Statistické metody a zpracování dat. VIII Analýza časových řad. Petr Dobrovolný

Transkript

1 Saisické meod a zpracování da VIII Analýza časových řad Per Dobrovolný

2 Základní pojm Časová řada je chronologick uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele. = f (),, 2, L n, kde =, 2,, n = ukazael = časová proměnná n = poče členů řad Pomocí časových řad můžeme zkouma dnamiku jevů v čase. Mají základní význam pro analýzu příčin, keré na o jev působil a ovlivňoval jejich chování v minulosi, ak pro předvídání jejich budoucího vývoje.

3 Příklad časových řad a jejich použií Objem obchodu (úseková řada) Kurz akcie (okamžiková řada) 200 Vývoj cen akcií Objem obchodování na burze Vývoj poču obvaelsva určié lokali Obchodní den Maximální denní srážkové úhrn na určié sanici Průměrné měsíční eplo vzduchu na určié sanici Průměrný roční odok vod z povodí

4 Základní p časových řad Časové řad deerminisické - neobsahují prvek náhod (sin(x)) a sochasické (realizace náhodného procesu) Časové řad absoluních veličin (přímo zjišťovaných) okamžikové (poče obvael k dau sčíání) inervalové (denní úhrn srážek) Časové řad odvozené průměrných veličin (řada klouzavých průměrů) poměrných relaivních veličin (řada hekarových výnosů) Časové řad ekvidisanní a neekvidisanní

5 Problém při sesavování časových řad Problém volb časových bodů pozorování Problém s délkou časové řad Problém skalendářem Problém s nesrovnaelnosí jednolivých měření Uvedené problém mohou vés k narušení homogeni časové řad

6 Zásad pro sesavování časových řad Meadaa (daa o daech) hisorie měření všeřovaného prvku na meeorologické sanici, daa výměn přísrojů, změn pozorovaelů, změn meodik měření, Homogenia časové řad hodno jednolivých členů pozorované řad odrážejí jen přirozenou proměnlivos sudované veličin a nejsou ovlivněn vnějšími vliv. absoluní homogenia řad relaivní homogenia řad posuzování homogeni vůči řadě homogenní (vzorové) Doplňování chbějících členů řad Vlučování odlehlých hodno.

7 Příklad nehomogenní řad a b Maximální denní náraz věru a poč dnů s náraz věru na sanici Praha, Karlov v období

8 Okamžikové časové řad Jsou spojié v čase, záleží u nich na rozhodném okamžiku šeření. Hodnoa nezávisí na délce inervalu, za kerý je znak zjišťován. Okamžikové ukazaele za několik inervalů nesčíáme. Je však pro ně pické počíání průměrů v čase. Průměr okamžikové veličin za určié období označujeme jako zv. chronologický průměr. Nejprve spočeme průměr za časové okamžik i- a i, pro i=2 až n. Zěcho hodno určíme průměr pro celou řadu: = n n + 2 n Uvedený vzah plaí v případě, že délka všech inervalů je konsanní. Pokud ne, je nuné jednolivé dílčí průměr váži délkami inervalů a vpočía vážený chronologický průměr.

9 Inervalové časové řad Jednolivé hodno se vzahují k časovým úsekům a přímo závisí na jejich délce. Za delší časové období lze inervalové ukazaele shrnova a vváře součové (kumulaivní) řad. Součová řada vznikne posupným sčíáním hodno za sebou jdoucích časových inervalů. Podle průběhu součové řad můžeme posoudi rovnoměrnos vývoje hodno znaku. Hodnou inervalového ukazaele zjišěnou za časový inerval ( i-, i ) označme q i a přiřazujeme-ji ke sředu časového inervalu. Časovou řadu hodno q i označujeme inervalovou řadou běžných hodno. Požadavkem sesavování inervalových časových řad je konsannos délk časového inervalu. V řadě případů eno požadavek není splněn (např. poče dnů vměsíci). Dalším pem součových časových řad jsou řad klouzavých úhrnů. Jsou vhodné ke srovnání úrovně řad ve sledovaném období s úrovní řad období předešlého.

