SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

Podobné dokumenty
SYLABUS 9. PŘEDNÁŠKY Z INŢENÝRSKÉ GEODÉZIE

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 10 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 8 Z GEODÉZIE 1

Souřadnicové výpočty I.

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

Souřadnicové výpočty. Geodézie Přednáška

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Obsah rovinného obrazce

3. Souřadnicové výpočty

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

II. 5. Aplikace integrálního počtu

Matematické metody v kartografii

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Základní příklady. 18) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27.

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

9. Planimetrie 1 bod

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

SYLABUS 8. PŘEDNÁŠKY Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

Středová rovnice hyperboly

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

ČSGK Katastr nemovitostí aktuálně. novela vyhl. č. 31/1995 Sb., bod 10 přílohy Technické požadavky měření a výpočty bodů určovaných terestricky

3.1.3 Vzájemná poloha přímek

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 9 Z GEODÉZIE 1

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA GEODÉZIE A POZEMKOVÝCH ÚPRAV název předmětu

8 Mongeovo promítání

14. cvičení z Matematické analýzy 2

Trigonometrie - Sinová a kosinová věta

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

Hyperbola a přímka

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b b2 2.

x + F F x F (x, f(x)).

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

Stereometrie metrické vlastnosti 01

Variace Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Obvody a obsahy obrazců I

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

Lineární nerovnice a jejich soustavy

Výpočet obsahu rovinného obrazce

7.5.8 Středová rovnice elipsy

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Kuželosečky. ( a 0 i b 0 ) a Na obrázku 1 je zakreslena elipsa o poloosách 3 a 7. Pokud střed elipsy se posunul do bodu S x 0

Teorie sférické trigonometrie

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

Stereometrie metrické vlastnosti

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT listopad r r. . b = A

Test Zkušební přijímací zkoušky

11. cvičení z Matematické analýzy 2

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

RNDr. Zdeněk Horák IX.

14 Kuželosečky v základní poloze

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí

7.5.8 Středová rovnice elipsy

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44

Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků.

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

Transkript:

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1

Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO BODU K výpočtu rovinných prvoúhlých souřdnic jednoho bodu jsou nutné 2 měřené veličiny kterými mohou být úhel délk (rjón či rjón s orientcí n konci) dv úhly (protínání vpřed z úhlů protínání zpět) dvě délky (protínání z délek) nebo dv směrníky (protínání vpřed z orientovných směrů) Úhly mohou být měřeny n dných bodech (rjón protínání vpřed) nebo n určovném bodě (rjón s orientcí n konci protínání zpět) Geometricky se jedná o průsečíky orientovných polopřímek (úhly n dných bodech) kružnic (měřené délky nebo úhel n určovném bodě který leží n kružnici procházející 2 dnými body tedy obvodový úhel nd tětivou v kružnici je stálý) Konstrukce průsečíků je znázorněn v obr 1 kde černě jsou oznčeny body dné červeně body určovné úhly měřené n určovném bodě modře pk úhly měřené nebo směrníky vypočtené n dných bodech Úlohy lze řešit mtemticky (2 rovnice pro 2 neznámé) či geodeticky různými postupy Zde byly řešeny nejnázornějším způsobem to převodem n výpočet souřdnic x y určovného bodu rjóny 2

VÝPOČET SOUŘADNIC BODU RAJÓNEM Jsou dány dv body (P1 P2) v souřdnicích měřeny délk d13 úhel ω1 Určují se souřdnice bodu P3 Ze souřdnic dných bodů se nejprve vypočte směrník σ12 (obr 2): (viz přednášk č6) Součtem směrníku σ12 s úhlem ω1 se získá směrník α13 strny P1 P3 (obr 2): Souřdnicové rozdíly x13 y13 se vypočtou z rovnic (obr2): Souřdnice bodu P3 se potom určí ze vzthů: Tto úloh má vždy řešení Poznámk: Směrníky vypočtené ze souřdnic jsou oznčeny σij směrníky počítné s použitím měřených úhlů jsou oznčeny αij 3

