5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální chování zejména funkcí. K jeho základním pojmům patří limita a spojitost. Začneme připomenutím definice limity posloupnosti. 5. Limita posloupnosti Posloupnost {a n } n=1 = {a 1, a 2, a 3,... } je funkce definovaná na množině přirozených číslech, její n-tý člen se zapisuje a n. Pokud se hodnoty a n při rostoucím n blíží k nějaké hodnotě, potom řekneme, že číslo je limitou této posloupnosti. Definice říká, že pro libovolně malé kladné ε > 0, které reprezentuje požadovanou přesnost, od jistého n 0 všechny další hodnoty a n, n > n 0 jsou k blíže než ε, tj. odchylka a n od limity je menší požadovaná přesnost ε: Definice 5.1. (Limita posloupnosti) Řekneme, že limitou posloupnosti {a n } je číslo, což zapisujeme lim n a n =, jestliže: Pro každé kladné ε eistuje přirozené n 0, že pro každé n > n 0 platí a n < ε. Pomocí kvantifikátoru pro všechna a eistuje podmínku lze zapsat: y lim a n = ε > 0 n 0 N že pro n N, n > n 0 platí a n ε. n a 1 ε a 2 a 3 a 4 1 2 3 4 n 0 n > n 0 Obr. 5.1: Číslo je limitou posloupnosti {a n}, pokud pro každé n > n 0 je rozdíl a n menší než ε. Jestliže hodnoty a n rostou nade všechny meze, řekneme, že limita je nekonečno: Definice 5.2. (Nevlastní limity posloupnosti) Řekneme, že limitou posloupnosti {a n } je nekonečno, jestliže: Pro každé kladné K eistuje přirozené n 0, že pro každé n > n 0 platí a n > K, tj. lim a n = K > 0 n 0 N, že pro n N, n > n 0 platí a n > K. n Podobně limitou posloupnosti {a n } je minus nekonečno, jestliže: lim a n = K > 0 n 0 N, že pro n N, n > n 0 platí a n < K. n Později se nám bude hodit následující důležitá věta: Věta 5.3. Každá neklesající posloupnost {a n } má limitu. Bud je shora omezená a má nějakou konečnou limitu, nebo je neomezená a má za limitu nekonečno. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 1

5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Důkaz. Posloupnost je neklesající, pokud pro každé n platí a n a n+1. Pokud je posloupnost shora omezená, její supremum je číslo R. Podle definice suprema pro každé ε > 0 eistuje n 0 takové, že a n0 > ε. Protože posloupnost je neklesající, pro všechna n větší než n 0 je a n a n0. Na druhé straně však a n nemůže být větší než supremum, a proto ε a n0 < a n, tedy je limitou posloupnosti {a n }. Pokud posloupnost je shora neomezená, potom pro každé K > 0 eistuje nějaké n 0 takové, že a n0 > K. Protože posloupnost je neklesající, pro všechna větší n platí také a n > K. Poznámka: Podobně každá nerostoucí posloupnost má limitu. Bud je zdola omezená, pak je limita reálné číslo, nebo má za limitu minus nekonečno. 5B. Limita a spojitost funkce Grafem funkce sin nebo cos je spojitá čára, naproti tomu graf funkce sgn() (má hodnotu 1 pro > 0, hodnotu 1 pro < 0 a 0 pro = 0) tvoří přetržená čára. Říkáme, že funkce sgn() je funkce nespojitá v bodě = 0. Podobně každá nepřetržená čára jdoucí zleva doprava je grafem nějaké spojité funkce. Z obrázku je intuitivně vidět, která funkce je spojitá a která nespojitá, zdá se, že je to zřejmé. Charakterizovat spojitost matematickými prostředky, tzv. definovat, už tak snadné není. Obr. 5.2: Příklady funkce spojité a funkcí nespojitých. Několik století matematikové pracovali se spojitými funkcemi, derivovali je i integrovali. Když se však přišlo na zvláštní funkce, které měly neočekávané vlastnosti, přišla potřeba spojitou funkci definovat přesně. První rigorózní definici limity a tím i spojitosti formuloval v roce 1817 Bernard Bolzano 1 v roce 1817. Začneme s definicí limity funkce v bodě. Definice limity funkce Intuitivní definice limity říká: Limita funkce f() v bodě 0 je číslo, ke kterému se hodnota f() blíží, když se blíží k 0. Nutno však definovat, co to znamená blížit se. Limitu popisuje tzv. epsilon-delta definice: Definice 5.4. (Limita funkce epsilon-delta definice) Bud f() funkce definovaná v nějakém okolí bodu 0 (v bodě 0 nemusí být definovaná), například na množině M = ( 0, 0 + ) \ { 0 } pro nějaké > 0. Řekneme, že funkce f() má v bodě 0 limitu, pokud pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé M splňující 0 < 0 < δ platí f() < ε, zapsáno pomocí symbolů: ε > 0 δ > 0 M splňující 0 < 0 < δ platí f() < ε. Limitu funkce f() v bodě 0 rovnou číslu zapisujeme lim 0 f() =. Řekneme, že funkce f() má v bodě 0 limitu, pokud eistuje číslo, že lim 0 f() =. 1 Bernard Bolzano (1781-1848) byl český německy mluvící matematik, logik, filozof a teolog italského původu žijící v Praze. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 2

