Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek

Matematická analýza 1 Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek 2009

Obsah Obsah Seznam použitých symbolů.................................................. 2 1. Funkce Teoretické základy................................................. 5 2. Algebraické funkce....................................................... 29 3. Spojitost.............................................................. 48 4. Limita................................................................ 66 5. Transcendentní funkce.................................................... 95 6. Derivace............................................................. 112 7. Základní věty matematické analýzy.......................................... 135 8. Extrémy, Inflexní body, Asymptoty.......................................... 153 9. Průběh funkce, Taylorova věta.............................................. 167 10. Úvod do posloupností.................................................... 187 11. Věty o posloupnostech................................................... 204 Životopisy............................................................ 219 Reference............................................................. 222 1

Seznam použitých symbolů Seznam použitých symbolů a A A B A B A B, B A A \ B R R +, R Q Z Prvek a patří do množiny A Sjednocení množin A a B Průnik množin A a B Množina A je podmnožinou množiny B Rozdíl množin A a B Prázdná množina Množina všech reálných čísel Množina všech kladných, resp. záporných reálných čísel Množina všech racionálních čísel Množina všech celých čísel N Množina všech přirozených čísel, N = {0; 1; 2;... } N Množina všech kladných celých čísel, N = {1; 2; 3;... } x f : A B Dom f Rng f [x] D(x) f 1 f : A na B f g Absolutní hodnota čísla x Funkce f s definičním oborem Dom f = A a oborem hodnot Rng f B Definiční obor funkce f Obor hodnot funkce f Celá část reálného čísla x Dirichletova funkce Funkce inverzní k funkci f Funkce s definičním oborem Dom f = A a oborem hodnot Rng f = B Funkce složená z funkcí f a g 2

Seznam použitých symbolů R(x) U δ (a) U δ (a), U+ δ (a) P δ (a) P δ (a), P+ δ (a) lim f(x) x a sgn x lim f(x), lim x a+ R +, n a i i=m sin x cos x π tg x cotg x arcsin x arccos x arctg x arccotg x exp x, e x x a f(x) Riemannova funkce δ-okolí bodu a Levé a pravé δ-okolí bodu a Redukované δ-okolí bodu a Redukované levé a pravé okolí bodu a Limita funkce f v bodě a Funkce signum x Limita funkce f v bodě a zprava a zleva Rozšířená reálná osa Nevlastní reálná čísla Součet čísel a m až a n Funkce sinus Funkce kosinus Ludolfovo číslo Funkce tangens Funkce kotangens Funkce arkussinus Funkce arkuskosinus Funkce arkustangens Funkce arkuskotangens Přirozená exponenciální funkce 3

Seznam použitých symbolů e ln x b x log b x f, df dx f (x) f +, f df(x) O (g(x)) o (g(x)) Eulerovo číslo Přirozený logaritmus Exponenciální funkce při základu b Logaritmus při základu b Derivace funkce f Derivace funkce f v bodě x Derivace funkce f zleva a zprava diferenciál funkce f v bodě x Funkce omezená po srovnání s funkcí g(x) Funkce nekonečně malá po srovnání s funkcí g(x) {a n } n=1 Posloupnost, jejíž n-tý člen je a n lim n n Limita posloupnosti {a n } n=1 sup M Supremum množiny M sup f(x) Supremum množiny {f(x): x M} x M inf M Infimum množiny M inf x M n=1 J α α A n M i i=1 f(x) Infimum množiny {f(x): x M} J n Průnik množin J 1 J 2 Sjednocení množin J α přes α A Sjednocení množin M 1 M 2 M n 4

1 Funkce Teoretické základy 1 Funkce Teoretické základy Obsah lekce 1.1. Pojem funkce............................................................ 6 1.2. Základní vlastnosti funkcí.................................................. 10 1.3. Základní operace s funkcemi................................................ 18 Cvičení............................................................... 26 Řešení................................................................ 27 Klíčová slova Funkce, definiční obor, obor hodnot, graf, funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotonní, ryze monotonní, prostá, kladná, záporná, nekladná, nezáporná, omezená, sudá, lichá, periodická, inverzní, složená, součet, rozdíl, součin, podíl funkcí. 5

1 Funkce Teoretické základy 1.1 Pojem funkce 1.1 Pojem funkce Definice 1.1 Nechť A je množina reálných čísel. Funkce f je zobrazení z množiny A do množiny R; píšeme f : A R. Množina A se nazývá definiční obor funkce f a značí se Dom f. Funkce f je tedy určitý předpis, který každému číslu x z jejího definičního oboru přiřadí jednoznačně jedno reálné číslo y = f(x). Tento předpis je většinou dán nějakým vzorcem, například f(x) = 2x + 3. Někdy se ovšem stává, že takový vzorec neexistuje. V tomto případě se funkce zadává například slovním předpisem. Příkladem takové funkce je funkce, která každému přirozenému číslu přiřazuje počet jeho dělitelů. Příklad 1.1 Mějme předpis, který každému reálnému číslu x přiřadí y takové, že x = y 2. Tento předpis není funkce, protože každému číslu x nepřiřazuje jednoznačně jedno číslo y. Například číslu x = 1 by odpovídaly hodnoty y = 1 a y = 1. // Za definiční obor se obvykle bere množina všech reálných čísel x, pro které má výraz f(x) smysl. V něk terých případech však může být definiční obor zadán. Mějme například funkci f(x) = x 2 s definičním oborem Dom f = R +. Pak například v bodě x = 1 má výraz x 2 smysl, ale f(x) není definováno, protože x nepatří do definičního oboru Dom f. Příklad 1.2 Vraťme se k funkci f(x) = 2x + 3 a určeme její definiční obor. Máme tedy určit množinu všech reálných čísel x, pro která je výraz 2x + 3 definován. Odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla. Číslo 2x + 3 proto musí být nezáporné, neboli musí být 2x + 3 0. To platí pro x 3 2. Definiční obor je tudíž množina 3 2 ; + ). // 6

1 Funkce Teoretické základy 1.1 Pojem funkce Definice 1.2 Graf funkce f je množina všech bodů v rovině o souřadnicích [x; f(x)] takových, že x patří do definičního oboru Dom f. Když kreslíme graf funkce, bereme jedno po druhém čísla x Dom f a kreslíme body o souřadnicích [x; f(x)]. Jestliže je definiční obor nekonečná množina, kreslíme pouze část grafu, například pro x z intervalu 10; 10. Jestliže je funkce definována na intervalu, nakreslíme dostatečně mnoho bodů z tohoto intervalu a sousední body spojíme. Na obrázku 1 je graf (přesněji řečeno pouze jeho část) funkce f(x) = 2x + 3, na obrázku 2 je graf funkce g(x) = y, kde y je počet dělitelů přirozeného čísla x. y 4 3 2 1 y 5 4 3 2 1 2 4 6 8 Obrázek 1 Graf funkce f(x) = 2x + 3 x 5 10 15 Obrázek 2 Graf funkce g(x) x Úkol Řekněte, kdy může být množina bodů v rovině grafem funkce. Může být třeba kružnice grafem funkce? 7

1 Funkce Teoretické základy 1.1 Pojem funkce Graf funkce je podle definice množina G všech bodů v rovině ve tvaru [x; f(x)]. Představme si (viz obrázek 3), že existují (alespoň) dva různé body [x; y] a [x; z] náležející množině G. Pak by ovšem muselo platit f(x) = y a f(x) = z. Z toho však plyne, že hod nota f(x) není jednoznačně definována. Taková množina bodů tedy nemůže být grafem funkce. Cvičení 1.1 Určete definiční obory a načrtněte grafy funkcí a) y = 2x ; b) y = x ; c) y = 1 x. 1 1 2 3 x Obrázek 3 K úkolu y 3 2 1 [x; y] [x; z] Definice 1.3 Obor hodnot funkce f : A R je množina všech reálných čísel y, ke kterým existuje číslo x A takové, že platí y = f(x). Značí se Rng f, někdy také f(a). Jestliže známe graf funkce f, můžeme obor hodnot určit snadno. Obor hodnot je podle definice množina těch čísel y takových, že bod [x; y] náleží grafu funkce pro nějaké x. Chceme-li získat obor hodnot, musíme sestrojit kolmé průměty všech bodů grafu funkce do osy y. Situaci zachycuje obrázek 4. Předchozí odstavec si přečtěte znovu a uvědomte si, proč tomu tak je. y Rng f f(x) x Obrázek 4 Určení oboru hodnot 8

