Seminární práce z matematiky

Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0

Taylorův polynom pro sin) Vyšetřete funkci f ) =! + 5 5! Definiční obor není nijak omezen, proto D f = R Protože f ) = +! 5 5! = f ) f ), funkce je lichá a není sudá Funkce není periodická Limity v nevlastních bodech: Protože funkce je spojitá určíme H f = R lim f ) = lim! + 5 5! = lim f ) = lim! + 5 5! = Protože f 0) = 0, prochází graf funkce počátkem soustavy souřadnic Průsečíky s osou nalezneme vyřešením rovnice:! + 5 5! = 0 4 0 + 0) = 0 Jelikož bikvadratická rovnice nemá žádný kořen, neeistuje žádný další průsečík s osou Výpočet derivace: f ) =! + 4 4! Funkce má derivaci ve všech bodech Stacionární body: f ) = 0! + 4 4! = 0 4 + 4 = 0 0 = 6 + ) 6 ) + 6 + ) + 6 ) Stacionární body mají přibližné souřadnice S [,08; 0,5], S [,59;,00], S [,08; 0,5], S 4 [,59;,00] Intervaly monotonie: ; 6 + ) 6 + ; 6 ) 6 ; 6 ) ) 6 ; 6 + ) 6 + ; rostoucí klesající rostoucí klesající rostoucí f,08) f,59) f,08) f,59) = f 6 + + ) 5 ) = 0 = f 6 ) = = f ) 5 0 6 + + ) 5 ) = + 0 ) 5 = f 6 ) = 0 + ) ) + + ) ) + + ) = 0,5 + ) =,00 + ) = 0,5 ) =,00

Výpočet derivace: f ) = +! Funkce má druhou derivaci ve všech bodech Inflení body: f ) = 0 +! = 0 6 = 0 6) + 6) = 0 Inflení body mají přibližné souřadnice I [0; 0], I [,45; 0,7], I [,45; 0,7] Intervaly konkávnosti, konkávnosti: ) ; ) 6 konkávní 6; ) 0 konvení 0; 6 ) konkávní 6; konvení Lokální etrémy: lokální maima S [,59;,00], S [,08; 0,5] lokální minima S [,08; 0,5], S 4 [,59;,00] Graf funkce: f,45) = f 6) = 6 0 f,45) = f 6) = 6 0 = 0,7 = 0,7

Funkce Vyšetřete průběh funkce Funkci přepíšeme: = Logaritmus je definován pro kladný argument, proto D e ln f tudíž není ani sudá ani lichá a není ani periodická Limity v nevlastním bodě a v krajním bodě definičního oboru: lim f ) = lim e ln = 0 lim f ) = lim 0 0 e ln = e lim 0 ln = e lim 0 ln = e lim 0 = = 0; ) Funkce = lim 0 e Protože 0 / D f, graf funkce nemá průsečík s osou y Protože hodnota eponenciální funkce je kladná, graf funkce nemá průsečík ani s osoou y Výpočet derivace: Funkce má derivaci v celém D f Stacionární body: f ) = e ln ) = ln ) f ) = 0 ln ) = 0 ln = = e Stacionární bod má souřadnice S [e ; e e ] Intervaly monotonie: 0; e ) rostoucí e ; ) klesající Výpočet derivace: f ) = [ ln )] = ln ) [ = ln Funkce má druhou derivaci v celém D f Inflení body: f ) = 0 [ ln ) ] = 0 ln ) = ; a = ln a = a ) ] Jedinným řešením rovnice 4 je inflení bod má souřadnice I [; ] e = 0,7, e e =,44 4 To, že eistuje pouze jedno řešení, vyplývá ze složitějšího rozboru funkcí g) = ln a h) = a: Analyzujeme funkce ve třech intervalech 0; e), e; 4) a 4; ), obě dvě funkce jsou ve všech třech intervalech spojité a monotónní, proto může být v každém intervalu nejvýše jeden průsečík jejich grafů Protože he) > ge) a h4) > g4), platí pro e; 4) : h) > h), grafy funkcí tudíž nemají v tomto intervalu žádný průsečík Protože v intervalu 4; ) platí, že h ) > g ) a h4) > g4), platí 4; ) : h) > g), grafy funkcí tudíž nemají ani v tomto intervalu žádný průsečík Funkce mají nejvýše jeden průsečík, a to v intervalu 0; e) 4

