Středí průmslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. část Ig. Dauše Mlčková
Úvod Tet avazuje a. část, je urče pro studet. až 4. ročíku středích průmslových škol se zaměřeí a geodézii. Jedá se o přepracovaou učebici Geodetické počtářství do elektroické podob s ohledem a deší techické vbaveí a platé předpis. Ozačováí vužívaé v tetu je vsvětleo u jedotlivých kapitol. Teto tet bude dle potřeb průběžě aktualizová.
Obsah:. Výpočet výměr... 4.. Výpočet výměr... 4... výpočet rozkladem... 4... výpočet ze souřadic... 9.. Vrováí hraice... 7... vrováí hraice bodem... 7... vrováí hraice daým směrem... 9.3. Děleí pozemků... 5. Trigoometrické určováí výšek... 3.. Odvozeí zeitové vzdáleosti... 3.. Určeí výšk předmětu... 3... předmět s patou přístupou... 33... předmět s patou epřístupou... 36.3. Určeí admořské výšk bodu... 40.4. Vliv zakřiveí Země a refrakce a výškové rozdíl... 43 3. Vrovávací počet... 5 3.. Charakteristik měřických chb... 5 3.. Charakteristik přesosti měřeí... 5 3.3. Vlastosti ahodilých chb... 53 3.4. Základ vrovávacího počtu... 55 3.4.. Vrováí pozorováí přímých stejé váh... 56 3.4.. Vrováí pozorováí přímých estejé váh... 59 3.4.3. Měřické dvojice... 60 3.4.4 Příklad... 6 3
. Výpočet výměr Pod pojmem výpočet výměr rozumíme určeí ploch mohoúhelíků, které jsou obrazem jedotlivých pozemků. Výpočet lze provádět rozkladem a jedoduché geometrické obrazce, jejichž obsah počítáme podle vzorců. Při zalosti souřadic všech lomových bodů vužíváme výpočet výměr ze souřadic (L` Huillierov vzorce). Na základě zámých ploch provádíme potom apř. vrováí hraice a děleí pozemků... Výpočet výměr... výpočet rozkladem Určovaý obrazec vhodě rozdělíme a trojúhelík, lichoběžík a čtřúhelík; vpočteme ploch jedotlivých obrazců a sečteme. Zpravidla počítáme dvojásobou plochu a teprve výsledý součet dělíme. Přehled vzorců: obsah trojúhelíka: P = a v a = b v b = c v c P = a b si b c si a c si c si si P = si a b c P = ss a s bs c, kde s P = a b (pravoúhlý trojúhelík) obr.- 4
obsah lichoběžíka: P = z z v, kde z, z jsou základ; v je výška P = obr.- Pokud jsou bod a opačých straách měřické přímk (tzv. zvrhlý lichoběžík) dosadíme jedu kolmici se zamékem (záporou). Vpočteme rozdíl ploch B' a B', tj. plochu DCB'. obr.-3 obsah čtřúhelíka: P = u v u v u v v (obr.-4) P = ).( ).( 3 (obr.-5) 3 obr.-4 obr.-5 5
Rozklad složitějších obrazců provedeme dvojím způsobem:. poecháme rozděleí, které vtvoří kolmice z měřeí obr.-6 Výpočet se skládá z výpočtu ploch trojúhelíka a lichoběžíků.. dělicí čáru vedeme z bodu a obvodu a patu kolmice ásledujícího bodu a opět a ásledující bod a obvodu obr.-7 Výpočet se skládá z výpočtu ploch trojúhelíků a čtřúhelíků. Příklad.: Vpočtěte výměru obrazce ohraičeého lomeou hraicí až 6, měřickou přímkou a kolmicí bodu 6 (obr.-8 a obr.-9). obr.-8. P = 5,86 4.93 50,76 5,86 3,67 4,93 88,49 50,76 33,5 3, 67,70 88,49 3,84 33,5 55,48 9,70 5,33 3, 84 P = 4 330,85m 9 8 66,7067m 6
obr.-9. P = 50,76 4,93 88,49 5,86 3,67 9,70 50,76 33, 5,48 88,49 3,84 55,48 9,70 5, 33 55 8 66,7067m P = 4 330,85m Pokud leží bod po obou straách měřické přímk, volíme při výpočtu rozkladem ploch po jedé straě kladé a po druhé záporé (vlevo kladé, vpravo záporé). Příklad.: Vpočtěte plochu mohoúhelíka při měřické přímce -6 (obr.-0). obr.-0. P = 0,54 6,07 54,09 0,54 30,67 6,07 88,54 54,09 30,67 34, 6 9,75 88,54 9,8 34,6 55,45 9,75 9, 8-7,950 m P = -356,48 m. P = 54,09 6,07 88,54 0,54 30,67 9,75 54,09 34, 6 55,45 88,54 9, 8-7,950 m P = -356,48 m 7
Příklad.3: Vpočtěte výměru pozemkové parcel č. 3 (obr.-). obr.- U bodů, 4 při výpočtu zvrhlého lichoběžíka je kolmice záporá, protože leží vě uzavřeého obrazce.. P = 37,83 8,9 9,94 0,53 75,56 37,83 6,90 9, 94 04,48 75,56 6,56 6,90 04,48 89,09 7,68 6, 56 89,09 68,6 7,68 5,38 68,6 3,47 5,38 7, 3,47,45 7, 7,8,45 8,9 7,8 0,53 = 8 384,5967 m P = 4 9,30 m obr.-. P = 37,83,45 0,53 75,56 8,9 9,94 04,48 37,83 6, 90 89,09 75,566,56 04,48 68,6 7,68 89,09 3,475, 38 68,6,45 7, 3,47 8,97, 8= 8 384,5967 m P = 4 9,30 m 8
... výpočet ze souřadic Pokud jsou vrchol mohoúhelíka zadá pravoúhlými souřadicemi, lze pro výpočet použít L` Huillierov vzorce. Odvodíme je pomocí ploch lichoběžíků vtvořeých hraicemi mohoúhelíka a souřadicovou osou +X. obr.-3 obr.-4 obr.-5 9
P = P ''+ P 33''+P 344'3' P 4'4' P = 4 4 4 3 4 3 3 3 po vásobeí P = 4 4 4 3 3 4 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 souči se stejými ide se odečtou a ostatí můžeme uspořádat ejprve podle, pak podle podle : P = 3 4 4 3 3 4 ; a obecě lze pro -úhelík psát P = ; [.] kde podle : P = 3 4 4 3 3 4 ; a obecě lze pro -úhelík psát P = ; [.] kde Z odvozeí vplývá, že ; ; tto rovice použijeme při číselém výpočtu ke kotrole. 0 0 Při číselém výpočtu je třeba dodržovat základí pravidla: ) výpočet provádět s vhodě redukovaými souřadicemi (redukce emá vliv a výsledek) ) obrazec musí být uzavřeý, předepsaý ve směru pohbu hodiových ručiček 3) při předpisu proti pohbu hodiových ručiček vjde obsah záporý 4) je-li obrazec v růzých kvadratech, emá to vliv a zaméko ai velikost obsahu, pokud dodržíme pravidlo ) 5) při předpisu pro číselý výpočet je vhodé po uzavřeí obrazce zopakovat ještě další bod pro výpočet souřadicových rozdílů,,3,4,, 0
Příklad.4: Vpočtěte výměru mohoúhelíka (obr.-6). ) zobrazte zadaé bod ve vhodém měřítku, souřadice vhodě redukujte ) předepište obrazec po směru pohbu hodiových ručiček 3) vpočtěte výměru mohoúhelíka Bod Y X 739 750,76 04 4,87 739 945, 04 43,54 3 740 075,73 04 389,33 4 739 664,78 04 46,3 Y redukujeme o 739 600 m, X redukujeme o 04 00 m a zvolíme vhodé měřítko pro zobrazeí : 5000 Bod Y X 50,76 4,87 345, 43,54 3 475,73 89,33 4 64,78 36,3 obr.-6 Obrazec předepíšeme po směru pohbu hodiových ručiček, uzavřeme a pro sadější výpočet zopakujeme ještě druhý bod.
