2. SIGNÁLY 2.1. ÚVOD. vzruchu živou tkání (např. magnetokardiogram);

Transkript

1 . SIGNÁLY.. ÚVOD Sigál v fyzikálí, chmické, biologické, koomické či ié mriálí povhy, soucí iformci o svu sysému, krý gru. J-li zdrom iformc živý orgismus, pk hovořím o biosigálch bz ohldu podsu osič iformc. Jdím z zákldích kriérií člěí sigálů poč ich závislých proměých. Podl ohoo kriéri dělím sigály : dorozměré (čsěi vydřuí čsovou závislos sldové vličiy - obr.-); dvourozměré (obrzové sigály- obr.- - závislá proměá délková vliči); vícrozměré (sigály popisuící řírozměrou scéu, vydřuící čsovou dymiku dvourozměrých obrzů, d.). Obr.- Zázm ploy v dýchcích csách s rkoviým álzm 9 Obr.-. Dvourozměrý sigál -RG símk py Z hldisk mod používých pro ich zprcováí mí všchy uvdé ypy sigálů svá spcifik. Pro zdoduší s proo v áslduícím xu omzím pouz sigály dorozměré. Podl chrkru osič můžm dorozměré biosigály děli : mchické (př. křivk krvího lku bo pohyb mirálí chlopě v ulrzvukovém zázmu - obr.-3d); spciálím přípdm mchických biosigálů sou biosigály zvukové (př. fookrdiogrm - obr.-3,b, - či řč bo zpěv páků); Obr.-3 lkrické (př. lkrické pociály vyvářé čiosí srdčím svlm - lkrokrdiogrm - EKG - obr.-3c); mgické - vsměs mgická složk lkromgického pol grového průchodm lkrického vzruchu živou káí (př. mgokrdiogrm); plé (př. posloupos plo lidského ěl - obr.-); opické (př. lumiiscc svělušk); chmické (př. průběh hodo ph fkoru žludčích šv běhm ráví bo obsh dolivých plyých složk v vydchovém vzduchu); biologické (př. dymik poču lů, žiících v zámcké oboř);

2 koomické (př. c měsíčě spořbového psího žrádl). Obr.-6 Zázm okmžiých klidových hodo srdčí frkvc úzkosě s cíícího dospělého muž Clou ko vlic široc vymzou možiu biosigálů dál omzím budm s dál zbýv í čásí - sigály, kré vzikí čiosí lidského orgismu ho orgáů, vypovídící o ho svu kré sou využíváy v humáí mdicíě při sovováí digózy přímo i v rpii. Sigály mohou bý grováy lidským orgismm: Obr.-7 Zázm kusicky vokové odzvy srukur mozkového km ormálího dospělého člověk spoáě, bz rozhoduícího věšího vlivu (klidový sigál vribiliy srdčího rymu, popisuící kvliu buzí srdčího svlu rvovou sousvu - obr.-6); ko odzv spcifické buzí (lkrická odzv rvové sousvy voková zvukovým poděm- obr.-7, fooplysmogrm - vlikos obmových změ prsu či ruc určové z možsví svěl, procházícího či održého ). Dlším možým kriérim člěí biosigálů poč ich závisl proměých. Ndodušším přípdm dokálová rprzc dé závislé vličiy, krou zprvidl čs. Příkldm můž bý křivk rychlosi prouděí krv v pě, zv. plysmogrm - zázm obmových změ čási ěl, zprvidl Obr.-8 Plysmogrm dolí kočiy pci s ggréou způsobých pulzím prouděím krv (obr.-8). Čso s vyskyuícím způsobm popisu čiosi určiého orgáu lidského ěl víckálový zázm čsového průběhu dé vličiy součsě símé z růzých čásí ěl (př. vícsvodový lkrokrdiogrm či lkrocflogrm - obr.-9) bo polygrm ěkolik růzých vliči, popisuících čios éhož úsroí (př. krdiookogrm - obr.-0, krý zhru sigál rprzuící srdčí rymus plodu (horí křivk) mchický sigál popisuící shy děložího svlsv (dolí křivk) bo zázm obr.-3 obshuící dv kály fookrdiogrmu, EKG ulrzvukový M-sc srdčích srukur). Někré z sigálů grových v lidském ěl mí rymický, éměř prvidlě s opkuící průběh, ž lz, z isých zdodušuících přdpokldů, povžov z priodické. kové sou př. sigály odvozé od srdčí kiviy, čásčě i z dýcháí. Abychom zdůrzili odlišos od přsé priodiciy mohých sigálů chického původu, hovořím v omo přípdě o sigálch rpičích. Nopk, ié sigály mí olik prvidlý chrkr, ž k im lz přisupov ko k sigálům áhodým - lkrická kivi kosrích svlů - lkromyogrm (EMG) bo spoáí EEG (obr.-9). Jko proikld výš zmíěých rpičích sigálů zývám rpičí. Mohé biologické sigály sou zprvidl souhrm vlkého poču dílčích mikroprocsů mí k z své podsy spoiý chrkr. Vzhldm k skučosi, ž spoié sigály vzikící při čiosi lidského ěl sou v součsé době křk výhrdě zprcováváy pomocí číslicové chiky, musí bý Když s pro libovolou závisl proměou r průběh drmiisického sigálu opku k, ž plí, ž x( r ) = x( r +. 0r ), pro libovolé clé, sigál priodický vzhldm k proměé r 0r ho priod. J-li řb, můžm kždý priodický sigál, drmiisický i drmiisický, povžov z priodický s priodou 0. 0