1 Funkce Teoretické základy 1.1 Pojem funkce Příklad 1.3 Určeme definiční obor funkce f(x) = jejího oboru hodnot. 1 x 2 3x + 2 a zjistěme, zda číslo y = 1 2 patří do Definičním oborem je množina všech reálných čísel x, pro která má uvedený zlomek smysl, tj. pro která platí x 2 3x + 2 0. Tento trojčlen lze rozložit na součin (x 1)(x 2). Přitom platí (x 1)(x 2) 0 právě tehdy, když x 1 a x 2. Z toho plyne, že definiční obor je množina Dom f = R \ {1; 2}. Nyní zjistěme, zda číslo y patří do oboru hodnot. Je třeba zjistit, zda existuje x takové, že platí f(x) = y. 1 Zkusme tuto rovnici x 2 3x + 2 = 1 2 vyřešit. x 2 3x + 2 = 2 x 2 3x = 0 x(x 3) = 0 Odtud je vidět, že pro x = 0 a x = 3 platí f(x) = y. Tedy takové x existuje a číslo y = 1 patří do oboru 2 hodnot Rng f. // V dalších lekcích si postupně ukážeme, jak se určují obory hodnot u konkrétních funkcí. Úkol Zkuste vlastními slovy říct, co to je funkce, definiční obor, obor hodnot a graf funkce. Vysvětlete, jak se určuje, zda nějaké číslo patří do definičního oboru nebo oboru hodnot dané funkce. 9

1 Funkce Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcí 1.2 Základní vlastnosti funkcí Definice 1.4 Funkce f a g se rovnají právě tehdy, když mají stejné definiční obory, tedy Dom f = = Dom g, a pro všechna x Dom f platí f(x) = g(x). Příklad 1.4 Mějme funkci f(x) = x2 1 a funkci g(x) = x + 1. Pro všechna čísla x z definičního oboru x 1 Dom f platí f(x) = x + 1 = g(x). Přesto se však funkce f a g nerovnají. Funkce totiž mají různé definiční obory. Definiční obor funkce f je Dom f = R \ {1}, kdežto Dom g = R. // Definice 1.5 Nechť je funkce f definována na intervalu J. Jestliže pro všechna x, y J taková, že x < y, platí f(x) < f(y), nazývá se funkce f rostoucí na J; f(x) f(y), nazývá se funkce f neklesající na J; f(x) > f(y), nazývá se funkce f klesající na J; f(x) f(y), nazývá se funkce f nerostoucí na J. Je-li funkce f rostoucí, neklesající, klesající, nebo nerostoucí na J, nazývá se monotonní na J. Je-li funkce f rostoucí, nebo klesající na J, nazývá se ryze monotonní na J. Je-li interval J přímo definičním oborem funkce f, pak se přívlastek na J vynechává. Z této definice je ihned vidět, že každá rostoucí funkce je zároveň neklesající a každá klesající funkce je nerostoucí. Naopak to platit nemusí. V příkladu 1.5 bude ukázána funkce, která je neklesající, ale není rostoucí. Pozor! Z toho, že funkce není rostoucí, neplyne, že je nerostoucí. Podobně, funkce, která není klesající, ne musí být neklesající. V příkladu 1.11 bude nadefinována funkce, která nemá žádnou z vlastností uvedených v definici 1.5. 10

1 Funkce Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcí Úkol Zda má funkce některou z uvedených vlastností, lze jed noduše určit z jejího grafu. Graf rostoucí funkce zleva doprava stoupá; graf klesající funkce zleva doprava klesá. Grafy neklesají cích a nerostoucích funkcí mohou být někde rovnoběžné s osou x. Na obrázku 5 jsou uvedeny grafy čtyř funkcí. Určete u všech zob razených funkcí, jaké vlastnosti z definice 1.5 mají. Předpokládám, že jste úkol vyřešili správně: Funkce f 1 je rostoucí a tudíž i neklesající. Funkce f 2 je neklesající. Funkce f 3 je klesající a tedy i nerostoucí. Funkce f 4 je nerostoucí. Všechny funkce jsou monotonní, ale ryze monotonní jsou pouze funkce f 1 a f 3. y 5 4 3 2 1 f 3 f 4 f 1 f 2 1 2 3 4 5 Obrázek 5 K úkolu x Příklad 1.5 Celá část [x] reálného čísla x je definována jako největší celé číslo menší nebo rovné číslu x. Kupříkladu je [ 3] = = 3, [2,85] = 2 nebo [ 3,14] = 4. Graf funkce celá část je na obrázku 6. Tato funkce je neklesající, ale není rostoucí. To se dokáže snadno. Zvolme si různá čísla x, y tak, aby x < y. Protože je [x] x, je [x] celé číslo menší než y. Protože [y] je největší celé číslo menší než y, je [x] [y]. Celá část je tedy neklesající. Pro čísla x = 1 a y = 1,5 platí x < y, ale neplatí [x] < [y]. Proto celá část není rostoucí. Pokuste se najít funkci, která je nerostoucí, ale není klesající. // y 2 1 2 1 1 2 3 x 1 2 Obrázek 6 Graf funkce celá část Definice 1.6 Nechť f : A R je funkce. Jestliže pro každá dvě čísla x, y A taková, že x y, platí f(x) f(y), pak se funkce f nazývá prostá. 11

1 Funkce Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcí Ekvivalentní definice 1.6 Funkce f je prostá, jestliže z toho, že f(x) = f(y), plyne x = y. Chceme-li zjistit, zda je funkce f prostá, postupujeme následovně: Napíšeme rovnost f(x) = f(y). Jestliže se nám ekvivalentními nebo důsledkovými úpravami podaří dojít k rovnosti x = y, pak je funkce f prostá. Příklad 1.6 Funkce f(x) = x 2 není prostá, protože platí 1 1 a f( 1) = f(1) = 1. Naproti tomu funkce g(x) = 2x + 3 prostá je, protože z rovnosti g(x) = g(y) ekvivalentními úpravami dostaneme x = y: 2x + 3 = 2y + 3 2x = 2y x = y // Věta 1.1 Funkce f je prostá právě tehdy, když pro každé y Rng f existuje jediné x Dom f takové, že y = f(x). Důkaz Zleva doprava provedu důkaz nepřímo. Předpokládejme, že existují různá čísla x, t Dom f taková, že f(x) = f(t) = y. Potom platí x t, ale f(x) = f(t) a podle definice 1.6 funkce f není prostá. Zprava doleva budu větu také dokazovat nepřímo. Z definice 1.6 plyne, že funkce f není prostá, jestliže existují různá čísla x, t Dom f taková, že f(x) = f(t) = y. Takže existuje číslo y a alespoň dvě různá čísla x taková, že y = f(x). To je ale znamená, že není pravda, že pro každé y existuje jediné x takové, že y = f(x). 12

