STOCHASTICKÁ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH PROCESŮ V MATLABU
|
|
- Tomáš Jaroš
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 STOCHASTICKÁ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH PROCESŮ V MATLABU David Kvapil UNIS, a.s., Brno Absrak Příspěvek popisuje sochasickou analýzu a malabovské modelování nesacionárních procesů v echnomerii. Sumarizují se známé poznaky o sabilizaci rendu i rozpylu, navrhuje se možný způsob řešení siuace, kdy daa vykazují nesacionariu ve sřední hodnoě i v rozpylu. Empiricky zjišěná provozní eplárenská daa, vořící vysokofrekvenční časové řady, se vyznačují v čase proměnlivou variabiliou (měnlivá volailia), což vede k vážným problémům při použií klasických lineárních (S)AR(I)MA modelů (nesplnění homoskedasiciy a normaliy). Jsou pozorovány shluky volailiy, je indikováno lepokurické pravděpodobnosní rozdělení. Je použio GARCH modelování, pracující s (v čase se měnícími) podmíněnými saisikami podmíněnou sřední hodnoou a podmíněným rozpylem. Pro samonou analýzu byly vyvořeny vlasní malabovské skripy, sejně jako jsou využívány běžné malabovské funkce saisického, opimalizačního a GARCH oolboxu. Na provozních daech je konkréně demonsrován posup při vybudování GARCH modelu. Sabilizace rendu Při modelování reálných provozních eplárenských da se dospělo k siuaci, kdy zkoumané časové řady měřených fyzikálních veličin vykazovaly nesacionariu ve sřední hodnoě i nesacionariu v rozpylu. Pokusíme se sumarizova známé poznaky o sabilizaci rendu i rozpylu, navrhnou možný způsob řešení akovéo siuace a na ukázkovém příkladě naznačíme konkréní posup sochasické analýzy a modelování ARCH procesů v Malabu. Pro procesy nesacionární ve sřední hodnoě rozlišujeme deerminisický rend a sochasický rend. U deerminisického rendu chápeme nesacionariu jako funkci času, j. k modelování používáme např. polynomický rend, příp. periodický rend f d d, resp. f p cos sin j j j j j ARMA p, q : B Y B je požadováno, aby proces byl kauzální, j. p všechny kořeny polynomu z z... pz ležely vně jednokové kružnice. Pokud nějaký kořen leží na jednokové kružnici, mluvíme o procesu nesacionárním se sochasickým rendem, pokud leží uvniř jednokového kruhu, mluvíme o nesacionárním procesu explozivního ypu. Nesacionární proces obsahující sochasický rend lze převés na sacionární diferencováním. Zavedeme diferenční operáor Pro modely Y Y Y B Y, Y Y Y Y Y Y Y B Y, d d d d d Y Y Y Y... Yd B Y. Nesacionární proces se sochasickým rendem se nazývá inegrovaný smíšený model ARIMA p, dq,, formálně jej zapisujeme pomocí operáoru zpěného chodu
2 a položíme-li d ARIMA pdq,, : B B Y B d W B Y, pak je W sacionární ARMA, p q proces. Poznamenejme, že číslo d nemusí bý obecně celé. Pak jej nazýváme frakcionální paramer, d d B vyjadřuje frakcionální diferenci a hovoříme o frakcionálně inegrovaných operáor procesech ARFIMA p, dq,. Jde o procesy s dlouhou paměí, jejich charakerisickou vlasnosí je, že hodnoy ACF neklesají s rosoucím zpožděním exponenciálně, ale hyperbolicky. Sabilizace rozpylu Procesy, kde není splněna podmínka neměnnosi rozpylu v čase (homoskedasicia), je věšinou možné vhodně ransformova. Siuace nesabilního rozpylu nasává především v případech, kdy náhodná veličina Y má rozdělení závislé na jediném parameru, kerý obecně nemusí mí pro všechna sejnou hodnou. Hledá se pak neriviální funkce g ak, aby náhodná veličina Z gy měla rozpyl nezávisející na. Tao úloha obecně nemá řešení, používá se však určiých užiečných aproximací. Při předpokladu exponenciální závislosi směrodané odchylky na sřední hodnoě 0 se nejčasěji se uvažují případy od 0 (řada je homoskedasická) až po (pak exisuje lineární závislos). Při volbě lze odsrani heeroskedasiciu (pro řadu Y 0 ) např. jednou z následujících ransformací: Box Coxova mocninná ransformace příp. mocninná ransformace Z Z Y pro 0, ln Y pro 0, Y pro 0, ln Y pro 0. Pokud hodnoy náhodné veličiny nejsou kladné, můžeme použí jednu z následujících ransformací: Box Coxova mocninná ransformace s posunuím Z Y a pro 0, ln Y a pro 0, kde a je akové reálné číslo, aby všechny realizace byly kladné, příp. mocninná ransformace se znaménky Z Y sgn Y pro 0, sgn Yln Y pro 0. Poznamenejme ale, že při nesplnění podmínky Y 0 nebo když pozorované hodnoy jsou blízké nule, je možno řadu ransformova posunuím pouze s vědomím značného rizika znehodnocení původní řady a znevěrohodnění výsledného modelování. Navíc mocninná ransformace není spojiá pro 0, proo je řeba se vyhýba malým nenulovým hodnoám parameru.