Bod Y X 50,76 4,87 4 64,78 36,3 3 475,73 89,33 345, 43,54 50,76 4,87 4 64,78 36,3 Bod Y X 50,76 4,87 4 64,78 36,3 3 475,73 89,33 345, 43,54 50,76 4,87 4 64,78 36,3 Vpočteme dvojásobou plochu pomocí L Huillierových vzorců rovice [.], [.] P = P = P = 36,3 475,73 50,76 89,33 345, 64,7843,54 50,76 475, 73 4,87 64,78 345, 5 33,847 m P = 64,78 4,87 89,33 475,73 36,3 43,54 345, 89,33 4, 87 50,76 43,54 36, 3 5 33,847 m P = 6 67 m Výsledek dvojásobé výměr musí být v obou případech stejý, vpočteme výměru a tu zaokrouhlíme a m. Obsah zvrhlých mohoúhelíků obrazec popíšeme po obvodě, část I (--3-4-5-) je předepsáa ve směru pohbu ručiček hodiových obsah vjde kladý; část II (5-6-7-8-5) je předepsáa proti směru pohbu ručiček hodiových obsah vjde záporý. L Huillierov vzorce dávají hodotu I+II (tj. rozdíl ploch I a II). obr.-7
Do měřické přímk vložíme osu +, osu + určíme podle zásad pro orietaci os, předepíšeme obrazec při měřické přímce -8 (obr.-8) a L Huillierovými vzorci vpočteme výměru I+II. obr.-8 Bod Bod 0,00 0,00 0,00 0,00 4,86 5,83 4,86 5,83 3 3,38 5,3 3 3,38 5,3 4,54 73,54 4,54 73,54 5 0,00 89,3 5 0,00 89,3 6-7,96,06 6-7,96,06 7-4,68 33,64 7-4,68 33,64 8 0,00 55,45 8 0,00 55,45 0,00 0,00 0,00 0,00 4,86 5,83 4,86 5,83 P = - 446,8576 m P = - 446,8576 m P = -73,43 m P = -73,43 m Příklad.5: Vpočtěte výměru mohoúhelíka při měřické přímce -7 (obr.-9). obr.-9 3
Bod Bod 0,00 0,00 0,00 0,00 9,6 9,4 9,6 9,4 3 8,9 54, 3 8,9 54, 4 3,6 6, 4 3,6 6, 5-9,9 94,94 5-9,9 94,94 6 4, 3,33 6 4, 3,33 7 0,00 45,5 7 0,00 45,5 0,00 0,00 0,00 0,00 9,6 9,4 9,6 9,4 P = -655,5406 m P = -655,5406 m P = -87,77 m P = -87,77 m Příklad.6: Vpočtěte výměru parcel 0 (obr.-0). obr.-0 Bod Bod 0,00 0,00 0,00 0,00 -,7 56,4 -,7 56,4 3-7,5, 3-7,5, 5 0,00 38,6 5 0,00 38,6 4 5,6 74,34 4 5,6 74,34 0,00 0,00 0,00 0,00 -,7 56,4 -,7 56,4 P = 4 886,4863 m P = 4 886,4863 m P = 443,4 m P = 443,4 m 4
Příklad.7: Vpočtěte výměru parcel 03 ze souřadic v S-JTSK (obr.-). Bod Y X 73 94,6 0 748,8 733 007,9 0 574,4 3 73 805,66 0 633, 4 73 674,4 0 506,37 5 73 739,96 0 739,9 Souřadice pro výpočet redukujeme Y 0 = 73 600m; X 0 = 0 500m a bod zobrazíme. obr.- Bod Y X Bod Y X 34,6 48,8 34,6 48,8 407,9 74,4 407,9 74,4 3 05,66 33, 3 05,66 33, 4 74,4 6,37 4 74,4 6,37 5 39,96 39,9 5 39,96 39,9 34,6 48,8 34,6 48,8 407,9 74,4 407,9 74,4 P = 7 044,99 m P = 7 044,99 m P = 35 5,50 m P = 35 5,50 m Výpočet provádíme vžd pro kotrolu podle obou vzorců. 5
Pozámka: L Huillierov vzorce lze upravit i jiým způsobem a ejprve pouze souči sečíst a potom odečítat. Výpočet je bez kotrol. P = P = Obě rovice dávají shodý výsledek ukázka a příkladu.4. Výpočet je ted bez kotrol. Bod Y X Bod Y X 50,76 4,87 50,76 4,87 4 64,78 36,3 4 64,78 36,3 3 475,73 89,33 3 475,73 89,33 345, 43,54 345, 43,54 50,76 4,87 50,76 4,87 P = 50,76 43,54 345, 89,33 475,73 36,3 64,78 4, 87 4,87 345,43,54 475,73 89,33 64,78 36,350, 76 = 5 33,847 m P = 6 67 m 6
.. Vrováí hraice Je potřeba ahradit lomeou hraici mezi pozemk hraicí přímou tak, ab se výměra pozemků ezměila. Předpokládáme, že hodota směňovaých částí pozemků je stejá. Požadujeme, ab ová hraice procházela zvoleým bodem ebo měla daý směr. Úkolem je vpočítat vtčovací prvk pro vtčeí ové přímé hraice v teréu. Při výpočtu vtčovacích prvků poecháme výměru a celý počet desetiých míst, abchom zajistili požadovaou přesost prvků (prvk desetiá místa plocha 4 desetiá místa).... vrováí hraice bodem Lomeou hraici zaměříme a vhodě zvoleou měřickou přímku, která vchází ze zadaého bodu a prochází přibližě místem ového rozděleí. Postup výpočtu si vsvětlíme a příkladu. Příklad.8: Vpočtěte vtčovací prvk pro vtčeí přímé hraice mezi pozemk a (obr.-). Postup výpočtu: obr.- ) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka určeého vrchol až 7 ) při kladém výsledku je větší plocha po levé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 78; při záporém výsledku je větší plocha po pravé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 79; při ulovém výsledku je měřická přímka ovou dělicí hraicí 3) výměra mohoúhelíka je stejá jako výměra trojúhelíka M7 4) vpočteme vtčovací prvk pro bod M (výšku v, tj. kolmici MM ', staičeí M ', délku 7 M, případě 8 M po původí hraici a délku M ové hraice (pro výpočet vužíváme podobost trojúhelíků) 5) kotrolě vpočteme výměru trojúhelíka M7 6) pokud záme všech lomové bod parcel, vpočteme kotrolě výměr parcel původí i ové 7
P M7 = 7 v ; P MM' v ; 7 MM' 78' 7M' ; 88' 78 7M MM' ; 88' M M' MM' pro kotrolu 7M MM' 7M' ; P M7 = 7 MM ' Číselý výpočet: Bod 0,00 0,00 -,48 5,6 3 4, 9,84 4 6,4 4,7 5-3,6 74, 6-5,63 97,79 7 0,00 6,39 0,00 0,00 -,48 5,6 P = 888,688 m P = 944,3 m 888,688 MM' v = 4,94 m 6,39 4,94 6,75 7M' = 7,67 m 3,6 4,94 36,70 7M = 6,8 m pro kotrolu 3,6 7 M 4,94 7,67 = 6,79 m M ' 7 7M ' = 6,39 + 7,67 = 34,06 m M 34,06 4,94 = 34,89 m P M7 = 6,39 4,94 = 888,666 m P M7 = 944,3 m 8
... vrováí hraice daým směrem Lomeou hraici zaměříme a vhodě zvoleou měřickou přímku, která má požadovaý směr ového rozděleí a prochází přibližě místem ového rozděleí. Postup výpočtu si opět vsvětlíme a příkladu. Příklad.9: Vpočtěte vtčovací prvk pro vtčeí přímé hraice mezi pozemk 3 a 3, která má být kolmá k cestě p.č. 4 (obr.-3). Postup výpočtu: obr.-3 ) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka určeého vrchol až 8 ) při kladém výsledku je větší plocha po levé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 80; při záporém výsledku je větší plocha po pravé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 89; při ulovém výsledku je měřická přímka ovou dělicí hraicí 3) výměra mohoúhelíka je stejá, jako výměra lichoběžíka 8PM 4) lichoběžík ahradíme obdélíkem o základě 8 5) vpočteme výšku v', délku hraice MP a z výměr a základe vpočteme výšku v. 6) pokud jsou v' a v rozdílé vpočteme zovu MP a ovou výšku v. 7) pokud se výšk v požadovaé přesosti eliší, vpočteme vtčovací prvk pro bod P ( tj. kolmici v PP', staičeí P ', délku ové hraice MP, délku 8 P, případě 9 P po původí hraici (pro výpočet vužíváme podobost trojúhelíků) 8) stejým způsobem postupujeme i u bodu M, v ašem příkladu je pata kolmice M' totožá s bodem 9) kotrolě vpočteme výměru lichoběžíka 8PM 0) pokud záme všech lomové bod parcel, vpočteme kotrolě výměr parcel původí i ové 9
