ZÁKLADY MATEMATIKY PRO BAKALÁØE

ZÁKLADY MATEMATIKY PRO BAKALÁØE Doc. RNDr. Daniel Turzík, CSc. RNDr. Miroslava Dubcová, Ph.D. RNDr. Pavla Pavlíková, Ph.D. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

ZÁKLADY MATEMATIKY PRO BAKALÁØE Doc. RNDr. Daniel Turzík, CSc. RNDr. Miroslava Dubcová, Ph.D. RNDr. Pavla Pavlíková, Ph.D. PRAHA 0 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Anotace: Skripta opakují základní středoškolskou látku potřebnou ke studiu matematik na VŠCHT. Jsou věnován následujícím partiím: úprav výrazů, řešení rovnic a nerovnic, analtická geometrie v rovině, funkce jedné proměnné a komplení čísla. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková, 0 ISBN 978-80-7080-787-

Předmluva Matematika I je jedním z předmětů, jejichž úspěšné absolvování činí velké části studentů VŠCHT Praha v prvním ročníku studia značné potíže. Velmi často je to způsobeno tím, že tito studenti nemají dostatečné znalosti středoškolské matematik, na které výuka předmětu Matematika I navazuje. Tato skripta b měla studentům pomoci odstranit tto neznalosti. Probíraná látka je rozdělena do šesti kapitol a v žádném případě nepokrývá celé učivo středoškolské matematik. Vbrán jsou t partie, jejichž znalost je pro studium matematik na VŠCHT Praha naprosto nezbtná. Skripta nemají sloužit jako samostatná učebnice, ale předpokládá se, že student se s probíranou látkou již kdsi seznámil a nní si své dřívější znalosti potřebuje oživit a doplnit. Obsah jednotlivých kapitol se někd částečně překrývá a znalosti z jedné kapitol je nutno použít v jiné. Na Kapitolu 5 - Funkce plnule navazují dalšími pojm z teorií funkcí (monotonnost funkce, periodičnost, inverzní funkce apod.) skripta Matematika I. Proto nejsou tto pojm v těchto skriptech vsvětlen. Velký důraz je kladen na grafické znázornění řešených úloh. Z toho plne i značný počet obrázků vtetu. Ve skriptech je uvedeno velké množství cvičení na probíranou látku. Samostatné vřešení těchto cvičení je zárukou toho, že student tuto látku ovládá. V opačném případě b si měl student znovu projít tet a řešené příklad a své znalosti si doplnit tak, ab bl schopen cvičení samostatně řešit. Na začátku skript jsou uveden používané matematické smbol se stručným vsvětlením pojmů, které označují. Další smbol jsou pak vsvětlen přímo v tetu. Věříme, že tato skripta pomohou studentům se dobře připravit ke studiu matematik na VŠCHT Praha. Na závěr bchom rádi poděkovali recenzentům Mgr. Libuši Fischerové a Mgr. Matěji Maovi, kteří nám pomohli odstranit celou řadu drobných nepřesností a jejichž cenné připomínk výrazně přispěli ke srozumitelnosti a přehlednosti skript. Praha, červen 0 autoři

Značení Číselné obor. N - množina přirozených čísel, tj. čísel,,,... (celá kladná čísla). Z - množina celých čísel, tj. čísel...,,,, 0,,,,... Q -množina racionálních čísel, tj čísel, která lze zapsat ve tvaru p,kdep a q jsou celá čísla, q q 0. R - množina reálných čísel. Ta odpovídají bodům na číselné ose. C - množina kompleních čísel, tj. uspořádaných dvojic reálných čísel, viz Kapitola 6. Interval. (Zde a, b označují dvě pevně zvolená reálná čísla.) (a, b) - otevřený interval, množina reálných čísel splňujících a < < b. a, b - uzavřený interval, množina reálných čísel splňujících a b. a, b) - polouzavřený interval, množina reálných čísel splňujících a < b. (a, b - polouzavřený interval, množina reálných čísel splňujících a< b. (a, ) - množina reálných čísel splňujících a<. a, ) - množina reálných čísel splňujících a. (,a) - množina reálných čísel splňujících < a. (,a - množina reálných čísel splňujících a. (Někd místo (a, b) používáme(a; b) atd., zejména v případech, kd b mohlo dojít k záměně s desetinnou čárkou.) Množinové smbol M - je prvkem množin M. / M - není prvkem množin M. {,,..., n } - n prvková množina zadaná výčtem svých prvků,,..., n. { M ; ϕ()} - množina těch prvků zmnožinm, které mají vlastnost ϕ. Např. { R ; <} =(, ). - prázdná množina, množina neobsahující žádný prvek. A B- množina A je podmnožinou množin B, prvk A jsou též prvk B. A B - množina A je vlastní podmnožinou množin B, A B a B \ A. A \ B - rozdíl množin A a B, množina prvků, které jsou prvk A a nejsou prvk B. A B - sjednocení množin A a B, množina prvků, které jsou prvk A nebo prvk B. A B -průnik množin A a B, množina prvků, které jsou prvk A a zároveň prvk B. A i - sjednocení množin A i, množina prvků patřících do alespoň jedné z množin A i, i I. i I A i -průnik množin A i, množina prvků patřících do všech množin A i, i I. i I (a,a ) - uspořádaná dvojice prvků a, a. (a,a,a ) - uspořádaná trojice prvků a, a, a. (a,a,...,a n ) - uspořádaná n-tice prvků a,a,...,a n. 5

Logické spojk. (Zde p a q jsou výrok.) - konjunkce. p q -platíp asoučasněplatíq. - disjunkce. p q -platíp nebo platí q. - implikace. p q -zp plne q. - ekvivalence. p q - p platí právě tehd, kdž platí q. Kvantifikátor. - eistuje. Např. ( R)( >) znamená: Eistuje reálné číslo, které je větší než. - pro každé. Např. ( n N)( < ) znamená: Pro každé přirozené číslo n je jeho n převrácená hodnota menší než. (To je ovšem nepravdivý výrok.) 6

Obsah Úprav algebraických výrazů 9. Zlomk...................................... 0. Mocnin a odmocnin.............................. Mnohočlen..................................... Pravidla pro počítání s mnohočlen.................. 4.. Umocňování a rozklad mnohočlenů na součin............ 6.4 Lomené algebraické výraz........................... 9.5 Úprav výrazů................................. 4 Řešení rovnic 6. Algebraické rovnice o jedné neznámé..................... 9.. Lineární rovnice............................. 0.. Kvadratická rovnice............................. Rovnice třetího a vššího stupně................... 6..4 Rovnice s neznámou pod odmocninou................. 8. Jednoduché eponenciální a logaritmické rovnice............... 40. Jednoduché goniometrické rovnice....................... 44.4 Rovnice s absolutní hodnotou......................... 47.5 Soustav rovnic................................. 49.5. Soustav lineárních rovnic o více neznámých............. 49.5. Další příklad soustav dvou rovnic o dvou neznámých........ 5 Řešení nerovnic 55. Lineární nerovnice a jejich soustav...................... 55. Nerovnice s absolutní hodnotou........................ 57. Nerovnice součinového a podílového tpu................... 59.4 Kvadratické nerovnice a jejich soustav.................... 6.5 Další tp nerovnic............................... 65.5. Nerovnice s neznámou pod odmocninou................ 65.5. Jednoduché eponenciální nerovnice.................. 66.5. Jednoduché logaritmické nerovnice.................. 67.5.4 Jednoduché goniometrické nerovnice................. 67 4 Analtická geometrie v rovině 69 4. Kartézské souřadnice v rovině......................... 69 4.. Vzdálenost bodů v rovině....................... 70 7

4. Rovnice přímk................................. 7 4.. Obecná rovnice přímk......................... 7 4.. Směrnicový tvar rovnice přímk.................... 7 4.. Parametrické rovnice přímk...................... 76 4. Kuželosečk................................... 79 5 Funkce 86 5. Elementární funkce............................... 88 5.. Mocnin a odmocnin......................... 88 5.. Eponenciální a logaritmické funkce.................. 90 5.. Goniometrické funkce.......................... 9 5. Operace s funkcemi............................... 96 5. Jednoduché modifikace funkce = f().................... 98 5.. Funkce g() = f()+ a......................... 98 5.. Funkce g() =b f()......................... 99 5.. Funkce g() =f(c )......................... 99 5..4 Funkce g() =f( + d)......................... 00 6 Komplení čísla 0 6. Základní pojm................................. 0 6. Geometrické znázornění kompleního čísla.................. 05 6. Goniometrický tvar kompleního čísla..................... 06 6.. Moivreova věta............................. 07 6.. Odmocnina z kompleního čísla.................... 08 Výsledk cvičení Úprav algebraických výrazů.......................... Řešení rovnic.................................. 4 Řešení nerovnic................................. 7 4 Analtická geometrie v rovině......................... 9 5 Funkce...................................... 6 Komplení čísla................................. 6 8