3 Odhad ransformačního parameru mocninné ransformace se pak provede pomocí maxima logarimu věrohodnosní funkce n n l ln s ln yi, kde s ˆ, i yi 0, zi ln yi 0, pro ekvidisanní hodnoy... m (pro dosaečně velké m ) z vhodně zvoleného inervalu, vypočíá hodnoy l,, kde, R, a hodno. Bylo odvozeno asympoické rozdělení saisiky ˆ a hledá argumen ˆ maxima ěcho K l l ~ a lze ako zkonsruova jednosranný asympoický inerval spolehlivosi pro paramer ˆ ˆ P K P l l P l l j. všechna splňující nerovnos ˆ l D l leží v inervalu spolehlivosi a jsou edy přijaelná. Tesování hypoéz: esujeme H 0 : 0 proi alernaivě H: 0. Nejdříve budeme esova H :. Pokud 0 H 0 nezamíneme, j. l D, nemusíme daa ransformova. Pokud předchozí hypoézu zamíneme, můžeme esova další H : 0. Pokud 0 H 0 nezamíneme, j. l 0 D l D, ransformace bude ve varu z ln y. Pokud však bude ˆ 0, provedeme ransformaci i i l D l D z y ˆ. Algorimus pro řešení prakických úloh:. Zkonrolujeme vsupní daa, aby byla nezáporná, jinak příp. přičeme kladnou konsanu.. Vekor da rozložíme na kráké úseky o délce 4 až údajů. 3. V každém úseku provedeme robusní odhady sřední hodnoy ˆi (průměr, medián) a rozpylu ˆi (max-min, mezikvarilové rozpěí). 4. Předpokládáme, že plaí, logarimováním dosaneme ln ln ln a neznámé odhadneme meodou nejmenších čverců díky hodnoám v ln ˆ i i, u ln ˆ i i v regresním modelu vi aui i, kde a ln i ~ WN 0,. 5. Pro odhad ˆ ˆ, pomocí -saisiky zkonsruujeme inerval spolehlivosi ˆ eno inerval bude obsahova nulu, j. 0 I ˆ ˆ 0 Iˆ I ˆ, volí se ransformace zi ln yi. Jinak se volí i i i i I. Pokud, daa se nebudou ransformova. Pokud z y ˆ.,
4 3 Procesy s proměnlivými režimy Jiným východiskem při řešení ohoo problému je přisoupení k modelování procesů s proměnlivými režimy modely TAR (Threshold Auoregressive), modely MSW (Markov Swiching), případně modely ARCH/GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy). Empiricky bylo zjišěno, že vysokofrekvenční časové řady se vyznačují v čase proměnlivou variabiliou, hovoří se o měnlivé volailiě. To vede k vážným problémům při použií klasických lineárních (S)AR(I)MA modelů (Box Jenkinsova meodologie). Bylo zjišěno, že s variabiliou může souvise úroveň a síla auokorelace v časových řadách. Charakerisické rysy akovýcho analyzovaných časových řad edy nemohou bý plně zachyceny jen lineárními modely, předpokládající pouze jeden yp závislosi korelační závislos. Nelineární modely vycházejí z nějaké nelineární funkce řady sejně rozdělených nezávislých náhodných veličin, akže předpokládají obecnější formu závislosi než pouze korelační. Změnu volailiy (edy i auokorelace) časové řady lze chápa jako změnu v režimu chování časové řady, kerá může bý způsobena různými fakory deerminisickými i nesysemaickými a nepredikovaelnými. V 80.leech 0.sol. (Engle) vznikla koncepce modelování volailiy časových řad (modely ypu ARCH), kerá byla posupně rozpracována a byla navržena řada dalších modelů volailiy. Svůj původ mají yo modely v ekonomerii, posupně se začínají uplaňova i v echnomerii. Modely ARCH pracují s podmíněnou sřední hodnou a podmíněným rozpylem. Mějme např. sacionární auoregresní model prvního řádu AR(), ~ IID 0, kde X X,, kerý lze vyjádři ve formě Nepodmíněná sřední hodnoa veličiny X X je nulová, edy 0 E X. Podmíněná sřední hodnoa E je sřední hodnoa veličiny X za předpokladu, že náhodné veličiny nabyly v časech,,... konkréních hodno. Závisí na volbě podmínky, je její funkcí uo funkci označujeme jako funkci regresní. Pro proces AR() je podmínkou určiá hodnoa náhodné veličiny v čase, j. podmíněná sřední hodnoa veličiny obecným ARMAX p, qn, modelem kde A k, je regresní maice. Nepodmíněný rozpyl veličiny E X X, X je závislá na čase. Podmíněnou sřední hodnou lze vyjádři p q n, X C X A i i j j k, k i j k X pro proces AR() je DX, je edy neměnný v čase. Podmíněný rozpyl se označuje jako funkce skedasická, jejíž průběh ak charakerizuje měnivos rozpylu veličiny X v závislosi na hodnoách veličin X, X,.... Podmíněný rozpyl veličiny X je D X, je edy aké neměnný v čase (je funkcí homoskedasickou).
5 Uvedené vlasnosi jsou charakerisické pro všechny sacionární a inveribilní procesy, j. pro procesy ypu AR, MA a ARMA. Podívejme se nyní na nesacionární procesy, konkréně inegrované procesy. Uvažujme proces náhodné procházky kde ~ IID0, X X,, kerý lze vyjádři ve varu X 3..., akže nepodmíněná sřední hodnoa je nulová, j. EX 0. Podmíněná sřední hodnoa čase. Nepodmíněný rozpyl DX D X je opě funkcí homoskedasickou. E X X je závislá na je lineární funkcí časové proměnné. Podmíněný rozpyl Tyo vlasnosi jsou charakerisické pro všechny ypy inegrovaných procesů, j. pro řídu modelů ARIMA. S uvedenými ypy modelů se pracuje velmi dobře, neboť je lze jednoduše ransformova na gaussovský proces bílého šumu. Problemaika bodových a inervalových odhadů paramerů ohoo procesu je ve saisické eorii dobře rozpracována. Prakicky se při idenifikaci modelu časové řady posupuje následovně: vybere se nějaký model, nejčasěji podle varu ACF a PACF, odhadnou se jeho paramery. Ve druhé fázi se provádí diagnosická konrola modelu, ve keré se ověřuje, zda příslušná ransformace analyzovaného procesu vede k procesu gaussovského bílého šumu. Na základě odhadů paramerů se vypočíají residua a jejich prosřednicvím se esuje auokorelace, heeroskedasicia a normalia nesysemaické složky modelu. V případě věšiny empirických eplárenských denních časových řad se vyskyuje siuace, kdy nejsou splněny podmínky, za kerých lze použí lineární modely ypu ARMA či ARIMA není splněna především podmínka homoskedasiciy a normaliy. Pokud provedeme grafické znázornění rozdělení hodno časové řady, zjisíme, že má zv. lepokurické rozdělení pravděpodobnosi akové rozdělení je špičaější a má lusší (delší) konce (Fa Tails) ve srovnání s rozdělením normálním. Exisují dvě koncepce řešení problému nesplnění podmínek lineárního modelu řídy AR(I)MA. První koncepce (Engle, 984) vychází z předsavy, že problém je v ypu modelu časové řady. Tao předsava je založena na myšlence, že podíváme-li se na analyzovanou časovou řadu, všimneme si, že se její variabilia sejně jako úroveň v čase mění. Uvažované lineární modely jsou oiž založeny na podmínce, že se sice podmíněná sřední hodnoa v čase mění, ale podmíněný rozpyl je konsanní, což však mnohdy neodpovídá realiě. Je edy vhodné navrhnou modely, keré by splňovaly předpoklad v čase se měnícího podmíněného rozpylu (příp. podmíněné sřední hodnoy a podmíněného rozpylu). Podsané je, že ao koncepce nemění původní požadavek normaliy. Druhá koncepce vychází z předsavy (Mandelbro, 60.léa), že problém není v modelu časové řady, ale v požadavku normaliy rozdělení, kerý není reálný. Věšina denních časových řad je charakerisická rozdělením, keré je špičaější a má lusší konce než rozdělení normální. Tao druhá koncepce má fundamenální charaker a její další rozpracování by znamenalo revoluční zásah do celé oblasi saisického modelování. 4 Modely volailiy Uvažujme sochasický proces, u kerého předpokládáme nulovou podmíněnou sřední hodnou E E 0 a podmíněný rozpyl D D E E E, přičemž je relevanní minulá informace až do času. Tyo požadavky splňuje model procesu ve varu