. výpočet: P 8PM = 8 v' ; P MM' PP' v' ; 8 PP' 89' 8P' ; MP 8-8P' ; 99' P 8PM = 8 MP v ; MM' PP' ásleduje. výpočet: P v 8 MP ; PP' 89' 8P' ; 99' PP' 89 8P ; pro kotrolu 99' 8P PP' 8P' ; MP 8-8P' ; P 8PM = 8 MP PP' Číselý výpočet: Bod 0,00 0,00 4,97 0,00 3,83 8,7 4-0,08 4,56 5-5,03 6,06 6 7,03 70, 7 5,06 88,3 8 0,00 96,48 0,00 0,00 4,97 0,00 P = -306,97 m P = -53,486 m. výpočet: 53,486,59 9,54 MM' PP' v',59 m; 8P' 0,49 m; 96,48 3,09 MP 96,48-0,49 95,99 m. výpočet: MM' PP' v 306,97 96,48 95,99,59 m,59 9,54,59 3,50 8P' 0,49 m; 8P,66 m; MP 96,48-0,49 95,99 m; 3,09 3,09 59 P 8PM = 96,48 95,99, = 306,073 m P 8PM = 53,0 m 0
Příklad.0: Vpočtěte vtčovací prvk ové přímé hraice mezi pozemk 3 a 3. Hraice bl zaměře ze staoviska 400 polárí metodou s orietací a bod (úhl v míře setié). Lomeou hraici až 7 ahraďte hraicí přímou, která vchází z bodu (obr.-4). obr.-4 Tp úloh Číslo bodu staičeí vzdáleost kolmice vodorový úhel 400 76,3 0,00 45,04 9,04 3 9,3 6,045 4 6,73 33,663 5 6,8 79,400 6 76,08 63,56 7 89,49 45,668 8 03,74 6,596 9 66,97 96,038 0 74,7 368,00 73,38 38,55 5,4 7,340 3 5,37 80,4 4 70,73 7,48 Poz. Výškový úhel
Postup výpočtu: ) zvolíme souřadice staoviska 400 (000,00; 5000,00) ) osu vložíme do směru 400- a vpočteme souřadice bodů až 4 3) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka až 7 4) plocha je kladá, ová hraice bude a přímce 74 5) z bodu vpočteme polárí prvk (délku, směrík) pro bod 7, 4 6) vpočteme ortogoálí vtčovací prvk pro bod 7, 4 od přímk 7 převodem polárích souřadic a pravoúhlé 7) vpočteme výšku trojúhelíka 7M 8) podobostí trojúhelíků vpočteme vtčovací prvk pro bod M 9) vpočteme souřadice bodu M 0) vpočteme výměr pozemků 3 a 3 původí i ové Číselý výpočet: Bod vzdáleost vod.směr směrík (m) (g) (g) 400 000,00 5000,00 76,3 0,00 00,000 076,3 5000,00 45,04 9,04 9,04 043,04 4986,74 3 9,3 6,045 06,045 09,4 4998,8 4 6,73 33,663 3,663 003,56 506,35 5 6,8 79,400 379,400 980,3 5058,95 6 76,08 63,56 363,56 958,79 5063,95 7 89,49 45,668 345,668 93,56 5058,83 8 03,74 6,596 36,596 94,50 5086,34 9 66,97 96,038 396,038 995,83 5066,84 0 74,7 368,00 68,00 065, 5035,53 73,38 38,55 38,55 060,59 4958,6 5,4 7,340 7,340 0,30 4953,87 3 5,37 80,4 80,4 975,86 499, 4 70,73 7,48 37,48 93,8 508,8 Souřadice redukujeme a vpočteme výměru mohoúhelíka až 7. Bod 76,3 00,00 43,04 86,74 3 9,4 98,8 4 03,56 6,35 5 80,3 58,95 6 58,79 63,95 7 3,56 58,83 76,3 00,00 43,04 86,74 P = 40,4838 m P = 70,49 m
Výpočet ortogoálích vtčovacích prvků pro bod 4 Bod s (m) σ (g) staičeí kolmice 076,3 5000,00 0,00 0,00 7 93,56 5058,83 55,33 34,78 55,33 0,00 4 93,8 508,8 45,7 308,45 40,86-37,3 40,4838 9,4 4,47 MM' v = 9,4 m 7M' = 3,54 m 55,33 37,3 9,4 40,05 7M = 9,8 m pro kotrolu 7M 9,4 3,54 = 9,80 m 37,3 M ' 7 7M ' = 55,33 3,54 = 5,79 m M 5,79 9,4 = 5,06 m Vpočteme souřadice bodu M Bod s (m) σ (g) 7 93,56 5058,83 4 93,8 508,8 40,0 0,77 M 9,80 0,77 93,38 5049,03 parcela 3 parcela 3 Bod Bod 76,3 00,00 76,3 00,00 60,59 58,6 43,04 86,74,30 53,87 3 9,4 98,8 3 75,86 9, 4 03,56 6,35 4 3,8 8,8 5 80,3 58,95 7 3,56 58,83 6 58,79 63,95 6 58,79 63,95 7 3,56 58,83 5 80,3 58,95 8 4,50 86,34 4 03,56 6,35 9 95,83 66,84 3 9,4 98,8 0 65, 35,53 43,04 86,74 76,3 00,00 76,3 00,00 43,04 86,74 60,59 58,6 P = 34,867 m P = 0065,647 m P = 6557,43 m P = 503,8 m 3
Bod Bod 76,3 00,00 76,3 00,00 60,59 58,6 M 3,38 49,03,30 53,87 7 3,56 58,83 3 75,86 9, 8 4,50 86,34 4 3,8 8,8 9 95,83 66,84 M 3,38 49,03 0 65, 35,53 76,3 00,00 76,3 00,00 60,59 58,6 M 3,38 49,03 P = 35,863 m P = 0064,6008 m P = 6557,93 m P = 503,30 m Rozdíl ve výměře parcel je způsobe zaokrouhleím vtčovacích prvků a cm. 4
.3. Děleí pozemků Velmi častou úlohou je při úpravách a majetkových převodech pozemků rozděleí tak, ab děleí vhovovalo předem zadaým podmíkám (oddělovaá část má daou výměru, dělicí hraice má určitou polohu). V teréu je potřeba ejprve celý pozemek zaměřit, vpočítat výměru a tu porovat s výměrou uvedeou v katastru emovitostí. Rozdíl O P = P KN P V esmí překročit mezí odchlku u MP pro dvojí určeí výměr (apř. u MP = 0,5 P ). Mezí odchlka je staovea podle měřítka a tpu mapových podkladů v zájmovém prostoru a způsobu určeí výměr. V současé době jsou v katastru emovitostí uvede výměr s kódem kvalit 0,, (0 grafický způsob, z přímo měřeých měr, ze souřadic). Mapové podklad mohou být aalogové, digitalizovaé ebo digitálí. Podle tpu podkladu porováváme výměru z KN s výměrou vpočteou. Mezí odchlk pro dvojí určeí ploch jsou uvede v příloze 4 vhlášk 6/007 Sb. U oddělovaých částí uvádíme do KN výměru z vpočteých hodot. Vtčovací prvk ové hraice počítáme vžd z výměr vpočteých z měřeí. Příklad.: Rozdělte pozemek 54 a stejé části tak, ab ová dělicí hraice bla kolmá a strau AB. Výměra uvedeá v KN je 4570 m, kvalita 0, aalogová mapa v měřítku :000. obr.-5 Postup výpočtu: ) vpočteme výměru ABC, porováme s výměrou z KN. ) kotrolě vpočteme oměré 3) vpočteme výměru ACC a BCC 4) z podobosti BDD a BCC vpočteme DD ' ; BD '; BD 5) kotrolě vpočteme výměr 54/ a 54/. 5
Číselý výpočet: P ABC = AB CC' = 8,03 7,35 = 934,9405 m P = 4567,47 m O P = 4570 m 4567 m = 3 m u MP = 0,5 4570 = 9 m O P < u MP kotrolě vpočteme oměré AC = BC = 7,6 7,35 = 76,38 m; Os = -0,04 m 00,77 7,35 = 3,48 m; Os = 0,04 m P ABC = AC' CC' = 7,6 7,35 = 945,00 m P = 97,50 m P BCC = C' B CC' = 00,77 7,35= 789,9395 m P = 3594,97 m oddělovaá část = P54 = 83,74 m (54/, 54/) P DD ' 54 = CC' P BCC' ; DD ' = P P 54 BCC' CC' ; DD ' = P P 54 BCC' CC' ; DD ' = 56,87 m P BD ' 54 = BC' P BCC' ; BD ' = P P 54 BCC' P54 BC' ; BD' = BC'; BD ' = 80,3 m P BCC' BD = BC P P 54 BCC' ; BD = P P 54 BCC' BC ; BD = P P 54 BCC' BC ; BC = 98,39 m kotrolě BD = BD' DD' ; BD = 80,3 56,87 = 98,4 m vtčovací prvk, tj. souřadice, v místí soustavě (_přímka AB): D (-56,87;47,7) kotrolí výpočet výměr : 54/ P = P ACC + P CDD C = 97,50 m + 3,05 m = 83,55 m 54/ P = P BDD = 83,90 m 6
