Testování typ dat. T test, Mann-Whitney test, Wilcoxon test, Znaménkový test atd.
|
|
- Julie Bartošová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Testováí ty dat Sojitá čísla T test, Ma-Whitey test, Wilcoxo test, Zamékový test atd. Biárí data? Kategoriálí data? Výše zmíěé testy elze oužít Základí řístuy testováí lze ovšem oužít i a tato data Nulová a alterativí hyotéza Oe samle a two samle testy Aalýzy a biomickém rozložeí Aalýzy a Poissoově rozložeí Aalýza kotigečích tabulek
2 Biomické rozložeí
3 Alterativí rozložeí Π(x) Π ro X Π(x) - Π ro X Π(x) jiak X...jev Π -Π X
4 Biomické rozložeí X... celkový očet astáí jevu v ezávislých okusech E(x). Π D(x). Π (-Π) Π ~ jediý arametr distribuce určuje tvar distribuce Π,5 Π,
5 Biomické rozložeí - model ro zkoumáí výskytu sledovaého jevu... očet ezávislých oakováí (dotazů) X... očet lidí s jistým symtomem r zameá celkový očet astáí jevu v ezávislých exerimetech ~ π.. jediý arametr biomického rozložeí... relativí četost astáí jevu... určuje tvar distribuce r : r π,5 π, X Biomická roměá X X
6 Biomické rozložeí jako model Jev: arozeí chlace П,5 : rodia s 5 dětmi r:,,,3,4,5 chlaců! r () ( ) ( r ) r r!( r) P r r : r : r : P(r),35 5! 5! r q ( r) ( ) (,5 )! 5! (,5 ), 3 5! 4 ( ) (,5 )! 4! (,5 ), 565 X: Biomická roměá Střed rozložeí: Roztyl: D E ( x) ( x) ( ) Příklad: resodetů r má symtom ( x) E r 3: P(r),35 r 4: P(r),565 r 5: P(r),3 je střed rozložeí a ejravděodobější..hodota
7 Biomické rozložeí jako model P ( x r ) ( r ) ( r ) r q q - r!!!,3,3,5,3,5, 3,3,3,5,3,,5,,5,,5,,5,,5,,8,6,4,,,8,6,4, , ,,,8,6,4, , ,5,,8,6,4,,,8,6,4, ,
8 Alikace biomického rozložeí Výskyt kreví skuiy B v určité oulaci:,8 B ot B B ot B B B ot B ot B Number i blood grou B Probability,64,736,736,8464 Probability,5,4,3,, Biomial distributio showig the umber of subjects out of te i blood grou B based o the robability of beig i i blood grou B of, ,6 Number of subjects Probability,9,8,7,6,5,4,3,, Biomial distributio of umber of eole out of two i blood grou B Number: blood grou B i cases Probability,4,,,8,6,4, Biomial distributio showig the umber of subjects out of i blood grou B based o the robability of beig i i blood grou B of, Number of subjects
9 Alikace biomického rozložeí Poulace: 6% jediců má zvýšeou hladiu cholesterolu Výběr: 5 lidí I. Kolik lidí má ve výběru vyšší hladiu cholesterolu? II. Jaká je P, že rávě 3 lidé budou mít vyšší hladiu cholesterolu? ~ Tz. Výběr řesě odovídá daé oulaci? P(3)? (x) Jaká je P, že většia jediců (tedy miimálě 3) má vyšší hladiu cholesterolu? ~ Tz. výběr alesoň obecě odovídá zkoumaé oulaci?
