Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž <. Množinu D čísel x 0, x 1,..., x n, pro něž = x 0 < x 1 <...<x n =, nzveme rozdělením intervlu,. Intervly x 0, x 1, x 1, x 2,..., x n-1, x n udeme nzývt dílčími intervly rozdělení D jejich délky x 1 - x 0, x 2 - x 1,...,x n - x n-1 udeme znčit po řdě x 1, x 2,..., x n Definice 2. Budiž D = { x 0, x 1,..., x n } liovolné rozdělení intervlu,, v němž je definován omezená funkce ƒ. Oznčíme M i = sup ƒ(x) m i = inf ƒ (x) pro i = 1,2,..., n. x x i-1,x i x x i-1,x i Součet S(D) = M 1 x 1 + M 2 x 2 +...+M n x n nzveme horním součtem funkce ƒ příslušným k rozdělení D součet s(d) = m 1 x 1 + m 2 x 2 +...+ m n x n nzveme dolním součtem funkce ƒ příslušným k rozdělení D. Vět 1. Pro liovolné rozdělení S intervlu,. je vždy s(d) S(D) tj. dolní součet příslušný liovolnému rozdělení D je vždy menší neo roven hornímu součtu příslušnému témuž rozdělení. Definice 3. Rozdělení D nzveme zjemněním rozdělení D, jestliže D D, tj. jestliže rozdělení D oshuje všechny dělící ody rozdělení D ( popř. i dlší dělicí ody) Vět 2. Nechť rozdělení D intervlu, je zjemněním rozdělení D. Pk pro příslušné horní dolní součty funkce ƒ, omezené v intervlu,, pltí s(d ) s(d), S(D ) S(D). Vět 3. Budiž ƒ funkce omezená v intervlu,. Oznčme m = inf ƒ(x), M = sup ƒ(x) (pro x, ). Buďtež D 1 D 2 zcel liovolná rozdělení intervlu,. Pk pltí: m( - ) s(d 1 ) S(D 1 ) M( - ) (1), s(d 1 ) S(D 2 ) (2). Definice 4. ) Supremum množiny M d všech dolních součtů funkce ƒ v intervlu, nzýváme dolní integrál funkce ƒ od do. Znčíme sup M d ( x) dx. ) Infimum množiny M h všech horních součtů funkce ƒ v intervlu, nzýváme horní integrál funkce ƒ od do. Znčíme inf M = &&& = h ( x) dx 1
Definice 5. Jestliže dolní integrál funkce ƒ od do je roven integrálu hornímu, pk toto číslo nzýváme určitý (Riemnnův) integrál funkce f od do znčíme je ƒ( x) dx. Číslo nzýváme dolní mez, číslo horní mez uvedených integrálů, funkce ƒ je integrovná funkce neoli integrnd, x je integrční proměnná. O funkci, která má určitý integrál od do, říkáme, že je integrce schopná v intervlu, neo že je integrovtelná. Vět 4. Je-li funkce f(x) spojitá v intervlu,, pk existuje určitý integrál ƒ (x)dx Vět 5. Je-li funkce ƒ omezená v intervlu,, je ƒ ( x) dx ƒ ( x) dx Vět 6. Jestliže pro všechn x z intervlu, pltí pro dvě integrovtelné funkce nerovnice ( x) g( x) f, pk ƒ( ) dx x g( x) dx &&& Nevlstní integrály (Riemnnův zoecněný integrál). Definice 6. Funkce definovná omezená v <, ) je integrovtelná v <, >, právě když t pro t (, ) existuje vlstní limit lim ƒ (x)dx. Tuto limitu nzveme nevlstním integrálem t funkce ƒ od do udeme ji znčit rovněž ƒ ( x)dx. Definice 6. Funkce definovná omezená v (, > je integrovtelná v <, >, právě když pro t (, ) existuje vlstní limit lim ƒ (x)dx. Tuto limitu nzveme nevlstním t + t integrálem funkce ƒ od do udeme ji znčit rovněž ƒ ( x)dx. Definice 7. U funkce f(x), která není definovná v odě c (, ) existuje zoecněný Riemnnův integrál ƒ přitom pltí ƒ ( x)dx, právě když existují zoecněné integrály ƒ ( x)dx, ƒ ( x)dx c ( x)dx = ƒ ( x)dx + ƒ ( x)dx. c c c 2