3 přd zprcováím přrsformováy do číslicového (diskréí) - posloupos čísl, vyádřých s kočou přsosí. Alogově/číslicový přvodík věšiou součásí zřízí pro zprcováí sigálu, ěkdy k přvodu dochází iž v rámci měří -př. měří ělsé ploy. Zímco při sroovém přvodu dochází k vzorkováí sigálu prvidlě, v čsových okmžicích prvidlě vzdálých o zv. vzorkovcí priodu, v přípdě měří ploy vzorkováí prvidlé (v 6 hodi ráo, v pold, v 4 hodiy odpold včr, přibližě v 8 hodi). Někré biologické procsy mí chrkr diskréích událosí, podsá dob výskyu, př. posloupos srdčích shů, z krých odvoz posloupos dob srdčích cyklů. ko rozmiému chrkru biosigálů musí bý smozřmě podřízy i mody ich zprcováí. Obr.-9 Elkrocflogrm Obr.-0 Krdiookogrm - horí křivk okmžiá srdčí frkvc plodu, dolí křivk rprzu sílu děložích shů

4 .. ZÁKLADNÍ POJMY A DEFINICE Z hldisk zprcováí přášé iformc í zprvidl důlžiá pods osič, ýbrž mmický bsrkí popis sigálu,. ho modl. Mmicky lz sigál pops fukcí x() obcě R závisl proměých = {,,..., R } z oboru O, určého krézským součim dílčích dfiičích oborů O r dolivých proměých r. Obls proměých, v kré sm schopi měři hodoy sigálu, ozčím ko primárí (origiálí) obls popisu sigálu. J-li průběh fukc x() popisuící sigál dozčě urč pro koukoliv přípusou hodou rgumu,. možé vždy přdm sovi, ké okmžié hodoy bud sigál v libovolém bodě dfiičího oboru, pk zývám sigál drmiisickým. Nsou-li, opk, hodoy sigálu pro libovolou hodou rgumu dozčé, hovořím o sigálu drmiisickém, příp. áhodém. Náhodý sigál dou z možých rlizcí áhodého procsu (), krý vydřu clkové vlsosi chováí zdro sigálu. Náhodý procs i áhodý sigál sm schopi pops pouz ich prvděpodobosími chrkrisikmi. Hodoy sigálu, kré měřím skučých, rálě xisuících sysémch, sou bz výimky rálé. ko měřé hodoy všk mohou bý běhm přdzprcováí podroby růzým oprcím, ichž výsldkm býví sigály s hodomi k rálými, k i komplxími. Proo, i když přípdy, kdy sigál bývá komplxích hodo, sou v prxi srovlě méě čsé, měly by bý mmické fukc modluící sigál obcě komplxí. Komplxí sigál s skládá z dvou vzám závislých složk - rálé imgiárí bo modulové fázové, dy spciálím příkldm vícsložkového či víckálového sigálu, krý s obcě skládá z K růzých průběhů. N zákldě uvdých pozků dy fukc x(), popisuící sigál, obcě vkorovou fukcí vkorového rgumu. Podl chrkru dfiičího oboru rgumů sigálu budm dál rozlišov sigály spoié diskréí, v přípdě víc rozměrů můž bý ich chrkr i kombiový. Pokud dfiičím oborm O souvislá R rozměrá obls, hovořím o sigálu spoiém, krý budm zči x s (). Skládá-li s l dfiičí obor rgumů z izolových bodů éo oblsi, zývám sigál sigálm diskréím v oboru rgumů. Diskréí sigál ho prmry budm ozčov idxm d (př. x d ()), přípdě pozděi, kdy už bud hrozi bzpčí záměy s symbolikou spoiých sigálů, budm použív symbolů bz kéhokoliv ozčí. Body diskréího oboru rgumů voří v drivé věšiě přípdů prvidlou síť, í o všk zbyou podmíkou. Podobé můž bý člěí i z hldisk fukčích hodo sigálu..3. SPOJIÉ SIGNÁLY.3.. Zákldí oprc s sigály Násobí kosou Okmžiá hodo sigálu s zvěší (zmší) A-krá po ásobí sigálu kosou. Pro A > hovořím o zsílí, pro A < o zslbí. Změ čsového měřík Po vyásobí hodo závisl proměé (čsu) kosou k dochází k modifikci čsového měřík - pro k > hovořím o čsové komprsi, pro k < o čsové xpzi. Pozámk: J řb si uvědomi, ž v ovém průběhu bývá sigál hodo v čs ýchž hodo ko původí sigál v čs k., pro k> dy ply čs rychli, pro k< ply čs pomli (obr.-). Posuuí v čs Po přičí (odčí) hodoy od původího čsu dochází k posuu čsového průběhu sigálu vlvo (vprvo) čsové os. Jiými slovy po přičí hodoy dochází k zpožděí sigálu, po odčí s sigál přdchází. Obr.- Změ čsového měřík - ) původí sigál, b) komprimový sigál k=, c) xpdový sigál k=0,5

