Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy 0. přednáška BI-ZMA ZS 2009/200 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 / 8
Derivace funkce Definice Necht existuje takové okoĺı H a bodu a, že H a D f. Limitu (pokud existuje) f (x) f (a) lim nazveme derivací funkce f v bodě a a značíme f (a). Je-li f (a) R, říkáme, že f je diferencovatelná v bodě a. f (a) lze ekvivalentně zapsat f f (a + h) f (a) (a). h 0 h (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 2 / 8
Geometrický význam derivace Rovnice přímky, která prochází body [a, f (a)] a [b, f (b)] na grafu funkce y = f (b) f (a) (x a) + f (a) b a Definice Necht existuje f (a). i) Je-li funkce f spojitá v bodě a a f (a) = ±, nazýváme přímku o rovnici x = a tečnou funkce f v bodě a. ii) Je-li f (a) R, nazýváme přímku o rovnici y = f (a)(x a) + f (a) tečnou funkce f v bodě a. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 3 / 8
Příklad Ukažme, že derivace konstantní funkce f (x) = c je všude rovna 0. f (x) f (a) c c lim 0 = 0. x a (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 4 / 8
Věta Funkce f diferencovatelná v bodě a je v bodě a spojitá, tj. Důkaz. Plyne to z jednoduché úpravy f (a) R = lim x a f (x) = f (a). ( ) f (x) f (a) lim f (x) f (a) (x a) x a f (x) f (a) lim (x a) = f (a).0 = 0. x a (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 5 / 8
Příklad Uvažujme funkci signum danou předpisem, když x > 0, sgn x = 0, když x = 0,, když x < 0. Pro derivaci této funkce v bodě 0 platí sgn x sgn 0 sgn x lim x 0 x 0 x 0 x x 0 x = +. Tento příklad ukazuje, že i funkce, která není spojitá v bodě a, může mít v bodě a derivaci. Ta ovšem není konečná. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 6 / 8
Příklad Spočítejme derivaci funkce f (x) = 3 x v bodě 0. lim x 0 3 x 3 0 x 0 x 0 3 = +. x 2 Tedy i funkce spojitá v bodě a může mít nekonečnou derivaci v bodě a. Proto implikaci ve větě nelze obrátit. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 7 / 8
V kapitole Limita funkce, jsme odvodili, že sin x sin a x α a α lim = cos a, lim x a x a x a x a = αaα, e x e a lim x a x a = ln x ln a ea a lim = x a x a a. To ovšem znamená, že jsme už odvodili vzorce (sin x) = cos x, (x α ) = αx α, (e x ) = e x a (ln x) = x. Další derivací nebudeme počítat přímo z definice pomocí limit, ale si odvodíme elegantní pravidlo. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 8 / 8
Věta Necht f a g jsou funkce diferencovatelné v bodě a. Pak platí (f + g) (a) = f (a) + g (a), (f.g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a), ( ) f (a) g = f (a)g(a) f (a)g (a), pokud g(a) 0. g 2 (a) Předpoklady věty jsou: existence a konečnost derivací f f (x) f (a) (a) R a g g(x) g(a) (a) R (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 9 / 8
Důkaz pravidla pro derivaci součinu (f.g) f (x)g(x) f (a)g(a) (a) = =0 {}}{ f (x)g(x) f (a)g(x) + f (a)g(x) f (a)g(a) = ( ) ( ) f (x) f (a) g(x) f (a) g(x) g(a) + lim = x a g(x) }{{} g(a) f (x) f (a) x a lim x a }{{} f (a) g(x) g(a) +f (a) lim x a }{{ x a } g (a) V posledním kroku jsem využili toho, že funkce diferencovatelná v bodě a je v tomto bodě spojitá.. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 0 / 8