10 Alikace biomického rozložeí Poulace: 6% jediců má zvýšeou hladiu cholesterolu Výběr: 5 lidí I. Kolik lidí má ve výběru vyšší hladiu cholesterolu?. 5.,6 3 lidé ~ E(x). (-), ~ D(x) II. Jaká je P, že rávě 3 lidé budou mít vyšší hladiu cholesterolu? ~ Tz. Výběr řesě odovídá daé oulaci? P(3)? P 5! 3 ( 3 ) (,6) (,4), 346 3! (5-3)! (x) P(3) 35% Jaká je P, že většia jediců (tedy miimálě 3) má vyšší hladiu cholesterolu? ~ Tz. výběr alesoň obecě odovídá zkoumaé oulaci? X P(X > 3) P(3) P(4) P (5),346,59,78 68 %
11 Odhad arametru Π biomického rozložeí Při víceásobém odhadu se arametr Π chová jako ormálě rozlože ; ϕ(x) ; 3;3 Π U malých ebo velkých hodot (Π) je však ředoklad ormality omeze ϕ(x) Π ϕ(x) Π
12 Odhad arametru Π biomického rozložeí I. vztahy ) Bodový ) Itervalový aroximace r ˆ ; ˆ π ( ) ˆ ˆ ˆ; s ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Z Z α α π ( ) ˆ : ± Z α π
13 Odhad arametru Π biomického rozložeí II. aroximace X: % jediců s daým zakem jediců r 6; ˆ,6 s ˆ,49 Iterval solehlivosti : 95 % Z,975,96,6,96,49 π,6,96,49 P,54 π,697 (,54 π,697), 95
14 Odhad arametru biomického rozložeí Itervalový odhad bez aroximací a ormálí rozložeí - I. Vztahy L r r ( ) ( ν; ν ) r F α sodí limit itervalu ν ( r ); r ν L ( ν ; ν ) ( r ) Fα ( ν ; ν ) r ( r ) F horí limit itervalu P α ν ν ( π ) α L L ( r ) ν ( r) ν
15 Odhad arametru biomického rozložeí Itervalový odhad bez aroximací a ormálí rozložeí - II. Příklad: Náhodý vzorek jediců. Zjištěo ouze r 4 jedici bez určitého zaku. ˆ 4, 95% iterval solehlivosti? Sodí hraice Horí hraice ν ( r ) ( 4 ) 394 ν ( r ) ν r 4 8 ν ( r ) ( 4 ) 39 F L ( 394 ;8 ) α 4 3,67 4 ( 4 ) 3,67,55 F L ( ;39 ) α,8 ( 4 ),8 4 ( 4 ),8,5
16 Biomické rozložeí v datech - shrutí П (x) ϕ(x) X Π Pravděodobost výskytu hodot X Modelové rozložeí odhadovaého arametru oakováí jev ANO jev NE П NE ANO Biárí odstata ůvodích hodot I. II. Iterval solehlivosti ro П
17 Two samle biomial test
18 Aalýza biárích ebo kategoriálích dat I. Biárí roměá ( / ) Kategoriálí roměá II I III : : 9 :,,9 I: II: 4 III: 5 : I, II,4 III,5
19 Aalýza biárích ebo kategoriálích dat II. I. Liší se odhad od ředokládaé hodoty P? II. Liší se dva ebo více odhadů? - závislé odhady - - ezávislé odhady - III. Je výskyt kategorií dvou jevů ezávislý? IV. Hodoceí relativího rizika z výskytu určitého jevu v rámci skuiy lidí
20 Jedovýběrový biomický test (Oe samle biomial test) H H A Testová statistika Iterval solehlivosti Π > Π z z > z -α Π < Π z z < z α Π Π z z > z -α/ Korekce a kotiuitu ( ) ( ) Z ˆ ˆ,5 ˆ ˆ ˆ ˆ π π H H A Testová statistika Iterval solehlivosti Π > Π r / > L Π < Π < L Π Π L ; L (F α/ ; F -α/ ) < L v > L,,,, ) ( ) ( v v v v F r r F r L α α,, ) ( v v F r r r L α
21 Test? π Stromy s ozměěým tvarem koruy 9 jediců r 5 změěých jediců Jak je ravděodobá změa u až /3 jediců? Z π ( ) 5, 5 3,75 9 8, 6 α 5 %; Z -α/,96; Z -α,645 Z > Z -α/ zamítáme H :,3 P <<, 95 % Iterval solehlivosti : (,4;,58)
22 Test? π Příklad testu bez aroximace a ormálí rozložeí jediců bylo zkoumáo ro výskyt určitého zaku, jediců zak emělo Jak hodě se teto výsledek liší od výsledku 6-6: tedy od situace, kdy olovia jediců zak má? a) Využití distribučí fukce r P(r),4,93,6,537,85,9335,559,9336,85,537,6,93,4 P (r ),6,393,4,98 H :,5 je tedy začě eravděodobá b) Pozorovaé ˆ,833 řekročilo horí limit 95 % itervalu solehlivosti ro : ( 6 ) 6 ( 6 ),64,5 : L,64,755
