KATEDRA FINANCÍ. Estimate of the selected model types of financial assets

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ Odhad vybraných ypů modelů finančních akiv Esimae of he seleced model ypes of financial asses Suden: Vedoucí diplomové práce: Klára Jelínková prof. Dr. Ing. Zdeněk Zmeškal Osrava 013

2

3

4 Poděkování Na omo mísě bych chěla poděkova všem, keří mne podporovali nejen při psaní éo diplomové práce, ale aké během celého mého sudia. Především bych chěla poděkova vedoucímu mé diplomové práce prof. Dr. Ing. Zdeňku Zmeškalovi za vsřícný přísup, rpělivos, odborné připomínky, poskynuou lierauru a za jeho srávený odborným vedením při zpracování mé diplomové práce.

5 OBSAH 1. ÚVOD POPIS A KATEGORIZACE FINANČNÍCH AKTIV A ČASOVÝCH ŘAD POPIS A KATEGORIZACE FINANČNÍCH AKTIV Akcie, burzovní indexy na akcie Finanční insrumeny s pevnými příjmy Měnové kurzy Ceny komodi Opce a ermínové konraky ČASOVÉ ŘADY Finanční ové řady a jejich vlasnosi Volailia ových řad Analýza ových řad KATEGORIZACE MODELŮ A JEJICH ODHADY ROZDĚLENÍ MODELŮ DLE RŮZNÝCH KRITÉRIÍ Kriérium finanční aplikace Kriérium rozhodovacího prosředí Kriérium charakerisiky maemaických modelů Kriérium rozdělení sochasických modelů STATISTICKÉ METODY ODHADU MODELY VOLATILITY Model GARCH Model EGARCH ODHAD PARAMETRŮ VYBRANÝCH MODELŮ A VYHODNOCENÍ VSTUPNÍ DATA ODHAD MODELŮ PRO AKCIE GOOGLE Akcie Google s denní frekvencí Akcie Google s ýdenní frekvencí Akcie Google s měsíční frekvencí ODHAD MODELŮ PRO BURZOVNÍ INDEX S&P Burzovní index S&P500 s denní frekvencí Burzovní index S&P500 s ýdenní frekvencí Burzovní index S&P500 s měsíční frekvencí ODHAD MODELŮ PRO KURZ EURA Kurz eura s denní frekvencí SROVNÁNÍ A VYHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ ZÁVĚR SEZNAM LITERATURY SEZNAM ZKRATEK PROHLÁŠENÍ O VYUŽITÍ VÝSLEDKŮ DIPLOMOVÉ PRÁCE

6 1. Úvod V dnešní době se sále více lidí zajímá o modelování finančních akiv, neboť se doýkají éměř každého z nás. Teno obor se sále rozvíjí, proože možnosi jeho využií při správě a invesování finančních prosředků jsou obrovské. Ovšem hledání principů chování a modelování finančních ových řad není jednoduché, neboť s výnosem finančních insrumenů úzce souvisí aké riziko, keré s rosoucím výnosem a frekvencí da rose. Finanční ové řady mají oproi ekonomickým ovým řadám určié rysy a rozdíly a jejich modelování se provádí specifickým způsobem. Hlavním rozdílem je á vysoká frekvence finančních da, a proo jsou používány kvaliaivně odlišné meody a možnosi využií spíše nelineárních modelů, kerý skýá spousu možnosí a není ješě zcela probádaný. Cílem diplomové práce je odhad a výběr nejlepších modelů pro různá finanční akiva s různou frekvencí. Používanými finančními insrumeny jsou akcie Google s denní, ýdenní a měsíční frekvencí, burzovní index S&P500 s denní, ýdenní a měsíční frekvencí a měnový kurz eura s denní frekvencí. Pro odhad vybraných modelů GARCH a EGARCH bude využia meoda maximální věrohodnosi. První eoreická kapiola diplomové práce se bude zabýva popisem a kaegorizací finančních akiv a ových řad. Tao kapiola je rozdělena na dvě čási. Úvodní čás se bude zabýva finančními insrumeny a jejich rozdělením. Bude zde popsán vzah rizika, výnosu a likvidiy a jednolivé finanční insrumeny budou podrobněji popsány. Ve druhé čási éo kapioly budou popsány a rozděleny jednolivé ové řady. Následně budou charakerizovány finanční ové řady, jejich specifické vlasnosi a vysvělen předpoklad normaliy a jeho esování. Také zde bude rozebírána volailia, způsob jejího sanovení, druhy volailiy a její specifické vlasnosi. Dále bude uvedena obecná analýza ových řad, srovnaelnos da a způsob provedení éo analýzy. Druhá meodická kapiola bude věnována kaegorizaci modelů, saisickým meodám odhadu, popisu modelů volailiy a kriériím hodnocení modelů. První čás se bude zabýva rozdělením modelů dle různých kriérií. Druhá čás se bude věnova saisickým meodám odhadu modelů, kde bude blíže popsán posup odhadu meodou maximální věrohodnosi, kerá bude následně použia v prakické čási diplomové práce. V poslední čási éo kapioly budou charakerizovány modely volailiy, jejich možnosi využií, dělení, kriéria výběru 4

7 nejlepšího modelu a deailní popis a odvození modelů GARCH a EGARCH meodou maximální věrohodnosi. Prakická kapiola diplomové práce bude rozdělena na několik čásí dle druhu finančních akiv a každá čás se bude následně děli na podkapioly dle frekvence ohoo finančního insrumenu. Jednolivými finančními insrumeny budou akcie Google a burzovní index S&P500 s denní, ýdenní, měsíční frekvencí a kurz eura s denní frekvencí. V jednolivých podkapiolách bude poé provedena analýza konkréní finanční ové řady, kde bude znázorněn graf vývoje cen konkréního finančního insrumenu dle frekvence da, vypočíány charakerisiky polohy a variabiliy logarimických výnosů a proveden es normaliy pomocí programu E-Views. Poé bude proveden odhad modelů GARCH a EGARCH meodou maximální věrohodnosi, grafické srovnání skuečnosi s modelem a aké grafické srovnání modelů mezi sebou pomocí programu MS Excel. V závěrečné čási prakické kapioly bude provedeno srovnání a vyhodnocení výsledků dle uvedených kriérií. 5

8 . Popis a kaegorizace finančních akiv a ových řad Tao kapiola vychází převážně z auorů Cipra (008), Arl (003), Zmeškal (004) a Popelka (007). V první podkapiole je popsáno riziko, výnos, likvidia a jejich souvislos, a je zde uvedeno členění jednolivých finančních insrumenů. Jedná se o akcie, burzovní indexy, finanční insrumeny s pevnými příjmy (hlavně dluhopisy), měnové kurzy, komodiy, opce a ermínové konraky. Vždy je popsán jednolivý insrumen, jaké má náležiosi, na jaké druhy, či ypy se dělí, případně, co ovlivňuje jeho cenu, jak se konsruuje nebo keré konkréně jsou nejvýznamnější. Ve druhé podkapiole jsou uvedeny ypy da, vymezení ových řad a jejich dělení. Poé jsou popsány finanční ové řady, předpoklad normaliy a jeho esování, a vlasnosi finančních ových řad jako je například lepokurické rozdělení. Další čás je věnována volailiě, způsobům sanovení volailiy, druhům volailiy a jejím specifickým vlasnosem (shlukování volailiy či pákový efek). Poslední čás popisuje obecnou analýzu ových řad, srovnaelnos da a způsob provedení analýzy ových řad..1 Popis a kaegorizace finančních akiv Finanční akiva, neboli lépe řečeno finanční insrumeny jsou právním podkladem (dokladem) různých finančních ransakcí na finančních rzích. Jejich chronologicky vzesupně seřazené ceny jsou poé používány jako finanční ové řady k výpočům a modelování výnosů, rizika a likvidiy, keré jsou základními kriérii (indikáory) při rozhodování invesora. Nejdůležiějším fakorem, kerý ovlivňuje ceny a výnos finančních insrumenů je riziko. Čím je riziko vyšší, ím vyšší bývá výnos akcie a naopak. Lze zde použí zv. Magický rojúhelník invesování, viz následující obrázek. 6

