Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p./9
Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné Plošný obsah obrazce Délka rovinné křivky Objem rotačního tělesa Fyzikální aplikace. p.2/9
Plošný obsah obrazce Příklad 9.. Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Příklad 9..4 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Příklad 9..6 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Příklad 9..7 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného polární osoua jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ.. p.3/9
Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux.?. p.4/9
Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep =2.. p.4/9
Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Návod: Použijte vztah P = b a f(x) dx.. p.4/9
Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) =sinx):.8.6.4.2 Nyní vypočteme obsah plochy:.5.5 2 2.5 3 P = π f(x) dx = π sin xdx = [ ] π cos x = cos π ( cos ) = 2.. p.4/9
Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(sin(x),x=..pi); > plot(sin(x),x=..pi); 2.8.6.4.2.5.5 x 2 2.5 3. p.4/9
Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. P = Integrate[Sin[x], {x,, Pi}] 2 Plot[Sin[x], {x,, Pi}];.8.6.4.2.5.5 2 2.5 3. p.4/9
Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux.?. p.5/9
Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep =ln3.. p.5/9
Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Návod: Použijte vztah P = b a f(x) dx.. p.5/9
Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) = x ):.8.6.4.2 Nyní vypočteme obsah plochy:.5 2 2.5 3 P = 3 f(x) dx = 3 x dx = [ ] 3 ln x =ln3 ln = ln 3.. p.5/9
Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(/x,x=..3); > plot(/x,x=..3); ln (3).9.8.7.6.5.4.5 2 2.5 3 x. p.5/9
Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. Integrate[/x, {x,, 3}] Log[3] Plot[/x, {x,, 3}];.9.8.7.6.5.4.5 2 2.5 3. p.5/9
Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux.?. p.6/9
Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep =.. p.6/9
Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Návod: Použijte vztah P = b a f(x) dx.. p.6/9
Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) = x ): Nyní vypočteme obsah plochy:.8.6.4.2 2 4 6 8 P = f(x) dx = x dx = [ ] ln x = lim ln x ln =. x >. p.6/9
Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(/x,x=..infinity); > plot(/x,x=..);.8.6.4.2 2 4 6 8 x. p.6/9
Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. Limit[Integrate[/x, {x,,b}],b Infinity] Plot[/x, {x,, }];.8.6.4.2 2 4 6 8. p.6/9
Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux.?. p.7/9
Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep =.. p.7/9
Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Návod: Použijte vztah P = b a f(x) dx.. p.7/9
Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) = x 2 ):.8.6.4.2 Nyní vypočteme obsah plochy: 2 4 6 8 P = f(x) dx = x 2 dx = [ x ] =.. p.7/9
Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(/xˆ2,x=..infinity); > plot(/xˆ2,x=..);.8.6.4.2 2 4 6 8 x. p.7/9
Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. Integrate[/x 2, {x,, Infinity}] Plot[/x 2, {x,, }];.8.6.4.2 2 4 6 8. p.7/9
Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux.?. p.8/9
Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep = 64 5.. p.8/9
Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Návod: Použijte vztah P = b f(x) dx. a. p.8/9
Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) =x 3 2 ): 8 Nyní vypočteme obsah plochy: 6 4 2 2 3 4 P = 4 f(x) dx = 4 x 3 2 dx = [ ] 2 5 x 5 4 2 = 2 5 32 = 64 5.. p.8/9
Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(xˆ(3/2),x=..4); > plot(xˆ(3/2),x=..4); 64 5 8 6 4 2 2 x 3 4. p.8/9
Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. Integrate[x (3/2), {x,, 4}] 64 5 Plot[x (3/2), {x,, 4}]; 8 6 4 2 2 3 4. p.8/9
Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π.?. p.9/9
Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Výsledek: Plošný obsahjep = 6 5 π3.. p.9/9
Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Návod: Použijte vztah P = b a f (x) f 2 (x) dx, kde f (x) =sin x a f 2 (x) =(x 2π)(x +2π)/.. p.9/9
Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f (x) =sin x, f 2 (x) =(x 2π)(x +2π)/ ): 6 4 2-6 -4-2 -2 2 4 6-4 -6 Postup: Obě funkce jsou sudé (ověřte!), proto můžeme integrovat pouze od nuly do 2π a výsledek vynásobit dvěma. Na tomto intervalu je x nezáporné, lze tedy odstranit absolutní hodnotu ve funkci f. Protože na tomto intervalu platí f f 2,můžeme odstranit i absolutní hodnotu u rozdílu funkcí. Tím dostáváme P = 2π f (x) f 2 (x) dx =2 2π (f (x) f 2 (x)) dx =2 2π (sin x (x 2π)(x+2π)/) dx = 2π [ ] 2π =2 cos x ( x3 3 4π2 x)/ = 6 5 π3.. p.9/9
Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > y:=sin(abs(x)); > f2:=(x-2*pi)*(x+2*pi)/; > int(abs(f-f2),x=-2*pi..2*pi); f := sin ( x ) f2 := / (x 2 π)(x +2π) > plot([f,f2],x=-2*pi..2*pi); 6 5 π3 x -6-4 -2 2 4 6 - -2-3 -4. p.9/9
Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. f = Sin[Abs[x]] Sin[Abs[x]] f2 =(x 2 Pi) (x +2 Pi)/ ( 2π + x)(2π + x) Integrate[Abs[f f2], {x, 2 Pi, 2 Pi}] 6π 3 5 Plot[{f, f2}, {x, 2 Pi, 2 Pi}]; -6-4 -2 2 4 6 - -2-3 -4. p.9/9
Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ.?. p./9
Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Výsledek: Plošný obsahjep = 4 3 π3.. p./9
Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Návod: Použijte vztah P = β α 2 r2 dϕ.. p./9
Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Řešení: Nakreslíme si plochu v polárních souřadnicích. Nyní vypočteme plochu obrazce. -2-2 4 6-2 -3-4 P = 2π 2 r2 dϕ = 2π 2 ϕ2 dϕ = 6 [ϕ 3 ] 2π = 6 (2π)3 = 4 3 π3.. p./9
Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > r:=phi: > int(rˆ2/2,phi=..2*pi); 4 π 3 3 > plot([r,phi,phi=..2*pi],coords=polar); -2 2 4 6 - -2-3 -4. p./9
Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. r:=φ; Integrate[r 2/2, {φ,, 2Pi}] 4π 3 3 ParametricPlot[{r Cos[φ],r Sin[φ]},{φ,, 2 Pi}]; -2-2 4 6-2 -3-4. p./9
Délka rovinné křivky Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Příklad 9.2.2 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Příklad 9.2.3 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π.. p./9
Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4.?. p.2/9
Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Výsledek: l = 8 27 ( 3 2 ). =9,7342.. p.2/9
Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Návod: Použijte vztah l = b +(y ) 2 dx. a. p.2/9
Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Řešení: Nakreslíme si křivku do kartézských souřadnic. 8 6 4 2 Nyní vypočteme délku křivky. 2 3 4 l = 4 +(y ) 2 dx = 4 + ( ) 3 2 x 2 2 dx = 4 + 9 4 x dx = = [ 8 27 ( + 9 ] 4 x) 3 4 2 = 8 27 ( 3 2 ). =9,7342.. p.2/9
Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Maple: > y:=xˆ(3/2); y := x 3/2 > l:=simplify(int(sqrt(+(diff(y,x))ˆ2), x=..4)); > evalf(l); > plot(xˆ(3/2),x=..4); l := 8 27 8 27 9.7345289 8 6 4 2 2 x 3 4. p.2/9
Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Mathematica: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. y = x (3/2); l = Integrate[Sqrt[ + D[y, x] 2], {x,, 4}] ( + ) 8 27 N[%] 9.7342 Plot[x (3/2), {x,, 4}]; 8 6 4 2 2 3 4. p.2/9
Příklad 9.2.2 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π.?. p.3/9
Příklad 9.2.2 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Výsledek: Délka je l =2π, je to jednotková kružnice.. p.3/9
Příklad 9.2.2 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Návod: Použijte vztah l = t 2 t (x ) 2 +(y ) 2 dt.. p.3/9
Příklad 9.2.2 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Řešení: Nejdříve si křivku nakreslíme, je to jednotková kružnice..5 - -.5.5 -.5 Nyní vypočteme délku křivky. - l = 2π (x ) 2 +(y ) 2 dt = 2π cos2 t +sin 2 t dt = 2π dt =2π.. p.3/9
Příklad 9.2.2 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Maple: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. > x:=sin(t): y:=cos(t): > l:=int(sqrt(diff(x,t)ˆ2+diff(y,t)ˆ2),t=..2*pi); l := 2 π > plot([sin(t), cos(t), t=..2*pi]);.5 - -.5.5 -.5 -. p.3/9
Příklad 9.2.2 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Mathematica: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. x = Cos[t]; y = Sin[t]; l = Integrate[Sqrt[D[x, t] 2+D[y, t] 2], {t,, 2Pi}] 2π ParametricPlot[{x, y}, {t,, 2 Pi}, AspectRatio ];.5 - -.5.5 -.5 -. p.3/9
Příklad 9.2.3 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π.?. p.4/9
Příklad 9.2.3 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Výsledek: Délka je l =6,tatokřivka se nazývá asteroida.. p.4/9
Příklad 9.2.3 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Návod: Použijte vztah l = t 2 t (x ) 2 +(y ) 2 dt.. p.4/9
Příklad 9.2.3 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Řešení: Nejdříve si křivku nakreslíme..5 - -.5.5 -.5 l = 2π (x ) 2 +(y ) 2 dt = 2π - ( 3cos 2 t sin t) 2 +(3sin 2 t cos t) 2 dt = = 2π 9cos 4 t sin 2 t +9sin 4 t cos 2 t dt = 2π 9cos 2 t sin 2 t (cos 2 t +sin 2 t)dt = Další. p.4/9
Příklad 9.2.3 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Řešení: = 2π 9cos2 t sin 2 t dt = 2π 3cost sin t dt = 3 2 2π 2cost sin t dt = = 3 2 2π sin 2t dt =6.. p.4/9
Příklad 9.2.3 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Maple: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. > x:=sin(t)ˆ3: y:=cos(t)ˆ3: > l:=int(sqrt(diff(x,t)ˆ2+diff(y,t)ˆ2),t=..2*pi); l := 6 > plot([sin(t)ˆ3, cos(t)ˆ3, t=..2*pi]);.5 - -.5.5 -.5 -. p.4/9
Příklad 9.2.3 Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Mathematica: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. x = Cos[t] 3; y = Sin[t] 3; l = Integrate[Sqrt[D[x, t] 2+D[y, t] 2], {t,, 2Pi}] 6 ParametricPlot[{x, y}, {t,, 2 Pi}, AspectRatio ];.5 - -.5.5 -.5 -. p.4/9
Objem rotačního tělesa Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Příklad 9.3.2 Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,kteráje ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x.. p.5/9
Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x.?. p.6/9
Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Výsledek: Objem je V =64π.. p.6/9
Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Návod: Použijte vztah V = π b y 2 dx. a. p.6/9
Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Řešení: Nakreslíme si plochu, která rotuje a rotační těleso jehož objem počítáme. y 5-5 8 6 4 2 2 3 4 Nyní vypočteme objem rotačního tělesa. ( 5 z -5 2 x 3 4 V = π 4 y 2 dx = π 4 [ x x 3 4 ] 4 dx = π 4 =64π.. p.6/9
Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Maple: Nejdříve nakreslíme plochu, která rotuje. > plot([,xˆ(3/2)],x=..4,filled=true,color=[white,grey]); 8 6 4 2 Nyní vypočteme objem tělesa. > y:=xˆ(3/2): > v:=int(pi*yˆ2,x=..4); 2 3 4 x v := 64 π. p.6/9
Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Mathematica: Nejdříve nakreslíme plochu, která rotuje. << Graphics`FilledPlot` FilledPlot[x (3/2), {x,, 4},Fills {{{Axis, }, GrayLevel[.7]}}]; 8 6 4 2 2 3 4 Nyní vypočteme objem tělesa. y = x (3/2); v = Integrate[Pi y 2, {x,, 4}] 64π. p.6/9
Příklad 9.3.2 Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x.?. p.7/9
Příklad 9.3.2 Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Výsledek: π 3.. p.7/9
Příklad 9.3.2 Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Návod: Objem se v daném případě vypočte podle vzorce: V = π x 2 dx π ( x) 2 dx.. p.7/9
Příklad 9.3.2 Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Řešení: Nakreslíme si plochu, která rotuje a rotační těleso jehož objem počítáme..8.6.4.2.2.4.6.8 Nyní vypočteme objem rotačního tělesa..5 z -.5.5 - y -.5 - -.5.5 x - V = π x 2 dx π ( = π 3 ( + ) 3 ( x) 2 dx = π = π 3. ([ x x3 3 ] [ x x 2 + x3 3 ] ). p.7/9
Příklad 9.3.2 Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Maple: > plot([-x,sqrt(-xˆ2)],x=..,filled=true,color=[white,grey]);.8.6.4.2.2.4.6.8 x > V:=Pi*int(-xˆ2,x=..)-Pi*int((-x)ˆ2,x=..); V := π 3. p.7/9
Příklad 9.3.2 Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Mathematica: << Graphics`FilledPlot` FilledPlot[{Sqrt[ x 2], x}, {x,, }, Fills {{{, 2}, GrayLevel[.7]}}];.8.6.4.2 V = Pi Integrate[ x 2, {x,, }] Pi Integrate[( x) 2, {x,, }] π 3.2.4.6.8. p.7/9
Fyzikální aplikace Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země.. p.8/9
Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země.?. p.9/9
Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Výsledek: Označíme-li si hmotnost Země M. =6, 24 kg, hmotnost přenášené osobym =6kg, poloměr Země R. =6,4 6 m a Newtonovu gravitační konstantu κ. =6,7 m 2 Nkg 2,jepráce W = κmm R. =3,8 9 J.. p.9/9
Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Návod: Označíme-li si hmotnost Země M. =6, 24 kg, hmotnost přenášené osobym =6kg, poloměr Země R. =6,4 6 m a Newtonovu gravitační konstantu κ. =6,7 m 2 Nkg 2, je podle Newtonova gravitačního zákona přitažlivá gravitační síla F, kterou musíme překonávat, rovna F = κmm x 2, kde x je vzdálenost od středu Země. Mechanická práce W je pak integrál této síly.. p.9/9
Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Řešení: Označíme-li si hmotnost Země M. =6, 24 kg, hmotnost přenášené osobym =6kg, poloměr Země R. =6,4 6 m a Newtonovu gravitační konstantu κ. =6,7 m 2 Nkg 2, je podle Newtonova gravitačního zákona přitažlivá gravitační síla F, kterou musíme překonávat, rovna F = κmm x 2, kde x je vzdálenost od středu Země. Mechanická práce W je pak integrál této síly W = Fdx= R R κmm x 2 [ dx = κmm x ] R = κmm R. =3,8 9.. p.9/9
Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Maple: Nejdříve vypočteme vzorec pro práci. > unassign( r, x, k, M, m ); > f:=k*m*m/xˆ2; f := kmm x 2 > w:=int(f,x=r..infinity) assuming r>; Nyní dosadíme konstanty. w := kmm r > k:=6.7e-: M:=6e24: m:=6: r:=6.4e6: > w; 376875.. p.9/9
Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Mathematica: Nejdříve vypočteme vzorec pro práci. f = k M m/x 2; w = Integrate[f, {x, r, Infinity}] kmm r Nyní dosadíme konstanty. k =6.7 ; M =6 24; m = 6;r r =6.4 6; w 3.76875 9. p.9/9