Aplikace teorie neuronových sítí

Transkript

1 Aplkace teoe neuonových sítí Doc. RND. Iveta Mázová, CSc. Kateda teoetcké nfomatky Matematcko-fyzkální fakulta Unvezty Kalovy v Paze

2 Aplkace teoe neuonových sítí -tadční přístupy - Doc. RND. Iveta Mázová, CSc. Kateda teoetcké nfomatky Matematcko-fyzkální fakulta Unvezty Kalovy v Paze

3 Bayesovo ozhodovací pavdlo (ktéum mnmální chyby) c tříd: ω,, ω c Vzo patříke třídě ω s aponí pavděpodobností P ; P 0 ; c = P = Vzo : náhodný vekto v n-ozměném příznakovém postou Ω s podmíněnou hustotou pavděpodobnost p( ω ), patří-l ke třídě ω ; =,, c I. Mázová: ATNS (NAIL03) 3

4 Bayesovo ozhodovací pavdlo (2) Klasfkace z neznámé třídy ω: Pavděpodobnost, že patří do třídy ω : (~ aposteoní pavděpodobnost třídy ω ) Bayesův vzoec: ( P ω ) P ω = ( ) ( ω ) ( ) Hustota pavděpodobnost výskytu vzou : c p = p ω P ( ) ( ) = p I. Mázová: ATNS (NAIL03) 4 p P

5 Bayesovo ozhodovací pavdlo (3) Rozhodnutí zařadt do třídy ω : přnese ztátu λ ω ω s pavděpodobností (~ vzo náležeící ke třídě ω ω ; ) ω ( ) = e chybně zařazen do třídy ) Očekávaná ztáta po chybné ozhodnutí ω = ω : l ( ) c ω I. Mázová: ATNS (NAIL03) 5 ) P ( ω ) ( ) = λ ( ω ) ( ) ω P ω = ( )

6 I. Mázová: ATNS (NAIL03) 6 Bayesovo ozhodovací pavdlo (4) Každé ozhodovací pavdlo má: Podmíněnou ztátu: a střední ztátu: ( ) ( ) ( ) ( ) = = c P l ) ω ω ω λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d P p d p l L c ) Ω = Ω = = ω ω ω λ

7 Bayesovo ozhodovací pavdlo (5) Cíl: takové ozhodovací pavdlo ω ), kteé by mnmalzovalo L ) Bayesovo ozhodovací pavdlo ( ω * ) : ) * ω = ω, estlže l l po ( ) ( ) ( ) =, K, c Nemenší podmíněná ztáta: l = mn l = mn ( ) ( ) λ ( ω ) ( ) ω P ω =, K, c =, K, c = střední ztáta (Bayesovské zko): c L = I. Mázová: ATNS (NAIL03) 7 Ω l ( ) p( ) d

8 Bayesovo ozhodovací pavdlo (6) Po ztáty: λ e podmíněná Bayesovská ztáta: e = ma P ω ( ) ( ) a Bayesovské zko: ( ω ω ) = 0 a λ ( ω ω ) = po =, K, c E = Bayesovské ozhodovací pavdlo : ) ω * = ω, estlže P ω = ma ( ) ( ) P( ) ω Ω e I. Mázová: ATNS (NAIL03) 8 ( ) p( ) d =, K, c

9 Bayesovo ozhodovací pavdlo (7) Odhad podmíněných ozdělení poces odhadu paametů na základě ténovací množny ~ UČENÍ KRITÉRIUM MINIMÁLNÍ CHYBY: Dskmnační funkce: g = pˆ ω Pˆ ω ; =, K Ténovací množna T : T =, Ω, K, R, Ω R Konstukce odhadů ( pˆ ω ) ( ) ( ) ( ), c {[ ] [ ]} I. Mázová: ATNS (NAIL03) 9

10 Bayesovo ozhodovací pavdlo (8) Vlastnost odhadů: Nestannost: záuka, že v půměu se bude odhad pohybovat kolem neznámé hustoty p( ) Konzstence: záuka, že čím větší bude počet vzoů množny T T, tím více se bude odhad blížt k neznámé hustotě p ( pˆ ( ) ) ozložení vzoů z třídy ω Efcence: takový nestanný odhad, kteý mez všem nestanným odhady má nemenší dspez I. Mázová: ATNS (NAIL03) 0