5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Poznámky 5.5. Definice nevyžaduje, aby funkce byla definována v bodě 0, funkce zde může ale nemusí být definována. Bod 0 i limita jsou (konečná) čísla, mluvíme proto o tzv. vlastní limitě ve vlastním bodě. Později budeme definovat nevlastní, tj. nekonečnou limitu, nebo limitu v nevlastním bodě, tj. v nekonečnu. (c) Číslo δ závisí na ε. Obvykle čím menší zvolíme ε, tím menší nutno vzít δ. Číslo δ může být jakkoliv malé, musí však být kladné. (d) (e) (f) (g) y +ε f() ε f() O δ 0 +δ Obr. 5.3: Definice limity: Hodnoty f() z δ okolí 0 musí ležet v ε okolí. Jaký je smysl definice? Kladné číslo ε je přesnost a kladné číslo δ udává v jaké vzdálenosti δ od bodu 0 je tato přesnost dosažena, tj. chyba f() je menší než požadovaná přesnost ε. Pro libovolně malé kladné ε eistuje dostatečně malé kladné δ, definice tak zaručuje nekonečnou přesnost. Vzdálenost δ závisí na přesnosti ε. Pro jednoduchost uvažujme funkci f() = 1 + 1 a bod 2 0 = 1. Potom limitou je = 3. Skutečně, pro požadovanou přesnost ε = 0.1 stačí zvolit 2 δ = 0.2, pro ε = 0.001 volíme δ = 0.002, pro ε = 10 6 je δ = 2 10 6 atd. V definici mají význam malá kladná ε, protože platí-li podmínka pro malé ε, platí i pro každé větší ε. Na druhé straně platí-li podmínka pro nějaké kladné δ, bude platit i pro každé menší kladné δ. Bod 0 v definici limity se často označuje jako bod a. Potom funkce f() má v bodě a limitu jestliže ε > 0 δ > 0 M splňující 0 < a < δ platí f() < ε. Pro obecnější definici limity zavedeme pojem okolí bodu: Definice 5.6. (Okolí bodu) Otevřený interval V = (l, p) nazveme okolím bodu 0, pokud 0 je vnitřním bodem V, tj. l < 0 < p. Speciálně pro r > 0 interval ( 0 r, 0 + r) nazveme r-okolí bodu 0. Množinu všech okolí bodu 0 budeme označovat O( 0 ). Pro úplnost zavedeme ještě levé a pravé okolí, které budeme potřebovat později: Pro každé (l < 0 < p) je interval (l, 0 levým okolím a 0, p) pravým okolím bodu 0. Okolí bodu 0 bez bodu 0 se nazývá redukované, také ryzí nebo prstencové okolí. Poznámky 5.7. V definici r-okolí je r poloměr okolí. Proto δ-okolím bodu 0 je interval ( 0 δ, 0 + δ) a podobně ε-okolím bodu je interval ( ε, + ε). V definici limity potřebujeme tzv. redukované (ryzí, prstencové) okolí bodu 0, tj. okolí bez bodu 0. Obvykle přidáním přívlastku se pojem zužuje ale zůstává pojmem, například celé číslo je číslo, omezená množina je množina. okolí bodu 0 r-okolí levé r-okolí pravé r-okolí redukované okolí 0 r 0 0 +r Obr. 5.4: Okolí bodu 0. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 3

5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Z tohoto hlediska je pojem redukovaného okolí ne zcela logický, protože redukované okolí bodu 0 už není okolím bodu 0. Podobně také levé nebo pravé okolí bodu není okolím bodu 0. y f() Pomocí pojmu okolí definici můžeme přepsat ve tvaru ε > 0 δ > 0, že, 0 z δ-okolí bodu 0 hodnoty f() leží v ε-okolí limity. Výraz pro každé ε > 0 a ε-okolí lze nahradit výrazem pro každé okolí bodu 0. Podobně eistuje δ > 0 a δ-okolí lze nahradit výrazem eistuje okolí limity, viz Obr. 5.5. Zápis definici limity tak můžeme zjednodušit na: f() U V O 0 Obr. 5.5: Definice pomocí okolí: Hodnoty f z okolí V leží v okolí U. Definice 5.8. (Limita funkce pomocí okolí) Bud f() funkce definovaná v nějakém redukovaném okolí bodu 0. Řekneme, že funkce f() má v bodě 0 limitu, jestliže Pro každé okolí U bodu eistuje okolí V bodu 0, že každé