9 Obrázek 3.1 Magický rojúhelník invesování výnos likvidia riziko Zdroj: vlasní zpracování Pomyslné vrcholy rojúhelníku jsou označeny jako výnos, riziko a likvidia, což jsou fakory ovlivňující invesiční rozhodnuí, keré jsou ve vzájemném nesouladu. Mezi rizikem a výnosnosí je nepřímá úměrnos. To znamená, že dosahováním jednoho vrcholu se oddalujeme od druhého. Čím vyšší výnos invesor požaduje, ím vyšší riziko musí podsoupi, a ím nižší je likvidia podniku. Čím nižší riziko invesor podsupuje, ím nižší výnos dosane, a ím věší je likvidia. Ideální invesicí by byla invesice s minimálním rizikem, maximálním výnosem a vysokou likvidiou, ale akové invesice se v praxi příliš nevyskyují, akže se invesor musí rozhodnou podle svého uvážení na přijaelném poměru ěcho fakorů, viz Jelínková (010). Riziko může bý jedinečné (specifické) nebo ržní (sysemaické). Jedinečné riziko souvisí s konkréním podnikem, odvěvím či cenným papírem a lze jej minimalizova vhodnou diverzifikací porfolia. Sysemaické ržní riziko je obecně riziko poenciální zráy z nepříznivého pohybu ržních cen a sazeb, vyplývá z celé ekonomiky, poliické siuace apod., lze jej omezi jen čásečně například pomocí hedgingu. Finanční insrumeny lze rozděli na: akcie, burzovní indexy na akcie, finanční insrumeny s pevnými příjmy, měnové kurzy, komodiy, opce a ermínové konraky, viz Zmeškal (004). 7

10 .1.1 Akcie, burzovní indexy na akcie Akcie jsou majekové cenné papíry, s nimiž jsou spojena práva majiele. Akcionář má právo podíle se na řízení akciové společnosi prosřednicvím hlasování na valné hromadě, právo podíle se na zisku akciové společnosi formou dividend, pokud jsou vypláceny, a právo podíle se na likvidačním zůsaku společnosi, pokud jde akciová společnos do likvidace. Akcie musí dle obchodního zákoníku obsahova: obchodní jméno a sídlo společnosi, číselné označení akcie a její jmenoviou hodnou, označení, zda se jedná o akcii na majiele nebo na jméno, výši základního jmění společnosi a poče akcií v době vydání akcie, daum vydání akcie a podpisy obou členů předsavensva oprávněných podepisova za společnos, viz obchodní zákoník. Pokud je vydáno více druhů akcií, musí bý uveden i druh akcie. Druhy akcií se dělí z několika hledisek. Dle hlediska zělesněného práva se akcie dělí na: kmenové jsou s nimi spojena všechna práva (podíl na řízení ); prioriní akcionář má právo na prioriní vyplácení dividendy, obvykle nehlasuje na valné hromadě. Prioriní akcie mají pevný výnos a nejsou závislé na dosažení výsledku hospodaření; zaměsnanecké. Dle možnosi převodu je lze děli na: akcie na majiele k převodu mezi vlasníky dochází pouze předáním, společnos nezná sávající akcionáře; akcie na jméno vede se kniha akcionářů, k převodu dochází prosřednicvím rubopisu (indosamenu). K převodu vlasníka musí společnos vyda souhlas a provede se změna v knize akcionářů. Podle hlediska ermínu emise se akcie dělí na saré (zakladaelské) a mladé (nové, keré navyšují základní jmění). Také lze akcie rozděli dle hlediska sídla a.s. na uzemské a zahraniční. Dalším hlediskem řídění akcií je podle její kursové hodnoy. Jsou o akcie ěžké (s vysokým kurzem), sřední (s průměrným kurzem) a lehké (s nízkým kurzem). Posledním hlediskem možného dělení akcií je hledisko obchodovaelnosi, dle kerého se akcie člení na 8

11 akcie veřejně obchodovaelné na burze nebo na mezibankovním rhu j. regisrované, a na akcie neobchodovaelné na sekundárním rhu, edy neregisrované. Forma akcií může bý lisinná (akcie v papírové podobě) nebo zaknihovaná (akcie v elekronické podobě). Každý cenný papír má svou vniřní hodnou, kerou lze vypočía. Cena akcie se kolem éo vniřní hodnoy pohybuje. Pro účely fundamenální analýzy se poé porovnává vypočená vniřní hodnoa akcie (VH) s cenou akcie (P), přičemž může nasa několik varian: VH > P znamená, že akcie je podhodnocena a je vhodné ji koupi, VH < P znamená, že akcie je nadhodnocena a je vhodné ji proda, VH = P znamená, že akcie je správně oceněna. Cena akcie se v zásadě pohybuje na základě nabídky a popávky. Čím věší je popávka, ím vyšší je cena akcie a naopak, čím věší je nabídka, ím je cena akcie nižší. Na změnách nabídky a popávky se podílí řada různých fakorů, především výsledky akciové společnosi v minulosi, očekávání rhu v budoucnu a srovnání ěcho hodno, siuace na rhu, důvěra v segmen, ve kerém se akcie nachází či důvěra v konkréní emisi akcie, činnos konkurence, nebo živelná či jiná kaasrofa, a v neposlední řadě poliická siuace regionálního či globálního charakeru. Velký vliv má aké mediální obraz společnosi a množsví ciací v negaivních zprávách nebo přesun invesic mezi různými insrumeny finančních rhů. Pro výpočy v éo diplomové práci je používána uzavírací cena akcie, což je cena, kerá byla dosažena jako poslední v daném ovém inervalu. Burzovní indexy na akcie jsou ukazaelem vývoje daného rhu jako celku a slouží ke sledování vývoje rhu v e a jeho vývojovým endencím. Odráží jak souný sav vývoje rhu, ak i dlouhodobý vývoj rhu s jeho endencemi. Exisují dva druhy burzovních akciových indexů: výběrové a souhrnné indexy. Výběrové indexy obsahují významné akcie na daném rhu, naproi omu souhrnné indexy obsahují všechny akcie na daném rhu. Meody konsrukce burzovního indexu lze aplikova řemi způsoby: cenově vážený index. Zde se hodnoa indexu odvíjí od cen jednolivých akcií daného indexu. Čím více rose cena akcií společnosi, ím více je ovlivňována hodnoa indexu; hodnoově vážený index. Hodnoa indexu je zjišťována ak, že každá akcie je v omo ypu indexu vážena svou ržní kapializací na celkové ržní hodnoě firem; sejně vážený index. Hodnoa indexu, je založena na principu porfolia a každá akcie 9

