E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E : +,, } ( ( + ( + d d d ( ( + ( + d d [ + + + [ + + 9 + 8 Příkld. I Řešení : I d e d (9. d. ( [ ( + + d d ( ( + + + d d ( + 9 +9 + 8 d ( + d d d; {[,, E :, e, } [ ( + d [ e ln [ ( + ponámk: Je-li funkce tpu f(,, g ( g ( g ( množin D je kvádr D, b c, d r, s, pk b d s f(,, d d d g ( d g ( d g ( d. D Příkld.* I sin ddd; { [,, E : sin, sin, } Řešení : I / ( sin ( sin sin d d d 8 c / r ( sin [ sin sin d d
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( / ( sin sin d d / [ sin (podle llisov formule vi př. 8 8 9 7. sin d 8 / d d d Příkld. Vpočítejte, kde je čtřstěn omeený rovinmi ( + + +,,,. Řešení : Obecnou rovnici rovin npíšeme v knonickém tvru + + I ( ( ( ( + d d d d d + ( ( (7 + ( [ d ( (7 ( d [ 7 ln 7 Příkld. Vpočítejte sin 9 d [ ( + ( + (7 d (7 d + ln 7 d d d + ln 7. cos( + d d d, kde množin je omeená plochmi,,,+. Řešení : I / / ( ( cos(+ d d d ( (sin sin d d 9 / / ( ( [ sin(+ ( sin d d d d
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( / u, u, [ ( sin v sin v cos d / ( sin d [ cos +sin / [ /. / sin d Vpočítejte integrál n množinách,které jsou omeen dnými plochmi: 7. 8. 9... ( + + d d d, :,,,, ddd, :,,,, + d d d, :,,, [ + ( + d d d, :,,,,, d d d, :,,,+, + + [ [ [ [ 7 III.. Substituční metod pro trojný integrál Spočítejte integrál substitucí do clindrických souřdnic : r cos ϕ r sin ϕ r w J r>; ϕ< ; r + r r ϕ ϕ ϕ w w w r Příkld. Řešení : ( + d d d, {[,, E : +,, ( >} je část vnitřku rotčního prboloidu : + r w r w, : + r, r, ϕ. ( + d d d ( ( r r rdw dr dϕ ( r [w r dr dϕ 7
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( dϕ ( r r dr [ r r (. Vtomtopříkldějsmemohlipostupovtibepoužitíclindrických souřdnic. Mohli + jsme vjádřit přímo : potomvítvúvhuprůměttěles do rovin (, což je ře těles rovinou tj. + použítpolární souřdnice pro dvojný integrál. Ted ( ( + d d d ( + d d d + [ ( + + r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r Příkld. Řešení : + d d + d d d, + + ( + ( + r ( r rdrdϕ. {[,, E : + } d d + je rovnice rotční kuželové ploch s vrcholem vpočátku; je rovnice rotčního prboloidu. Obě ploch mjí společnou osu rotce, protoseprotínjí vkružnici,jejížpoloměrdostnemeesoustv: { +, Ted., +, ( (+. Úloe vhovuje řešení +. Použijeme clindrické souřdnice určíme příslušné mee : ( + d d d r ( r r dr dϕ ( ( r [ r r r r { r w r r ϕ r rdw dr dϕ (. Spočítejte integrál substitucí do sférických souřdnic : r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ r r>; ϕ< ; J <ϑ< ; r + + r ; r ϕ ϕ ϕ ϑ ϑ ϑ r cos ϑ 7
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Příkld. + + d d d, {[,, E : + + 9,, } Řešení : / / ( ( / + + d d d r r cos ϑdr dϕ dϑ 8 8. Příkld. ( + d d d, Řešení : / / ( ( cos ϑdϑ Příkld. r ϕ ϑ / / cos ϑdϑ / dϕ {[,, E : + + 9,, } ( + d d d r dr r + r cos ϑ ϕ d d d Jdrdϕdϑ ϑ J r cos ϑ r cos ϑ r cos ϑdr dϕ dϑ cos ϑdϑ dϕ / [ r 8. d d d, { } [,, E : + +,,, 9 Řešení : Použijeme obecněné sférické souřdnice. 7 d d d r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ r ϕ ϑ r dr