Do katastru emovitostí zapíšeme výměr a celé m, tj. 84 m, P KN = 4570 m, P (54/+54/) = 4568 m, rozdíl m erozdělujeme, protože ové určeí výměr je přesější ež určeí původí. Příklad.: Rozdělte pozemek 4 a stejé části tak, ab ová dělicí hraice bla rovoběžá se straou BC. Výměra uvedeá v KN je 055 m, kvalita 0, aalogová mapa v měřítku :000. Postup výpočtu: Číselý výpočet: obr.-6 ) vpočteme výměru ABC, porováme s výměrou z KN ) kotrolě vpočteme oměré 3) vpočteme výměru oddělovaé části, tj. P4 4) z podobosti trojúhelíků platí, že poměr ploch je stejý jako poměr čtverců PV AB stra, apř. pv AM 5) vpočteme vzdáleosti AM, AP, MP, PP', AP' ; pro výpočet použijeme měřeé hodot 6) kotrolě vpočteme výměru 4/ P ABC = AB CC' = 74,6 8,48 = 4,948 m P V = 057,464 m O P = 055 m 057 m = - m u MP = 0,5 057 = 0 m O P < u MP kotrolě vpočteme oměré AC = BC = 56,5 8,48 = 6,96 m; Os = -0,04 m 8, 8,48 = 33,75 m; Os = 0,05 m p V = P V = 58,73 m 7
AM AB p P V V ; AM = 5,5 m AP AC p P V V ; AP = 44,55 m MP BC p P V V ; MP = 3,83 m PP' CC' p P V V ; PP ' = 0,4 m AP' PP' ; AP ' = 39,7 m AC' CC' P 4/ = 5,5 0,4 = 58,776 m Příklad.3: Rozdělte pozemek 06 a části tak, ab ová dělicí hraice bla kolmá a strau 5 a vcházela z bodu 3. Výměra uvedeá v KN je 70 m, kvalita 0, aalogová mapa v měřítku :000. Lomové bod bl zaměře polárí metodou ze staoviska 40 s orietací a bod, směr v míře setié. Tp úloh Číslo bodu staičeí vzdáleost kolmice vodorový úhel 40 3,6 0,00 38,94 96,4 3 4,38 4,9 4 6,76 86,67 5 34,8 6,39 Poz. Výškový úhel obr.-7 8
Postup výpočtu: ) zvolíme souřadice staoviska 40 (000,00; 5000,00) ) osu vložíme do směru 40- a vpočteme souřadice bodů až 5 3) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka až 5 4) z bodu vpočteme polárí prvk (délku, směrík) pro bod 5 5) vpočteme ortogoálí vtčovací prvk pro bod M a přímce 5 s vužitím rovic pro bod a kolmici 6) vpočteme souřadice bodu M 7) vpočteme polárí vtčovací prvk pro bod M ze staoviska 40 8) vpočteme výměr pozemků 06/ a 06/ Číselý výpočet: Bod vzdáleost vod.směr směrík (m) (g) (g) 40 000,00 5000,00 3,6 0,00 0,00 000,00 503,6 38,94 96,4 96,4 038,87 500,36 3 4,38 4,9 4,9 04, 4990,6 4 6,76 86,67 86,67 005,56 4973,8 5 34,8 6,39 6,39 97,39 4980,5 Souřadice redukujeme a vpočteme výměru mohoúhelíka až 5. Bod 00,00 3,6 38,87 0,36 3 4, 90,6 4 05,56 73,8 5 7,39 80,5 00,00 3,6 38,87 0,36 P = 4533,78 m P = 66,8609 m Výpočet polárích prvků pro bod 5 Bod s (m) σ (g) 000,00 503,6 5 97,39 4980,5 59,36 3,06 9
Výpočet ortogoálích prvků (staičeí, kolmice) pro bod M 3 s M si5 km3 cos5 3 s M cos5 km3 si5 d osadíme a ahradíme si k ; 5 cos 5 k 4, s M k km3 k s M k km3 k 4,00 vřešeím soustav rovic dostáváme s M 6,93 m; k M3-56,36 m Bod M leží a přímce 5, kolmice je 0. Bod s (m) σ (g) staičeí kolmice 000,00 503,6 0,00 0,00 5 97,39 4980,5 59,36 3,06 59,36 0,00 M 6,93 3,06 6,93 0,00 Vpočteme souřadice bodu M a polárí vtčovací prvk z bodu 40 Bod s (m) σ (g) 000,00 503,6 5 97,39 4980,5 59,36 3,06 M 6,93 3,06 99,84 507,33 Bod s (m) σ (g) ω (g) 40 000,00 5000,00 000,00 503,6 3,6 0,0000 0,0000 M 99,84 507,33 9,6 37,9846 37,9846 parcela 06/ parcela 06/ Bod Bod 3 4, 90,6 00,00 3,6 4 05,56 73,8 38,87 0,36 5 7,39 80,5 3 4, 90,6 M 9,84 7,33 M 9,84 7,33 3 4, 90,6 00,00 3,6 4 05,56 73,8 38,87 0,36 P = 375,6405 m P = 358,966 m P = 587,8 m P = 679,0 m kotrola P (06/+06/) = 67 m, rozdíl 0 m 30
. Trigoometrické určováí výšek Výškové rozdíl určujeme ivelací ebo trigoometrickým způsobem. Trigoometrický způsob vužijeme, pokud ivelace eí vhodá a postačí ám ižší přesost. Při trigoometrickém způsobu vcházíme z aměřeé vzdáleosti (vodorové ebo šikmé) a svislého úhlu (zeitové vzdáleosti ebo výškového úhlu). Trigoometrické určováí výšek užíváme pro ) určeí výšk předmětu ) určeí admořské výšk bodu.. Odvozeí zeitové vzdáleosti obr.- o,o. měřeá hodota v I. a II. poloze dalekohledu z, z. zeitová vzdáleost v I. a II. poloze dalekohledu i. ideová chba z z o i 4R o i 4R o o z [.] 3
Oprava ideové chb z z o i 4R o i i 4R o o i 4R (o o ) 4R - o o i ebo o o i R [.] pro i = 0 platí: o 4R [.3] o o 4R i..odečíst od o o o 4R i..přičíst k o o Příklad.: Vpočtěte ideovou chbu a zeitovou vzdáleost z měřeí v obou polohách dalekohledu. o = 99,960 g o = 97,49 g o = 300,70 g o = 30,854 g o o = 400,0080 g o o = 399,9960 i = -0,0080 g i = +0,0040 g i = -0,0040 g i = +0,000 g z = 99,90 g z = 97,439 g g.. Určeí výšk předmětu Určeí výšk předmětu rozdělujeme a ) předmět s patou přístupou lze přímo měřit vzdáleost a úhel a vrchol i patu předmětu, apř. stožár ) předmět s patou epřístupou elze přímo určit vzdáleost ai úhel k patě předmětu, apř. kostelí věže a podle prostoru potom řešíme ) pomocí trojúhelíka při dostatku místa v okolí ) v přímce při edostatku místa 3
... předmět s patou přístupou obr.- h s0 cot g z h s0 cot g z [.4] s 0 0 H s cot g z cot g z [.5].vodorová vzdáleost od staoviska k předmětu z.zeitová vzdáleost (úhel) a vrchol předmětu z.zeitová vzdáleost (úhel) a patu předmětu Za předpokladu, že měříme šikmou vzdáleost, lze vužít vzorce obr.-3 33
s i h s cos z h cos cos cos.šikmá vzdáleost od staoviska k předmětu s z [.6] H s z s z [.7] Vzhledem k tomu, že pod horizotem). z 0;R vzorce platí pro všech případ (bod ad horizotem, říklad.: Vpočtěte výšku předmětu pro vzdáleost s = 00 m a zeitové vzdáleosti a) z = 70,00 g z = 90,00 g b) z = 0,00 g z 30,00 g = c) z = 90,00 g z = 0,00 g P 0 obr.-4 a, b, c Číselý výpočet: g g 0 cot g 70 cot g 90 g b) H 0 cot g0 cot g30 g g H cot g 90 cot g a ) H s = 00 0,50955 0,58384 s g = 00 0,58384 0,50955 s 00 0,58384 0,58384= 3 c) 0 0 = = 35, m = 35, m,68 m Příklad.3: Vpočtěte výšku sigálu s přístupou patou. Zadáí a) b) c) s 0 7,4 m 84,76 m 3,45 m z 74,46 g 8,66 g 0,8 g z 06,73 g 94,548 g,867 g 34
