Přenáška 02 Prostý ob Hpotéa o acování rovinnosti průřeu Křivost prutu, vta mei momentem a křivostí Roložení napětí při obu Pružný průřeový moul Příkla Coprigt (c) 2011 Vít Šmilauer Cec Tecnical Universit in Prague, Facult of Civil Engineering, Department of Mecanics, Cec Republic Permission is grante to cop, istribute an/or moif tis ocument uner te terms of te GNU Free Documentation icense, Version 1.2 or an later version publise b te Free Software Founation; wit no Invariant Sections, no FrontCover Texts, an no Back-Cover Texts. A cop of te license is inclue in te section entitle "GNU Free Documentation icense" foun at ttp://www.gnu.org/licenses/ 1
Prvk s převažujícím prostým obem Průvlak želeobetonové skelet CIIRK + rektorát, Jug. partánů, Praa Most a utrive, Švýcarsko Krov krokve, vanice Zápor a pažin fakulta arcitektur ČVUT 2
Bernoulli Navierova potéa Průře rovinné a kolmé k ose prutu (střenici) pře eformací ůstanou rovinné a kolmé k eformované ose B N potéa přestává platit u krátkýc nosníků, které jsou namáán více smkem než obovým momentem Kolmost a rovinnost průřeů ke střenici (ose) je acována Konola atížená vlastní tíou B N potéa pro prostý ob ε x 0 ε =ε = ν ε x γ =0 γ x 0 V 0 γ x =0 σ x 0 σ =σ =0 τ =0 τ x 0 V 0 τ x =0 Stř en ice Euler Bernoulliův prut, ~1750 3
Rovnoměrně oýbaný prut Uvažujme prostý ob poue o momentu M (absence V) Půvoní élka střenice prutu Primatický prut, čistý ob okolo lavní centrální os setrvačnosti. Dj Po lom ěr k ři vo sti R M M Prostý ob eformuje prut o tvaru kruovéo segmentu Neměněná élka střenice =R Dj 4
Rovnoměrně oýbaný prut vo sti R x Nová élka vlákna Dj ěr k ři Protažení vlákna D= Dj Po lom = R M M Relativní proloužení vlákna D Dj 1 ε x= = = = =κ R Dj R R 1 Dj κ= = Křivost prutu R Na rovnoměrně oýbaný prut le polížet jako na soustavu vláken, které se covají jako 1D prut. Příčné eformace vláken a příčná napětí se obvkle anebávají. 5
Rovnoměrně oýbaný prut ineární měně eformace po výšce průřeu ε x ( )=κ opovíá lineární měna napětí po výšce průřeu le Hookeova ákona σ x ( )=E ε x ()=E κ Roložení eformace ε x po průřeu Neutrální osa průřeu nulové napětí. Pro prostý ob vž procáí těžištěm. Roložení napětí σ x po průřeu 6
Rovnoměrně oýbaný prut Příspěvek vlákna k momentu F ( )= b σ x ( ) b Pro obélníkový průře Neutrální osa M = b σ x ( ) x = E F =b x / 2 / 2 Obový moment k lavní centrální ose obecně M = σ x A A 7
Obový moment a křivost prutu /2 /2 M = b x =E / 2 E b = E I / 2 2 I = A 2 Pro obélníkový průře A 3 = /2 / 2 [ ] I = b =b 3 / 2 2 /2 3 / 2 3 b3 =b = 3 3 12 = /2 0 / 2 x T b x = T F T F /2 0 M = T b F F /2 x T T /2 F =b x 0 N =b x =0 / 2 F =F 0 F =b /2 x 8
Rekapitulace vtaů pro rovnoměrný prostý ob M =E I Obový moment [Nm] = x = M M =EI, = EI M x = E = I Křivost prutu [1/m] Obová tuost průřeu moul pružnosti krát moment setrvačnosti [Nm2] Uveené vorce platí poue pro prostý ob okolo lavníc centrálníc os setrvačnosti. V ostatníc přípaec se jená o ob složený nebo o ob s účinkem normálové síl. Obojí bue probíráno v alšíc přenáškác. 9