1 Funkce Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcí Jestliže tedy existuje číslo y Rng f takové, že existují (alespoň dvě) různá čísla x, t Dom f, pro která platí f(x) = f(t) = y, pak funkce f není prostá. Toto je přímý důsledek předchozí věty. Situace je zachycena na obrázku 7. y 4 3 Věta 1.2 Každá ryze monotonní funkce je prostá. Důkaz Větu dokážu pro rostoucí funkci. Zvolme různá čísla x, y. Je-li x < y, je f(x) < f(y) a tedy f(x) f(y). Je-li x > y, je f(x) > f(y) a tedy f(x) f(y). Pro x y tudíž platí f(x) f(y) a rostoucí funkce je prostá. Pro klesající funkci je důkaz analogický. (Proveďte.) 2 [x, y] [t, y] 1 2 1 1 2 x Obrázek 7 K výkladu definice 1.6 Příklad 1.7 Pro x < y je 2x + 3 < 2y + 3. Proto je funkce f(x) = 2x + 3 rostoucí. Podle věty 1.2 je funkce f prostá. // Definice 1.7 Nechť f : A R je funkce. Jestliže pro všechna x A platí f(x) > 0, nazývá se funkce f kladná; f(x) 0, nazývá se funkce f nezáporná; f(x) < 0, nazývá se funkce f záporná; f(x) 0, nazývá se funkce f nekladná. 13

1 Funkce Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcí Funkce f se tedy nazývá kladná, jsou-li všechny její hodnoty f(x) kladné. Obdobně pro ostatní vlastnosti. Z definice 1.7 ihned plyne, že každá kladná funkce je zároveň nezáporná a každá záporná funkce je nekladná. Příklad 1.8 Funkce f(x) = x 2 +1 je kladná, protože číslo x 2 +1 je pro všechna x kladné. Funkce g(x) = x 2 je nezáporná, protože číslo x 2 je pro všechna x nezáporné. Přesto g není funkce kladná, jelikož pro x = 0 není číslo x 2 = 0 kladné. // Cvičení 1.2 Najděte funkci, která je nekladná a zároveň nezáporná. Definice 1.8 Nechť f : A R je funkce. Jestliže existuje konstanta m R taková, že pro všechna x A platí m f(x), nazývá se funkce f zdola omezená; M R taková, že pro všechna x A platí f(x) M, nazývá se funkce f shora omezená. Je-li funkce f omezená zdola i shora, nazývá se omezená. Graf funkce zdola omezené konstantou m leží celý v polorovině nad přímkou y = m. Graf funkce shora omezené konstantou M leží celý v polorovině pod přímkou y = M. Graf funkce omezené konstantami m a M leží celý v rovinném pásu ohraničeném přímkami y = m a y = M. Nechť je funkce f zdola omezená konstantou m a nechť n < m. Ihned z definice 1.8 plyne, že funkce f je zdola omezená i konstantou n. Obdobně, je-li funkce f shora omezená konstantou M a N > M, je funkce f shora omezená i konstantou N. Věta 1.3 Funkce f je omezená právě tehdy, když existuje kladná konstanta K taková, že pro všechna x Dom f platí f(x) K. 14

1 Funkce Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcí Důkaz Nerovnost f(x) K je ekvivalentní s nerovností K f(x) K. Při důkazu zprava doleva se má dokázat existence konstant m a M takových, že m f(x) M. Stačí tedy dosadit m = K a M = K. Při důkazu zleva doprava je třeba najít konstantu K, aby K f(x) K. V případě, že bude K > m, se může stát, že bude existovat x takové, že f(x) < K. Proto musí být K m, neboli K m. Obdobně musí být K M. Za konstantu K tedy stačí zvolit větší z čísel m a M. Příklad 1.9 Mějme dánu funkci f(x) = 1 + x 2. Protože pro všechna x je x 2 0, je pro všechna x hodnota f(x) 1. Tato funkce je tedy zdola omezená konstantou m = 1. Není však shora omezená, protože pro velká x roste hodnota f(x) nade všechny meze. // Cvičení 1.3 Určete, zdali jsou následující funkce shora nebo zdola omezené a v kladném případě určete jakými konstantami. a) f(x) = x + 1 2 ; b) f(x) = 1 + 2x x 2 ; c) f(x) = 2x + 3. Definice 1.9 Nechť f : A R je funkce. Jestliže pro všechna x A platí x A a zároveň platí f( x) = f(x), nazývá se funkce f sudá; f( x) = f(x), nazývá se funkce f lichá. Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic. Příklad 1.10 Určeme, zda je funkce f(x) = x n, kde n N, sudá nebo lichá. Pro sudá n platí f( x) = ( x) n = x n = f(x) a funkce f je sudá. Pro lichá n platí f( x) = ( x) n = = x n = f(x) a funkce f je lichá. // 15

1 Funkce Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcí Věta 1.4 Nechť f je sudá funkce a a, b R jsou libovolné konstanty. Pak funkce g(x) = af(x) + b je také sudá. Důkaz Je třeba nejprve určit hodnotu g( x). Platí g( x) = af( x) + b. Podle předpokladu je f( x) = = f(x), a proto g( x) = af(x) + b = g(x). Funkce g je tedy sudá. Věta 1.5 Nechť f je lichá funkce a a R je libovolná konstanta. Pak funkce g(x) = af(x) je také lichá. Důkaz Je třeba nejprve určit hodnotu g( x). Platí g( x) = af( x). Podle předpokladu je f( x) = = f(x), a proto g( x) = af(x) = g(x). Funkce g je tedy lichá. Cvičení 1.4 Dokažte, že žádná sudá funkce nemůže být prostá. Definice 1.10 Nechť f : R R je funkce. Jestliže existuje kladná konstanta t > 0 taková, že pro všechna x R platí f(x + t) = f(x), nazývá se funkce f periodická s periodou t. Indukcí lze snadno dokázat, že pro libovolné k N je číslo kt také periodou funkce. (Proveďte.) Graf funkce s periodou t se vyznačuje tím, že se v něm opakují části o šířce t. Na obrázku 8 je graf funkce f(x) = x [x], která má periodu t = 1. y 3 2 1 3 2 1 1 2 x 1 Obrázek 8 Graf funkce f(x) = x [x] 16

1 Funkce Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcí Příklad 1.11 Nadefinujme zde tzv. Dirichletovu funkci D. Pro čísla x Q je definováno D(x) = 1, pro čísla x Q je D(x) = 0. Tato funkce je periodická. Její periodou je libovolné číslo t Q. Je třeba dokázat, že D(x + t) = D(x). Je-li x Q, je D(x) = 1 a x + t Q, a tedy je D(x + t) = 1 = D(x). Je-li x Q, je D(x) = 0 a x + t Q, a tedy je D(x + t) = 0 = D(x). Číslo t je proto periodou Dirichletovy funkce. // Úkol Řekněte zpaměti definici prosté, sudé, liché a periodické funkce. 17

1 Funkce Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemi 1.3 Základní operace s funkcemi Definice 1.11 Nechť f : A R a g : B R jsou funkce. Součtem, rozdílem, součinem a podílem funkcí f a g nazýváme postupně funkce f + g, f g, fg a f, definované vztahy g (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), f f(x) (x) = g g(x). Chceme-li vypočítat hodnotu součtu funkcí v bodě x, vypočteme hodnoty funkcí v bodě x a tyto hodnoty jednoduše sečteme. Toto platí obdobně pro ostatní tři operace. Definiční obor součtu f + g je množina všech bodů x, ve kterých je součet f(x) + g(x) definován. V těchto bodech x proto musí být definovány hodnoty f(x) a g(x). Z toho plyne, že takové body x musí patřit jak do Dom f, tak do Dom g, neboli musí být x Dom f Dom g. Definiční obor součtu funkcí je tedy roven průniku definičních oborů jednotlivých funkcí, Dom(f + g) = Dom f Dom g. Toto platí obdobně pro rozdíl a součin funkcí. U podílu je situace trošku složitější. K tomu, aby číslo x patřilo do Dom f, je navíc nutné, aby g(x) 0. g (Proč?) Definiční obor podílu funkcí je tudíž množina bodů x patřících do průniku definičních oborů jednotlivých funkcí, ve kterých není jmenovatel roven nule. 18