Kapitola Úprav algebraických výrazů Algebraický výraz je matematický zápis, ve kterém se vsktují konstant a proměnné. Je to zápis, který udává, jaké operace s konstantami a proměnnými máme provádět. Výrazem je například zápis: ( 5 ), 4 + nebo. 8 5 6 ( ) 4 Předpokládáme, že proměnných je konečný počet n. V předchozím příkladě obsahuje první výraz jednu proměnnou, druhý výraz dvě proměnné, a třetí výraz čtři proměnné,,, 4. Za každou proměnnou můžeme do výrazu dosazovat pouze takové hodnot znějakémnožinm i R, i=...n, pro které má daný výraz smsl. Např. výraz ( 5 ) 8 má smsl pro taková, pro která nedostaneme ve jmenovateli zlomku 0. V tomto případě se jmenovatel nerovná 0 pro neboli pro R \{}. Uvažujeme-li výraz 4, 5 6 musíme určit podmínk pro dvě proměnné,. Tento výraz má smsl, jestliže pod odmocninou je nezáporný výraz a ve jmenovateli zlomku není 0. Musí ted platit 4 0 a 5 6 0, R tj. 4 a 6a, R. Výraz má ted smsl pro 4 a, R. Podobně určíme podmínk eistence pro výraz s více proměnnými,,, 4 + ( ). 4 Tento výraz má smsl pro R, R, ± a 4 0. V kapitole se naučíme upravovat algebraické výraz a stanovit podmínk, za kterých má daný algebraický výraz smsl. Jak jsme viděli na příkladech, ve výrazech se budou objevovat zlomk, mocnin, odmocnin a mnohočlen. Zopakujeme si nejdříve pravidla pro počítání se zlomk, mocninami, odmocninami a mnohočlen. 9

. Zlomk Zlomkem a rozumíme reálné číslo, které je výsledkem dělení reálného čísla a reálným b číslem b 0. Zavedeme-li pro spojku a matematický smbol a pro spojku nebo smbol, potom pro a, b R, b 0platí: a > 0 b [(a >0 b>0) (a <0 b<0)] a < 0 b [(a >0 b<0) (a <0 b>0)], kde zápis p q znamená, že tvrzení p platí právě tehd, kdž platí tvrzení q. Se zlomk můžeme provádět následující operace: Pro a, b, c, d R, b 0,d 0platí: a b a b a = k a k b = a : k b : k b + c d a b c d = ac bd a b : c a d = b (rozšíření zlomku číslem k 0) (krácení zlomku číslem k 0) = ad + cb bd c d (sčítání zlomků) (násobení zlomků) = a b d c = ad bc ( Příklad.: Vpočtěme 5 + 6 4 5 ( 5 + 6 4 ) = ( 5 5 + 4 ) 5,proc 0 (dělení zlomků) ). = 5 + 5 4 5 = 5 + 45 = 5 + 5 = = 5 + 5 = 0 5 5 75 = 4 5. Kdbchom při sčítání zlomků použili nejmenšího společného jmenovatale, bl b výpočet následující: ( 5 + 6 4 ) = ( 5 5 + 4 ) = 5 5 + 5 4 = 5 5 + 5 = + = 4 5 5. ( Příklad.: Vpočtěme + ) ( : ). 6 ( + ) ( : ) = + : 6 6 6 0 = 5 6 : 6 = 5 6 6 = 5 =5.

Příklad.: a + a = +a a a Vpočtěme a + a,kdea 0. = +a a.. Mocnin a odmocnin Mocnina je zkrácený zápis pro součin stejných činitelů. Např. mocnina 5 znamená. Obecně platí: Pro a R a n N definujme n tou mocninu čísla a: a n Pro n =0aa 0 definujme a 0 =. = a a... a } {{ } n krát R a nazýváme základ mocnin, n eponent. Nní rozšíříme definici mocnin i pro záporný eponent: Pro a R \{0} a n N definujme a n = a n. Uvedeme si důležité vlastnosti mocnin: Pro a, b R, n,m N platí:. a n a m = a n+m a. n = a n m pro a 0 a m. (a n ) m = a n m 4. (a b) n = a n b n 5. ( a b ) n = an b n pro b 0 ( ) a 5 b Příklad.4: Zjednodušme výraz ; a 0,b 0. a b ( ) 4 a 5 b = ( a 5 b 4) ( = a b ) = a b ( ) = a 9 b = a9 a b 4 b. Jiný postup: ( ) a 5 b a5 b = a b 4 a b = a5 b 9 4 a 6 b = a5 6 b 9 = a 9 b = a9 b.

Odmocnina je definována následovně: Pro a 0, ), b 0, ) an N definujme n tou odmocninu čísla a vztahem n a = b b n = a Pokud jsou n pouze lichá čísla, můžeme definovat odmocnimu i ze záporného čísla. Pro a (, 0 a n N, liché definujme n tou odmocninu čísla a jako n a = n a Číslo a nazýváme základ odmocnin, n odmocnitel. Vlastnosti odmocnin: Pro a, b 0, ), n,m,p N platí:. n a b = n a n b. n a b =. ( n a) m = n a n b n a m pro b 0 4. m n a = m n a 5. m n a m p = n a p Definujme nní r tou mocninu čísla a pro r racionální. Pro a (0, ) ar Q (r = p,p Z, q N) definujme: q Pro r, s Q a a, b (0, ) platí: a r = a p q = q a p a r a s = a r+s, (a b) r = a r b r, (a r ) s = a r s. Příklad.5: Zjednodušme výraz 6 a8 b = 6 a 8 6 b = a 4 b. 6 a8 b, a,b 0. Nebo jinak: 6 a8 b =(a 8 b ) 6 = a 8 6 b 6 = a 4 b = a 4 b. Příklad.6: Zjednodušme výraz a 5 a b, a,b 0.

a 5 a a b = 5 a 5 b = a a 5 5 b = a + 5 5 b = a 7 0 5 b = = 0 a 7 5 b = 0 a 7 5 b. Nebo jinak: a ( 5 a b = a (a b) 5 Cvičení Cvičení.: a) a + 9 a a c) a6 b 4 c a c ) = a 6 (a b) 5 = a 6 a 5 b 5 = a 6 + 5 b 5 = = a 7 0 b 5 = 0 a 7 5 b. Zjednodušte výraz: ( a a ) ; a 0, b) ( + ) : + ; 0, 0, : ab5 c bc ; a, b, c 0, d) + z z z + ;,, z 0, z e) ( ) uv : w ( v ) ( ; u, v, w 0, f) a b c ) ( a b c ) ; a, b, c 0, wu g) 6 ; >0, h) ( 5 ) 5 ) ;, > 0. ( 5 Cvičení.: Zjednodušte výraz: a a a) ; a>0, b) a c) 5 u 6 5 u; u 0, d) ( 4 ) 6 ; 0, 6 4 8 ; 0.. Mnohočlen Zvláštním případem výrazů jsou mnohočlen. Mnohočlen mohou být s jednou proměnnou, např. +, nebo více proměnnými, např. + z. Pravidla pro počítání s mnohočlen si uvedeme pro mnohočlen s jednou proměnnou. Je jednoduché zobecnit tato pravidla pro mnohočlen s více proměnnými. Ukážeme si to na příkladech. Necht R je proměnná, n N a a 0,a,...,a n R, a n 0 jsou dané konstant. Výraz P () = a n n + a n n +... + a + a 0 nazýváme reálným mnohočlenem (polnomem) n tého stupně v proměnné.