Derivace násobku funkce Je-li v součinu jedna funkce konstantní, řekněme g(x) = c, dostaneme ze vzorce pro součin Příklad (cf (x)) = }{{} c f (x) + cf (x) = cf (x). =0 (3 sin x) = 3 cos x (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 / 8
Věta Necht g je diferencovatelná v bodě a, f je diferencovatelná v bodě g(a). Pak funkce f g je diferencovatelná v bodě a, přičemž platí ( f g ) (a) = f ( g(a) ).g (a). Důkaz. Zkoumejme případ g (a) 0. Na jistém okoĺı bodu a je g(x) g(a) a lze použít větu o limitě složené funkce. Přímo z definice derivace a rozšíření nenulovým výrazem g(x) g(a) dostaneme (f g) (a) f (g(x)) f (g(a)) f (g(x)) f (g(a)) g(x) g(a) lim x a g(x) g(a) = f (g(a)).g (a) Případ, kdy g (a) = 0 je trochu techničtější a vynecháme ho. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 2 / 8
Příklad Z definice funkcí sin a cos na jednotkové kružnici vidíme sin ( π 2 x) = cos x a cos ( π 2 x) = sin x Na funkci cos x lze tedy nahĺıžet jako na funkci složenou f g, kde vnější funkce je f (x) = sin x s derivací f (x) = cos x a vnitřní funkce je Předchozí vzorec dává g(x) = π 2 x s derivací g (x) =. (cos x) = f (g(x))g (x) = cos ( π 2 x).( ) = sin x. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 3 / 8
Příklad Pro výpočet derivace funkce tangens použijeme vzorec pro derivaci podílu dvou funkcí. ( ) ( sin x ) (sin x) cos x sin x(cos x) tg x = = cos x (cos x) 2 = (cos x)2 + (sin x) 2 (cos x) 2 = cos 2 x. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 4 / 8
Derivace inverzní funkce Víme, že pro složení funkce f a funkce k ní inverzní platí f ( f (x) ) = x. Zderivujeme-li obě strany (pokud to lze) podle pravidla pro derivaci složené funkce, dostaneme Proto lze odvodit následující větu. Věta f ( f (x) ).(f ) (x) =. (f ) (x) = f ( f (x) ), za přepokladu, že funkce f je diferencovatlená v bodě f (x) a navíc derivace v tomto bodě není nulová. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 5 / 8
Příklad Uvažujme funkci f (x) = sin x na intervalu π 2, π 2 a k ní inverzní f (x) = arcsin x, která má definiční obor,. Derivací funkce sin x je cos x a derivace existuje na celém π 2, π 2. V krajních bodech intervalu π 2 = arcsin( ) a π 2 = arcsin je však derivace rovna 0. Proto právě odvozený vzorec použijeme pouze na body x (, ). Dostaneme (arcsin x) = cos(arcsin x). Jelikož sin 2 α + cos 2 α =, dostaneme pro úhel α ( π 2, π 2 ) vztah cos α = sin 2 α. Lze tedy dál upravit (arcsin x) = cos(arcsin x) = ( sin(arcsin x) ) =. 2 x 2 V posledním kroku jsme opět využili, že složením funkce inverzní a původní dostaneme identitu. (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 6 / 8
Tabulka derivací f (x) f (x) pro x α α x α α R, x > 0 e x e x x R ln x x x > 0 sin x cos x x R cos x sin x x R tg x x R, x π cos 2 x 2 + kπ, k Z cotg x x R, x kπ, k Z sin 2 x arcsin x x x (, ) 2 arccos x x 2 x (, ) arctg x x R +x 2 arccotg x x R +x 2 (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 7 / 8
Poznámka Analogicky lze definovat derivaci funkce f v bodě a zleva i zprava jako limity f +(a) f (x) f (a) x a+ x a resp. f (a) f (x) f (a). x a x a Příklad Pro funkci f (x) = x a bod a = 0 odvodíme po úpravě f (x) f (a) x a = x x = sgn x pro x 0 vztahy f +(0) =, f (0) =, f (0) = neexistuje (FIT) Derivace funkce BI-ZMA ZS 2009/200 8 / 8