1 Funkce Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemi Jinými slovy platí Dom f g = Dom f Dom g {x R: g(x) 0} = Dom f {x Dom g : g(x) 0}. Pokud nejsou zadány definiční obory jednotlivých funkcí, pak se definiční obor určuje jako množina všech čísel x, pro která mají všechny prováděné operace smysl. Příklad 1.12 Určeme součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f(x) = x 3 x 2 a g(x) = x a určeme definiční obory těchto nových funkcí: (f + g)(x) = f(x) + g(x) = ( x 3 x 2) + ( x ) = x 3 x 2 + x, (f g)(x) = f(x) g(x) = ( x 3 x 2) ( x ) = x 3 x 2 x, (fg)(x) = f(x)g(x) = ( x 3 x 2)( x ) = x 4 x 3, f f(x) (x) = g g(x) = x3 x 2 x = x 2 x pro x 0. Výrazy (f + g)(x), (f g)(x) a (fg)(x) mají smysl pro všechna x R, a proto jsou definiční obory funkcí f + g, f g a fg rovny Dom(f + g) = Dom(f g) = Dom(fg) = R. Výraz f (x) má smysl (přesněji řečeno operace prováděné při jeho výpočtu lze provést) pouze pro x 0. g Proto je definiční obor funkce f g roven Dom f = R \ {0}. // g Cvičení 1.5 Dokažte, že součet a součin dvou kladných funkcí jsou kladné funkce. 19

1 Funkce Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemi Definice 1.12 Nechť A a B jsou množiny reálných čísel takové, že A B, a nechť f : A R a g : B R jsou funkce. Dále nechť pro všechna čísla x A platí f(x) = g(x). Potom se funkce g nazývá rozšíření funkce f na množinu B. Funkce f se nazývá zúžení (restrikce) funkce g na množinu A. Příklad 1.13 Mějme dánu funkci f : R R danou předpisem f(x) = x 2. Tato funkce není prostá. (Proč?) Proveďme nyní zúžení funkce f na množinu 0; + ). Jinými slovy vytvořme funkci g : 0; + ) R danou předpisem g(x) = x 2. Funkce g je rostoucí, a tedy je prostá. Zkuste sami najít jinou množinu M tak, aby zúžení funkce f na množinu M byla prostá funkce. // Definice 1.13 Nechť f : A na B je prostá funkce. Definujme novou funkci f 1 : B na A tak, že každému číslu y Rng f je přiřazeno právě to x Dom f, pro které je f(x) = y. Funkce f 1 se nazývá funkce inverzní k funkci f. Výraz f : A na B v předchozí definici znamená, že A je definiční obor Dom f a B je obor hodnot Rng f. Z definice ihned plyne: Jestliže f 1 je inverzní funkce k funkci f, pak f 1 (y) = x právě tehdy, když f(x) = y. Dále platí f(f 1 (y)) = y pro všechna y Rng f a f 1 (f(x)) = x pro všechna x Dom f. Výpočet inverzní funkce provádíme ve dvou krocích. Rovnici y = f(x) vyřešíme vzhledem k proměnné x. Poté zaměníme všechny výskyty proměnné x za proměnnou y a naopak. Dostaneme inverzní funkci y = f 1 (x). Ukážeme si to na příkladu. 20

1 Funkce Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemi Příklad 1.14 Mějme funkci f(x) = 2x + 3 a určeme k ní funkci inverzní. x 1 Abychom mohli vůbec hovořit o inverzní funkci, musíme nejdříve dokázat, že f je prostá funkce. Podle věty 1.1 stačí dokázat, že pro každé y existuje jediné x takové, že y = f(x). To dokážeme tak, že vyřešíme rovnici y = f(x) vzhledem k proměnné x a ukážeme, že má jediné řešení. y = 2x + 3 x 1 xy y = 2x + 3 x(y 2) = y + 3 x = y + 3 y 2 Rovnice y = f(x) má tedy jediné řešení. Z toho plyne, že funkce f je prostá. Můžeme tedy přikročit k určení inverzní funkce. První krok jsme však již udělali. Nyní stačí zaměnit proměnné x a y. Dostaneme y = x + 3 x 2. Inverzní funkce k funkci f je tedy funkce f 1 (x) = x + 3 x 2. // Cvičení 1.6 Určete inverzní funkce k funkcím a) y = 2x + 3 ; b) y = x 2 3x + 2 ; c) y = x 3 3. Úkol Zkuste vysvětlit, proč je v definici inverzní funkce nutný předpoklad, že funkce f je prostá. Předpokládejme, že funkce f není prostá. Pak existují dvě různá čísla x, t taková, že f(x) = f(t). Označme y = f(x). Pak by ovšem muselo být f 1 (y) = x a zároveň f 1 (y) = t, a tedy hodnota f 1 (y) by nebyla určena jednoznačně. 21

1 Funkce Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemi Definice 1.14 Nechť A a B jsou množiny reálných čísel a f : B R a g : A R jsou funkce. Definujme funkci f g předpisem (f g)(x) = f ( g(x) ) Tato funkce f g se nazývá funkce složená z funkcí f a g. Nyní se pokusme odvodit, kdy patří číslo x do definičního oboru Dom(f g). V prvé řadě musí být definováno číslo g(x). Číslo x tedy musí patřit do množiny Dom g = A. Dále musí číslo g(x) patřit do Dom f = B. Množina čísel x, pro které platí g(x) B, se označuje g 1 (B). Z toho plyne, že platí Dom(f g) = A g 1 (B). Nejsou-li zadány definiční obory funkcí f a g, pak se definiční obor funkce f g určuje jako množina všech čísel x, pro která mají operace prováděné při výpočtu f(g(x)) smysl. Příklad 1.15 Určeme funkce f g a g f složené z funkcí f(x) = x + 1 x 1 a g(x) = x2. Dále určeme jejich definiční obory. (f g)(x) = f ( g(x) ) = f ( x 2) = x2 + 1 x 2 1 Dom(f g) = R \ { 1; 1} (g f)(x) = g ( f(x) ) ( ) ( ) 2 x + 1 x + 1 = g = x 1 x 1 Dom(g f) = R \ { 1} // Z předchozího příkladu je vidět, že skládání funkcí není komutativní, tj. obecně neplatí, že f g = g f. Věta 1.6 Skládání funkcí je asociativní, neboli platí f (g h) = (f g) h. Z této věty plyne, že při skládání více funkcí můžeme psát jednoduše f g h. 22

1 Funkce Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemi Důkaz Označme si L = f (g h) a P = (f g) h. Dokážeme, že pro každé x platí L(x) = P (x). L(x) = ( f (g h) ) (x) = f ( (g h)(x) ) = f ( g ( h(x) )) P (x) = ( (f g) h ) (x) = (f g) ( h(x) ) = f ( g ( h(x) )) Z předchozích dvou řádků plyne, že L = P. Cvičení 1.7 Určete funkce f f, f g, g f a g g složené z funkcí a) f(x) = 2x + 3 x 1, g(x) = x2 + 3 ; b) f(x) = x + 1, g(x) = x. Cvičení 1.8 Zkuste na základě předešlého příkladu najít funkci e tak, aby pro všechny funkce platilo e f = f e. Příklad 1.16 Jsou-li funkce f a g rostoucí, pak jsou rostoucí i funkce f g a g f. To se nahlédne snadno. Podle definice rostoucí funkce pro x < y platí g(x) < g(y). Označme si t = g(x) a u = g(y). Platí t < u, a proto podle definice je f(t) < f(u). Z toho ovšem plyne, že pro x < y je f ( g(x) ) < f ( g(y) ) a funkce f g je rostoucí. Obdobně pro funkci g f. Zkuste si pohrát s pojmy z definice 1.5 a dokažte třeba, že složení dvou klesajících funkcí je funkce rostoucí, složení rostoucí a klesající funkce je funkce klesající,..., složení n (ryze) monotonních funkcí je funkce (ryze) monotonní, složení n prostých funkcí je funkce prostá (důsledek předchozího),... 23