10 Z - diagram řada klouzavých hodno (za posledních 2 měsíců) 600 is. Kč 200 řada kumulovaných hodno (od počáku roku) řada běžných hodno (měsíčních) m ěsíce Řad běžných hodno, řad kumulovaných hodno a řad klouzavých úhrnů lze znázorni v zv. Z-diagramu

11 Odvozené časové řad Jedná se o řad sesavné z průměrů či z relaivních (poměrných) hodno. V podsaě se jedná o řad okamžikové. Průměr okamžikového ukazaele je éž okamžikovou veličinou. Nejedná se u nich o závislos na délce inervalu, ale na hodnoách znaku v daném inervalu (např. průměrné poč zaměsnanců míso okamžikových údajů či zv. klouzavé průměr na míso ročních hodno viz. obr.)

12 Odvozené ukazaele časové řad Při práci s časovými řadami je pické, že časo pracujeme ne přímo s původní časovou řadou, ale s nějakou její ransformací. Absoluní přírůsek (první diference) Jsou-li člen v řadě absoluních přírůsků prakick konsanní, poom řada má lineární rend. Relaivní přírůsek Informuje nás o rchlosi (empu) růsu = = = = i i i i i i i i δ

13 Odvozené ukazaele časové řad Koeficien růsu (řeězový index): vjadřuje, o kolik procen vzrosla hodnoa časové řad v okamžiku i ve srovnání s hodnoou řad v čase i-. i ki = δi + = 00(%) i Průměrný koeficien růsu: pro celou řadu se vpoče jako geomerický průměr jednolivých hodno koeficienů růsu. k k k... k 2 3 = n n 2 = n... = n n 2 n Uvedený výpoče je vhodný pouze v případě sálého a přibližně sejného růsu hodno řad. n

14 Odvozené ukazaele časové řad Pro účel srovnání různých časových řad se jejich hodno převádějí na zv. bazické index (index se sálým základem): k ' i = i z 00(%) Hodnoa z je obvkle prvním nebo posledním členem časové řad (základ).

15 Transformace časové řad Jedná se o úpravu původní časové řad, ak ab. splňovala podmínk pro následnou analýzu (např. linearizace, sacionaria ad.) 2. zvýrazňovala dále analzovanou složku Běžné druh ransformací: přidání konsan linearizace řad odečení průměru sandardizace = odečení hodno rendové funkce (viz. sacionaria) = + C = ln() = s d

16 Sacionární řada Sacionaria je jednou z nuných podmínek řad meod analýz časové řad Časovou řadu považujeme za sacionární, pokud splňuje následující podmínk: mákonsanníprůměr má konsanní variabiliu korelace dvou časově posunuých pozorování (auokorelace) závisí na délce posunu Sacionari lze docíli ransformací na řadu diferencí či odečením rendu

17 Základ analýz časových řad Hlavní cíle analýz časových řad. odhalení zákoniosí a příčin dosavadního vývoje 2. prognóza chování časových řad Každá řada může obsahova čři základní složk: rend (T ) periodická (sezónní) složka (S ) cklická složka (C ) náhodná složka (ε ) První ři složk voří ssemaickou čás řad.

18 Trendová složka časové řad Trend je obecná endence vývoje zkoumaného jevu za dlouhé období. Je výsledkem dlouhodobých a sálých procesů (v měříku posuzované délk časové řad). Trend může bý lineární či nelineární. Trend může bý rosoucí, klesající nebo může exisova řada bez rendu (s nulovým rendem). Časové řad bez rendu se označují jako sacionární.

19 Periodická složka časové řad f ( ) = f ( + T i i ) Periodická složka je pravidelně se opakující odchlka od rendové složk s pevnou délkou period T. Perioda éo složk je menší než celková velikos sledovaného období. Tpickým případem jsou sezónní kolísání a nebo řad denních, měsíčních, čvrleních ukazaelů. Příčin sezónnosi jsou různé, věšinou však dobře definovaelné. Sezónnos je pická pro časové řad ekonomických ukazaelů.

20 Cklická složka f ( ) f ( T i i + ) 2,0,0 0,0 9,0 8,0 7,0 6, Cklická složka udává kolísání okolo rendu v důsledku dlouhodobého cklického vývoje. Cklická složka může vkazova změn v délce a ampliudě cklu. Délka cklu je ed věšinou neznámá. (př. demografický rend, kolísání eplo vzduchu). Délka cklu je ed delší než rok. V někerých případech se označuje jako sřednědobý rend. Bývá pickou součásí časových řad meeorologických prvků (př. problém globálního oeplování) či hdrologických jevů.