23 Dvouvýběrový biomický test (? ) ( ) ( ) ˆ ˆ Z ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ Z ± α
24 Dvouvýběrový biomický test (? ) Teto říklad je ůvodí ukázkou testováí rozdílů mezi dvěma biomickými oulacemi (tedy srováí dvou odhadů arametru ). Celkem 49 okusých myší bylo oužito k testováí toxického rearátu během dvouměsíčí kultivace. Následující tabulka obsahuje ůvodí data zároveň s testem ulové hyotézy: Podíl řežívajících jediců je u zasažeé oulace stejý. Alive Dead Total Proortio alive Proortio dead Treated ˆ,65 qˆ,375 Not Treated 5 5 Total ˆ ˆ,4, 5 qˆ qˆ,6, 49,65,4,5 Z,573 Z,5() t,5(),96 (,5) (,49) (,5) (,49),43, Nezamítáme H :, < P <, S korekcí 5,5,5 4 5,64,4 a kotiuitu: Z,87 Z,5() t,5(),96,43,43 Nezamítáme H :, < P <,
25 Aalýza kotigečích tabulek
26 Test dobré shody - základí teorie Biomické jevy (/) χ () ozorovaá očekávaá četost - četost očekávaá četost ozorovaá četost - očekávaá četost očekávaá četost Příklad I. jev II. jev lidí hází micí rub: 4 říadů (R) líc: 6 říadů (L) Lze výsledek ovažovat za statisticky výzamě odlišý (ebo eodlišý) od očekávaého oměru R : L :? χ ( ) ( 4 5 ) ( 6 5 ) 5 χ (,95) 5 4 Tabulková hodota: ( ν ) 3,84 (,95 α ) Rozdíl je vysoce statisticky výzamý ( <<,]
27 Kotigečí tabulka x B P Kotigečí tabulky - H : Nezávislost dvou jevů A a B ( A B) P( A) P( B) - Podíl () a b - c d Podíl () A a ( a c ) b ( b d ) a ( a b ) c ( c d ) N a b c d P P ( ) ( a b ) B N ( ) ( c d ) B N Očekávaé četosti: ( a b) ( a c) F( A ) N ( a b)( b d ) F( B ) N ν s P ( A) ; P( B ) ( a c) ( d c) F C ) N 4 ( ( f F ) ( b d ) ( c d ) F( D ) N očet arametrů χ ν χ i i F i ( f F, ) ij ij 5 c Fij i
28 x kotigečí tabulka - říklad (α,5) ge Ao Ne Σ Ao 8 Ne Σ F A * 3 / 66 8,43 F B * 36 / 66 83,57 F C,57 F D 5,43 ( 8,43) ( 883,57) (,57) ( 545,43) () χ( ),43,43 < χ,95 3, 84 8,43 83,57,57 5,43 Kotigečí tabulka v obrázku b: 6% a: % c: 49% % Ge: ANO 8 % Ge: NE 84,4 5,6 d: 33% Zemřelí Žijící Zemřelí Žijící
29 R x C kotigečí tabulka Výběr: N lidí ze sociologického růzkumu (delikveti) Jev A: Původ z rozvráceých rodi Jev B: Stueň zločiosti I < II < III < IV A B I. II. III. IV. ANO a b c d Σ číslo NE e f g h Σ číslo Stuě volosti: (R-) * (C-) * 3 3 číslo číslo F a N Tabulky: ( ν ) χ( α ) Očekávaé četosti: a a a e b b b f c c c g d d d h
30 Kotigečí tabulky Příklad Ověřte a datech z okusu se květikami určitého druhu, že barva květů se geeticky štěí v oměru žlutá : červeá 3 :. H : Pozorovaá frekvece ro jedotlivé barvy květů jsou vzorkem oulace mající oměr mezi žlutými a červeými květy 3 :. Součet frekvecí u obou barev květů (f i ) se rová a ozorovaé frekvece u kategorií barvy budou srováy s očekávaými frekvecemi (uvedey v závorkách): Kategorie barvy Žlutá Červeá f oz χ ( f oz. foč. ) ( 84 75) ( 6 5) f oč ,3 f oček St. volosti k - Zamítáme hyotézu shody srovávaých četostí Při testováí H jsme oužili matematický záis (,5 < P <,5). Z tabulek χ rozložeí vidíme, že ravděodobost řekročeí hraice,76 je, ( %), což může být stručě zasáo jako P (χ,76),. Dále lze zjistit ro P (χ 3,84),5. V řešeé úloze jsme dosěli k hodotě testové statistiky χ 4,3. Pro teto říad lze tedy sát,5 < P (χ 4,3) <,5; a jedodušeji,5 < P <,5. Jde v odstatě o řibližé určeí hraic chyby. druhu.