5 V čs posuuý sigál bývá v čs hodo, krých bývá původí sigál v čs. Krým směrm dochází k posuu si lz sáz uvědomi pro čs = 0. Aby posuuý sigál byl éž hodoy ko původí sigál v čs =0, pk musí bý rgum éž rov ul. dy přičíám-li, rgum ulový pro = -, odčíám-li, rgum ulový pro =. Obrácí čsové osy Ivrzi čsové osy provdm změou zmék čsového rgumu. Má-li součsě doí k čsovému posuu, řb změi zméko u všch člů rgumu..3. Mmické modly zákldích spoiých sigálů Priodické sigály Obr.- Posuuí sigálu v čs - ) původí sigál; b) sigál s(-0); c) sigál s(+0) Sigál x() priodický, když xisu kové číslo, pro kré pro všchy rálé hodoy x( + ) = x() (.) kd libovolé clé číslo. Nmší hodo, pro krou plí rovic (.) můžm ozči z zývám i zákldí priodou. Příkldm priodického sigálu můž bý obdélíkový puls zázorěý obr.-4, krý dfiový mmickými vzhy x() = 3 pro 0 s; 0-6 s) x() = -3 pro 0-6 s;.0-6 s) x( ) = s(), Obr.-3 Obrácí čsové osy - ) původí sigál; b) sigál s(-); c) sigál s(0-) pro všch rálá Jho zákldí priod dy s. Z d z zákldích priodických sigálů můžm povžov sigál hrmoický popsý průběhm goiomrické fukc si bo cos. Vzhldm k dlším souvislosm řb rozhodou o dé z obou fukcí ko rfrčí. Proo Obr.-4 Příkldy priodického sigálu rozhoděm, ž dál budm povžov z hrmoický sigál sigál dfiový vzhm (.) x() = A.cos( z + 0), (.3) kd A kldá rálá kos, krou zývám mpliudou hrmoického sigálu, z rověž kldá rálá kos, krou ozčum ko zákldí úhlový (kruhový) kmioč 0 pouz rálá kos, krá urču posuuí průběhu hrmoického sigálu vůči počáku,. pro okmžik = 0. Nzývám i počáčí fáz. Argum fukc urču hodou fáz hrmoického sigáluzákldí priod hrmoického sigálu dá vzhm z = / z, (.4) 3

