MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková

RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D.

Vážení studenti, dostávají se vám do rukou skripta k Matematice 1 pro obor Finance a řízení a obor Cestovní ruch. Vzhledem k tomu, že vaším hlavním studiem není matematika, je matematická teorie funkcí jedné proměnné vysvětlována bez důkazů a pokud možno co nejsrozumitelněji. Srozumitelnost je dále podpořena větším množstvím řešených příkladů. Také lineární algebra je podána zjednodušenou formou bez důkazů. Na konci každé kapitoly naleznete základní příklady k procvičení spolu s jejich výsledky. Doporučujeme si nejprve prostudovat a poté samostatně vypočítat řešené příklady, a teprve pak se obrátit k příkladům neřešeným. Přejeme vám úspěšné studium s našimi skripty, a předem děkujeme za jakékoli připomínky k jejich zlepšení. M.Hojdarová, J.Krejčová, M.Zámková V Jihlavě, červen 2014

Přehled základních pojmů a označení N Z Q R R množina všech přirozených čísel množina všech celých čísel množina všech racionálních čísel množina všech reálných čísel množina všech reálných čísel rozšířená o nevlastní body a +, R = R { ; + } konstanta (a; b) nenulové reálné číslo otevřený interval, (a; b) = {x R; a < x < b}, graficky vyjadřujeme pomocí prázdných kroužků u krajních bodů a, b a; b uzavřený interval, a; b = {x R; a x b}, graficky vyjadřujeme pomocí vyplněných kroužků u krajních bodů a, b a;b) polouzavřený (polootevřený) interval, a;b) = {x R; a x < b}, grafické znázornění (a; b polouzavřený (polootevřený) interval, (a; b = {x R; a < x b}, grafické znázornění ( ; b) (a; ) ( ; b a; ) otevřený interval, ( ; b) = {x R, x < b} otevřený interval, (a; ) = {x R, x > a} polouzavřený interval, ( ; b = {x b} polouzavřený interval, a; ) = {x a}

OBSAH 1. FUNKCE (Krejčová)... 1 1.1. Reálná funkce reálné proměnné... 1 1.2. Vlastnosti funkcí... 5 1.3. Inverzní funkce... 11 1.4. Přehled elementárních funkcí jedné proměnné... 11 1.4.1. Lineární funkce... 11 1.4.2. Lineární funkce s absolutní hodnotou... 13 1.4.3. Kvadratické funkce... 15 1.4.4. Mocninné funkce... 18 1.4.5. Lineární lomené funkce... 18 1.4.6. Exponenciální funkce... 22 1.4.7. Logaritmické funkce... 22 1.4.8. Goniometrické funkce... 24 1.4.9. Cyklometrické funkce... 25 1.5. Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru... 28 1.6. Definiční obor... 31 1.7. Cvičení... 33 2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE (Krejčová)... 37 2.1. Limita funkce... 37 2.2. Spojitost funkce... 40 2.2.1. Spojitost funkce v bodě... 40 2.2.2. Spojitost funkce na intervalu... 41 2.3. Výpočet it... 45 2.3.1. Limity polynomů v nevlastním bodě... 47 2.3.2. Limity podílu polynomů v nevlastním bodě... 48 2.3.3. Limity podílu polynomů ve vlastním bodě... 49 2.3.4. Limity výrazů s odmocninami v nevlastním bodě... 51 2.3.5. Limity výrazů s odmocninami ve vlastním bodě... 52

2.3.6. Limity exponenciálních funkcí v nevlastním bodě... 53 2.4. Cvičení... 54 3. DERIVACE FUNKCÍ (Zámková)... 56 3.1. Definice a geometrický význam derivace... 56 3.2. Pravidla pro derivování základních elementárních funkcí... 58 3.3. Derivace složených funkcí... 68 3.4. Derivace vyšších řádů... 71 3.5. Cvičení... 73 4. UŽITÍ DERIVACÍ (Zámková)... 76 4.1. Věty o střední hodnotě... 76 4.2. L Hospitalovo pravidlo... 77 4.2.1. Neurčitý výraz typu 0... 81 4.2.1. Neurčitý výraz typu... 83 4.2.2. Neurčité výrazy typu 0 0, 0, 1... 83 4.3. Asymptoty grafu funkce... 85 4.4. Cvičení... 91 5. VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE (Krejčová)... 93 5.1. Význam první derivace pro vyšetření monotonie funkce... 93 5.2. Význam druhé derivace pro vyšetření zakřivenosti grafu funkce... 97 5.3. Cvičení... 104 6. EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE (Krejčová)... 106 6.1. Lokální extrémy... 106 6.2. Globální extrémy... 112 6.3. Vyšetření průběhu funkce... 115 6.4. Cvičení... 122 7. APROXIMACE FUNKCE (Hojdarová)... 125 7.1. Co je aproximace?... 125 7.2. Aproximace pomocí diferenciálu... 125 7.3. Taylorův a Maclaurinův polynom... 127

7.4. Chyba aproximace, zbytek Taylorova polynomu... 130 7.5. Důležité Maclaurinovy polynomy... 131 7.6. Aproximace mnohočlenu vyššího stupně Taylorovým polynomem, Hornerovo schéma... 131 7.7. Aproximace funkce v intervalu... 134 7.8. Cvičení... 135 8. ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR (Hojdarová)... 138 8.1. Motivační příklad, vektorový prostor... 138 8.2. Cvičení... 141 9. MATICE A MATICOVÉ ROVNICE (Hojdarová)... 144 9.1. Typy matic... 144 9.2. Operace s maticemi... 146 9.3. Hodnost matice... 149 9.4. Inverzní matice... 151 9.5. Maticové rovnice... 153 9.6. Cvičení... 156 10. DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI (Hojdarová)... 160 10.1. Pojem determinantu... 160 10.2. Základní vlastnosti determinantu... 162 10.3. Subdeterminant, algebraický doplněk determinantu... 163 10.4. Výpočet inverzní matice pomocí determinantů... 165 10.5. Cvičení... 166 11. ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC (Hojdarová)... 169 11.1. Gaussova einační metoda, Frobeniova věta... 169 11.2. Řešení soustavy s regulární maticí Cramerovým pravidlem... 173 11.3. Řešení soustav lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí inverzní matice... 175 11.4. Jordanova metoda úplné einace... 176 11.5. Cvičení... 177 12. SEZNAM LITERATURY... 183

1. FUNKCE V této kapitole zavedeme a popíšeme nejdůležitější vlastnosti elementárních funkcí jedné proměnné. 1.1. REÁLNÁ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ DEFINICE: FUNKCE Buďte A, B neprázdné podmnožiny reálných čísel. Za reálnou funkci f jedné reálné proměnné považujeme neprázdnou množinu uspořádaných dvojic [x, y], kde x A, y B, splňující podmínku: ke každému x existuje nejvýše jedno y tak, že [x, y] f. Zapisujeme f: A B. Skutečnost [x, y] f zapisujeme y = f(x). Množina všech přípustných x se nazývá definiční obor funkce f a značíme ji D(f). Není-li řečeno jinak, považujeme za definiční obor funkce f množinu všech x, pro která má pravá strana rovnice y = f(x) smysl. Množina příslušných y se nazývá obor hodnot funkce f a značíme ji H(f). Funkce je tedy pravidlo, které danému číslu x přiřadí jediné, přesně definované, číslo y. Uvažujme následující funkci f, zadanou tabulkou: x -1 0 1 2 y -4-1 2 5 Definiční obor této funkce je D(f) = { 1; 0; 1; 2} a obor hodnot je H(f) = { 4; 1; 2; 5}. Naopak následující tabulkou není zadána funkce, protože není splněna podmínka z definice. Tzn. pro hodnotu x = 1 existují dvě různé hodnoty y. x -1 0 1 1 y -4-1 2 5 DEFINICE: GRAF FUNKCE Grafem funkce f je množina všech uspořádaných dvojic bodů {[x, f(x)]}: x D(f) zobrazených v rovině R 2 = R R s kartézskou soustavou souřadnic. Kartézská soustava souřadnic je soustava souřadnic v rovině R 2 s osami souřadnic na sebe kolmými a se stejnými jednotkami na obou osách. Kapitola: FUNKCE 1