Čísla a 0,a,...,a n nazýváme koeficient mnohočlenu, výraz a i i,i=...n člen mnohočlenu stupně i a a 0 nazýváme absolutní člen... Pravidla pro počítání s mnohočlen Rovnost mnohočlenů Dva mnohočlen P ()aq() se rovnají právě tehd, kdž se rovnají člen stejného stupně, neboli kdž se rovnají koeficient u stejných mocnin. Sčítání a odčítání mnohočlenů Mnohočlen sčítáme, resp. odčítáme tak, že sečteme, resp. odečteme člen stejného stupně, neboli sečteme (resp. odečteme) koeficient u stejných mocnin. Příklad.7: Sečtěme dva mnohočlen P () = 4 + 5 + a Q() = +5. P ()+Q() = (+0) 4 +(+) +( 5 ) +(0+5) +( ) = = 4 +5 6 +5 +. Nní si ukážeme zobecnění pro mnohočlen s více proměnnými. Příklad.8: Sečtěme dva mnohočlen P (, ) = + +5 a Q(, ) = +. P (, )+Q(, ) = (+) + +( )+ +5 = = + 4 + +5. Násobení mnohočlenů Mnohočlen násobíme mnohočlenem tak, že všechn člen prvního mnohočlenu vnásobíme každým členem druhého mnohočlenu a vzniklé součin sečteme. Příklad.9: Vnásobme dva mnohočlen P () = a Q() = +. P () Q() = ( ) ( + ) = = + + ( ) + ( ) +( ) +( ) ( ) = = 5 + 4 4 6 +. Příklad.0: Vnásobme dva mnohočlen P (, ) = a Q(, ) = +. P (, ) Q(, ) = ( ) ( +) = + +( ) +( ) = = 4 +. 4

Dělení mnohočlenů Předpokládejme, že dělený mnohočlen (dělenec) P () je stupně n a dělící mnohočlen (dělitel) Q() má stupeň m n. Postup dělení můžeme rozepsat do několika bodů:. Oba mnohočlen uspořádáme sestupně podle mocnin proměnné.. Člen dělence s nejvšším stupněm dělíme členem dělitele s nejvšším stupněm, výsledek dělení je první člen hledaného podílu.. Prvním členem podílu vnásobíme dělitele a výsledek zapíšeme pod dělenec (stejné mocnin pod sebe) a odečteme. Rozdíl je opět mnohočlen. 4. Celý postup opakujeme pro tento nový mnohočlen. Jestliže rozdíl má stupeň menší než dělitel, dělení ukončíme a rozdíl prohlásíme za zbtek po dělení. Celý postup si ukážeme na následujícím příkladě. Příklad.: Vdělme dva mnohočlen P () = 4 + +4 + + a Q() = +. ( 4 + +4 + + ) : ( +) = + + ( 4 + ) + + + ( + ) + ( +) 0 Výsledek: P () :Q() = + +. Zkouška: ( ++) ( +) = 4 + + ++ + = 4 + +4 ++. Příklad.: Vdělme dva polnom P () = 5 + 4 4 +5 a Q() = +. ( 5 + 4 4 +5 ) : ( + ) = + 7 ( 5 + 4 ) 4 + 4 +5 ( 4 + ) 4 4 +5 ( + ) 7 +5 ( 7 7 +7) 6 Zbtek po dělení je 6. Výsledek: P () :Q() = + 7+ 6 +. 5

Zkouška: ( + 7+ 6 ) ( + ) = + = ( + 7) ( + ) + 6 + ( + ) = = 5 + 4 4 + + + 7 7 +7+6 = = 5 + 4 4 +5... Umocňování a rozklad mnohočlenů na součin Vzorce pro umocňování dvojčlenů, binomické vzorce: (a + b) = a +ab+ b (a b) = a ab+ b (a + b) = a +a b +ab + b (a b) = a a b +ab b Obecnýbinomickýrozvoj: (a + b) n = n k=0 ( n k ) a n k b k, kde n N, ( ) n = k n! n(n ) (n k +) = k!(n k)! k! Zde n! (čti n faktoriál) je definováno následovně 0! =, n! =n (n )! = n (n ).! = a pro n > je Příklad.: Umocněme dvojčlen ( ) 5. ( ) ( ) 5 5 ( ) 5 = 5 + 4 ( ) + ( ) + ( ) 5 ( ) + ( ) 5 ( ) 4 +( ) 5 = 4 = 5 + 5!!4! 4 ( ) + 5!!! 4+ 5!!! ( 8) + 5! 6 + ( ) = 4!! = 5 +5 4 ( ) + 0 4+0 ( 8) + 5 6 + ( ) = = 5 0 4 +40 80 +80. Rozklad mnohočlenů na součin: a b = (a b)(a + b) a b = (a b)(a + ab+ b ) a + b = (a + b)(a ab+ b ) a n b n = (a b)(a n + a n b + a n b + + ab n + b n ),n N a n + b n = (a + b)(a n a n b + a n b ab n + b n ),n N liché Příklad.4: Rozložme mnohočlen (7 8). (7 8) = ( ) =( ) (( ) + + )=( ) (9 +6 +4). 6

Rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů: Necht a, b, c R, b 4 ac 0, potom a + b+ c = a ( )( ), kde, jsou kořen kvadratické rovnice a + b+ c =0. Převedeme-li rovnici a + b + c = 0 na ekvivalentní normovaný tvar + b a + c a =0, tj. + p + q =0, platí tzv. Viètov vzorce: + = p = q. Čísla, lze v některých případech uhádnout, většinou je ale určíme jako kořen kvadratické rovnice (viz kapitola ). Příklad.5: Rozložme kvadratický trojčlen ( 6 6) na součin kořenových činitelů. p = 6,q = 6,p 4 q = 6 + 66 = 00 0 } = 6 odtud + = 6 =8 = (zde jsme čísla uhodli) Čísla, můžeme získat také řešením kvadratické rovnice 6 6 = 0, ted, = 6 ± 6 4( 6) = 6 ± 00 = 6 ± 0 = { 8. ( 6 6) = ( )( ) = ( 8)( +). Doplnění kvadratického trojčlenu na čtverec (na úplnou druhou mocninu): + p+ q = Tuto úpravu budeme často vužívat. ( + p ) p + q, kde p, q R. (.) 4 Příklad.6: Doplňme kvadratický trojčlen ( +5 + 7) na čtverec. p = 5,q = 7, ( +5 +7) = ( + 5 ) 5 +7 = ( + 5 4 ) +. 4 Příklad.7: Doplňme kvadratický trojčlen ( + + ) na čtverec. ( + +) = ( + +) p =,q =, ( ) ( ) ( + +) = ( + +) = ( + 4 ) 9 + = ( + 6 4 ) + 7 = 6 = ( + 4 ) + 7. 8 7

Příklad.8: Doplňme výraz ( +5) na čtverec. ( +5) = ( 5) p = 5,q = 0, ( ) ( +5) = ( 5 ) = ( 5 6 ) 5 = ( 5 6 6 ) + 75. 6 Příklad.9: Doplňme kvadratický trojčlen ( + 5 ) na čtverec. ( + 5 ) = ( 6 +5) p = 6,q = 5, ( + 5 ) = ( 6 +5) = ( ) ( ) 9+5 Cvičení Cvičení.: Vdělte polnom P () aq() a proved te zkoušku. a) P () = 4 +7 4, Q() =, b) P () = 4 + +, Q() = +, c) P () = 6 5 +4 4 + 7 +9 5, Q() = +, d) P () = 4 + + +7 +,Q() = +, e) P () = 6 5 +4 +4 +, Q() = +, f) P () = 6 + 5 4 4 +5 + +, Q() = +, g) P () = 7 + 6 + 5 +5, Q() = + +. Cvičení.4: Umocňete dvojčlen: a) (a +), b) ( ) 4, c) ( b +), d) (5 +), e) ( ) 4, f) ( a + )5. Cvičení.5: Rozložte mnohočlen na součin: a) 4, b) +8, c) a 7, a = ( ). d) 4 6 b, e) 8 64, f) 4, g) a 4 b 4, h) 5 + 5, i) ( + ) ( ), j) ( +) ( ), k) (a + b) b, l) ( ) 4 ( +4) 4. Cvičení.6: Rozložte kvadratické trojčlen (resp. trojčlen všších řádů) na součin: a) 4 5, b) 5 +6, c) 6 6, d) 6, e) 4 + +, f) 6 +. Cvičení.7: Doplňte na čtverce: a) a a +, b) +4 +5, c) u + u, d) 4 +6, e) b + b +, f) 4 +. 8