31 Kotigečí tabulky Příklad Teto říklad je rozšířeím roblému z říkladu a srováí ozorovaých a očekávaých frekvecí ro více kategorií sledovaého zaku: Celkem bylo zkoumáo 5 seme určitého druhu rostliy a roztříděo do ásledujících kategorií: žluté/hladké; žluté/vrásčité; zeleé/hladké; zeleé/vrásčité. Předokládaý oměr výskytu těchto kategorií v oulaci je 9 : 3 : 3 :. Následující tabulka obsahuje ůvodí data z ozorováí a dále ostu ři testováí H. žluté/hladké žluté/vrásčité zeleé/hladké zeleé/vrásčité f oz f oček. 4,65 46,875 46,875 5,65 ν k - 3 χ,375 4,65 7,875 46,875 6,5 46,875 9,65 5,65 8,97 Zamítáme hyotézu shody ozorovaých četostí s očekávaými
32 Testy dobré shody - říklad Příklad 3 Složitější říklady řešeé srováváím frekvecí je možé rozdělit a testováí dílčích hyotéz: Předokládejme, že chceme ro data z ředchozí úlohy testovat hyotézu existece štěého oměru 9 : 3 : 3 ro rví tři kategorie seme: žluté/hladké žluté/vrásčité zeleé/hladké f oz k - f oček. 46,4 48,8 48,8 χ 5,6 46,4 9,8 48,8 4, 48,8,544 Nezamítáme hyotézu shody ozorovaých četostí s očekávaými. Nyí otestujeme hyotézu štěého oměru kategorií zeleé/vrásčité:ostatí tyy :5 zeleé/vrásčité ostatí f oz f oček 5,65 34,375 k - χ 9, 65 5, 65 9, 65 34,375 6,34 Zamítáme hyotézu shody ozorovaých četostí s očekávaými.
33 Příklad Test dobré shody ro více kategorií využití aditivity testu U 93 árů dvojčat byly zjištěy ásledující oměry ohlaví: 56 Ch - Ch 7 Ch H 65 H - H Za ředokladu, že arozeí chlaečka má stejou ravděodobost jako arozeí holčičky, lze očekávat oměry ro výše uvedeé skuiy,5 :,5 :,5. Ověřte teto ředoklad a uvedeém vzorku oulace. Σ 93 árů /4 : / : /4 očekávaé četosti 48,5 : 96,5 : 48,5 Proč lze v ředchozím říadě očekávat zamítutí H? χ ( ) 3,8 Testujte ásledující hyotézy: ) Jsou relativí očty árů se shodým ohlavím ve shodě s očekávaými četostmi? (igorujte Ch H áry) ) Je relativí četost kombiace Ch - Ch a H - H árů oroti árům s rozdílým ohlavím ve shodě s očekávaými četostmi? Σ árů : očekávaé četosti 6,5 : 6,5 χ ( ),669 Σ 93 árů : očekávaé četosti 96,5 : 96,5 χ ( ), 44 H Ch H Ch
34 Test dobré shody - říklad Města - zatížeí exhalacemi - třídy (A > B > C > D) Svět: A : B : C : D : 3 : 6 : 4 Kokrétí země ( 84 měst): A : B : C : D 3 : 5 : 8 : 6 H : shoda f i a F i a,5 F A : 64,3 F C : 9,39 F B : 96,9 F D : 8,7 χ ( 3 64,3 ) ( 6 8,7 ) ( 3 ) K K K 64,3 Tabulky : χ ( ν ) ( 3 ) α χ,95 8 7,8,7 49,6 Absolutí hodota Zamítáme hyotézu shody ozorovaých četostí s očekávaými. Přísěvek kategorií A, B, C, D k celkové hodotě χ % A B C D A B C D
35 Test homogeity více biomických rozložeí Jev: Úmrtost a leukemii Předoklad: Π,6 Absolutí četost jevu ozačea r i Sledovalo s autorů z s zemí: Autor i r i i... s i N Test homogeity biomických rozložeí χ S S i ( ri i ri ) ( ) Po možém sloučeí s výběrů χ () r i N Π N Π ( Π ) Test shody reálého r ( r i ) a Π
36 Příklad aalýzy homogeity biomických četostí Pomocí χ rozložeí lze rověž osuzovat homogeitu většího možství ezávislých okusů testujících tutéž hyotézu. Bylo rovedeo 6 ezávislých výběrů z oulace mladých mužů, kteří v dětství oemocěli těžkým záětem mozkových bla. H : V této oulaci se vyskytují raváci a leváci v oměru :. Nalezěte v literatuře říslušé vztahy ro testováí homogeity všech šesti výběrových oulací a a základě výsledků tohoto testu rozhoděte o dalším ostuu. Vzorek Praváci Leváci χ St. volosti Následující tabulka obsahuje ůvodí data a výsledek testováí (v závorkách jsou uvedey očekávaé četosti): 3 (7) (7) 4 4,574 4 (8) (8) 6 4, 3 5 () 5 () 5, 4 4 (9) 4 (9) 8 5, (8,5) 4 (8,5) 7 4, () 5 () 6,5455 χ heterogei ta ν s 3,36 5 P <, Jedoduchým testováím lze zjistit, že všechy testy ro jedotlivé výběry jsou výzamé, což zameá, že ai v jedom říadě ebyla otvrzea shoda očekávaých a ozorovaých četostí. Test homogeity štěého oměru v zkoumaých oulacích rověž vedl k zamítutí možosti sloučit jedotlivé výběry a osuzovat je jako celek (kromě testovaého oměru : eexistuje tedy v datech žádý jiý jedotý štěý oměr mezi oběma vlastostmi. V říadě, že by teto test erokázal odchylky mezi jedotlivými výběrovými oulacemi, bylo by možé jedotlivé odběry sloučit a osuzovat jako homogeí vzorek.