6 kde E e, D e, 0 e, 0 E ee i pro i 0,,,... (nezávislé veličiny s nulovou sřední hodnoou a jednokovým rozpylem). Je-li rozdělení náhodné veličiny e za podmínky informace, kerá je k dispozici v čase, normované normální, j. e ~ N 0,, poom je rozdělení náhodné veličiny za podmínky informace, kerá je k dispozici v čase, rovněž normální, avšak s podmíněným rozpylem, kerý se mění v závislosi na čase, j. ~ N 0,. Dále plaí E E 4 4 E e, j. špičaos nepodmíněného rozdělení je věší nebo rovna špičaosi normovaného normálního rozdělení, přičemž rovnos nasane ehdy, jsou-li podmíněné rozpyly konsanní. Jednolivé modely volailiy spočívají ve formulaci vývoje podmíněného rozpylu v čase. Lineární modely volailiy jsou charakerisické ím, že podmíněný rozpyl je lineární funkcí veličin,,..., p. Nelineární modely jsou schopné posihnou různé asymerické jevy, např. pákový efek, kdy se kladné a záporné šoky do podmíněného rozpylu nepromíají symericky, jak o předpokládají lineární modely volailiy. Základními lineárními modely volailiy jsou ARCH(q) a GARCH(p,q) modely. Proces ARCH(q) Podmíněný rozpyl je,... q q kde 0 a,..., 0. Too lze zapsa i pomocí operáoru zpěného posunuí B, pro kerý je j B j, pak q q B B... qb. Model ARCH(q) lze vyjádři v auoregresním varu modelu AR(q) procesu kde,... q q. Proces ARCH(q) je slabě sacionární, leží-li kořeny polynomiální rovnice q... q 0 B B B vně jednokového kruhu. Nepodmíněný rozpyl procesu je D E q i, edy je konsanní v čase a proces je nepodmíněně homoskedasický. Zejména pak model ARCH() má var podmíněného rozpylu. Úpravou lze získa auoregresní var modelu i
7 . Jesliže 0 kde e,, pak je proces gaussovského bílého šumu (za podmínky normaliy). Je-li příliš vysoké, je rozpyl procesu ARCH() nekonečně velký. Proces je slabě sacionární, jesliže. Nepodmíněná sřední hodnoa, resp. nepodmíněný rozpyl jsou E 0, resp. D E. Podmíněný rozpyl je kladný pro 0 a 0. Čvrý momen je konečný pro 3, ehdy proces generuje daa, kerá mají rozdělení špičaější a jeho konce jsou lusší v porovnání s rozdělením normálním, K E E Model ARCH je charakerisický ím, že lze pomocí něj zachyi shluky volailiy v časové řadě. To plyne z oho, že jesliže je v absoluní hodnoě vysoké, lze očekáva i v absoluní hodnoě vysoké. Vysoké (příp. nízké) hodnoy časové řady budou následovány vysokými (příp. nízkými) hodnoami jakéhokoliv znaménka.. Proces GARCH(p,q) Má podmíněný rozpyl ve varu......, q q p p kde p 0, q 0, 0, i 0 pro i,..., q, j 0 pro j,..., zpěného posunuí jej lze vyjádři ve varu q p B B... B B B... B q p Model GARCH(p,q) je ak možné psá ve varu nebo pomocí operáoru zpěného posunuí B B. q p m p i i i i i i B B B, kde. Jedná se edy o model ARMA(m,q) pro p 0, model se ransformuje na ARCH(q). Je-li p 0, kde m max p, q q, pak je p. Pomocí operáoru. Jesliže je proces gaussovského bílého šumu. Model GARCH(p,q) lze vyjádři jako ARCH( ), edy model ARCH s mnoha zpožděními lze aproximova modelem GARCH s méně zpožděními, resp. s menším počem paramerů. Model. Nepodmíněný rozpyl procesu je GARCH(p,q) je slabě sacionární, jesliže EX D X p q 0 p q. Zejména pak podmíněný rozpyl procesu GARCH(,) má var
8 h, kde 0, 0, 0. Pomocí operáoru zpěného posunuí píšeme B. Úpravou jej můžeme přepsa do varu modelu ARMA(,), kde. Proces je slabě sacionární pro. Nepodmíněný rozpyl procesu je D, E edy je konsanní v čase a proces je nepodmíněně homoskedasický. Proces GARCH(,) sejně jako procesy ARCH generují řady hodno, keré mají rozdělení špičaější a s lusšími konci v porovnání s normálním rozdělením. Špičaos rozdělení náhodných veličin má pro 3 var jinak je. Auokorelační funkce procesu je E K, E 4 3, k k pro k,3,.... Hodnoy auokorelační funkce s rosoucím zpožděním k exponenciálně klesají, rychlos poklesu závisí na velikosi souču. Blíží-li se eno souče hodnoě jedna, je pokles auokorelační funkce velmi pozvolný. Hodnoy parciální auokorelační funkce rovněž s rosoucím zpožděním exponenciálně klesají. Obecně lze vrdi, že var ACF a PACF procesu odpovídá varu ěcho funkcí modelu ARMA(p,q). Proces GARCH(,) je z prakického hlediska zajímavý ím, že jím lze aproximova proces ARCH s mnoha zpožděními. Dalšími lineární modely jsou IGARCH, FIGARCH, GARCH-M, nelineární modely jsou pak EGARCH, IEGARCH, FIEGARCH, GJR-GARCH, QGARCH, SV model aj. Proces výsavby modelů volailiy lze rozděli do následujících kroků: a) Určení vhodného lineárního nebo nelineárního úrovňového modelu pro danou časovou řadu. b) Tesování nulové hypoézy podmíněné homoskedasiciy proi alernaivní hypoéze podmíněné heeroskedasiciy lineárního nebo nelineárního ypu. c) Odhadování paramerů zvoleného lineárního nebo nelineárního modelu podmíněné heeroskedasiciy. d) Ověření vhodnosi daného modelu diagnosickými esy. e) Modifikace modelu, je-li o řeba. f) Užií modelu pro popisné nebo predikční účely.
9 5 Analýza provozních eplárenských da Sručně naznačíme průběh sochasické analýzy získaných reálných provozních eplárenských da. Na následujícím obrázku je graficky znázorněn časový průběhu hodno eplo výsupní vody na výsupu z výměníkové sanice (Teplo Přerov, a.s., Palackého ulice) během jednoho dne (leden, 007). Obr.: Časový průběhu hodno eplo výsupní vody na výsupu z výměníkové sanice Pro vekor da (označíme jej A ) vyvoříme malabovský skrip BJmodel.m, kerý provede idenifikaci Box Jenkinsova modelu. Konkréně z daného vekoru da spočíá výběrový průměr, výběrový rozpyl, zobrazí korelogramy ACF a PACF, zobrazí periodogram a spočíá maici vořenou hodnoami FPE krieria pro jednolivé ARMA modely prvek s minimální hodnoou na pozici i, j ARMA i, j (indexuje se od nuly). Dosáváme indikuje model >> BJmodel(A) vyberovy prumer: vyberovy rozpyl: hodnoy FPE krieria pro jednolive ARMA modely:.0e+003 * Z éo maice se jako nejvhodnější jeví model ARMA(,0), neboť prvek na pozici (,) má nejmenší hodnou. Korelogramy na následujícím obrázku aké naznačuje, že by se mohlo jedna o proces ARMA(,0).