11 Bayesovo ozhodovací pavdlo (9) Vlastnost odhadů (pokačování): Induktvnost ( cíl učení): požadavek nalézt po předložení spočetně mnoha dvoc paamet q [ k, Ω k ], kteý mnmalzue střední ztátu přes celou množnu X ; Sekvenčnost ( postup učení): odhad na základě postupného předkládání dvoc [ k, Ω k ] f posloupnost funkcí ; ( ) ; k =, K ( k + ) ( ) ( k f pˆ ) ( ), ( k + ) ˆ = k + p { } k = k ( ) pˆ k ( ) k tý odhad hustoty ( ) X I. Mázová: ATNS (NAIL03) p

12 Bayesovo ozhodovací pavdlo (0) Obecný algotmus odhadu paametů učením: ( 0 START: Zst c, počáteční odhad ) pˆ ( ω ), anulu Pˆ ( ω ), k := 0 ; ITERACE: k := k + Přečt a Ω = ω z T ; Zkogu pˆ ω ; Pˆ ω : Pˆ ω + PODMÍNKA: Je na vstupu další dvoce z T? STOP: ANO: Poveď teac NE: Pˆ ω Vypš STOP : = Pˆ ω pˆ ω ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) K ; =, K c, = ( ) ; Pˆ ( ω ) ; =, K c, I. Mázová: ATNS (NAIL03) 2

13 Bayesovo ozhodovací pavdlo () Odhad aponí pavděpodobnost P : Pˆ ( ω ) = K K K K počet vzoů ve třídě celkový počet vzoů z T p ( ω ) β α p ( ω ) 2 ( ) ω ω ˆ = ( ) ω 2 ω ˆ = Střední ztáta e úměná plochám α, β I. Mázová: ATNS (NAIL03) 3

14 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda Dána množna S n, = ϑ, K, n, ϑ n nezávslých náhodných velčn ϑ někteé z c tříd ω,, ω c ϑ třída, ke kteé vzo skutečně patří Klasfkace nového vzou S : Učt eho neblžšího souseda Zařadt do třídy ϑ odpovídaící {( ) ( )} n S n I. Mázová: ATNS (NAIL03) 4

15 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda (2) Odhad ωˆ neznámé třídy ω vzou : ω = ϑ, estlže δ, = mn δ, n =,..., n δ metka v příznakovém postou ˆ ( ) ( ) -NNR, k-nnr Konvegence neblžšího souseda k S n dost velká, ( ) ( ) n p spotéa p > 0 n podle pavděpodobnost ( ) ( ) n p ω ( ) spoté P ω n P ω n podle pavděpodobnost I. Mázová: ATNS (NAIL03) 5 n

16 I. Mázová: ATNS (NAIL03) 6 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda (3) Dále předpoklad: Podmínky konvegence splněny, nezávslé Lbovolně velká S n (n ), Podmíněná pavděpodobnost chyby -NNR: ( ) { } { } { } ( ) ( ) [ ] = = = = = = = n n n n P P P e η η ω ϑ ω ω ω ϑ ω ω,, n K,,, ( ) ( ) P η ω

17 n Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda (4) : e ( ) = lm e ( ) = ( ), n η n Mía chyby -NNR, E : E = E { e ( )} e (, ) omezena: n E c = 2 < η lm n, { } = E e ( ) lm, n n ( ) η ( ) p ( ) d E I. Mázová: ATNS (NAIL03) 7 n 2

18 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda (5) Poovnání míy chyby k-nnr, E k, s Bayesovskou, E*: Je-l poslední neblžší soused sudého řádu, nepřspívá žádnou dodatečnou nfomací ke klasfkac: E 2k - = E 2k k ; E* E k- Posloupnost honích mezí po E*: E* E 2k +2 = E 2k + E 2k = E 2k - E 2 = E 2E* Dolní mez po E*: E k E* + E / k π => konvegence E k k E* I. Mázová: ATNS (NAIL03) 8

19 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda (6) Redukce počtu vzoů v S n : Výběem epezentatvní podmnožny Klasfkace pomocí edukované množny e s pavděpodobností blízkou steně dobá ako pomocí celé množny I. Mázová: ATNS (NAIL03) 9

