soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá odmocnina o třetí odmocnina exponenciální funkce se základem e přirozený logaritmus exponenciální funkce se základem a o 0,1 o >1 goniometrické funkce sinx cosx tgx cotgx cyklometrické arcsinx arccosx arctgx arccotgx hyperbolické funkce sinhx coshx Pokyny k tisku: - je důležité tisknout oboustranně a ve správném pořadí! Jinak nebudou funkce a jejich grafy navazovat. varianta: soubor tisk vlastnosti zaškrtnout oboustranný tisk. Tiskárna sama vyzve k obrácení listů. varianta: soubor tisk tisknout: všechny stránky ve výběru liché stránky sudé stránky Poté ručně otočit listy a změnit na tisk všech sudých stránek.

5 2 Poznámky vyšetření průběhu funkce Určíme definiční obor Df Vyšetříme, zda je funkce sudá nebo lichá; pokud ano, stačí se při výpočtech omezit na polovinu definičního oboru Df. Vyšetříme, zda je funkce periodická; pokud ano, stačí se při výpočtech omezit na jednu základní periodu definičního oboru. Vypočítáme funkční hodnoty nebo ity funkce v krajních bodech intervalů definičního oboru Df; určíme svislé či vodorovné asymptoty grafu funkce.. Pokud je 0 Df, určíme průsečík s osou y: [0,f(0)]. Určíme průsečíky s osou x: [?,0] (řešíme rovnici f(x) = 0). Vypočítáme první derivaci f a určíme Df (je podmnožinou Df). Vypočítáme derivace (popřípadě jednostranné derivace) funkce f v bodech z Df \ Df. Určíme intervaly definičního oboru Df, ve kterých je funkce rostoucí či klesající (řešíme rovnici f (x) = 0). Určíme lokální extrémy (a některé inflexní body). 6. Zjistíme, zda funkce má šikmé asymptoty u (+ ) nebo u ( ). Vypočítáme druhou derivaci f a určíme Df. Určíme intervaly definičního oboru Df, ve kterých je funkce konvexní či konkávní (řešíme rovnici f (x) = 0). Určíme inflexní body a tečny v těchto bodech. GRAF FUNKCE 9. Určíme globální extrémy.

3 lineární funkce graf coshx f(x) = ax+b a R, b R D(f) = R je-li a = 0, je funkce f konstantní a sudá je-li b = 0, je funkce f lichá %0 0 >0 )*+, %0 0 )1. průsečíky s osami: s osou y 0,00, >0 s osou x,0! pro a " 0 derivace funkce f (x) = (ax+b) = a >0 #$ >0 je funkce rostoucí na '( %0 #$ %0 je funkce klesající na '( f (0) = 0 přímka y = 1 je vodorovnou tečnou grafu funkce v bodě 0,1

hyperbolický cosinus graf lineární fce 3 f(x) = coshx cosh(x) = 67 86 97 D(f) = R H(f) = 1, F F y = x+1 je sudá, není prostá *+, = *+, = y = 2 tg -1 - β f (x) = sinhx pro >0 je f x > 0, fce je rostoucí na 0, F F tg 5 3 pro %0 je f x%0, fce je klesající na, F 0 F y = - 3 x+3 f (x) = coshx pro ( je f x > 0, fce je konvexní na R grafem lineární funkce je přímka y = ax+b. číslo a je tzv. směrnice přímky, a = tg -.

5 mocninné funkce s přirozeným exponentem, sudým graf sinhx 2 f(x) = x n př: f(x) = x 2 nn, sudé D(f) = R je sudá, není prostá )+KL, ) = = f (x) = (x 2 ) = 2x, xr pro > 0 je f x > 0, funkce je rostoucí na 0 F, pro % 0 je f x % 0, funkce je klesající na F,0 0 protože f 0 0, přímka y 0 je tečna grafu funkce v bodě 0,0 f (x) = (2x) = 2, xr pro xr je f (x)>0, funkce je konvexní na R f (0) = 1 přímka y = x je tečnou grafu funkce v bodě 0,0

1 hyperbolický sinus graf x 2 6 f(x) = sinhx sinh(x) = 67 6 97 ) 1 D(f) = R H(f) = R je lichá, prostá +KL, = +KL, = f (x) = N$ $.1P $ $ * *+, pro R je f x > 0, fce je rostoucí na R grafem funkce je parabola y = x 2, vrchol paraboly je bod 0,0, parametr, ohnisko T,0!, řídící přímka U V:) U f (x) = sinhx, xr pro >0 je f x > 0, fce je konvexní na 0, F F pro %0 je f x % 0, fce je konkávní na, F 0 F ) U ) X ) bod 0,0 je inflexní bod