Na obrázku 1 je znázorněn graf funkce f(x) = x + 1. Definiční obor i obor hodnot této funkce jsou všechna reálná čísla, tj. D(f) = H(f) = R. Obrázek 1 Na obrázku 2 je znázorněn graf funkce f(x) = x + 1, jejíž definiční obor je omezen na interval 3; 2. Tedy grafem funkce již není přímka, ale pouze úsečka pro hodnoty x z daného intervalu. Obor hodnot neboli množina hodnot y, pro které daný graf existuje, je zúžen také na interval H(f) = 2; 3. Obrázek 2 Určeme, jestli je následujícími grafy znázorněna funkce. Pokud ano, určeme definiční obor a obor hodnot znázorněné funkce. a) b) c) 2

d) e) f) g) h) i) Řešení: a) Na obrázku je funkce, protože pro každou hodnotu x existuje nejvýše jedna hodnota y neboli jeden bod v grafu, viz obrázek. Definiční obor funkce je množina čísel na ose x, pro která existuje y, že bod [x, y] leží na grafu dané funkce. Tedy D(f) = R\{0}. Obor hodnot funkce je množina hodnot y, pro které existuje x, že bod [x, y] leží na grafu dané funkce. Tedy H(f) = R\{0}. Kapitola: FUNKCE 3

b) Na tomto obrázku je opět graf funkce. Definiční obor funkce je polouzavřený interval. To znamená, že obsahuje pouze jeden svůj krajní bod a druhý krajní bod neobsahuje. Hodnota x = 2 do definičního oboru patří a hodnota x = 2 do definičního oboru nepatří. Tedy D(f) = 2;2. Obor hodnot (čteme na ose y) je uzavřený interval. Tedy patří do něj oba krajní body. H(f) = 1; 3. c) D(f) = 2; 3, H(f) = 4;4. d) D(f) = 3; 2. Obor hodnot funkce tvoří pouze hodnota 2, tedy H(f) = {2}. e) D(f) = 4; 4, H(f) = 3; 2. f) Na tomto obrázku není graf funkce. Je patrné, že např. pro hodnotu x = 2 lze nalézt dvě různé hodnoty y, y = 2, y = 2. Tedy pro jednu hodnotu x existují dvě hodnoty y, což je v rozporu s definicí funkce. g) Jedná se o graf funkce, která má D(f) = R. Obor hodnot je ale pouze interval H(f) = 1 ;. Pro 4

hodnoty na ose y menší nebo rovno 1 odpovídající bod na grafu funkce neexistuje. h) Toto není graf funkce. Pro hodnotu x = 1 existují dvě hodnoty y, y = 2 a y = 1, což je v rozporu s definicí funkce. i) Obrázek je podobný předchozímu případu, ale rozdíl je v tom, že nyní pro x = 1 existuje již pouze jedna hodnota y, a to y = 1. Nyní se tedy jedná o graf funkce. Definiční obor je D(f) = 3; 3. Obor hodnot tvoří pouze dvě hodnoty, tedy H(f) = {-1;2}. 1.2. VLASTNOSTI FUNKCÍ DEFINICE: MONOTONIE FUNKCE Nechť f je funkce a interval I je podmnožinou D(f). Řekneme, že funkce f je na intervalu I rostoucí, jestliže pro každé x 1, x 2 I taková, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) < f(x 2 ). Řekneme, že funkce f je na intervalu I klesající, jestliže pro každé x 1, x 2 I, taková, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) > f(x 2 ). Poznámka: Řekneme, že funkce f je na intervalu I nerostoucí, jestliže pro každé x 1, x 2 I taková, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) f(x 2 ). Řekneme, že funkce f je na intervalu I neklesající, jestliže pro každé x 1, x 2 I, taková, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) f(x 2 ). Řekneme, že funkce f je na intervalu I monotónní, je-li buď nerostoucí, nebo neklesající na I. Řekneme, že funkce f je na intervalu I ryze monotónní, je-li buď rostoucí, nebo klesající na I. Dále se budeme zabývat pouze Kapitola: FUNKCE 5

ryzí monotonnií, proto v následujícím textu pod pojmem monotónní budeme uvažovat výhradně ryze monotónní funkce. Funkce na obrázku 3 je klesající na intervalu ( ; 0 a rostoucí na intervalu 0; ). Tato funkce tedy není monotónní na definičním oboru. Obrázek 3 Funkce na obrázku 4 je neklesající. Je tedy monotónní na celém definičním oboru. Obrázek 4 Funkce na obrázku 5 je klesající na intervalu ( ; 0) a také na intervalu (0; ). Nemůžeme ale říci, že je klesající na celém definičním oboru. Např. pro x 1 = 1 je f(x 1 ) = 1 a pro x 2 = 1 je f(x 2 ) = 1. Tedy neplatí f(x 1 ) > f(x 2 ). Obrázek 5 6

DEFINICE: PERIODIČNOST FUNKCE Řekneme, že funkce f je periodická, existuje-li kladné číslo p takové, že platí, je-li x D(f), je i x ± p D(f) a platí f(x) = f(x + p) = f(x p). Nejmenší číslo p s touto vlastností nazýváme primitivní periodou funkce. Má-li funkce periodu p, pak také čísla 2p, 3p, atd. jsou periody. Typickým příkladem periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Na obrázku 6 je znázorněna goniometrická funkce f(x) = sin x. Tato funkce má primitivní periodu 2π. Základní část funkce, která se stále opakuje, je znázorněna červeně. Obrázek 6 Na obrázku 7 je funkce f(x) = 2. Tato funkce je rovněž periodická a má za periodu dokonce libovolné kladné reálné číslo. Tato funkce nemá primitivní periodu. Obrázek 7 VĚTA Každá nekonstantní funkce má primitivní periodu. DEFINICE: PARITA FUNKCE Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x D(f) platí ( x) D(f) a platí f( x) = f(x). Řekneme, že funkce f je lichá, pokud pro každé x D(f) platí ( x) D(f) a platí f( x) = f(x). Kapitola: FUNKCE 7

Z definice vyplývá, že funkce, které jsou sudé či liché, musí mít definiční obor symetrický dle počátku, tj. bodu 0. Dále, graf funkce sudé je symetrický podle osy y a graf liché funkce je středově souměrný podle bodu [0,0]. Paritu funkce můžeme tedy poznat z grafu funkce nebo pomocí výpočtu. Funkce na obrázku 3 a 7 jsou sudé, jejich grafy jsou symetrické podle osy y. Naopak funkce na obrázku 4, 5 a 6 jsou liché, jejich graf je souměrný podle počátku. lichá funkce sudá funkce Funkce na obrázku 8 ale není sudá, protože nemá symetrický definiční obor, D(f) = ( 2; + ). Pokud bychom definiční obor zúžili na interval ( 2; 2), pak by takto definovaná funkce sudá byla. Obrázek 8 Pokud neumíme nakreslit graf funkce, lze paritu určit pomocí výpočtu hodnoty f( x). Určeme paritu následujících funkcí: a) f(x) = x 4 x 2 + 1 na D(f) = ( 3; 4) b) f(x) = x 4 x 2 + 1 na D(f) = 3; 3 c) f(x) = x 2 x + 1 na D(f) = ( ; 4) (4; ) Řešení: d) f(x) = 3x x 2 4 na D(f) = ( 1; 1) a) Definiční obor není symetrický podle 0, proto funkce nemůže být ani sudá, ani lichá. 8

b) Definiční obor této funkce je symetrický podle 0, funkce tedy může být sudá, či lichá. Toto ověříme výpočtem. Vyjádříme hodnotu f( x). To znamená, že do zadání funkce dosadíme místo x hodnotu x. Tedy: f( x) = ( x) 4 ( x) 2 + 1 = x 4 x 2 + 1. Tedy platí f( x) = f(x), což znamená, že je funkce podle definice sudá. c) Definiční obor této funkce je opět symetrický podle 0, tedy provedeme výpočet f( x) = ( x) 2 ( x) + 1 = x 2 + x + 1. Nyní neplatí, že f( x) = f(x) ani f( x) = f(x). Tedy funkce není ani sudá, ani lichá. d) Definiční obor je opět symetrický podle 0 a f( x) = 3( x) = 3x = 3x. ( x) 2 4 x 2 4 x 2 4 Tedy f( x) = f(x), z čehož plyne, že funkce je lichá. DEFINICE: OMEZENOST FUNKCE Nechť f je funkce a množina M je podmnožinou definičního oboru funkce f. Řekneme, že funkce f je na množině M zdola omezená, existuje-li reálné číslo r takové, že platí r f(x) pro všechna x M. Řekneme, že funkce f je na množině M shora omezená, existuje-li reálné číslo R takové, že platí R f(x) pro všechna x M. Pokud je funkce na množině M omezená zdola i shora, potom je funkce na množině M omezená. Poznámka: Místo termínu omezená se také používá pojem ohraničená. Graf funkce omezené shora (resp. zdola) si můžeme představit tak, že existuje rovnoběžná přímka s osou x, která leží celá nad grafem funkce (resp. pod grafem funkce). Funkce omezená zdola hodnotou -1. Funkce omezená hodnotou 1 shora. Kapitola: FUNKCE 9