1 Funkce Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemi Máte-li zájem, můžete se pokusit určit, zda složení n funkcí, z nichž je m klesajících (nerostoucích), je funkce rostoucí nebo klesající (neklesající nebo nerostoucí). // Důsledek Nechť a, b, c, d R jsou libovolné konstanty, přičemž a, c 0 a nechť f je prostá funkce. Pak funkce g(x) = af(cx + d) + b je také prostá. Důkaz Funkce p(x) = ax + b a q(x) = cx + d jsou prosté. Funkce f je podle předpokladů také prostá. Platí g = p f q. (Ověřte!) Funkce g je tedy složená ze tří prostých funkcí a podle příkladu 1.16 je prostá. Úkol Řekněte zpaměti definici složené a inverzní funkce. 24

1 Funkce Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemi Shrnutí Funkce je nějaký předpis přiřazující každému číslu z definičního oboru jedno číslo z oboru hodnot. Graf funkce je množina bodů [x; y] v rovině takových, že y = f(x). Funkce je rostoucí, jestliže s rostoucí hodnotou proměnné x roste hodnota f(x). Podobně se definuje funkce klesající, nerostoucí a neklesající. Funkce, která je rostoucí, nebo klesající, se nazývá ryze monotonní. Funkce f se nazývá prostá, jestliže ke každému y existuje jediné x takové, že y = f(x). Jestliže jsou všechny hodnoty f(x) kladné, nazývá se funkce f kladná. Obdobně se definuje funkce záporná, nekladná a nezáporná. Je-li graf funkce souměrný podle osy y, nazývá se funkce sudá. Je-li graf souměrný podle počátku soustavy souřadnic, nazývá se funkce lichá. Jestliže se hodnoty f(x) pravidelně opakují, nazývá se funkce periodická. Hodnota součtu funkcí je součet hodnot funkcí. Podobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí. Inverzní funkce f 1 k prosté funkci f se definuje tak, aby platilo f 1 (f(x)) = x. Složení funkcí je definováno (f g)(x) = = f(g(x)). Tato kapitola byla dle mého názoru dosti jednoduchá. Jestliže Vám však činila potíže, asi jste na střední škole neměl(a) matematiku. V tom případě Vám doporučuji pročíst si ještě jednou tuto kapitolu nebo knihu [7]. Budete se muset v tomto předmětu více snažit, ale věřím, že brzy ostatní doženete. 25

1 Funkce Teoretické základy Cvičení Cvičení Cvičení 1.9 Určete definiční obory a obory hodnot funkcí a) f(x) = x [x] ; b) f(x) = x D(x) ; c) f(x) = 1 x 2. Cvičení 1.10 Určete funkce inverzní k funkcím a) f(x) = ax + b ; b) f(x) = D(x) ; c) f(x) = x 4 2x 2 + 1. Cvičení 1.11 Je dána funkce f(x) = 3 6 x 3. a) Určete funkce f f, f f f, f f f f,.... b) Najděte další funkce, jež mají stejnou vlastnost jako funkce f v části a). Cvičení 1.12 Nechť platí f = f 1. Dokažte, že pro všechna x Dom f platí f(f(f(f(x)))) = x. 26

1 Funkce Teoretické základy Řešení Řešení Cvičení 1.1 a) R ; b) 0; + ) ; c) R \ {0}. Grafy jsou na obrázku 9. y 2 1 c) 3 2 1 1 2 b) 1 x 2 a) 3 Obrázek 9 Cvičení 1.1 Cvičení 1.2 f(x) = 0 pro všechna x Dom f. Cvičení 1.3 a) Zdola omezená konstantou 2; b) Shora omezená konstantou 2; c) Není omezená zdola ani shora. Cvičení 1.4 Pro sudou funkci f platí f(x) = f( x), což znamená, že ve dvou různých bodech má stejnou hodnotu a proto není prostá. Cvičení 1.5 Pro všechna x je f(x) > 0 a g(x) > 0. Odtud plyne, že f(x) + g(x) > 0 a f(x)g(x) > 0 pro všechna x. Cvičení 1.6 a) x 3 ; b) Funkce není prostá; c) 3 x + 3. 2 27

1 Funkce Teoretické základy Řešení Cvičení 1.7 a) (f f)(x) = 7x + 3 x + 4 x, b) (f f)(x) = + 1 + 1, (f g)(x) = 2x2 + 9 x 2 + 2, (f g)(x) = x + 1, (g f)(x) = 7x2 + 6x + 12 x 2 2x + 1, (g f)(x) = x + 1, (g g)(x) = x 4 + 6x + 12 ; (g g)(x) = x. Cvičení 1.8 e(x) = x pro všechna x Dom e. Cvičení 1.9 a) Dom f = R, Rng f = 0; 1); b) Dom f = Rng f = Q ; c) Dom f = 1; 1, Rng f = 0; 1. Cvičení 1.10 f 1 (x) = x b a pro a 0; b), c) Funkce f nejsou prosté. Cvičení 1.11 a) x = (f f)(x) = (f f f f)(x) =, f(x) = (f f f)(x) = ; b) Tuto vlastnost mají například všechny funkce f(x) = n a x n. Cvičení 1.12 (f f f f)(x) = ((f 1 f) (f 1 f))(x) = x. 28

2 Algebraické funkce 2 Algebraické funkce Obsah lekce 2.1. Transformace grafu....................................................... 30 2.2. Lineární funkce......................................................... 34 2.3. Kvadratické funkce....................................................... 37 2.4. Lineární lomená funkce.................................................... 40 2.5. Další funkce............................................................ 42 Cvičení............................................................... 44 Řešení................................................................ 46 Klíčová slova Funkce lineární, kvadratická, lineární lomená, Dirichletova, Riemannova. V případě, že Vám předchozí kapitola nečinila problémy, věnujte v částech 2.1 2.4 pozornost pouze příkladům a cvičením. 29

2 Algebraické funkce 2.1 Transformace grafu 2.1 Transformace grafu V této části se dozvíte, jak se změní graf funkce, jestliže se čás tečně změní funkce. Aby byl výklad jasnější, budu stále obměňo vat funkci ϕ, jejíž graf je na obrázku 10. Její graf bude vždy ze lený, zatímco nové grafy budou modré. Transformace budou navíc zdůrazněny červenými šipkami. Přičtení čísla k hodnotě funkce Nechť b je reálné číslo a f je funkce. Mějme funkci g, která vznikne přičtením čísla b k funkci f. Platí tedy g(x) = f(x) + b. Nechť bod A = [x; f(x)] patří grafu funkce f. Posunutím bodu A o b jednotek nahoru dostaneme bod B = [x; f(x) + b] = [x; g(x)]. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g proto vznikne posunutím grafu funkce f o b jednotek nahoru. (V případě b < 0 se graf samozřejmě posouvá o b jednotek dolů.) Na obrázku 11 je graf funkce τ(x) = ϕ(x) + 1, na obrázku 12 je graf funkce ω(x) = ϕ(x) 1. y 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 1 Obrázek 10 Graf funkce ϕ ϕ x y y 4 4 3 τ 3 2 ϕ 2 ϕ 1 1 ω 1 1 2 3 4 5 1 Obrázek 11 K textu x 1 1 2 3 4 5 1 Obrázek 12 K textu x 30

2 Algebraické funkce 2.1 Transformace grafu Vynásobení hodnoty funkce číslem Nechť a je reálné číslo a f je funkce. Mějme funkci g, která y 4 y 3 vznikne vynásobením funkce f 3 2 ϕ τ číslem a. Platí tedy g(x) = af(x). 2 ϕ 1 Nechť bod a patří grafu funkce f. Vynásobením y-ové souřadnice 1 1 1 2 3 4 5 x bodu A číslem a dostaneme bod 1 1 1 2 3 4 5 x ω B = [x; af(x)] = [x; g(x)]. Bod B 1 2 tedy patří grafu funkce g. Graf Obrázek 13 K textu Obrázek 14 K textu funkce g je tudíž množina všech bodů [x; ay] takových, že bod [x; y] patří grafu funkce f. Na obrázku 13 je graf funkce τ(x) = 3 ϕ(x), na 2 obrázku 14 je graf funkce ω(x) = 3 5 ϕ(x). Přičtení čísla k argumentu funkce Nechť d je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g(x) = f(x + d). Nechť bod A = = [x; f(x)] patří grafu funkce f. Posunutím bodu A o d jedno tek doleva dostaneme bod B = = [x d; f(x)] = [x d; g(x d)]. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g proto vznikne po sunutím grafu funkce f o d jed y 4 3 2 1 2 1 1 2 3 4 1 Obrázek 15 K textu notek doleva. (V případě d < 0 se graf samozřejmě posouvá o d jednotek doprava.) Na obrázku 15 je graf funkce τ(x) = ϕ(x + 1), na obrázku 16 je graf funkce ω(x) = ϕ(x 1). 31 ϕ τ x y 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 1 Obrázek 16 K textu ω ϕ x