obr.-5 Číselý výpočet: podle vzorců [.4] a [.5] H s 0 cot g z cot g z Zadáí a) b) c) h 30,89 m 3,7 m - 3,53 m h - 7,66 m 7,8 m - 5,30 m H= h - h 38,55 m 6,44 m,77 m H 38,54 m 6,45 m,76 m Rozdíl ve výšce jsou způsobe postupem výpočtu (zaokrouhleím mezivýsledků h, h a cm a přímým výpočtem H podle vzorce [.5]. 35
... předmět s patou epřístupou. zvolíme staoviska tak, ab s předmětem tvořil trojúhelík (pokud možo rovostraý ebo rovorameý s úhlem a bodě V v itervalu 30-70 g ), vzdáleosti spočteme siovými větami z délk pomocé základ b a změřeých vodorových úhlů α, β (obr.-6). obr.-6 s b si si b si s [.8] si Výšku předmětu vpočteme z převýšeí (h, h ) pomocí změřeé zeitové vzdáleosti z a vrchol předmětu, vzdáleosti s a laťového úseku (l, l ) změřeého a lati postaveé u pat předmětu při dalekohledu urovaém do vodorové poloh. obr.-7 h s z cot g cot g h s z [.9] H h l h l [.0] Pokud je rozdíl obou vpočteých hodot meší ež mezí odchlka, použijeme do dalších výpočtů průměrou hodotu. 36
. zvolíme vzdáleější staovisko (S ) a druhé staovisko (S ) zařadíme do přímk S V, změříme základu b= S S, zeitové vzdáleosti z,z a laťové úsek l,l. obr.-8 b cot z l H h l g H h l cot g z l [.] b cot g z l cot g z l cot g z cot g z b cot z l l g b cot g z l l cot g z cot g z [.] Po výpočtu vpočteme výšku předmětu dosazeím do rovic [.], které vzikl úpravou rovic [.9], [.0]. h s z cot g cot g h s z H h l h l Příklad.4: Vpočtěte výšku věže od prahu při dostatku místa v okolí. Měřeé hodot: staovisko S S b 0,6 m vod.úhel 6,46 g 74,48 g z 85,494 g 84,599 g l,3 m,4 m 37
obr.-9 Číselý výpočet: staovisko S S b 0,6 m vod.úhel 6,46 g 74,48 g s 0,99 m 00,30 m z 85,494 g 84,599 g h 5,74 m 4,75 m l,3 m,4 m H 6,87 m 6,89 m H 6,88 m 38
Příklad.5: Vpočtěte výšku věže od prahu při edostatku místa v okolí. Měřeé hodot: staovisko S S b 74,87 m z 8,487 g 64,87 g l,86 m 0,94 m obr.-0 Číselý výpočet: Dosazeím do vzorce [.] vpočteme vzdáleost věže od staoviska S b cot g z l l cot g z cot g z = 73,48 m staovisko S S b 74,87 m 73,48 m s 48,35 m 73,48 m z 8,487 g 64,87 g h 44,40 m 45,3 m l,86 m 0,94 m H 46,6 m 46,6 m H 46,6 m 39
.3. Určeí admořské výšk bodu Používáme při výpočtu výšek bodů bodových polí. Při vzdáleostech ad 300m je třeba zavádět opravu ze zakřiveí Země a z refrakce. obr.- V B = V A + v s + h - v c [.3] VAB VB VA VBA VA VB = - VAB h s cot g z ; h s cos z 0 Výškové rozdíl se zpravidla určují tam i zpět, do dalšího výpočtu se používá průměrá hodota (rozdíl T a Z esmí překročit mezí odchlku). obr.- obr.-3 40
V AB T V BA Z T - Z V AB VAB - VBA VAB [.4] Výsledý výškový rozdíl je průměrem absolutích hodot T a Z, zachová se zaméko převýšeí T. Při výpočtu výšek v polgoovém pořadu se vpočteý výškový rozdíl počátečího a kocového porovává s výškovým rozdílem daým a odchlka O v se rozdělí úměrě délkám OV stra ( Vi si ). [s ] i Příklad.6: Vpočtěte admořské výšk bodů,. staovisko výška stroje m záměra a bod zeitová vzdáleost g výška cíle m vzdáleost m A,46 9,85,50 48,36,50 A 08,7,50 48,36 03,73,50 96,94,64 96,374,50 96,94 B 06,59,50 6,7 B,38 93,46,50 6,7 měřeí tam Obr.-4a 4
měřeí zpět obr.-4b Číselý výpočet: Vpočteme výškové rozdíl V, odchlku O v a výsledé výšk bodů,. Odchlku O v rozdělíme úměrě délkám stra. sta. záměra a bod vzdáleost m h (m) v s - v c (m) V(m) V(m) V (m) A 48,36 0,44-0,04 0,40 + 546,74 A -0,43 0-0,43 0,4 567,7 96,94-5,66 0-5,66 + 5,53 0,4 5,67-5,67 56,5 B 6,7-6,69 0,4-6,55 + B 6,7-0, 6,59-6,57 544,96 [ ] 407,47 -,8 -,78 O v = -,78 - (-,8) = 0,04 m 4
.4. Vliv zakřiveí Země a refrakce a výškové rozdíl Výškový rozdíl bodů A, B je vzdáleost od skutečého horizotu bodu A ke skutečému horizotu bodu B měřeá po svislici. Výšk určujeme ale od zdálivého horizotu a je ted třeba zjistit rozdíl skutečého a zdálivého horizotu q (obr.-5). Vlivem změ hustot vzduchu v růzých výškách dochází k refrakci světelého paprsku, který probíhá přibližě po kruhovém oblouku a m měříme úhel k tečě tohoto oblouku. Bod B se ám jeví zdálivě v B a výškový rozdíl musíme opravit o q (obr.-6). Oprava ze zakřiveí a refrakce se zavádí společě a je v ašich podmíkách vžd kladá (q je přibližě 7 větší ež q ). s. vzdáleost bodů A,B r. poloměr Země R.poloměr refrakčího oblouku k.refrakčí koeficiet = poměr obou poloměrů, je závislý a admořské výšce, zeměpisé poloze, deí době, teplotě vzduchu, vegetačím porostu a dalších čiitelích; používáme průměrou hodotu k = 0,306 O oprava ze zakřiveí a refrakce (q.oprava ze zakřiveí, q.oprava z refrakce) a. vliv zakřiveí Země obr.-5 s arc ; q s arc r s r [.5] 43
b. vliv refrakce obr.-6 ρ = z - z ; s arc ; arc R s R r arc R r R arc k s r s q s arc k [.6] r k. refrakčí koeficiet, eí stálý, závisí a admořské výšce, deí době, teplotě vzduchu, vegetačím porostu a dalších čiitelích; používáme k = 0,306 c. výsledá oprava ze zakřiveí a refrakce s s s k k k s o s [.7] r r r r O = q q k o =, je pro daé území a refrakčí koeficiet kostatí, pro r = 6380 km a k = 0,306 r 0,306 se vpočte o 5 6,8 0 km 6380 Pokud dosadíme do rovice [.7] r v km, s v m, vjde oprava O v mm. 44
Příklad.7: Vpočtěte admořskou výšku bodu 48 z bodů 0, 06 a 4. Zeitové vzdáleosti bl měře a daých bodech i bodě určovaém. Výsledou výšku určete ze všech hodot obecým (vážeým) aritmetickým průměrem a zjistěte jeho středí chbu, váha pi, kde s i je délka v km. s i obr.-7 výpis ze zápisíků a staoviskách 0, 06, 4 staovisko výška stroje m výška cíle m výška bodu m záměra a bod zeitová vzdáleost g výška cíle m vzdáleost m 0,60,00 97, 48 0,7939 4,94 89,9 06,4,9 84,40 48 0,900 4,94 96,8 4,48 4,36,54 48 96,5504 4,94 674,4 měřeí tam měřeí zpět obr.-8a obr.-8b 45