Tato funkce je omezená shora hodnotou 1 a zdola hodnotou -1. Tedy jedná se o funkci omezenou. Tato funkce není omezená. DEFINICE: PROSTOST FUNKCE Řekneme, že funkce f je prostá, právě když pro všechna x 1, x 2 D(f) platí: Je-li x 1 x 2, pak f(x 1 ) f(x 2 ). Pro funkci prostou tedy platí, že nám pro různé hodnoty x nevyjde stejná hodnota y. Například funkce y = x 2 (obrázek 10) není prostá, protože pro hodnoty x = 2 a x = 2 vyjde stejná funkční hodnota y = 4. Naopak funkce y = x 3 (obrázek 9) je prostá, protože pro každou hodnotu x vyjde jiná hodnota y. V grafu tuto vlastnost poznáme tak, že pro každou hodnotu y nalezneme na grafu funkce pouze jeden odpovídající bod x. Obrázek 9 Obrázek 10 VĚTA: Je-li funkce f na intervalu I monotónní, je na tomto intervalu také prostá. 10

Poznámka: Připomeňme si, že pojmem monotónní myslíme ryze monotónní funkci. 1.3. INVERZNÍ FUNKCE DEFINICE: INVERZNÍ FUNKCE Nechť funkce f: A B je prostá. Pravidlo, které každému y z množiny B přiřadí jediné x z množiny A, pro které platí f(x) = y, se po přeznačení proměnných nazývá inverzní funkce k funkci f. Označujeme ji f 1. Graf funkce f a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky y = x, tj. podle osy prvního a třetího kvadrantu. Z definice vyplývá, že pro funkci f a funkci k ní inverzní platí: D(f) = H(f 1 ), H(f) = D(f 1 ). Inverzní funkci k funkci y = f(x) určíme takto. Zaměníme formálně v zadání funkce proměnné x a y, máme tedy x = f(y). Z této rovnice vyjádříme proměnnou y. Toto vyjádření je jednoznačné (jinak by to znamenalo, že inverzní funkce neexistuje, protože funkce f není prostá) a definuje explicitně inverzní funkci f 1. Některé ze základních elementárních funkcí jsou definovány jako inverzní funkce k jiným. Například inverzní funkce k logaritmické funkci je exponenciální funkce a podobně. Protože vlastnost být inverzní funkcí je vlastnost vzájemná, je také logaritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Názorný výpočet inverzní funkce si ukážeme v následující kapitole. VĚTA: Je-li funkce f rostoucí (klesající, lichá), má tutéž vlastnost i funkce inverzní f 1. Poznámka: Uvedená věta se nevztahuje na funkce sudé, protože z definice sudé funkce vyplývá, že sudá funkce není prostá. Nemůže k ní tedy existovat inverzní funkce. 1.4. PŘEHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Nyní si připomeneme vlastnosti a grafy elementárních funkcí. 1.4.1. LINEÁRNÍ FUNKCE Lineární funkce je funkce, která je dána ve tvaru y = ax + b, kde a, b R. Grafem této funkce je přímka. Pokud není zadáno jinak, definiční obor jsou všechna reálná čísla. V případě kdy a 0 tvoří obor hodnot všechna reálná čísla. Pokud a = 0 obor hodnot je pouze jedna hotnota, tj. H(f) = {b}. Kapitola: FUNKCE 11

Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je a = 0, tj. funkce y = b, které nazýváme konstantní funkce. Grafem těchto funkcí jsou přímky rovnoběžné s osou x. Na obrázku 11 je graf konstantní funkce y = 1. Obrázek 11 Nakresleme graf funkce y = 2x 1. Protože grafem lineární funkce je přímka, stačí zjistit dva body grafu této funkce a spojit je. Správný graf má mít vyznačené průsečíky se souřadnicovými osami, proto určíme rovnou tyto průsečíky. Průsečík s osou x zjistíme tak, že dosadíme do rovnice za y nulu. 0 = 2x 1 x = 1 2 Tedy P x [ 1 ; 0]. Průsečík s osou y vypočítáme tak, že 2 do rovnice dosadíme za x nulu. y = 2 0 1 Tedy P y [0; 1]. Nyní nakreslíme oba body a spojíme je přímkou. Tato funkce je rostoucí, není omezená, není sudá ani lichá, je prostá. Načrtněme graf funkce y = 3x + 2, jejíž D(f) = ( 2; 1. 12

Opět určíme průsečíky s osami P x [ 2 ; 0], P 3 y [0; 2]. Protože má funkce omezený definiční obor, grafem bude úsečka. Spočteme tedy také souřadnice koncových bodů: [ 2; 4], [1; 5]. Tato funkce je omezená zdola i shora, je rostoucí a prostá. Není sudá ani lichá. H(f) = ( 4; 5. Určeme inverzní funkci k funkci f: y = 2x 4. Budeme postupovat podle návodu, který jsme uvedli v předchozí kapitole. Vyměníme v zadání funkce x za y, a naopak. Poté z rovnice vyjádříme y. x = 2y 4 1 x + 2 = y 2 Vidíme, že inverzní funkcí k lineární funkci je opět lineární funkce. D(f) = H(f) = D(f 1 ) = H(f 1 ) = R Pokud načrtneme grafy obou funkcí, je patrné, že jsou symetrické dle přímky y = x. 1.4.2. LINEÁRNÍ FUNKCE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Připomeňme si nejprve pojem absolutní hodnota. Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo a, pro které platí: je-li a 0, je a = a, je-li a < 0, je a = a. Další možnost, jak lze definovat absolutní hodnotu, je pomocí druhé odmocniny x = x 2. Načrtněme graf funkce y = x 1 2. Kapitola: FUNKCE 13

Pro všechna x R, pro která je x 1 0, tj. x 1, je x 1 = x 1. Naopak pro x R, pro která je x 1 < 0, tj. x < 1, je x 1 = x + 1. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí: y = x 1 2 = x 3 pro x 1; ) y = x + 1 2 = x 1 pro x ( ; 1) Dopočítáme průsečíky s osami. Když za x dosadíme 0, získáme průsečík s osou y, y = 0 1 2 = 1. Pokud do rovnice dosadíme 0 za y, získáme dva průsečíky s osou x. 0 = x 1 2 2 = x 1 x = 3 nebo x = 1. Tato funkce není ani sudá, ani lichá, není prostá. Omezená je pouze zdola hodnotou 2. D(f) = R a H(f) = 2; ). Načrtněme graf funkce y = 1 x + 3. Pro všechna x R, pro která je x + 3 0, tj. x 3, je x + 3 = x + 3. Naopak, pro x R, pro která je x + 3 < 0, tj. x < 3, je x + 3 = x 3. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí: y = 1 (x + 3) = x 2 pro x 3; ) y = 1 ( x 3) = x + 4 pro x ( ; 3) Dopočítáme průsečíky s osami. Když za x dosadíme 0, získáme průsečík s osou y, y = 1 0 + 3 = 2. Pokud do rovnice dosadíme 0 za y, získáme dva průsečíky s osou x. 0 = 1 x + 3 x + 3 = 1 x = 4 nebo x = 2. 14