12 je vážena sejně. Kalkulace éměř všech burzovních indexů probíhá v reálném e, s frekvencí od každých 15 sekund po maximálně 1 minuu. Mezi nejznámější akciové indexy paří Dow Jones Indusrial Average (DJIA), kerý je nejznámějším a nejsledovanějším indexem svěa. Jedná se o nejsarší burzovní index pro koninuální užií. Zahrnuje 30 akcií nejvýznamnějších společnosí hlavního odvěví USA, yo akcie jsou zapsány na burze v New Yorku. Jedná se o cenově vážený index s blue chips akciemi 1. Dalšími významnými americkými akciovými indexy jsou S&P 500 Index, S&P 100 Index a NASDAQ 100 Index. Věšina evropských burzovních indexů zahrnuje nejlepší společnosi na rhu s nejvěší ržní kapializací. Zasoupení jednolivých iulů v burzovním indexu je věšinou konrolováno jednou za čvr roku. Základním kriériem pro paricipaci ěcho iulů je aké ržní hodnoa volně obchodovaného poču akcií. Nejznámější evropské akciové indexy jsou EURONEXT 100, NEXT 150, Dow Jones EURO STOXX 50, SMI Weiss Marke Index (Švýcarsko), DAX Performance.Index (Německo), FTSE 100 (VB), PX a PX-GLOB (ČR), CAC 40 (Francie) nebo ATX Ausrian Traded Index (Rakousko). Mezi nejvýznamnější akciové indexy Asie paří: Nikkei 5 Index nebo TOPIX (Japonsko), HSI Hang Seng Index (Hongkong), Singapore Srais Time Index (STI) (Singapur), NIFTY 50 Index (Indie)..1. Finanční insrumeny s pevnými příjmy Finanční insrumeny s pevnými příjmy jsou veškeré obchodovaelné dluhopisy s pevnou úrokovou sazbou, keré jsou emiovány bankami, podnikovým nebo veřejným sekorem. Zahrnují se sem aké cenné papíry, u kerých je úroková sazba vázána na určiou ržní úrokovou sazbu LIBOR, PRIBOR, EURIBOR, apod. Dluhopis obecně je dluhový cenný papír, kerý vyjadřuje závazek emiena vůči věřieli. Je s ním spojeno právo majiele (věřiele) požadova splácení dlužné čásky ve jmenoviých hodnoách, vyplácení výnosů z něj k určiému dau a povinnos emiena yo závazky splni. V České republice musí emien podle zákona č. 530/90 Sb., o dluhopisech žáda Českou národní banku (ČNB) o povolení k emisi dluhopisů, v případě municipálních dluhopisů vydávaných samosprávnými celky musí dá souhlas minisersvo financí ČR. 1 Nejlépe hodnocené cenné papíry 10

13 Každý dluhopis je charakerizován nominální hodnoou, výší kupónové plaby a dobou splanosi. Dluhopis musí mí určié náležiosi: označení emiena, název dluhopisu, jeho číselné označení (ISIN), nominální hodnou, způsob sanovení spláek, úroků, jasné prohlášení emiena o jeho dluhu vůči majieli cenného papíru, závazek emiena splai nominální hodnou dluhopisu v určiém konkréním ermínu, sanovení ermínů, způsobu a mísa vyplácení spláek, v případě dluhopisů na jméno jméno prvního majiele, daum, podpisy předsavielů emiena, povolení k emisi. Dluhopisové rhy bývají věšinou rozsáhlejší než akciové rhy, proože vlády o emiují yo cenné papíry k získání prosředků v důsledku deficiního financování. Dluhopisy mají omezenou dobu splanosi, přesně sanovené ově rozložené spláky dlužných čásek včeně úroků. Jeho majieli (věřieli) věšinou nevzniká žádné právo ovlivňova hospodaření emiena. Dluhopisy lze děli na: hypoeční zásavní lisy, kdy jejich jmenoviá hodnoa včeně úroků je krya pohledávkami z hypoéčních úvěrů, sání dluhopisy, keré jsou vydávané vládou, komunální obligace, keré slouží k financování obcí, zaměsnanecké obligace, keré jsou vydávány pouze pro zaměsnance, keří jsou u emiena v pracovním poměru, sériové dlužní úpisy, což jsou sání dluhopisy, půjčky, pokladniční poukázky, podnikové obligace, cerifikáy, vkladní knížky, komunální obligace, hypoeční lisy, kusové dlužní úpisy neboli směnky. 11

14 Dluhopisy s pevnou úrokovou sazbou jsou nejběžnějším ypem dluhopisu. Emien vyplácí věřieli pevný kupón v procenní výši určené pevnou úrokovou sazbou z nominální hodnoy dluhopisu ve sanovených ermínech po celou dobu živonosi dluhopisu. Tržní úrokové sazby jsou úrokové sazby na konkréním rhu. Například PRIBOR je pražská mezibankovní nabídková sazba. Jedná se o úrokovou sazbu, za kerou si banky navzájem poskyují úvěry na českém mezibankovním rhu. Je počíána z koací referenčních bank pro prodej depozi. Používá se například pro výši úroků u hypoečních úvěrů a aké o jako referenční úroková sazba 3. Také exisuje PRIBID 4, což je průměrná úroková sazba, za kerou si české banky mohou ukláda peníze u jiných českých bank. Je počíána z koací referenčních bank pro nákup depozi. Každý den ji sanovuje ČNB jako průměr referenčních bank a její hodnoy jsou vázány na dobu vkladu, např. 3M PRIBID je průměrná úroková sazba pro říměsíční vklady..1.3 Měnové kurzy Měnový kurz je cena měny vyjádřená v jednokách měny jiné a o se udává jako podíl domácí měny k zahraniční měně. Kurzy devizového rhu neboli měnové kurzy vydává ČNB jako určiý seznam, kerý se nazývá kurzovní lísek. ČNB v něm sanovuje kurz devizového rhu pro každý den a je zveřejněn vždy ve 14:30. Kurzy vyhlašované ČNB mají pouze informaivní charaker, ale přeso jsou velmi sledovaným finančním insrumenem. U nesměnielných měn je měnový kurz nepružný a je sanoven cenrálními orgány sáu, kde se nesměnielná měna používá. U volně směnielných měn jsou měnové kurzy pružné a exisují ři ypy: (1) kurzy měn volně pohyblivé (floaing), kdy kurz kolísá na základě nabídky a popávky na devizovém rhu bez jakýchkoliv zásahů; () pohyblivý kurz v rámci limiů (řízený floaing), kdy je sanoveno flukuační pásmo, ve kerém se má kurz pohybova a pokud se odchyluje, cenrální banka zasáhne; (3) vázané kurzy, keré jsou odvozené od vývoje kurzu významné měny nebo koše měn. Prague InerBank Offered Rae 3 úroková sazba, kerá se použije jako základ pro výpoče jakéhokoli úroku, jenž má bý uplaněn, a kerá pochází z veřejně přísupného zdroje a kerou mohou srany smlouvy ověři, avšak nemohou ji jakkoliv přímo ovlivni hp://business.cener.cz/business/pojmy/p466-referencni-urokova-sazba.aspx 4 1 Prague Inerbank Bid Rae

