.. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α mjí dv stejné úhly (α 9 ) mjí stejný i třetí úhel (je to zytek do 8 ) mjí stejný tvr jsou si podoné mjí stejný poměr odpovídjííh si strn poměr je stejné číslo u všeh prvoúhlýh přepon trojúhelníků s úhlem α. Když si vyereme úhel α, tk už je jsné kolik vyjde v prvoúhlém trojúhelníku s tímto úhlem poměr přepon poměr je číslo jednoznčně určené přepon velikostí úhlu α poměr můžeme povžovt z hodnotu nějké funke přepon vyroenou z čísl α. Funki nzveme sinus α ( sinα ) y sinα. přepon Z hodnotu funke y sin x pro x ( ;9 ) povžuje hodnotu zlomku, kde je velikost protilehlé odvěsny je velikost přepony v liovolném prvoúhlém trojúhelníku s úhlem x. Podoně můžeme využít i dlší poměry strn v prvoúhlém trojúhelníku s úhlem x: os x přepon otg α Vzore pro goniometriké funke:
sinα sin Proč? tg α α osα osα ( o ) sin α osα osα o o sinα sin α + os α Proč? Pythgorov vět: + / : Proč? ( ) + + sin α + os α Jk určíme hodnoty výpočtem? Jde to pro vhodné úhly v trojúhelnííh, kde známe délky strn.. rovnormenný prvoúhlý trojúhelník Rmen jsou stejné dlouhá. Délk přepony pomoí Pythgorovy věty: + + 5 5 5 5 Př. : Urči pomoí rovnormenného prvoúhlého trojúhelníku hodnoty goniometrikýh funkí pro úhel x 5. sin 5 přepon tg 5 os 5 přepon otg 5. rovnostrnný trojúhelník Výšk n liovolnou strnu rozdělí trojúhelník n dv prvoúhlé trojúhelníky s úhly 6.
6 6 6 Délk delší odvěsny pomoí Pythgorovy věty: C + C 6 C 6 Př. : Urči pomoí poloviny rovnostrnného trojúhelníku hodnoty goniometrikýh funkí pro úhel x 6. sin 6 přepon tg 6 os 6 přepon otg 6 Př. : Urči pomoí poloviny rovnostrnného trojúhelníku hodnoty goniometrikýh funkí pro úhel x 6. sin přepon tg os přepon otg Přepíšeme hodnoty do tulky. Hodnoty funkí pro 9 neurčíme pomoí prvoúhlého trojúhelník (žádný tkový neexistuje), le dodefinujeme si je jko čísl, ke kterým se hodnoty funke líží, když se x líží neo 9. Hodnoty goniometrikýh funkí pro zákldní úhly: Úhel [ ] 5 6 9
sin ( x ) os( x ) tg( x ) otg( x ) Jk si tulku zpmtovt? C sin x s rostouím úhlem α se hodnot sin x zvětšuje os x s rostouím úhlem α se hodnot os x zmenšuje Úhel [ ] 5 6 9 sin ( x ) ( ) os x tg( x ) otg ( x ) Všehny hodnoty funkí sin x os x můžeme zpst ve stejném tvru Pro sin x doszujeme postupně ž (hodnoty rostou). Pro os x doszujeme postupně ž (hodnoty klesjí). číslo. Př. : Prvoúhlý trojúhelník C s prvým úhlem γ s úhlem α má velikost přepony m. Urči jeho osttní strny úhly. Pro β pltí: β 8 γ α 8 9 6. Pro strnu : sinα sinα sin m. Pro strnu : osα osα os, 6 m. Př. 5: Prvoúhlý trojúhelník C s prvým úhlem γ s úhlem α má velikost odvěsny 9m. Urči jeho osttní strny úhly. Pro β pltí: β 8 γ α 8 9 5.
9 Pro strnu : sinα,m. sinα sin 9 Pro strnu :, 7m. tg Pedgogiká poznámk: Studentům je doré připomenout zásdu, podle které se snžíme počítt přímo ze zdnýh hodnot. Pro většinu z nih je u předhozího příkldu přirozenější vypočítt přeponu strnu počítt z ní. Př. 6: Prvoúhlý trojúhelník C s prvým úhlem β s úhlem α 5 má velikost odvěsny m. Urči jeho osttní strny úhly. Prvým úhlem v trojúhelníku je β goniometriké funke musíme používt ve tvru sinα (pltí vždy) ne ve tvru sinα (pltí pouze u trojúhelníků s prvým přepon úhlem γ ). Pro γ pltí: γ 8 α β 8 5 9 65. Pro strnu : sinα,66m. sinα sin 5 Pro strnu :,5m. tg 5 Shrnutí: Velikost úhlu v prvoúhlém trojúhelníku přímo popisuje jeho tvr poměrem strn. Tyto poměry zvádíme jko goniometriké funke sin x, přepon os x,, o. přepon 5