Tontio iagram pro rovnoměrně oýbaný prut EI M = Přemístění,u, w Geometrické rovnice = Přetvoření Obová tuost prutu (v eformační metoě se stanarně aváí jako 2EI / ) M =EI Materiálové rovnice Vnější síl M Statické rovnice M =M Vnitřní síl M, x = M I 10
Přemístění průřeu v rovině x (ob M) x us(x) ws(x) x = x x j(x) Neutrální osa x Pře eformací Po eformaci 11
Prostý ob vliv měn obovéo momentu Rovnoměrný ob Nerovnoměrný ob = x = M =EI M = EI x x = x x x, = x M x =EI x x M x x = EI x M x = E = I M x x x, =E x = I x 12
Elastický průřeový moul W [m3] Pro rclení výpočtu se aváí průřeové moul W = W = I I x, =, x = M W M W W Pro obélníkový průře Častá cba: áměna W I 2 b3 b 2 W =W = = = /2 12 6 Průřeové moul nele obecně superponovat! b W =W = 6 b 2 b W a W a b b 2 b 2 2 2b2 b2 W =W = = 2 6 3 6 a a4 b4 1 3 3 W =W = a b 6a 6 13
Příkla napětí a prostéo obu F=103,91 kn 200 mm 50 x Těžiště Průb konce 10 mm 2,5 m 3m 50 CS-stře smku 14 125 mm 200 mm 50 350 mm A=0,0375 m2 I=4,453125e 4 m4 I=2,140625e 4 m4 M ( 0,5)= 103,91 2,5= 259,774 knm 259,774e-3 σ x ( )= = 583,35 MPa 4,453125e-4 σ x (0,125)= 72,92 MPa σ x ( 0,175)=102,1 MPa Kontrola: výpočet pomocí průřeovýc moulů 14
Posouení jeu Určete maximální σx na fošnác a pilotác jeu 1,0 m 40 mm 1,0 m 1,5 m Æ 200 mm f=γ=15 kn/m' Æ 200 mm Pon. Pro ovolené namáání řeva ±7.2 MPa b oba prvk vověl. Ob fošn 1 M, max = 15 12 =1,875 knm 8 1 2 3 W = 1 0.04 =2,667e-4 m 6 1,875 σ x,max =± =±7031 kpa 2,667e-4 Ob pilot 1 1 M, max = 15 1,5 1,5=5,625 knm 2 3 π 4 π 3 W = = =7,854e-4 m 3 64 /2 32 5,625 σ x,max =± =±7162 kpa 7,854e-4 15
Oták 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Popište Bernoulli Navierovu potéu. Dá se aplikovat i na tažený prut? Proč tato potéa přestává platit u krátkýc nosníků namáanýc smkem? Co je prostý ob a jaký je jeo vta k lavním centrálním osám setrvačnosti? Co je křivost prutu a jaké momentové atížení opovíá konstantní křivosti prutu? Co je výslenicí lineárně roloženéo normálovéo napětí po průřeu? Vniká při obu normálová síla na průřeu nebo na jeo částec? Co je neutrální osa? Procáí při prostém obu a elastickém materiálu vž těžištěm? Jaké jsou ekonomické průře pro přenášení obovéo momentu? Co je obová tuost prutu a v jakýc jenotkác se vjařuje? Ke nastávají extrémní onot napětí na oýbaném primatickém prutu? Co je elastický průřeový moul a jak se určí? e vkreslení obovéo momentu ponat, která vlákna jsou tažená? Popište roíl mei rovnoměrným a nerovnoměrným oteplením. Jak souvisí nerovnoměrné oteplení s křivostí prutu? Proč aváíme referenční teplotu? Za jakýc pomínek le vužít principu superpoice pro ároveň tažený a oýbaný prut? Vtvořeno 02/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer 16
Čtřboový ob Test trámu Masarkova náraží v Prae 21.5.2012, experimentální centrum FSv Změřeno Fmax=50,9 kn. Opovíá maximálnímu napětí 28,9 MPa pro mení elastický stav. [Experimentální centrum FSv, ČVUT v Prae] 17