2 Algebraické funkce 2.1 Transformace grafu Vynásobení argumentu funkce číslem Nechť c je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g(x) = = f(cx). Nechť bod [ A = [x;] f(x)] [ patří ( grafu )] funkce f. Podělením x-ové souřadnice bodu A číslem c x x x dostaneme bod B = c ; f(x) = c ; g. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g je tudíž [ ] c x množina ( všech ) bodů c ; y takových, že bod [x; y] patří grafu funkce f. Na obrázku 17 je graf funkce 3 τ(x) = ϕ 2 x, na obrázku 18 je graf funkce ω(x) = ϕ ( 45 ) x. y y 4 4 3 3 2 τ ϕ ω 2 ϕ 1 1 1 1 2 3 4 5 1 Obrázek 17 K textu x 6 4 2 2 4 1 Obrázek 18 K textu x Úkol Je dán graf funkce f(x). Popište, jak se konstruují grafy funkcí f(x) + b, af(x), f(x + d), f(cx). Pokuste se vysvětlit, jak by se zkonstruoval graf funkce af(cx + d) + b. 32

2 Algebraické funkce 2.1 Transformace grafu Graf inverzní funkce Aby mohla existovat inverzní funkce f 1 k funkci f, musí být funkce f prostá. To však naše funkce ϕ z obrázku 10 není. (Proč?) Proto zde budu pracovat s jinou funkcí χ, jejíž graf je na obrázku 19. y χ y χ 2 1 2 1 3 2 1 1 2 1 x 3 2 1 1 2 1 x 2 3 Obrázek 19 Graf funkce χ 2 χ 1 3 Obrázek 20 Graf funkce χ 1 Nechť bod A = [x; f(x)] patří grafu funkce f. Záměnou první a druhé souřadnice bodu A, tedy překlopením podle přímky y = x, dostaneme bod B = [f(x); x] = [ f(x); f 1 (f(x)) ]. Bod B tedy patří grafu funkce f 1. Graf funkce f 1 proto vznikne překlopením grafu funkce f podle přímky y = x. Na obrázku 20 je graf funkce χ 1. 33

2 Algebraické funkce 2.2 Lineární funkce 2.2 Lineární funkce Definice 2.1 Funkce f(x) = ax + b, kde a, b R, se nazývá lineární funkce. Speciálně (při a = 0) se funkce f(x) = b nazývá konstantní funkce. Protože operace prováděné při výpočtu ax + b lze provést pro všechna x R, je definiční obor roven Dom f = R. Konstantní funkce f(x) = b Graf funkce f je množina všech bodů [x; b]. Tato množina ovšem není nic jiného než přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem [0; b]. Graf funkce f je na obrázku 21. y b x Obrázek 21 Graf konstantní funkce Funkce f nabývá pouze jediné hodnoty b, a proto je Rng f = {b}. Funkce f není rostoucí ani klesající, ale je nerostoucí a neklesající. (To není totéž!) Protože je f(x) = f( x) = b, je funkce f sudá. Pro všechna čísla x R a t > 0 platí f(x) = f(x + t) = b, proto je funkce f periodická a její periodou je libovolné číslo t > 0. Konstantní funkce jsou jediné funkce s touto vlastností. Funkce f není prostá, protože je periodická. 34

2 Algebraické funkce 2.2 Lineární funkce Funkce f(x) = x Graf funkce f je množina všech bodů [x; f(x)] = [x; x], tedy je to přímka procházející počátkem soustavy souřadnic a svírající s osami x a y úhel 45. Graf funkce f je na obrázku 22. y x Obrázek 22 Graf funkce f(x) = x Ke každému číslu y R existuje číslo x R takové, že y = f(x). Proto je Rng f = R. Funkce f je rostoucí, a proto prostá. Z toho také plyne, že f není periodická. Protože f( x) = x = f(x), je funkce f lichá. Funkce f(x) = ax + b pro a 0 Grafem funkce f je opět přímka. Tato přímka prochází na ose y bodem [0; f(0)] = [0; b]. Zjistěme, kterým bodem na ose x tato přímka prochází. Označme tento bod [x; 0]. Pro číslo x musí platit f(x) = 0. Vyřešením této rovnice dostaneme x = b. Graf funkce f je pro a > 0 a na obrázku 23, pro a < 0 na obrázku 24. Protože ke každému číslu y R existuje číslo x R takové, že y = f(x), je Rng f = R. Pro a > 0 platí x < y ax < ay ax + b < ay + b, 35

2 Algebraické funkce 2.2 Lineární funkce a proto je pro a > 0 funkce f rostoucí. Obdobně pro a < 0 je f klesající. Funkce f je tedy ryze monotonní, a proto prostá a neperiodická. y y b a x b b a b x Obrázek 23 K textu Obrázek 24 K textu Příklad 2.1 Určeme číslo b tak, aby funkce f(x) = ax + b byla lichá. Musí platit x = f( x). Úpravou tohoto vztahu postupně dostaneme ax b = ax + b b = b 2b = 0 b = 0 Z toho plyne, že funkce f(x) = ax + b je lichá právě tehdy, když je b = 0. // Úkol Řekněte, jak se určí průsečíky grafu funkce s osami x a y. 36

2 Algebraické funkce 2.3 Kvadratické funkce 2.3 Kvadratické funkce Definice 2.2 Funkce f(x) = ax 2 + bx + c, kde a 0 a b, c R, se nazývá kvadratická funkce. Funkce f(x) = x 2 Grafem funkce f je množina všech bodů [x; x 2 ]. Je to křivka, která se nazývá para bola. Graf funkce f je uveden na obrázku 25. y 8 6 4 2 2 1 1 2 Obrázek 25 Graf funkce f(x) = x 2 Jestliže je y 0, pak existuje číslo x R takové, že f(x) = y. Je-li však y < 0, pak žádné takové x neexistuje. Proto je Rng f = 0; + ). Funkce f je klesající na intervalu ( ; 0 a rostoucí na 0; + ). Protože platí f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x), je funkce f sudá. Z toho plyne, že f není prostá. Funkce f není periodická. x 37

2 Algebraické funkce 2.3 Kvadratické funkce Funkce f(x) = ax 2 pro a 0 Grafem funkce f je parabola procházející body [0; 0] a [±1; a]. Pro a > 0 má funkce f stejné vlastnosti jako funkce x 2. Pro a < 0 je f rostoucí na ( ; 0, klesající na 0; + ) a Rng f = ( ; 0. Graf funkce f pro a < 0 je uveden na obrázku 26. y 1 1 a x b 2a y b 2 4ac 4a x Obrázek 26 Graf funkce f(x) = ax 2 Obrázek 27 K textu Funkce f(x) = ax 2 + bx + c Grafem funkce f je opět parabola. Abychom zjistili, jak tato parabola vypadá, musíme nejdříve funkci f upravit: ( f(x) = ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c ) (( = a x + b ) 2 b2 a 2a 4a + c ) ( = a x + b ) 2 b2 4ac 2 a 2a 4a Graf funkce f tedy vznikne posunutím grafu funkce ax 2 o b 2a jednotek doleva a b2 4ac [ jednotek dolů. 4a Situaci ilustruje obrázek 27. Vrchol paraboly je tedy v bodě b ] 2a ; 4ac ) b2. Pro a > 0 je parabola 4a otevřená nahoru, a proto Rng f = c b2 4a ; +. Pro a < 0 je parabola otevřená dolů, a proto Rng f = ( ; c b2. Funkce f není prostá ani periodická. Pro a > 0 (a < 0) je funkce f klesající 4a( (rostoucí) na intervalu ; b a rostoucí (klesající) na intervalu b ) 2a 2a ; +. 38