.4 Lomené algebraické výraz Lomený algebraický výraz je výraz ve tvaru zlomku. kde V,V jsou výraz, V 0. lomený výraz = V V, S lomeným výrazem pracujeme jako se zlomkem, musíme ted dávat pozor, kd je jmenovatel zlomku roven 0. Lomený výraz má smsl, kdž mají smsl jednotlivé výraz V,V a výraz V je různý od 0. Zopakujme si pojem společný dělitel a společný násobek pro mnohočlen. Společný dělitel mnohočlenů P,P je mnohočlen, kterým je každý z mnohočlenů P,P beze zbtku dělitelný. Největší společný dělitel mnohočlenů je společný dělitel nejvššího stupně. Společný násobek mnohočlenů P,P je mnohočlen, který je každým mnohočlenem P,P beze zbtku dělitelný. Nejmenší společný násobek mnohočlenů je společný násobek nejnižšího stupně. Příklad.0: Určeme nejmenší společný násobek a největší společný dělitel mnohočlenů P =6( ) a P =( ). Rozložíme nejprve oba mnohočlen na součin: P = ( ) ( +) a P =( ) ( ) Největším společným dělitelem je mnohočlen P = ( ), protože P dělí beze zbtku P i P a ze všech společných dělitelů má nejvšší stupeň. Nejmenším společným násobkem je mnohočlen Q =6( )(+)( ) = 6( )( ), protože mnohočlen P i P dělí beze zbtku mnohočlen Q a ze všech společných násobků má nejmenší stupeň. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatel i jmenovatel stejným výrazem. Rozšířit lomený výraz znamená násobit jeho čitatel i jmenovatel stejným výrazem. Krácení a rozšíření lomených výrazů kde V,V,V jsou výraz, V,V 0. V V V V = V V, Příklad.: Upravme lomený výraz 8(a )(a +)b 4 4(a +) b. Jmenovatel lomeného výrazu musí být různý od nul 4(a +) b 0, ted a + 0 b 0. 9

Daný výraz má smsl pro všechna a ab 0.Zatěchtopředpokladůplatí: 8(a )(a +)b 4 4(a +) b = Příklad.: 8(a )(a +)(a +)b4 4(a +)(a +)b = (a ) b. Upravme lomený výraz ( +) 5 Jmenovatelé všech lomených výrazů musí být nenulové ( ) 0 5 0, ted 0. Daný výraz má smsl pro všechna a 0.Zatěchtopředpokladůplatí: ( +) 5 = ( +) : 5 = ( +). 5 = ( +) 5. Při sčítání lomených výrazů převedeme lomené výraz na společného jmenovatele. Sčítání lomených výrazů kde V,V,V,V 4 jsou výraz, V,V 4 0. V V + V V 4 = V V 4 + V V V V 4, Obvkle používáme nejmenšího společného jmenovatele. Příklad.: Sečtěme lomené výraz: + ( + ) +. Daný výraz má smsl pro ±. + ( + ) + ( +)( )+ ( + ) = = ( + )( ) = + + + ( ) = + + + = ( ) = + + +. ( ) Poslední úprava je jen setřídění členů mnohočlenu podle nejvšší mocnin. = 0

Příklad.4: Sečtěme lomené výraz: + +. Daný výraz má smsl pro a 0. S vužitím nejmenšího společného jmenovatele dostaneme: + + = ( + )( ) + ( ) = ( ) + ( ) = 0. Při násobení lomených výrazů vnásobíme čitatel s čitatelem a jmenovatel s jmenovatelem. Násobení lomených výrazů kde V,V,V,V 4 jsou výraz, V,V 4 0. V V V V 4 = V V V V 4, Příklad.5: Vnásobme lomené výraz: a + b ab Daný výraz má smsl pro a ±b a a, b 0. a + b ab a b ab ab a b. a b ab ab = (a b ) ab a b a b (a b ) = ab. Při umocňování lomeného výrazu umocníme jeho čitatel i jmenovatel. Umocňování lomených výrazů (k Z) ( V ) k = V k, V V k kde V,V jsou výraz, V 0, v případě k<0iv 0. Příklad.6: Umocněme lomený výraz: ( ) +. Daný výraz má smsl pro, 0. ( ) + = ( + ) ( ) = ( + ) 4 6.

Dělení lomených výrazů V : V = V V4, V V 4 V V kde V,V,V,V 4 jsou výraz, V,V,V 4 0. Příklad.7: Podělme lomený výraz: 4 + : ( ). Pro daný výraz musí platit: ( ) + 0 ( ) 0 0 ) ( 0 ( 0 0 ). Daný výraz má ted smsl pro, ± a, 0. Výraz upravíme: 4 + : ( ) = ( 4 ) + ( ) = ( )( + )( )( + ) ( + )( ) = ( + )( ). Zjednodušení složeného lomeného výrazu V V V V 4 = kde V,V,V,V 4 jsou výraz, V,V,V 4 0. V V V4 V, Příklad.8: Zjednodušme složený lomený výraz: (u v ) u (v +) 5 (u + v) (v +) v. Pro daný výraz musí platit: (u (v +) 5 0 (v +) v 0 (u +v) 0)tj.(v u 0 v 0 u v).

Daný výraz má ted smsl pro u v, v au, v 0. Výraz zjednodušíme: (u v ) u (v +) 5 (u + v) (v +) v = (u v ) u (v +) 5 (v +) v (u + v) = = (u v)(u + v) u (v +) 5 (v +) v (u + v) = (u v) v (v +) (u + v) u. Cvičení Cvičení.8: Krat te lomené výraz a stanovte podmínk, pro které má daný výraz smsl: a) 5 5 z 55 z, b), c) u+ v u v u v u+ v, a 8 d) a 4, e) 6( + ) ( +), f) ab ac+ a d ac ab a d. Cvičení.9: Zjednodušte lomené výraz a stanovte podmínk, pro které má daný výraz smsl: a) d) +, b) ( ), c), e) (u v) u + v, f) Cvičení.0: smsl: a) + a a, + Sečtěte lomené výraz a stanovte podmínk, pro které má daný výraz +, b) a a b b a + b, c) v u v + uv v u(u v), d) b + a ab, e) + +, f) p ++ p. Cvičení.: Zjednodušte složené lomené výraz a stanovte podmínk, pro které má daný výraz smsl: + a) ( ), b) +a a u +, c) +a u, u d) t t t, e) + + +, f) + 4 + + +..

.5 Úprav výrazů Cvičení v tomto odstavci shrnují úprav probrané v této kapitole. Cvičení Cvičení.: Zjednodušte výraz: ( ) 5 4 4 4 6 a) ( ) :, b) : 5 4 6 8 4 6, c) d) 8 4, e) 6 9 6, f) 4 4 5 4, ( 0 4 5 5 6 ). Cvičení.: Zjednodušte výraz a stanovte podmínk, pro které má daný výraz smsl: a) +4 +4, b) + ++, c) a a a b a + b d) g) j) a b a, e) b ( + ) (+ ) a a u u + + a + a + u + u u u + +, f) u + u, h) +, i), k) a a ( )( + ) :, 6 +4 5 4 4 4 5 4 +4 4, a + a +, l) 4 5 + +, m) p) t) a + a a + a +, n) ( )( + ), q) + 5 4 +6 +5, u) u + v u v a 4 v u v u, o) 4 4 a ( 4 a ) a ( ) a, r) + a + (, v) 4) ( )( +5 +6) + +, ( )( ) + +,, 4

w) + u v u + v u v u + v v u u v, ) 4 4 4 4 + +, ). Cvičení.4: a) 4 6 +6 + Vdělte polnom a stanovte podmínk, za kterých má dělení smsl:, b) c) 5 + 4 4 + 4 e) 5 + + +, d), f) 4 + + + 5 4 + 4 +4 + 4 +7 +6,., 5

Kapitola Řešení rovnic Během studia na střední škole jste jistě často (nejen v hodinách matematik, ale i fzik, chemie atd.) narazili na různé tp rovnic, např. +4 =, log ( ) + log ( +)=8, E = mc, pv = nrt. Každou z těchto rovnic jsme schopni zapsat ve tvaru, ve kterém na jedné straně rovnice bude 0 a na druhé straně rovnice budou všechn ostatní člen: +4 =0, log ( ) + log ( +) 8=0,E mc =0,pV nrt =0. Mluvíme o rovnicích v anulovaném tvaru. V této kapitole bude naším cílem zopakovat základní postup při řešení nejčastěji se vsktujících tpů rovnic. S výjimkou poslední podkapitol (věnované řešení soustav rovnic) se omezíme na rovnice s jednou neznámou. Uvažujme ted rovnici s jednou neznámou (označíme ji jako ). Řešením (kořenem) dané rovnice nazveme každé číslo, po jehož dosazení do zadané rovnice obdržíme platnou rovnost. Vřešit rovnici znamená najít množinu všech kořenů dané rovnice (budeme ji označovat jako množinu K) to ovšem může být velmi obtížná úloha, kterou mnohd vůbec nejde vřešit. Pro řešení rovnic používáme různé metod, např. provádění úprav, grafické řešení (tento způsob volíme, pokud nám stačí zjistit počet kořenů nebo jen přibližnou hodnotu řešení), numerické řešení (v řadě případů je tato možnost jediná možná, s vbranými numerickými metodami se seznámíte v pozdějším studiu). Nejčastěji postupujeme tím způsobem, že zadanou rovnici upravujeme tak dlouho, než získáme rovnici, kterou již snadno umíme řešit (např. rovnici lineární). Rozlišujeme přitom úprav ekvivalentní, které převedou danou rovnici na rovnici se stejnou množinou kořenů, a neekvivalentní, při jejichž použití se může množina kořenů zvětšit v tomto případě je vžd nutné provést zkoušku, kterou takto přidaná řešení vloučíme. Označíme-li si levou stranu zadané rovnice L() a podobně pravou stranu rovnice P (), zkouška pro kořen 0 znamená ověření rovnosti L( 0 )=P ( 0 ). Mezi ekvivalentní úprav patří: 6

