7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1 se nzývá reálná část komplexního čísl znčí se Re, číslo se nzývá imginární část komplexního čísl znčí se Im Množinu všech komplexních čísel znčíme C Z lgebrického tvru komplexního čísl je zřejmé, že reálná čísl jsou speciálním přípdem čísel komplexních: reálné číslo ztotožňujeme s komplexním číslem + i0, tj s komplexním číslem, 0) Komplexní číslo, jehož imginární část je různá od nuly, se nzývá imginární imginární číslo tvru 0, ), kde 0, se nzývá ryze imginární 7 Operce s komplexními čísly Dvě komplexní čísl jsou si rovn, jsou-li si rovn jko uspořádné dvojice: 1 + i = b 1 + ib 1 = b 1 = b V množině C jsou definovány tytéž lgebrické operce jko v množině R, nvíc je pk pro kždé komplexní číslo definováno číslo komplexně sdružené Pro libovolná komplexní čísl = 1 + i, b = b 1 + ib jsou tyto operce definovány tkto: Součet: Rozdíl: Součin: + b = 1 + i ) + b 1 + ib ) = 1 + b 1 ) + i + b ) b = 1 + i ) b 1 + ib ) = 1 b 1 ) + i b ) b = 1 + i ) b 1 + ib ) = 1 b 1 b ) + i 1 b + b 1 ) Komplexní čísl tedy násobíme jko dvojčleny s tím, že použijeme vzth i = 1 Podíl pro b 0 ): b = 1 + i b 1 + ib = 1 + i )b 1 ib ) b 1 + b = 1b 1 + b ) + i b 1 1 b ) b 1 + b Komplexně sdružené číslo: = 1 + i = 1 i Absolutní hodnot modul): = 1 + = Absolutní hodnot komplexního čísl je tedy nezáporné reálné číslo = 0 právě když = 0 Pro sčítání násobení komplexních čísel pltí stejný komuttivní, socitivní distributivní zákon jko pro sčítání násobení reálných čísel Stejné vlstnosti má i bsolutní hodnot Pro komplexně sdružené číslo pltí vzthy: + b = + b, b = b, ) = b b 65
66 Kpitol 7 Poznámk N rozdíl od reálných čísel komplexní čísl nejsou uspořádná ni je nelze rozumně uspořádt, tj nelze je uspořádt tk, by se toto uspořádání vzth nerovnosti) chovlo rozumně vzhledem ke sčítání násobení 7 Grfické znázornění komplexních čísel Gussov rovin Z definice komplexního čísl plyne, že komplexní číslo = 1 + i můžeme grficky znázornit jko bod 1, ] roviny Tím je dáno vzájemně jednoznčné zobrzení množiny 8 všech komplexních čísel n množinu 9 všech bodů roviny Gussov rovin je rovin, v níž tkto zobrzujeme komplexní čísl Reálná čísl se přitom zobrzují n vodorovnou osu ryze imginární n svislou Os, n niž se zobrzují reálná čísl, se nzývá reálná os os, n niž se zobrzují ryze imginární čísl, se nzývá imginární os Je zřejmé, že body přiřzené číslům, jsou symetrické podle počátku souřdné soustvy) body, jsou symetrické podle reálné osy viz obr 71) Im Im = 1, ] = 1 +i 1 ϕ O 1 Re O 1 Re = 1, ] = 1, ] Obr 71 Obr 7 7 Goniometrický exponenciální tvr komplexního čísl Je-li C, 0, pk = cos ϕ + i sin ϕ), kde ϕ viz obr 7) je velikost orientovného úhlu, který svírá průvodič bodu s polopřímkou kldných reálných čísel Uvedené vyjádření čísl se nzývá goniometrický tvr Položíme-li potom můžeme zpst ve tvru e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, = e iϕ Toto vyjádření se nzývá exponenciální tvr čísl 75 Argument komplexního čísl Číslo ϕ z 7 se nzývá rgument komplexního čísl Množinu všech rgumentů čísl oznčujeme rg