20 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda (7) Edtační algotmus: 2 třídy, k lché, S n ozdělena do 2 nezávslých podmnožn S n a S n ; n + n = n a 0 << n / n << Kok : Klasfkace vzoů z S n pomocí k NNR a ténovací množny S n Kok 2: Vyřazení všech vzoů z S n, kteé byly v Koku klasfkovány chybně. Nově vznklá podmnožna bude označena S n Následná klasfkace pomocí NNR a S n (kvas Bayesovsky optmální po malou pavděpodobnost chyby) I. Mázová: ATNS (NAIL03) 20

21 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda (8) Opakované edtování: Kok : Dfuze ~ náhodně ozděl S do N podmnožn S,, S N ; N 3 Kok 2: Klasfkace ~ klasfku vzoy z S pomocí NNR a ténovací množny S S(+) mod N ; =,,N Kok 3: Edtování ~ vyřaď všechny vzoy chybně klasfkované v Koku 2 Kok 4: Konfuze ~ ze zbylých vzoů vytvoř novou S I. Mázová: ATNS (NAIL03) 2

22 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda (9) Opakované edtování (pokačování): Kok 5: Ukončení Pokud během posledních I teací nebyl vyřazen žádný vzo STOP Jnak před ke Koku Následná klasfkace nových vzoů pomocí NNR a výsledné ténovací množny S Statstcká nezávslost vzoů Asymptotcky Bayesovsky optmální I. Mázová: ATNS (NAIL03) 22

23 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda (0) Elmnace vzoů, kteé nepřspívaí k defnc dělcí nadplochy: ~ vybat co nemenší podmnožnu ténovací množny tak, aby -NNR pomocí vybané podmnožny spávně klasfkoval zbylé vzoy z ténovací množny 2 zásobníky: SKLAD a PYTEL pvní vzo nechť e v zásobníku SKLAD n P ~ aktuální počet vzoů v zásobníku PYTEL př každém vstupu algotmu na Kok I. Mázová: ATNS (NAIL03) 23

24 Rozhodovací pavdlo neblžšího souseda () Kondenzační algotmus: Kok : Klasfku -tý vzo ze zásobníku PYTEL pomocí -NNR a aktuálního zásobníku SKLAD Je-l vzo klasfkován spávně, vať ho do zásobníku PYTEL Jnak ho ulož do zásobníku SKLAD Opaku opeace po =,,n P Kok 2: Pokud byl Kok poveden bez přesunu ze zásobníku PYTEL do zásobníku SKLAD nebo e PYTEL pázdný STOP Jnak před ke Koku I. Mázová: ATNS (NAIL03) 24

25 Dynamcké shlukování Poblém: Rozdělení ténovací množny Y = { y do c shluků Γ k ; k =,, c epezentovaných střední hodnotou m k ; =, K, n} n k ~počet pvků k-tého shluku n k m k = y ; y Γ k n k = mía podobnost mez vzoem y Γ k a představtelem shluku Γ k : δ y, m < δ y, m l E ( ) ( ) k k E l I. Mázová: ATNS (NAIL03) 25

26 Dynamcké shlukování (2) Cíl: Nalézt mez všem možným ozdělením Γ c c Γ = Γ = I Γ = {} U ;, K, c ; ; Γ = Y = = množny Y do c shluků takové, kteé mnmalzue funkc shlukovacího ktéa J(Γ) = { } ( ; =, K, c optmální J Γ ) = mn J ( Γ ) Y c n ( ) 2 J Γ = δ ( ) ( ) E y, m = J Γ ; y Γ = = c = I. Mázová: ATNS (NAIL03) 26 Γ

27 Dynamcké shlukování (3) Přemístění vzou y ze shluku Γ k do Γ : pokles hodnoty ktéa J(Γ) <=> n n + δ 2 E ( ) k 2 y, m < δ ( y, m ) ~ e-l y blíž k m než k n n k m k E k I. Mázová: ATNS (NAIL03) 27

28 Dynamcké shlukování (4) c-půměová metoda (k-means algotmus): Incalzace: Ténovací množnu Y lbovolně ozděl do c shluků Γ ; c Uč střední hodnoty příslušných shluků Γ ; c Kok : y m Y; zařaď do Γ, estlže δ E y, m = mn δ m k ( ) ( y, m ) Kok 2: Aktualzu ; c nastala změna středních hodnot? ANO: před na Kok NE: STOP y E k I. Mázová: ATNS (NAIL03) 28

29 Dynamcké shlukování (5) Infomace o stuktuře shluku: shluk Γ epezentován ádem K =, V ~ množna paametů defnuících K ( Δ y, K ) ~ mía podobnost vektou y a shluku Γ (epezentovaného ádem K ) => KRITÉRIUM: J ( Γ ) = Δ ( y ), K c n = = ( y ) V I. Mázová: ATNS (NAIL03) 29