V \{ 0 }, splňuje f() U, nebo zapsáno pomocí symbolů: U O() V O( 0 ) V \ { 0 } platí f() U. U každého nového pojmu nás zajímá, zda eistuje a kolik jich je. Pro limitu platí: Věta 5.9. (Jednoznačnost) Limita (pokud eistuje) je určena jednoznačně. Poznamenejme, že tvrzení o jednoznačnosti platí nejen pro limity funkce v bodě ale i pro jednostranné limity, nevlastní limity a limity v nevlastních bodech, které zavedeme později. Důkaz. Tvrzení dokážeme sporem. Kdyby funkce f() měla v bodě 0 dvě různé limity 1 a 2, potom pro libovolné ε > 0 eistuje δ-okolí bodu 0, že hodnoty funkce f() na tomto okolí leží jak v ε-okolí limity 1 tak i v ε-okolí limity 2. Zvolíme-li však ε > 0 menší než 1 2 1 2, docházíme ke sporu: hodnoty nemohou současně ležet v ε-okolí bodu 1 i v ε-okolí bodu 2, protože tato okolí mají prázdný průnik, viz Obr. 5.5. nebo nerovnost 1 2 = 1 f() + f() 2 1 f() + f() 2 < ε + ε = 2ε < 1 2. ε 1 2 Obr. 5.6: Limita, pokud eistuje, nemůže mít dvě různé hodnoty 1 a 2. Skutečně, pro malé ε hodnota f() nemůže ležet v okolí bodu 1 i 2, protože okolí jsou disjunktní. ε Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4

5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Definice spojité funkce Pojem limity umožňuje definovat funkci spojitou: Definice 5.10. (Funkce spojitá) Řekneme, že funkce f() je spojitá v bodě 0, jestliže platí následující tři podmínky: funkce f() je definovaná v nějakém okolí bodu 0 (c) eistuje limita funkce f() v bodě 0, tj. eistuje lim 0 f() a tato limita se rovná funkční hodnotě, tj. lim 0 f() = f( 0 ) Dále řekneme, že funkce f() je spojitá v otevřeném intervalu I, pokud je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Poznámky 5.11. První dvě podmínky se často vynechávají, protože jsou implicitně obsaženy ve třetí: abychom mohli mluvit o rovnosti limity a hodnoty funkce, limita musí eistovat. limita funkce v bodě eistuje, jen když je funkce definovaná v okolí tohoto bodu. Protože funkce spojitá v bodě 0 musí být definovaná v okolí V bodu 0 (včetně bodu 0 ) a limita se rovná f( 0 ), nevylučujeme bod 0 z okolí bodu 0. Definici spojitosti pak můžeme přepsat v ε δ tvaru Pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé, 0 < δ platí f() f( 0 ) < ε. nebo pomocí okolí Pro každé okolí U bodu f( 0 ) eistuje okolí V bodu 0, že pro každé V platí f() U. (c) (d) Spojitou funkci lze definovat také pomocí konvergentních posloupností tzv. Heineho definice: Funkce f() je spojitá v bodě 0, jestliže pro každou posloupnost { n } v definičním oboru funkce f() platí: jestliže n konverguje k 0, potom také f( n ) konverguje k f( 0 ), zapsáno pomocí symbolů: n 0 = f( n ) f( 0 ). Pokud funkce f() je spojitá v bodě 0, podle definice její limita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě f( 0 ). Lze tedy pořadí limity a funkce zaměnit : ( ) f lim = lim f(). 0 0 Příklady 5.12. Polynomy, funkce e, cos, sin jsou spojité v každém bodě, funkce tg, cotg i racionální lomené funkce jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Funkce arcsin a arccos jsou spojité jen v bodech intervalu ( 1, 1), v bodech ±1 nejsou spojité, protože nejsou definovány v oboustranném okolí. Později zavedeme pojem jednostranné limity a spojitosti v krajním bodě = 1 zprava a bodě = 1 zleva, a dostaneme funkce spojité na uzavřeném intervalu 1, 1. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 5

5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Kdy neeistuje limita v bodě 0, i když funkce je definovaná v jeho okolí? (i) Když funkce je přetržená, tj. zleva se funkční hodnoty blíží k jinému číslu než zprava, například funkce znaménka sgn() v okolí bodu 0, kdy zleva se hodnoty blíží k 1 a zprava k +1. (ii) Když hodnoty funkce utečou do nekonečna, například funkce 1 v okolí bodu nuly. 2 Později tuto situaci popíšeme jako nekonečnou limitu. V případě 1 v bodě nula to budou jenom dvě různé jednostranné nekonečné limity. (iii) (iv) Speciální případem je funkce sin( 1 ), viz Obr. 5.7. Funkce má limitu a