Definice 8. Nechť je liovolné číslo. Existují-li nevlstní integrály ƒ( x)dx ƒ( x)dx, ( R ),nzýváme jejich součet nevlstní integrál funkce ƒ od méně nekonečn do nekonečn píšeme ƒ ) dx + ƒ( x) dx = ( x ƒ( x) dx. Funkce více proměnných - zákldní pojmy. Úmluv 1: Množinu všech reálných čísel oznčíme E. Množinu všech reálných čísel kldných E +. Krtézský součin ExE oznčíme E 2 ExEx...xE, kde E se vyskytuje n-krát oznčíme E n. Úmluv 2: Pro množinu M v definicích 1. ž 4. pltí M E 2. Definice 1: Reálná funkce f(x,y) dvou reálných proměnných x, y M do množiny E. Funkci oyčejně oznčujeme z = f(x,y). je zorzení z množiny Definice 2: Množinu M z předchozí definice nzýváme definičním oorem funkce oznčujeme čsto D f. Definice 3: Množinu H f E, která je orzem množiny M v zorzení z = f(x,y), nzýváme oorem hodnot funkce f. Definice 4: Grfem funkce z = f(x,y) definovné n množině M je množin všech odů [x,y,z] E 3, kde [x,y] M z = f(x,y). Úmluv 3: Pro množinu M definicích 5. ž 8. pltí M E n. Definice 5: Reálná funkce f(x 1,x 2,...x n ) n reálných proměnných x 1,x 2,...x n je zorzení z množiny M do množiny E. Funkci oznčujeme oyčejně y = f(x 1,x 2,...x n ), přípdně y = f(x), u funkce dvou proměnných z = f(x,y) pod. Definice 6: Množinu M z předchozí definice nzýváme definičním oorem funkce oznčujeme čsto D f. Definice 7: Množinu H f E, která je orzem množiny M v zorzení y = f(x ), nzýváme oorem hodnot funkce f. Definice 8: Grfem funkce y = f(x ) definovné n množině M je množin všech odů [x 1,x 2,...x n,y] E n+1, kde [x 1,x 2,...x n ] M y = f(x ). 3
Limit spojitost funkce více proměnných. Definice 9: Funkce z = f(x,y) definovná v M E 2 je spojitá v odě [x 0, y 0 ] M, právě když ke kždému ε E + existuje δ E + tk, že pltí, jestliže x (x 0 - δ, x 0 +δ ) y (y 0 - δ, y 0 +δ ) [x,y] M, pk f(x,y) - f(x 0,y 0 ) < ε. Definice 10: Funkce z = f(x,y) definovná v M E 2 má v odě [x 0, y 0 ] limitu E, právě když ke kždému ε E + existuje δ E + tk, že pltí, jestliže x (x 0 - δ, x 0 +δ ), y (y 0 - δ, y 0 +δ ), [x,y] M [x,y] [x 0, y 0 ], pk f(x,y) - ) < ε. Definice 11: Funkce y = f(x ) definovná v M E n je spojitá v odě C = [ c 1,c 2,...c n ] M, právě když ke kždému ε E + existuje δ E + tk, že pltí, jestliže X - C <δ X M, pk f(x) - f(c ) < ε. ( X - C <δ znčí soustvu x 1 - c 1 <δ, x 2 - c 2 <δ,..., x n -c n <δ ). Definice 12: Funkce y = f(x ) definovná n M E n má v odě C = [ c 1,c 2,...,c n ] limitu E, právě když ke kždému ε E + existuje δ E +, tk že pltí, jestliže 0 < X - C <δ X M, pk f(x) - < ε. Vět 1: Funkce z = f(x,y) má v odě [x 0, y 0 ] E 2 nejvýše jednu limitu. Vět 2: Funkce y = f(x ) má v odě X 0 E n nejvýše jednu limitu. Vět 3: Funkce z = f(x,y) je spojitá v odě [x 0, y 0 ] E 2, právě když se limit v tomto odě rovná funkční hodnotě. Vět 4: Funkce y = f(x ) je spojitá odě X 0 E n, právě když se limit v tomto odě rovná funkční hodnotě. Poznámk 1: Při výpočtech limit můžeme použít vět nlogických jko u funkce jedné proměnné ( pro součet, součin podíl funkcí). Prciální derivce funkce více proměnných. Definice 13: Říkáme, že funkce z = f(x,y) má v odě [x,y] prciální derivci podle x existuje li vlstní limit f ( x+ dx, y) f ( x, y) l i m = f dx x dx 0 Definice 14: Říkáme, že funkce z = f(x,y) má v odě [x,y] prciální derivci podle y existuje li vlstní limit f ( x, y+ dy) f ( x, y) l i m = f dy y dy 0 4