37 χ test - říklad složitější kotigečí tabulky I. Caffeie cosumtio ad marital status i ateatal aties (from Marti ad Bracke, 987) Caffeie cosumtio (mg/day) Marital status > 3 Total Married Divorced, seared or widowed Sigle Total Caffeie cosumtio ad marital status data Caffeie cosumtio (mg/day) Marital status > 3 Total Married % 5 % % 8 % 39 ( %) Divorced, seared or widowed 6 % 33 % 7 % 5 % 4 ( %) Sigle 3 % 46 % 5 % 9 % 78 ( %) Total 3 % 49 % 9 % 8 % 3888 ( %)
38 χ test - říklad složitější kotigečí tabulky II. Exected frequecies Caffeie cosumtio (mg/day) Marital status > 3 Total Married 75, , 57, 39 Divorced, seared or widowed 3,9 69,3 6,9, 4 Sigle 67,3 35,7 37 6,9 78 Total Cotributios of each cell Caffeie cosumtio (mg/day) Marital status > 3 Total Married 4,,6,69,89 7,3 Divorced, seared or widowed,3 7,8 4,57 6,8 9,5 Sigle 5,36,88 7,,6 4,86 Total 9,77,3,8 8,3 5,66
39 χ test - říklad frakcioace složitější kotigečí tabulky I. Cílem rozsáhlejšího růzkumu oulace bylo rozkoumat vztah mezi dvěma tyy chorob a krevími skuiami u lidí. Kokrétí data jsou uvedea v tabulce: Kreví skuia Žaludečí vředy Rakovia žaludku Kotrola Celkem A B Celkem Vyočítejte testovou charakteristiku ro tuto kotigečí tabulku a otestujte ulovou hyotézu ezávislosti jevů (χ 4,54; 4 st. volosti)
40 χ test - říklad frakcioace složitější kotigečí tabulky II. K odrobějšímu růzkumu složitějších tabulek výrazě aomáhá řeis ůvodí tabulky do odoby rocetického zastoueí kategorií: Kreví skuia Žaludečí vředy Rakovia žaludku Kotrola Z této tabulky je atré: A B Celkem Jsou jeom malé rozdíly v distribuci krevích skui u kotroly a u skuiy emocých rakoviou žaludku. Pacieti s vředy mají mohem častěji kreví skuiu. Na základě těchto ozatků je možé sestrojit meší kotigečí tabulku, která otestuje hyotézu o shodé distribuci krevích skui ro emocé rakoviou a ro zdravé lidi. Sestavte tuto tabulku a otestujte ulovou hyotézu. (χ 5,64 ( st. v.), P je řibližě rova,6)
41 χ test - říklad frakcioace složitější kotigečí tabulky III. Z tohoto dílčího testu vylývá možost sloučeí skuiy emocých rakoviou a zdravých lidí eboť se vzhledem k distribuci krevích skui chovají jako homogeí oulace. Dalším logickým krokem v odrobé aalýze je testováí shody relativích četostí výskytu krevích skui A a B mezi kombiovaým vzorkem (sloučeá skuia s rakoviou a kotrola) a mezi vzorkem lidí emocých žaludečími vředy - tz. yí euvažujeme kreví skuiu. Výsledkem tohoto testu je χ,68 ( st. vol.); P >,7. Vzorky ro kreví skuiy A a B lze tedy sloučit do směsého vzorku A B. Nyí otestujeme shodu relativích četostí výskytu skuiy oroti A B, a to mezi kombiovaou oulací (kotrola emocí rakoviou) a mezi vzorkem emocých vředařů (χ 34,9; st. vol.). Lze tedy shrout, že vysoká hodota ůvodího χ se 4 st. volosti byla zůsobea zvýšeou četostí lidí s kreví skuiou mezi emocými žaludečími vředy.