1.4.3. KVADRATICKÉ FUNKCE Kvadratická funkce je funkce definovaná předpisem y = ax 2 + bx + c, kde a R\{0}, b, c R. Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem V[x 0 ; y 0 ]. Pokud je a > 0, je parabola rozevřená nahoru, pokud je a < 0, je parabola rozevřená dolů. Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Oborem hodnot je v případě a > 0 interval y 0 ; ), v případě a < 0 interval ( ; y 0. Kvadratická funkce může být zadaná ve tvaru, z kterého jsou přímo vidět souřadnice vrcholu V[x 0 ; y 0 ]: y = a(x x 0 ) 2 + y 0 Nebo ve tvaru y = ax 2 + bx + c, z něhož po převedení na předchozí rovnici získáme vzorce pro výpočet souřadnic vrcholu. Odvoďme si tyto vzorce. y = ax 2 + bx + c y = a (x 2 + b x) + c a y = a (x 2 + b b2 x + a 4a 2 b2 4a2) + c y = a (x 2 + b a b2 b2 x + 4a2) 4a + c y = a (x + b 2a ) 2 + c b2 4a Z tohoto tvaru je již patrné, že vzorce pro souřadnice vrcholu paraboly jsou x 0 = b 2a y 0 = c b2 4a Kapitola: FUNKCE 15

Načrtněme graf funkce y = (x 2) 2 + 1. Vrchol paraboly má tedy souřadnice V[2; 1]. Spočítáme průsečíky s osami. Průsečík s osou y: x = 0 y = (0 2) 2 + 1 = 3 P y [0; 3] Průsečíky s osou x: y = 0 0 = (x 2) 2 + 1 (x 2) 2 = 1 x 2 = ±1 x = 3 nebo x = 1 tedy P x [3; 0], P x [1; 0] Můžeme určit vlastnosti této funkce. Funkce není prostá, není sudá ani lichá. Funkce je omezená pouze shora (např. hodnotou 1). D(f) = R a H(f) = ( ; 1. Načrtněme graf funkce y = x 2 + 6x + 8. Na výpočet souřadnic vrcholu jsme si uvedli vzorce, tedy x 0 = 6 = 3, souřadnici y 2 1 0 lze vypočítat také pomocí uvedeného vzorce, nebo jednoduše tak, že stačí dosadit x 0 do zadání funkce, tedy y 0 = ( 3) 2 + 6 ( 3) + 8 = 1. Tedy V[ 3; 1]. Průsečíky s osami jsou: 16

x = 0 y = 0 2 + 6 0 + 8 = 8 P y [0; 8] y = 0 0 = x 2 + 6x + 8 0 = (x + 4)(x + 2) P x [ 4; 0], P x [ 2; 0] Určeme inverzní funkci k funkci f: y = x 2 pro x 0; ). Definiční obor funkce je zúžen pouze na nezáporné hodnoty, protože na svém maximálním definičním oboru, tedy v R, funkce f není prostá, a tedy k ní inverzní funkce neexistuje. Na intervalu 0; ) je ale funkce prostá, tedy můžeme určit inverzní funkci: x = y 2 x = y Inverzní funkce tedy je: f 1 : y = x, její D(f 1 ) = H(f 1 ) = 0; ). Grafy funkcí jsou symetrické podle osy y = x. Na obrázku vidíme modrý graf funkce f a červený graf funkce f 1. Kapitola: FUNKCE 17

1.4.4. MOCNINNÉ FUNKCE Mocninná funkce je funkce definovaná předpisem y = x n, kde n N. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla. Obor hodnot se liší v závislosti na n. Graf funkce je také závislý na tom, jestli je n liché, či sudé. Pro n liché je H(f) = R, funkce je lichá, rostoucí, prostá a není omezená. Mezi tyto funkce patří i lineární funkce. Na obrázku 12 jsou zobrazeny mocninné funkce pro n = 3; 5; 7. Pro n sudé je H(f) = 0; ), funkce je sudá, klesající na ( ; 0, rostoucí na 0; ), není prostá a je omezená zdola. Mezi tyto funkce patří i kvadratická funkce. Obrázek 12 Na obrázku 13 jsou zobrazeny mocninné funkce pro n = 2; 4; 6. Obrázek 13 1.4.5. LINEÁRNÍ LOMENÉ FUNKCE Lineární lomená funkce je funkce definovaná předpisem y = ax+b, kde a, b, c, d R, c 0 a navíc platí ad bc 0, což zaručí, že nelze výraz ve funkčním předpisu zkrátit na konstantu. Tedy nenastane např. y = 2x+6 x+3 = 2(x+3) x+3 = 2. Grafem funkce je rovnoosá hyperbola se středem S[x 0 ; y 0 ]. Definiční obor funkce je R\{x 0 }. Obor hodnot funkce je R\{y 0 }. cx+d 18

Funkce má dvě asymptoty. Tento pojem je přesně definován v odstavci 4.3. Nyní si asymptoty můžeme představit jako přímky, ke kterým se graf funkce neomezeně přibližuje v krajních bodech definičního oboru. První asymptota je kolmá na osu x a její rovnice je x = x 0, druhá asymptota je kolmá na osu y a její rovnice je y = y 0. Funkce může být zadána ve tvaru, ze kterého lze přímo vyčíst souřadnice středu: y = kde k R. Nebo ve tvaru: k x x 0 + y 0, y = ax+b cx+d, který lze převést na předchozí tvar a odtud vyjádřit souřadnice středu takto: x 0 = d c, y 0 = a c. Můžeme si všimnout, že první souřadnice středu hyperboly x 0 je bod, ve kterém funkce není definována, neboli nulový bod ze jmenovatele dané funkce, tedy cx + d = 0 x 0 = d c. hodnota, ke které se blíží graf svými konci v + a, což zapisujeme pomocí ity y 0 = x ± Uvedený výpočet provedeme v odstavci o itách 2.3.2. ax + b cx + d = a c. Souřadnice středu y 0 je funkční Načrtněme graf funkce y = 1 x 3 + 1. Ze zadání můžeme ihned vyčíst souřadnice středu hyperboly S[3; 1]. Spočítáme průsečíky s osami x = 0 y = 1 0 3 + 1 = 2 3 P y [0; 2 3 ] y = 0 0 = 1 x 3 + 1 1 = 1 x 3 x = 2 P x [2; 0] Při kreslení grafu si nejprve nakreslíme střed a skrz něj vedeme asymptoty grafu (tj. přímky, ke kterým se bude graf svými konci blížit). Asymptoty jsou kolmé na souřadnicové osy. Potom si vyznačíme v grafu průsečíky Kapitola: FUNKCE 19

s osami a nakonec dokreslíme graf tak, aby procházel danými průsečíky a svými konci se blížil k daným asymptotám. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu ( ; 3) a na intervalu (3; ). D(f) = R\{3} a H(f) = R\{1}. Načrtněme graf funkce y = 2x 1 x+1. Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme x 0 = 1 a y 0 = 2. Dále spočítáme průsečíky s osami: x = 0 y = 2 0 1 0 + 1 = 1 P y [0; 1] y = 0 0 = 2x 1 x + 1 0 = 2x 1 x = 1 2 P x [ 1 2 ; 0] Nyní můžeme načrtnout graf funkce. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je rostoucí na intervalu ( ; 1) a na intervalu ( 1; ). D(f) = R\{ 1} a H(f) = R\{2}. Načrtněme graf funkce y = 3x+1 2x 1. 20

Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme x 0 = 1 2 a y 0 = 3 2. Dále spočítáme průsečíky s osami: x = 0 y = 3 0 + 1 2 0 1 = 1 P y [0; 1] y = 0 0 = 3x + 1 2x 1 0 = 3x + 1 x = 1 3 P x [ 1 3 ; 0] Nyní můžeme načrtnout graf funkce. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu ( ; 1 2 ) a na intervalu ( 1 2 ; ). D(f) = R\ { 1 2 } a H(f) = R\ { 3 2 }. Určeme inverzní funkci k funkci f: y = x+3 x 2. Funkce je prostá, existuje k ní tedy inverzní funkce. V původní funkci zaměníme neznámé a vyjádříme y: x = y + 3 y 2 xy 2x = y + 3 xy y = 2x + 3 y(x 1) = 2x + 3 f 1 : y = 2x + 3 x 1 Graf funkce f je na obrázku znázorněn modře, graf funkce f 1 je znázorněn červeně. D(f) = R\{2} = H(f 1 ) D(f 1 ) = R\{1} = H(f) Kapitola: FUNKCE 21