21 Náhodná složka časové řad Náhodná (sochasická) složka se nedá popsa žádnou funkcí času. "Zbývá" po vloučení rendu, sezónní a cklické složk. Jejím zdrojem jsou v jednolivosech neposižielné jev. Lze ji však popsa pravděpodobnosně.

22 Grafické meod analýz časových řad 3 2 Index severoalanské cirkulace (NAOI), XII-II Prvoní analýza spočívá v grafickém znázornění průběhu řad. Graf slouží k prvonímu posouzení endence změn či k hledání opakujících se jevů ( paerns ). I o jednoduché meod umožňují velmi krákodobou předpověď. Graf však velmi dobře může znázorňova nehomogeni, porovnáva dvě či více řad mezi sebou, Sloužíkvýběru vhodné meod analýz.

23 Grafické meod analýz časových řad Vývoj kurzu akcií příklad výsku jednoduchých obrazců (paerns) v časové řadě

24 Model analýz časových řad Časová řada hodnoa ukazaele je funkcí času a náhodné složk: = f (, ε ) K analýze a popisu časových řad se používá několika základních modelů: A. Klasický (formální) model B. Box-Jenkinsova meodologie C. Lineární dnamické a regresní model D. Spekrální analýza

25 Klasický (formální) model Klasický model je pouze popisem jednolivých složek časové řad jako forem pohbu, ne poznáním příčin. Jedná se o dekompozici na jednolivé složk a jejich formální popis modelem: Adiivním Muliplikaivním Základem je popis ssemaické složk (rendu, cklických a periodických kolísání). Vchází se z předpokladu, že jednolivá pozorování jsou vzájemně nekorelovaná (viz. aké problém sacionari časových řad).

26 Adiivní model = Y + ε = T + S + C + ε Model časové řad s adiivní sezónní složkou

27 Muliplikaivní model = T S C ε Model časové řad s muliplikaivní sezónní složkou

28 Analýza rendu A. Klasický přísup založený na maemaickosaisickém modelování. Modelované paramer jsou KONSTANTNÍ v čase. Neadapivní meod např. regresní model. Umožňují snadnou předpověď (spolehlivou?). B. Adapivní přísup paramer se v čase VYVÍJEJÍ. Například charaker lineárního rendu se mění (mění se směrnice rendu). Za jednoduchou adapivní meodu lze považova i meodu klouzavých průměrů.

29 Analýza rendu základní meod vrovnávání: analické (popis časové řad funkcí) mechanické (klouzavé průměr) exponenciální vrovnávání Přísup založené na subjekivním (grafickém) hodnocení rendu v časové řadě. Časo poskují dosaečně přesný způsob očišění časové řad, používají se např. aké při rozhodování o volbě objekivních meod (např. vhodné křivk).

30 Analické vrovnávání rendu maemaickou křivkou = Tr + E Paří mezi neadapivní meod. Vchází z předpokladu, že se rend po celou sledovanou dobu nemění a že je možné ho popsa někerým pem maemaické křivk. Idenifikace rendu se redukuje na výběr správného pu maemaické křivk a odhad jejích paramerů. Na problém analýz rendu lze pohlíže jako na speciální případ regresní závislosi, kd nezávisle proměnnou je čas. Časovou řadu vrovnáváme křivkou, kerá nejlépe vsihuje její vývojový rend. Výpoče paramerů křivk se děje meodou nejmenších čverců.

31 Lineární rend = b 0 + b Paramer b předsavuje přírůsek hodno připadající na jednokovou změnu časové proměnné. Řada se vznačuje konsanními absoluními přírůsk (první diference).

32 Lineární rend Hodno paramerů b 0 a b získáme meodou nejmenších čverců obdobně jako v případě jednoduché lineární regrese, ed: n n b = = = n 2 2 = n b0 = b Předpověď budoucí hodno (bodová předpověď) má var: ˆ T = b 0 + bt

33 Exponenciální rend = b 0 b Paramer b předsavuje průměrný přírůsek hodno. T se chovají jako člen geomerické posloupnosi. Proože se již nejedná o funkci lineární v paramerech, lze k odhadu exponenciálního rendu vuží meod nejmenších čverců pouze po její logarimické ransformaci: log = logb0 + logb

34 Polnomický rend 2 = b + b + b b k k Při volbě supně polnomu je řeba posupova oparně. Všší supeň zajišťuje ěsnější proložení empirických hodno křivkou, vede ale k nesabiliě rendu. Všší polnom se věšinou vůbec nehodí k exrapolacím. K odhadu paramerů lze vuží MNČ.