2 Algebraické funkce 2.3 Kvadratické funkce Příklad 2.2 Určeme číslo b tak, aby funkce f(x) = ax 2 + bx + c byla sudá. Pro všechna x musí platit f(x) = f( x). Úpravami této rovnosti postupně dostaneme a( x) 2 + b( x) + c = ax 2 + bx + c ax 2 bx + c = ax 2 + bx + c bx = bx 2bx = 0. Protože toto musí platit pro všechna x, musí být b = 0. // Cvičení 2.1 Určete průsečíky grafu funkce f(x) = ax 2 + bx + c s osami x a y. 39

2 Algebraické funkce 2.4 Lineární lomená funkce 2.4 Lineární lomená funkce Definice 2.3 Funkce f(x) = ax + b, kde c 0 a ad bc, se nazývá lineární lomená funkce. cx + d Protože f(x) je zlomek, nesmí být jmenovatel roven nule. Nesmí tedy platit x = d. Z toho plyne, že { c Dom f = R \ d }. c y Funkce f(x) = 1 Grafem této funkce je křivka na obrázku 28, x která se nazývá hyperbola. Tato křivka se neustále přibližuje k osám x a y, ale nikdy je neprotne. Určeme obor hodnot. Rng f je množina těch čísel y, pro která má rovnice f(x) = y řešení. Jednoduchou úpravou této rovnice dosta neme x = 1. Z toho plyne, že při y = 0 nemá rovnice f(x) = y y x řešení, neboli Rng f = R \ {0}. Pro 0 < x < y platí 1 y < 1 x, neboli Obrázek 28 Graf funkce f(x) = 1 x f(y) < f(x). Z toho plyne, že funkce f je klesající na intervalu (0; + ). Obdobně je f klesající na ( ; 0). Přesto však f není klesající na celém svém definičním oboru, protože například f(1) = 1 > 1 = f( 1). Protože ke každému číslu y Rng f existuje jediné číslo x takové, že f(x) = y, je funkce f prostá. Z toho také plyne, že f není periodická. Protože platí f( x) = 1 x = 1 = f(x), je f lichá funkce. x Funkce f(x) = a x pro a 0 40

2 Algebraické funkce 2.4 Lineární lomená funkce Úkol Odvoďte sami vlastnosti této funkce. Funkce f(x) = ax + b cx + d ji nejdříve upravit. K určení vlastností této funkce je opět nutno y f(x) = ax + b cx + d = a ad (cx + d) c c + b cx + d ad bc = a c ( c c x + d ) = c bc ad c 2 x + d c + a c a c d c x (bc ad)/c2 Graf funkce f vznikne posunutím grafu funkce o d x c jednotek doleva a a jednotek nahoru. Situace je zachycena na obrázku 29. Graf c Obrázek 29 K textu funkce f se stále přibližuje k přímkám y = a c a x = d, ale nikdy je neprotne. Z toho plyne, že { } c a Rng f = R \. c Úkol Odvoďte sami další vlastnosti. 41

2 Algebraické funkce 2.5 Další funkce 2.5 Další funkce Definice 2.4 Dirichletova funkce D(x) je funkce definovaná na Dom D = R, pro kterou platí: pro x Q je D(x) = 1, pro x Q je D(x) = 0. Ihned z definice plyne, že Rng D = {0; 1}. Funkce D není ani rostoucí ani klesající. Již dříve bylo dokázáno, že D je periodická a její periodou je libovolné a Q +. Z toho plyne, že D není prostá. Cvičení 2.2 Dokažte, že D je sudá funkce. Definice 2.5 Riemannova funkce R(x) je funkce defi novaná na Dom R = R následovně: R(0) = 1; pro x Q je R(x) = 0; pro číslo x = p, kde p a q jsou nesoudělná q čísla, je R(x) = 1 q. { } 1 Ihned z definice plyne, že Rng R = {0} q : q N. Funkce R není rostoucí ani klesající. R je periodická a její periodou je libovolné kladné celé číslo. Z toho plyne, že R není prostá. Graf Riemannovy funkce je na obrázku 30. Obrázek 30 Graf Riemannovy funkce Cvičení 2.3 Dokažte, že R je sudá funkce. 42

2 Algebraické funkce 2.5 Další funkce Shrnutí Graf funkce f(x) + b vznikne posunutím grafu funkce f(x) o b jednotek nahoru. Graf funkce af(x) vznikne natáhnutím grafu funkce f(x) do výšky na a-násobek. Graf funkce f(cx) vznikne stáhnu tím grafu funkce f(x) do šířky na jednu c-tinu. Graf funkce f 1 (x) vznikne překlopením grafu funkce f(x) kolem přímky y = x. Tato kapitola byla snadná. Sloužila především ke shrnutí učiva ze střední školy pro studenty, jimž matematika činila potíže. Uvedené vlastnosti není třeba umět zpaměti, protože si je lze snadno odvodit. Důležité je umět z grafu funkce vyčíst základní vlastnosti, obdobně jako ve cvičení 2.5. 43

2 Algebraické funkce Cvičení Cvičení Cvičení 2.4 Červená křivka na obrázku 31 je graf funkce f, která je sudá a má periodu t = 4. Modrá křivka vznikla posunutím červené křivky o dvě jednotky nahoru a jednu jednotku doprava. Určete všechny funkce, jejichž grafem je modrá křivka. a) 2f(x) 1 b) f(2x + 1) c) f(2 x) + 1 d) f(x 1) + 2 e) 2 + f(5 x) f) 5 f(2x) g) f(x + 7) + 2 h) 3f(2x 1) + 1 i) f(x + 6) 1 j) f(1 x) + 6 Cvičení 2.5 Na obrázku 32 jsou grafy funkcí f, g, a h. Která z následujících tvrzení jsou pravdivá? a) Žádná z těchto funkcí není rovna funkci 2x 2 + 4. b) V intervalu 2; 2 existuje bod x 0 takový, že g(x 0 )h(x 0 ) = 0. c) Rovnice f(x) h(x) = 0 nemá v intervalu 2; 2 žádné řešení. d) Pro každé x 2; 2 platí f(x) = f( x). 4 2 2 4 6x e) Existuje interval a; b 2; 2 takový, že pro každé x a; b platí h(x) g(x) f(x). f) Rovnice g(x) + h(x) = 0 má na intervalu 2; 2 alespoň jedno řešení. y 3 2 1 1 Obrázek 31 Cvičení 2.4 y 4 2 2 1 1 2x g 2 4 Obrázek 32 Cvičení 2.5 f h 44

2 Algebraické funkce Cvičení Cvičení 2.6 Určete základní vlastnosti (definiční obor, obor hodnot, monotonnost, průsečíky s osami, zda je funkce sudá nebo lichá) následujících funkcí a načrtněte jejich grafy. a) f(x) = 3x + 4 b) f(x) = 6 2x c) f(x) = 4x 2 20x + 24 d) f(x) = (x 2) 2 (2x 1) 2 e) f(x) = 2x + 3 f) f(x) = 3x 9 g) f(x) = R(x)(1 D(x)) x 1 2x 4 45