30 Dynamcké shlukování (6) Dynamcký shlukovací algotmus: Incalzace: Ténovací množnu Y lbovolně ozděl do c shluků Γ ; c Uč áda K příslušných shluků Γ ; c y Y y ( ) ( K ) Kok : ; zařaď do Γ, estlže Δ y, K = mn Δ y, Kok 2: Aktualzu K ; c došlo ke změně K? ANO: před ke Koku NE: STOP k k I. Mázová: ATNS (NAIL03) 30

31 Dynamcké shlukování (7) Dynamcký shlukovací algotmus (pokačování): Konvegence algotmu za podmínky: J(Γ, K ) J (Γ, K ), estlže J(Γ, K ) J (Γ, K) J(Γ, K) hodnota funkce ktéa J(Γ) odpovídaící množně ade K = { K ; =,,c } Γ, Γ ozdělení ténovací množny Y získané př klasfkac pvků z Y pomocí množny ade K, esp. K K množna aktualzovaných ade K = { K ; =,,c } I. Mázová: ATNS (NAIL03) 3

32 Dynamcké shlukování (8) Dynamcké shlukovací metody sou obecně výpočetně velm výkonné a ataktvní po užvatele Nedostatky: zvolený model en zřídka odpovídá skutečné stochastcké stuktuře dat nežádoucí shlukování analýza dat pomocí co nevětšího počtu lbovolně zvolených ade a následná volba optmálního řešení úlohy Metody shlukové analýzy sou vhodné především ako postředek poskytuící nezávslou nfomac o stuktuře dat I. Mázová: ATNS (NAIL03) 32

33 Heachcké shlukování Na každém stupn shlukovacího pocesu splynutí dvou navzáem s nepodobněších shluků Na začátku e každý vzo z ténovací množny považován za samostatný shluk Na každém dalším stupn vytvoří dva navzáem s nepodobněší shluky eden shluk Poces plývání pokačue v následných stupních shlukové analýzy přtom se v každém stupn počet shluků sníží o Shlukovací pocedua končí, když sou všechny vzoy zařazeny do ednoho shluku I. Mázová: ATNS (NAIL03) 33

34 Heachcké shlukování (2) Mía podobnost Δ (Γ, Γ ) umožňue vyádřt vzáemný vztah shluků Nevíc užívané míy podobnost po heachcké shlukování sou defnovány vzdálenostm mez body v obazovém postou: Neblžší soused: ( ) Δ Γ, Γ = mn δ ( y, y ) y Γ, y Γ Nevzdáleněší soused: Δ Γ, Γ = ma δ y y Střed: Δ δ ( Γ, Γ ) = δ ( m m ) y, ( v ) ( ) ( ),, y Γ, y Γ e něaká metka I. Mázová: ATNS (NAIL03) 34

35 Heachcké shlukování (3) Heachcký shlukovací algotmus: Incalzace: Polož Γ = y Kok : Nad mez { Γ ; I } takovou dvoc shluků Γ, Γ k, aby: Δ Γ, Γ = mn Δ Γ, Γ Kok 2: Spo Γ s Γ k a vymaž Γ., y I, kde I = K Kok 3: Odstaň z množny ndeů I. Je-l kadnalta I dvě, ukonč algotmus. V opačném případě před ke Koku 2. { ; =,, n} ( ) ( ) k, l I l I. Mázová: ATNS (NAIL03) 35

36 Heachcké shlukování (4) Dendogam algotmus: Gafcké znázonění heachcké stuktuy shluků vytvořených heachckým shlukovacím algotmem (lustue posloupnost splývání shluků a odpovídaící hodnoty míy podobnost) Po lbovolný páh míy podobnost dostáváme shluky, echž podshluky maí míu podobnost ovnu přnemenším té pahové Volba pahové hodnoty: tak, aby ozptyl mez shluky byl podstatně větší než ozptyl uvntř shluků I. Mázová: ATNS (NAIL03) 36

37 Heachcké shlukování (5) Výsledky shlukové analýzy: Vlv mnoha faktoů: Mía podobnost: Neblžší soused: - spoování dvou ůzných kompaktních shluků Nevzdáleněší soused: - ctlvý na body vzdálené od centa shluku neschopnost detekovat potáhlé shluky Měřítko na osách, použtá metka, shlukovací ktéum, počet vzoů v analyzované množně, I. Mázová: ATNS (NAIL03) 37