Intervaly konkávnosti, konvenosti: 0; ) konkávní ; ) konvení Lokální etrémy: lokální maimum S [ e ; e e ] Funkce má asymptotu y = 0 Graf funkce: 5

Gaussova funkce Vyšetřete průběh Gaussovy funkce ve tvaru:, kde µ R je střední hodnota a σ > 0 je rozptyl f ) = σ µ) π e σ Definiční obor není nijak omezen, proto D f = R Podmínky, sudosti funkce: f ) = f ) σ µ) π e σ = σ µ) π e σ µ) µ) σ = σ µ) = µ) µ = + µ µ = 0 Funkce je sudá pro µ = 0 Jelikož obor hodnot je podmnožinou R +, funkce není lichá Funkce není ani periodická Limity v nevlastních bodech: lim f = lim σ µ) π e σ = lim f = lim Průsečík grafu funkce s osou y: Graf funkce má průsečík s osou y v bodě P µ) σ = 0 σ π elim σ µ) π e σ = σ µ) π elim σ = 0 f 0) = σ π e [ 0; σ µ π e σ ] Jelikož obor hodnot je podmnožinou R +, graf funkce nemá průsečík s osou Výpočet derivace: f ) = [ σ π e µ) ] σ = σ π e Funkce má derivaci ve všech bodech Stacionární body: ] Stacionární bod má souřadnice S [µ; σ π Intervaly monotonie:, µ) rostoucí µ, ) klesající Výpočet derivace: µ σ f ) = 0 µ µ) σ π e σ = 0 = µ µ) µ) σ σ = µ µ) σ π e σ 6

[ ] µ f µ) ) = σ π e σ = µ) σ π e σ + µ [ ] µ) µ µ ) σ π e σ σ = σ 5 π σ π Funkce má derivaci ve všech bodech Inflení body: e µ) σ [ ] µ ) σ 5 π σ π f ) = 0 e µ) σ = 0 µ ) = σ µ = σ = µ ± σ [ ] Souřadnice infleních bodů jsou I [µ + σ; ], σ I πe µ σ; σ πe Intervaly konkávnosti, konvenosti: ; µ σ) konvení µ σ; µ + σ) konkávní µ + σ; ) konvení Lokální etrémy: lokální maimum S [µ; σ π Obor hodnot je H f = 0; σ π Funkce má asymptotu y = 0 Graf funkce pro µ = a σ = : ] 7

4 Eliptická křivka y = + Vyšetřete průběh funkce y = + Funkce je definovaná pro ta, pro která je výraz pod odmocninou nezáporný: + 5 + + 0 ) + 5 ) ) 0 Proto D f4 = 5+ ; 5 ; ) Protože f 4 ) = + + f 4 ) f 4 ), funkce není ani lichá ani sudá, není ani periodická Limita v nevlastním bodě: lim f 4 = lim + = lim + = lim = Graf funkce má tři průsečíky 5 s osou : P [ ] [ 5 ] 5+ ; 0, P ; 0 a P [; 0] Průsečík s osou y je v bodě f 4 0) = a má souřadnice P 4 [0; ] Výpočet derivace: f 4 = + Definiční obor derivace je D f 4 = 5+ ; ) 5 ; ) Stacionární body: f 4) = 0 = 0 + = 0 6 = ± Protože bod 6 není v definičním oboru funkce, jediným stacionárním bodem6 je bod S [ 6 ; Intervaly monotonie: 5+ ; ) 6 rostoucí 6 ; ) 5 klesající ; ) rostoucí Výpočet druhé derivace: f 4 ) = + ) = + ) + 4 + ) Definiční obor derivace je D f = 5+ 4 ; ) 5 ; ) Inflení body: 5 5+ =,6, 6 6 = 0,8, 5 = 0,6 =,45 4 6+9 = 4 + 4 4 + ) 4 6+9 ] 8