15 Na měnový kurz působí aké spousa vlivů jako např.: nabídka a popávka po měně, rozsáhlé nákupy a prodeje měn, saldo obchodní a plaební bilance, výše úrokových sazeb, nebo ekonomická a poliická siuace či akuální událosi. Nejvyhledávanějšími kurzy je akuální kurz eura a kurz dolaru..1.4 Ceny komodi Komodia je zboží, se kerým se na rhu obchoduje bez rozdílů v kvaliě. Dodávky od různých dodavaelů jsou vzájemně zasupielné, proože se jedná o homogenní produky, keré se mohou obchodova za jednonou cenu na globálních rzích. V původním a zjednodušeném smyslu jsou komodiy produky jednoné hodnoy a kvaliy vyráběné ve velkém množsví mnoha různými výrobci. Na každém rhu, kerému se říká komodiní burza, jsou určeny vlasnosi a obchodovaelné množsví jednolivé komodiy. Komodiy mohou bý různé suroviny a zemědělské produky, keré se obvykle obchodují ve velkém množsví (velkoobchod), nebo obchody, keré se provádí v malém měříku (maloobchod sorimen). Komodiy se nejěji dělí na energie, kovy, zemědělské produky, maso a dobyek. Z oho vyplývá, že komodiou je např. ropa, zemní plyn, zlao, měď, ale aké oves, kukuřice, káva, cukr nebo vepřové maso. Komodiy se obchodují po celých konrakech, což je dohoda o nákupu nebo prodeji dané komodiy za sanovenou cenu ke konkrénímu dau v budoucnosi. Výhodou při obchodování s komodiami je vysoká likvidia. Cena komodiy je určena nabídkou a popávkou, kerá se v průběhu u velmi mění. Ovlivňují ji jak spekulaivní, ak fundamenální příčiny. Posupně byly komodiy nahrazeny především obchody s deriváy, jejichž podkladové akivum voří právě komodiy. Věšina z nich má podobu fuures, což jsou ermínové obchody se sandardizovanou podobou..1.5 Opce a ermínové konraky Termínové konraky jsou charakerisické ím, že obchod se všemi podmínkami je sjednán dnes a jeho vypořádání proběhne někdy v budoucnu. Exisují různé druhy v závislosi na om, o jaké podkladové akivum se jedná. Mezi základní ypy ermínových konraků paří: forwardové obchody, 13

16 fuures obchody, swapové obchody, opční obchody. Forwardový obchod (forward) je konrak mezi kupujícím a prodávajícím na prodej a nákup určiého objemu akiva v budoucnu. Při forwardu se cena dohodne v okamžiku sjednání konraku. Je závazný pro obě srany. Kupující forwardového konraku se zavazuje učini plabu k určiému ovému okamžiku a převzí zboží, keré je jeho předměem. Tyo obchody jsou nesandardizované a provádí se na mimoburzovním rhu. Fuures jsou konraky, na základě kerých se smluvní srany zavazují koupi a proda určiý objem akiva k určiému budoucímu dau za předem sanovenou cenu. Rozdíl mezi forvardem a fuures je v om, že fuures jsou obchodovány na zvlášních ermínových burzách a jsou o sandardizované obchody až na cenu, kerá je sanovena veřejnou dražbou, proože se jedná o veřejný konrak. Swapový obchod (swap) je dohoda dvou zúněných sran o vzájemných úrokových plabách vzahujících se ke sejné čásce kapiálu, ale definované různým způsobem. Tyo plaby se vesměs opakují. Dohoda obsahuje výče měn, úroky a ový harmonogram plaeb. Jsou obchodovány mimoburzovně. Opce předsavuje právo koupi nebo proda v předem sanoveném e určié akivum za určiou konkréní cenu. Je o smlouva mezi prodávajícím a kupujícím, kerá dává kupujícímu právo (možnos) proda nebo koupi od prodávajícího konkréní akivum (zv. podkladové akivum) za konkréní cenu kdykoliv až do daa vypršení konraku. Její cena se odvozuje z podkladového akiva, keré může bý např. akcie, obligace, akciový index, dluhopis, pokladniční poukázka, devizy, konraky fuures či komodiy. Kupující zaplaí za opci prodávajícímu určiou cenu, zv. opční prémii. Exisuje několik ypů opcí: kupní opce (call opce) právo vlasníka koupi v budoucnu určié akivum, u kerého předpokládá vzesup ceny, prodejní opce (pu opce) právo vlasníka proda v budoucnu určié akivum, u kerého předpokládá pokles ceny. Kupní opce z pohledu kupujícího (long call) je právo (možnos) koupi v budoucnu určié akivum za předem sanovenou cenu s opční prémií. Kupující uo opci využije, pokud je cena podkladového akiva věší než ržní cena. Pokud se kupující rozhodne opci nevyuží, 14

17 zraí pouze hodnou opční prémie. U kupní opce z pohledu prodávajícího (shor call) očekává prodávající, že cena podkladového akiva bude sabilní nebo bude klesa. Pokud se kupující rozhodne opci využí, musí mu prodávající vyhově. Zráa prodávajícího je neomezená a záleží na om, o kolik cena podkladového akiva vzrosla nad realizační cenu 5. U prodejní opce z pohledu kupujícího (long pu) předpokládá kupující, že cena akiva poklesne, a proo se nákupem prodejní opce zajisí proi zráě. V případě, že se jeho obavy povrdí, může opci využí a mí z prodeje akiva zajišěný zisk. Pokud cena akiva neklesne a kupující se rozhodne si akivum ponecha, bude mí zráu pouze ve výši opční prémie. Prodejní opce z pohledu prodávajícího (shor pu) je odlišná v om, že prodávající spekuluje na sabiliu nebo růs ceny podkladového akiva a může mí zisk v podobě opční prémie. Pokud se kupující rozhodne prodejní opci využí, prodávající musí oo akivum koupi za předem sanovenou realizační cenu, i kdyby o pro něj bylo nevýhodné.. Časové řady V klasické ekonomerii lze daa děli do ří skupin: ová neboli ové řady, což jsou hodnoy určié veličiny pozorované v určiém ovém inervalu s určiou frekvencí; průřezová neboli průřezový výběr, j. hodnoy určié veličiny pozorované ve sejný ový okamžik přes určiý populační soubor; panelová daa, j. kombinace ových a průřezových da, viz Cipra (008). Časová řada je edy posloupnos věcně a prosorově srovnaelných pozorování, kerá jsou jednoznačně uspořádána z hlediska u ve směru minulos příomnos. Inervaly ěcho hodno jsou zpravidla rovnoměrné a lze je zapsa jako: y 1, y, y 3, y n, neboli y, kde =1,, n, kde y je pozorovaný ukazael, je ová proměnná s celkovým počem pozorování n, viz Hančlová (003). Časové řady lze děli z několika hledisek. Dle charakeru ukazaele lze ové řady děli na okamžikové (hodnoa ukazaele k určiému okamžiku) a inervalové (je sledován určiý inerval ukazaele). Dle druhu ukazaelů se rozlišují ové řady s absoluními ukazaeli (očišěné) a s odvozenými ukazaeli (součové, průměrné, poměrové). Dle periodiciy či frekvence, s jakou jsou ové řady sledovány, se ové řady dělí na dlouhodobé a krákodobé. Dlouhodobé ové řady bývají daa s frekvencí roční, čvrlení nebo měsíční, 5 Dohodnuá cena, za kerou bude akivum prodáno 15

