tomto vektorovém tvaru pro obecější otáčvý pohyb, kdy se může mět směr osy otáčeí. V tomto případě má také vektor úhlového zrychleí ε jý směr ež vektor úhlové rychlost ω, jak je zřejmé ze vztahu (7). Př odvozeí se využívá složtější matematcký aparát, který přesahuje rámec základího kurzu fyzky a FEL. A vzorce pro momet setrvačost defovaé vztahy (5) resp. (6) pro pohyb kolem proměé osy jž eplatí. Momet setrvačost totž závsí a volbě osy otáčeí a elze jej vyjádřt jedým číslem. Vyjadřuje se tezorem druhého řádu, což je matce s jstým trasformačím vlastostm př přechodu od jedé souřadcové soustavy k jé. Na FEL ejsou tezory v základích matematckých kurzech zařazey, ejde však o c složtého. Vztah tezoru druhého řádu k matc je podobý jako vztah geometrckého vektoru, kterému můžeme přřadt velkost a směr, k obecé trojc ějakých čísel, bez určeého vztahu mez m. kutečě má tezor také jsté geometrcké vlastost. Ozačíme-l směrový vektor osy otáčeí ν, tj. pro složky vektoru ω platí ω = ων, kde = x, y, z resp.,, 3, můžeme momet otáčeí kolem kokrétí osy vyjádřt vztahem J 3 3 = = j= J ν ν kde J j jsou koefcety tezoru setrvačost. V tomto tezoru jsou obsažey veškeré setrvačé vlastost tělesa co do otáčeí kolem lbovolé osy. Důležtý je pak tezorový vztah mez mometem hybost a úhlovou rychlostí, který lze zapsat ve složkách jako 3 j j b = J ω, j j j= p odle kterého mohou mít vektory b a ω rověž růzé směry. V posledím vztahu jstě pozáte souč matce s vektorem zapsaým sloupcově. Je-l tato matce tezor, říkáme takovému souču tezorový souč.
Dodatek A Dervac vektorového souču dvou vektorových polí A(x) a B(x) provedeme podobě, jako se dervuje souč fukc d da B ( A B) = B+ A d () dx dx dx jak se lze sado přesvědčt, apříklad rozepsáím do složek v ortogoálí souřadcové soustavě a dervováím po složkách. Pro dvojtý vektorový souč platí často používaá detta a b c = b a c c a b. () ( ) ( ) ( )
Otázky ke zkoušce k soustavě hmotých bodů (teto sezam zatím eí ofcálí, berte ho jako prví ávrh, který může být případě modfková). Popšte, čím se zabývá mechaka soustavy hmotých bodů.. Formulujte prví větu mpulsovou v dferecálím vyjádřeí a vysvětlete slově její výzam. 3. Formulujte prví větu mpulsovou v tegrálím vyjádřeí a vysvětlete slově její výzam. 4. Napšte vztah pro hmotý střed soustavy hmotých bodů. 5. Jak je defováa celková hybost soustavy hmotých bodů a jak souvsí s hmotým středem soustavy? 6. Formulujte druhou větu mpulsovou v dferecálím vyjádřeí a vysvětlete slově její výzam. 7. Formulujte druhou větu mpulsovou v tegrálím vyjádřeí a vysvětlete slově její výzam. 8. Vyjádřete celkovou sílu působící a soustavu hmotých bodů pomocí vějších a vtřích sl. 9. Vyjádřete celkový momet síly vzhledem k počátku souřadcové soustavy působící a soustavu hmotých bodů pomocí vějších a vtřích sl.
ezam symbolů ezam symbolů se bude postupě dopsovat, zatím jsou zde symboly z prvího odstavce. Matematcké symboly x z x je úměré z a b vektor a je rovoběžý s vektorem b a b vektor a je kolmý a vektor b ab skalárí souč vektorů a, b a b vektorový souč vektorů a, b Fyzkálí velčy F vektor síly působící a -tý hmotý bod F celková síla působící a soustavu hmotých bodů m hmotost -tého hmotého bodu m celková hmotost soustavy hmotých bodů p vektor hybost -tého hmotého bodu p celková hybost soustavy hmotých bodů r polohový vektor -tého hmotého bodu r polohový vektor hmotého středu t čas