2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005
Opakování Část I Přehled z minulé hodiny
Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače DNA počítače Hledání silnějšího výpočetního modelu než Turingův stroj poražení Silné Churchovi teze: Problém je řešitelný v polynomiálním čase, právě tehdy když je v polynomiálním čase řešitelný na TM. "Známé" modely: Kvantové počítače DNA počítače
Kvantové počítače Opakování Kvantové počítače DNA počítače Založeno na kvantové mechanice Aplikace Rychlejší algoritmy Generování náhodných čísel Kvantová distribuce klíčů Fyzická realizace NMR Cavity QED Ion trap
DNA počítače Opakování Kvantové počítače DNA počítače Založeno na "puzzle" párování nukleotidů T, C, G, A Aplikace experimenty s problémem obchodního cestujícího (NPC problém) Fyzická realizace Nukleotidová polévka s míchačem a dodávkami cukru
Stavový prostor Část II Dnešní přednáška
Co je to qubit? Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Kvantový bit - qubit Obecný tvar: φ = α 0 + β 1 Qubit žije v Hilbertově prostoru H 2. B = { 0, 1 } tvoří bázi prostoru. Evoluce kvantového systému je unitární. Měření způsobuje kolaps qubitu na jeden z bázových vektorů. α a β jsou komplexní amplitudy.
Stavový prostor Notační zápis podle Diraca Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor φ - sloupcový vektor (nazývaný ket), φ = (x 1, x 2,... ) T φ - řádkový vektor (nazývaný bra), φ = ( φ ) φ ψ - vnitřní součin φ ψ - tensorový součin φ - norma
Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Vektorový prostor V nad tělesem F Množinu V nazveme vektorovým prostorem nad tělesem F máme definované operace + : V V V (vektorové sčítání) a : F V V (skalární násobení) a platí: 1 (V, +) je komutativní grupa. 2 α φ = φ α 3 α(β φ ) = (αβ) φ 4 (α + β) φ = α φ + β φ 5 α( φ + ψ ) = α φ + α ψ
Vnitřní součin Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Necht je V komplexní vektorový prostor. Funkci : V V C nazveme vnitřní součin, právě tehdy když 1 φ φ R, φ φ 0, φ φ = 0 φ = 0 2 φ ψ = ψ φ 3 φ ( ψ + λ ) = φ ψ + φ λ 4 φ αψ = α φ ψ 5 αφ ψ = α φ ψ
Hilbertův prostor Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Hilberův prostor je úplný komplexní vektorový prostor H s vnitřním součinem a definovanou normou φ = φ φ Normalizovaný (jednotkový) vektor φ φ = 1 Ortonormální systém B = { b 1, b 2,... } tvoří bázi prostoru H, právě tehdy když pro všechny vektory φ můžeme psát φ = λ i b i i Ortonormální bázové vektory - normalizované bázové vektory
Stavový prostor Vlastnosti Hilbertova prostoru Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Hilbertův prostor je H je isomorfní k tělesu C n. Zápis ket a bra vektorů umožňuje vnitřní součin vyjádřit jako běžné násobení matic. Pokud H 1 a H 2 jsou Hilbertovy prostory, pak tensorový součin H = H 1 H 2 = c ij i, j : c ij C j B 2 i B 1 je také Hilbertův prostor s bází B = B 1 B 2. dim H = dim H 1 dim H 2
Příklady bází Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Standardní báze: Duální báze: 0 = ( 1 0 ) ( ) 0, 1 = 1 ( ) α β φ = α 0 + β 1 = 0 = ( 1 1 ) (, 1 1 = 1 0 = 1 2 ( 0 + 1 ) 1 = 1 2 ( 0 1 ) )
Stavový prostor Necht je V vektorový prostor. Funkci (operátor) A : V V nazveme lineární právě tehdy když platí A (λ φ + µ ψ ) = λa φ + µa ψ Operátor A zapisujeme jako čtvercovou matici n n. a 0,0... a 0,n 1 A =.. a n 1,0... a n 1,n 1
Stavový prostor Operátor A můžeme také napsat jako A = i,j a ij i j i, j odpovídají standardním bázovým vektorům. Pro matici 2 2 dostaneme: ( ) a0,0 a 0,1 = a a 1,0 a 0,0 0 0 + a 0,1 0 1 + a 1,0 1 0 + a 1,1 1 1 1,1 Pro prvky matice a ij můžeme psát a ij = i A j