18 což je specifické především pro ekonomické ové řady. Krákodobé ové řady jsou daa s věší frekvencí, j. ýdenní, denní nebo i ější. Jedná se o finanční ové řady, keré jsou vořeny finančními day...1 Finanční ové řady a jejich vlasnosi Tyo ové řady jsou vořeny vysokofrekvenčními day, keré lze nají na finančních rzích. Lze je děli na dluhopisové, akciové a devizové rhy. Obchoduje se na nich s dluhovými cennými papíry, akciemi či peněžními prosředky v různých měnách. Základní informace získávané z ěcho rhů jsou daa s různou frekvencí, kerá označována právě jako finanční ové řady, například cena akcie, cena dluhopisu, cena měny apod, viz Arl (003). Tao daa bývají nejěji sledovány v denní či dokonce hodinové frekvenci. Ceny jednolivých finančních akiv P lze přepočía na výnosy r dvěma způsoby: = P P 1 r, nebo (.1) P 1 P r = = ln P ln P 1 ln. (.) P 1 V éo diplomové práci je využi druhý způsob výpoču pomocí logarimů, proože bývá přesnější. Finanční ové řady jsou velmi specifické a o vyžadují neradiční přísupy k jejich modelování. Velmi o jsou modelovány pomocí nelineárních modelů, neboť ve věšině případu lineární modely nejsou posačující, proože předpokládají pouze jeden yp závislosi korelační a nemohou zachyi charakerisické rysy ěcho ových řad. U finančních da bývá o výrazná šumová složka, a udíž je vzhledem k éo volailiě ěžší v ěcho daech zjisi sysemaické rendy, sezónnos, apod., viz Cipra (008). Důležiým předpokladem při modelování finančních ových řad je předpoklad normaliy. Znamená o, že logarimy výnosů r mají normální rozdělení s konsanní sřední hodnoou µ a konsanním rozpylem σ, neboli r ~ N(0, σ). Pro oo rozdělení je charakerisické, že je symerické, akže jeho šikmos (SK) je vyjádřena vzahem: ( µ ) 3 r SK = E = 0 3 (.3) σ 16

19 a špičaos (K) normálního rozdělení je definována vzahem: ( µ ) 4 r K = E = 3 4. (.4) σ Výběrový bodový odhad šikmosi se vypočíá jako: = 1 ( r r ) 3 T SKˆ 1 =, (.5) 3 T s kde r je výběrová sřední hodnoa logarimů výnosů: 1 r = T T r = 1 a s je výběrový rozpyl: = 1 ( ) r r kde T je poče pozorování v ové řadě, k je poče odhadnuých paramerů použiých k vyvoření modelu ové řady. Saisika JB má chi-kvadrá rozdělení se dvěma supni volnosi, viz Popelka (007). Časo se ukazuje, že skuečné rozdělení logarimů výnosů je špičaější než normální rozdělení, což znamená, že nízké kladné a záporné výnosy se objevují ěji, než předpokládá normální rozdělení, viz Arl (003). Právě s ím souvisí jedna ze specifických vlasnosí finančních ových řad, lepokurické rozdělení. Je o husoa rozdělení pravděpodobnosi, keré má vyšší špičku a ěžší konce. Tao rozdělení mají nulovou sřední hodnou, jednokový rozpyl a kladný koeficien špičaosi, viz Cipra (008). Dalšími specifickými vlasnosmi finančních ových řad je shlukování volailiy 17 (.6) 1 T s =. (.7) T Pro výběrový bodový odhad špičaosi je vzorec následující. = 1 ( r r ) 4 T Kˆ 1 =, (.8) 4 T s viz Arl (003). Pro esovaní normaliy ových řad se používá Jarque-Berra es (JB es), kerý je v programu E-Views vypočíán pomocí vzorce: ( ˆ 3) 3 T k = ˆ K JB S +, (.9) 6 4

20 (volailiy clusering) a pákový efek (leverage effec), keré budou vysvěleny v následující podkapiole. Vlasnosi finančních ových řad aké vyplývají jak z ekonomické podsay fungování finančních rhů, ak z chování invesorů a dalších ekonomických subjeků... Volailia ových řad Volailia (rozpyl) je základním paramerem při řízení finančních rizik. Obecně předsavuje volailia míru kolísání hodnoy akiva nebo jeho výnosové míry (obvykle jako směrodanou odchylku ěcho změn během určiého ového úseku). Pro účely éo diplomové práce předsavuje volailia kolísavos ceny jednolivých finančních insrumenů a vyjadřuje míru rizika invesice do ěcho finančních insrumenů. Pro sanovení volailiy lze využí hisorický přísup (hisorická volailia), kde se předpokládá, že očekávaný výnos akcie je roven průměrné hodnoě skuečných výnosů za určié hisorické období a riziko akcie se vypočíá jako směrodaná odchylka z hisorického výběru skuečných výnosů akcií, viz Zmeškal (004). Ale jelikož u finančních ových řad o nebývá splněn předpoklad heeroskedasiciy, je řeba aplikova meody založené na sanovení podmíněného rozpylu. Další možnosí je implikovaná volailia, což je rhem očekávaná volailia do budoucna. Vychází z Black-Scholesova modelu pro ocenění opce. Předpokládá se, že pohyb ceny podkladového akiva má charaker geomerického Brownova pohybu. Ale v praxi eno předpoklad nemusí bý splněn a díky omu se může implikovaná volailia liši od skuečné volailiy. Implikovaná volailia bývá o vyšší než volailia získaná hisorickým přísupem pomocí modelů podmíněné heeroskedasiciy, což je považováno za nevýhodu. Díky omu se rozlišuje podmíněná (krákodobá volailia) a nepodmíněná volailia (dlouhodobá volailia). Podmíněná volailia se v e mění a zjišťuje se např. pomocí GARCH modelů. Obvykle se přepočíává na roční volailiu a může se udáva buď v absoluních hodnoách či relaivně. U finančních insrumenů rose volailia s odmocninou ového úseku, na němž je měřena a bude vypočena dle vzorce: σ& = σ d, (.10) kde σ je model podmíněného rozpylu a d je hodnoa 50, 5 nebo 1 v závislosi na frekvenci da denní, ýdenní, měsíční. Nepodmíněná volailia σ není závislá na e a její 18

21 výpoče se liší s konkréním použiým modelem. Čím je volailia věší, ím je věší cenové rozpěí, v němž se cena daného finančního insrumenu pohybuje. Vyšší volailia způsobuje zároveň věší riziko. Vlasnosí volailiy je vyváření shluků (volailiy clusering). Znamená o, že se volailia finančních rhů objevuje ve shlucích vysokých a nízkých volaili, např. vysoká volailia bývá v dalším období o následována opě vysokou volailiou a sejně ak je omu i pro nízké hodnoy. Další vlasnosí volailiy je pákový efek (leverage effec), kdy volailia reaguje odlišně na negaivní a poziivní ržní šoky. Zvyšuje se více po cenovém poklesu než po cenovém růsu sejné velikosi, viz Cipra (008)...3 Analýza ových řad Před samonou analýzou ových řad je nuné zjisi, zda jsou daa srovnaelná z několika hledisek: věcného (údaje by měly bý sejně obsahově vymezené), prosorového (údaje by se měly vzahova ke sejným geografickým územím), ového (údaje by se měly vzahova ke sejně dlouhým inervalům), cenového (použií běžných nebo sálých cen). Analýza ových řad obecně se provádí graficky nebo výpočem. Pro zobrazení ových řad se používají spojnicové nebo XY bodové grafy. Při analýze ových řad výpočem jsou zjišťovány popisné charakerisiky (polohy, variabiliy), míry dynamiky, korelace a sacionaria ových řad. U charakerisik poloh se počíají průměrné hodnoy prosý nebo vážený arimeický průměr, nebo vážený chronologický průměr. Určovanými charakerisikami variabiliy jsou rozpyl a směrodaná odchylka. Rozpyl je arimeický průměr kvadráů odchylek od arimeického průměru, viz vzorec (.7), směrodaná odchylka je odmocninou z rozpylu. U míry dynamiky lze zjišťova absoluní a relaivní přírůsek, průměrný absoluní a průměrný relaivní přírůsek, empo růsu, průměrné empo růsu, meziroční koeficien růsu. Korelace vysvěluje závislos mezi vývojem jednolivých proměnných a nabývá hodno v inervalu <-1;1>. Čím více se korelace blíží jedné, ím více poziivně jsou ové řady veličin závislé pohybují se sejným směrem. Naopak čím více se korelace blíží -1, ím více jsou ové řady veličin negaivně závislé pohybují se opačně. Pokud je korelace 19