je spojitá v každém bodě kromě bodu nula. V každém okolí ( δ, δ) bodu nula tato funkce nabývá všech hodnot z intervalu 1, 1. Proto už pro ε = 1 nenajdeme žádné δ > 0, pro 2 které by podmínka (c) z definice limity byla splněna. Funkce Dirichletova D(), která má hodnotu 1 v racionálních a 0 v iracionálních, není spojitá ani nemá limitu v žádném bodě, protože v každém okolí každého bodu se vyskytují jak hodnoty 0, tak hodnoty 1. sin ( ) 1 D() Obr. 5.7: Funkce sin ( 1 ) je nespojitá v nule, všude jinde je spojitá. Obr. 5.8: Funkce f() = D() je spojitá v nule, jinde je nespojitá. (c) Kdy funkce není spojitá v bodě 0? Eistuje několik situací: (i) (ii) (iii) (iv) Funkce není v bodě 0 nebo v jeho okolí definovaná. Funkce je definovaná v okolí bodu 0 kromě bodu 0 a má v bodě 0 limitu. Potom funkci lze dodefinovat v bodě 0 touto limitou a dostaneme funkci spojitou. Říkáme, že je to odstranitelná nespojitost. Funkce je definovaná v okolí 0, limita eistuje, ale není rovna funkční hodnotě f( 0 ). Opět předefinováním funkční hodnoty v bodě 0 dostaneme funkci spojitou. Funkce je definovaná v celém okolí, ale limita neeistuje. Potom nespojitost nelze odstranit a nezáleží na tom, zda je funkce definovaná v bodě 0 nebo není. V tomto případě nespojitost není odstranitelná. (d) Eistují však funkce, které intuitivně od pohledu nejsou spojité, ale podle definice spojité jsou. Například součin a Dirichletovy funkce f() = D(), viz Obr. 5.8, tj. { pro racionální, f() = 0 pro iracionální. Tato funkce má limitu 0 v bodě 0 a je proto v bodě = 0 spojitá. Skutečně, pro ε > 0 stačí zvolit δ = ε, pro které už podmínka: 0 < δ = f() f(0) < ε je splněna, protože rozdíly 0 v Q i 0 0 v / Q jsou už menší než ε = δ. V ostatních bodech však limita neeistuje (stačí zvolit ε = ), proto ani funkce zde není spojitá. 2 Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 6

5. Limita a spojitost 5C. Vlastnosti limit a spojitosti Jednostranné limity a spojitost Pojem limity a spojitosti rozšíříme pro případ, kdy funkce je definovaná jenom v levém nebo pravém redukovaném okolí bodu 0 (nebo nás funkce v opačném okolí nezajímá), abychom například mohli mluvit o spojitosti funkce na uzavřeném intervalu. Zavedeme limitu funkce v 0 zleva a zprava tím, že podmínku omezíme na levé nebo pravé redukované okolí bodu 0 : podmínku budeme vyžadovat v jednostranném okolí místo oboustranného okolí. Definice 5.13. (Jednostranné limity a spojitost epsilon-delta definice) Řekneme, že funkce f() definovaná v nějakém levém redukovaném okolí bodu 0 má limitu v bodě 0 zleva, jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé ( 0 δ, 0 ) platí f() < ε a zapisujeme lim f() =. Podobně funkce f() definovaná na nějakém pravém redukovaném okolí bodu 0 má limitu v bodě 0 zprava, 0 jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé ( 0, 0 + δ) platí f() < ε a zapisujeme lim f() =. Dále řekneme, že funkce f() definovaná v nějakém levém okolí 0 + bodu 0 je spojitá v bodě 0 zleva, jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé ( 0 δ, 0 ) platí f() f( 0 ) < ε, a funkce f() definovaná v pravém okolí bodu 0 je spojitá v bodě 0 zprava, jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé ( 0, 0 + δ) platí f() f( 0 ) < ε. Pomocí levého a pravého okolí lze definice jednostranné limity a spojitosti přepsat: Definice 5.14. (Jednostranné limity a spojitost definice pomocí okolí) Bud f() funkce definovaná v levém (pravém) redukovaném okolí bodu 0. Řekneme, že funkce f() má limitu v bodě a zleva(zprava), pokud U-okolí bodu V -levé (pravé) okolí bodu 0, že V, 0 platí f() U. Bud f() funkce definovaná v levém (pravém) okolí bodu 0 včetně bodu 0. Řekneme, že funkce f() je v bodě 0 spojitá zleva(zprava), pokud U-okolí bodu f( 0 ) V -levé (pravé) okolí bodu 0, že V platí f() U. Řekneme, že funkce je spojitá na uzavřeném intervalu I = a, b, jestliže ve vnitřních bodech intervalu je spojitá (oboustranně) a v koncových bodech a a b je spojitá jednostranně: v bodě a spojitá zprava a v bodě b spojitá zleva. Věta 5.15. (c) Pokud eistuje limita (oboustranná), eistují i obě limity jednostranné a jsou si rovny. Pokud jsou jednostranné limity různé, potom (oboustranná) limita neeistuje. Pokud obě jednostranné limity eistují a jsou stejné, eistuje i limita a rovná se jednostranným. Podobně, je-li funkce spojitá zleva i zprava, je spojitá. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 7

