Univerzální RC oscilátor, část I: trojrozměrné po částech lineární dynamické systémy

Transkript

1 9/ Unverzální RC osclátor, část I: trojrozměrné o částech lneární dynamcé systémy Ing. Jří Petržela, PhD., Ing. Josef Slezá Ústav radoeletrony Faulta eletrotechny a omunačních technologí Vysoé učení techncé v Brně, Puryňova 8, 6 Brno, Česá Reula Emal: etrzelj@feec.vutr.cz V článu je odvozena a ověřena nová strutura zětnovazeního RC osclátoru, terá může ýt ovažována za unverzální z hledsa modelování oecné třídy dynamcých systémů s třísegmentovým o částech lneárním (PWL) vetorovým olem saturačního tyu. ato třída autonomních determnstcých dynamcých systémů zahrnuje matematcé modely, teré ro jsté množny očátečních odmíne a svých arametrů vyazují tzv. chaotcé řešení. ento fat yl otvrzen jedna numercou analýzou ta rovněž ratcým měřením.. Úvod Je známo, že modelování dynamcých jevů lze využít eletroncého ovodu. Hlavní výhodou řtom je snadná syntéza výsledného osclátoru, rotože říslušné ostuy jsou jž odroně rozerány v dostuné lteratuře. Oecně lze říc, že vycházíme-l ze zadaných dferencálních rovnc exstují dva hlavní tyy zace. První zůso je založen na onstruc ntegrátorového loového schématu osclátoru, řčemž vytvoření výsledného ovodu racujícího v naěťovém režmu je zaotřeí ouze tří funčních loů. Jedná se o nvertující ntegrátor, dferenční zelovač a dvojran s ředesanou PWL řevodní charaterstou. ento ostu se hojně využívá ř syntéze eletrcých fltrů vyšších řádů. Jeho ředností je ntutvnost návrhu, nevýhodou velé množství ovodových rvů. uto oncec lze navíc ez rolémů alovat na dynamcé systémy vyšších řádů. Bude rezentována zcela nová a unverzální strutura RC osclátoru, terá je schoná modelovat všechny dynamcé systémy třídy C a F defnované v ulac [] v matcové odoě jao ( w x) x& A x h, () de x R, A je čtvercová matce a PWL funce je dána vztahem ( w x).5( w x w x ) h. () Ze vztahů () a () je zřejmé, že vetorové ole je rozděleno dvěma rovnoěžným locham na tř lneární olast. I řes formálně shodný tvar se jednotlvé třídy C a F lší, a to geometrí vetorového ole ve vntřní olast stavového rostoru. řída F je tycá tím, že ve vnějších olastech jsou nvarantním varetam nestalní vlastní locha a stalní vlastní vetor. Ve vntřní olast se ohy stavového odu sládá z dílčích ohyů o třech vlastních vetorech. Z tohoto hledsa je třea odotnout, že třídu C lze rozdělt na dvě odtřídy. První označme symolem C α a ředoládejme, že ve vnějších olastech ychom nalezl nestalní vlastní lochu a stalní vlastní vetor, zatímco ve vntřní olast se nachází stalní vlastní locha a nestalní vlastní vetor. Orot tomu třída C β se vyznačuje oačným ndexy stalty, onrétně ve vnějších olastech a ve vntřní. Uvedené nvarantní varety samozřejmě úzce souvsí s hodnotam vlastních čísel. 4-

2 9/ Výše uvedené onfgurace jsou zajímavé zejména z hledsa generace chaosu. Navržený osclátor vša funguje ro lovolný tvar stavové matce A a vetorů, w a tudíž ro zcela odlšnou geometr vetorového ole. romě různých tyů dynamcých systémů sadajících do zoumaných tříd exstují různé onfgurace jejch arametrů (ja ude dále uázáno) vedoucích evoluc chaotcého stavového atratoru.. onrétní tvary dynamcých systémů Níže uvedené dynamcé systémy včetně jejch odvození na záladě lneární toologcé onjugace lze nalézt v článcích [], [] a [4]. Výchozím matematcým modelem jsou zde tzv. Chuovy rovnce γ β α α a α, w. () Vyočítáme-l charaterstcý olynom matce A (vnější segmenty vetorového ole) otom jeho oefcenty jsou reálná čísla, a. Analogcy oefcenty charaterstcého olynomu matce Aw (vntřní segment vetorového ole) označme symoly, a. První anoncý evvalent dynamcého systému () lze zasat ve tvaru, w. (4) Modfací tohoto stavového osu vznne druhý anoncý evvalent dynamcého systému (), tedy onrétně, w. (5) Jao referenční dynamcý systém označujeme soustavu dferencálních rovnc v normálním tvaru, to znamená, w. (6) Dynamcý systém se stavovou matcí v loově trojúhelníovém tvaru s odmatcí v omlexně rozloženém tvaru odovídá zás, w w, w,,,. (7)