35 Logisická křivka = k + b 0 b Křivka má ři úsek, první je charakerizován pozvolným vzesupem, druhá v okolí inflexního bodu prudkým růsem a řeí určiou vrcholovou sagnací. (paří mezi zv. S-křivk).

36 Gomperzova křivka = k b b 0 Křivka s podobným esoviým průběhem jako logisika, ale na rozdíl od ní je asmerická. Těžišě hodno je až za inflexním bodem.

37 Verifikace modelu Je zapořebí zhodnoi saisickou významnos odhadnuých paramerů modelu i modelu jako celku. MNČ podsaou je, že model vžd vsvělí pouze čás variabili (proměnlivosi) pozorovaných da. Je nuné zjisi (esova), zda model jako celek dává lepší vsvělení, než je možné očekáva jako důsledek náhod a o na jisé hladině významnosi. Koeficien deerminance R 2 základní ukazael vhodnosi použiého modelu (vzorec a inerpreace viz. korelační poče) Analýza rozplu

38 A. Rozpl empirických hodno (celkový) B. Rozpl vrovnaných hodno (modelový) C. Rozpl reziduální = = n i n s 2 2 ˆ ) ˆ ( = = n n s 2 2 ) ( = = n n s 2 2 ˆ ) ˆ ( 2 ˆ 2 ˆ 2 s s s + = Analýza rozplu A B C ( )

39 Inerpreace výsledků analýz rozplu Model vsvěluje více než 63 % proměnlivosi sudované charakerisik v čase p-hodnoa Inerpreace: p < 0,05 - exisuje saisick významný rozdíl mezi rozplem vsvěleným regresní přímkou (ed modelem rendu) a zbkovým (reziduálním) rozplem zvolený model rendu je vhodný

40 Kriéria pro volbu vhodného modelu rendové funkce I. A. Volba vhodné rendové funkce b v prvé řadě měla vcháze z věcné analýz zkoumaného jevu. Ta nám umožní zaměři se na určié p (skupin) funkcí či někeré jiné předem vlouči jde o funkci rosoucí či klesající, má inflexní bod či je nekonečně rosoucí. Pro použiou rendovou funkci je důležié, zda má (logisický rend) či nemá (lineární rend růs řad není ničím omezen) asmpou. Je o důležié pro předpovídání chování časové řad.

41 Kriéria pro volbu vhodného modelu rendové funkce II. B. Analýza grafu časové řad a analýza reziduí. empirické hodno ŷ eoreické hodno vrovnané rendovou funkcí ŷ - -

42 Objekivní kriéria pro volbu vhodného modelu rendové funkce I Spočívají v minimalizaci předem zvoleného kriéria (jako v případě regresní analýz). Za oo kriérium se nejčasěji bere souče čverců odchlek empirických hodno od hodno vrovnaných ŷ (souče čvercových chb): SSE = ( ) ˆ = Z uvažovaných funkcí se vbírá a s nejmenší hodnoou reziduálního souču čverců. n POZOR jde o formální kriérium. Např. použijeme-li polnom vsokého supně, může bý reziduální souče čverců i nulový, avšak zcela nepoužielný. 2

43 Objekivní kriéria pro volbu vhodného modelu rendové funkce II Druhým kriériem je zv. index korelace, jehož vzorec lze zapsa následujícím způsobem: I ( ˆ ) ( ) = 2 2 Čiael zlomku suma odchlek vrovnaných hodno od hodno empirických Jmenovael zlomku - suma odchlek vrovnaných hodno od průměru empirických hodno Za nejvhodnější se považuje funkce s nejvěší hodnoou indexu korelace. K jeho používání však plaí sejné výhrad jako k výše uvedenému kriériu

44 Objekivní kriéria pro volbu vhodného modelu rendové funkce III Počíačové program obvkle nabízejí následující mír úspěšnosi zvolené rendové funkce: Sřední chba odhadu (M.E. Mean Error) M. E. n ˆ = = n ( ) Sřední čvercová chba odhadu (M.S.E. Mean Square Error) n ( ˆ ) 2 = M. S. E. = n Je o nejpoužívanější kriérium.