1.4.6. EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Exponenciální funkce je funkce definovaná předpisem y = a x, kde a je kladné číslo různé od 1. Grafem funkce je exponenciální křivka, která je buď rostoucí (obrázek 14) pro a > 1, nebo klesající (obrázek 15) pro 0 < a < 1. Obrázek 14 Obrázek 15 Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla, obor hodnot je (0; ). Funkce je prostá, není sudá ani lichá a je omezená zdola 0. Osa x je asymptota grafu exponenciální funkce. Příkladem rostoucí exponenciální funkce jsou: y = 2 x, y = e x, y = 10 x. Příkladem klesající exponenciální funkce jsou: y = 0, 2 x, y = ( 1 3 )x, y = 0,9 x. 1.4.7. LOGARITMICKÉ FUNKCE Logaritmická funkce o základu a je funkce definovaná předpisem y = log a x, kde a je kladné číslo různé od 1. Logaritmická funkce y = log a x je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci y = a x. Proto je definičním oborem této funkce interval (0; ) a oborem hodnot jsou všechna reálná čísla. Grafem funkce je logaritmická křivka, která je opět v závislosti na základu a buď rostoucí (obrázek 16) pro a > 1, nebo klesající (obrázek 17) pro 0 < a < 1. 22

Obrázek 16 Obrázek 17 Příkladem rostoucí logaritmické funkce jsou: y = log 5 x, y = log x, y = ln x. Příkladem klesající logaritmické funkce jsou: y = log 0,4 x, y = log 0,9 x, y = log2 x. 3 Logaritmická funkce není sudá ani lichá, není omezená a je prostá. Osa y je asymptota grafu logaritmické funkce. Určeme inverzní funkci k funkci f: y = 10 x+3 1. Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme x za y a naopak a vyjádříme y. x = 10 y+3 1 x + 1 = 10 y+3 log(x + 1) = y + 3 f 1 : y = log(x + 1) 3 Určíme ještě definiční obory a obory hodnot: D(f) = R = H(f 1 ) D(f 1 ) = ( 1; ) = H(f). Na obrázku je graf funkce f vyznačen modře a graf funkce f 1 červeně. Určeme inverzní funkci k funkci f: y = ln(x 2) + 1. Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme x za y a naopak a vyjádříme y. Kapitola: FUNKCE 23

x = ln(y 2) + 1 x 1 = ln(y 2) e x 1 = y 2 f 1 : y = e x 1 + 2 Určíme ještě definiční obory a obory hodnot: D(f) = (2; ) = H(f 1 ) D(f 1 ) = R = H(f). Na obrázku je graf funkce f vyznačen modře a graf funkce f 1 červeně. V tomto i předchozím příkladu je z obrázků patrná symetrie grafů podle osy y = x. 1.4.8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE Elementární goniometrické funkce jsou čtyři: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x. Na obrázku 18 je funkce y = sin x. D(f) = R, H(f) = 1; 1 Funkce je lichá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou 2π. Funkce y = cos x je znázorněna na obrázku 19. D(f) = R, H(f) = 1; 1 Funkce je sudá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou 2π. Obrázek 18 Obrázek 19 24

Na obrázku 20 je funkce y = tg x. Tato funkce je definována jako tg x = D(f) = R\ { π + kπ}, kde k Z 2 H(f) = R. sin x cos x. Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou π. Obrázek 20 Funkce y = cotg x je znázorněna na obrázku 21. Tato funkce je definována jako cotg x = D(f) = R\{kπ}, kde k Z H(f) = R. cos x sin x. Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou π. Obrázek 21 1.4.9. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jedná se tedy o čtyři funkce. Víme, že inverzní funkce existují pouze k funkcím prostým, proto se při definování inverzní funkce k funkci sin x omezíme pouze na interval π 2 ; π 2, u funkce cos x na interval 0; π, u funkce tg x na interval ( π 2 ; π 2 ) a u funkce cotg x na interval (0; π). Tedy na intervaly, na nichž jsou původní funkce rostoucí nebo klesající a které mají 0 jako svůj vnitřní nebo krajní bod. Kapitola: FUNKCE 25

Inverzní funkce k funkci sin x se značí: y = arcsin x (čteme: [arkussinus]) D(f) = 1; 1 H(f) = π 2 ; π 2 Funkce je rostoucí, prostá, omezená, lichá (obrázek 22). Obrázek 22 Inverzní funkce k funkci cos x se nazývá: (čteme: [arkuskosinus]) y = arccos x D(f) = 1; 1 H(f) = 0; π Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 23). Obrázek 23 Inverzní funkce k funkci tg x se nazývá: y = arctg x (čteme: [arkustangens]) D(f) = R H(f) = ( π 2 ; π 2 ) Funkce je rostoucí, prostá, omezená a lichá (obrázek 24). Obrázek 24 26

Inverzní funkce k funkci cotg x se nazývá: (čteme: [arkuskotangens]) y = arccotg x D(f) = R H(f) = (0; π) Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 25). Obrázek 25 Určeme inverzní funkci k funkci f: y = arcsin(x 1) + π. Vyjádříme nejdříve předpis inverzní funkce: x = arcsin(y 1) + π x π = arcsin(y 1) sin(x π) = y 1 f 1 : y = sin(x π) + 1 Argument funkce arcsin(x 1) musí být z intervalu 1; 1, tedy: 1 x 1 1 0 x 2 Proto D(f) = 0; 2 = H(f 1 ). Argument funkce sin(x π) musí být z intervalu π ; π, tedy: 2 2 π 2 x π π 2 π 2 x 3π 2 Proto D(f 1 ) = π 2 ; 3π 2 = H(f). Na obrázku vidíme modrý graf funkce f a červený graf funkce f 1 a je patrná jejich symetrie podle osy y = x. Kapitola: FUNKCE 27

Určeme inverzní funkci k funkci f: y = tg (x π 2 ) + 2. Vyjádříme nejdřív předpis inverzní funkce: x = tg (y π 2 ) + 2 x 2 = tg (y π 2 ) arctg (x 2) = y π 2 f 1 : y = arctg(x 2) + π 2 Argument funkce tg (x π ) musí být z intervalu 2 ( π ; π ), tedy: 2 2 π 2 < x π 2 < π 2 0 < x < π Proto D(f) = (0; π) = H(f 1 ). Argument funkce arctg(x 2) může být jakékoliv reálné číslo, tedy D(f 1 ) = R = H(f). Na obrázku vidíme modrý graf funkce f a červený graf funkce f 1. 1.5. GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V POSUNUTÉM TVARU Grafy elementárních funkcí, které jsme si popsali v předchozích kapitolách, lze také posunovat či překlápět. Ukážeme si tyto operace na různých funkcích. Tyto operace platí pro všechny výše uvedené funkce, nejen pro ty, na kterých to zde názorně aplikujeme. POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY x: y = f(x + a) Pokud argument funkce bude místo x hodnota x + a, posunujeme graf funkce f(x) ve směru osy x o hodnotu a. 28

Graf funkce y = arccos (x 1), získáme tedy tak, že graf funkce arccos x posuneme o jedničku doprava. Graf funkce y = ln (x + 1), získáme tak, že graf funkce ln x posuneme o jedničku doleva. POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY y: y = f(x) + a Pokud k funkci přičteme (resp. odečteme) nějakou konstantu, posouvá to graf funkce f(x) ve směru osy y o hodnotu a. Graf funkce y = arctg x π získáme posunutím 2 grafu funkce y = arctg x o hodnotu π dolu. 2 Graf funkce y = e x + 1 získáme posunutím grafu funkce y = e x o jedna nahoru. OTOČENÍ KOLEM OSY x: y = f(x) Pokud je funkce vynásobená konstantou 1, pak se otáčí graf funkce f(x) kolem osy x. Neboli část grafu funkce f(x), která je pod osou x, se otočí kolem osy x nahoru a ta část grafu, která je nad osou x, se otočí kolem osy x dolů. Kapitola: FUNKCE 29

Graf funkce y = e x tedy dostaneme tak, že otočíme graf funkce e x kolem osy x. Graf funkce y = arccotg x vznikne otočením grafu funkce arccotg x kolem osy x. OTOČENÍ KOLEM OSY y: y = f( x) Pokud je argument funkce vynásobený hodnotou 1, pak se otáčí graf funkce f(x) kolem osy y. Graf funkce y = ln ( x) tedy vznikne otočením grafu funkce ln x kolem osy y. Graf funkce y = 2 x vznikne otočením grafu funkce 2 x kolem osy y. ABSOLUTNÍ HODNOTA FUNKCE y = f(x) Pokud je funkce v absolutní hodnotě, znamená to, že všechny její záporné hodnoty se násobí číslem 1 neboli všechny body funkce pod osou x se otáčí kolem této osy nahoru. Ta část grafu funkce f(x), která je nad osou x, se neotáčí nikam. 30