42 χ test - říklad frakcioace složitější kotigečí tabulky IV. Průběh hodoceí lze shrout do tabulky: Srováí St. volosti χ, A, B skuia u acietů s rakoviou (r) x kotrola (k) 5,64 A, B skuia u acietů s vředy x kombiovaý vzorek (r k),68, A, B skuia u acietů s s vředy x kombiovaý vzorek (r k) 34,9 Celkem 4 4,6 Celkový součet testových statistik χ (4,6) odovídá řibližě ůvodí hodotě χ (4,54). Což latí i o stuích volosti (4). Tato skutečost otvrzuje, že jsme detailím rozborem vyčerali iformačí obsah ůvodí kotigečí tabulky a kromě osaé závislosti (zvýšeý výskyt kreví skuiy u lidí s žaludečími vředy) jsou jedotlivé kategorie zkoumaých jevů zcela ezávislé.
43 Kotigečí tabulka x : Řešeí ři edostatečé velikosti vzorku Yates' corectio Fisher's exact test H : Nezávislost jevů Test aalyzuje všechy možé x tabulky, které dávají stejou sumu řádků a slouců jako tabulka zdrojová. Algoritmus každé tabulce řiřazuje ravděodobost, že taková situace astae, je-li H ravdivá. Sectacle wearig amog juveile deliquets ad o-deliquets who failed a visio test (Weidlig et al., 986) Juveile deliquets No- deliquets Total Sectacle wearers Yes No Total
44 Kotigečí tabulka x : Řešeí ři edostatečé velikosti vzorku All tables of frequecies which have the same row ad colum totals Probability associated with each set of frequecies (I) 6 (V) 4 a b c d P (II) (III) (VI) (VII) ( I ) 6 9,87 ( II ) 5 8,36 ( III ) 4 7 3,5734 ( IV ) ,3673 ( V ) 4 5 5,334 ( VI ) 5 4 6,4 ( VII ) 6 3 7,49 Total,99999 (IV)
45 x frekvečí tabulka ro árové usořádáí (Mc Nemar's test - matched variables) Příklad: Srováí metod staoveí atigeu v krvi (atige vždy řítome) H : metoda metoda Metoda Metoda Frekvece úsěch úsěch úsěch eúsěch 6 eúsěch úsěch 4 eúsěch eúsěch χ ( 6 4 ) ( c ) Tabulky : χ ( ν ) α,83 3,84 H ezamítuta
46 Alikace aalýzy x tabulky ro hodoceí rizika I. Prosektiví studie - odhad relativího rizika Jedici jsou sledovái rosektivě, zda se vyskyte ějaká vlastost. VÝBĚR JE DÁN SLOUPCEM OBECNĚ PŘÍKLAD Zak Riziko: RR Skuia Skuia ANO a b NE c d a ( a c ) b ( b d ) a b ( a c) ( b d ) H : RR Agar skore > 7 RR ANO NE / 6 33 / 9 Symetrická 4 Retardace lodu Asymetrická /6,3 33/9,36,345 Riziko u "symetrické skuiy" je asi 35 % rizika u asymetrické skuiy SE ( l RR ) a a IS: l RR - Z -α/. SE (l RR) l RR Z -α/. SE (l RR) c b b d
47 Alikace aalýzy x tabulky ro hodoceí rizika II. Retrosektiví studie - "ODDS RATIO" Zcela zásadě odlišý řístu od retrosektiví studie VÝBĚR JE DÁN VLASTNOSTÍ - ŘÁDKEM Neí tedy možé aalyzovat relativí riziko, rotože říravou řádků můžeme měit velikost kotrol. OBECNĚ PŘÍKLAD Skuia Skuia Vady chruu ANO NE Zak ANO a b NE c d odds a/c b/d Plaváí týdě > 6h 6h Odds ratio : a b / / c d SE(l OR) a b c d OR ( 3 /7)/ ( 8 /7), 6 ( OR ), 76 l SE ( l ( OR )), 36
48 Srováí dvou relativích četostí u árově usořádaého okusu (air - matched grous) Situace: Skuiy ejsou ezávislé OBECNĚ Výskyt jevu Skuia Skuia Počet árů a - b - c - - d Drogy - - PŘÍKLAD Potíže se saím Kotrola - - Frekvece 6 D 7/3 K 3/3 ( a b) áry ( a c) ( 3 7 ) / 3, 875 K / / SE b c ( ) ( b c) b c ( b c ) b c Z / SE D ( K ), 3 D 3 9 Z, (,8)
49 Poissoovo rozložeí
50 Poissoovo rozložeí Celkový očet jevů v ezávislých okusech E(x) } E(x) D(x) D(x) µλ P () r e µ r r µ λ λ e r! r! růměrý očet jevů z okusů P µ ( X ) e P ( X ) e µ µ P ( X ) e µ µ P ( X 3 ) e µ (3)( ) 3 µ P ( X 4) 4 e µ µ (4)(3)()
51 Poissoovo rozložeí jako model P ( x r ) e λ r λ r!,,7,9,8,7,6,5,4,3 λ,,9,8,7,6,5,4,3 λ,,6,5,4,3, λ,5,,,,, ,4,35 λ,,8 λ 5,4, λ,3,5,6,4,,,8,,5,,8,6,,5,6,4,,4,
52 Poissoovo rozložeí v řírodě existuje Mutace bakterií a ikubačích miskách Orietačí staoveí jevu (ři rodukci lyu bakteriemi) Výskyt jevu v rostoru (očet žížal a určitou lochu ole) - - The most robable umber techique Výskyt jevu v čase (srdečí arytmie v určitých časových itervalech) čas
53 Poissoovo rozložeí jako model ro áhodý výskyt jevů Předoklad: áhodá distribuce jevu mezi studovaými objekty (ří. v čase, v rostoru). σ < µ σ > µ σ µ Uiform Clustered Radom Poisso Pokud je λ síše větší (~ 5 - ), ak Poisso odovídá síše biomickému až ormálímu rozložeí.