Komplexní čísl 67 Pltí ϕ rg, ψ R = ψ rg ψ = ϕ + kπ, kde k Z), tj rgument komplexního čísl je určen jednoznčně ž n celistvý násobek π Odtud plyne, že množin rg obshuje jedinou hodnotu ϕ s vlstností ϕ π, π ; toto ϕ nzýváme hlvní hodnotou rgumentu znčíme Arg Je pk rg = {ψ; ψ = Arg + kπ, k Z} Poznámk: V definici hlvní hodnoty rgumentu nepnuje všeobecná shod, tk místo v intervlu π, π se Arg někdy bere v intervlu 0, π) Určení rgumentu Je-li = 1 + i = cos ϕ + i sin ϕ), 0, pk cos ϕ = 1, sin ϕ = 76 Násobení dělení komplexních čísel v exponenciálním tvru Pro násobení dělení komplexních čísel v exponenciálním tvru pltí formule b = b e iϕ+ψ) = e iϕ, b = b e iψ = b = b eiϕ ψ), b 0 Z uvedených vzorců je ptrný tento geometrický význm násobení komplexních čísel: geometrické zobrzení, které odpovídá násobení komplexním číslem, je stejnolehlost se středem v počátku koeficientem složená s otočením o úhel Arg Anlogickou geometrickou interpretci má dělení 77 Umocňování odmocňování komplexních čísel Ze vzorců pro násobení dělení komplexních čísel v exponenciálním tvru ihned plyne Moivreov vět Pro kždé ϕ R kždé n Z pltí: cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ, tj e iϕ ) n = e iϕn Obecněji z 76 plyne vzorec pro celočíselnou mocninu komplexního čísl: 0 = e iϕ, n Z = n = n e iϕn Je-li n přirozené číslo, pk n -tá odmocnin n z komplexního čísl je komplexní číslo z definovné vzthem z = n z n = Je-li 0, existuje právě n různých hodnot odmocniny Zřejmě je n 0 = 0 n tyto hodnoty jsou dány vzorcem = e iϕ = n = n e iϕ+kπ)/n = n cos ϕ + kπ + i sin ϕ + kπ ), n n k = 0, 1,,, n 1 Grfické znázornění n -té odmocniny Ze vzorce pro n -tou odmocninu plyne, že n = n e iϕ/n n 1,
68 Kpitol 7 kde n 1 = e i kπ/n, k = 0, 1,, n 1 Čísl n 1 tvoří vrcholy prvidelného n -úhelník vepsného do kružnice se středem v počátku poloměrem 1, s jedním vrcholem v bodě 1, 0] Čísl n tedy tvoří vrcholy prvidelného n -úhelník, který ϕ dostneme z předchozího otočením o úhel n stejnolehlostí se středem v počátku s koeficientem n 78 Řešené příkldy 1 V exponenciálním tvru vyjádřete komplexní čísl: ) = 1 + i, b) b = 1 + i Řešení: Použijeme vzorce z odstvců 7, 7 75: ) = 1 + 1 =, sin ϕ = 1, cos ϕ = 1, tedy ϕ = π = = e iπ/ b) b = 1 + =, sin ϕ = V lgebrickém tvru vyjádřete komplexní čísl:, cos ϕ = 1, tedy ϕ = π = b = ei π/ ) = e iπ/, b) b = cos π 6 + i sin π ) 6 Řešení: V přípdě ) nejprve převedeme exponenciální tvr n goniometrický, dlší postup je v obou přípdech stejný zřejmý: ) = cos π + i sin π ) ) = + i = + i ) b) = + i1 = + i Určete, z jkých podmínek je součet dvou komplexních čísel ) číslo reálné, b) číslo ryze imginární Řešení: Jsou-li = 1 +i, b = b 1 +ib dvě komplexní čísl, potom pro jejich součet c = c 1 +ic podle 7 pltí c 1 + ic = 1 + b 1 ) + i + b ) Odtud plyne: ) Číslo c je reálné, právě když + b = 0, tj b = b) Číslo c je ryze imginární, právě když 1 + b 1 = 0, tj b 1 = 1 Nechť = 1 i, b = + 7i Vypočtěte + b, b, b, Řešení: Podle vzthů z odstvce 7 je: + b = 1 + ) + i + 7) = + 5i b = 1 ) + i 7) = 9i b b = 1 i) + i7) = + 1) + i 6 + 7) = 17 + i b = 1 i 1 i) 7i) 1i + 1i = + 7i 7i) = = 11 58 58 1 58 i