6 Příkldm hrmoického sigálu průběh zobrzý obr.-5 dfiový vzhm x() = 3.cos( /). (.5) Ampliud v omo přípdě rov A = 3 ( urč mximálí výchylkou hrmoického průběhu), úhlový kmioč.0 3 [rd.s - ] počáčí fáz 0 = /. Jk ply z dfiičího vzhu (.3), průběh hrmoického sigálu pro všchy hodoy čsu dozčě urč hodomi ří prmrů - mpliudy A, úhlového kmioču z počáčí fáz 0. Lz dy vlsosi ohoo sigálu vyádři i grficky vzámou závislosí ěcho prmrů, zprvidl vyádř v dvou Obr.-5 Příkld hrmoického sigálu podl vzhu (.5) roviách - dk v roviě mpliud vs. úhlový kmioč, dk v roviě počáčí fáz vs. úhlový kmioč. Zobrzí vlsosí (hrmoického) sigálu v závislosi ho kmioču zývám spkrm sigálu. Pro sigál dfiový vzhm (.5) zobrzý obr.-5 spkrum vyobrzo obr.-6. Obr.-6 Ampliudové () fázové (b) spkrum hrmoického sigálu podl vzhu (.5) Kromě dfiičího vzhu hrmoického sigálu podl (.3) lz hrmoický sigál vyádři šě i iými způsoby, kré zprvidl vyplýví z Eulrových vzhů cos (.6) si ohoo přísupu s obvykl využívá vzhldm k sděším výpočům s komplxí xpociálí fukcí ž s rdičími goiomrickými fukcmi si cos. Vyásobím-li prví rovici dvěm druhou rovici posčí výsldků dosávám výrz = cos +.si (.7) Zmá o, ž průběh fukc cos lz vyádři éž ko rálou složku průběhu komplxí fukc dy J pořb zdůrzi uvědomi si, ž sě ko posu v čs přdsvu kldá hodo fáz posu hrmoického sigálu vlvo čsové os v směru k mším hodoám čsu, záporá fáz posu v směru opčém. 4

7 x() = R{A.xp[( z+ 0 )]}, (.8) což odpovídá průměu kruhového pohybu rprzového pohybm vrcholu vkoru A.xp[( z+ 0 )] v komplxí roviě rálou osu. Vzhldm k skučosi, ž fukc cos sudá, pk plí i x() = R{ x () } = R{A.xp[( z+ 0 )]} = R{A.xp[(- z - 0)]} = R{ x * () }, (.9) kd x * () komplxě sdružá hodo k x (). ímo vzhm zvd záporý úhlový kmioč, krý lz gomricky irprov ko rychlos oáčí vkoru A.xp[(- z - směru (v směru hodiových ručičk) ž vkor A.xp[( z+ 0 )]. Z vzhu (.6) pro cos mám Ozčím-li 0)] v opčém x() = A.cos( z + 0) = ½.{A.xp(φ 0 ).xp(ω z )} + ½.{A.xp(-φ 0 ).xp(-ω z )} (.0) c = A.xp(φ 0 )/ c - = A.xp(-φ 0 )/ (.) x() = c.xp(ω z ) + c -.xp[(-ω z )] (.) o zmá, ž hrmoický sigál lz vyádři součm dvou komplxě sdružých výrzů, kré sou rovy okmžiým hodoám komplxích xpociálích fukcí vydřuících proiběžé oáčí vrcholů vkorů c.xp(ω z ) c -.xp[(-ω z ) v komplxí roviě. Hrmoický sigál dy opě vyádř pomocí komplxích xpociálích fukcí, okrá sic součm komplxě sdružých hodo, zo bz uosi mohdy šikově hld rálou hodou fukc c.xp(ω z ). ) b) Obr.-7 ) Komplxí mpliudy xpociálích složk hrmoického sigálu; b) čsová dymik xpociálích složk hrmoického sigálu Jdorázové sigály Sigály, kré splňuí vzh (.), zývám priodické. Můžm kosov, ž priodické sigály sou kové priodické sigály, ichž zákldí priod kočá,. x() = x( + ) pro. Npriodické sigály s rlivě krákým čsovým irvlm, v krém sáví změy průběhu, ozčum ko dorázové. Mzi imi zuímí důlžiěší pozici dv sigály - dokový (Dircův) impuls dokový skok (Hvisidov fukc). Jdokový (Dircův) impuls δ() sigál, ž splňu vzh x (). ( )d x( ). (.3) Zdodušě lz říc, ž dokový impuls δ() vlic úzký (limiě s ulovou šířkou) vlic vysoký (limiě s kočou výškou) obdélíkový impulz, hož výšk rov přvrácé hodoě šířky, 5