7 mocninné s přirozeným exponentem, lichým graf arccotgx 0 f(x) = x n př: f(x) = x 3 nn, liché D(f) = R je lichá, prostá )**Z[ \ 3 = 3 = f (x) = (x 3 ) = 3x 2, xr pro R je f x Y 0, funkce je rostoucí na R protože f 0 0, přímka y 0 je tečna grafu funkce v bodě 0,0 f (x) = (3x 2 ) = 6x, xr pro > 0 je f x > 0, fce je konvexní na 0 F, pro % 0 je f x % 0, fce je konkávní na, F 0

39 cyklometrické funkce, arccotgx graf x 3 8 f(x) = arccotgx funkce cotgx je prostá na intervalu0,\, existuje k ní inverzní funkce a nazýváme ji arkuskotangens, značíme arccotg ) 3 D(f) = R H(f) = 0,\ \ prostá arccotg(0) = ^ arccotg_ 3 a= 3 ^3 arccotg1= ^ U arccotg( 3) = c^d arccotg_ 3 a= ^ 3 3 arccotg( 3) = ^ d arccotg1= 3^U **Z[0 vodorovná asymptota u (+ ) y=0 **Z[\ vodorovná asymptota u (- ) y=\ grafem fce je tzv. kubická parabola ) 3 f (x) = (arccotgx) = -, xr 8 ] pro R je f x % 0, funkce je klesající na R f (x) = 8 ] ], xr pro >0 je f x > 0, funkce je konvexní na 0, F F pro %0 je f x % 0, funkce je konkávní na, F 0 F ) 3 ) c ) e

9 mocninné s celým záporným exponentem, sudým graf arctgx 38 f(x) = x -n = h n N, sudé př: f(x) = ] D(f) = R - f0g je sudá, není prostá ) 1 1 0 1 1 0 vodorovná asymptota u (+ ) y=0 vodorovná asymptota u (- ) y=0 )*Z[ 1 1 j 0 8 svislá asymptota x=0 f (x) = - i, xdf pro > 0 je f x % 0, funkce je klesající na 0 F, pro % 0 je f x > 0, funkce je rostoucí na F, F 0 f (x) = d, x Df k pro > 0 je f x > 0, funkce je konvexní na 0 F, pro % 0 je f x > 0, funkce je konvexní na F, F 0 f (0) = 1 přímka y = x je tečnou grafu funkce v bodě 0,0

37 cyklometrické funkce, arctgx graf 1/x 2 10 f(x) = arctgx funkce tgx je prostá na intervalu _^,^ a nazýváme ji arkustangens, značíme arctg a, existuje k ní inverzní funkce ) 1 D(f) = R H(f) = _^,^ a je lichá a prostá arctg(0) = 0 arctg_ 3 a=^ 3 d arctg1= ^ U arctg( 3) = ^ 3 arctg( 3) = ^ 3 arctg_ 3 a= ^ 3 d arctg1= ^ U *Z[\ 2 *Z[\ 2 vodorovná asymptota u + y = ^ vodorovná asymptota u y = - ^ ) 1 f (x) = (arctgx) = 8 ], xr pro R je f x > 0, fce je rostoucí na R ) 1 U ) 1 X f (x) = 8 ] ], xr pro >0 je f x % 0, fce je konkávní na 0, F F pro %0 je f x > 0, fce je konvexní na, F0 F

11 mocninné s celým záporným exponentem, lichým graf arccosx 36 f(x) = x -n = h nn, liché př: f(x) = D(f) = R - f0g je lichá, je prostá )**+ \ 1 1 0 1 1 0 1 j 9 1 0 1 j m 1 0 8 vodorovná asymptota u (+ ): y=0 vodorovná asymptota u (- ): y=0 oboustranná ita j neexistuj je svislá asymptota x= =0 f (x) = - ], xdf pro > 0 je f x % 0, fce je klesající na 0 F, pro % 0 je f x % 0, fce je klesající na F, F 0 funkce není klesající na sjednocení intervalů F, F 0 a 0 F, f (x) = i, xdf pro > 0 je f x > 0, fce je konvexní na 0 F, pro % 0 je f x % 0, fce je konkávní na F, F 0

35 cyklometrické funkce, arccosx graf 1/x 12 f(x) = arccosx funkce cosx je prostá na intervalu 0,\, existuje k ní inverzní funkce a nazýváme ji arkuskosinus, značíme arccos ) 1 D(f) = 1;1 H(f) = 0;\ prostá arccos(0) = ^ arccos_ 3 a= c^d arccos_ 3 a= ^ d arccos(1) = 0 arccos_ a= 3^U arccos_ a= ^ U arccos(-1) = \ arccos_ a= ^3 f (x) = (arctgx) =, x1,,1 ] pro 1,1 je f x % 0, fce je klesající na 1,1 derivace funkce v bodě -1 zprava: f -1 m rsstu rsstu derivace funkce v bodě 1 zleva: f - 1 9 rsstu rsstu L H L H arccos_ a= ^ 3 m _ ]a 9 _ ]a grafem funkce je rovnoosá hyperbola, velikost hlavní poloosy = velikost vedlejší poloosy = 2, hlavní osa y = x, vedlejší osa y = -x, excentricita e = 2, ohniska vw 2, 2x, Tw 2, 2x ) 1 ) 1 c ) 1 e