VÝPOČET SOUŘADNIC BODU RAJÓNEM S ORIENTACÍ NA KONCI (RAJÓN ZPĚT) Jsou dány dv body (P1 P2) v souřdnicích měřeny délk d13 úhel ω3 n určovném bodě Určují se souřdnice bodu P3 Ze souřdnic dných bodů se opět nejprve vypočte směrník σ12 délk strny s12 (obr 3): (viz přednášk č6) Z trojúhelník P1 P2 P3 se sinovou větou určí úhel β (obr3): Dále se vypočte směrník α13 (obr3) ze vzthu: ( ) Výpočet souřdnicových rozdílů x13 y13 souřdnic x3 y3 je stejný jko u rjónu (str3) Úloh nemá řešení při úhlu = 100 gon (obr4) kdy střed kružnice opsné všem 3 bodům (stejné úhly nd tětivou P1 P2) leží n spojnici P1 s P3 kde bod P1 je středem kružnice o poloměru d tečny obou kružnic splývjí (průsečík obou tečen je neurčitý) Poznámk: Směrníky vypočtené ze souřdnic jsou oznčeny σij směrníky počítné s použitím měřených úhlů jsou oznčeny αij Délky vypočtené ze souřdnic jsou oznčeny s12 délky měřené jsou oznčeny d13 4

VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM VPŘED Z ÚHLŮ Jsou dány dv body (P1 P2) v souřdnicích měřeny úhly ω1 ω2 n dných bodech (obr5) Určují se souřdnice bodu P3 Ze souřdnic dných bodů se opět nejprve vypočte směrník σ12 délk strny s12 (obr 3): Z trojúhelník P1 P2 P3 se sinovými větmi určí délky s13 s23 (obr5): ( ) ( ) Výpočet souřdnicových rozdílů souřdnic určovného bodu P3 se provede převodem n výpočet 2 rjónů to jednk z bodu P1 pomocí směrníku α13 délky s13 kontrolně z bodu P2 pomocí směrníku α23 délky s23 (obr5) s použitím vzorců uvedených n str3 Jedná se pouze o kontrolu výpočtu nikoli o kontrolu měřených veličin tedy úhlů Úloh nemá řešení při velikosti úhlů 1 2 = 0 gon nebo 100 gon! 5

VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM VPŘED ZE SMĚRNÍKŮ Jsou dány 4 body (P1 P2 A B) v souřdnicích n bodech P1 P2 jsou měřeny úhly φ1 φ2 n body A B (obr5) nejčstěji trvle signlizovné (věže kostelů) Určují se souřdnice bodu P3 Úloh se používá není-li mezi body P1 P2 přímá viditelnost Ze souřdnic dných bodů se nejprve vypočtou směrníky σ12 σ1a σ2b délk strny s12 (obr 6): Potom se vypočítjí směrníky α13 α23 (obr6): Dále se z rozdílů směrníků určí vrcholové úhly 1 2 : Dlší výpočet je stejný jko v předchozím přípdě tedy při protínání vpřed z úhlů Sinovými větmi se určí délky s13 s23 vypočtou se souřdnicové rozdíly z bodů P1 P2 (početní kontrol) souřdnice určovného bodu P3 Úlohu lze řešit jko průsečík dvou přímek dných jedním bodem P 1 (respp2) směrnicí přímky tj směrníkem 13 = σ1a + φ1 ( 23 = σ2b + φ2) Neřešitelnost úlohy je obdobná jko v předchozím přípdě 6

VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM Z DÉLEK Jsou dány dv body (P 1 P 2 ) v souřdnicích měřeny délky d 13 d 23 z dných bodů n určovný bod P 3 (obr5) Ze souřdnic dných bodů se opět nejprve vypočte směrník σ 12 délk strny s 12 (obr 7): Kosinovou větou se určí jeden z vrcholových úhlů npř 3 : Dlší vrcholové úhly tj 1 2 se vypočtou sinovými větmi: Výpočet souřdnicových rozdílů souřdnic určovného bodu P 3 se opět provede převodem n výpočet 2 rjónů Úhel 1 lze vypočítt tké ze vzthu pro jeho poloviční hodnotu: ( ) ( ) ( ) kde s = ½(+b+c) = d 23 b = d 13 c = s 12 Úloh nemá řešení pltí-li d 13 + d 23 s 12 tedy pro úhly 1 2 = 0 gon nebo při d 13 d 23 >> s 12 tedy pro úhly 1 2 100 gon! 7

VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM ZPĚT Jsou dány 3 body (P 1 P 2 P 3 ) v souřdnicích měřeny úhly ω 1 ω 2 určovném bodě P 4 (obr8) n Úlohu lze řešit mnoh způsoby Řešení pomocným (Collinsovým) bodem převádí úlohu n výpočet rjónů Pomocný bod je průsečíkem přímky vedené z určovného bodu P 4 přes dný bod P 2 s kružnicí proloženou body P 1 P 3 P 4 (obr8) Ze souřdnic dných bodů P 1 P 3 se vypočte směrník σ 13 délk s 13 Protože úhly nd tětivou (P 1 C; resp P 3 C) v kružnici jsou stejné pltí že měřené úhly ω 1 ω 2 se ncházejí i při bodech P 3 (mezi směry n P 1 C) resp P 1 (mezi směry n C P 1 ) Protínáním vpřed z úhlů převedeným n výpočet dvou rjónů se určí souřdnice pomocného bodu C (viz předchozí odstvce) Z rozdílu směrníků σ C1 σ C2 σ C3 vypočtených ze souřdnic bodů C P 1 P 2 P 3 se vypočtou úhly φ ψ při bodu C Obdobnou úvhou jko v prvním přípdu jsou úhly nd tětivou (P 1 P 4 ; resp P 3 P 4 ) v kružnici stejné tedy pltí že úhly φ ψ se ncházejí i při bodech P 3 (mezi směry n P 1 P 4 ) resp P 1 (mezi směry n P 3 P 4 ) Protínáním vpřed z úhlů opět převedeným n výpočet dvou rjónů se vypočtou souřdnice určovného bodu P 4 Dvojí výpočet rjónů je opět pouze početní kontrolou Úloh nemá řešení leží-li všechny dné (P 1 ž P 3 ) i určovný (P 4 ) bod n jedné kružnici (dvě kružnice nd tětivmi (P 1 P 2 ) (P 2 P 3 ) obrázek č1 splynou v jednu tudíž se nemohou protnout) 8

TRANSFORMACE SOUŘADNIC Jsou dány dv body (A B) v souřdnicích x y (S-JTSK) dále v souřdnicích místní souřdnicové soustvy s k (stničení kolmice n měřické přímce s počátkem v bodě A poloosou +s vloženou do spojnice bodů A B) Úkolem je převod souřdnic podrobných bodů (v obr9 body 1 2) z místní souřdnicové soustvy s k do souřdnicové soustvy x y (S-JTSK) pomocí shodnostní trnsformce Při shodnostní trnsformci se předpokládá že délkový modul q který je definován jko poměr délek spojnic identických bodů A B (jsou dány jejich souřdnice v obou souřdnicových soustvách) je roven 1 Nejprve se vypočte ze souřdnic x y bodů A B směrník σ AB v S-JTSK (obr9) Trnsformční rovnice pro bod č1 (n kolmici vprvo ve směru rostoucího stničení) jsou následující (obr9): kde Potom pltí: Trnsformční rovnice pro bod vprvo n kolmici lze tedy uprvit n tvr: 9

Trnsformční rovnice pro bod č2 (n kolmici vlevo) jsou tyto (obr9): kde Potom pltí: Trnsformční rovnice pro bod vlevo n kolmici má po doszení tvr: Poznámk: Uvedené rovnice pltí pro kolmici vprvo k A1 uvžovnou s kldným znménkem pro kolmici vlevo k A2 se záporným znménkem (podle místní souřdnicové soustvy - obr9)! 10