5. Limita a spojitost 5C. Vlastnosti limit a spojitosti 5C. Vlastnosti limit a spojitosti Pokud funkce f() je spojitá (nebo jednostranně spojitá) v bodě 0, potom limita je rovna funkční hodnotě f( 0 ). Pokud je funkce dána jako kombinace elementárních funkcí, polynomů, atd., lze při určování limit využít jejich vlastností. Jen ve speciálních případech, např. typu Dirichletovy funkce, limitu nutno vyšetřovat podle definice. Vlastnosti, které lze využít při vyšetřování limit, shrneme ve větě. Zatím předpokládáme, že všechny limity jsou konečné. Věta 5.16. (Vlastnosti limit) Obvyklé operace zachovávají limitu: (c) (d) Limita násobku limit je násobek limit. Pokud limita na pravé straně rovnosti eistuje, eistuje i limita na levé straně a pro libovolné c R platí: lim (c f()) = c lim f(). 0 0 Limita součtu a součinu limit je součet a součin limit. Pokud eistují limity vpravo, eistuje i limita vlevo a platí rovnost: lim (f()+g()) = lim f()+ lim g(), 0 0 0 lim 0 (f() g()) = lim 0 f() lim 0 g(). Limita podílu je podíl limit: pokud eistují limity vpravo a limita ve jmenovali je různá od nuly, potom eistuje i limita vlevo a platí lim f() f() lim 0 g() = 0 lim g() 0, (pokud lim 0 g() 0). Limita složené funkce je rovna složené funkci limit, pokud vnitřní funkce je spojitá v bodě 0 a eistují limity vpravo: Jestliže lim 0 g() = g( 0 ) = y 0 a lim y y0 f(y) =, potom eistuje limita složené funkce a platí: lim 0 (f(g()) = lim y y0 f(y) =, kde y 0 = lim 0 g(). Poznámky 5.17. Důkazy všech tvrzení jsou jednoduché a podobné, ukažme si důkaz alespoň tvrzení o součtu limit. Předpokládejme, že eistují limity lim 0 f() = a lim 0 g() = B. Bud ε > 0. Chceme najít δ, aby pro každé z redukovaného δ-okolí bodu 0 platilo (f() + g()) ( + B) < ε. Podle definice limity lim 0 f() = pro ε 1 = ε 2 eistuje δ 1, že pro každé 0, 0 < δ 1 platí f() < ε 1. Podobně z definice limity lim 0 g() = B pro ε 2 = ε 2 eistuje δ 2, že pro každé 0, 0 < δ 2 platí g() B < ε 2. Položme δ = min(δ 1, δ 2 ). Pro každé 0 z δ-okolí bodu 0 platí (f()+g()) (+B) = (f() )+(g() B) f() + g() B < ε 1 +ε 2 = ε. Při limitě podílu je podstatný předpoklad, že limita funkce g() ve jmenovateli je nenulová. Potom funkce g() je v jistém okolí také nenulová a podíl je tak definován. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 8

5. Limita a spojitost 5D. Limity nevlastní a v nevlastních bodech Pokud by limita funkce g() ve jmenovateli byla nulová a g() v okolí nenulová, podíl by byl definován, ale limita by mohla být libovolné číslo R, případně nevlastní nebo nemusí eistovat. Například pro f() = a g() = platí f() lim 0 g() = lim 0 =. Necht g() =. Položíme-li f() = 2, limita podílu f()/g() pro 0 bude nulová, v případě f() = ± limita podílu bude ± a v případě f() = sin(1/) limita podílu nebude eistovat. (c) Při limitě 0 složené funkce f(g()) je podstatná podmínka spojitosti vnitřní funkce g() v bodě 0. Kdyby totiž lim 0 g() = a g( 0 ) = B, B, potom lim 0 f(g()) = f(), zatímco hodnota složená funkce je f(b). Například jestliže f() = sgn() a g(ξ) = ξ 2, potom lim 0 (sgn()) 2 (sgn(lim 0 )) 2 = (sgn(0)) 2 = 0 1. Při vyšetřování spojitosti opět možno využít podobné vlastnosti: = 1, zatímco Věta 5.18. (Určování spojitosti funkce) Obvyklé operace zachovávají spojitost funkcí: (c) Násobek, součet a součin funkcí spojitých v bodě (na intervalu) je funkce spojitá v bodě (na intervalu). Podíl funkcí spojitých v bodě (na intervalu) je funkce spojitá, pokud funkce ve jmenovateli je různá od nuly v bodě (na intervalu). Složením spojitých funkcí dostaneme funkci spojitou, pokud složená funkce je definovaná, tj. obor hodnot vnitřní funkce je částí definičního oboru vnější funkce. Podrobněji: je-li g() spojitá na intervalu D(g) = (a, b) s oborem hodnot H(g) = (c, d) a f(y) spojitá na D(g) = (, B), přičemž (c, d) (, B), tj. H(g) D(f), potom složená funkce f(g()) je spojitá na (a, b). 