záměna levé a pravé stran rovnice, přičtení, resp. odečtení téhož výrazu (definovaného pro všechn hodnot neznámé, pro které má rovnice smsl) k oběma stranám rovnice, násobení, resp. dělení obou stran rovnice týmž nenulovým výrazem (definovaným pro všechn hodnot neznámé, pro které má rovnice smsl). Příklad.: Nejčastější chb se objevují při nesprávném použití posledně zmiňované ekvivalentní úprav. Ukážeme si to na jednoduchém příkladu rovnice ( )( +)=.. způsob řešení (zadanou rovnici převedeme do anulovaného tvaru a použijeme vzorec (A B)(A + B) =A B ): ( )( +) = / + + + = 0 4 = 0 ( )( +) = 0. Vzhledem k tomu, že součin dvou reálných čísel je roven nule právě tehd, je-li alespoň jedno z čísel nula, dostáváme dva kořen: =a =, K = {, }. O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou (zkoušku si u tohoto i u ostatních příkladů proved te sami).. způsob řešení (Pozor chbný!): ( )( +) = /:( ) + = / =. Kam se ztratil druhý kořen vpočtený prvním způsobem? Při dělení výrazem ( ) jsme opomenuli předpoklad dělit nenulovým výrazem a pro = jsme dělili nulou. Přitom levá strana zadané rovnice je pro = rovna nule stejně jako pravá strana, tudíž =je rovněž kořenem. Takových chb je třeba se vvarovat. Nejčastěji používanou neekvivalentní úpravou je umocnění obou stran rovnice. Ukážeme si to na jednoduché úloze. Příklad.: Řešme v reálném oboru rovnici = +4. Levou i pravou stranu rovnice nejprve umocníme na druhou: = +4/ = +4/ 4 4 = 0. 7

Poslední kvadratická rovnice má dva kořen =4a =. Postup řešení kvadratických rovnic si podrobněji zopakujeme v následujícím tetu. V průběhu řešení jsme však použili i neekvivalentní úpravu umocnění na druhou, musíme proto provést zkoušku: L(4) = 4 P (4) = 4+4= 6 = 4 L(4) = P (4) L( ) = P ( ) = ( ) + 4 = = L( ) P ( ) Zkouškou jsme druhý kořen vloučili, ted K = {4}. Pokud bchom se zkoušce chtěli vhnout, máme možnost na začátku řešení úloh pečlivě všetřit podmínk, za jakých je umocnění ekvivalentní úpravou a rovnice má smsl: 0azároveň +4 0. Kořen těmto podmínkám nevhovuje, a proto je nutné jej z množin kořenů vnechat. Při grafickém řešení rovnic můžeme postupovat dvěma různými cestami: Ponecháme-li rovnici v anulovaném tvaru f() = 0, hledáme průsečík grafu (graf elementárních funkcí si zopakujete v páté kapitole) funkce f s osou (t odpovídají hledaným kořenům rovnice). Tento způsob ovšem předpokládá, že umíme načrtnout graf funkce f (viz Příklad.a). Druhou možností je převedení rovnice z anulovaného tvaru do tvaru g() = h(), kde graf funkcí g, h umíme načrtnout. Hledané kořen zadané rovnice v tomto případě odpovídají -ovým souřadnicím průsečíků grafů funkcí g a h (viz Příklad.b). Příklad.: Pomocí vhodného obrázku rozhodneme, kolik kořenů márovnice a) =, b) 5 =0. a) Rovnici převedeme do anulovaného tvaru = 0. Při označení f() = =( ) 4 hledejme průsečík grafu funkce f sosou. Grafem funkce f je parabola s vrcholem v bodě (, 4) a osou rovnoběžnou s osou (více o kuželosečkách najdete ve čtvrté kapitole). Z Obrázku. je zřejmé, že daná rovnice má právě dva různé reálné kořen (výpočtem lze snadno ověřit, že jde o kořen = a =). b) Graf funkce f() = 5 neumíme načrtnout, a proto zvolíme druhý výše uvedený postup. Zakreslíme do téhož souřadnicového sstému (viz Obr..) graf funkcí g() = a h() = 5. Odtud je patrné, že rovnost g() =h() (a ted rovnice 5 =0)je splněna pro tři různé hodnot rovnice má tři reálné kořen =, =0a =. Poznamenejme, že tuto rovnici lze řešit i algebraick: = 5 5 = 5 =0 ( 4 ) = 0 ( 7 )( 7 +)=0 =0 = =. 8

4 0 4 Obrázek.: Grafické řešení rovnice =. 5 0.5 0 0.5 Obrázek.: Grafické řešení rovnice 5 =0.. Algebraické rovnice o jedné neznámé Algebraickou rovnicí n-tého stupně s neznámou rozumíme rovnici a n n + a n n + a n n + + a + a 0 =0, kde koeficient a n, a n,..., a, a 0 jsou reálná čísla, a n 0. Algebraické rovnice prvního stupně bývá zvkem označovat jako lineární, druhého stupně jako kvadratické, třetího stupně jako kubické atd. Příklad.4: Rovnice + + +7+ + + =0 sice nevhovuje výše uvedenému vmezení, ale za předpokladu 0 ji vnásobením výrazem lze převést na algebraickou rovnici šestého stupně. 9

Doporučujeme Vám, abste u všech následujících příkladů a cvičení vžd provedli zkoušku!.. Lineární rovnice Lineární rovnicí s neznámou rozumíme rovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar a + b =0, a,b R. Její řešení je následující: je-li a 0, potom K = { b a}, je-li a =0ab = 0, potom K = R, je-li a =0ab 0, potom K =. Příklad.5: Řešme v reálném oboru rovnici Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav: 4 5 + = 4. 4 + = 4 5 / 0 6( 4) 0 +60 5( ) = 0( 4) 6 4 0 +60 5 +0 = 0 40 69 = 06 / :( 69) = 06 69. Daná rovnice má jediné reálné řešení: K = { } 06 69. Příklad.6: Řešme v reálném oboru rovnici 4 8 = + +. Daná rovnice má smsl, jsou-li splněn podmínk 8 0, 0, + 0,ted pro všechna R \{±}. Postupnými úpravami dostáváme: 4 8 = + + / ( )( +)= 8 4 = ( +)+( ) 4 = +6+ 6 / 4 0 = 0. Poslední rovnost je vžd pravdivá. Řešením dané rovnice jsou ted všechn hodnot, pro něž má rovnice smsl, tj. K = R \{±}. 0

Příklad.7: Řešme v R rovnici + ( ) + = ( ). Rovnice má smsl, jestliže 0a 0,tj..Pro R \{0, } ted dostaneme + ( ) + = / ( ) ( ) ( +)( ) ( +)( ) = +4 6 + = 4 5 = / +5 4 = 4/ :4 =. Získaná hodnota = ale není pro danou rovnici přípustná daná rovnice proto nemá žádné reálné řešení, ted K =. Příklad.8: Provedeme diskusi řešitelnosti rovnice (s neznámou R) a) t t =, b) t + + =0 vzhledem k reálnému parametru t. a) Tato rovnice má smsl v celém R. Nejprve provádíme úprav podobně jako u rovnice bez parametru: t t = / t 4t = / +4t (t ) = +4t. Nní musíme rozlišit dvě možnosti. Jestliže t =0,tj.t =, bude mít rovnice podobu 0 = 0, a jejím řešením budou všechna reálná čísla. V případě t dostaneme po dělení obou stran rovnice výrazem t pro neznámou = +4t t =. U rovnic s parametrem můžeme výsledek zapsat pomocí přehledné tabulk: t K(t) t = R t {} b) Tato rovnice má smsl pro a 0. Postupnými úpravami dostaneme: t + + = 0 / ( ) (t +)+( ) = 0 (t +) =.