Graf funkce y = arctg x získáme otočením záporné části grafu funkce arctg x (tj. části která je pod osou x) kolem osy x nahoru. Graf funkce y = ln x získáme otočením záporné části grafu funkce ln x nad osu x. 1.6. DEFINIČNÍ OBOR Při určování definičního oboru elementární funkce, hledáme množinu všech hodnot x, které lze dosazovat do funkčního předpisu y = f(x). Na základě znalostí definičních oborů základních elementárních funkcí tedy stanovujeme podmínky, které musí být splněny, aby daná funkce byla definována. Za základní elementární funkce označujeme všechny funkce zavedené v předchozích kapitolách. Každá reálná funkce jedné reálné proměnné, která z těchto základních funkcí vznikne konečným počtem algebraických operací a konečným počtem operací skládání, je elementární. Nyní ještě zavedeme pojem složená funkce. DEFINICE: SLOŽENÁ FUNKCE Nechť g: A B a f: B C jsou funkce. Pak funkce h: A C daná předpisem y = f(g(x)) se nazývá složená funkce. Funkce g se nazývá vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce h. Připomeneme si definiční obory některých elementárních funkcí, tedy podmínky, za nichž mají smysl vyšetřované složené funkce. 1 g(x) g(x) 0 g(x) g(x) 0 ln g(x) g(x) > 0 log z g(x) g(x) > 0 arcsin g(x) 1 g(x) 1 arccos g(x) 1 g(x) 1 tg g(x) g(x) π + kπ, k Z 2 cotg g(x) g(x) kπ, k Z Kapitola: FUNKCE 31

Určeme definiční obor f: y = ln(x 2 x 6) + arcsin x 2 3. Definiční obor funkce je množina všech reálných x, pro něž dané funkce existují. Logaritmus existuje pouze pro kladná reálná čísla, proto musí platit x 2 x 6 > 0, arkussinus je definován na množině 1; 1, proto musí platit 1 x 2 1. Nyní vyřešíme tyto nerovnice a definiční obor bude průnik řešení těchto nerovnic. 3 x 2 x 6 > 0 (x 3)(x + 2) > 0 ( ; 2) ( 2; 3) (3; ) + + 1 x 2 3 1 3 x 2 3 1 x 5 x 1; 5 x ( ; 2) (3; ) Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor zadané funkce, tedy D(f) = (3; 5. Určeme definiční obor funkce f: y = x+2 x 1 + arccos x 3. Ze zadání funkce plynou tyto podmínky: x+2 x 1 0, x 1 0, 1 x 3 1. x + 2 x 1 0 ( ; 2) ( 2; 1) (1; ) + + x ( ; 2 (1; ) x 1 0 x 1 1 x 3 1 3 x 3 x 3; 3 Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor funkce, tedy D(f) = 3; 2 (1; 3. Určeme definiční obor funkce f: y = ln( x2 +3x+4) 4 x 2. Stanovíme podmínky: x 2 + 3x + 4 > 0, 4 x 2 > 0. x 2 + 3x + 4 > 0 x 2 3x 4 < 0 4 x 2 > 0 (2 x)(2 + x) > 0 32

(x 4)(x + 1) < 0 ( ; 1) ( 1; 4) (4; ) + x ( 1; 4) ( ; 2) ( 2; 2) (2; ) + x ( 2; 2) Tedy D(f) = ( 1; 2). Určeme definiční obor funkce f: y = arccos x+3 2 x arctg x ln(x+2) Stanovíme podmínky: 1 x+3 1, 2 x 0, x + 2 > 0, ln(x + 2) 0. 2 x 1 x + 3 2 x 1 x + 3 2 x 1 x + 3 2 x 1 2 x 0 x 2 ln(x + 2) 0 x + 2 e 0 x + 2 1 0 0 x + 3 2 x + 1 x + 3 + 2 x 2 x x + 3 2 x 1 0 x + 3 2 + x 2 x 0 x + 2 > 0 x > 2 x ( 2; ) x 1 0 5 2 x 2x + 1 2 x 0 ( ; 2) (2; ) ( ; 0,5) ( 0,5; 2) (2; ) + + x ( ; 2) x ( ; 0,5 (2; ) První nerovnici splňují hodnoty x ( ; 0,5. Definiční obor zadané funkce je pak průnik množin, v nichž jsou splněny jednotlivé podmínky, tedy D(f) = ( 2; 1) ( 1; 0,5. 1.7. CVIČENÍ 1) Určete definiční obor funkce: a) y = 2 3x x 1 log(5x x2 ) b) y = arcsin x 4 3 x arccos x 4 Kapitola: FUNKCE 33

c) y = ln( x 2 + x + 6) + 2x+3 4x 1 d) y = arctg x log(x+2) e) y = ln(x 3) x 2 25 arcsin x 1 2 [a) 2 ; 1), b) 3 7 ; 4, c) ( 2; 3 2 2 (1 ; 3), d) ( 1; 3, e) (5; )] 4 2) Určete inverzní funkce k daným funkcím a určete definiční obor a obor hodnot obou funkcí: a) y = 2x 1 3x+5 b) y = 5 x 3 + 2 c) y = 1 + sin(x + π 2 ) d) y = log (x 1) + 2 e) y = arccotg (x + 3) π [a) y = 1+5x 2 3x, D(f) = H(f 1 ) = R { 5 3 }, D(f 1 ) = H(f) = R { 2 3 }, b) y = log 5 (x 2) + 3, D(f) = H(f 1 ) = R, D(f 1 ) = H(f) = (2; ), c) y = arcsin(x 1) π 2, D(f) = H(f 1 ) = π; 0, D(f 1 ) = H(f) = 0; 2, 3) Určete, jestli jsou tyto funkce prosté, sudé, nebo liché a ohraničené. d) y = 10 x 2 + 1, D(f) = H(f 1 ) = (1; ), D(f 1 ) = H(f) = R, e) y = cotg (x + π) 3, D(f) = H(f 1 ) = R, D(f 1 ) = H(f) = ( π; 0)] a) y = x 2 + 2 b) y = arcsin x c) y = 1 x d) y = arccotg x e) y = arccos x π 2 [a) není prostá, je sudá, omezená shora 2, b) není prostá, sudá, omezená shora π a zdola 0, c) prostá, lichá, 2 neomezená, d) prostá, ani sudá, ani lichá, omezená zdola π a shora 0, e) prostá, lichá, omezená shora π a 2 zdola π ] 2 4) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) y = x 4 1 b) y = e x 1 c) y = x 2 + 3x d) y = sin (x π 2 ) 1 e) y = π arctg x 2 f) y = ln (x 1) g) y = x 1 2x+3 h) y = (x 2) 2 + 1 i) y = arccos (x + 1) π 2 j) y = cotg x 1 34

Výsledné grafy funkcí: a) b) c) d) e) f) Kapitola: FUNKCE 35

g) h) i) j) 36

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 2.1. LIMITA FUNKCE Definice ity funkce je založena na pojmu okolí bodu. Začněme tedy touto definicí. DEFINICE: OKOLÍ BODU Nechť δ > 0. U δ (x 0 ) (x 0 δ; x 0 + δ) je δ-okolí bodu x 0. P δ (x 0 ) (x 0 δ; x 0 ) (x 0 ; x 0 + δ) je prstencové δ-okolí bodu x 0. Pokud x 0 {+ ; }, pak definujeme: U δ (+ ) = P δ (+ ) ( 1 δ ; ), U δ ( ) = P δ ( ) ( ; 1 δ ). Poznámka: Rozdíl mezi okolím bodu a prstencovém okolí bodu je tedy v tom, že do prstencového okolí bodu x 0 nepatří bod x 0. DEFINICE: LIMITA FUNKCE Nechť x 0, A R { ; + }. Funkce f má v bodě x 0 itu A, píšeme: f(x) = A, x x 0 jestliže ke každému okolí U ε (A) existuje okolí P δ (x 0 ) D(f), pak pro každé x P δ (x 0 ) platí f(x) U ε (A). Poznámka: Pokud pro x 0 R nahradíme P δ (x 0 ) levým okolím P δ (x 0 ) (x 0 δ; x 0 ), jedná se o itu zleva a píšeme f(x) = A. x x 0 Pokud pro x 0 R nahradíme P δ (x 0 ) pravým okolím P + δ (x 0 ) (x 0 ; x 0 + δ), jedná se o itu zprava a píšeme f(x) = A. x x + 0 V případě ± se jedná pouze o jednostranná okolí (pro + o levé a pro o pravé). Definice tedy říká, že funkce f má v bodě x 0 itu A, jestliže pro hodnoty x blízké hodnotě x 0, ale různé od x 0, jsou funkční hodnoty f(x) blízké číslu A. Na hodnotě funkce v bodě x 0 nezáleží, dokonce v něm funkce f nemusí být ani definována. Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 37