13 funkce druhá odmocnina graf arcsinx 3 f(x) = Základní kvadratická funkce g(x) = x 2 není prostá na Dg = R. ůžeme se ale omezit jen na část Df, např x 2 je prostá na intervalu 1,10, také na intervalu 0 F, F a na intervalu F,0 F. Uvažujeme funkci g(x) = x 2 na intervalu 0, F F. Na tomto intervalu je funkce g prostá, existuje k ní funkce inverzní a nazýváme ji druhá odmocnina, značíme f(x) = g -1 (x) =. ^ )*+KL ) D(f) = 0; F F funkce není sudá ani lichá bod w0, 0x = 0,0 je bod grafu f (x) = ( ) = ( y ]) = y ] pro x0, ^ derivace zprava v bodě 0: f +(0) = jm _ j j a = j m = pro x>0 je f (x)>0, funkce je rostoucí na 0, F f (x) = _ y ]a = _ a. i ] = U. i pro > 0 je f x % 0, fce je konkávní na 0 F,, x0, f (0) = 1 přímka y = x je tečna grafu funkce v bodě 0,0

33 cyklometrické funkce, arcsinx graf 1 f(x) = arcsinx funkce +KL je prostá na intervalu ^,^ ) ) existuje k ní inverzní funkce a nazýváme ji arkussinus, značíme *+KL D(f) = 1;1 Hf = ^,^ ] ) prostá, lichá arcsin(0) = 0 arcsin _ a = ^ d arcsin = ^ d graf prosté funkce a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky y = x arcsin(1) = ^ arcsin _ a = ^ U arcsin = ^ U arcsin(-1) = ^ arcsin _ 3 a = ^ 3 arcsin 3 = ^ 3 f (x) = (arcsinx) = ], x 1,1 ] ) pro 1,1 je f x > 0, fce je rostoucí na 1,1 derivace funkce v bodě -1 zprava: f -1 m rsuz{ rsuz{ L H m ] derivace funkce v bodě 1 zleva: f - 1 9 rsuz{ rsuz{ L H 9 ] grafem funkce druhá odmocnina je polovina paraboly

15 funkce třetí odmocnina graf cotgx 32 i f(x) = třetí odmocnina je funkce inverzní k funkci 3 na R D(f) = R lichá funkce 3\ 2 \ \ 2 \ 2 \ 3\ 2 i i i f (x) = ( ) = ( y i) = 3 ] i 3 i ], pro x(f0g derivace funkce v bodě 0 : 0 i j 0 0 1 i 1 j 0 8 0 protože 0, přímka 0 je tečna grafu funkce v bodě 0,0 funkce je rostoucí na R f (x) = _ 3 ] ia = 3 _a. 3 i =. i, x(f0g } ~ pro > 0 je f x % 0, fce je konkávní na 0 F, pro % 0 je f x > 0, fce je konvexní na F, F 0

31 funkce goniometrické, cotgx i graf 16 f(x) = cotgx ) 3 ) *Z[ *+ +KL D(f) = \, 1\ Hf= =( ; ) i ) funkce je lichá, periodická; základní perioda \ vyšetřujeme na intervalu 0,\ *Z[ ^ *Z[ j8 svislá asymptota \ oboustranná ita j *Z[ neexistuje *Z[ j svislá asymptota 0 graf prosté funkce a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky y = x f (x) = (cotgx) = uz{ ],Df = Df pro každé 0,\ je f (x) % 0, funkce je klesající na 0,\ i ) f (x) = (tgx) = stu uz{ i, Df = Df pro _0,^ a je f (x) > 0, funkce je konvexní na _0, F^ F pro _^,\a je f (x) %0, funkce je konkávní n na ^,FF \

17 exponenciální funkce se základem e graf tgx 30 f(x) = $ e je tzv. Eulerovo číslo ) e je iracionální číslo (nelze vyjádřit zlomkem) a je e = 2,7182818 (nemá ukončený periodický desetinný rozvoj) průsečík grafu s osou y je 0,$ j =0,1 D(f) =R funkce není ani sudá ani lichá, je prostá 3\ 2 \ \ 2 \ \ 3\ 2 2 $ 0 vodorovná asymptota u )0 $ f (x) = $ ( f (0) = 1, přímka y = x je tečna ke grafu fce v bodě 0,0 pro ( je f (x)>0, funkce $ je rostoucí na R f (x) = $ ( pro ( je f (x)>0, funkce $ je konvexní. 5\ 6 3\ 2\ 3 vzorce: $.$ $ 8 $ $. $ $ $