Komplexní čísl 69 5 Určete bsolutní hodnotu modul) komplexního čísl = i 1 + i Řešení: Podle vzthu z 7 pro dělení komplexních čísel = i i)1 i) 8i + i = = = 1 1 + i 1 + 5 5 8 5 i Podle definice bsolutní hodnoty komplexního čísl viz 7) je 1 = 5 + 6 65 5 = 5 6 V goniometrickém tvru vyjádřete komplexní číslo: ) z = 1 1 + i + 1 1 + i, + ib b) z =, b 0,, b R + b) + b )i Řešení: V obou přípdech nejprve číslo z vyjádříme v lgebrickém tvru potom použijeme vzthy z 7 75: ) tedy z = 1 1 + i + 1 1 + i = 1 + i + 1 + i = i = i i = 0 + 1 = 1, ϕ = π, z = 1 e i π/ = cos π + i sin π b) z = + ib + ib) + b) + b)i] = + b) + b )i + b) + b ) = + b + b b + ib + b + b) + b ) = 1 + 1 i 1 + 1 i 1 = + 1 1 = =, ϕ = π, tedy z = eiπ/ = cos π + i sin π ) 7 Vynásobte komplexní čísl Výsledek npište v lgebrickém tvru = 1 cos π + i sin π ), b = cos π i sin π )
70 Kpitol 7 Řešení: Obě čísl převedeme do exponenciálního tvru, pk je s použitím vzorce pro součin z 76 vynásobíme výsledek postupně převedeme do goniometrického lgebrického tvru: = 1 e iπ/, b = cos π ) + i sin π )) = e iπ/, b = 1 e iπ/ e iπ/ = e iπ/ π/) = e iπ/, b = e iπ/ = cos π ) + i sin π )) ) = i = i 8 Vyjádřete v lgebrickém tvru podíl b = cos π i sin π ) komplexních čísel, b = cos π + i sin π ) Řešení: Postupujeme stejně jko v předcházejícím příkldu, tj vyjádříme dná čísl v exponenciálním tvru, potom použijeme vzorec pro podíl z 76 výsledek uprvíme do goniometrického lgebrického tvru: = e iπ/, b = e i π/, b = e iπ/ e i π/ = ei π/ π/) = e iπ = cos π) + i sin π)) = 1 + i0) = 9 Vypočtěte i 5, i 5, i, i 6 Řešení: Při výpočtu využijeme operce násobení komplexních čísel skutečnosti, že i = 1, i = 1 : 10 Vypočtěte i) i 5 = i i = 1 i = i i = i, i = i 0 i = 1 1) = 1, i 5 = i i = 1 i = i, i 6 = 1 Řešení: Komplexní číslo je v lgebrickém tvru, jeho mocninu vypočteme pomocí binomické věty z odst 511: ) ) ) ) i) = l i) l = i + i i + i = l 1 l=0 = 16 8i + 6 1) i) + 1 = 7 i 11 Vypočtěte z 6, je-li z = cos π i sin π ) Řešení: Přejdeme k exponenciálnímu tvru z = e iπ/ použijeme Moivreovu větu: z 6 = e iπ/) 6 = 6 e i 6π/ = 6e i π/ = 6 cos ) π + i sin )) π = 6i 1 Vypočtěte 1 i) 8 Řešení: Číslo 1 i převedeme n exponenciální tvr podle 7 75 potom použijeme Moivreovu větu: 1 i = 1 + 1 =, cos ϕ = 1, sin ϕ = 1 = ϕ = 1 π, 1 i = e iπ/, 1 i) 8 = e iπ/ ) 8 = ) 8 e i 8π/ = 16e πi = 16
