2.6. Limita funkce Nechť c R jevnitřnínebokrajníbod intervalu definičního oboru funkce f.(funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x blízkým bodu c, ale různýmod c, (tedy x (c d, c) (c, c+d)) přiřazuje funkce f obrazy f(x) blízké nějaké hodnotě L, nazýváme tuto hodnotu L itafunkce fvbodě c a značíme f(x)=l. Formální definice ity funkce: Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce f.bod L R nazývámeitoufunkce fvbodě c,pokudprovšechnyposloupnostiargumentů(x n ) obsaženévd(f) {c}platíimplikace x n c = f(x n ) L. 34
35 Jestliže f(x)=laljereálnéčíslo, říkáme,žefunkce fmávbodě cvlastníitu. Pokud f(x)=±,hovoříme o itě nevlastní. Můžesestát,žeitavbodě cneexistuje. Funkce fmávbodě cnejvýšejednuitu. Jestližebod cjereálnéčíslo,říkáme,žese jednáoituvevlastnímboděapro c=± hovoříme o itě v nevlastním bodě. Můžeme tedy rozlišit čtyři typy it(bod cjenaose x,ita Lnaose y): (1) vlastní ita ve vlastním bodě (c R, L R), (2) vlastní ita v nevlastním bodě (c=±, L R), (3) nevlastní ita ve vlastním bodě (c R, L=± ), (4) nevlastní ita v nevlastním bodě (c=±, L=± ).
36 Pokud se při vyšetřování ity ve vlastním bodě comezímejennaargumenty xmenšínež c,tj. x (c d, c),hovořímeoitězlevav bodě c a značíme f(x). Analogickyproargumenty x (c, c+d)jde oituzpravavbodě caznačíme f(x). + Limitazlevavbodě caitazpravavbodě c se nazývají jednostranné ity. Platí: Jestliže ve vlastním bodě c existují obě jednostrannéityarovnajíse L,pakvbodě c existuje ita L. f(x)= + f(x)=l f(x)=l Jestliže ve vlastním bodě c existují obě jednostrannéityajsourůzné,pakitavbodě cneexistuje. f(x) + f(x) f(x)neex.
Limity základních funkcí v krajních bodech D(f)určímezgrafů. 37 1 x 0 x 1 =, x 0 + x =, x ex =0, x ex =, x ax =0, x ax = pro a >1, x ax =, x ax =0 pro0<a<1, lnx=, lnx=, x 0 + x tg x=, x π 2 tg x=, x π 2+ cotg x=, tg x=, x 0 x 0 + x arctg x= π 2, x arctg x= π 2.
38 Věta(o itě aritmetických operací pro fce). (f(x) ± g(x))= f(x) ± (f(x) g(x))= f(x) g(x) = g(x), f(x) g(x), f(x) g(x), pokud výrazy na pravých stranách existují. Věta platí i pro jednostranné ity. Pokud některá z it f(x), g(x) neexistuje nebo nastane neurčitý výraz, nemůžeme větu o itě aritmetických operací bezprostředně použít.
39 Platí: Pro itu složené funkce f(g(x)) mějme itu vnitřní funkce g(x)=d. A)Pokudjevnějšífunkce fspojitávbodě d, potom f(g(x))=f(d). B)Pokudjebod g(x)=dkrajnímbodem otevřeného intervalu D(f), je ita složenéfcerovnaitěvnějšífunkce f vbodě d: f(g(x))= y d f(y).
40 2.5. Funkce a její vlastnosti Spojité funkce Pokudbod c D(f)jevnitřnínebokrajní bodnějakéhointervaluzd(f),funkce fsenazýváspojitávbodě c,pokud f(x)=f(c). Pokud f(x)=f(c),funkce f senazývázpravaspojitávbodě + c, pokud f(x)=f(c),funkce f senazývázlevaspojitávbodě c. Platí:Pokud cjevnitřnímbodem D(f),pak funkce fjespojitávc,právěkdyžjespojitá v czpravaizleva. Poznámka: V bodech spojitosti se ita rovnáfunkčníhodnotě.limituvbodě c,ve kterém je funkce spojitá, vypočítáme velmi snadnotak,žedosadíme x=c. Funkce je spojitá, jestliže navzájem blízkým vzorům(argumentům) přiřazuje navzájem blízké obrazy(funkční hodnoty).
41 Platí:Jestližefunkce fa gjsouspojitévbodě c,pakfunkce f+ g, f g, f.g, f g, f[g]jsou takéspojitévc. Řekneme, že funkce f je spojitá vmnožině M,jestližejespojitávevšechbodech této množiny. Platí: Elementární funkce jsou spojité v celém svém definičním oboru. 2.7. Výpočet it funkcí Při výpočtu ity elementární funkce zkusíme formálně dosadit x = c nebo vypočítáme itu člen po členu. Získáme-li hodnotu, která je definovaná, je to hledaná ita. Většinou dostaneme některý z neurčitých výrazů. Většinu neurčitých itních typů vypočítáme pomocí derivací(tzv. l Hospitalovo pravidlo vizkapitolaoderivacích).natyp a 0, a 0se ale l Hospitalovo pravidlo užít nesmí.
42 A.Neurčitýtyp a 0, a 0 Limity tohoto typu se mohou počítat pomocí jednostranných it. Vypočítáme itu zleva a itu zprava. Pokud jsou stejné, je stejná i výsledná ita. Pokud jsou jednostranné ity různé, hledaná ita neexistuje. B. Limity v nevlastních bodech c= nebo c= Vnevlastníchbodech c= nebo c= můžeme při výpočtu it funkce užít všechna pravidla pro výpočet it posloupností. Vbodě c= jetřebadátpozornaznaménko.
C. Limity exponenciálních funkcí s proměnným základem [f(x)] g(x) 43 Proneurčitýtyp 1 můžemeužítvzorce ( 1+ 1 x =e x ± x) ( 1+ a x=e x ± x) a, a R Případně tyto funkce převedeme na exponenciální funkci s konstantním základem e podlevzorce f g = e g ln f. D.Výpočetitvkrajníchbodech D(f) Pracujeme s elementárními funkcemi, které jsou spojité ve svém definičním oboru. V bodech spojitosti se ita rovná funkční hodnotě. Zajímavější je výpočet it v krajních bodech D(f),kdemůženastatněkterýzneurčitých itních typů.