29 funkce goniometrické, tgx graf $ 18 f(x) = tgx Z[ +KL *+ D(f) = ^ \,^ \ Hf=( ; ) )$ funkce je lichá, periodická; základní perioda \ vyšetřujeme na intervalu _^,^ a e ^ m Z[ svislá asymptota ^ ^ 9 Z[ ^ m Z[ oboustranná ita Z[ neexistuje ] svislá asymptotaa ^ f (x) = (tgx) = stu ], Df = Df pro _^,^ a je f (x) > 0, funkce je rostoucí na _^,^ a f (x) = (tgx) = uz{ stu i, Df = Df pro _^,0a je f (x) % 0, funkce je konkávní na _^,F 0 F pro _0,^ a je f (x) >0, funkce je konvexní na 0, FF^ a

19 přirozený logaritmus graf cosx 28 f(x) = lnx funkce e x je funkce prostá, existuje k ní funkce inverzní logaritmus, logaritmus o základu e, značíme lnx a je to tzv. přirozený průsečík s osou x je 1, L1 = 1,0 bod $, L$$,1 je bod grafu D(f) =(0, ) 3\ 2 \ \ 2 \ 2 \ 3\ 2 funkce není ani sudá ani lichá, je prostá jm L svislá asymptota x = 0 f (0) = f (2\) = 0, přímka y = 1 je vodorovná tečna grafu fce v bodech 2 \,1 f (\) = 0, přímka y = -1 je vodorovná tečna grafu funkce v bodech \2 \,1 L f (x) = 0, pro >0 je f (x)>0, funkce lnx je rostoucí na 0, f (x) = ] ( pro >0 je f (x)%0, funkce lnx je konkávní. vzorce: pro >0, >0 ln. L L pro >0 "0 Lˆ. L pro >0,>0 ln _ a L L

27 funkce goniometrické, cosx graf lnx 20 f(x) = cosx Df = R Hf= 1;1 sudá, periodická; základní perioda 2π vyšetřujeme na 0,2\. průsečíky s osou x: ^,0!,0!,3^ e f (x) = (cosx) = -sinx, xr pro \,2\ je f x Y 0, fce je rostoucí na \,2\ pro 0,\ je f x 0, fce je klesající na 0,\ f (x) = -cosx, xr pro 0,^ a pro,2\ je f x 0 3^ intervalech 0,^ a,2\ konkávní 3^, funkce je na pro ^,3^ je f x Y 0, funkce je na ^,3^ konvexní

21 exponenciální se základem a 1, graf sinx 26 f(x) = a 1, př: f(x) = 2 ) každá exponenciální funkce je prostá, k funkci existuje inverzní funkce a je to logaritmus o základu a, značíme log každý logaritmus lze přepsat pomocí přirozeného logaritmu log = { >0,0,1 1, {, 3\ 2 \ \ 2 \ 2 \ 3\ 2 D(f) =R funkce není ani sudá ani lichá f (0) = 1, přímka y = x je tečna grafu funkce v bodě 0,0 2 0 vodorovná asymptota u )0 2 f (x) = (2 ) = 2. L2 ( pro ( je f (x)>0, funkce 2 je rostoucí na R 0 f (x) = (2 ) = 2. L2 pro ( je f (x)>0, funkce 2 je konvexní (

25 funkce goniometrické, sinx graf a x,a 1, 22 f(x) = sinx Df = R Hf= 1;1 )2 lichá, periodická; základní perioda 2π. průsečíky s osou x: \,0, f (x) = (sinx) = cosx, xr funkce je rostoucí na ^ 2 \,^ 2 \, klesající na ^ 2 \, k Z 2 \,3^ )2 )5 f (x) = sinx, xr )8 funkce je konvexní na \2 \,2 \ a konkávní na 2 \,\2 \, k Z body \,0 jsou inflexní body

23 exponenciální se základem 0,1 graf a x, a 0,1 2 f(x) = a 0,1 př: f(x) = _ a každá exponenciální funkce je prostá, k funkci existuje logaritmus o základu a, značíme log inverzní funkce a je to ) 1 2 každý logaritmus lze přepsat pomocí přirozeného logaritmu log = { >0,0,1 1, {, D(f) =R funkce není ani sudá ani lichá 1 2 _ a 0 vodorovná asymptota u )0 f (x) = (_ a ) = _ a L, ( pro ( je f (x)%0, funkce _ a je klesající na R ) 1 2 ) 1 5 ) 5 f (x) = (_ a ) = _ a._ L a,( pro ( je f (x)>0, funkce _ a je konvexní na R