Dále rozlišíme dva případ: pro t = získáme rovnici 0 =, které nevhovuje žádné reálné číslo. Pro t lze rovnici dělit výrazem (t + ); odtud pak plne =.Nní t+ se vrátíme k podmínkám a 0.Situace =0,tj. = 0, nenastává. Avšak pro t+ =,tj.prot =, dostáváme =. Ted pro tuto hodnotu parametru t nebude mít t+ rovnice žádné řešení. Závěrem vše shrneme formou tabulk: t t = t = t at K(t) { t+ }.. Kvadratická rovnice Kvadratickou rovnicí nazýváme rovnici, kterou je možné po vhodných úpravách zapsat ve tvaru a + b + c =0, a,b,c R, a 0. Jsou-li, kořen dané kvadratické rovnice, pak ji lze rovněž psát ve tvaru a( )( )=0. Příklad.9: Řešme v R rovnici +6 9 = 0. Ukážeme si postup, který v dalším použijeme k odvození vzorce pro kořen kvadratické rovnice. Použijeme-li doplnění na čtverec (na úplnou druhou mocninu, viz vzorec (.)) +6 =( +) 9, plne odtud ( +) 9 9 = ( +) 00 = 0. Nní použijeme vzorce A B =(A B)(A + B), kde dosadíme za A = +,B =0: [( +) 0][( + ) + 0] = 0 ( 7)( + ) = 0 =7, =. Pro množinu kořenů dané kvadratické rovnice platí K = {7, }. V obecném případě dostaneme po doplnění na čtverec: ( a + b + c = a + b a + c ) = a [ ( = a + b ) ] [ ( b a 4a + c = a + b ) ] b 4ac =0 a a 4a

Výraz b 4ac bývá zvkem označovat jako diskriminant D. SjehopomocílzeproD 0 psát za použití vzorce A B =(A B)(A + B): [ ( a + b ) ] ( D = a + b )( D a 4a a + b ) D a a + =0 a = b D a + a, Dostáváme závěr: = b D a a, což zkráceně zapisujeme jako, = b ± D. a Pro kořen, kvadratické rovnice a + b + c =0platí, = b ± b 4ac a = b ± D a. (.) Zdůrazněme, že tento vzorec je nutné si pamatovat. Je zřejmé, že právě diskriminant a jeho znaménko rozhoduje o tom, kolik a jaké bude mít rovnice řešení. V oboru reálných čísel má rovnice řešení pouze pro D 0. Kvadratická rovnice ovšem může mít řešení i v případě D<0, toto řešení je ale z oboru kompleních čísel. Doporučujeme všem čtenářům, kteří se dosud s kompleními čísl nesetkali, ab nejprve podrobně prostudovali šestou kapitolu, a až poté pokračovali studiem následujících příkladů. Celkem dostáváme tto možnosti: pro D>0 má kvadratická rovnice dvě různá reálná řešení = b + D a, = b D a pro D = 0 má kvadratická rovnice jedno reálné řešení (mluvíme o dvojnásobném kořenu), = b a pro D<0 má kvadratická rovnice dvě různá komplení řešení (jde o dvojici čísel kompleně sdružených) = b +i D a, = b i D. a Příklad.0: Řešme kvadratické rovnice: a) +6=0, b) 6 +64=0, c) 4 +8=0. a) V této rovnici je a =,b =, c = 6, pro její diskriminant platí D = b 4ac = ( ) 4 6 = 69 44 = 5 > 0. Rovnice má proto dva reálné kořen, = ± 5 = =9 =4 K = {4, 9}.

b) Pro a =,b = 6, c =64platíb 4ac =( 6) 4 64 = 0, takže rovnice má jediný (dvojnásobný) reálný kořen:, = 6 ± 0 =8 K = {8}. c) D = b 4ac =( 4) 4 8= 6 < 0, rovnice má kompleně sdružené kořen:, = 4 ± 6 = =+i = i K = {+i, i }. V případě, kdbchom v zadání požadovali řešení pouze v reálném oboru, poslední rovnice b neměla žádné řešení. Příklad.: Řešme v reálném oboru rovnici 8+ 8 =0. Rovnici má smsl řešit pro 8.Pro R\{8} dostáváme pomocí ekvivalentních úprav: 8+ 8 = 0 / ( 8) ( 8) + = 0( 8) 6 +64+ = 0 80 / 0 +80 5 + 44 = 0. Pro diskriminant této kvadratické rovnice platí D =5 4 44 = 49. Odtud již snadno pro kořen dostáváme možnosti, = 5 ± 49 = 5 ± 7. Rovnici vhovují reálná čísla =9a = 6. Vzhledem k tomu, že oba kořen patří do množin R \{8} a po celou dobu jsme prováděli pouze ekvivalentní úprav, nemusíme provádět zkoušku. Množinou kořenů jek = {9, 6}. Příklad.: Řešme kvadratické rovnice: a) 6=0, b) +7=0, c) 6 =0. Zde se setkáváme se zvláštními případ kvadratických rovnic, k jejichž řešení není nutné počítat diskriminant. Rovnice v případech a) a b) jsou tzv. kvadratické rovnice bez lineárního členu neboli rze kvadratické rovnice. Jejich řešení snadno najdeme osamostatněním členu na jedné straně rovnice a následným odmocněním celé rovnice: a) =, což platí pro = ±, tj. K = {± }; b) = 7, ted = ±i 7 7 4

V případě c) jde o kvadratickou rovnici bez absolutního členu. Její řešení najdeme snadno pomocí vtýkání: 6 =0 ( ) = 0, což platí pro =0nebo = ; K = {0, }. Jestliže kořen, kvadratické rovnice vjádříme pomocí výše uvedeného vzorce (.), snadno zjistíme, že + = b + D a + b D a = b a, = b + D a b D a = b D 4a = b b +4ac 4a = c a. Jsou-li, kořen kvadratické rovnice a + b + c = 0, potom pro ně platí + = b a, = c a. (.) Příklad.: Provedeme diskusi řešitelnosti kvadratické rovnice v závislosti na reálném parametru t. ( + t) t =0 Pro t = se daná kvadratická rovnice redukuje na lineární rovnici =0amá jediné reálné řešení =. Je-li t, řešíme kvadratickou rovnici, pro jejíž diskriminant platí D =( t) 4 (t +) ( ) = t +4t +4=(t +) 0. Podmínka D =0jesplněnaprot =. V tomto případě má rovnice jediný (dvojnásobný) reálný kořen, =. Pro t at má rovnice v reálném oboru dvě řešení, = t ± t + (t +). Vzhledem k tomu, že v závislosti na reálném parametru t platí bud t+ = t+ (v případě t> ), nebo t + = (t + ) (v případě t< ), můžeme celkem psát t + = ±(t + ) a po úpravě dostáváme, = t ± (t +) (t +) = = = t +(t +) (t +) t (t +) (t +) =, = t +. 5

Celkový závěr diskuse můžeme zapsat formou tabulk: t K(t) t = {} t = {} { } t at, t+.. Rovnice třetího a vššího stupně Je-li stupeň algebraické rovnice tři nebo čtři, eistují pro hledání řešení podobné vzorce sestavené z koeficientů rovnice, jako jsme poznali u rovnice kvadratické, tzv. Cardanov vzorce. Na začátku 9. století norský matematik Niels Henrik Abel (80 89) dokázal, že pro algebraické rovnice pátého a vššího stupně kořen rovnice pomocí podobného vzorce vjádřit nelze. V těchto případech nám nezbývá než použít numerický způsob řešení nebo zvolit vhodnou substituci či jeden kořen uhodnout a po vdělení kořenovým činitelem snížit stupeň rovnice. Takto budeme postupovat tak dlouho, dokud nedojdeme k rovnici druhého stupně, kterou již umíme řešit. Naposled zmíněný postup je však výhodný pouze v případech, kd kořen rovnice jsou hezká čísla (0, ±, ± atd.). Se speciálním tpem algebraických rovnic vššího stupně se ještě setkáte v šesté kapitole, věnované komplením číslům. Nní si ukážeme postup řešení několika dalších konkrétních rovnic všších stupňů. Příklad.4: Řešme v R rovnici 4 4 +=0. Tato rovnice je sice algebraickou rovnicí čtvrtého stupně, ale neznámou obsahuje pouze v sudých mocninách, a proto ji lze substitucí = snadno převést na rovnici kvadratickou: 4 4 + = 0 /subst. = 4 + = 0 D =4 = 4, = 4 ± = = 6 =. Nní se vrátíme zpět k substituci =.Zmožnosti =dostáváme =,tj.dva kořen, = ± azmožnosti = dostáváme =, ted další dva kořen,4 = ± {. Celkem získáváme čtřprvkovou množinu kořenů K = ±, ± }. Příklad.5: Řešme v R rovnici + =0. Mnohočlen na levé straně rovnice pomocí postupného vtýkání zapíšeme v součinovém 6