8 z. ž mohuos, dfiová plochou, krou sigál ohričil spolu s čsovou osou doková (obr..8). Obr.-8 Jdokový impuls Jdokový skok () (Hvisidov fukc) dfiová vzhm (obr.-9) Obr.-9 Jdokový skok 0, pro 0; ( ). (.4), pro Rozkld spoiých priodických sigálů dílčí hrmoické složky Kždou priodickou fukci s(+k)=s(), (krá vyhovu Dirichlovým podmíkám) 3, můžm rozloži v Fourirovu řdu ; /, x () c (.5) kd c sou komplxí Fourirovy koficiy dfiové vzhm Ω úhlový kmioč zákldí hrmoické složky. Pro = 0 což sřdí hodo (sosměrá složk) sigálu x(). / c x(). d (.6) / / c 0 x(). d (.7) / Pro rálé sigály x() c -k = c* k (symbolm * ozčum komplxě sdružou hodou). Kromě výš uvdého vru rozvo do Fourirovy řdy možé s sk i s Fourirovou řdou v rigoomrickém vru 0 x () cos b si (.8) kd b sou Fourirovy koficiy dé vzhy 3 ) x() bsoluě igrovlá d kždou priodou,. plí x()d ; ) x() má d kždou priodou pouz kočý poč mxim miim; 3) x() má d kždou priodou kočý poč spoiosí; Dirichlovy podmíky sou posčuící, ikoliv ué. Všchy fyzikálě rlizovlé fukc splňuí Dirichlovy podmíky. 6

9 b / / / / x().cos x().si přípdě v vru hrmoické Fourirovy řdy.d.d ( ( 0,,,...), (.9),,3,...) x () C, (.0) 0 C cos( ) kd výrz C.cos( ) zývám -ou hrmoickou složkou sigálu x(). Příkld: Určm vlsosi dolivých hrmoických složk, z ichž s skládá obdélíkový puls (obr.-0) o zákldí priodě, době rváí dolivých impulsů výšc D. Nchť prví z impulsů umísě symricky kolm počáku čsové osy. Řší: Spočím dřív hodou igrálu Obr.-0 Zdáí obdélíkového pulsu Pro = 0 I ( ) d. (.) I(0) 0 d d. (.) pro 0 I( ) d vr fukc S(x) = si(x)/x obr.-. Fukc primárě dá průběhm fukc si(x) všk lum s růsm hodoy x v movli zlomku. Limi pro x 0 S(0) =, což lz spočí podl l Hospilov prvidl. S ímo výsldkm lz spočí Fourirovy koficiy zdého obdélíkového pulsu podl áslduícího posupu. si.. (.3). Obr.- Průběh fukc S(x) = si(x)/x 7

10 c / /... s(). D.. d.s / D. / d D..S D / / d. (.4) Koficiy c dy býví hodo fukc S(x) pro hodoy rgumu vyásobé výrzm D /,. plochou doho impulsu ormlizového doku priody. Proož koficiy c sou obcě komplxí, lz ich hodoy vyádři pomocí závislosí ich modulů fází frkvci dolivých hrmoických složk. yo závislosi ozčum ko modulové (mpliudové) fázové frkvčí spkrum priodického sigálu. Proož sm vycházli z xpociálího vru Fourirovy řdy, řb přdpoklád k kldé k záporé hodoy ím uvžov frkvčí složky o kldých i záporých frkvcích. Vzhldm k omu, ž hodoy koficiů počíám pro určié kmiočy, kré sou cločíslými ásobky kmioču zákldí hrmoické složky, spkrum ohoo sigálu všch priodických sigálů diskréí (črové). Grfické zázorěí hodo modulů fází koficiů c pro obdélíkový puls podl zdáí obr.-. Obr.- Modulové (mpliudové) () fázové (b) frkvčí spkrum obdélíkového pulsu dl zdáí.3.3 Rozkld spoiých priodických sigálů dílčí hrmoické složky Fourirov rsformc Jk sm uvdli v dřívěším xu lz priodické sigály povžov z priodické s kočě dlouhou priodou (obr.-3). Proož kmioč zákldí hrmoické složky pk pro Ω dω 0. Ω = / (.5) Grficky o přdsvu zhušťováí spkrálích čr s prodlužuící s priodou ž do limiího přípdu, kdy vzdálos mzi spkrálími črmi ulová. Pro priodický sigál dy budou spkrálí čáry sb Obr.-3 Přchod od priodických k priodickým sigálům vzov - Ω ω - z diskréí rprzc úhlové frkvc dolivých hrmoických složk s sává vliči spoiá dfiičí sumčí vzh pro Fourirovu řdu (viz (.5)) přchází vzh igrčí, kd koficiy c určím ásldově. 8