38 Automatcká detekce shluků Cíl: Nalézt předem neznámé podobnost v datech! Vytvořt modely ozpoznávaící navzáem podobné vzoy Vhodné po počáteční analýzu dat Samooganzace - učení bez učtele I. Mázová: ATNS (NAIL03) 38

39 Ekonomky seskupené podle svých výsledků pata kupní síly hubý náodní podukt I. Mázová: ATNS (NAIL03) 39 ůst HDP

40 Analýza dat ze Světové banky: klastování podle fuzzy c-středů (fuzzy c-means clusteng)

41 FCM-klastování: úvod WDI-ndkátoy (ndkátoy vývoe ve světě) každoočně zveřeňovány Světovou bankou odážeí stav vývoe a pokoku v ednotlvých zemích neúplné a nepřesné údae (dříve) používané technky egesní analýza - lneání závslost kategozace států používaná v ozvnutých zemích(g. Ip, Wall Steet Jounal) kategozace zemí podle HDP (Světová banka) Kohonenovy mapy (T. Kohonen, S. Kask, G. Deboeck) I. Mázová: ATNS (NAIL03) 4

42 Mapa chudoby - T. Kohonen převzato z T. Kohonen: Self-Oganzng Maps, 3-d Edton, Spnge-Velag, 200 více neuonů než zemí význam maí en lokální geometcké vztahy státům zobazeným blízko u sebe odpovídá podobný stav vývoe I. Mázová: ATNS (NAIL03) 42

43 Mapa chudoby - T. Kohonen, S. Kask převzato z T. Kohonen: Self-Oganzng Maps, 3-d Edton, Spnge-Velag, 200 U-matce: znázonění hanc mez shluky vyadřue půměnou vzdálenost mez sousedním neuony pomocí ůzných úovní šed malá půměná vzdálenost světlý odstín velká pům. vzdálenost tmavý odstín I. Mázová: ATNS (NAIL03) 43

44 Náš cíl Efektvně klastovat nepřesná data Odhadnout počet shluků Vzualzovat výsledky Intepetovat výsledky I. Mázová: ATNS (NAIL03) 44

45 Náš cíl Efektvně klastovat nepřesná data Odhadnout počet shluků Vzualzovat výsledky Intepetovat výsledky fuzzy c - means shlukování (FCM) ndkátoy po valdtu klastů fomou spead-sheetu nalezení landmaks I. Mázová: ATNS (NAIL03) 45

46 Cílová funkce Odpovídá vážené vzdálenost mez vstupním vzoy a centy shluků: J s ( U, v ) fuzzyfkační paamet P c n = s ( u p ) p = = = stupeň členství stupněčlenstvímez0 a : 0 u p celkové členství vzou odpovídá : p shluky nesou pázdné an plné: ( p střed shluku v ) 2 vstupní vzo c = u p 0 < u < p = p P = P I. Mázová: ATNS (NAIL03) 46

47 I. Mázová: ATNS (NAIL03) 47 Fuzzy c-means shlukování (FCM) Kok : Incalzace c, s, ε a t. Zvolte náhodně. Kok 2: Učete nová centa fuzzy shluků: Kok 3: Vypočítete novou členskou matc : Kok 4: Vyhodnoťte Jestlže Δ > ε potom nahaďte t = t + a předěte ke Koku 2. Jestlže Δ ε potom Stop. KONEC FCM (0) U ) ( ) (, ) ( ) ( ma t p t p p t t u u U U = = Δ + + p s p t p p s t p t u u v = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + = c k s t k p s t p t p v v u / 2 ) ( / 2 ) ( ) ( ) / ( ) / ( ( +) t U

48 Ktéa po valdtu klastů Koefcent členské funkce: F ( U ; c ) = P Entope členské funkce: H ( U ; c ) = P Wndhamův popoční eponent: W ( U ; c) = P p = ln P c p = = P c μ p = = p = ( ) ( u p ) 2 u p ln( u + vzoy c shluky p ) ( μ ) ; u ln( u ) 0 fo u = 0. p stupeň členství p c = p I. Mázová: ATNS (NAIL03) 48 p ; μp = ma c { u } p