45 Sřední absoluní chba odhadu (M.A.E. Mean n Absolue Error) ˆ M. A. E. = = n Sřední absoluní procenní chba odhadu (M.A.P.E. Mean Absolue Percenage Error) ˆ 00 M. A. P. E. = n Sřední procenní chba odhadu (M.P.E. Mean Percenage Error) ˆ 00 M. P. E. = n

46 Informaivní es pro volbu vhodné rendové křivk: Trend lineární kvadraický exponenciální logisický Gomperzova křivka Informaivní es První diference ( + - ) jsou přibližně konsanní Druhé diference ( ) jsou přibližně konsanní Podíl sousedních hodno ( + / ) resp. První diference logarimů varu (log + - log ) jsou přibližně konsanní Křivka prvních diferencí ( + - ) se podobá křivce normální huso, podíl (/ +2 -/ + )/(/ + - / )jsoupřibližně konsanní Podíl (log +2 log + )/(log + log ) jsou přibližně konsanní

47 Mechanické vrovnávání rendu meodami klouzavých průměrů Používá se v případě, že se rend mění a nelze ho vrovna globálně jednou maemaickou křivkou. Meoda je vhodná pro neperiodické řad, neumožňuje exrapolaci hodno. Vlasní průměr se používají jako prosé či vážené. Vněkerých případech lze použí klouzavých mediánů. Klouzavé průměr mohou bý necenrované a cenrované

48 Meod klouzavých průměrů Jako klouzavé průměr obecně označujeme lineární kombinace členů původní řad, např.: ( Paří mezi zv. adapivní přísup k rendové složce časové řad. ) Tzv. polnomické klouzavé průměr umožňují vrovnání hodno na počáku a konci časové řad

49 Volba řádu klouzavých průměrů Subjekivní posouzení charakeru da Délka klouzavých průměrů b měla odpovída periodě sezónních či cklických flukuací Vzorce pro výpoče opimální délk Obsahuje-li řada sezónní složku, je vhodné voli řád klouzavých průměrů ak, ab zahrnoval celou délku period sezónní složk.

50 Cenrované klouzavé průměr Ve věšině případů se používají klouzavé průměr liché délk, u sudé délk je problém s přiřazením hodno časovému okamžiku. V ekonomických časových řadách, keré časo obsahují sezónní složku délk 4 (řad čvrleních hodno) či 2 (řad měsíčních hodno), se eno problém řeší zv. cenrováním. Výsledné klouzavé průměr pro sudou délku klouzavé čási vpočeme jako průměr dvou sousedních klouzavých průměrů liché délk.

51 Cenrované klouzavé průměr Příklad: Abchom vsihli roční chod určiého ukazaele, chceme pro řadu měsíčních hodno použí klouzavých průměrů délk 2. Shlazená hodnoa však spadá doprosřed mezi červen a červenec. Další shlazená hodnoa pak mezi červenec a srpen. To dva jednoduché klouzavé průměr vezmeme a zprůměrňujeme. Výsledek pak už můžeme přiřadi k červencové hodnoě. Ted vváříme klouzavé průměr o délce 3: ) ( 24 ))... ( 2 )... ( 2 ( 2 ˆ = =

52 Cenrované klouzavé průměr Obecně míso jednoduchých klouzavých průměrů délk 2m vváříme cenrované klouzavé průměr délk 2m+ podle ohoo obecného vzorce: ˆ = ( m + 2 m m 4m + + m )

53 Vážené klouzavé průměr Jednolivé člen úseku řad přiřazen váh. To váh věšinou lineárně klesají směrem od sředního (vrovnávaného) členu. Váh mohou mí aké např. podobu zv. gaussova filru. Gaussův filr pro m=4 Člen řad váha -4 0, ,048 0,7-0,20 0, , ,7 0, ,04

54 Analýza sezónní složk časových řad (sezónní očišťování). klasický přísup k sezónní dekompozici 2. úvod do auokorelační analýz Sezónní složka S je pická pro časové řad, jejichž inerval pozorování je kraší než jeden rok (sezóna může mí délku ýden, měsíc, roční období). Objevuje se v řadách ekonomických (ržb, produkce, ), ale i v řadách meeorologických prvků (roční chod eplo vzduchu). Řada obsahující sezónní složku se vznačuje pravidelným opakováním hodno kolem rendu a oo opakování může mí délku např. 7 dnů (do ýdne), 2 měsíců či 4 roční období (do roku). Sezónní složka může mí adiivní resp. muliplikaivní charaker

55 Obecný model řad při sezónním očišťování Trendovou a cklickou složku považujeme za jeden celek. Cklickou složku označujeme jako sřednědobý rend: adiivní model: Y = TC + S + ε muliplikaivní model: Y = TC S ε Y je pozorovaná hodnoa časové řad v čase.