tvaru: ( ) + ( ) = 0 ( ) + ( ) = 0 ( )( + +)+( ) = 0 ( )[( + +)+] = 0 ( )( +5 +) = 0. Odtud dostáváme dvě možnosti: =0nebo +5 +=0, ted =;, = 5 ± 5 6 4 = = =. Daná rovnice má tři reálné kořen: K = {,, }. Příklad.6: Řešme v oboru kompleních čísel rovnici 8 = 0. V tomto případě se převod na součinový tvar pomocí vtýkání na první pohled nenabízí. Zkusme do rovnice postupně dosazovat čísla ±, ±, ± atd. Snadno ověříme, že po dosazení = do rovnice je splněna rovnost. To znamená, že mnohočlen 8 má kořenový činitel. Provedeme dělení: ( 8) : ( ) = + +6 ( ) 8 ( 9) 6 8 (6 8) 0 Nní již můžeme zadanou rovnici přepsat v součinovém tvaru: ( )( + +6)=0. Ted bud =0nebo + + 6 = 0. Kvadratická rovnice + +6=0mádva kompleně sdružené kořen Pro množinu kořenů platí K =, = ± 9 4 = ± 5 i. {, ± 5 i }. Zdůrazněme, že v příkladu.6 se nám podařilo rovnici vřešit, protože jsme jeden její kořen uhodli, v příkladu.5 se ji podařilo rozložit na součinový tvar. Obecnou rovnici třetího stupně takto ovšem vřešit nelze. 7

..4 Rovnice s neznámou pod odmocninou Strategie řešení rovnic s neznámou pod odmocninou (iracionálních rovnic) je založena na odstranění odmocnin z rovnice pomocí umocnění obou stran rovnice. M se v dalším tetu omezíme jen na druhé odmocnin. Jestliže rovnice obsahuje jedinou odmocninu s neznámou, pak ji osamostatníme na jednu stranu rovnice a poté rovnici umocníme (viz příklad.7). Jestliže rovnice obsahuje dvě a více odmocnin s neznámou, pak jednu, případně dvě odmocnin, ponecháme na jedné straně rovnice, všechn ostatní člen převedeme na druhou stranu rovnice a rovnici tak dlouho umocňujeme, až všechn odmocnin odstraníme (viz příklad.8). Při řešení iracionálních rovnic bchom nikd neměli zapomenout provést zkoušku, protože ne vžd používáme jen ekvivalentní úprav! Příklad.7: Řešme v reálném oboru rovnici 8 + 4 9=. 4 9 = 9 / 6( 9) = ( 9) / 6( 9) 0 = ( 9)( 9 6) 0 = ( 9)( 5) =9, =5 Zk.: L(9) = 8 + 4 9 9=8 P (9) = 9 =8 L(9) = P (9) L(5) = 8 + 4 5 9=4 P (5) = 5 =4 L(5) = P (5) K = {9, 5}. Příklad.8: Řešme v reálném oboru rovnici ++ =. ++ = / ++4 ( + )( )+4 4 = 4 +7+4 ( + )( ) = 4/+ 7 4 ( + )( ) = 7 7 / 6( + )( ) = 49( ) 6( + )( ) = 49( ) ( )[6( +) 49( )] = 0 ( )(65 ) = 0 =, = 65 Zk.: L() = ++ = P () = = L() = P () L( )= ++ 64 = 0 P ( )= L( ) P ( ) 65 65 65 65 65 65 65 65 K = {}. 8

Cvičení Cvičení.: Řešte v reálném oboru rovnice: a) ( ) 7( )+ 4=9, b) ( ) =(4 ), c) 6( ) + 4( ) = 4, d) e) + + 5 6 + +4 7 g) +8 7 =0, f) + = 4 8 =0, + 4 + 5 6, h) +4 4 i) ( + )( ) + ( )( + ) =( +4)( 8), j) 4( ) ( +) =( 6), k) ( ) 4( +) + 6( ) = +( ). 4 + +8 =0, + + 4 =0, Cvičení.: Řešte v reálném oboru rovnice: a) 8 = 0, b) 5 =0, c) 7 +6=0, d) 49 4 +=0, e) + +4=0, f) 6 6 +=0, g) 6 =0, h) 69 +=0, i) 96 = 0. Cvičení.: Řešte v reálném oboru rovnice: a) + 5 =, b) + =, c) + =0, d) + 4 + + + =0, e) ( 4) ( ) +( )( +)= ( )(7 ), f) (6 )( +) ( )( +)= ( )( + ). Cvičení.4: Řešte v komplením oboru rovnice: a) +5=0, b) 4 =, c) =( +4), d) 4 ( + ) + =0, e) ( 6) = 0, f) =0, g) =0 9, h) =4. Cvičení.5: Proved te v R diskusi řešitelnosti rovnice vzhledem k parametru p R: a) (p ) = p( ) + 0, b) (p ) = p( +)+8, c) p( +) ( p) =p +5, d) 8p p( )+( )( +)= p, e) p +4=0, f) p 6p +=0, 9

g) p( ) + =5, h) p + p =. Cvičení.6: Řešte v R pomocí vhodné substituce následující rovnice: a) 4 56 = 0, b) 4 7 +6=0, c) 4 +5 +=0, d) 4 +5 6=0, e) 6 +0=0, f) 6 + 8 = 0. Cvičení.7: Pomocí postupného vtýkání a převedení na součinový tvar řešte v komplením oboru rovnice: a) + 9 8 = 0, b) 6 =0, c) + 6 8=0, d) 7 + 7=0, e) 4 +4 8 =0, f) +9 9=0. Cvičení.8: Nejprve se pokuste odhadnout dosazováním čísel ±, ±, ±,...atd. některý z kořenů dané rovnice a poté pomocí dělení kořenovým činitelem najděte kořen ostatní: a) 6 + +=0, b) 8 +5 +6=0, c) 5 +5 =0, d) +9 +6 +4=0, e) + 8 +40=0, f) 8 +7=0. Cvičení.9: Najděte všechna reálná řešení rovnic: a) 5 =, b) 7 + =7, c) ++ +=0, d) = 6, e) =, f) + += 5, g) ++ 8=0, h) +6+4 + =0, i) +4= 5, j) += 0.. Jednoduché eponenciální a logaritmické rovnice Na tomto místě doporučujeme čtenáři, ab si zopakoval vlastnosti a průběh eponenciální ( = a,kdea>0, a ) a logaritmické ( =log a,kdea>0, a ) funkce (viz pátá kapitola), a připomínáme, že je nutné ovládat pravidla pro počítání s mocninami a logaritm. Dále je třeba zdůraznit, že obecně lze eponenciální a logaritmické rovnice řešit jen numerick, a proto se v dalším omezíme pouze na jednoduché tp těchto rovnic. Eponenciální rovnicí nazýváme rovnici, která obsahuje neznámou v argumentu (eponentu) eponenciální funkce. Při řešení eponenciálních rovnic vužíváme důležitou vlastnost eponenciální funkce: pro a>0, a platí a = a =. (.) 40

(Říkáme, že eponenciální funkce = a je prostá.) Eponenciální rovnici pak zpravidla řešíme tak, že se ji pokusíme vhodnými úpravami převést na rovnici tpu a f() = b g(), a > 0, b>0. (.4) Jestliže a = b, plne z (.) a (.4) rovnice f() =g() (viz Příklad.9,.0). Jestliže a b, potom obě stran rovnice (.4) logaritmujeme, přičemž dostaneme f() log c a = g() log c b, c > 0, c, kterou dále řešíme vzhledem k proměnné (viz Příklad.). Můžeme např. volit c = 0, ted dekadický logaritmus (log). Další často používanou metodou je volba vhodné substituce, s jejíž pomocí převedeme eponenciální rovnici na rovnici algebraickou (viz Příklad.). Příklad.9: Řešme v reálném oboru rovnici 9 +7=0. Rovnici nejprve upravíme tak, ab obsahovala eponenciální funkci pouze o základu : ( ) + +7 = 0 = 7 / = 7 8 = 7 / :( 7) 9 = =. Odtud podle (.) dostáváme =. Rovnice má jediné řešení: K = { }. Příklad.0: Řešme v reálném oboru rovnici 6 6 = 4 6 5. Mocnin se stejným základem převedeme na jednu stranu rovnice: 6 4 = 6 6 5 a na základě pravidel pro práci s mocninami osamostatníme na každé straně rovnice mocninu obsahující : 6 ( 4 = 6 6 5 6 8 ) = ( 7 6 5) 6 9 6 = 6. Dále mocnin obsahující neznámou osamostatníme na jedné straně rovnice (rovnici násobíme výrazem a dělíme 9 ): 6 = 6 6 9 6 = 6 4 = 4 K = {4}. 4