49 Kolk shluků? Koefcent členské funkce : ma c P Entope členské funkce: mn c P { ma [ F ( U ; ) ] } 2 U c { mn [ H ( U ; ) ] } 2 U c Wndhamůvpopoční eponent: ma c P pattons { ma [ W ( U ; ) ] } 2 U c clustes I. Mázová: ATNS (NAIL03) 49

50 Epementy - umělá data Indkátoy valdty shluků po umělá data Fuzzy 4-ozčlenění vzoů 2 vstupních vzoů, s =.4, ε = 0.05 odpovídá centeům shluků, vzoy ze stených shluků sou označeny steně I. Mázová: ATNS (NAIL03) 50

51 Epementy - umělá data Fuzzy 6-ozčlenění vzoů Fuzzy 8-ozčlenění vzoů odpovídá centeům shluků, vzoy ze stených shluků sou označeny steně odpovídá centeům shluků, vzoy ze stených shluků sou označeny steně I. Mázová: ATNS (NAIL03) 5

52 Intepetace výsledků! Chaactestcké vlastnost nalezených shluků: centa shluků - fktvní vzoy mmo předkládaná data kalbace shluků neepezentatvněším vzoy z ténovací množny - chaaktezace podle edného vzou Učt význačné vlastnost shluků: vzhledem k dalším vlastnostem příslušného shluku vzhledem k chaaktestckým vlastnostem ostatních shluků výmka: oblast u hanc fuzzy c-landmaks I. Mázová: ATNS (NAIL03) 52

53 Automatcký výbě landmaks * Fuzzy c-landmak po shluk : fuzzy vzdálenost od centa shluku by měla být malá fuzzy vzdálenost od všech ostatních cente shluků by měla být velká vstupní vzoy P * = ag mn vstupy n shluky mn p = c * u s * p P p = P p = u u p s * p s * p P p = v u p * s * p v ( *, ) * * I. Mázová: ATNS (NAIL03) 53 v centa shluků stupeň členství

54 Epementy: data ze Světové banky 99 států se 6 WDI-ndkátoy po každý z nch economcký a socální potencal zemí a ech obyvatel všechny ndkátoy sou elatvní vzhledem k velkost populace po složkách tansfomace vzoů do ntevalu (0,) pomocí: = ma mn mn volba dalších paametů (k=4; s=.4; ε=0.05) a = k ( / 2 ) mnmum přes všechny vzoy mamum přes všechny vzoy I. Mázová: ATNS (NAIL03) 54 + e

55 Použté WDI-ndkátoy HNP na obyvatele Pata kupní síly Růst HDP na obyvatele Implctní deflace HDP Vněší zadluženost (% HNP) Celkvé náklady na zadlužení (% z epotu zboží a služeb) Epot hgh-tech technologí (% z vyvážených výobků) Výdae na amádu a zboení (% HNP) Výdae na výzk. a výv. (% HNP) Celk. výd. na zdav. (% HDP) Veř. výd. na školství (% HNP) Očekávaná délka žvota u mužů Plodnost GINI-nde (ozdělení přímů a spotřeby) Užv. ntenetu na 0000 obyvatel Počet moblních telefonů na 000 obyvatel I. Mázová: ATNS (NAIL03) 55

56 Epementy: data ze Světové banky Indkátoy valdty shluků po data ze SB Indkátoy valdty shluků po data ze SB 99 zemí se 6 ndkátoy s =., ε = zemí se 6 ndkátoy s =.4, ε = 0.05 I. Mázová: ATNS (NAIL03) 56

57 Fuzzy 7-ozčlenění dat ze SB Ukázka fuzzy 7-ozčlenění dat ze Světové banky: 99 zemí se 6 ndkátoy; s =.4, ε = 0.05 I. Mázová: ATNS (NAIL03) 57

58 Landmaks po data ze SB Repezentatvní vzoy a fuzzy 7-landmaks po data ze Světové banky: 99 zemí se 6 ndkátoy; s =.4, ε = 0.05 I. Mázová: ATNS (NAIL03) 58

59 FCM-klastování: závě FCM-klastování efektvta a ktéa po valdtu shluků volba fuzzfkačního paametu kategozace a ozdělení ekonomk států (Wold Bank, Ip, Kohonen, Deboeck) Vzualzace hodnoty členské funkce topologcké vztahy Landmaks a ntepetace výsledků fomulace ktéí po vymezení tříd I. Mázová: ATNS (NAIL03) 59