56 Jednolivé krok analýz sezónní složk. Z originální řad obsahující sezónní složku je vpočena řada klouzavých průměrů s délkou klouzavých průměrů rovnou délce sezónní složk. 2. Vvoříme novou řadu jako rozdíl (adiivní model) resp. podíl (muliplikaivní model) řad původní a řad shlazené.

57 Jednolivé krok analýz sezónní složk 3. Tzv. sezónní komponen jsou vpočen jako průměr pro každý člen v rámci sezón. Výsledné hodno předsavují průměrnou sezónní složku v časové řadě. 4. Sezónně očišěná řada (ed řada obsahující vedle náhodné složk ješě složku TC ) se poom vjádří jako rozdíl (resp. podíl) řad originální a sezónní komponen.

58 Jednolivé krok analýz sezónní složk 5. Složka TC se věšinou aproximuje řadou shlazenou váženým klouzavým průměrem délk 5 se smerickými vahami (, 2, 3, 2, ). 6. Obdobně lze izolova náhodnou složku jako rozdíl (resp. podíl) řad sezónně očišěné a řad se zvýrazněnou složkou TC ( viz. bod 5).

59 Auokorelace časových řad Auokorelační analýza - meoda, kerou lze zkouma vzájemné vzah mezi hodnoami jedné časové řad. Může slouži jako meoda k definování sezónní a cklické složk časových řad. Jejím základem je výpoče auokorelačního koeficienu, resp. auokorelační funkce.

60 Auokorelační koeficien Auokorelační koeficien r k je relaivní míra proměnlivosi členů časové řad posunuých o určiou hodnou k. Definuje vzah mezi člen časové řad a +k. Posun k se z angličin označuje jako lag. Je o ed korelační koeficien vpočený mezi jednolivými člen časové řad, mezi kerými je k- jiných pozorování ed lag = k a označujeme ho jako auokorelační koeficien k- ého řádu. Pro k = 0 je hodnoa r 0 = - je o vlasně hodnoa korelačního koeficienu.

61 Základní pojm Rozpl (variance) míra variabili (proměnlivosi) saisického znaku x s 2 x = n i= ( x i n x) 2 Kovariance absoluní míra ( xi x)( vzájemné variabili dvou i= sx = saisických znaků x; n n i ) Korelace - relaivní míra vzájemné variabili dvou saisických znaků x; r x = s s x x s

62 Základní vzah Auokovariance absoluní míra ( i )( i + proměnlivosi členů časové řad i= ck = posunuých o určiou hodnou k. n k n k k ) Auokorelace relaivní míra proměnlivosi členů časové řad posunuých o určiou hodnou k. ck r ( k) = = c 0 c s k 2 Auokorelační funkce hodno r (k) pro k=,2, M, kde M < N/2, N délka řad

63 Auokorelační funkce Auokorelační funkce (ACF) je poom závislos mezi hodnoami auokorelačního koeficienu a hodnoami posunu k. Vjadřuje se formou grafu zv. korelogramu (viz. obrázek). Na ose x jsou hodno lag (k), na ose hodno auokorelačního koeficienu. Hodno auokorelační funkce se pohbují v inervalu,. ACF je vhodným násrojem k posouzení, zda časová řada obsahuje cklickou či periodickou složku a aké zda je či není řadou náhodných čísel ed do jaké mír je možné ji exrapolova (předpovída).

64 Inerpreace ACF I Korelogram bývá doplňován inerval spolehlivosi, kerými lze hodnoi saisickou významnos auokorelačních koeficienů. 95 % inerval spolehlivosi ACF lze z dosaečnou přesnosí zkonsruova ze vzahu: ± 2 N N délka časové řad

65 Časová řada náhodných čísel (bílý šum) a její auokorelační funkce

66 Časová řada bez periodické složk se silnou auokorelací a její auokorelační funkce

67 Časová řada obsahující výraznou sezónní složku a její auokorelační funkce