Na obrázku 26 je okolí U ε (A) zobrazeno zeleně a prstencové okolí P δ (x 0 ) červeně. Obrázek 26 Pokud x 0 je reálné číslo, mluvíme o itě ve vlastním bodě, pokud x 0 je nebo, mluvíme o itě v nevlastním bodě. Podobně pokud A je reálné číslo, říkáme, že funkce má vlastní itu, pokud A je nebo, říkáme, že funkce má nevlastní itu. Limita v bodě x 0 také nemusí existovat. Jinak řečeno, ita tedy vyjadřuje hodnotu, ke které se blíží funkční hodnoty f a mohou této hodnoty I dosáhnout (čteme na ose y), když se po ose x přibližujeme k hodnotě x 0 (ale tuto hodnotu nedosáhneme). Určeme následující ity funkce, která je znázorněna na obrázku 27. f(x) = 0 x f(x) = 1 x f(x) = + x 2 f(x) = + x 2 + f(x) = x 0 x 0 + f(x) = 1 2 x 1 f(x) = 2 Obrázek 27 38

VĚTA: Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu itu. VĚTA: Funkce f má v bodě x 0 R itu rovnou číslu A právě tehdy, existují-li a platí-li f(x), f(x) x x+ 0 x x 0 f(x) = f(x) = A. x x+ 0 x x 0 Podle obrázku 27 tedy můžeme říci, že x 2 f(x) existuje a rovná se +, protože tuto hodnotu nabývají i obě jednostranné ity, naproti tomu x 0 f(x) neexistuje, protože hodnoty jednostranných it jsou různé. Určeme následující ity funkce f, která je znázorněna na obrázku 28. f(x) = 0 x f(x) = 1 x f(x) = + x 2 f(x) = x 2 + f(x) x 2 neexistuje f(x) = 1 x 3 f(x) = 1 x 0 f(x) = + x 2 f(x) = + x 2 + f(x) = + x 2 Obrázek 28 Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 39

2.2. SPOJITOST FUNKCE Zavedeme nejprve spojitost funkce v bodě (tzv. lokální spojitost) a poté spojitost funkce na intervalu (tzv. globální spojitost). 2.2.1. SPOJITOST FUNKCE V BODĚ Spojitost funkce v bodě je definována pomocí ity. DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE V BODĚ Funkce f je spojitá v bodě x 0 R, jestliže existuje vlastní ita x x0 f(x) a platí: Poznámka: f(x) = f(x 0 ). x x 0 Nahradíme-li v definici oboustrannou itu itou zleva, případně itou zprava, jedná se o spojitost zleva, případně zprava. Tedy funkce f je spojitá zprava v bodě x 0 R, jestliže existuje vlastní ita f(x) a platí: x x+ 0 f(x) = f(x x x+ 0). 0 Bod spojitosti x 0 musí být vnitřním bodem definičního oboru funkce, tedy nějaké jeho okolí U δ (x 0 ) musí celé náležet do definičního oboru funkce. Pro funkci f na obrázku 29 platí: f(x) = 2 x 1 f(1) = 2 Tyto hodnoty se sobě rovnají, funkce je tedy v bodě x 0 = 1 spojitá. Obrázek 29 40

Naopak, na obrázku 30 platí: f(x) = 2 x 1 f(1) = 3 Protože jsou tyto hodnoty různé, funkce není spojitá v bodě x 0 = 1. Obrázek 30 VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V BODĚ Nechť f je elementární funkce s definičním oborem D(f) a nechť x 0 D(f). Je-li x 0 vnitřním bodem D(f), je funkce f spojitá v x 0. Je-li U δ (x 0 ) D(f) pro nějaké δ > 0, je f spojitá v x 0 zleva. Je-li U δ + (x 0 ) D(f) pro nějaké δ > 0, je f spojitá v x 0 zprava. 2.2.2. SPOJITOST FUNKCE NA INTERVALU DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE NA INTERVALU Nechť I D(f) je interval libovolného typu. Je-li I otevřený interval, je funkce f spojitá na I, jestliže je spojitá v každém jeho bodě. Je-li I je polouzavřený nebo uzavřený interval, je funkce f spojitá na I, je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě a jednostranně spojitá v krajních bodech. Poznámka: Tedy pokud se jedná o uzavřený interval I, pak je funkce f spojitá na I, je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě, v levém krajním bodě je spojitá zprava a v pravém krajním bodě je spojitá zleva. VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ NA INTERVALU Nechť f je elementární funkce a nechť I je interval libovolného typu, který je podmnožinou definičního oboru funkce f. Potom f je spojitá na I. Tato věta se využívá při výpočtu it a to tak, že pokud počítáme itu elementární funkce f v bodě x 0 R a zároveň x 0 D(f), pak je tato ita rovna její funkční hodnotě v tomto bodě. Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 41

x+1 Vypočítejme itu:. x 1 x 2 +2 Tato funkce je elementární, můžeme tedy vypočítat itu přímo dosazením hodnoty 1 do výrazu. x + 1 x 1 x 2 + 2 = 1 + 1 1 2 + 2 = 2 3 Limity elementárních funkcí ve vlastních bodech tedy můžeme získat přímo dosazením, ity elementárních funkcí v nevlastních bodech lze někdy vyčíst z grafu funkce. V následujících příkladech určíme ity základních elementárních funkcí pomocí grafů. Limity lineární lomené funkce: 1 x x = 0 x 1 x = 0 1 x 0 + x = + 1 x 0 x = 1 x 0 x neexistuje Limity exponenciálních funkcí: x ex = x ex = 0 x 0 ex = 1 42

x (1 x 2 ) = 0 x (1 x 2 ) = x (1 x 0 2 ) = 1 Limity logaritmické funkce: ln x = x ln x = x 0 + ln x = 0 x 1 Limity goniometrických funkcí: sin x neexistuje x cos x neexistuje x Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 43

tg x = x π + 2 tg x = x π 2 tg x = 0 x 0 tg x = x π 2 cotg x = x 0 + cotg x = x 0 cotg x = 0 x π 2 Limity cyklometrických funkcí: x arctg x = π 2 x arctg x = π 2 arctg x = 0 x 0 44

arccotg x = 0 x arccotg x = π x x 0 arccotg x = π 2 2.3. VÝPOČET LIMIT Pro výpočet it platí následující pravidla pro početní operace. VĚTA: Jsou-li f a g funkce, x 0 R, pak platí: (f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x), x x0 x x0 x x0 (f(x) g(x)) = f(x) g(x), x x0 x x0 x x0 f(x) = x x0 f(x), x x0 g(x) x x0 g(x) f(x) = f(x), x x0 x x0 pokud existují ity na pravých stranách a algebraické operace na pravých stranách jsou definovány. Při výpočtu můžeme narazit na situace, kdy není hned jasné, jestli ita vůbec existuje nebo jaká je její hodnota. Mluvíme o tzv. neurčitých výrazech. Jedná se o výrazy následujících typů, k jejichž zápisu budeme používat tyto závorky. 0,,, 0 0, 0, 0 0, 1 V těchto případech lze využít různé algebraické úpravy, které nám pomohou získat výraz, jehož hodnotu lze již vypočítat, nebo lze využít l Hospitalovo pravidlo, které bude uvedeno v odstavci 4.2. Pro výpočet ity složené funkce jsou užitečné následující dvě věty. VĚTA: Předpokládejme, že x 0, A, B R, g(x) = A, x x 0 f(y) = B, y A a existuje okolí P δ (x 0 ) tak, že pro všechna x P δ (x 0 ) platí g(x) A. Potom Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 45

f(g(x)) = B. x x 0 Poznámka: Tato věta platí i pro jednostranné ity. Vypočtěme itu: x 3x2 +1 Jedná se o itu složené funkce. Vypočtěme tedy nejprve itu vnitřní funkce. Nyní vypočítáme itu vnější funkce. Tedy g(x) = x 2 + 1 = x x 0 x f(y) = y A y 3y = x 3x2 +1 =. VĚTA: Předpokládejme, že x 0 R, A R. Nechť x x0 g(x) = A a funkce f je spojitá v bodě A. Potom f(g(x)) = f(a). x x 0 Vypočtěme itu: x arccotg 1 x Jedná se o itu složené funkce. Vypočtěme tedy nejprve itu vnitřní funkce. 1 g(x) = x x 0 x x = 0 Limitou vnitřní funkce je konečné reálné číslo, v jehož okolí je vnější funkce arccotg g(x) definovaná a spojitá. Tedy platí: x arccotg 1 x = arccotg 0 = π 2 46