5D. Limity nevlastní a v nevlastních bodech Dosud jsme mluvili o vlastních limitách ve vlastních bodech lim 0 f() =, tj. kdy bod 0 i limita byla (reálná, tj. konečná) čísla. bychom pojem limity rozšířili i na nevlastní (tj. nekonečné) limity i limity v nevlastních bodech, tj. v kladném i záporném nekonečnu, zavedeme pojem okolí nekonečna: Definice 5.19. (okolí nekonečna) Libovolný interval (K, ), kde K > 0, nazveme okolím nekonečna, resp. K-okolí nekonečna. Množinu všech okolí nekonečna označíme O( ). Podobně libovolný interval (, K) nazveme okolím minus nekonečna, případně K- okolím minus nekonečna. Množinu všech těchto okolí označíme O( ). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 9

5. Limita a spojitost 5D. Limity nevlastní a v nevlastních bodech Poznámky 5.20. y f() V případě r-okolí bodů jsme požadovali vždy kladný poloměr r > 0, hlavní význam měla malá r. V případě okolí nekonečna požadavek K > 0 není nutný. V definici mají hlavní význam velká K, připustíme-li K záporná, význam definice se nezmění: například pro K = 10 pokud f() je v okolí (10, ) je i ve větším okolí ( 10, ). f() K Vždy předpokládáme, že funkce f() je definovaná v okolí bodu 0, případně levém nebo pravém okolí. Pomocí okolí nekonečna zavedeme nevlastní (nekonečné) limity ve vlastním bodě 0 tím, že okolí nahradíme okolím nekonečna: 0 δ 0 0 +δ Obr. 5.9: Nevlastní limita v 0. Definice 5.21. (Nevlastní limity) lim f() = K > 0 δ > 0 0, 0 < δ platí f() > K, 0 U O( ) V O( 0 ), V 0 platí f() U pomocí okolí a analogicky limitu minus nekonečno lim f() = K > 0 δ > 0 0, 0 < δ platí f() < K. 0 Definici nevlastní limity v bodě 0 zleva nebo zprava dostaneme tím, že místo celého okolí bodu 0 bereme jenom levé nebo pravé okolí. V definici konečné limity v nevlastních bodech nebo okolí bodu 0 nahradíme okolím plus nebo minus nekonečna: Definice 5.22. (Limity v nevlastních bodech) y +ε f() ε lim f() = ε > 0 L > 0 > L platí f() < ε. lim f() = ε > 0 L > 0 < L platí f() < ε. f() K Obr. 5.10: Limita v nevlastním bodě. Pro > K hodnoty f() leží v ε-pásu limity. Pro úplnost ještě uved me definici nevlastní limity v nevlastním bodě, například lim f() = K > 0 L > 0 > L platí f() < K. Jako cvičení vytvořte definice ostatních případů limit, např. a lim f() =. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 10

5. Limita a spojitost 5D. Limity nevlastní a v nevlastních bodech Obecná definice limity Pomocí pojmů okolí bodu i nekonečna můžeme všechny případy zapsat v jedné definici: Definice 5.23. (Limita funkce) Bud 0 R = R {, } a R = R {, }. Potom lim f() = U O() V O( 0 ) 0, V platí f() U, 0 v případě jednostranné limity v bodě 0 bereme odpovídající jednostranná okolí bodu 0. Limita posloupnosti Posloupnost {a n } je speciálním případem funkce definované na množině přirozených čísel N. Její limita, viz Definice 5.1 resp. 5.2 je limita v nevlastním bodě, tj. pro n a R: lim a n = ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 platí a n < ε. n nebo pomocí okolí: lim a n = U O() V O( ) n V N platí a n U. n Pokud posloupnost má konečnou limitu, říkáme, že posloupnost je konvergentní. Definici nevlastní limity lim n a n = a lim n a n = jistě již dokážete napsat sami. Uved me dvě vlastnosti limit posloupnosti, které plynou z definice. Věta 5.24. Limita posloupnosti je určena jednoznačně. Necht {a n } je konvergentní posloupnost s limitou. Potom každá vybraná podposloupnost {a nk } {a n } je také konvergentní a má stejnou limitou. Vlastnosti nevlastních limit Limity v nevlastních bodech ± mají stejné vlastnosti jako limity ve vlastních bodech a lze s nimi počítat jako s jednostrannými limitami ve vlastních bodech. S nevlastními limitami je nutno počítat opatrně. Pro operace s nevlastními limitami platí: Věta 5.25. (Pravidla počítání s nevlastními limitami) Pro reálné číslo platí: Součet: + = + = + =, = + = =. Násobek a součin: je-li > 0 potom = a ( ) =. Je-li < 0 potom = a ( ) =. Navíc = ( ) ( ) = a ( ) = ( ) =. (c) Podíl: Je-li konečné, potom = 0. Jestliže lim 0 g() = 0 a v okolí bodu 0 platí g() > 0, potom pro > 0 je lim = a pro < 0 je lim 0 g() 0 g() =. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 11