22 nulová, veličiny jsou nezávislé. U ových řad lze aké urči, zda jsou sacionární či nesacionární. U sacionární ové řady nejsou parné změny v průměru či variabiliě, naopak u nesacionárních ových řad jsou yo změny parné. U někerých analýz může bý nesacionaria problémem a je řeba ji vhodným způsobem odsrani. Při analýze finančních ových řad eno problém nebývá, ové řady logarimů výnosů bývají ve věšině případů sacionární. S analýzou ových řad souvisí zv. bílý šum, kerým se označuje i-ý člen ové řady s normálním rozdělením náhodné veličiny s nulovou sřední hodnoou a konsanním rozpylem. Teno název vznikl z oho, že ová řada obsahuje rovnoměrný podíl frekvenčních složek všech vlnových délek, podobně jako bílé svělo obsahuje složky všech barev spekra. 0

23 3. Kaegorizace modelů a jejich odhady Při psaní éo kapioly se vychází převážně z Cipra (008), Arl (003), Zmeškal (004), Alexander (008), Popelka (008). Tao kapiola je věnována kaegorizaci modelů a jejich odhadům. Je rozčleněna do řech čásí. První čás popisuje rozdělení modelů dle kriérií a jejich aspeků. Druhá čás je věnována meodám odhadu, kde je podrobněji popsána meoda maximální věrohodnosi, kerá je následně použia v prakické čási diplomové práce. Třeí čás éo kapioly pojednává o modelech volailiy, kde je uvedeno základní dělení ěcho modelů, možnosi využií modelů volailiy a kriéria hodnocení nejlepšího modelu. Deailněji jsou poé popsány model GARCH a EGARCH, keré jsou použiy k výpočům v prakické čási diplomové práce. 3.1 Rozdělení modelů dle různých kriérií Celá ao podkapiola vychází ze Zmeškal (004). Finanční modelování je velmi komplexní disciplína. Finanční modely lze děli pomocí různých kriérií, kerých exisuje celá řada. Pro lepší rozhled v celé problemaice je uvedeno dělení finančních modelů dle vybraných kriérií a jejich aspeků. Vybraná kriéria rozdělení finančních modelů jsou: (1) finanční aplikace, () rozhodovací prosředí, (3) charakerisika maemaických modelů a (4) sochasické modely Kriérium finanční aplikace Dle sféry aplikace lze finanční modely děli na: finanční modely nefinančních insiucí (např. finanční modely pro výrobní firmy); finanční modely finančních insiucí (např. finanční modely pro banky, pojišťovny, invesiční společnosi, savební spořielny, ad.). Dále lze finanční modely děli dle finančních insrumenů, kerými mohou bý: akcie, burzovní indexy na akcie; finanční insrumeny s pevnými příjmy; měnové kurzy; ceny komodi; opce a ermínové konraky, jak již bylo popsáno výše (viz podkapiola.1). Finanční modely lze děli aké podle ypu finanční povahy, jako jsou: 1

24 finanční plánování; invesiční rozhodování; finanční analýza; oceňování finančních insrumenů; rozdělování finančních akiv (vorba porfolia akiv); predikce finančních veličin. Podle druhů finančních rizikových fakorů, jako je riziko: ržní, keré souvisí s pohybem ržních fakorů. Tržní riziko se dále dělí na akciové, měnové, úrokové, komodiní a opční; krediní neboli úvěrové, keré je spojeno s nebezpečím neplnění finančních závazků; operační, keré se ýká chybovosi lidského fakoru a echnických sysémů. Finanční modely lze aké členi dle způsobu eliminace finančních rizik, kerá byla již popsána výše v podkapiole.1. Může se jedna o (1) riziko specifické (jedinečné) nebo () riziko sysemaické (fakorové) Kriérium rozhodovacího prosředí Dle rozhodovacích podmínek se finanční modely dělí na: deerminisické modely (za jisoy), jejichž paramery lze sanovi jako reálná čísla; sochasické modely (za rizika), jejich vsupní daa lze sanovi jako rozdělení pravděpodobnosi; modely za nejisoy, jejichž vsupní daa lze sanovi pouze pomocí mezních hodno nebo inervalů (např. fuzzy modely); fuzzy-sochasické modely, což je kombinace předchozích modelů Kriérium charakerisiky maemaických modelů Podle způsobu vymezení vsupních podmínek finančních modelů se dělí modely na: varianní, kde je přesně určený scénář (nebo řada scénářů) a je hledáno chování a řešení finančního sysému; opimalizační, kde je pro zadané omezení paramerů hledáno opimální řešení a rozhodnuí. Podle oho, zda model bere v úvahu fakor u lze finanční modely rozděli na:

25 saické, keré jsou pouze na jedno období; dynamické, u kerých se provádí vývoj a rozhodnuí na více období. Dále lze dle frekvence zachycení realiy děli dynamické modely na: diskréní, kde je snímání a projekce realiy v přesně vymezených inervalech; spojié, kde je zachycení realiy sále v nekonečně malých inervalech. Podle ypu závislosi mezi finančními veličinami se finanční modely člení na: lineární modely, např. dela model; nelineární modely, např. dela-gamma model, apod. Podle maemaického způsobu řešení finančních modelů jsou děleny na: analyické, odvozené vzorcem, např. Black-Scholesův model; numerické, prováděné aproximačním posupem, např. binomický model; simulační, u kerých se generují náhodné scénáře, např. meoda Mone Carlo Kriérium rozdělení sochasických modelů Tyo finanční modely se dělí dle účelu na sochasické opimalizační modely a na ekonomerické a predikční modely. Lineární opimalizační model lze obecně zapsa např. jako suma jedné veličiny (parameru c) násobená jinou veličinou (proměnnou x), kdy celý výraz je maximalizován nebo minimalizován. Poé je nuné sanovi omezující podmínky jednolivých paramerů a proměnných (např. suma parameru a násobená proměnnou x musí bý menší nebo rovno parameru b, a zároveň proměnná x musí bý věší nebo rovna 0). Sochasické opimalizační modely lze děli podle druhu náhodné veličiny na: rozhodovací modely, kdy náhodné jsou pouze paramery modelu (např. a, b, c); disribuční modely, kdy náhodné veličiny jsou jak paramery (např. a, b, c) ak i proměnné (např. x). Sochasické modely lze rozliši dle umísění náhodného parameru, jako jsou: náhodné paramery účelové funkce (např. c); náhodné paramery pravé srany omezení (např. b); náhodné paramery levé srany omezení (např. a); náhodné paramery obou sran omezení (např. a i b); nebo kombinace předchozích možnosí. 3