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( [ r 7 ( ( [ sin ϕ r sin ϕ cos ϕ cos ϑ r cos ϑdr dϕ dϑ [. Příkld 7. Vpočítejte integrál d d d, {[,, E :,,, + b + c } Řešení : Použijeme obecněné sférické souřdnice : } r cos ϕ cos ϑ br sin ϕ cos ϑ cr sin ϑ d d d sin ϑ cos ϑdϑ J bcr cos ϑ, r ϕ ϑ ( ( c r sin ϑ bcr cos ϑdr dϕ dϑ dϕ r dr bc [ sin ϑ [ r bc 8. Vpočítejte integrál : 8. 9... d d d, + + {[,, E : + +,, } ddd, {[,, E :,, } ( + d d d, {[,, E : + + 9 + + + d d d, + + {[,, E : + +,,, }. ( + + d d d, {[,, E : +, }. d d d, [ ( 9 +ln [ } [ {[,, E : +,, } (Návod : clindrické souř. r cos ϕ, w, r sin ϕ [ (8 [ [ 7
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Aplikce trojných integrálů Příkld. Užitímvorceprovýpočetobjemutělespomocítrojného integrálu (tj. V d d d ukžte,žeobjemtělest {[,, T E : [, B E, f(, } pod grfem funkce f(,, která je spojitá n B, B je měřitelná množin v E, le spočítt pomocí dvojného integrálu f(, d d. Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrce vhledem k rovině (, proto le přímo plikovt Fubiniovu větu pro trojný integrál. ( f(, d d d Fubini [ f(, d d d d d f(, d d T B ponámk : Vhledem k lineritě integrálu le tento postup obecnit pro těles,která jsou (ve směru os omeen shor i dol ve smslu f (, f (,. Idele ( přímo plikovt Fubiniovu větu, níž dostáváme V f (, f (, d d. Vpočítejte objem těles omeeného plochmi : B B B B Příkld. + +,,,, Řešení : je část trojbokého hrnolu se ákldnou v rovině. Hrnol je shor omeený rotčním prboloidem s vrcholem [,,. B V ( d d d ( + + : + + d d d ( [ + + d ( ( + [ ( + + 8 ( B (, d d ( + +d d ( +( d 7
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Příkld. ( +, ( + Řešení : : ( + -rovniceprboloidu ( + -rovnicekuželovéploch ( + ( + V d d d (použijeme clindrické souřdnice r cos ϕ ( + + r w r r sin ϕ r r ϕ w r r J r ( ( r rdw r [ r r dr dϕ Příkld 7., ( [ r r w r dϕ dϕ r r(r r dr Řešení : Ploch je eliptickým prboloidem s vrcholem v bodě [,,. ( V d d d d d d ( d d + r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r ( + ( r r dr dϕ [ r r Příkld 8. +, + Řešení : Ploch je ohrničen rotčním prboloidem s vrcholem v počátku souřdnic rovinou,kteráprocháípočátkem. + + V d d d + + {[, E : + + } + + ( + + d d d 7
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( + + ( + d d [, + ( ( ( + + ( + + r cos ϕ r + r sin ϕ ϕ J r ( / ( r rdr dϕ [ r r / ( 8 Příkld 9. Určete hmotnost koule, jestliže hustot ϱ(,, je rovn čtverci vdálenosti od středu koule. Řešení : Zvolíme počátek soustv souřdnic ve středu koule. Pk koule je popsán nerovnicí + + hustotϱ(,, + +. m ϱ(,, d d d ( + + d d d r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ ( ( r ϕ ϑ ( ( [ r cos ϑdr dϑ dϕ sin ϑ r r cos ϑdr dϑ dϕ [ r Příkld 7. Určete hmotnost -ovou souřdnici těžiště těles omeeného rovinmi,,,+ +, je-li hustot ϱ(,,. Řešení : Hmotnost těles při ϱ se číselně rovná objemu. Těleso je čtřstěn jeho objem je roven objemu krchle o hrně. m V ϱ T M m, M ϱ(,, d d d ( ( d d d 7 ddd ( ( d d