5. Limita a spojitost 5E. Vlastnosti spojitých funkcí Podobně, pokud v okolí g() < 0, potom lim = sgn(). 0 g() Pokud funkce g() mění v bodě 0 znaménko, potom tvrzení platí pro jednostranné limity, například: je-li lim 0 g() = 0 a v levém okolí bodu 0 platí g() > 0, potom pro > 0 je lim 0 g() =. (d) Mocnina: Pro > 1 platí = a = 0. Pro (0, 1) platí obráceně = 0 a =. (e) Záměna proměnné (složená funkce), například pokud y = 1 potom ( ) ( ) 1 1 lim f() = lim f a lim f() = lim y 0+ y f. 0+ y y Varování: V případě tzv. neurčitých výrazů výše uvedeným způsobem nelze určit limitu z jednotlivých limit. Mezi neurčité výrazy patří:, +, 0, 0,, 0 0, 1. V těchto případech musíme limitu počítat bud úpravou výrazu nebo použít tzv. l Hospitalovo pravidlo, se kterým se seznámíme později. 5E. Vlastnosti spojitých funkcí Spojité funkce mají řadu důležitých vlastností, uved me některé z nich. Hodnoty funkce spojité na intervalu tvoří tzv. souvislou množinu množina hodnot nemá díry : Věta 5.26. Bud f() funkce spojitá na intervalu I = a, b. Potom funkce f() nabývá všech hodnot mezi f = a f = B, tj. C, B (resp. C B, ) eistuje alespoň jedno c a, b takové, že f(c) = C. Speciálně, pokud hodnoty funkce v koncích intervalu mají opačná znaménka, tj. f f < 0, potom rovnice f() = 0 má alespoň jedno řešení, tj. eistuje alespoň jedno c (a, b) takové, že f(c) = 0. f C f a c c 1 c 2 c 3 c b f C f a c c 1 c 2 c 3 c b f 0 a f Obr. 5.11: Funkce spojitá na intervalu a, b nabývá libovolné hodnoty C mezi f a f v alespoň jednom bodě c a, b. Pokud f f < 0, potom rovnice f() = 0 má alespoň jedno řešení. b Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 12

5. Limita a spojitost 5E. Vlastnosti spojitých funkcí Náznak důkazu druhého tvrzení.. Necht f < 0 < f. Označme M množinu všech čísel s I takových, že f() < 0 pro každé a, s. Protože f < 0, množina M obsahuje alespoň bod a. Jako každá neprázdná množina i množina M své má suprémum, které označíme c. Protože f > 0, platí c < b. Jaká je hodnota f(c)? Kdyby f(c) > 0, potom pro ε (0, f(c)) eistuje δ-okolí, ve kterém je také f() > 0. To je ve sporu s tím, že f() < 0 pro každé < c. Na druhé straně, kdyby f(c) < 0, potom opět díky spojitosti by bylo f() < 0 i v nějakém pravém okolí bodu c, což opět není možné. Proto f(c) = 0. Případ f > 0 > f lze dokázat podobně, nebo situaci převést na předchozí případ pomocí funkce f () = f(). První tvrzení plyne z druhého. Bud C mezi hodnotami f a f. Potom posunutá funkce f () = f() C splňuje podmínku f f < 0 a druhé tvrzení dává eistenci c takového f (c) = f(c) C = 0 odkud plyne f(c) = C. Poznámka: Obě tvrzení jsou názorná, viz Obr. 5.11. Druhé z nich se využívá při řešení nelineární rovnice f() = 0, protože podmínka f f < 0 zaručuje eistenci kořene spojité funkce f() v intervalu (a, b). Další vlastností spojitých funkcí je jejich omezenost a eistence etrémů. Věta 5.27. (Omezenost a eistence absolutních etrémů) Bud f() funkce spojitá na uzavřeném omezeném intervalu I = a, b. Potom funkce f() je omezená shora i zdola, tj. eistují reálná čísla K < L taková, že K < f() < L I, funkce f() na intervalu I nabývá svého minima i maima, tj. eistují čísla c, d I taková, že f(c) = min I f(), f(d) = ma f(), tj. f(c) f() f(d), I I Poznámky 5.28. Pozor, podmínku omezenosti intervalu I nelze vynechat, bez ní tvrzení neplatí. Například funkce f() = je spojitá na intervalu (, ), ale není omezená ani nemá maimum ani minimum. Funkce f() = arctg na (, ) je sice omezená, ale nemá minimum ani maimum. Také podmínku uzavřenosti intervalu I nelze vynechat. Například funkce tg je spojitá na omezeném intervalu ( π, π ) ale není zde omezená, nemá ani minimum ani maimum. 2 2 Důkaz. Naznačme důkaz eistence maima. Využijeme přitom tvrzení: Každá posloupnost v uzavřeném omezeném intervalu I obsahuje konvergentní podposloupnost s limitou v I. Tvrzení lze snadno dokázat pomocí půlení intervalu I, protože vždy v jedné polovině intervalu zůstává nekonečně mnoho hodnot. Vrat me se k důkazu. Označme M obraz zobrazení f, tj. množinu všech hodnot funkce f() Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 13