f 4 ) = = 0 4 + 4 4 + ) = 0 4 + 4 = 0 Kořeny této rovnice numericky vyčíslené na počítači jsou =,4 a =, Protože kořen se nachází mimo definiční obor funkce f 4, funkce má jediný inflení bod s přibližnými souřadnicemi I [,; 0,80] Intervaly konkávnosti, konvenosti: 5+ ; ) 5 konkávní ;,) konkávní,; ) konvení Lokální etrémy: lokální maimum S [ 6 ; Obor hodnot je H f4 = 0; ) Graf funkce: 4 6+9 ] 9

5 Trochoid Vyšetřete funkci zadanou parametricky: f 5 ) { φ θ) : = πθ π sin θ ψ θ) : y = π π cos θ Definiční obor funkce f 5 je roven oboru hodnot funkce φ, proto D f5 = H φ = R Obor hodnot funkce f 5 je roven oboru hodnot funkce ψ, proto H f5 = H ψ = π; π Pro průsečík s osou platí, že y = ψθ) = 0, tedy: π ) φ + kπ ) 5π φ + kπ 0 = π π cos θ cos θ = θ = π + kπ; 5π + kπ; k Z = = π π + kπ = = 5π + π + kπ [ Souřadnice průsečíků 7 π s osou jsou P k ] [ π + kπ 5π ; 0 a Q k + ] π + kπ ; 0 Pro průsečík s osou y platí, že = φθ) = 0, tedy: 0 = πθ π sin θ θ = ±,90; 0 ψ,90) = 5,5 ψ,90) = 5,5 ψ0) = π Přibližné souřadnice průsečíků 8 s osou y jsou R [0;,90] a R [0; π] Výpočet první derivace: f 5θ) = ψ θ) φ θ) = sin θ cos θ Derivace není definovaná v bodech θ = π + kπ, 5π + kπ, tedy v bodech P k a Q k Stacionární body: f 5θ) = 0 sin θ = 0 θ = kπ Souřadnice stacionárních bodů pro parametr θ = kπ: φkπ) = kπ ψkπ) = π; pro sudá k ψkπ) = π; pro lichá k Souřadnice stacionárních bodů jsou S k [kπ ; π] a T k [k )π ; π] Intervaly monotonie: 7 π π + kπ = 9,74k,5, π + π = 9,74k +,89 = 9,74k +,5 8 Kořeny byly numericky vypočítány na počítači 0

kπ; π + kπ) klesající π + kπ; π + kπ) rostoucí π + kπ; 5π + kπ) klesající 5π + kπ; kπ) rostoucí Výpočet derivace: 5 θ) = f 5 θ) φ θ) = πθ π sin θ) = f sin θ cos θ ) cos θ) cos θ) 4 sin θ cos θ) π cos θ) = cos θ ) π cos θ) Druhá derivace není definovaná v bodech θ = π + kπ, 5π + kπ, tedy v bodech P k a Q k Inflení body: f 4 θ) = 0 cos θ ) π cos θ) = 0 cos θ = θ = kπ Souřadnice infleních bodů: φkπ) = kπ ψkπ) = π Souřadnice infleních bodů jsou I k [kπ ; π] Intervaly konkávnosti, konvenosti: kπ; π + kπ) konvení π + kπ; 5π + kπ) konkávní 5π + kπ; kπ) konkávní Lokální etrémy: lokální minima lokální maima Graf funkce: S k [kπ ; π] T k [k )π ; π]