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( [( d ( + d [ (( + ( d, T ( d Příkld 7. Určete těžiště těles omeeného plochmi +,, je-li hustot ϱ(,, k. Řešení : Těleso je rotční porboloid, ted je smetrické vhledem k ose, protojeho těžiště je n -ové ose, tj. T T. Těžiště T [,, T, kde T M m, m ( kddd kd d d + k + k M ( d d + r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r ( ( r rdr dϕ k [r r k. ( ϱdd d k d d d 8 [ + k, T,, + Příkld 7. Určete těžiště těles {[,, E : + +, }, ϱ. Řešení : Těleso je homogenní polokoule se středem v počátku [,,, poloměrem je nd půdorsnou. Těžišě leží n ose. r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ r dr r ϕ ϑ T [,, T, kde T M m, V, m V ϱ, M ddd dϕ sin ϑ cos ϑdϑ ( ( [ r [ ϕ r sin ϑ r cos ϑdr dϕ dϑ [ sin ϑ, T [,, 8 Příkld 7. Určete těžiště kužele se ákldnou + vrcholem v bodě [,,, je-li hustot ϱ(,, k. Řešení : Uvžovný kužel je rotční, os je jeho osou rotce. Meridiánem tohoto 77
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( rotčního kužele je část přímk +. Potom rovnice kuželové ploch je + T [,, T, kde T M m, m V ϱ k k. M ϱ(,, d d d kddd ( + [ + M k d d d k d d + + k ( r cos ϕ ϕ + d d r sin ϕ r k + J r ( r rdrdϕ k (r 8r + r dr k [8r 8 r + r k, T [,, Příkld 7. Určete moment setrvčnosti vhledem k bodu [,, těles { + [,, E ; }, ϱ(,, k. + Řešení : + rovnice prboloidu + + rovnice kulové ploch Ploch mjí společnou osu rotce. Bod průniku leží v rovině kolmé n osu. Rovnici rovin dostneme vřešením soustv: + + + + ( +( k k r cos ϕ r sin ϕ w J r Průnikem je kružnice + vrovině. J ( + + ϱ(,, d d d r w r r r r ( r r +r (r (r + r r, ϕ ( ( r (r + w rdw dr dϕ k r (r r + r ( r r r r7 78 dr k [r w + r w [ r r r r8 8 dr +
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( +k k (r r + ( r r dr k 8 r (+ r ( r dr 8 r t r t rdr dt r t k k t (+ ( t dt ( k + k t t t dt k + k [ t / ( 8 k 97 t/ ( k + k 9 +, k Příkld 7. Určete moment setrvčnosti vhledem k ose homogenního těles, {[,, E ; + }. Řešení : Homogenní kužel má konstntní hustotu, ončíme ji ϱ(,, k J ( + ϱ(,, d d d ( k ( + d d k k + + ( + ( + d d + d r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r ( r ( rrdr dϕ k [ r r ( k 8 k Příkld 7. Určete sttický moment M (vhledem k rovině ( těles omeeného rovinmi,,,+, h, ( >,h>, je-li hustot ϱ(,, konstntní. Řešení : Těleso je trojboký hrnol s podstvou v rovině (,. M ϱddd k ddd : h h k kh ( h( d d d k ( h ( d d k h [ Příkld 77. Určete moment setrvčnosti J (vhledem k rovině ( těles, {[,, E ; +, }, ϱ k. 79
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Řešení : Těleso je rotční válec s osou rovnoběžnou s osou. ( J ϱ(,, d d d k d d d k ( + [ d d k ( + ( + d d k k Příkld 78. Vpočítejte integrál stnovte jeho možný fikální výnm: I + + d d d, {[,, E : +, }. Řešení : : + (rotční kuželová ploch + + (kulová ploch I [ r / ( ( [ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ r r cos ϑdr dϕ dϑ ( r dr r ϕ ( ϑ cos ϑdϑ Výnm : I je celková hmot těles při hustotě ϱ(,, + +, I je sttický moment těles vhledem k bodu [,, při hustotě ϱ(,,. dϕ Příkld 79. Vpočítejte hmotnost kužele s vrcholem v počátku, s poloměrem podstv výškou h. Hustot se lineárně mění vávislostinvdálenostibodutělesodpodstv.vevrcholu je ϱ(,, ϱ(,, vkždémboděpodstv. Řešení : Zvolíme soustvu souřdnic s počátkem ve vrcholu kužele, os bude osou rotce, meridiánem bude část přímk,,. Kuželová ploch bude mít rovnici +. Uvžovné těleso píšeme pomocí nerovnic. : + + 8