Komplexní čísl 71 1 Určete z, je-li: ) z = 7e i π/, b) z = 1 i Řešení: ) Výpočet provedeme postupem popsným v odst 77: Tedy: z = 7e iπ/+kπ/) = e iπ/9+kπ/), k = 0, 1, z = e i π/9 pro k = 0, z = e i 8π/9 pro k = 1, z = e i 1π/9 pro k = b) Dné komplexní číslo nejprve převedeme n exponenciální tvr, viz odst 7 75, potom opět použijeme postup popsný v odst 77: Tedy: z = 1 i = e iπ/, z = e i π/9+kπ/), k = 0, 1, z = e iπ/9 pro k = 0, z = e i 5π/9 pro k = 1, z = e i 11π/9 pro k = 1 Vypočtěte 1 Řešení: 1 = e i 0 = e i kπ/, k = 0, 1,, Tedy: e i 0 π = 1 pro k = 0, e iπ/ = cos π 1 = + i sin π = i pro k = 1, e iπ = cos π + i sin π = 1 pro k =, e i π/ = cos π + i sin π = i pro k = Body komplexní roviny odpovídjící těmto čtyřem hodnotám jsou podle 77 vrcholy čtverce vepsného do kružnice se středem v počátku poloměrem 1, přičemž jedním vrcholem je bod 1, 0] 15 Určete 8 6i bez převodu n exponenciální goniometrický) tvr Řešení: Odmocninu hledáme ve tvru x + iy, tj řešíme rovnici 8 6i = x + iy Umocněním této rovnice porovnáním reálných imginárních částí levé prvé strny tkto získné rovnice dostneme soustvu rovnic x y = 8, xy = 6 Z předpokldu x 0 vyjádříme z druhé rovnice y =, dosdíme do první rovnice dostneme x bikvdrtickou rovnici x + 8x 9 = 0 Protože rovnice w + 8w 9 = 0 má kořeny w 1 = 1, w = 9, reálnými kořeny této rovnice jsou čísl x 1 = 1, x = 1 Těmto hodnotám odpovídjí hodnoty y 1 =, y = Rovnici 8 6i = x + iy tedy vyhovují komplexní čísl z1 = 1 i, z = 1 + i
O: 7 Kpitol 7 16 Řešte binomickou rovnici z 6 = 6 Kořeny vyjádřete v lgebrickém tvru grficky znázorněte v Gussově rovině z 1 Im z Re z 1 z 1 z 6 z 5 Obr 7 Řešení: Postupujeme stejně jko v příkldech 1 1: z 6 = 6 z = 6 6 = 6 6e iπ = e iπ/6+kπ/), k = 0, 1,,,, 5 Dostáváme tedy šest různých hodnot: k = 0 : z 1 = e iπ/6 = cos π 6 + i sin π ) = + i, 6 k = 1 : z = e iπ/ = cos π + i sin π ) = i, k = : z = e i 5π/6 = cos 56 π + i sin 56 ) π = + i, k = : z = e i 7π/6 = cos 76 π + i sin 76 ) π = i, k = : z 5 = e i π/ = cos π + i sin ) π = i, k = 5 : z 6 = e i 11π/6 = cos 116 + i sin 116 ) π = i Kořeny z 1, z, z, z, z 5, z 6 rovnice z 6 = 6 přesněji řečeno, jejich obrzy v Gussově rovině) tvoří vrcholy prvidelného šestiúhelník vepsného do kružnice se středem v počátku poloměrem, jehož jeden vrchol je bod, 1] viz obr 7) 79 Neřešené příkldy 1 Určete exponenciální tvr komplexního čísl: ) 5; b) i; c) 1 i 5e iπ ; e iπ/ ; e i π/]
Komplexní čísl 7 Určete lgebrický tvr komplexního čísl: ) 5 ei π/ ; b) e iπ/ ; c) e iπ 5 ] i; 1 + i ; Vypočtěte: i 5 ; i 5 ; i ; i ; i 6 i; i; 1; 1; 1] Vypočtěte: ) 1 + i) + i) + 1 + i)1 + i); b) 1 + i 1 + i 5 Vypočtěte součin čísel z 1 = e iπ/6 z = e i π/ 6 Vypočtěte podíl z 1 z, je-li z 1 = e iπ, z = e iπ/6 6i; 5 1 ] 5 i ] 6 e i 11π/1 e i 5π/6 ] 7 Pomocí binomické věty vypočtěte: + i ) 5 11 1 i] 8 Pomocí Moivreovy věty vypočtěte: 1 + i) ] 9 Vypočtěte: ) 1 i; 6 e i5π/1+kπ/), k = 0, 1,,,, 5 ] b) 6 1 ± i ], ±i, ± i 10 Řešte binomickou rovnici: ) z = 16; b) z 6 = 1 i zk = e i kπ/, k = 0, 1,, ] zk = 1 e i π/+kπ/), k = 0, 1,,,, 5 ]