Příklad.: Řešme v reálném oboru rovnici = +. Použitím pravidel pro počítání s mocninami nejprve rovnici upravíme do podob = = ( ) 4 = 8. 4 Nní obě stran rovnice logaritmujeme: ( ) log = log 8, ted = 4 log 8 log ; K = 4 { log 8 log 4 }. Pokud bchom nejprve obě stran rovnice logaritmovali a až poté upravovali, vpadal b výpočet takto: log = log + ( ) log = ( +)log (log log ) = log + log = log + log log log. Ověřte sami, že jsme dospěli ke stejnému výsledku jako v prvním případě. Příklad.: Řešme v reálném oboru rovnici 4 40 = 0. Volíme-li substitucí =,pak4 =( ) = =( ) = a danou rovnici převedeme na rovnici kvadratickou 40 = 0, pro kterou platí, = ± 9 + 60 = ± 69 = =8 = 5. Vrátíme-li se k původní substituci, dostáváme dvě rovnice =8a = 5. První z těchto rovnic má kořen =, druhá rovnice nemá žádné reálné řešení ( je vžd číslo kladné). Celkem K = {}. Logaritmickou rovnicí rozumíme rovnici, která obsahuje neznámou v argumentu logaritmické funkce. Při řešení logaritmických rovnic vužíváme následující vlastnost logaritmické funkce: pro a>0, a,,>0platí (Říkáme, že logaritmická funkce =log a je prostá.) log a =log a =. (.5) 4

Logaritmické rovnice pak řešíme zpravidla převedením do tvaru Vzhledem k vlastnosti (.5) plne z (.6) rovnice log a f() =log a g(), a > 0,a. (.6) f() =g(). Je ovšem nutné si uvědomit, že takové odlogaritmování nemusí být ekvivalentní úpravou. Při řešení logaritmické rovnice je proto nutné provést na závěr řešení zkoušku (viz Příklad.). Podobně jako u eponenciálních rovnic lze v některých případech vhodnou substitucí převést rovnici logaritmickou na rovnici algebraickou (viz Příklad.4). Příklad.: Řešme v reálném oboru rovnici log +log( 4) = log + log. S vužitím pravidel pro počítání s logaritm lze psát log(( 4)) = log( ). Podle (.5) odtud plne log(( 4)) = log ( 4) =. Danou logaritmickou rovnici se nám podařilo převést na rovnici kvadratickou: 4 = 0, = 4 ± 6 + 48 Pro oba kořen nní provedeme zkoušku: = 4 ± 8 = =6 =. L(6) = log 6 + log = log(6 ) = log P (6) = log+log=log( ) = log, ted L(6) = P (6) L( ) = log( ) +...tato hodnota není definována, druhý kořen nevhovuje Daná logaritmická rovnice má jediné řešení, K = {6}. Příklad.4: Řešme v reálném oboru rovnici ln 4ln =0. Daná rovnice má smsl za podmínek Připomínáme, že pro >0platí > 0, >0a 0, ted pro (0; ). ln = ( ln ) =(ln) =4ln a ln = ln. Ted rovnici upravíme na tvar: 4ln 4 ln = 0, tj. 4ln ln = 0 ln ln = 0. 4

Zavedením substituce = ln převedeme rovnici na kvadratickou: =0, tj., = ± 9 4 Vrátíme-li se zpět k substituci, dostaneme dvě rovnice snadno vřešíme: = = =. ln =aln =, které již ln = =e ln = =. e Oba kořen splňují podmínku >0, ted K = { e, }. e Cvičení Cvičení.0: Najděte všechna reálná řešení rovnic: a) =, b) ( ) =4, c) ( 7 ) = 49, 4 d) ( 64 8) =, e) 8 = 5, f) =, g) ( 6 ) =7, h) log =, i) log ( +)=7, j) log ( +)=, k) ln ( ) + =4, l) log 4 Cvičení.: Najděte všechna reálná řešení rovnic: a) 7 6 + +5 =0, b) 9 7 +=0, c) log log +=0, d) + ( ) +4 =0, e) log(5 ) = log(5 ), f) + =, g) + 4 = 5, h) 4 + =8, i) 4log 5 +log5 =7 log 5, j) log ( ) + log (8 ) =, k) 9 + + + =5 + 6 +, l) ln( +)+ln( ) = ln 8 + ln( ). =0.. Jednoduché goniometrické rovnice Než začnete řešit goniometrické rovnice, zopakujte si vlastnosti a průběh funkcí sinus, kosinus, tangens a kotangens (viz pátá kapitola) a základní vztah mezi nimi. Vzhledem k tomu, že ve většině případů lze goniometrické rovnice řešit pouze numerick, omezíme se dále jen na jednoduché tp těchto rovnic. Goniometrickou rovnicí nazýváme rovnici, která obsahuje neznámou v argumentu některé z goniometrických funkcí (funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens). 44

Řešit goniometrickou rovnici znamená najít všechn orientované úhl, které dané rovnici vhovují. Vzhledem k periodičnosti goniometrických funkcí mají goniometrické rovnice zpravidla nekonečně mnoho řešení, pokud nespecifikujeme interval, v němž hledáme konkrétní řešení. Při řešení nejčastěji postupujeme tak, že pomocí vhodných úprav převedeme danou rovnici na některou ze základních goniometrických rovnic sin (resp. cos, tg, cotg ) =k, kde k R. Dále najdeme ostrý úhel 0, pro který platí sin 0 (resp. cos 0, tg 0, cotg 0 )= k. Prostřednictvím úhlu 0 pak určíme základní úhl 0; π), které dané rovnici vhovují a ostatní kořen rovnice dopočteme na základě periodičnosti. Příklad.5: Řešme v reálném oboru rovnici cos =. Nejprve najdeme ostrý úhel 0, pro který platí cos 0 =.Ted 0 = π 6.Kosinusje záporný ve II. a III. kvadrantu, základní orientované úhl v tomto případě ted budou = π π 6 = 5 6 π, = π + π 6 = 7 6 π. Vzhledem ke skutečnosti, že kosinus je π-periodická funkce, budou mít všechna řešení dané rovnice podobu = 5 6 π +kπ, nebo = 7 6 π +kπ, k Z, K = { 5 6 π +kπ, 7 } 6 π +kπ. k Z ( π ) Příklad.6: Řešme v reálném oboru rovnici sin =. Substitucí = π získáme základní goniometrickou rovnici sin =.Pro 0 0; π ) platí sin 0 = 0 = π. Funkce sinus je kladná v I. a II. kvadrantu, odkud plne 6 = π 6, = π π 6 = 5 6 π a celkem = π 6 +kπ, resp. = 5 6 π +kπ, k Z. Vrátíme se zpět k substituci = π adostáváme π = π +kπ 6 = π +kπ resp. = π kπ 6 K = k Z { π } 6 kπ, π 6 kπ. π = 5π +kπ 6 = π +kπ = π kπ 6 45

( Příklad.7: Řešme v reálném oboru rovnici tg + π ) =. Substitucí = + π získáme základní goniometrickou rovnici tg =.Pro 0 0; π ) platí tg 0 = 0 = π. Vzhledem ke skutečnosti, že tangens je π-periodická funkce, 6 budou mít všechna řešení dané rovnice podobu = π 6 + kπ, k Z. Vrátímesezpětksubstituci = + π adostáváme + π = π 6 + kπ, odkud plne = π 6 + kπ, ated K = k Z { π 6 + kπ }. Příklad.8: Řešme v reálném oboru rovnici sin + sin = 0. S vužitím vztahu sin =sin cos rovnici upravíme do tvaru sin +sin cos =0 sin ( + cos ) =0. Odtud plne sin = 0 nebo + cos = 0. Řešíme ted dvě základní goniometrické rovnice a dostáváme: sin =0 = kπ, cos = = π +kπ nebo = 4 π +kπ, k Z K = k Z {kπ, π +kπ, 4 } π +kπ. Cvičení Cvičení.: Najděte všechna reálná řešení rovnic: a) sin =, b) cotg + =0, c) tg π 4 +tg =0, d) cos =0, e) sin ( π 6 ) =, f) cos ( + π) =, g) tg ( π = 4 h) cotg ( π =, i) sin sin =0, j) sin sin =0, k) sin +cos =, l) log(sin ) =0. Cvičení.: Najděte všechna reálná řešení rovnic: a) sin +sin cos =0, b) tg = cos, 46