SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1
Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO BODU K výpočtu rovinných prvoúhlých souřdnic jednoho bodu jsou nutné 2 měřené veličiny kterými mohou být úhel délk (rjón či rjón s orientcí n konci) dv úhly (protínání vpřed z úhlů protínání zpět) dvě délky (protínání z délek) nebo dv směrníky (protínání vpřed z orientovných směrů) Úhly mohou být měřeny n dných bodech (rjón protínání vpřed) nebo n určovném bodě (rjón s orientcí n konci protínání zpět) Geometricky se jedná o průsečíky orientovných polopřímek (úhly n dných bodech) kružnic (měřené délky nebo úhel n určovném bodě který leží n kružnici procházející 2 dnými body tedy obvodový úhel nd tětivou v kružnici je stálý) Konstrukce průsečíků je znázorněn v obr 1 kde černě jsou oznčeny body dné červeně body určovné úhly měřené n určovném bodě modře pk úhly měřené nebo směrníky vypočtené n dných bodech Úlohy lze řešit mtemticky (2 rovnice pro 2 neznámé) či geodeticky různými postupy Zde byly řešeny nejnázornějším způsobem to převodem n výpočet souřdnic x y určovného bodu rjóny 2
VÝPOČET SOUŘADNIC BODU RAJÓNEM Jsou dány dv body (P1 P2) v souřdnicích měřeny délk d13 úhel ω1 Určují se souřdnice bodu P3 Ze souřdnic dných bodů se nejprve vypočte směrník σ12 (obr 2): (viz přednášk č6) Součtem směrníku σ12 s úhlem ω1 se získá směrník α13 strny P1 P3 (obr 2): Souřdnicové rozdíly x13 y13 se vypočtou z rovnic (obr2): Souřdnice bodu P3 se potom určí ze vzthů: Tto úloh má vždy řešení Poznámk: Směrníky vypočtené ze souřdnic jsou oznčeny σij směrníky počítné s použitím měřených úhlů jsou oznčeny αij 3
VÝPOČET SOUŘADNIC BODU RAJÓNEM S ORIENTACÍ NA KONCI (RAJÓN ZPĚT) Jsou dány dv body (P1 P2) v souřdnicích měřeny délk d13 úhel ω3 n určovném bodě Určují se souřdnice bodu P3 Ze souřdnic dných bodů se opět nejprve vypočte směrník σ12 délk strny s12 (obr 3): (viz přednášk č6) Z trojúhelník P1 P2 P3 se sinovou větou určí úhel β (obr3): Dále se vypočte směrník α13 (obr3) ze vzthu: ( ) Výpočet souřdnicových rozdílů x13 y13 souřdnic x3 y3 je stejný jko u rjónu (str3) Úloh nemá řešení při úhlu = 100 gon (obr4) kdy střed kružnice opsné všem 3 bodům (stejné úhly nd tětivou P1 P2) leží n spojnici P1 s P3 kde bod P1 je středem kružnice o poloměru d tečny obou kružnic splývjí (průsečík obou tečen je neurčitý) Poznámk: Směrníky vypočtené ze souřdnic jsou oznčeny σij směrníky počítné s použitím měřených úhlů jsou oznčeny αij Délky vypočtené ze souřdnic jsou oznčeny s12 délky měřené jsou oznčeny d13 4
VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM VPŘED Z ÚHLŮ Jsou dány dv body (P1 P2) v souřdnicích měřeny úhly ω1 ω2 n dných bodech (obr5) Určují se souřdnice bodu P3 Ze souřdnic dných bodů se opět nejprve vypočte směrník σ12 délk strny s12 (obr 3): Z trojúhelník P1 P2 P3 se sinovými větmi určí délky s13 s23 (obr5): ( ) ( ) Výpočet souřdnicových rozdílů souřdnic určovného bodu P3 se provede převodem n výpočet 2 rjónů to jednk z bodu P1 pomocí směrníku α13 délky s13 kontrolně z bodu P2 pomocí směrníku α23 délky s23 (obr5) s použitím vzorců uvedených n str3 Jedná se pouze o kontrolu výpočtu nikoli o kontrolu měřených veličin tedy úhlů Úloh nemá řešení při velikosti úhlů 1 2 = 0 gon nebo 100 gon! 5
VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM VPŘED ZE SMĚRNÍKŮ Jsou dány 4 body (P1 P2 A B) v souřdnicích n bodech P1 P2 jsou měřeny úhly φ1 φ2 n body A B (obr5) nejčstěji trvle signlizovné (věže kostelů) Určují se souřdnice bodu P3 Úloh se používá není-li mezi body P1 P2 přímá viditelnost Ze souřdnic dných bodů se nejprve vypočtou směrníky σ12 σ1a σ2b délk strny s12 (obr 6): Potom se vypočítjí směrníky α13 α23 (obr6): Dále se z rozdílů směrníků určí vrcholové úhly 1 2 : Dlší výpočet je stejný jko v předchozím přípdě tedy při protínání vpřed z úhlů Sinovými větmi se určí délky s13 s23 vypočtou se souřdnicové rozdíly z bodů P1 P2 (početní kontrol) souřdnice určovného bodu P3 Úlohu lze řešit jko průsečík dvou přímek dných jedním bodem P 1 (respp2) směrnicí přímky tj směrníkem 13 = σ1a + φ1 ( 23 = σ2b + φ2) Neřešitelnost úlohy je obdobná jko v předchozím přípdě 6
VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM Z DÉLEK Jsou dány dv body (P 1 P 2 ) v souřdnicích měřeny délky d 13 d 23 z dných bodů n určovný bod P 3 (obr5) Ze souřdnic dných bodů se opět nejprve vypočte směrník σ 12 délk strny s 12 (obr 7): Kosinovou větou se určí jeden z vrcholových úhlů npř 3 : Dlší vrcholové úhly tj 1 2 se vypočtou sinovými větmi: Výpočet souřdnicových rozdílů souřdnic určovného bodu P 3 se opět provede převodem n výpočet 2 rjónů Úhel 1 lze vypočítt tké ze vzthu pro jeho poloviční hodnotu: ( ) ( ) ( ) kde s = ½(+b+c) = d 23 b = d 13 c = s 12 Úloh nemá řešení pltí-li d 13 + d 23 s 12 tedy pro úhly 1 2 = 0 gon nebo při d 13 d 23 >> s 12 tedy pro úhly 1 2 100 gon! 7
VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM ZPĚT Jsou dány 3 body (P 1 P 2 P 3 ) v souřdnicích měřeny úhly ω 1 ω 2 určovném bodě P 4 (obr8) n Úlohu lze řešit mnoh způsoby Řešení pomocným (Collinsovým) bodem převádí úlohu n výpočet rjónů Pomocný bod je průsečíkem přímky vedené z určovného bodu P 4 přes dný bod P 2 s kružnicí proloženou body P 1 P 3 P 4 (obr8) Ze souřdnic dných bodů P 1 P 3 se vypočte směrník σ 13 délk s 13 Protože úhly nd tětivou (P 1 C; resp P 3 C) v kružnici jsou stejné pltí že měřené úhly ω 1 ω 2 se ncházejí i při bodech P 3 (mezi směry n P 1 C) resp P 1 (mezi směry n C P 1 ) Protínáním vpřed z úhlů převedeným n výpočet dvou rjónů se určí souřdnice pomocného bodu C (viz předchozí odstvce) Z rozdílu směrníků σ C1 σ C2 σ C3 vypočtených ze souřdnic bodů C P 1 P 2 P 3 se vypočtou úhly φ ψ při bodu C Obdobnou úvhou jko v prvním přípdu jsou úhly nd tětivou (P 1 P 4 ; resp P 3 P 4 ) v kružnici stejné tedy pltí že úhly φ ψ se ncházejí i při bodech P 3 (mezi směry n P 1 P 4 ) resp P 1 (mezi směry n P 3 P 4 ) Protínáním vpřed z úhlů opět převedeným n výpočet dvou rjónů se vypočtou souřdnice určovného bodu P 4 Dvojí výpočet rjónů je opět pouze početní kontrolou Úloh nemá řešení leží-li všechny dné (P 1 ž P 3 ) i určovný (P 4 ) bod n jedné kružnici (dvě kružnice nd tětivmi (P 1 P 2 ) (P 2 P 3 ) obrázek č1 splynou v jednu tudíž se nemohou protnout) 8
TRANSFORMACE SOUŘADNIC Jsou dány dv body (A B) v souřdnicích x y (S-JTSK) dále v souřdnicích místní souřdnicové soustvy s k (stničení kolmice n měřické přímce s počátkem v bodě A poloosou +s vloženou do spojnice bodů A B) Úkolem je převod souřdnic podrobných bodů (v obr9 body 1 2) z místní souřdnicové soustvy s k do souřdnicové soustvy x y (S-JTSK) pomocí shodnostní trnsformce Při shodnostní trnsformci se předpokládá že délkový modul q který je definován jko poměr délek spojnic identických bodů A B (jsou dány jejich souřdnice v obou souřdnicových soustvách) je roven 1 Nejprve se vypočte ze souřdnic x y bodů A B směrník σ AB v S-JTSK (obr9) Trnsformční rovnice pro bod č1 (n kolmici vprvo ve směru rostoucího stničení) jsou následující (obr9): kde Potom pltí: Trnsformční rovnice pro bod vprvo n kolmici lze tedy uprvit n tvr: 9
Trnsformční rovnice pro bod č2 (n kolmici vlevo) jsou tyto (obr9): kde Potom pltí: Trnsformční rovnice pro bod vlevo n kolmici má po doszení tvr: Poznámk: Uvedené rovnice pltí pro kolmici vprvo k A1 uvžovnou s kldným znménkem pro kolmici vlevo k A2 se záporným znménkem (podle místní souřdnicové soustvy - obr9)! 10