Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry eích zákoů, které se se sžili dokázt. Poté se se učili vytvářet soustvy logických rovic převádět e do rozšířeého Horov tvru. Vyřešili se pár logických hádek poté hledli eich řešeí poocí soustvy lieárích rovic. Nučili se se využívt k opercí s rovicei ástro Řešitel v Excelu. Nkoec se plikovli še ově byté zlosti k řešeí edoduchých úloh. Úvod Cíle šeho iiproektu bylo se sezáit s ožýi postupy při řešeí soustv logických rovic, zeé pk etodou převodu soustvy lieárích erovic. Touto etodou se lze dopátrt správého řešeí (ee logických úloh typu sudoku či pokrývcích úloh) ik ež pouhý odhde či ituicí. Jedá se tktéž o předstupeň ke studiu ohých oborů, ež ve své prxi využíví pokročileší logiky př. práce s uělýi iteligecei. Dlší cíle bylo odhlit ožosti ástroe Řešitel v Excelu, který výzě usdňue práci s rovicei erovicei. 2 Soustvy logických rovic Logická rovice e tková rovice, která vzike převedeí rovosti fukcí f(x), g(x) prvidlo eich ekvivlece. Neboli f ( x) g( x) f ( x) g( x) Sestvíe-li soustvu těchto rovic, lze e obecě chrkterizovt tkto f x) g ( ) x {0,}... f ( x ( x) g ( x) Této soustvě odpovídá 2 prvidel. g f... f g g f 2
3 Báze zlostí Báze zlostí e soustv logických rovic v Horově tvru. C A Prvidlo v Horově tvru e ve tvru c, kde e souči tecedetů (příči) c su kosekvetů(ásledků), tedy Z předpokldu, že pltí všechy tecedety, tk pltí lespoň ede z kosekvetů. Kždou bázi zlostí e ožé zpst ve tvru... 2, kde kždé z prvidel e v rozšířeé Horově tvru Je-li sez příči prázdý, hrzuee e kosttou. Je-li prázdý sez ásledků, hrzuee e kosttou 0. Výhodou Horov tvru e, že se zde vůbec evyskytue operátor egce. Z edé rovice e občs ožé vygeerovt více ež edo prvidlo, souboe prvidel ohou tké vzikt ová prvidl. k N k 0 0 0 4 Koverze soustvu erovic c Bázi prvidel v Horově tvru e výhodé kovertovt soustvu lieárích erovic, kterých se využívá k edoduššíu řešeí soustvy logických rovic. c Neprve celé prvidlo zeguee, díky čeuž se dostee do tvru ) ( c Jelikož prvdivost původího prvidl á být ed, tk prvdivost eho egce e ulová vyžduee, by epltil ožost, že sou splěy všechy příčiy eí splě i ede ásledek.
Vše si převedee lgebrickou erovici, c 0 kde závorkou (-c) zčíe prvdivostí hodotu egce původího kosekvetu. Od obou str erovice odečtee dostee fiálí erovici 5 Aplikce Nbyté zlosti se plikovli ěkolik edoduchých příkldech, které by ohly být řešey pouhou úvhou. Příkld Poctivci pdouši K deostrci evýhodosti řešeí logické úlohy systée úprv logických rovic se využil úlohu z edé ezáěších kih populrizuících logiku, z kihy Jk se eue thle kížk? od yod Sully. Zdáí Předpokládee, že kždý obyvtel e buď poctivce, který luví vždy prvdu, ebo pdouche, který vždy lže. Předpokládee, že áe tři obyvtele ostrov, A, B, C. A B prohlásí A Všichi se pdouši. B Právě ede z ás e pdouch. Dá se určit, co e B? Dá se určit, co e C? Řešeí ) soustvou rovic Ze závěrečého řádku sě vyplývá, že A z předpokldu, že sou všechy podíky splěy vždy lže, C luví vždy prvdu u B se o eho prvdoluvosti edá rozhodout. Řešeí pooci soustvy rovic svou áročostí zostává z řešeí úlohy pouhý selský rozue b) Předpokládee, že A luví prvdu. Pk lže kždý z troice A, B, C. Zeé tedy i A, číž se dostáváe ke sporu. Osob A tedy utě lže. Mluví-li B prvdu, pk lže právě ede z troice A, B, C lže tedy pouze A. B, C luví prvdu. Lže-li B, pk lže iý počet osob ež právě ed, víe le že A utě lže, B lže elžou všichi, tedy C e poctivec. Zistili se tedy, že A lže vždy, C vždy luví prvdu u B se eho prvdoluvost edá určit. Příkld 2 Pokrýváí křížky
Zdáí příkldu bylo pokrýt pole 3x3 co eeší počte desek ve tvru kříže. Neprve e třeb zistit, kdy e kždé pole zkryté. Sepíšee devět výroků pro kždé pole vždy podle toho, v ké poli e střed kříže. Těchto devět výroků poté převedee do Horov tvru. Z Horov tvru e převedee lieárí erovice, bycho e v toto tvru ohli zdt do počítčového progru. V Excelu do sloupce vložíe všech devět polí s hodotou pro prvdivý výrok (=desk e pokrytá). Uděláe druhý sloupec, k vložíe erovice poocí ástroe Řešitel stvíe
podíky. Abycho zistili výsledek eeší počet desek, usíe sečíst všech devět hodot v Řešiteli zdt tuto hodotu iiálí. Dostee eeší ožý počet desek ve kterých polích bude eich střed. Příkld 3 Kolik d? Ispirovli se se klsickou šchovou úlohou Kolik d se vede šchovici ( kde budou postvey ) tk, by se vzáeě eohrožovly? Pro edoduchost se použili šchovici, která á 4x4 pole. Nedříve sestvíe obecé prvidlo pro pole, b. N poli b esí stát dá, pokud toto pole ohrožue dá z pole. ( b) Poté toto prvidlo převedee do Horov tvru. Vydee z toho, že pokud egce libovolého výroku á být prvdivá, sá výrok e eprvdivý". b 0 Z Horov zápisu lehce dostáváe erovici b. Sestvíe všechy erovice, které á sysl řešit, t. tkové, které sou ezbyté pro správost úlohy. N... A B
N 2... A C N 3... A D... N 76... C4 + D4 Tyto erovice sou podíky, které zdáe do Řešitele. Výsledek N šchovici o rozěrech 4x4 pole se vedou pouze čtyři dáy tk, by byly splěy podíky úlohy. Jeich ožé rozístěí e zázorěo obrázku výše. 6 Shrutí Přesvědčili se se o řešitelosti logických úloh rozličýi etodi, př. odhde, úprvi logických rovic či převode soustvy lgebrických erovic s ásledý dořešeí v Řešiteli. Potvrdil se á užitečost tohoto ástroe, i když k užíváí Řešitele k řešeí obtížěších úloh (rozestvte d N x N šchovici) sou potřeb isté prográtorské dovedosti. Při řešeí logických úloh se si tktéž potvrdili, k e důležité si správě přesě forulovt edotlivé výroky ezáé. Poděkováí Chtěli bycho poděkovt šeu supervizorovi Jroíru Kuklovi, který se ás pokusil sezáit s ti Booleovské lgebry logiky všeobecě, KSE, FJFI ČVUT V Prze vše, kteří se podíleli Týdu vědy 200. Těšíe se přípdou dlší spolupráci. eferece [] SMULLYAN,.M. Jk se eue thle kížk Mldá frot, 986, příkld 3.32 [2] MÉSZÁOS, P. Alýz ožiy biárích vzorů s využití pokrývcích heuristik