26 Dále lze sochasické modely děli podle ypu kriérií náhodné účelové funkce jako je: sřední hodnoa funkce užiku založená na axiomech (axiom preference, axiom subsiuce, axiom ranziiviy, axiom jisoního ekvivalenu); bezpečnos především (safey firs), kam paří např. kriéria Value a Risk (VaR), minimalizace sřední hodnoy zráy, RAROC (Risk Adjused Reurn On Capial). Sochasické modely lze členi podle ypů hedgingových sraegií jako jsou: minimalizace rozpylu; fakorově neurální přísupy (např. dela hedging, dela-gamma hedging, imunizace); minimalizace Value a Risk; minimalizace sřední hodnoy zráy (shorfall); maximalizace sřední hodnoy funkce užiku. Ekonomerické a predikční modely lze děli dle fáze uplanění jako: odhad regresní funkce, kde základními meodami odhadu jsou meoda nejmenších čverců (MNČ) a meoda maximální věrohodnosi; esování saisické spolehlivosi a významnosi odhadovaných paramerů, např. paramerické esy, -esy, F-esy; ekonomerická verifikace předsavující ověření saisických předpokladů pro uplanění odhadovaných posupů (např. MNČ). Jedná se například o esování heeroskedasiciy, auokorelace, mulikolineariy, normaliy rozdělení, apod. Ekonomerické a predikční modely lze dále rozliši dle ypů dynamických sochasických procesů na: ově invarianní, např. modely markovského ypu, kdy je rozdělení pravděpodobnosi nezávislé na e; ově varianní, kdy se rozdělení pravděpodobnosi v e mění. Dále lze ekonomerické a predikční modely rozděli dle ypů ypu modelovaných vzahů při predikci na: kauzální modely, kdy je hledán přímý vzah mezi finančními veličinami, kerý bude planý i v budoucnosi (např. model CAPM); ové řady, kdy je predikovaná veličina odvozena z minulého vývoje éo veličiny, např. auoregresivní modely, klouzavé průměry, ARIMA, GARCH, apod.) 4

27 3. Saisické meody odhadu Finanční modely lze odhadova několika způsoby. Nejpoužívanějšími meodami odhadu finančních modelů jsou: meoda nejmenších čverců, meoda maximální věrohodnosi, meoda momenů. Nejběžnější a nejjednodušší používanou meodou je meoda nejmenších čverců, při keré se hledají odhady paramerů ak, že se vzhledem k ěmo paramerům minimalizuje souče čverců. Model ovšem musí splňova určié předpoklady: E(ε ) = 0, j. sřední hodnoa reziduální složky musí bý nulová pro všechna ; var(ε ) = σ <, j. rozpyl reziduální složky je konsanní a konečný pro všechna (homoskedasicia); cov(ε s, ε ) = 0 pro s, j. reziduální složky jsou navzájem nekorelované pro všechna s (není auokorelace); cov(x i, ε ) = 0, j. regresory jsou ve sejném e nebo pro sejnou průřezovou jednoku nekorelované s reziduální složkou pro všechna i a, viz Cipra (008). Pokud nejsou yo předpoklady splněny, měla by bý použia jiná meoda odhadu. V omo případě jsou v prakické čási použiy modely, keré nesplňují podmínku homoskedasiciy, a proo je pro odhad modelů vybrána meoda maximální věrohodnosi. Meoda maximální věrohodnosi má několik výhod mezi něž paří, že odhady ouo meodou jsou konzisenní, asympoicky normální, asympoicky eficienní 6 a invarianní 7 vzhledem k definici parameru. Přičemž odhad je konzisenní, pokud při rosoucím rozsahu výběru finančního insrumenu T konverguje v pravděpodobnosi ke skuečné hodnoě odhadovaného parameru. Odhad je eficienní, pokud má vůči jinému odhadu éhož parameru menší rozpyl. Asympoické vlasnosi odhadu jsou vlasnosi, keré plaí limině pro rozsah výběru. Mají pouze eoreický charaker, proože výběry s nekonečným počem pozorování jsou pouhou eoreickou absrakcí, viz (Cipra 008). Meoda maximální věrohodnosi vychází z předpokladu, že rozdělení pravděpodobnosi jednolivých pokusů je známé f r θ ; y, x ), kde r θ jsou hledané paramery, ( y je závislá proměnná a x je nezávislá proměnná. Regresní funkce je poé hledána jako 6 efekivní 7 neměnný 5

28 maximalizace hodnoy funkce sdruženého rozdělení pravděpodobnosi jednolivých pokusů, kerá se nazývá funkce věrohodnosi: r r L( θ ) = f ( θ ; y, x ) max. (3.1) Po provedení logarimické ransformace je získán výraz: r r ln L( θ ) ln f ( θ ; y, x ) max. (3.) = Pokud se předpokládá, že jsou hledány paramery lineární regresní funkce r θ = [ a;b] L a pokud mají pokusy normální rozdělení, pak: 1 ( a b) = exp ( y a b x ) ln L ; π σ 1 1 σ ( a; b) = ln ( y a b x ) π σ 1 σ y = a + b x, edy, (3.3), (3.4) což musí bý maximalizováno. K omu je navíc řeba, aby výraz ( ) minimalizován, viz Zmeškal (004). y a b byl x Meoda momenů zasřešuje předchozí uvedené meody odhadu, keré lze považova za speciální případy momenových odhadů s ím rozdílem, že nevyžaduje planos předpokladů. Meoda momenů je založena na eoreickém vyjádření momenů určiých veličin vyplývajících z odhadovaného modelu a závisejících na paramerech ohoo modelu. Zjednodušeně řečeno, spočívá v om, že se porovnává k prvních obecných momenů s hodnoami jejich výběrových proějšků. Tím je získáno k rovnic v proměnných a jejich řešení lze považova za bodové odhady paramerů. věrohodnosi. Pro odhad vybraných modelů v prakické čási je použia meoda maximální 3.3 Modely volailiy Základní charakerisickou vlasnosí finančních ových řad je, jak již bylo výše zmíněno, lepokurické rozdělení pravděpodobnosi, keré se vyznačuje vyšší špičkou a ěžšími konci. Další důležiou vlasnosí finančních ových řad je proměnlivá volailia, shlukování volailiy a pákový efek. Modely volailiy popisují variabiliu finančních ových řad a zabývají se 6

29 modelováním podmíněného rozpylu. Modely volailiy charakerizují podmíněnou heeroskedasiciu, a proo se nazývají aké modely podmíněné heeroskedasiciy. Zakladaelem ěcho modelů je Engle, kerý roku 198 popsal model ARCH 8, kerým jako první vyjádřil odraz nejisoy a rizika ve finančních ových řadách. Prosřednicvím modelů volailiy lze zachyi měnící se podmínky nejisoy na finančním rhu a díky omu mají yo modely obrovské prakické možnosi využií. Používají se k empirickému ověření ekonomických a finančních eorií ohledně finančního rhu. Také nacházejí uplanění při vorbě opimálního porfolia či analýze Value a Risk a lze jimi zpřesni inervalové předpovědi ve finančních ových řadách. Z hlediska auokorelační srukury ových řad se jedná o modely nelineární, proože charakerizují vývoj podmíněného rozpylu sochasického procesu, a aké zahrnují závislos mezi veličinami sochasického procesu, keré nejsou lineární. Ale z hlediska funkční formy modelu podmíněného rozpylu lze modely volailiy rozlišova na: lineární, např. ARCH, GARCH, IGARCH, FIGARCH, GARCH-M, ad; nelineární, např. EGARCH, IEGARCH, FIEGARCH, GJR-GARCH STGARCH, ad. Základem modelů volailiy je sacionární auoregresní proces prvního řádu, neboli AR(1), kerý lze vyjádři následovně: X = φ 0 + φ1 X 1 + ε, (3.5) kde φ 1 < 1 a {ε } je podmíněně heeroskedasický proces s podmíněnou sřední hodnoou E( ε 1 ) = 0 a podmíněným rozpylem D( ε Ω ) = E ( ε Ω ) = σ Ω 1 1 1, kde Ω -1 je relevanní minulá informace až do u -1. Tyo požadavky splňuje model procesu {ε } ve varu: ε = σ e, (3.6) kde veličiny jsou nezávislé s nulovou sřední hodnoou a jednokovým rozpylem. Pokud je rozdělení náhodné veličiny e normální, za podmínky informace, kerá je k dispozici v e -1, j. e ( 0,1) ~ N 1, pak je rozdělení náhodné veličiny X aké normální, za podmínky informace, kerá je k dispozici v e -1, avšak s podmíněným rozpylem měnícím se v e, udíž X ( 0 σ ) ~ N 1,. V éo diplomové práci bude blíže popsán jeden lineární (symerický) model volailiy GARCH a jeden nelineární (nesymerický) model volailiy EGARCH, keré budou 8 Auoregresive Condiional Heeroskedasiciy Model 7