10 Obr.: Korelogramy ACF a PACF Periodogram na následujícím obrázku neindikuje exisenci nějakých význačných frekvencí. Obr.3: Periodogram Vyvoříme malabovský skrip ARMAmodel.m, kerý může pomoci v ověření správnosi volby modelu ARMA(,0). Je založen na ověřování nekorelace residuí pomocí Pormoneau esu, přičemž by mělo plai, že hodnoa Pormoneau saisiky Q by měla bý menší než kriická hodnoa esu. Navíc spočíá hodnoy sřední residuální chyby, sřední kvadraické chyby a sřední absoluní chyby. Dosáváme ak: >> ARMAmodel(A,,0) Discree-ime IDPOLY model: A(q)y() = e() A(q) = ( ) q^- Esimaed using ARMAX from daa se yc Loss funcion and FPE.5896 Sampling inerval: hodnoa Pormoneau saisiky: Q = 5.59
11 kriicka hodnoa : kri = 5.93 prumerna rezidualni chyba: ME = prum. kvadraicka chyba: MSE =.5867 prum. absoluni chyba: MAE = Vidíme, že hodnoa Pormoneau saisiky Q 5.59 je podsaně vyšší než kriická hodnoa esu k Sesavíme hisogram naměřených da a porovnáme jej s normálním rozdělením. Obr.4: Hisogram naměřených da Vidíme, že se zřejmě jedná o daa pocházející z lepokurického rozdělení, edy špičaější rozdělení s lusějšími konci oproi rozdělení normálnímu. Tes normaliy: malabovský jbes provede Jarque Berův es nulové hypoézy, že daa pocházejí z normálního rozdělení s neznámou sřední hodnoou a neznámým rozpylem, proi alernaivě, že daa nepocházejí z normálního rozdělení. Tes je založen na myšlence současného esování šikmosi a špičaosi. Kromě nenormaliy může k zamínuí nulové hypoézy vés i fak, že hodnoy nejsou homoskedasické. Tesovací saisika má var k n JB s kde n je poče da ve vzorku, s, resp. k je výběrová šikmos, resp. špičaos. Za planosi nulové hypoézy má rozdělení se dvěma supni volnosi. >> [h,p,jbsa,kri] = jbes(a, 0.05); >> [h,p,jbsa,kri] ans = , Tedy nulovou hypoézu na 5%-ní hladině významnosi zamíáme, daa nepocházejí z normálního rozdělení.
12 Vyvoříme malabovký skrip esnezprvku.m (es nezávislosi prvků výběru) a provedeme pomocí něj es auokorelace. Teno skrip provádí es časové závislosi prvků výběru, případně závislos související s pořadím jednolivých měření, pomocí koeficienu auokorelace prvního řádu. Nulová hypoéza vrdí, že není příomna auokorelace. Tes rozhodne o jejím zamínuí či nezamínuí na zvolené hladině významnosi. Navíc určí hodnou esovací saisiky a rozpěí kriického oboru. Aplikujeme-li jej na naši časovou řadu A, výsledkem je: >> esnezprvku(a) *** H0: neni auokorelace *** H0 zamiame - exisuje auokorelace esovaci saisika: hranice kriickeho oboru: Tedy na 5%-ní hladině významnosi nulovou hypoézu zamíáme, v daech exisuje auokorelace. Provedeme diferencování časové řady a pracujeme dále s řadou prvních diferencí A >> A=diff(A); Průběh prvních diferencí je na následujícím obrázku, ze kerého jsou jasně parné shluky volailiy. Obr.5: První diference Pomocí malabovské procedury arches provedeme Engelův ARCH-es, kerý zjišťuje příomnos podmíněné heeroskedasiciy (edy ARCH efeku). Nulová hypoéza vrdí, že časová řada residuí sesává z nezávislého idenicky rozděleného gaussovského šumu IID 0,, edy že neexisuje ARCH efek. Konsruuje se regresní model ˆ ˆ ˆ... ˆ u, q q na jehož základě se získá index deerminace R. Tesové krierium ve varu TR, kde T je poče da, má za předpokladu planosi nulové hypoézy asympoicky rozdělení q. >> [H,p,sa,kri] = arches(a-mean(a), [ ]', 0.05); >> [H,p,sa,kri] ans =
13 Tedy na 5%-ní hladině významnosi zamíáme nulovou hypoézu, pro q,,3,4,5,0,5 i 0 je v modelu příomna podmíněná heeroskedasicia. GARCH modelování Malabovský es pomocí věrohodnosního poměru lraioes pomůže odhali paramery modelu GARCH(p,q). >> spec = garchse('p',,'q',,'display','off'); >> spec = garchse('p',,'q',,'display','off'); >> spec = garchse('p',,'q',,'display','off'); >> spec = garchse('p',,'q',,'display','off'); >> [coeff,errors,llf] = garchfi(spec,a); >> [coeff,errors,llf] = garchfi(spec,a); >> [coeff,errors,llf] = garchfi(spec,a); >> [coeff,errors,llf] = garchfi(spec,a); Posupně provedeme několik esů, z nichž je parné, že model GARCH(,) má nejlepší výsledky. >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans = >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans = >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans = >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans =
14 >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans = Vyvoříme malabovský skrip GARCHmodel.m, kerý sesrojí maici hodno AIC, resp. BIC krieria pro rozhodování o řádu modelu GARCH prvek s minimální hodnoou na pozici i, j indikuje model GARCH i, j. V našem případě dosaneme: >> GARCHmodel(A,) hodnoy AIC krieria pro jednolive GARCH modely:.0e+003 * hodnoy BIC krieria pro jednolive GARCH modely:.0e+003 * I odud se jeví model GARCH(,) jako nejlepší volba. Připravíme si malabovskou srukuru ohoo modelu. >> spec = garchse('p',, 'Q', ) spec = Commen: 'Mean: ARMAX(0,0,?); Variance: GARCH(,) ' Disribuion: 'Gaussian' C: [] VarianceModel: 'GARCH' P: Q: K: [] GARCH: [] ARCH: [] Provedeme odhad paramerů užiím malabovské procedury garchfi. >> [coeff,errors,llf,efi,sfi] = garchfi(spec,a); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Diagnosic Informaion Number of variables: 5 Funcions Objecive: Gradien: garchllfn finie-differencing
15 Hessian: finie-differencing (or Quasi-Newon) Nonlinear consrains: armanlc Gradien of nonlinear consrains: finie-differencing Consrains Number of nonlinear inequaliy consrains: 0 Number of nonlinear equaliy consrains: 0 Number of linear inequaliy consrains: Number of linear equaliy consrains: 0 Number of lower bound consrains: 5 Number of upper bound consrains: 5 Algorihm seleced medium-scale %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End diagnosic informaion max Line search Direcional Firs-order Ier F-coun f(x) consrain seplengh derivaive opimaliy Procedure e e e e e e e e e e e e e Hessian modified Opimizaion erminaed: magniude of search direcion less han *opions.tolx and maximum consrain violaion is less han opions.tolcon.
16 Acive inequaliies (o wihin opions.tolcon = e-007): lower upper ineqlin ineqnonlin 4 Boundary Consrains Acive: Sandard Errors May Be Inaccurae. >> garchdisp(coeff,errors) Mean: ARMAX(0,0,0); Variance: GARCH(,) Condiional Probabiliy Disribuion: Gaussian Number of Model Parameers Esimaed: 5 Sandard T Parameer Value Error Saisic C K e GARCH() ARCH() ARCH() Dosáváme ak GARCH(,) model: Y , Provedeme simulaci da daných výše uvedeným modelem: >> [e,s] = garchsim(coeff,000); >> garchplo(e,s) Průběhy residuí a podmíněné směrodané odchylky simulovaného procesu jsou na následujícím obrázku.