54 Formálí rezetace Poissoova rozložeí Př: okus... bakterií a misce misek Jev: mutace (r5) λ...růměrý očet mutatů a jedu misku r 5 x λ 5/,5 95 % IS: x Z x λ x Z α α x,5,96,5 λ,5,96,5,5 λ 3,48
55 Poissoova áhodá roměá Při měřeí očtu krviek změěých určitou chorobou (relativě vzácé) je ozorová zředěý vzorek krve od mikroskoem v komůrce rozděleé a stejě velká ole. Sledovaá veličia, udávající očet krviek v i-tém oli může být ovažováa za rozděleou odle Poissoova rozložeí: 69 očet ezávislých ozorováí roměé r očet ozorovaých krviek Jaká je hodota arametru λ Poissoova rozložeí a jaká je jeho iterretace? Jaký je iterval 95% solehlivosti ro arametr λ? Pokud bychom sledovali celkový očet červeých krviek (oět v 69 ezávislých olíčkách), bylo by i tuto roměou možo ovažovat za rozložeou odle Poissoova rozložeí? Uvažujte celkový očet ozorovaých krviek jako 3. Výočet itervalu solehlivosti ro λ (bez aroximace a ormálí rozložeí) Sodí hraice IS Horí hraice IS L χ α ( f r ) L χ α ( f f )
56 P Poissoova áhodá roměá Kostatí zářič: 68 časových itervalů (každý 7,5 s) i: očet částic v itervalu (x) s i : ozorovaá četost itervalů s i částicemi i λ e i! λ ( x i) ~ i Poissoova roměá: * Výborý model ro exerimety, v ichž je během časového růběhu zjišťová očet výskytu určitého jevu i Počet itervalů s rávě i zazameaými částicemi s t teoretické četosti i 54,399,53 47,36 55,496 58,48 393,55 53,87 4,35 67,88 9,89 7,75 ( P{ ξ }) 68, ( s ) i i,44,688,4568,5,938,533,4498,5 7,73,64,677 i,8849
57 Alikace Poissoova rozložeí Number of crimes er day i three aeras of Idia durig 978 to 98(Thrakur ad Sharma, 984) showig observed frequecies (Obs) ad exected frequecies usig the Poisso distributio (Ex) Number of crimes Full moo days Obs Ex , 63, 44,3,7 7,,,5, 83,4,6 New moo days Obs Ex ,8 56,4 4,,4,3 86,5,75 Comariso of distributios of crimes o the ew moo days (Thrakur ad Sharma, 984) ad umber of deaths i a Motreal hosital i 97 (Zweig ad Csak, 978) 3 4 Total Mea SD Crimes o ew moo days i Idia % Frequecy 6,3 3, 5,9,, ,55,75 Deaths er day i Motreal hosital % Frequecy 6,3 3, 6,3,,3, ,5,736 Exected distributio Poisso (,5) 6, 3,6 7,8,3, 99,9%
58 Poisso distributio: oe - samle test P ( r ) Př: Počet hízd křeelek a daé loše 8 "od lokalit" r 8 } ^,35 ( e λ r λ ) r! ) Vzít data jako ocházející z oulace: P( r e 8) 6 6 8! 8,9 Nechť je srovávací soubor (ředchozí růzkum) ) P( r 8)? } < [,4 ],5 > H o zamítuta o, o 8 6 µ λ r 8 je říliš velké ro oulaci s o H : ~ µ o o 6? > o, aby r 8 bylo ravděodobější
PRAVDĚPODOBNOST ... m n
RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:
VíceNárodní informační středisko pro podporu kvality
Národí iformačí středisko ro odoru kvality Testováí zůsobilosti a výkoosti výrobího rocesu RNDr. Jiří Michálek, Sc Ústav teorie iformace a automatizace AVČR UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI 3 UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI
VícePřednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění
Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení
S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:
Vícemůžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.
RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout áhodé rocesy. Náhodé okusy: rocesy,
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Více11 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Základní pojmy
EOVÁNÍ YPOÉZ. Základí ojmy V Kaitole jsme se sezámili s ostuem, jak odhadout ezámé arametry základího souboru oulace v říadě, že emáme k disozici všechy jeho rvky, ale je jeho část - áhodý výběr. V raxi
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hyotéz Př statstckých šetřeích se často setkáváme s roblémy tohoto druhu () Máme zjstt, zda dva daé vzorky ocházejí z téhož ZS. () Máme rozhodout, zda rozdíly hodot růměrů (res. roztylů)
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceKatedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti
Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceZ mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů.
1. Příklad Hodíme 60krát šestistěou hrací kostkou. Jedotlivé stěy padly v ásledujícím poměru: 7:9:10:6:15:13. Proveďte test a 5% hladiě výzamosti, zda je kostka v pořádku. H 0 : π 1 = 1/6, π = 1/6, π 3
Více2. Úvod do indexní analýzy
2. Úvod do idexí aalýzy 2.. Motivace Tato kaitola se zabývá srováváím ukazatelů v datových souborech, které se liší buď časově ebo rostorově ebo věcě. Nejdůležitější je srováváí ukazatelů z časového hlediska.
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
Více8. cvičení 4ST201-řešení
cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VícePřednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?
Více9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:
9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
VíceTESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
Více3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma
3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho
Více1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.
ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
Více8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy
cvičící 8. cvičeí 4ST1 Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST1 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
Více2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE
STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
VíceTestujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:
Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché
Vícevají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví
Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Vícevají statistické metody v biomedicíně
Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk
VíceSměrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec
Směrice /0 Statitické vyhodocováí dat, verze 3 Verze 3 e hodá ůvodí Směricí /0 verze, za čl..3 e vlože ový odtavec. Statitické metody ro zkoušeí zůobiloti Statitická aalýza oužívaá ro aalýzu výledků zkoušky
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
Více0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)
. Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě
Více8.2.10 Příklady z finanční matematiky I
8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do
Více1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE
ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceTéma 6: Indexy a diference
dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -
VíceIntervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním
Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí
VíceKvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)
Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.
Více2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
VíceZpůsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost
Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány
VíceVícekanálové čekací systémy
Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve
VíceVaR analýza citlivosti, korekce
VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 VaR aalýza citlivosti, korekce Fratišek Vávra, Pavel Nový Abstrakt Práce se zabývá rozbory citlivosti ěkterých postupů, zahrutých pod zkratkou
Víceb c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d
Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
VíceOdhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení
Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceOVMT Přesnost měření a teorie chyb
Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.
VíceKapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech
Kapitola 6 : Neparametrické testy o mediáech Cíl kapitoly Po prostudováí této kapitoly budete umět - provádět testy hypotéz o mediáu jedoho spojitého rozložeí - hodotit shodu dvou ezávislých áhodých výběrů
VíceCo je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika
Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má
VíceMOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ
PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceEKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model
EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ
Více7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace
7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší
VíceJihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová
Jihočesá uiverzita v Česých Budějovicích Pedagogicá faulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rada Glücsmaová Česé Budějovice, rosiec 7 Na tomto místě bych ráda oděovala vedoucímu baalářsé
Více8.3.1 Vklady, jednoduché a složené úrokování
8..1 Vklady, jedoduché a složeé úrokováí Předoklady: 81 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
Více6.1 Systémy hromadné obsluhy
6. Systémy hromadé obsluhy Proces usoojováí áhodě i hromadě vziajících ožadavů a obsluhu se azývá roces hromadé obsluhy. Předmětem teorie hromadé obsluhy, ědy taé ozačovaé jao teorie frot (z aglicých slov
VíceTeorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4
Metody odhadováí parametrů. Metoda mometů. Maximálě věrohodé odhady. Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceEntropie, relativní entropie a sdílená (vazební) informace
Etroie, relativí etroie a sdíleá vazebí iformace Pojem iformace je říliš rozsáhlý a to, abchom jej komleě osali jedoduchou defiicí. Pro libovolou distribuci ravděodobosti můžeme defiovat tzv. etroii, jež
Více13 Popisná statistika
13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický
Více