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Pro hustotu pltí : ϱ( k ( +k : ϱ( k + k ϱ( k k ϱ(,, ( + + m ϱ(,, d d d ( +d d d ( [ ( +d d d + + d d + + + ( + ( 8( + + d d r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r [ ( 8r r rdϕ dr r r ( r Je dán množin D v E funkce f(,,. Nčrtněte množinu D jejíprůmětd do rovin. b Ověřte předpokld pro použití Fubiniov vět vpočítejte trojný integrál f(,, d d d. D c Uved te příkld možného fikálního výnmu dného integrálu. Uved te, d se jedná o hmotnost (při jké hustotě, sttický momentčimoment setrvčnosti (při jké hustotě vhledem k jkému bodu, přímce nebo rovině. 8. D {[,, E :,, }, f(,, b c m, ϱ J, ϱ 8. D {[,, E :,, },f(,, 8. D {[,, E :, }, f(,, b c m, ϱ M, ϱ M, ϱ b c m, ϱ M, ϱ J, ϱ 8
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( 8. D {[,, E :,, }, f(,, ( + 8. D {[,, E : + 9,,}, f(,, +, b 7 c m, ϱ ( + M, ϱ + J,ϱ [ b c m, ϱ + 8. D : + + R,, (, f(,,, R je kldná konsttnt b R c M, ϱ, nevjdřuje hmotnost protože ϱ Je dáno těleso D E omeené plochmi : Nčrtněte těleso D jehoprůmětd do rovin. b Množinu D vjádřete ve tvru elementárního oboru integrce v souř d n i c í c h, ve kterých budete objem počítt. c Vpočítejte objem tohoto těles. 8. D : +,,,, 87. D :,,,, + 88. D: +,, b c b + c 8 b r ϕ w r cos ϕ c 8
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( 89. D : + 9,, b w r ϕ c8 9. D :,, + b r ϕ w r cos ϕ c 9. D :, b r ϕ w r c Vpočítejte objem V těles E : 9. :,+,ln, ln [e 8 9. : +,8 [8 9. : +, + + 9. : + +, + b, b 9. :( + +,,, 97. :+ +,, [ [ ( ( b [ ( Je dáno těleso D E omeené plochmi : Nčrtněte těleso D jehoprůmětd do rovin. b Při vhodné substituci vjádřete D jko elementární obor v trnsformovných souřdnicích. c Vpočítejte hmotnost těles, je-li dán hustot ϱ(,,. [ 98. D : +,,,, (, ϱ(,, b r ϕ w c 8
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( 99. D : +,, ϱ(,,. D : +,, ϱ(,, +. D : + +,, +, ϱ(,, k b r ϕ r w c b r ϕ r w b 8 b r, ϕ, w r, +r ck. D {[,, E ; + + 9, }, ϱ(,, + +, b r, ϕ, ψ, c Je dáno těleso D E. Nčrtněte těleso D jehoprůmětd do rovin. b Vpočítejte objem těles D. c Vpočítejte hmotnost těles D, je-li dán hustot ϱ(,,.. D {[,, E ;,, },ϱ(,, +.. D :,,+,,, ϱ(,, b V c m 9 9 b V c m 8
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II (. D {[,, E ; + 9}, ϱ(,, +.. D {[,, E ; + }, ϱ(,, +, b V 8 c m 7. D : +,, + +, ϱ(,, b V c m 8 8. D :,,,, ϱ(,, b V 7 c m 9 b V c m 7 9. D {[,, E ; + +, + 9}, ϱ(,, k b V ( 7 7 c m k( 7 7. D : + b +, ϱ(,, c [ b V bc c m bc Určete hmotnost m těles E :. {[,, E ;, b, c}, ϱ(,, + +. [ bc ( + b + c 8
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II (. {[,, E ;,, +, }, ϱ(,, [. {[,, E ; + + 9, }, ϱ(,, + +. je koule o poloměru, jestližehustotjerovnčtvercivdálenostiodprůmě r u. (Zvolte kouli se středem v počátku souřdnic průměr ležící n ose.. je omeené plochmi o rovnicích:, + +,,, je-li ϱ(,,. [8 [ 8. je omeené plochmi o rovnicích : + +,, +, je-li ϱ(,, ( +. [ [ 9 Určete těžiště T těles E omeeného plochmi : 7. :, +,+,,,ϱ(,, k 8. : +, + +,, ϱ(,, k [ [ T,, [ [ T,, 9. : + b + c,,,(vprvnímoktntu,ϱ(,, k [ T [ 8, b 8, c 8 Určete moment setrvčnosti těles E :. : +, + vhledem k osám souřdnic, je-li ϱ(,,. [J 7, J J,. : + +, +, ( vhledem k ose, je-liϱ(,,. [ J (. rotčníhoválcespoloměrempodstv výškoub vhledem k přímce p, která se dotýká pláště válce je rovnoběžná s osou rotce. [ (Zvolte válec ( +, b, přímk p pk bude os. b. {[,, E ; + }, vhledemkose, je-lihustot ϱ(,, k [ J 7 ϱ 8