5. Limita a spojitost 5F. Tři důležité limity na intervalu I. Množina M je neprázdná a má proto své suprémum m, které je konečné číslo, pokud množina je shora omezená, nebo nekonečno, pokud množina je neomezená. Z definice suprema eistuje posloupnost { n } taková, že lim n f( n ) = m. Díky výše uvedenému tvrzení posloupnost { n } obsahuje podposloupnost { nk } konvergující k nějakému I. Díky spojitosti funkce f() z nk plyne f( nk ) f( ). le limitou f( n ) a proto i f( nk ) je supremum m. Platí tedy f( ) = m. Čímž jsme dokázali, že supremum m je konečné a f( ) = m je maimum f() na intervalu I. 5F. Tři důležité limity Spočítáme tři limity typu [ 0 ]. Výpočet je jednak instruktivní, na druhé straně výsledek využijeme 0 v další kapitole při odvozování derivace elementárních funkcí. Věta 5.29. Platí sin lim 0 = 1, lim 0 e 1 = 1, lim 0 ln(1 + ) = 1. Výpočet první limity. Výpočet první limity je založen na nerovnosti sin < < tg. Nerovnost plyne z následujícího obrázku. Uvažujme úhel OB velikosti (0, π 2 ) v radiánech v rovině s osami y, z, s vrcholem v počátku a počátečním ramenem v poloose y. Označme O = [0, 0] počátek, průsečík vodorovné osy s jednotkovou kružnicí = [1, 0], průsečík druhého ramene úhlu s jednotkovou kružnicí B = [cos, sin ] a průsečík C = [1, tg ()] ramene úhlu s kolmicí y = 1, viz Obr. 5.12. Na obrázku jsou tři útvary: trojúhelník T 1 = OB se základnou O délky 1 a výškou sin. Jeho plošný obsah je sin ; 1 2 kruhová výseč V s rameny 0 a 0B a obloukem B délky. Její plošný obsah je 1 2 a (c) pravoúhlý trojúhelník T 2 = OC se základnou O délky 1 a výškou C. Jeho plošný obsah je 1 tg. 2 Protože T 1 V T 2 pro jejich obsahy platí T 1 < V < T 2 tj. 0 < sin < < tg. Převrácené hodnoty dávají cotg = cos sin < 1 < 1 sin. Vynásobíme-li nerovnost výrazem sin, dostáváme cos < sin < 1, odkud plyne dokazovaná limita pro 0 zprava, protože pro 0 platí cos 1. Protože funkce, sin, tg jsou funkce liché, opačné nerovnosti platí pro jdoucí k nule zleva, čímž je dokázána oboustranná limita. z tg sin O 1 y Obr. 5.12: K výpočtu první limity. Z inkluzí T 1 V T 2 plyne nerovnost 0 < sin < < tg. B C Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 14

5. Limita a spojitost 5F. Tři důležité limity Idea výpočtu druhé limity. Eulerovo číslo e je dáno jako limita posloupnosti ( 1 + 1 n pro ( n. Lze dokázat, že tato posloupnost je rostoucí. Také lze dokázat, že posloupnost 1 + 1 n n 1) je klesající a má za limitu opět Eulerovo číslo e. Proto pro každé n platí ( 1 + n) 1 n ( < e < 1 + 1 ) n. n 1 Pro n = 1 n umocněme výrazy na n-tou, tj. udělejme z nich n-té odmocniny: 1 + 1 n < e n < 1 + 1 n 1. Nyní stačí odečíst jedničku a podělit kladným n, tj. násobit n. Dostáváme: 1 < en 1 n < n n 1 = 1 + 1 n 1 1. Pro n platí n = 1 n 0, čímž je limita dokázána pro n = 1 n 0+. Poznamenejme, že jsme dokázali, že limita platí pro posloupnost n = 1 jdoucí k nule n zprava. Pro úplný důkaz by bylo potřeba dokázat, že limita platí pro všechna 0 a také pro jdoucí k nule zleva. Výpočet třetí limity. Tuto limitu lze snadno převést na druhou. Protože ln je funkce inverzní k funkci e, platí ln(1 + ) = y právě když e y = 1 +. Rovnost platí pro, y v okolí nuly, přičemž 0 právě když y 0. Přepíšeme-li výraz v třetí limitě pomocí y, dostáváme výraz v druhé limitě: ) n ln(1 + ) lim 0 ( y e y = lim y 0 e y 1 = lim 1 y 0 y ) 1 = 1. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 15