() Nomeklatura: 40 Staovisko: cetrické Měřil: Číslo a ázev bodu: Měřeo de: od.40 48 U Krbu M.N. do 0..008.0 Zápisík měřeých výškových úhlů () (3) (4) (5) (6) (7) (8) Skupia součet Kotrola Výškový úhel Číslo a ázev Pozámka: cíle U každého cíle se mě průměr ( I + II ) Zeitová vzdáleost v pol. II. hed po pol. g c cc c cc g c cc g c cc 0 V Zálesí 4 Hůrka 06 Lada Cílová začka (ákres) v c =,00 v c =,9 v c = 4,36 Poloha dalekohledu I II 303 06 II 97 4 I 98 53 II 30 I II 96 I 0 95 87 48 0 06 79 73 7 3 48 4 93 87 04 00 95 04 06 76 400 0 87 5 4 45 400 53 90 i = -90 i = -85 0 70 0 86 i = -96 80 96 94 4 40 48 0 400 0 9 98 5 94 Theodolitem Theo 00 č. Theodolit postave a stativu 96543 I II I Stav povětrosti: zatažeo, mírý vítr Výšk ad měřickou začkou 4,94 II I II I II 0.00,56 0,00 I II I II Vpočteme zápisík.9 - měřeých výškových úhlů. Pro další výpočet lze použít zápisík 4.3 výpočet výšek polgoového pořadu, případě si vhotovit vlastí tabulku. 46
Pořad č Bod pořadu VÝPOČET VÝŠEK V POLYGONOVÉM POŘADU teodolitu cíle oprava z vr. **) (5)+(6) T - Z -(7)+(8) str.:... zpět Z () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () g c cc 0 48 Zeitová vzdáleost z z měřeí tam T *) 0 79 39 96 94 4 cotg z Stra s 89,9 s.cotg z -39,8,60 4,90 Výšk ad kameem,56,00 O 4,94 0,05-4,47 0,05 4,5-4,49 Nadm. výšk 97, 54,7 O (oprava ze zakř. a refr.) 06 48 0 9 00 98 5 94 96,8-6,7 9,95,4,56 4,94 0, -9,68,9 0, 9,70-9,69 84,40 54,7 4 48 96 55 04 0 86 40 674,4 36,57-30,35,48,56 4,94 4,36 0,03 0,03 33,4-33, 33,3,54 54,67 *) smsl T odpovídá pořadí ze sl. **) rozdělí se úměrě délkám stra [ ] Geodézie 4-3 O - k r s Ml 008 Výsledou výšku vpočteme obecým aritmetickým průměrem. i sta. o s p δ pδ v pv pvv m km cm cm cm 0 54,7 0,89,6 5,44-3 -3,786,358 06 54,7,30 0,59 6,5 - -,84,368 3 4 54,67 0,67,8 7 5,596 4,456 8,9 [ ] 0 = 54,60 4,08 37,5 0,638 0 [ p ] 54,60 m + [ p] 37,5 4,08 cm = 54,69 m středí chba obecého aritmetického průměru m [ pvv] [ p] m,638 =,7 cm 4,08 47
Příklad.8: Vpočtěte souřadice a výšk bodů 5 a 5 zaměřeých vetkutým polgoovým pořadem. Dáo: Bod Y X Z 0 834 676,36 043 9,0 34,8 3 834 683,9 044 339,8 36,7 obr.-9 Zápisík měřeých úhlů a vzdáleostí Číslo Výsledá Kotrola Vodorová Pozámka Vodorové úhl vzdáleost Svislé úhl I+II vzdáleost O průměr Zeitová s edukovaý průmě s průměr vzdáleost s g c cc g c cc m cm g c cc g c cc cm m cm cm () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) () () (3) (4) 0 I 94 34 40 400 0 60 48 40 v s = 5,50,6 II 48 4 305 67 0 94 33 60 48 4 staoviska 5 cílového bodu 0 Řada I 0 6 0 0 6 80 05 75 60 400 0 40 48 43 II 00 7 40 0 00 00 48 4 94 5 80 05 74 90 48 44 Redukce Str.: výška cíle,50 půleí v s =,58 5 I 3 9 00 3 9 65 88 78 00 400 0 30 36 4 II 3 9 30 3 74 85 36 4 3 3 30 88 77 35 36,00 5 5 I 48 90 49 50 0 88 83 400 0 6 36 4 II 0 50 0 0 00 00 36 4 89 43 0 88 0 36 5,00 v s =,66 3 v s =,63 I 9 87 35 9 87 9 07 5 80 400 0 44 59 98 3 II 9 88 49 8 38 4 59 96 9 48 64 07 5 08 59 95 I 9 59 85 400 0 30 59 96 5 II 59 96 307 4 45 9 59 0 59 95 Geodézie č. 4.05-983 O = O + O + O 3 + O 4 O O O 3 O 4 z porováí z teplot redukce a ulovou hladiu ze zkresleí,50,50 48
VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Číslo pořadu () s(+ si + cos ) Úhl a úhlové Směrík Stra si vrováí s + si + cos Číslo bodu g c cc g c cc cos () (3) (4) (5) (6) Souřadice a souřadicové vrováí Y X (7) (8) 0 5 5 3 3 74 85 8 38 4 0 00 00 48,4 0.00 48,4 3 74 85 36,4 49,6 6,78 4 3 7 59,96 98,30 6,9 0 5 5 3 3 74 85 8 38 4 444,5 [ ']= 47,9 [ ']= 40,39 σ'=,4776 g s' = 47,78 m σ=,54 g s = 47,69 m σ P = 378,6478 g Os = -0,09 m s = 0,3 m Os <Δs 834 676,36 043 9,0-3 378 64 78 48,4-48,85 40,5 834 67,5 044 05,3-39 63 36,4 5, 36,04 834 63,63 044 88,34-3 0 78 05 59,96 5,9 5,5 834 683,9 044 339,8 Y = 7,56 Y = 47,6 444,5 [ ']= 7,56 [ ']= 47,70 O = 0 O = -0,08 Op = 0,08 p = 0,3 m Op <Δp Geodézie č. 4. - 97 Pro výpočet výšek spočteme vzdáleosti ze souřadic. Výšk vpočteme v zápisíku 4.3. 49
VÝPOČET VÝŠEK V POLYGONOVÉM POŘADU str.:... Pořad č Bod pořadu teodolitu cíle oprava z vr. **) (5)+(6) T - Z -(7)+(8) () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () 0 5 5 3 Zeitová vzdáleost z z měřeí tam T *) zpět Z g c cc cotg z Stra s s.cotg z Výšk ad kameem 34,8 94 33 60 3,4,6,50 3,36-48,39 05 74 90-3,44,58,50-3,36 3,36 356,7 88 77 35 4,6,58,00 3,84-36, 0 88 0-3,50,66,00-3,84 3,84 380,00 07 5 08-8,98,66,50-8,8-59,93 9 59 0 8,69,63,50 8,8-8,8 36,7 O Nadm. výšk O O (oprava ze zakřiveí a refrakce) - k s r *) smsl T odpovídá pořadí ze sl. **) rozdělí se úměrě délkám stra Geodézie 4-3 8,38 8,35 Ov = -0,03 Ml 008 Sezam souřadic a výšek Bod Y X Z 5 834 67,5 044 05,3 356,7 5 834 63,63 044 88,34 380,00 50
3. Vrovávací počet Při měřeí všech veliči se objevují měřické chb. Jsou způsobe edokoalostí pomůcek a epozorostí měřiče. Většia chb se odstraí opakovaým měřeím, měřickým postupem a pečlivou prací. Vrovávat lze pouze výsledk, které obsahují zbtkové chb sstematické a chb ahodilé. Opakovaým měřeím téže veliči za praktick stejých podmíek vziká základí (stejorodý) soubor výsledků, které jsou zatíže měřickými chbami. Protože ale ve většiě případů ezáme absolutě správou hodotu určovaé veliči, zjistíme z výsledků měřeí pouze ejpravděpodobější hodotu a její spolehlivost (přesost měřeí a výsledku). 3.. Charakteristik měřických chb Měřické chb rozdělujeme a 3) oml jsou rozpozatelé a prví pohled, apř. zapomeutý klad pásma, záměa číslic; měřeí elze použít 4) chb hrubé přesahují mezí odchlku metod měřeí, odstraí se opakovaým měřeím; z dalšího zpracováí je musíme vloučit 5) chb evhutelé vsktují se v měřeí vžd, dělí se a - sstematické - kostatí - promělivé - periodické - ahodilé Chb sstematické se odstraňují početě ebo měřickým postupem. Vrovávat lze pouze hodot obsahující chb ahodilé a zbtkové chb sstematické. Skutečá chba (ε) Skutečou chbu (ε) defiujeme jako rozdíl absolutě správé hodot měřeé veliči (skutečé) X a aměřeé hodot o i : ε i = X o i (i =,. je počet opakovaých měřeí) [3.] Skutečou hodotu X záme je výjimečě, proto i skutečou chbu ε můžeme určit je zřídka ( skutečou chbou je apříklad uzávěr úhlů v trojúhelíku součet má být 80 ). Nejpravděpodobější chba (v) Pro vrováí pozorováí přímých stejé váh je ejpravděpodobější hodotou aritmetický průměr o o... o = o [3.] Nejpravděpodobější chba je ted defiováa jako rozdíl ejpravděpodobější hodot a aměřeé hodot o i : v i = - o i (i =,. je počet opakovaých měřeí) [3.3] Nejpravděpodobější chb v i jsou podle rovice [3.3] odchlk od aritmetického průměru a zároveň jsou to oprav aměřeých hodot. 5
