4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu



Podobné dokumenty
Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

Tangens a kotangens

Obvody a obsahy obrazců I

4.3.9 Sinus ostrého úhlu I. α Předpoklady: Správně vyplněné hodnoty funkce a c. z minulé hodiny.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí

3.2.5 Pythagorova věta, Euklidovy věty I. α = = Předpoklady: 1107, 3204

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

Základní příklady. 18) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27.

Trigonometrie - Sinová a kosinová věta

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

Výfučtení: Goniometrické funkce

Konstrukce na základě výpočtu I

4.2.7 Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel I

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

II. kolo kategorie Z5

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

{ } ( ) ( ) Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

9. Planimetrie 1 bod

4.4.3 Další trigonometrické věty

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

( ) ( ) Pythagorova věta, Euklidovy věty II. γ = 90, je-li dáno: c = 10, c = 6. Předpoklady: 3205

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

Konstrukce na základě výpočtu II

FUNKCE SINUS A KOSINUS

Planimetrie. Obsah. Stránka 668

5.2.7 Odchylka přímky a roviny

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem

Skalární součin IV

Rovinné obrazce. 1) Určete velikost úhlu α. (19 ) 2) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27. (99 )

Vzdálenost rovin

Vzdálenosti přímek

( ) Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

Vzdálenosti přímek

Konstrukce na základě výpočtu I

2.7.7 Obsah rovnoběžníku

2.7.9 Obsah lichoběžníku

( a) Okolí bodu

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Trigonometrie trojúhelníku

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Neurčité výrazy

c 2 b 2 a Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady:

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Komentáře k domácímu kolu kategorie Z9

Vzdálenost roviny a přímky

Vnit ní síly ve 2D - p íklad 2

Obrázková matematika D. Šafránek Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, Břehová 7, Praha 1

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

Středová rovnice hyperboly

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

Petriho sítě PES 2007/2008. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D.

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

Logaritmus. Předpoklady: 2909

3. Kvadratické rovnice

Goniometrické funkce obecného úhlu

Stereometrie metrické vlastnosti

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Logaritmické rovnice I

MATA Př 2. Složené výroky: Jsou dány výroky: a: Číslo 5 je prvočíslo. b: Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice Řeš v R rovnici: = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

Větu o spojitosti a jejich užití

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

7 Analytická geometrie

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Smíšený součin

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

Rovinná napjatost tenzometrická růžice Obsah:

1) ČÍSLA a VÝRAZY Teorie

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x = 0

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Při výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per partes a substituční metodu.

x + F F x F (x, f(x)).

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

9.6. Odchylky přímek a rovin

( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky II. Předpoklady: 7312

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

Stereometrie metrické vlastnosti 01

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky

Definice limit I

Transkript:

.. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α mjí dv stejné úhly (α 9 ) mjí stejný i třetí úhel (je to zytek do 8 ) mjí stejný tvr jsou si podoné mjí stejný poměr odpovídjííh si strn poměr je stejné číslo u všeh prvoúhlýh přepon trojúhelníků s úhlem α. Když si vyereme úhel α, tk už je jsné kolik vyjde v prvoúhlém trojúhelníku s tímto úhlem poměr přepon poměr je číslo jednoznčně určené přepon velikostí úhlu α poměr můžeme povžovt z hodnotu nějké funke přepon vyroenou z čísl α. Funki nzveme sinus α ( sinα ) y sinα. přepon Z hodnotu funke y sin x pro x ( ;9 ) povžuje hodnotu zlomku, kde je velikost protilehlé odvěsny je velikost přepony v liovolném prvoúhlém trojúhelníku s úhlem x. Podoně můžeme využít i dlší poměry strn v prvoúhlém trojúhelníku s úhlem x: os x přepon otg α Vzore pro goniometriké funke:

sinα sin Proč? tg α α osα osα ( o ) sin α osα osα o o sinα sin α + os α Proč? Pythgorov vět: + / : Proč? ( ) + + sin α + os α Jk určíme hodnoty výpočtem? Jde to pro vhodné úhly v trojúhelnííh, kde známe délky strn.. rovnormenný prvoúhlý trojúhelník Rmen jsou stejné dlouhá. Délk přepony pomoí Pythgorovy věty: + + 5 5 5 5 Př. : Urči pomoí rovnormenného prvoúhlého trojúhelníku hodnoty goniometrikýh funkí pro úhel x 5. sin 5 přepon tg 5 os 5 přepon otg 5. rovnostrnný trojúhelník Výšk n liovolnou strnu rozdělí trojúhelník n dv prvoúhlé trojúhelníky s úhly 6.

6 6 6 Délk delší odvěsny pomoí Pythgorovy věty: C + C 6 C 6 Př. : Urči pomoí poloviny rovnostrnného trojúhelníku hodnoty goniometrikýh funkí pro úhel x 6. sin 6 přepon tg 6 os 6 přepon otg 6 Př. : Urči pomoí poloviny rovnostrnného trojúhelníku hodnoty goniometrikýh funkí pro úhel x 6. sin přepon tg os přepon otg Přepíšeme hodnoty do tulky. Hodnoty funkí pro 9 neurčíme pomoí prvoúhlého trojúhelník (žádný tkový neexistuje), le dodefinujeme si je jko čísl, ke kterým se hodnoty funke líží, když se x líží neo 9. Hodnoty goniometrikýh funkí pro zákldní úhly: Úhel [ ] 5 6 9

sin ( x ) os( x ) tg( x ) otg( x ) Jk si tulku zpmtovt? C sin x s rostouím úhlem α se hodnot sin x zvětšuje os x s rostouím úhlem α se hodnot os x zmenšuje Úhel [ ] 5 6 9 sin ( x ) ( ) os x tg( x ) otg ( x ) Všehny hodnoty funkí sin x os x můžeme zpst ve stejném tvru Pro sin x doszujeme postupně ž (hodnoty rostou). Pro os x doszujeme postupně ž (hodnoty klesjí). číslo. Př. : Prvoúhlý trojúhelník C s prvým úhlem γ s úhlem α má velikost přepony m. Urči jeho osttní strny úhly. Pro β pltí: β 8 γ α 8 9 6. Pro strnu : sinα sinα sin m. Pro strnu : osα osα os, 6 m. Př. 5: Prvoúhlý trojúhelník C s prvým úhlem γ s úhlem α má velikost odvěsny 9m. Urči jeho osttní strny úhly. Pro β pltí: β 8 γ α 8 9 5.

9 Pro strnu : sinα,m. sinα sin 9 Pro strnu :, 7m. tg Pedgogiká poznámk: Studentům je doré připomenout zásdu, podle které se snžíme počítt přímo ze zdnýh hodnot. Pro většinu z nih je u předhozího příkldu přirozenější vypočítt přeponu strnu počítt z ní. Př. 6: Prvoúhlý trojúhelník C s prvým úhlem β s úhlem α 5 má velikost odvěsny m. Urči jeho osttní strny úhly. Prvým úhlem v trojúhelníku je β goniometriké funke musíme používt ve tvru sinα (pltí vždy) ne ve tvru sinα (pltí pouze u trojúhelníků s prvým přepon úhlem γ ). Pro γ pltí: γ 8 α β 8 5 9 65. Pro strnu : sinα,66m. sinα sin 5 Pro strnu :,5m. tg 5 Shrnutí: Velikost úhlu v prvoúhlém trojúhelníku přímo popisuje jeho tvr poměrem strn. Tyto poměry zvádíme jko goniometriké funke sin x, přepon os x,, o. přepon 5