11 V vzhu (.6),. c / / x(). = /dω dy pro dω 0 Ω ω. Mz igrálu budou pro kočě dlouho rvící sigál - +. Pro budou rověž mpliudy spoiého spkr dorázového impulsu kočě mlé. Dosďm z c do vzhu přdchozím obrázku dosávám / / dfiičí vzh rozkldu s rsformu do podoby d c lim x(). d. (.6) x() d x(). d. X( ). d, (.7) kd vzh pro fukci X( ), krou zývám spkrálí fukcí bo spkrálí husoou sigálu x(), X( ) x(). d (.8) ozčum ko Fourirovu rsformci. už vydřu skučé zsoupí dolivých hrmoických složk sigálu ko v přípdě rozkldu pomocí Fourirovy řdy, ýbrž ich poměré zsoupí. Fourirov rsformc přvádí sigál (fukci) x() z čsové doméy fukci X(ω) v kmiočové oblsi. Vzh (.7) poom dfiu ivrzí rlci,. způsob výpoču čsového průběhu sigálu z ho spkrálí fukc. o výpoč zývám ivrzí (zpěou) Fourirovou rsformcí. Vlsosi Fourirovy rsformc Pricip suprpozic Změ zmék Změ měřík rslc fukc rspozic spkr Příkld: x () + x () ~ X (ω) + X (ω).x() ~.X(ω) Určm spkrálí fukci dokového skoku. Řší: (.9) x(-) ~ X*(ω) (.30) x(/) ~.X(ω), kd > 0 (.3) x(- ) ~ X(ω). -ω (.3) X(ω-Ω) ~ x(). -Ω (.33) Jdokový skok σ() vyhovu podmíc bsoluí igrovlosi, z. ž xisu Fourirův igrál. Pomůžm si proo pomocí xpociálí fukc x() x() A. 0 pro pro 0 0 (.34) 9

12 Proož fukc má ulový průběh pouz pro 0 do. J dy 0, lz použí Fourirův igrál pouz v mzích od X( ) 0 A. A. d (.35) Obr.-4 Čsový průběh spkrálí fukc xpociály - Obr.-5 Čsový průběh spkrálí fukc dokového skoku Z dokový skok lz povžov výš uvdou xpociálí fukci z přdpokldu, ž úlum = 0 kofici A =. Poom X ( ) (.36) dy X ( ) ( ). (.37) Příkld: Urč spkrálí fukci obdélíkového impulsu o výšc A, době rváí s áběžou hrou v počáku čsové osy. Řší: Obdélíkový impuls o poždových vlsosch můžm zkosruov z vzámě posuuých skokových fukcí, k zázorěo obr.-6. dy plí Poom x() = A.σ() A. σ(- ) (.39) Obr.-6 Kosrukc obdélíkového impulsu z vzámě posuuých skokových fukcí X( ) A. A.si.. / A. / si A... / /. / (.38) V om přípdě modul spkrálí husoy dá vzhm 0

13 Obr.-7 Spkrálí fukc obdélíkového impulsu - ) modulové spkrum; b) fázové spkrum X ( ) A..S (.39) Modul spkrálí fukc dá průběhm fukc S( /). Nulové hodoy bývá o fukc pro hodoy rgumu rovy cločíslým ásobkům,. pro rsp. dy ω / = k, k=,,, (.40) f / = k (.4) f = k/ (.4) o zmá, ž čím obdélíkový impuls užší, ím plošší ho modulová spkrálí fukc. Fázové spkrum dáo součm fukc ( ) = ω / (.43) fáz vyplývící z změy zmék fukc. Příkld: Urč spkrum Dircov impulsu. Řší: Proož dokový impuls můžm povžov z obdélíkový impuls s limiě ulovou šířkou limiě kočou výškou, ichž souči rov, pk souči A. dfiuící muliplikiví kofici u modulové spkrálí fukc obdélíkového impulsu (vzh (.4)) rov dé prví ulové hodoy doshu spkrálí fukc pro ω. o zmá, ž modul spkrálí fukc dokového impulsu rov pro všchy frkvc fáz v clém frkvčím rozshu ulová. Příkld: Urč spkrum priodického sldu Dircových impulsů s priodou. Řší: Obr.-8 Spkrálí fukc dokového impulsu Podobě ko v přípdě dorázového dokového impulsu, lz i v omo přípdě léz řší rozborm přípdu priodického obdélíkového pulsu. Z priodického chrkru sigálu vyplývá, ž ho spkrum bud diskréí, bývá hodo pouz pro frkvc rové cločíslým ásobkům zákldí úhlové frkvc sigálu, krá dá priodou opkováí impulsů,. z = /. Proož hodoy modulů Fourirových koficiů c sou dáy hodomi fukc S( /) proož dob rváí dolivých impulsů d limiě k ul, posouvá s prví ulová hodo fukc S( /) limiě do koč. Moduly dolivých koficiů proo