3.. Charakteristik přesosti měřeí Výsledk měřeí lze posuzovat podle růzých kriterií. Pro měřeí a výpočt mají výzam tto chb. a) průměrá (lieárí) chba s je aritmetický průměr absolutích hodot všech chb ε s [3.4] b) základí středí (kvadratická) chba m je defiováa jako kvadratický průměr všech chb ε m [3.5] ebo při výpočtu z oprav v : vv m [3.6] Vzhledem k tomu, že m je citlivější a větší chb ež s, používá se v geodézii téměř vžd základí středí (kvadratické) chb jako charakteristik přesosti. Základí středí (kvadratické) chba m je dáa metodou a podmíkami při měřeí (stroj, ostatí pomůck, zkušeosti měřiče). Teoretick je to středí hodota všech chb v základím souboru, kd počet měřeí. Její hodota je pro daou metodu měřeí kostatí ( m =kost.). V prai ji ahrazujeme hodotou určeou z velkého počtu měřeí, provedeých za stejých podmíek a říkáme jí středí chba metod měřeí (apř. středí chba uvedeá u měřických přístrojů). Při meším počtu měřeí jsou výsledk a jejich chb je áhodým výběrem ze základího souboru. Středí chbu v tomto případě počítáme pro koečé ( je počet měřeí). m počet měřeí [3.7] vv m [3.8] a říkáme jí výběrová středí chba ebo odhad základí středí chb (středí chba jedoho měřeí). c) pravděpodobá chba r pravděpodobost P(r) = [3.9] přibližou hodotu r můžeme určit tak, že uspořádáme chb podle jejich velikosti a ajdeme hodotu uprostřed (tzv. mediá). Chba může být se stejou pravděpodobostí větší ebo meší ež základí pravděpodobá chba. 5
Vztah mezi velikostí chb lze vjádřit poměrem m : s : r : 0,80 : 0, 67 3.3. Vlastosti ahodilých chb Jedotlivá chba se eřídí žádým zákoem, edokážeme předvídat její velikost, ai zaméko. V dostatečě velkém souboru ahodilých chb lze ale zjistit určité vlastosti těchto chb. Vlastosti ahodilých chb si vsvětlíme a příkladu 7 uzávěrů trojúhelíků českosloveské trigoometrické sítě. Chb seskupíme do itervalů po 0,33 a sestrojíme sloupcový graf (histogram). Chb dosahují hodot do ±,0. Hodota,0 je zahruta v itervalu,66",,00". POČET UZÁVĚRŮ INTERVAL (ČETNOST) + - součet 0,00 0,33 53 43 96 0,33 0,66 7 35 6 0,66,00 6 38,00,33 0 9 9,33,66 5 4 9,66,00 0 3 3 Celkem 7 00 7 ČETNOST CHYB 60 50 40 četost 30 0 0 0 -,00" -,66" -,33" -,00" -0,66" -0,33" 0,00" 0,33" 0,66",00",33",66",00" skutečé chb obr.3-53
obr.3- Z dostatečě velkého souboru vplývá, že ahodilé chb podléhají určitým zákoitostem jak ukazuje Gaussova křivka: ) kladé a záporé chb stejé velikosti jsou stejě četé ) čím je chba meší, tím je četější 3) ejvětší četost má chba ulová 4) v prai epřekročí chb určitou mez Mezí chb ejvětší přípusté chb. Staoví se směricemi a předpis. Mezí chba se vpočítá ze součiu středí chb metod měřeí m a tzv. koeficietu spolehlivosti t. u t m [3.0] t se volí ejčastěji - 3 dle áročosti prováděého měřeí a podmíek při měřeí. S velikostí itervalu spolehlivosti souvisí pravděpodobost, že ahodilá chba bude ležet a tomto itervalu. INTERVAL KOEFICIENT pravděpodobost % t m; m 68 m; m 95 3m; 3m 3 99,7 Mezí (dopusté) odchlk u jsou vhodým kriteriem pro epřípusté skutečé chb (apř. uzávěr trojúhelíků). Pro rozdíl dvojího měřeí (délk, úhlu, převýšeí, ploch) se určují ejvětší dovoleé odchlk, tzv. mezí rozdíl. u mez u [3.] 54
obr.3-3 3.4. Základ vrovávacího počtu Ve vrovávacím počtu předpokládáme, že z měřeých hodot jsme vloučili oml, hrubé chb a většiu chb sstematických a sažíme se ajít hodotu, která se co ejvíce blíží hodotě skutečé (X).Vlivem ahodilých měřických chb dostáváme pro měřeou veličiu číselé hodot, které se v určitých mezích liší. Výsledek hledáme vrováím z aměřeých hodot. Vrováí lze rozdělit a a) pozorováí přímá stejé váh měříme přímo hledaou veličiu jedou pomůckou (měřeí délk pásmem) b) pozorováí přímá estejé váh - měříme přímo hledaou veličiu růzě přesými pomůckami (měřeí délk pásmem, itkovým dálkoměrem, elektrooptickým dálkoměrem) c) pozorováí zprostředkující měříme veličiu, z které ezámou určíme výpočtem (apř. při protíáí vpřed vrováváme souřadice, měříme vodorové směr) d) pozorováí podmíková vrovaé hodot musí vhovovat určité podmíce (součet úhlů v -úhelíku) V tomto učebím tetu se budeme věovat pouze pozorováím přímým stejých a růzých vah. Gauss a základě pravděpodobosti dokázal (Gaussův záko chb), že vrovaá hodota se ejvíce přiblíží skutečé (absolutí) hodotě X je-li splěa podmíka miima. 55
Vrovaou veličiu budeme ted hledat tak, ab vhovovala podmíce vv miimum, pro pozorováí přímá stejé váh [3.] pvv miimum, pro pozorováí přímá estejé váh [3.3] Vrovaá veličia musí vhovovat Gaussově podmíce miima. Váha pozorováí. Pokud pro ás mají výsledk pozorováí stejou přesost, říkáme, že mají stejou váhu. Nemají-li stejou přesost, mluvíme o estejé váze a každému pozorováí přiřadíme číslo p tzv. váhu, která vjadřuje přesost jedotlivých pozorováí a závisí a středí chbě. Čím je váha větší, tím je větší přesost tohoto pozorováí. Platí, že váha je epřímo úměrá čtverci středí chb. k k k k p : p : p3 :... : p : : :... : [3.4] m m m3 m k pi [3.5] mi pro pozorováí s váhou p 0 vjadřuje k jedotkovou středí chbu k m0 čtverec jedotkové středí chb [3.6] 3.4.. Vrováí pozorováí přímých stejé váh o,... vrovaá hodota v, v,... v oprav v o,, o o výsledk jedotlivých pozorováí v o,.. v o Gaussova podmíka miima vv o o o = mi. [3.5]... Výraz má ejmeší hodotu pro takové, pro které je prví derivace výrazu rova 0. o o... o 0 [3.6] o o... o o.aritmetický průměr [3.7] v 0.kotrola [3.8] 56