30 následně použiy v prakické čási práce. Rozdíl mezi symerickým GARCH modelem a nesymerickými GARCH modely spočívá v om, jak reagují na poziivní a negaivní změny výnosu (pákový efek). Symerický GARCH model předpokládá sejnou odezvu podmíněného rozpylu jak na negaivní, ak na poziivní ržní šoky. Naproi omu nesymerické GARCH modely umožňují volailiě reagova na yo šoky asymericky. Kriériem hodnocení nejlepšího modelu v éo diplomové práci je menší směrodaná odchylka, maximalizace věrohodnosní funkce. Dalším hodnoícím kriériem je věší krákodobá volailia dle Alexander (008) Model GARCH Model GARCH (Generalised Auoregresive Condiional Heeroskedasic) je symerický model volailiy, kerý vymyslel dánský ekonom Tim Peer Bollerslev roku GARCH model je vlasně zobecněný ARCH model, kerý vynalezl americký ekonomem Rober F. Engle 9. GARCH model je vlasně mean-reversion model a exisují různé modifikace ohoo modelu. Pracuje s podmíněným rozpylem, kerý může závise na svých předchozích zpožděných hodnoách. Jedná se o jeden z nejpoužívanějších modelů finančních ových řad. Podmíněný výnos modelu GARCH jako auoregresní proces prvního řádu má var: r = c + ε, r = a r 1 + ε 1, (3.7) kde r je podmíněný modelovaný výnos, model r = a1 r 1, c je konsana a ε je náhodná chyba (ržní šok) a plaí, že ( 0, ) ε ~ N σ, viz Alexander (008). Podmíněný rozpyl modelu GARCH má var: = ω + α ε 1 + β σ 1 σ, (3.8) kde ω je úrovňová konsana, α je paramer cilivosi náhodné chyby, β je paramer cilivosi zpoždění podmíněného rozpylu. Dále plaí, žeε = plaí ~ N( 0,1) e. Pro užií modelu musí bý splněny podmínky: σ e, kde e je náhodná veličina a ω > 0, α + β < 1, α, β 0. (3.9) První dvě podmínky zaručují, že nepodmíněný rozpyl σ je kladný a konečný. Třeí podmínka omezuje kladné hodnoy paramerů modelu GARCH ak, aby podmíněný rozpyl 9 roku 003 získal Nobelovu cenu 8

31 σ byl vždy kladný. Pokud nejsou yo podmínky splněny nebo pokud je α = 0, je řeba použí jiný model, viz Alexander (008). Paramer cilivosi náhodné chyby α vyjadřuje míru reakce podmíněné volailiy na ržní šoky předchozího období. Čím je koeficien α věší, ím je volailia cilivější na ržní změny. Paramer cilivosi zpoždění podmíněného rozpylu β vyjadřuje perzisenci neboli sálos podmíněné volailiy bez ohledu na změny rhu. Čím věší je koeficien β, ím déle doznívá vliv ržní krize na volailiu. Souče α + β udává míru konvergence podmíněného rozpylu neboli, jak rychle se podmíněný rozpyl vrací k dlouhodobé průměrné úrovni (k dlouhodobému nepodmíněnému rozpylu σ. Pokud je eno souče vysoký (např. nad 0,99), ak ová srukura předpovědi volailiy pomocí modelu GARCH je relaivně plochá. Výpoče dlouhodobého nepodmíněného rozpylu σ modelu GARCH je: σ = 1 ω α ( + β ) viz Alexander (008). následující:, (3.10) Odhad modelu GARCH pomocí meody maximální věrohodnosi dle (3.1) a (3.3) je T 1 1 ε L( θ ) = exp = 1, (3.11) π σ σ, 1 kde θ [ ω; α; β ], 1 =. Po logarimické ransformaci dle vzahů (3.) a (3.4) je získáno: T 1 ε ( ) ( ) ln L θ = ln σ +, 1. (3.1) = 1 σ, 1 Nyní jen sačí dosadi model GARCH do meody maximální věrohodnosi a celý výraz maximalizova: T 1 x a1 r l = ln( ω + α ε 1 1 ) + β σ + max 1. (3.13) = 1 1 ω + α ε + β σ 3.3. Model EGARCH Model EGARCH je jedním z nesymerických GARCH modelů, keré dle Alexander (008) éměř vždy lépe odpovídají daům s denní frekvencí. Symerický GARCH model oproi omu může vykazova ekvivalenní výsledky již při daech s ýdenní frekvencí, což 9

32 bude v éo práci aké ověřováno. EGARCH model je exponenciální GARCH model, kerý byl předsaven Nelsonem v roce Teno model je specifikován jako logarimus podmíněného rozpylu, což zaručuje, kladný podmíněný rozpyl a není již řeba definova omezující podmínky. Podmíněný výnos modelu EGARCH je sejný jako u symerického modelu GARCH, viz vzah (3.). Sandardizovaný EGARCH model podmíněného rozpylu je definován pomocí sandardizované normální proměnné z a asymerické funkce odpovědi: ( z ) = θz + γ z g z, (3.14) π kde z je náhodná veličina, kerá má normální normované rozdělení z ~ N(0,1) a je počíána dle vzahu: kde r a1 z = σˆ r 1, (3.15) σˆ je počáeční odhad podmíněné sandardizované odchylky. Logarimus podmíněného rozpylu dle modelu EGARCH je poé následující: ( ) ω + g( ) + β ln( σ ) ln σ. (3.16) = z 1 1 Samoný podmíněný rozpyl lze poé vypočís pomocí vzahu: ( ln( σ ) σ = exp. (3.17) Jelikož kladný podmíněný rozpyl je zaručen samoným vzorcem pro logarimus podmíněného rozpylu (3.6), nejsou zde uvedeny žádné omezující podmínky. Vzorec pro dlouhodobý nepodmíněný rozpyl σ pro model EGARCH je následující: ω σ = exp. (3.18) 1 β Odhad modelu EGARCH meodou maximální věrohodnosi dle (3.1) a (3.3) je sejné jako u modelu GARCH jen s rozdílnými paramery: T 1 1 ε L( ω, θ, γ, β ) = exp = 1, (3.19) π σ σ, 1, 1 Po logarimické ransformaci dle vzahů (3.) a (3.4) je získáno: T 1 ε ( ) ( ) ln L ω, θ, γ, β = ln σ +, 1 =. (3.0) 1 σ, 1 30