2 Algebraické funkce Řešení Řešení [ ] b ± b2 4ac Cvičení 2.1 Průsečík s osou y je [0; c]. Průsečíky s osou x jsou ; 0, pokud je b 2 4ac. 2a Cvičení 2.2 Pro x Q je D(x) = 1 a x Q, a proto D( x) = 1. Pro x Q je D(x) = 0 a x Q, a proto D(x) = 0. Cvičení 2.3 Pro x = 0 je x = 0, a proto R(x) = R( x) = 0. Pro x Q je R(x) = 0 a x Q, a proto R( x) = 0. Pro x = p q, kde p a q jsou nesoudělná, jsou čísla p a q nesoudělná a R(x) = R( x) = 1 q. Cvičení 2.4 d), e) a g). Cvičení 2.5 a), b), e) a f) Cvičení 2.6 a) Dom f = Rng f = R, funkce je rostoucí na R, není sudá ani lichá, průsečík s osou x je [ 43 ; 0 ], s osou y je [0; 4], graf je na obrázku 33. b) Dom f = Rng f = R, funkce je klesající na R, není sudá ani lichá, průsečík s osou x je [3; 0], s osou y je [0; 6], graf je na obrázku 33. ( c) f(x) = 4(x 2)(x 3) = 4 x 5 2 1, Dom f = R, Rng f = 1; + ), funkce je klesající na ( 2) ; 5 ) 5, rostoucí na 2 2 ; +, není sudá ani lichá, průsečíky s osou x jsou [2; 0] a [3; 0], s osou y je [0; 24], graf je na obrázku 33. d) f(x) = 3x 2 + 3, Dom f = R, Rng f = ( ; 3, funkce je rostoucí na ( ; 0, klesající na 0; + ), je sudá, průsečíky s osou x jsou [±1; 0], s osou y je [0; 3], graf je na obrázku 33. 46

2 Algebraické funkce Řešení e) f(x) = 2 + 5, Dom f = R \ {1}, Rng f = R \ {2}, funkce je klesající na ( ; 1) a (1; + ) není x 1 sudá ani lichá, průsečík s osou x je [ 32 ] ; 0, s osou y je [0; 3], graf je na obrázku 34. f) f(x) = 3 2 3/2 { } 3, Dom f = R \ {2}, Rng f = R \, funkce je rostoucí na ( ; 2) a (2; + ), není x 2 [ 2 sudá ani lichá, průsečík s osou x je [3; 0], s osou y je 0; 9 ], graf je na obrázku 34. 4 g) f(x) = 0, Dom f = R, Rng f = {0}, funkce je konstantní (a tedy nerostoucí a neklesající) na R, je sudá i lichá, průsečíky s osou x jsou [t; 0] pro každé t R, s osou y je [0; 0], graf je na obrázku 33. y b) 10 c) a) y 10 5 g) 2 1 1 2 3 5 x 5 f) 2 1 1 2 3 5 x 10 d) 15 Obrázek 33 Cvičení 2.6 10 e) 15 Obrázek 34 Cvičení 2.6 47

3 Spojitost 3 Spojitost Obsah lekce 3.1. Okolí bodu............................................................. 49 3.2. Spojitost v bodě......................................................... 51 3.3. Spojitost na intervalu..................................................... 55 3.4. Věty o spojitosti......................................................... 56 Cvičení............................................................... 64 Řešení................................................................ 65 Klíčová slova Okolí bodu, spojitost v bodě, spojitost na intervalu, Darbouxova vlastnost, Weierstrassova věta. 48

3 Spojitost 3.1 Okolí bodu 3.1 Okolí bodu Definice 3.1 Nechť a je reálné číslo a δ > 0. Potom interval (a δ; a + δ) se nazývá δ-okolí bodu a a označuje se U δ (a); (a δ; a se nazývá levé δ-okolí bodu a a označuje se U δ (a); a; a + δ) se nazývá pravé δ-okolí bodu a a označuje se U + δ (a). Vyjmutím bodu a z (levého, pravého) δ-okolí bodu a dostaneme tzv. redukované (levé, pravé) δ-okolí bodu a, které se označuje P δ (a) (P δ (a), P+ δ (a)). Redukované okolí se také někdy nazývá prstencové okolí. Jednostranná redukovaná okolí lze rovněž zapsat ve tvaru P δ (a) = (a δ; a), P+ δ (a) = (a; a + δ). Příklad 3.1 Zapišme pomocí nerovností, že číslo x patří do redukovaného 1-okolí bodu 2. Platí P 1 (2) = (1; 2) (2; 3). Vztah x P 1 (2) lze zapsat ve tvaru 0 < x 2 < 1. // Úkol Zapište pomocí nerovností, že číslo x patří do (redukovaného) (levého/pravého) δ-okolí bodu a. 49

3 Spojitost 3.1 Okolí bodu Správné řešení je x U δ (a) a δ < x < a + δ x a < δ, x U δ (a) a δ < x a, x U + δ (a) a x < a + δ, x P δ (a) 0 < x a < δ, x P δ (a) a δ < x < a, x P + δ (a) a < x < a + δ. Cvičení 3.1 Vyjádřete následující intervaly jako okolí bodu. a) (3; 5), b) 6; 7), c) 0; 2. 50

3 Spojitost 3.2 Spojitost v bodě 3.2 Spojitost v bodě Definice 3.2 Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x U δ (a) platí f(x) U ε (f(a)), neboli stručněji ε > 0 δ > 0 x U δ (a): f(x) U ε (f(a)). Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každý bod x z δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f(a). Situace je zachycena na obrázku 35. y f(a) + ε f(a) f(x) f(a) ε f a δxa a + δ Obrázek 35 Spojitost funkce v bodě Geometricky lze (nepřesně) říci, že funkce je spojitá v bodě a, jestliže její graf můžeme na okolí bodu a nakreslit jedním tahem. Při zjišťování, zda je funkce f spojitá v bodě a, hledáme ke kladnému číslu ε kladné číslo δ tak, aby pro všechna x U δ (a) platilo f(x) U ε (f(a)). Přitom stačí dokázat, že f(x) U Kε (f(a)), kde K je nějaká kladná konstanta. Ukážeme si to na příkladu. x 51

3 Spojitost 3.2 Spojitost v bodě Příklad 3.2 Funkce y = x 2 je spojitá v každém bodě a R. Nechť ε > 0 je libovolné pevně zvolené číslo. Máme najít číslo δ > 0 tak, aby pro všechna x U δ (a) platilo x 2 U ε (a 2 ). Jinými slovy musí platit x 2 a 2 < ε. Pro všechna x U δ (a) platí x a < δ. Dále platí x + a = (x a) + 2a x a + 2 a < δ + 2 a. Z toho plyne, že x 2 a 2 = x a x + a < δ(δ + 2 a ). Je třeba nalézt číslo δ > 0 tak, aby δ(δ+2 a ) ε, protože potom bude x 2 a 2 < ε pro všechna x U δ (a). Nerovnost δ(δ + 2 a ) ε je ekvivalentní s nerovností δ 2 + 2 a δ ε 0. Tato nerovnost platí pro δ a a 2 + ε; a + a 2 + ε. Protože je ε > 0, je a 2 + ε > a 2, a proto a + a 2 + ε > 0. Protože musí být δ > 0, lze vzít δ = a + + a 2 + ε, tedy takové číslo δ > 0 existuje a funkce x 2 je spojitá v každém bodě a R. // Z tohoto příkladu je vidět, že i v případě tak jednoduché funkce, jako je x 2, je zjišťování spojitosti podle definice dosti složité. Proto se při zjišťování spojitosti většinou využívají věty uvedené v části 3.4. V definici spojitosti se vyskytuje číslo f(a). Aby funkce f mohla být v bodě a spojitá, musí číslo f(a) existovat. Jinými slovy musí být a Dom f. Taktéž musí existovat f(x) pro x z nějakého δ-okolí bodu a. Tedy musí být U δ (a) Dom f. Kontrapozicí této věty ihned dostáváme Věta 3.1 Jestliže číslo a s nějakým svým okolím nepatří do definičního oboru Dom f, není funkce f v bodě a spojitá. Příklad 3.3 Funkce f(x) = 1 x není definována v bodě x = 0, a proto není spojitá v bodě 0. // 52