17 Obr.6: Residua a podmíněné směrodané odchylky Na závěr vyvoříme předpovědi (v horizonu 50 pozorování), keré porovnáme s výsledky získané simulací našeho modelu. >> hor=50; >>[sigmaforecas,meanforecas,sigmatoal,meanrmse]=garchpred(coeff,a,hor); >> npahs=000; >> [esim,ssim,ysim] = garchsim(coeff,hor,npahs,0,[],[],efi,sfi,a(end)); >> figure >> plo(sigmaforecas,'.-b') >> hold('on') >> grid('on') >> plo(sqr(mean(ssim.^,)),'.r') >> ile('predpoved smerodane odchylky') >> legend('predpoved','simulace')
18 Obr.7: Předpoveď směrodané odchylky >> figure() >> plo(meanforecas,'.-b') >> hold('on') >> grid('on') >> plo(mean(ysim,),'.r') >> ile('predpoved residui') >> legend('predpoved','simulace',4) Obr.8: Předpověď residuí >> figure(3) >> plo(meanrmse,'.-b') >> hold('on') >> grid('on') >> plo(sd(ysim'),'.r') >> ile('sredni chyba predpovedi residui') >> legend('predpoved','simulace')
19 6 Závěr Obr.9: Sřední chyba předpovědi residuí Naše výsledky nejsou produkem ukončeného a uzavřeného projeku, jsou pouze jednou z čásí běžícího úkolu modelování a predikce spořeby epelné energie. Modely GARCH jsou běžně používané a časo aplikované v ekonomerii. Našim záměrem bylo demonsrova užií ěcho sochasických modelů v echnomerii, přičemž samoná analýza probíhala v prosředí MATLABu. Lieraura [] Anděl, J.: Maemaická saisika, SNTL/ALFA, Praha, 978 [] Anděl, J.: Saisická analýza časových řad, SNTL, Praha, 976 [3] Arl, J. Arlová, M.: Finanční časové řady, Grada, Praha, 003 [4] Arl, J. Arlová, M.: Konsrukce předpovědí na základě modelů GARCH, Aca oeconomica pragensia 0: (7), VŠE, Praha, 00 [5] Arl, J.: Moderní meody modelování ekonomických časových řad, Grada, Praha, 999 [6] Arl, J. Radkovský, Š.: Význam modelování a předpovídání volailiy časových řad pro řízení ekonomických procesů, Poliická ekonomie 48: (), VŠE, Praha, 000 [7] Budíková, M. Lerch, T. Mikoláš, Š.: Základní saisické meody, skripum MU, Brno, 005 [8] Cipra, T.: Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii, SNTL, Praha, 986 [9] Forbelská, M.: Sochasické modelování jednorozměrných časových řad, skripum MU, Brno, 009 [0] Hebák, P. a kol.: Vícerozměrné saisické meody,, 3, Informaorium, Praha, 005, 007 [] Likeš, J. Machek, J.: Maemaická saisika, MVŠT seši IV, SNTL, Praha, 983 [] Likeš, J. Machek, J.: Poče pravděpodobnosi, MVŠT seši X, SNTL, Praha, 98 [3] Meloun, M. Miliký, J.: Saisická analýza experimenálních da, Academia, Praha, 004 [4] Rao, R. C.: Lineární meody saisické indukce a jejich aplikace, Academia, Praha, 978 David KVAPIL UNIS, a.s. Jundrovská 33, Brno, CZ dkvapil@unis.cz
Modelování volatility akciového indexu FTSE 100
ISSN 805-06X 805-0638 (online) ETTN 07--0000-09-4 Modelování volailiy akciového indexu FTSE 00 Adam Borovička Vysoká škola ekonomická v Praze Fakula informaiky a saisiky Kaedra ekonomerie; nám. W. Churchilla
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK Základy ekonomerie Heeroskedasicia Cvičení 7 Zuzana Dlouhá Gauss-Markovy předpoklady Náhodná složka: Gauss-Markovy předpoklady. E(u) = 0 náhodné vlivy se vzájemně vynulují. E(uu T ) = σ I n konečný
VíceVybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data
XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 239 Vybrané meody saisické regulace procesu pro auokorelovaná daa NOSKIEVIČOVÁ, Darja Doc., Ing., CSc. Kaedra konroly a řízení jakosi,
VíceVolba vhodného modelu trendu
8. Splinové funkce Trend mění v čase svůj charaker Nelze jej v sledovaném období popsa jedinou maemaickou křivkou aplikace echniky zv. splinových funkcí: o Řadu rozdělíme na několik úseků o V každém úseku
VíceIMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,
IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie
Více( ) Základní transformace časových řad. C t. C t t = Μ. Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1
Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1 Základní ransformace časových řad Veškeré násroje základní korelační analýzy, kam paří i lineární regresní (ekonomerické) modely
Více5EN306 Aplikované kvantitativní metody I
5EN306 Aplikované kvaniaivní meod I Přednáška 3 Zuzana Dlouhá Předmě a srukura kurzu. Úvod: srukura empirických výzkumů. vorba ekonomických modelů: eorie 3. Daa: zdroje a p da, význam popisných charakerisik
VíceT t. S t krátkodobé náhodná složka. sezónní. Trend + periodická složka = deterministická složka
Analýza časových řad Klasický přísup k analýze ČŘ dekompozice časové řady - rozklad ČŘ na složky charakerizující různé druhy pohybů v ČŘ, keré umíme popsa a kvanifikova rend periodické kolísání cyklické
VíceAnalýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p
Analýza časových řad Informační a komunikační echnologie ve zdravonicví Definice Řada je posloupnos hodno Časová řada chronologicky uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele formálně je realizací
VíceŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. B A K A L Á Ř S K Á P R Á C E
ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. B A K A L Á Ř S K Á P R Á C E 2013 Per Zápoocký ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. Sudijní program: B6208 Ekonomika a managemen Sudijní obor: 6208R088 Podniková ekonomika a
VíceSROVNÁNÍ VOLATILITY AKCIOVÝCH INDEXŮ PX A FTSE 100
SROVNÁNÍ VOLATILITY AKCIOVÝCH INDEXŮ PX A FTSE 100 Adam Borovička * Úvod Volailia slovo, keré slyšíme dnes a denně. Valí se na nás z elevizních obrazovek, hlasových přijímačů, išěných médií, vkrádá se
VíceMÍRA RIZIKA CHUDOBY V ČESKÉ REPUBLICE Z HLEDISKA POHLAVÍ LEVEL OF POVERTY RISK FROM THE GENDER SEEK IN THE CZECH REPUBLIC
MÍRA RIZIKA CHUDOBY V ČESKÉ REPUBLICE Z HLEDISKA POHLAVÍ LEVEL OF POVERTY RISK FROM THE GENDER SEEK IN THE CZECH REPUBLIC Dagmar Blaná Absrac Differen crieria are used o assess he povery rae, mos ofen
VíceV EKONOMETRICKÉM MODELU
J. Arl, Š. Radkovský ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ V EKONOMETRICKÉM MODELU VP č. Praha Auoři: doc. Ing. Josef Arl, CSc. Ing. Šěpán Radkovský Názor a sanoviska v éo sudii jsou názor auorů a nemusí nuně odpovída názorům
VíceEKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu
EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,
VíceVyužijeme znalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je.