14 býví kosích hodo rových koficiů, rov ul. c / fáz, vzhldm k kldým rálým hodoám Obr.-9 Čsový průběh spkrum priodického obdélíkového pulsu Obr.-30 Čsový průběh spkrum priodického sldu dokových impulsů.3.4 Kovoluc Dfiic zákldí vzhy Kovoluc mmický vzh mzi dvěm fukcmi éhož rgumu dfiový x () x () x( ).x ( ).d x( ).x ( ).d (.44) Důkz: u x () x () x( ).x ( ).d u x (u).x ( u).du x () x() d du Pro kovoluci plí áslduící zákoiosi: disribuiví záko sociiví záko x 3 () x() x3() x() x() x () (.45) x 3 () x() x3() x() x() x() x () (.46) záko o posuu v čs J-li x () x() c(), pk x () x( ) c( ), x( ) x() c( ) (.47)

15 x ( ) x( ) c( ) Jsou-li x x fukc čsu, pk kovoluci odpovídá v Lplcově i Fourirově doméě souči obrzů. dy plí rsp. o rlc plí i ivrzě,. rsp. Kuzli L (x () * x ()) = X (p).x (p) F (x () * x ()) = X ( ).X ( ) L - (X (p)*x (p)) = x ().x () F - (X ( )*X ( )) = x ().x () (.48) (.49) Kuzli vlsos spíš sysémů, v přípdě sigálů vyplývá ž z podsy kuzálích sysémů. Kuzálí kový sysém, hož výsup v kždém čsovém okmžiku 0 závisí pouz průběhu vsupího sigálu x() pro 0. Jiými slovy, hodo výsupu sysému v kždém okmžiku závisí pouz vsupu v dém okmžiku ho průběhu v miulosi, ikoliv budoucích hodoách vsupího sigálu. Sysém, krý o poždvk splňu zývám kuzálí, příp. icipiví. Nbo šě ik sysém kuzálí, pokud s výsup sysému obví dřív ž vsup přivd vsupí sigál. Všchy rálé sysémy sou sysémy kuzálí. Sigály zprvidl zčíí v určiém rfrčím okmžiku, krý zývám počákm čsové osy. Jko kuzálí sigály dy ozčum kové sigály, pro kré plí x() = 0 pro < 0 (obr.-3). Z oho ply, ž možé změi igrčí mz v dfiičím vzhu pro kovoluci Důvody plyou z obr.-3. x () x () x( ).x ( ).d (.50) 0 Obr.-3 Kuzálí sigál Obr.-3 Kovoluc kuzálích sigálů 3

16 Gomrický výzm kovoluc Jk vyplývá z dfiičího vzhu kovoluc rov hodoě určiého igrálu z součiu dvou fukcí, z ichž d srvává v své pozici druhá ooč vzhldm k svému rgumu posuu o hodou, krá odpovídá rgumu fukcí, pro krý výpoč provádě (obr.-33). Kovoluc sigálu s dokovým impulsm Obr.-33 Gomrický výzm kovoluc Z dfiic dokového impulsu vyplývá (vzh (.3)), ž x (). ( )d x( ). Srovám-li o dfiičí vzh dokového impulsu Obr.-34 Kovoluc dokového impulsu s sigálm s dfiičím vzhm pro kovoluci (.44), zřmé, ž hodo kovoluc sigálu x() s dokovým impulsm v okmžiku 0 rov hodoě sigálu x( 0 ) v omo čsovém okmžiku (obr.-34). 4