Definice 15: Říkáme, že funkce y = f(x) má v odě X = [x 1,x 2,...x n ] prciální derivci podle x i, existuje li vlstní limit l i m f ( x x x dx x f x x x x 1, 2,..., i + i,..., n) ( 1, 2,..., i,..., n) dxi dx i 0 " Vět 5: Jsou-li druhé derivce f xy " f yx spojité v odě [x 0,y 0 ], pk v tomto odě pltí, že " f xy " = f yx 5
Doporučené příkldy k propočítání - MANA2. Brožková, A.: Cvičení z mtem. nlýzy Votv, M.: Cvičení z mtem. nlýzy 2. díl: 3. díl: C 1, 7 všechny příkldy Cvičení 6.1 všechny příkldy C 2, 7 všechny příkldy Cvičení 6.2 všechny příkldy C 3, 7 všechny příkldy C 4, 7 všechny příkldy C 5, 7 všechny příkldy C 6, 7 všechny příkldy C 7, 7 všechny příkldy C 8, 7 všechny příkldy C 9, 7 všechny příkldy C 10, 7 všechny příkldy C 11, 7 všechny příkldy C 12, 7 všechny příkldy C 13, 7 - h C 14, 7 - i C 15, 7 - g,k,l,m,n,o C 16, 7 všechny mimo d C 17, 7 - f C 18, 7,, c, e, f,g,i C 20, 7 - e C 21, 7 všechny příkldy C 22, 7 všechny příkldy C 23, 7, C 24, 7 všechny příkldy C 25, 7 - e,h,i C 26, 7, C 28, 7,c,d,f C 30, 7 - f C 32, 7 - e C 36, 7, C 40, 7 - f C 41, 7 - k C 42, 7 - e C 43, 7 - c C 44, 7 -c, f C 2, 8 všechny příkldy C 3, 8 - g,j,k C 4, 8 - d, f - i C 5, 8 - p C 9, 8 - c, e - i C 13, 8, c, d, e, g, h C 14, 8 e, g C 15, 8 Strn 1
Poždvky ke zkoušce z mtemtické nlýzy II. Během semestru ude jedn písemná práce v 7. cvičení (mx. 10 odů). Účst n této práci je povinná ve stnoveném termínu. Student, který se do 14 dnů neomluví, neo jeho omluv neude uznán, ude hodnocen 0 ody. Zkoušk ude mít písemnou ústní část, kždá mx. 20 odů. Účst n cvičení je povinná ze 75% (ez omluvy je možno chyět mx. třikrát). Student, který ude mít větší neúčst než 50%, i omluvenou, musí předmět opkovt. Jen studenti, kteří předmět opkují zúčstnili se cvičení již v minulých letech, mjí v tomto roce účst nepovinnou. Podmínky vykonání zkoušky udělení kreditů: 1. Aktivní účst n cvičeních. 2. Dosžení lespoň 25 odů ze součtu: písemná práce ěhem semestru + zkoušková písemná práce + ústní zkoušk. 3. Dosžení lespoň 10 odů ze zkouškové písemné práce. 4. Dosžení lespoň 10 odů z ústní zkoušky. Výsledné hodnocení: 25-34 odů doře 35-44 odů velmi doře 45-50 odů výorně Ústní písemná zkoušk se koná v jednom termínu je možno ji dvkrát opkovt. Opkuje se jen t část, ve které student neuspěl. Litertur: Mtemtická nlýz II. Brožková, A.: Cvičení z mtemtické nlýzy 2. díl, skript OU 1995 Votv,M.: Cvičení z mtemtické nlýzy 3 díl, Skript OU 1998. Hruý, D, - Kuát, J.: Mtemtik pro gymnázi - Diferenciální integrální počet, Prometheus 1997 Brtsch,H.J.: Mtemtické vzorce, Prh 1983. Dlouhý Z. kol.: Úvod do mtemtické nlýzy, SPN Prh 1965 Zhrdník,J.: Úvod do mtemtické nlýzy, Hrdec Králové 1976 Poždvky ke zkoušce témt: 1. Neurčitý integrál, vlstnosti, zákl. vzorce, sustituční metod, metod per prtes, redukční (rekurentní) vzorce. 2. Integrce rcionálních, ircionálních goniometrických funkcí. 3. Určitý integrál - Riemnnov definice. 4. Vlstnosti určitého integrálu. Metod sustituční per prtes pro určitý integrál. 5. Užití určitého integrálu. 6. Nevlstní integrály.
7. Diferenciální rovnice - zákld. pojmy, dif. rov. 1. řádu, rovnice se seprovnými seprovtelnými proměnnými, lineární dif. rovnice. 8. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konst. koeficienty. 10. Nekonečné číselné řdy zákldní pojmy. 11. Konvergence divergence řd s kldnými liovolnými členy 12. Funkce dvou proměnných.