Vrovaá hodota se u pozorováí přímých stejé váh určí aritmetickým průměrem z aměřeých veliči a součet oprav v je rove 0 (kotrola výpočtu). Vrovaá veličia se eshoduje s teoretick správou hodotou X a je v í určitá chba ε, tj.skutečá chba aritmetického průměru, která udává přesost měřeí. Zpravidla ji ezáme, a její velikost usuzujeme ze středí chb aritmetického průměru m. X.skutečá chba aritmetického průměru (ezáme ji) [3.9] X o X o.. X o o X [ o] [ ] X, ze vzorce [3.7, 3.9] vplývá [ ] X [3.0] Podle Gaussova zákoa ahodilých chb mají chb ε růzá zaméka, proto se lieárí výraz po umocěí budou rovat přibližě 0.... m... 3... lieárí výraz zaedbáme, rovají se přibližě 0 a po aplikaci zákoa hromaděí středích chb dostáváme m m ] m... m [ mi m m pro koečé bude použito m, m m m [3.] m m pro [3.] m [3.3] m 57
m m [3.4] U pozorováí přímých stejé váh klesá chba výsledé hodot (aritmetického průměru) s odmociou z počtu pozorováí. Středí chb ale počítáme z oprav a je ted třeba odvodit vzájemý vztah mezi chbou ε a opravou v. X X o o v X X o o podle vzorců [3.9]; [3.]; [3.3] v chb m v v v v v v v, ahradíme podle zákoa hromaděí skutečých vv m v vv Z předchozího odvozováí vplývá: a) v 0 [3.8] z Gaussov podmík miima b) m m [3.3] m m m c) po úpravě vzorce [3.7] a rovice bude po úpravě: m m [ vv] [ ] m m [ vv], tj. výběrová středí chba jedoho pozorováí [3.5] dosazeím do [3.3] m = m [ vv] bude m m [ vv], tj. výběrová středí chba aritmetického průměru [3.6] Odchlku s jakou je vrovaá hodota určea udává základí středí (kvadratická) chba m. V prai se uvažuje iterval spolehlivosti, 5m, ve kterém s praktickou jistotou leží skutečá hodota X. 58
Výsledek měřeí m tvoří pár sdružeých čísel, které při dalším počítáí musí být eodlučitelě spolu. Nejistota výsledku se přeáší a součet, rozdíl ebo libovolou fukci měřeých veliči. Záko přeášeí (hromaděí) ahodilých a středích chb v praktickém měřeí ovlivňuje výběr metod měřeí, přístrojové techik a výpočetího postupu. 3.4.. Vrováí pozorováí přímých estejé váh o, o,... o výsledk jedotlivých pozorováí p, p,... p váh jedotlivých pozorováí (váha p pro měřeí ) vrovaá hodota v, v,... v oprav v o, v o,.. v o o p o Gaussova podmíka miima pv p o p o p o... = mi. [3.7] Výraz má ejmeší hodotu pro takové, pro které je prví derivace výrazu rova 0. o p o... p o 0 p po po... po p p... p po p. obecý (vážeý) aritmetický průměr [3.8] pv 0.kotrola [3.9] Vrovaá hodota se u pozorováí přímých estejé váh určí vážeým aritmetickým průměrem (obecým) z aměřeých veliči a příslušých vah, součet součiu vah p a oprav v je rove 0 (kotrola výpočtu). Vrovaá hodota se opět liší od teoretické hodot X, takže obsahuje středí chbu m a bude mít váhu p. Stejě jako pro pozorováí přímá stejé váh lze odvodit středí chb pro: a) jedotlivé pozorováí o váze p i.. m i [ pvv] mi [3.30] p b) pozorováí o váze p 0.. m 0 středí chba jedotková i [ pvv] m 0 [3.3] 59
c) aritmetický průměr.. m ] [ ] [ p pvv m [3.3] d) váhu aritmetického průměru p [ p] p [3.33] 3.4.3. Měřické dvojice Velmi častým případem vrováí jsou měřické dvojice (dvojí měřeí délk, úhlu). Při odvozeí vcházíme z pozorováí přímých stejé váh.,o o výsledk jedotlivých pozorováí vrovaá hodota,v v oprav o v, o v d diferece o o d o o [3.34] d o o o o o o o o o v [3.35] d o o o o o o o o o v [3.36] 4 4 ] [ d d d vv = mi. [3.37] a) středí chba jedotlivého pozorováí ] [ d d vv m [3.38] b) středí chba aritmetického průměru 4 ] [ d d d vv m m [3.39] 60
3.4.4 Příklad Příklad 3.: Teodolit má udáváu přesost měřeého směru v jedé skupiě m = 0,0004 g. V kolika skupiách musíme měřit, ab směr měl přesost m a) 0,000 g b) 0,000 g c) 0,00005 g Řešeí : podle vzorce [3.3] m m m m 4 4 4 a) 4skupi b) 6 skupi c) 64skupi 0,5 Příklad 3.: Úhel bl zaměře v 6 skupiách. Vpočtěte vrovaou hodotu, středí chbu jedoho měřeí m a středí chbu aritmetického průměru m. Řešeí : zvolíme základí hodotu [3.7] i o δ v vv 47 46 35 5-4 6 30 0 + 3 8 8 +3 9 4 3 0 0 5 33 3-4 6 9 9 + 4 [ ] 47 46 0 66 0 34 0 0 = 47 46 0 a výpočet provedeme podle upraveého vzorce [ ] 66 47 46 0 + = 47 46 3 6 [ vv] 34 m = 5,6 m [ vv] m = 34 6 5 34 30 =, = 47 46 3 ±, m Příklad 3.3: Teodolit má udáváu přesost měřeého směru v jedé skupiě m = 0,0004 g. Teodolit má udáváu přesost měřeého směru v jedé skupiě m = 0,004 g. V kolika skupiách musíme měřit teodolitem, ab směr měl rovoceou přesost s teodolitem? Řešeí : podle vzorce [3.4] k k p : p : p m p m k m m 4 p 4 p k 6
pokud zvolíme k = 4 = 96 p 6 p 96 = p Teodolitem je potřeba měřit směr ve skupiách, ab měřeí blo rovoceé s měřeím teodolitem v jedé skupiě. Pozámka: Výrobci uvádějí v prospektech přesost daou středí chbou měřeí ve směru. Středí chba v úhlu se vpočte pomocí zákoa hromaděí středích chb. Pokud jsou směr měře se stejou středí chbou ( m m m ) l p P L m m l m p m g g m 0, 0004 m 0,0004 = 0,0006 g Příklad 3.4: Vpočtěte výšku bodu P, která bla určea čtřmi ivelačími pořad (váha měřeí pi ), vrovaou hodotu, středí chbu jedotlivého měřeí m i, s Řešeí: i středí chbu jedotkovou m a středí chbu aritmetického průměru m. 0 i o s p δ pδ v pv pvv m km mm mm,76 0,5,000 6,000 9 8 6,000,75,6 0,65 3 0,000-7 -0,65 80,65 3,74, 0,833 7,493-6 -4,998 9,988 4,738,0,000 8 8,000-3 -3 54,000 [ ] 0 =,70 4,458 66 67,493 0 46,63 zvolíme základí hodotu [3.8] [ p ] 0,70 m + [ p] =,70 m a výpočet provedeme podle upraveého vzorce 0 67,493 4,458 mm =,735 m podle vzorce [3.30] m i [ pvv] p i 6
m 46,63 = 8,4 mm;,000 3 m 46,63 = 5, mm; 0,653 m 3 46,63 = 3, mm; 0,8333 m 4 46,63 =,9 mm,000 3 podle vzorce [3.3] m 0 [ pvv] m 0 46,63 =,9 mm 3 podle vzorce [3.3] m [ pvv] [ p] m 46,63 4,458 3 = 5,6 mm m =,735 m ± 5,6 mm Příklad 3.5: Vzdáleost bla změřea krát. Vpočtěte vrovaou hodotu, středí chbu jedoho měřeí m a středí chbu aritmetického průměru m. Řešeí : i o δ d v vv m mm mm mm 46,73 39 5 46,80 80-39 5 [ ] 0 = 46,730 8-78 0 304 zvolíme základí hodotu 0 = 46,730 m a výpočet provedeme podle upraveého vzorce [3.34] 0 = 46,730 m + 0,04m = 46,77 m podle vzorce [3.38] m [ vv] d d 78 m = 55, mm podle vzorce [3.39] m m [ vv] d 4 d d 78 m = 39 mm 63
Literatura: BURŠÍK, A., PROCHÁZKA, F. Geodetické počtářství.. přepracovaé vdáí. Praha : Kartografie, 979. spszememericka, 008 64