Stavový prostor Důležité druhy operátorů Sdružený operátor Operátor A = ( A T ) = i,j a ji i j nazveme sdruženým operátorem k operátoru A. Operátor samo sdružený (self-adjoint, Hermitián) A = A vlastní čísla Hermitiánu jsou vždy reálná unitární A A = AA = I A 1 = A unitární operátor zachovává vnitřní součin; Aφ Aψ = φ ψ
Stavový prostor kvantové mechaniky Kvantový stav Evoluce Měření 1. Kvantový stav Libovolnému fyzickému systému S může být přiřazen komplexní Hilbertův prostor H, kterému říkáme stavový prostor systému S. Stav systému S je úplně popsán vektorem φ H s normou φ = 1, kterému říkáme stavový vektor systému S. Nejjednoduší netriviální kvantově mechanický systém je kvantový bit - qubit z prostoru H 2. Stav φ může být zapsán jako lineární kombinace (superpozice) dvou bázových vektorů označaných 0, 1. φ = α 0 + β 1 kde α, β C a α 2 + β 2 = 1
Stavový prostor kvantové mechaniky Kvantový stav Evoluce Měření 2. Evoluce Dočasný vývoj uzavřeného kvantového systému je popsán Schrödingerovou rovnicí i φ = H φ t kde je Planckova konstanta a H je Hamiltonián popisující dynamiku v prostoru H. Protože unitární operátor U lze vyjádřit jako U = e ih, můžeme druhý postulát přeformulovat do tvaru: φ t2 = U φ t1, pro čas t 1 t 2
Příklad evoluce Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Hadamardova rotace Jeden z nejdůležitějších jedno-qubitových operátorů je Hadamardova rotace. H = 1 ( ) 1 1 2 1 1! Odpovídá diskrétní Fourierově transformaci v Z 2.!
Hadamardova rotace Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Příklady: 1 H 0 = 1 2 ( 0 + 1 ) 2 H 1 = 1 2 ( 0 1 ) 3 Obecně: H n x = 1 2 n y {0,1} n ( 1) x.y y kde x.y = n i=1 x iy i.
Stavový prostor kvantové mechaniky Kvantový stav Evoluce Měření 3. Měření Měření je popsáno self-adjoint operátorem A (observable) se spektrální dekompozicí A = k a i P i = i=0 k a i p i p i, i=0 kde a i jsou unikátní vlastní hodnoty (eigenvalues) a P i projekce do podprostoru určeného vlastními vektory (eigenvectors) p i. Vlastní hodnoty odpovídají možným výsledkům získaných pomocí měření.
Výsledky měření Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Měřením stavu φ získáme výsledek a i s pravděpodobností Pr(a i ) = P i φ 2 = φ P i φ. Destruktivní důsledek měření Stav φ po měření kolabuje na stav φ = P i φ φ Pi φ. pokud není φ shodný s vlastním vektorem, který určuje projekční prostor, je původní superpozice stavu φ nenávratně zničena.
Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Průměrná hodnota vlastních čísel Při měření operátorem A se můžeme ptát, jaká bude průměrná naměřená hodnota. Víme, že Pr(a i ) = P i φ 2 = φ P i φ, Potom A = k a i P i. i=0 EA = k Pr(a i )a i = i=0 k φ a i P i φ = φ A φ. i=0
Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Výpočet vlastních vektorů a čísel Vlastní čísla a vektory splňují rovnici A v = a v Úpravy: A v = a.i. v (A a.i) v = 0 pro det (A a.i) 0 v = 0 pro det (A a.i) = 0 v 0
Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Výpočet vlastních vektorů a čísel Pro operátor A = ( 0 1 1 0 ) vypočteme vlastní čísla: 0 a 1 1 0 a = a2 1 = 0 a 1,2 = ±1 Výpočet vlastního vektoru pro a 1 = 1 : ( ) ( ) ( ) ( 1 1 v1 0 1 = v 1 1 0 1 = v 2 p 1 = 1 v 2 v 2 Výpočet vlastního vektoru pro a 2 = 1 : ( ) ( ) ( ) ( 1 1 v1 0 1 = v 1 1 0 1 = v 2 p 2 = 1 ) )
Duální báze Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Po normalizaci dostaneme p 1 = 1 ( ) 1 2 1 a p 2 = 1 2 ( 1 1 ). Duální báze Výše uvedené vektory tvoří tzv. duální bázi označovanou { 0, 1 }. Platí 0 = 1 2 ( 0 + 1 ) 1 = 1 2 ( 0 1 )