Pravděpodobnos a saisika 0. ČASOVÉ ŘADY Průvodce sudiem Využijeme znalosí z předchozích kapiol, především z 9. kapioly, kerá pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Předpokládané znalosi Pojmy
VíceSeznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci
VíceKlasifikace, identifikace a statistická analýza nestacionárních náhodných procesů
Proceedings of Inernaional Scienific Conference of FME Session 4: Auomaion Conrol and Applied Informaics Paper 26 Klasifikace, idenifikace a saisická analýza nesacionárních náhodných procesů MORÁVKA, Jan
VíceAPLIKACE FIGARCH A EWMA MODELŮ NA BURZOVNÍ INDEXY PX A BUX
APLIKACE FIGARCH A EWMA MODELŮ NA BURZOVNÍ INDEXY PX A BUX Zdeněk Šolc * Úvod U finančních časových řad lze pozorova jev, kdy i velmi vzdálené náhodné veličiny mohou bý relaivně silně závislé. Too chování
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení 1 Lineární rovnice prvního řádu 1. Najděe řešení Cauchyovy úlohy x + x g = cos, keré vyhovuje podmínce x(π) =. Máme nehomogenní lineární diferenciální ( rovnici prvního řádu. Funkce h() = g a q()
VíceNávrh rozložení výroby jednotlivých výrobků do směn sloužící ke snížení zmetkovitosti
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ Provozně ekonomická fakula Úsav saisiky a operačního výzkumu Návrh rozložení výroby jednolivých výrobků do směn sloužící ke snížení zmekoviosi Diplomová práce Vedoucí práce:
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Osrava 0 Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
VíceDerivace funkce více proměnných
Derivace funkce více proměnných Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 21. prosince 2017 1. Parciální derivace. Ve výrazu f(x, y) považujeme za proměnnou jen x a proměnnou y považujeme za konsanu. Zderivujeme
VíceNové metody a přístupy k analýze a prognóze ekonomických časových řad
ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE Provozně ekonomická fakula Diserační práce Nové meody a přísupy k analýze a prognóze ekonomických časových řad Auor: Ing. Aleš Krišof Školiel: Doc.RNDr. Bohumil Kába,
Vícetransformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované.
finní ransformace je posunuí plus lineární ransformace má svou maici vzhledem k homogenním souřadnicím využií například v počíačové grafice [] Idea afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Lineární
VíceLaplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP)
aplaceova ransformace Modelování sysémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček 5. přednáška MSP čvrek 2. března 24 verze: 24-3-2 5:4 Obsah Fourierova ransformace Komplexní exponenciála
Více2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI
2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI Po úspěšném a akivním absolvování éo KAPITOLY Budee umě: orienova se v základním maemaickém aparáu pro eorii spolehlivosi, j. v poču pravděpodobnosi a maemaické saisice,
VíceČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA. Prognostické modely v oblasti modelování finančních časových řad
ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad diserační práce Auor: Školiel: RNDr. Vladimíra PETRÁŠKOVÁ Doc. RNDr.Bohumil
VícePasivní tvarovací obvody RC
Sřední průmyslová škola elekroechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Pasivní varovací obvody RC Příjmení : Česák Číslo úlohy : 3 Jméno : Per Daum zadání : 7.0.97 Školní rok : 997/98 Daum odevzdání :
VíceKATEDRA FINANCÍ. Estimate of the selected model types of financial assets
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ Odhad vybraných ypů modelů finančních akiv Esimae of he seleced model ypes of financial asses Suden: Vedoucí diplomové
VíceNumerická integrace. b a. sin 100 t dt
Numerická inegrace Mirko Navara Cenrum srojového vnímání kaedra kyberneiky FEL ČVUT Karlovo náměsí, budova G, mísnos 14a hp://cmpfelkcvucz/~navara/nm 1 lisopadu 18 Úloha: Odhadnou b a f() d na základě
VíceVliv funkce příslušnosti na průběh fuzzy regulace
XXVI. ASR '2 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, April 26-27, 2 Paper 2 Vliv funkce příslušnosi na průběh fuzzy regulace DAVIDOVÁ, Olga Ing., Vysoké učení Technické v Brně, Fakula srojního inženýrsví,
VíceStochastické modelování úrokových sazeb
Sochasické modelování úrokových sazeb Michal Papež odbor řízení rizik 1 Sochasické modelování úrokových sazeb OBSAH PŘEDNÁŠKY Úvod do problemaiky sochasických procesů Brownův pohyb, Wienerův proces Ioovo
VíceBiologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8
Biologické modely Rober Mařík 9. lisopadu 2008 Obsah 1 Diferenciální rovnice 3 2 Auonomní diferenciální rovnice 8 3 onkréní maemaické modely 11 Dynamická rovnováha poču druhů...................... 12 Logisická
VícePREDIKCE ČASOVÉ ŘADY POMOCÍ AUTOREGRESNÍHO MODELU
PREDIKCE ČASOVÉ ŘADY POMOCÍ AUTOREGRESNÍHO MODELU Ing. Roman DANEL, Ph.D. roman.danel@voln.cz Lisopad 2004 1. Časové řad Daa, kerá vvářejí časovou řadu, vznikají jako pozorování, uspořádané chronologick
VíceParciální funkce a parciální derivace
Parciální funkce a parciální derivace Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 19. září 2018 1. Parciální funkce. Příklad: zvolíme-li ve funkci f : (x, y) sin(xy) pevnou hodnou y, například y = 2, dosaneme funkci
VíceMatematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů:
. Komplexní čísla Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci Maemaika v auomaizaci - pro řešení regulačních obvodů: Komplexní číslo je bod v rovině komplexních čísel.
VíceODHADY VARIABILITY POSLOUPNOSTÍ
ÚVOD MÍRY VARIABILITY, ODHADY VLASTNOSTI FF SEGMENTACE ZÁZNAMU MINIMALIZACE MSE SNÍŽENÍ ROZPTYLU ODHADY VARIABILITY POSLOUPNOSTÍ NEURONOVÝCH IMPULSŮ Kamil Rajdl Úsav maemaiky a saisiky Přírodovědecká fakula
VíceUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Martina Čechvalová. Speciální problémy regrese v ekonomii a financích
Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Marina Čechvalová Speciální problémy regrese v ekonomii a financích Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí bakalářské práce:
VíceSTATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ
STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ Saické a dnamické vlasnosi paří k základním vlasnosem regulovaných sousav, měřicích přísrojů, měřicích řeězců či jejich čásí. Zaímco saické vlasnosi se projevují
Více10 Lineární elasticita
1 Lineární elasicia Polymerní láky se deformují lineárně elasicky pouze v oblasi malých deformací a velmi pomalých deformací. Hranice mezi lineárním a nelineárním průběhem deformace (mez lineariy) závisí
VíceKatedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY
Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných
VíceNEPARAMETRICKÝ HEURISTICKÝ PŘÍSTUP K ODHADU MODELU GARCH-M A JEHO VÝHODY
NEPARAMERICKÝ HEURISICKÝ PŘÍSUP K ODHADU MODELU GARCH-M A JEHO VÝHODY Jaromír Kukal, České vysoké učení echnické; ran Van Quang, Vysoká škola ekonomická v Praze* 1. Úvod Volailia je důležiý ukazael pro
VíceÚvod do analýzy časových řad
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2... } se nazývá stochastický
VíceZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK
ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK Vzhledem ke skuečnosi, že způsob modelování elasomerových ložisek přímo ovlivňuje průběh vniřních sil v oblasi uložení, rozebereme v éo kapiole jednolivé možné
VíceTeorie obnovy. Obnova
Teorie obnovy Meoda operačního výzkumu, kerá za pomocí maemaických modelů zkoumá problémy hospodárnosi, výměny a provozuschopnosi echnických zařízení. Obnova Uskuečňuje se až po uplynuí určiého času činnosi
Vícelistopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly.