VĚTA: O LIMITĚ SEVŘENÉ FUNKCE Nechť x 0 R a nechť pro funkce f, g a h platí f(x) g(x) h(x) v nějakém okolí P δ (x 0 ) bodu x 0. Nechť platí: kde A R. Potom x x0 g(x) = A. Poznámka: Tato věta platí i pro jednostranné ity. Využití této věty ilustruje následující příklad. f(x) = h(x) = A, x x 0 x x0 Vypočtěme itu: sin x x x Po dosazení nelze určit itu x sin x, a tedy nelze ihned určit hodnotu dané ity. Protože x +, tedy x > 0, je zřejmé, že platí: 1 x sin x x 1 x 1 x x = 1 x x = 0 Dle předchozí věty tedy: sin x x x = 0 Nyní si ukážeme, jak se postupuje při výpočtu různých druhů it. 2.3.1. LIMITY POLYNOMŮ V NEVLASTNÍM BODĚ Některé ity jdou vypočítat přímo dosazením. x x2 + x = + = Pokud nám ale po dosazení vyjde neurčitý výraz, musíme použít nějakou úpravu daného výrazu, aby výpočet vedl k výrazu, jehož hodnotu určit lze. Při výpočtu it polynomů používáme vytýkání nejvyšší mocniny v daném výrazu. Pomocí vytýkání získáme výrazy ve tvaru konstanta, o kterých víme, že jsou rovny nule. Uvažujme předchozí příklad, ale pro x : x x2 + x = = x x2 (1 + 1 ) = (1 + 0) = x ± Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 47

Vypočtěme ity: x 3x2 x 5 = = x 5 ( 3 1) = (0 1) = x x3 2 x x2 x 3 = 2 + = x x3 ( 2 x 3 1 1) = (0 0 1) = x 2.3.2. LIMITY PODÍLU POLYNOMŮ V NEVLASTNÍM BODĚ V těchto případech po dosazení opět vycházejí neurčité výrazy, proto zde postupujeme podobně jako v předchozích příkladech, tj. vytýkáme nejvyšší mocninu v čitateli a nejvyšší mocninu ve jmenovateli zlomku. Vypočtěme ity: x 2 + 3x + 1 x 2x 2 + x + 5 = x 2 (1 + 3 + 1 x x 2) 3 1 + = + 1 x x 2 x x 2 (2 + 1 + 5 x x 2) x 2 + 1 + 5 = 1 + 0 + 0 2 + 0 + 0 = 1 2 x x 2 x 3 + x + 1 x 2x 2 + 2x + 5 = x 3 (1 + 1 + 1 x 2 x 3) x (1 + = + 1 x 2 x 3) (1 + 0 + 0) x x 2 (2 + 2 + 5 x x 2) x 2 + 2 + 5 = 2 + 0 + 0 = x x 2 1 x 2 + 1 x x 4 + x + 3 = x x 5x 3 + 3x 4x 3 + x + 3 = x 2 (1 + 1 x 2) x 4 (1 + 1 + = 3 x x 3 x4) x 1 + 1 x 2 x 2 (1 + 1 + = 1 + 0 3 x 3 x 4) (1 + 0 + 0) = 0 x 3 ( 5 + 3 x 2) 5 + 3 x x 3 (4 + 1 + = 2 3 x x 2 x3) 4 + 1 + 3 = 5 + 0 4 + 0 + 0 = 5 4 x 2 x 3 x 4 + 2x + 1 x 4 ( 1 + 2 x 2x 2 = + 1 x 3 x 4) x 2 ( 1 + 2 = + 1 x 3 x 4) 1 x x 2 (2 1 x 2) x 2 1 = ( )2 ( 1) = 2 x 2 3x 2 2x + 1 x x 3 + x 2 + 3 = x x 2 (3 2 + 1 x x 2) x 3 (1 + 1 + = 3 x x 3) x 3 2 + 1 x x 2 3 x (1 + 1 + = 3 x x 3) 1 = 0 2x + 1 x 2 3x = x (2 + 1 ) 2 + 1 x x x x ( 2 3) = x 2 3 = 2 + 0 0 3 = 2 3 x x V odstavci 1.4.5. Lineární lomené funkce jsme si uvedli, že souřadnici y 0 středu hyperboly lze spočítat také pomocí ity: 48

y 0 = x ± ax + b cx + d = a c Nyní si již tento výpočet můžeme dokázat: x ± ax + b cx + d = x (a + b ) x x (c + d ) = a + b x x ± c + d x x x ± = a + 0 c + 0 = a c 2.3.3. LIMITY PODÍLU POLYNOMŮ VE VLASTNÍM BODĚ V tomto případě mohou nastat tři situace. Buď lze vypočítat itu přímo dosazením: x 2 2x + 1 x 1 x 2 = 1 + 2 + 1 + 3 1 + 3 = 1 Nebo nám vyjde neurčitý výraz 0 0, který značí, že x 0 je kořenem polynomu v čitateli i ve jmenovateli, lze tedy oba výrazy rozložit na součin a zlomek zkrátit. Tímto postupem převedeme příklad na výraz, který již lze vypočítat. Další možnost, kterou lze v tomto případě využít je L Hospitalovo pravidlo, které si popíšeme v odstavci 4.2. Vypočtěme ity: x 2 4x + 4 x 2 x 2 4 = 0 0 = (x 2) 2 x 2 (x 2)(x + 2) = x 2 x 2 x + 2 = 0 4 = 0 x 2 2x 3 x 3 x 2 5x + 6 = 0 0 = (x 3)(x + 1) x 3 (x 3)(x 2) = x + 1 x 3 x 2 = 4 1 = 4 x 1 x 3 x x 2 4x 5 = 0 0 = x(x 1)(x + 1) x 1 (x 5)(x + 1) = x(x 1) x 1 x 5 = 2 6 = 1 3 Třetí situace je případ, kdy nám po dosazení vyjde nula pouze ve jmenovateli zlomku a v čitateli bude nenulová konstanta. konstanta 0 V tomto případě spočítáme jednostranné ity. Protože pro výrazy následujícího typu již lze určit jejich hodnotu, použijeme tento symbolický zápis a předpokládáme, že konstanta c > 0: c 0 + = + c 0 = Pro c < 0 budou výsledky s opačným znaménkem. Ukažme si tento postup na příkladech. Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 49

Vypočítejme itu: 2x x 3 x 3 Po dosazení dostaneme výraz 6. Vypočítejme tedy jednostranné ity: 0 2x x 3 = 6 0 + = + x 3 + 2x x 3 = 6 0 = x 3 2x Protože jsou jednostranné ity různé, pak daná ita x 3 x 3 neexistuje. Vypočítejme itu: 2 + x x 1 (x 1) 2 Po dosazení dostaneme výraz 3. Vypočítejme tedy jednostranné ity: 0 2 + x (x 1) 2 = 3 0 + = + x 1 + 2 + x (x 1) 2 = 3 0 + = + x 1 Protože jsou jednostranné ity stejné, pak i původní ita = +. (x 1) 2 x 1 2+x Vypočítejme itu: 2x 1 x 2 1 x 1 Po dosazení dostaneme výraz 3. Vypočítejme tedy jednostranné ity: 0 2x 1 x 1 + x 2 1 = 2x 1 x 1 + (x 1)(x + 1) = 3 2 0 + = + 2x 1 x 1 x 2 1 = 2x 1 x 1 (x 1)(x + 1) = 3 2 0 = Protože jsou jednostranné ity různé, pak daná ita 2x 1 x 1 x 2 1 neexistuje. 50