6. cvičení z PSI 7. -. lisopadu 6 6. kvanil, sřední hodnoa, rozpyl - pokračování příkladu z minula) Náhodná veličina X má disribuční funkci e, < F X ),, ) + 3,,), a je směsí diskréní náhodné veličiny U
VíceFREQUENCY SPECTRUM ESTIMATION BY AUTOREGRESSIVE MODELING
FEQUENCY SPECU ESIAION BY AUOEGESSIVE ODELING J.ůma * Summary: he paper deals wih mehods for frequency specrum esimaion by auoregressive modeling. Esimae of he auoregressive model parameers is he firs
VíceDiferenciální rovnice 1. řádu
Kapiola Diferenciální rovnice. řádu. Lineární diferenciální rovnice. řádu Klíčová slova: Obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu, pravá srana rovnice, homogenní rovnice, rovnice s nulovou
VíceSIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika přednášky LS 2006/07
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 SIMULACE numerické řešení diferenciálních rovnic simulační program idenifikace modelu Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic krokové meody pro řešení
VíceANALÝZA EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD S PŘÍKLADY
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Fakula informaiky a saisiky ANALÝZA EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD S PŘÍKLADY Josef Arl Markéa Arlová Eva Rublíková 00 Recenzeni: Prof. Ing. Franišek Fabian, CSc. Doc. Ing. Jiří
VíceFINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY
Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-
VíceMETODY MONTE CARLO V EKONOMETRII.
Mone Carlo Oázka C METOD MONTE CARLO V EKONOMETRII. MAKROEKONOMICKÁ ÚLOHA VLÁD V ekonomerii se někdy objeví problémy, keré nelze řeši analyickými posupy, nebo je o přinejmenším velmi obížné. V om případě
VícePřednáška kurzu MPOV. Klasifikátory, strojové učení, automatické třídění 1
Přednáška kurzu MPOV Klasifikáory, srojové učení, auomaické řídění 1 P. Peyovský (email: peyovsky@feec.vubr.cz), kancelář E530, Inegrovaný objek - 1/25 - Přednáška kurzu MPOV... 1 Pojmy... 3 Klasifikáor...
VíceSkupinová obnova. Postup při skupinové obnově
Skupinová obnova Při skupinové obnově se obnovují všechny prvky základního souboru nebo určiá skupina akových prvků najednou. Posup při skupinové obnově prvky, jež selžou v určiém období, je nuno obnovi
VíceAnalýza rizikových faktorů při hodnocení investičních projektů dle kritéria NPV na bázi EVA
4 mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 11-12 září 2008 Analýza rizikových fakorů při hodnocení invesičních projeků dle kriéria
VíceDemografické projekce počtu žáků mateřských a základních škol pro malé územní celky
Demografické projekce poču žáků maeřských a základních škol pro malé územní celky Tomáš Fiala, Jika Langhamrová Kaedra demografie Fakula informaiky a saisiky Vysoká škola ekonomická v Praze Pořebná daa
Více5. Využití elektroanalogie při analýze a modelování dynamických vlastností mechanických soustav
5. Využií elekroanalogie při analýze a modelování dynamických vlasnosí mechanických sousav Analogie mezi mechanickými, elekrickými či hydraulickými sysémy je známá a lze ji účelně využíva při analýze dynamických
VíceLS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle
Obyčejné diferenciální rovnice Jiří Fišer LS 2014 1 Úvodní moivační příklad Po prosudování éo kapioly zjisíe, k čemu mohou bý diferenciální rovnice užiečné. Jak se pomocí nich dá modelova prakický problém,
VíceRole fundamentálních faktorů při analýze chování Pražské burzy #
Role fundamenálních fakorů při analýze chování Pražské burzy # Ví Poša Výzkum chování akciových a obecně finančních rhů má dlouhou hisorii, jehož výsupy nalézají uplanění v ekonomické eorii, pro kerou
VíceStatistické metody a zpracování dat. VIII Analýza časových řad. Petr Dobrovolný
Saisické meod a zpracování da VIII Analýza časových řad Per Dobrovolný Základní pojm Časová řada je chronologick uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele. = f (),, 2, L n, kde =, 2,, n =
VíceANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD IVAN KŘIVÝ OSTRAVA URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDI TOVANÝCH STUDIJ NÍCH PROGRAMECH
ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDI TOVANÝCH STUDIJ NÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST OPATŘENÍ:
VíceAnalogový komparátor
Analogový komparáor 1. Zadání: A. Na předloženém inverujícím komparáoru s hyserezí změře: a) převodní saickou charakerisiku = f ( ) s diodovým omezovačem při zvyšování i snižování vsupního napěí b) zaěžovací
VíceAPLIKACE INDEXU DAŇOVÉ PROGRESIVITY V PODMÍNKÁCH ČESKÉ REPUBLIKY
APLIKACE INDEXU DAŇOVÉ PROGRESIVIT V PODMÍNKÁCH ČESKÉ REPUBLIK Ramanová Ivea ABSTRAKT Příspěvek je věnován problemaice měření míry progresiviy zdanění pomocí indexu daňové progresiviy, kerý vychází z makroekonomických
VíceZhodnocení historie predikcí MF ČR
E Zhodnocení hisorie predikcí MF ČR První experimenální publikaci, kerá shrnovala minulý i očekávaný budoucí vývoj základních ekonomických indikáorů, vydalo MF ČR v lisopadu 1995. Tímo byl položen základ
VíceModely stacionárních časových řad
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Proces bílého šumu Proces {ɛ t} nazveme bílým šumem s nulovou střední hodnotou a rozptylem σ 2 a
VíceNA POMOC FO. Pád vodivého rámečku v magnetickém poli
NA POMOC FO Pád vodivého rámečku v maneickém poli Karel auner *, Pedaoická akula ZČU v Plzni Příklad: Odélníkový rámeček z vodivého dráu má rozměry a,, hmonos m a odpor. Je zavěšen ve výšce h nad horním
VícePLL. Filtr smyčky (analogový) Dělič kmitočtu 1:N
PLL Fázový deekor Filr smyčky (analogový) Napěím řízený osciláor F g Dělič kmioču 1:N Číače s velkým modulem V současné době k návrhu samoného číače přisupujeme jen ve výjimečných případech. Daleko časěni
Více9 Viskoelastické modely
9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály
VíceModeling and in-sample forecasting of volatility using linear and nonlinear models of conditional heteroscedasticity
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 Modeling and in-sample forecasing of volailiy using
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V RNĚ RNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE PRUŽNÉ SPOJKY NA PRINCIPU TEKUTIN FLEXILE COUPLINGS
VícePrůzkumová analýza dat (Exploratory Data Analysis, EDA)
19. února 2007 Přednáška 1 maeriály: přednášky zápoče: v průběhu semesr určiý projek na zápoče a na známku, kerá bude ke zkoušce zkouška: zadaný určiý problém, na něj zadaný určiý čas, zpracováván s využiím
VíceVývoj dynamického modelu pro odhad radonové
Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Barbora Lebdušková Vývoj dynamického modelu pro odhad radonové záěže budov Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové
VíceThe Analysis of Volatility of Selected Countries Exchange Rates
MPRA Munich Personal RePEc Archive The Analysis of Volailiy of Seleced Counries Exchange Raes Radek Bednarik VSB Technical Universiy, Faculy of Economics, VSB-Technical Universiy of Osrava, The Faculy
VíceVýkonnost a spolehlivost číslicových systémů
Výkonnos a spolehlivos číslicových sysémů Úloha Generování a zpracování náhodných čísel Zadání 9 Trojúhelníkové rozdělení Jan Kupka A65 kupka@sudens.zcu.cz . Zadání vyvoře generáor rozdělení jako funkci
VíceUNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky STAVOVÁ REGULACE SOUSTAVY MOTOR GENERÁTOR. Bc. David Mucha
UNIVERZITA PARDUBICE Fakula elekroechniky a informaiky STAVOVÁ REGULACE SOUSTAVY MOTOR GENERÁTOR Bc. David Mucha Diplomová práce 2017 Prohlášení Prohlašuji: Tuo práci jsem vypracoval samosaně. Veškeré
VíceÚloha II.E... je mi to šumák
Úloha II.E... je mi o šumák 8 bodů; (chybí saisiky) Kupe si v lékárně šumivý celaskon nebo cokoliv, co se podává v ableách určených k rozpušění ve vodě. Změře, jak dlouho rvá rozpušění jedné abley v závislosi
VíceInformační efektivnost burzovních trhů ve střední Evropě
Informační efekivnos burzovních rhů ve sřední Evropě Auoři článku: PhDr. Karel Diviš IES FSV UK.ročník PGS e-mail: divis@mbox.fsv.cuni.cz PhDr. Per Teplý IES FSV UK.ročník PGS e-mail: eply@mbox.fsv.cuni.cz
VíceXI-1 Nestacionární elektromagnetické pole...2 XI-1 Rovinná harmonická elektromagnetická vlna...3 XI-2 Vlastnosti rovinné elektromagnetické vlny...
XI- Nesacionární elekromagneické pole... XI- Rovinná harmonická elekromagneická vlna...3 XI- Vlasnosi rovinné elekromagneické vlny...5 XI-3 obrazení rovinné elekromagneické vlny v prosoru...7 XI-4 Fázová
VíceÚloha V.E... Vypař se!
Úloha V.E... Vypař se! 8 bodů; průměr 4,86; řešilo 28 sudenů Určee, jak závisí rychlos vypařování vody na povrchu, kerý ao kapalina zaujímá. Experimen proveďe alespoň pro pě různých vhodných nádob. Zamyslee
VíceSchéma modelu důchodového systému
Schéma modelu důchodového sysému Cílem následujícího exu je názorně popsa srukuru modelu, kerý slouží pro kvanifikaci příjmové i výdajové srany důchodového sysému v ČR, a o jak ve varianách paramerických,
VíceAnalýza citlivosti NPV projektu na bázi ukazatele EVA
3. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6.-7. září 2006 Analýza cilivosi NPV projeku na bázi ukazaele EVA Dagmar Richarová
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceReologické modely měkkých tkání
Reologické modely měkkých kání Tomas Mares 1. Úvod Výchozím principem mechaniky měkkých kání (j. kůže, cév, pojivových kání, kání vniřních orgánů, šlach, vazů, chrupavek, sinoviální ekuiny) je reologie.
Více5. Modifikovaný exponenciální trend
5. Modifikovaný exponenciální rend Tvar rendu Paraer: α, β, Tr = + α β, =,..., n ( β > 0) Hodí se k odelování rendu s konsanní podíle sousedních diferencí Aspoick oezen (viz obr., α < 0,0 < β 0) α
VíceTlumené kmity. Obr
1.7.. Tluené kiy 1. Uě vysvěli podsau lueného kiavého pohybu.. Vysvěli význa luící síly. 3. Zná rovnici okažié výchylky lueného kiavého pohybu. 4. Uě popsa apliudu luených kiů. 5. Zná konsany charakerizující
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK Základy ekonomerie Modely simulánních rovnic Problém idenifikace srukurních simulánních rovnic Cvičení Zuzana Dlouhá Modely simulánních rovnic (MSR) eisence vzájemných vazeb mezi proměnnými v modelu,
VíceNUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika II) 1. Na autě jsou prováděny dvě nezávislé opravy a obě opravy budou hotovy do jedné hodiny.
Spojiá rozdělení I.. Na auě jou prováděny dvě nezávilé opravy a obě opravy budou hoovy do jedné hodiny. Předpokládejme, že obě opravy jou v akové fázi, že rozdělení čau do ukončení konkréní opravy je rovnoměrné.
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 4. přednáška: Vekorové prosory Dalibor Lukáš Kaedra aplikované maemaiky FEI VŠB Technická univerzia Osrava email: dalibor.lukas@vsb.cz hp://www.am.vsb.cz/lukas/la Tex byl vyvořen v rámci
VíceOcenění podniku s přihlédnutím k možné insolvenci postup pro metodu DCF entity a equity
Mařík, M. - Maříková, P.: Ocenění podniku s přihlédnuím k možné insolvenci posup pro meodu DCF eniy a equiy. Odhadce a oceňování podniku č. 3-4/2013, ročník XIX, sr. 4-15, ISSN 1213-8223 Ocenění podniku
VíceČíslicový lineární filtr prvého řádu se statisticky optimálně nastavovanými parametry
Číslicový lineární filr prvého řádu se saisicky opimálně nasavovanými paramery Ing. Jiří Tůma, CSc. Tara, o. p., Kopřivnice 59.2 Článek se zabývá odvozením rekurenních vzorců pro časovou posloupnos hodno
VícePorovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV
3 mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6-7 září 2006 Porovnání způsobů hodnocení invesičních projeků na bázi kriéria Dana Dluhošová
VíceAPLIKACE VYBRANÝCH MATEMATICKO-STATISTICKÝCH METOD PŘI ROZHODOVACÍCH PROCESECH V PŮSOBNOSTI JOINT CBRN DEFENCE CENTRE OF EXCELLENCE
Břeislav ŠTĚPÁNEK, Pavel OTŘÍSAL APLIKACE VYBRANÝCH MATEMATICKO-STATISTICKÝCH METOD PŘI ROZHODOVACÍCH PROCESECH V PŮSOBNOSTI JOINT CBRN DEFENCE CENTRE OF EXCELLENCE Absrac: Mahemaical-saisic mehods provide
VíceNUMERICKÝ VÝPOČET INVERZNÍ LAPLACEOVY TRANSFORMACE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV RADIOELEKTRONIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
VícePráce a výkon při rekuperaci
Karel Hlava 1, Ladislav Mlynařík 2 Práce a výkon při rekuperaci Klíčová slova: jednofázová sousava 25 kv, 5 Hz, rekuperační brzdění, rekuperační výkon, rekuperační energie Úvod Trakční napájecí sousava
VíceČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE
ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE VYTVÁŘENÍ TRŽNÍ ROVNOVÁHY VYBRANÝCH ZEMĚDĚLSKO-POTRAVINÁŘSKÝCH PRODUKTŮ Ing. Michal Malý Školiel: Prof. Ing. Jiří
VíceUživatelský manuál. Řídicí jednotky Micrologic 2.0 a 5.0 Jističe nízkého napětí
Uživaelský manuál Řídicí jednoky Micrologic.0 a 5.0 Jisiče nízkého napěí Řídicí jednoky Micrologic.0 a 5.0 Popis řídicí jednoky Idenifikace řídicí jednoky Přehled funkcí 4 Nasavení řídicí jednoky 6 Nasavení
Více5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY
5 GRAFIKON LAKOÉ DOPRAY Jak známo, konsrukce grafikonu vlakové dopravy i kapaciní výpočy jsou nemyslielné bez znalosi hodno provozních inervalů a následných mezidobí. éo kapiole bude věnována pozornos
Více