3 9/ Danou odmatc lze rozložt do elementárně anoncého tvaru, čemuž y odovídal následující matematcý model, w. (8) Oa osledně uvedené dynamcé systémy lze zomnovat v tom smyslu, že stavová matce ro vntřní segment je v jném tyu rozladu než stavová matce ro vnější segmenty vetorového ole. yto hyrdní onfgurace nejsou uvedeny. Lze se soojt s onstatováním, že exstují a lze je modelovat níže uvedeným RC osclátorem. Intutvně se lze domnívat, že z hledsa ovodové jednoduchost je zajímavý říad dynamcého systému se stavovou matcí A v loově dagonálním tvaru. ento říad oět zahrnuje dva dynamcé systémy, rvním z nch ude [ ] x x x h &,, [ ], (9),, a druhým [ ] x x x h &,,,,. () Výše uvedené matematcé modely třídy C α neo C β zahrnující jao arametry vlastní čísla udou mít jný tvar ro dynamcé systémy třídy F. Je to logcé, rotože místo omlexně sdružených vlastních čísel ve vntřní olast vetorového ole ±j jsou zde dvě čísla reálná, tedy a. Z toho rovněž vylývá, že jný tvar mají elementární rozlady stavových odmatc, tedy nařílad Jordanova matce. Vzhledem tomu, že ve vztazích ro ovodové rvy RC osclátoru se vysytují rvy matce A a vetoru, lze dynamcé systémy třídy F modelovat tímto ovodem. Z hledsa složtost výsledného ovodu nelze jednoznačně určt, terá ze zoumaných tříd systémů ude složtější. o záleží výhradně na hodnotách nterních arametrů jednotlvých systémů.

4 9/ Odoou dynamcého systému (7) je A,, w w,, ( ), w,, 4 ( ) ( ) ( ) Rovněž matematcý model (8) má ve třídě F svou alternatvu, je to ( ).5 A, ( ).5, ( ) w, ( ). w w,. 4 Alací lneární nengulární transformace souřadnc lze zísat neřeerné množství nových matematcých modelů, výše uvedený výčet se vša autorům jeví jao dostatečný.. Množny arametrů a jejch řeočet V této atole udou uvedeny množny arametrů ro jednotlvé dynamcé systémy (vlastní čísla a oefcenty charaterstcého olynomu), teré vedou evoluc složtých stavových atratorů, chaosu. Pro řeočet těchto arametrů na onrétní hodnoty ovodových rvů RC osclátoru yl vytvořen rátý rogram v rostředí Mathcad. Uvedení těchto hodnot ro všechny možné zoumané dynamcé systémy y znamenalo neřměřené rodloužení rozsahu tohoto článu. Navíc se jedná o elementární výočty, a roto je vynecháme. () () A a. : Parametry matematcých modelů třídy C vedoucích evoluc chaotcého atratoru. A a. : Parametry matematcých modelů třídy F vedoucích evoluc chaotcého atratoru. 4-4

5 9/ Numercá ntegrace rovedená Runge-uttovou metodou čtvrtého řádu v rogram Mathcad je uvedena na Or., Or. a Or.. Ve všech říadech yly oužty jednotné arametry, a ce očáteční odmíny x (. ), oncový čas t max s roem t.. Or. : První čtyř atratory třídy C ro rvní anoncý dynamcý systém. Or. : První čtyř atratory třídy C ro druhý anoncý dynamcý systém. 4. Ovodová zace Or. : První čtyř atratory třídy C ro referenční dynamcý systém. romě avních lneárních rezstorů a ondenzátorů osahuje ovod dvojran s PWL řenosovou charaterstou a tř sumační zelovače naětí se dvěma vstuy. yto oecně dferenční zelovače mají v deálním říadě výstuní naětí rovno S- : u S s u s u, S- : us s u s u, S- : us s u s u. () V rax yly úsěšně vyzoušeny lacé naěťové oerační zelovače L84. Je zřejmé, že ovod je otřea navrhnout ta, ay vstuní medance dferenčních zelovačů yly co největší. onečná hodnota totž zůsouje chyové výrazy v dferencálních rovncích (4) a může vést až destruc stavového atratoru. Směrnce PWL řenosové funce je navržena ve vntřním segmentu vetorového ole na ψ a ve vnějších segmentech na ψ. 4-5

6 9/ onrétní zaojení osclátoru je uvedeno na Or. 4. Vetor stavových roměnných je tvořen naětím na jednotlvých ondenzátorech. Na záladě rchhoffových záonů lze ro daný ovod odvodt stavové rovnce ve tvaru ( g g g ) u d s d gs s d gs s u d u d gs s d( g gs g ) d gs s u d t u d gs s d gs s d g gs g u (4) d g u u u ψ ψ dg ψ w u w u w u, dg u u u de d /c, g /r, g /r, g /r a vetor w (w w w ). Ovod lze zjednodušt vynecháním lneárních rezstorů r, r a r, ovšem za cenu možného výsytu lovoucích negatvních rezstorů. Ovodová zace těchto dvojranů je omlovaná a vyžaduje čtyř atvní funční loy. Porovnáním (4) se zásem () održíme jednoduché návrhové vztahy. Je-l > otom c a g, oud ude zároveň A < dostáváme A g 9 j, g ( A ), j A. (5) V říadě že A > se jednotlvé vztahy změní Aj g ( A ), g A, j A. (6) Je-l < otom zvolíme c -, g - a výočetní rocedura se oět větví na dva říady. Or. 4: Ovodové zaojení RC osclátoru se sumačním zelovač naětí. 4-6

7 9/ Prvním z nch nastane dyž A <, tehdy dostáváme Aj g ( A ), g ( A ), j A, (7) a analogcy lze odvodt říad dyž A > A g 9 j, g A, j A. (8) Posledním dílčím říadem je, není-l výstu PWL čtyřranu řojen -tému uzlu ředstavujícímu stavové naětí. Zde je možné zvolt 9 9 g, g A, g, s j Aj. (9) Výhodou rezentovaného RC osclátoru je fat, že jej lze snadno rozšířt ro účely modelování dynamcého chování systémů čtvrtého řádu. Zde se jž můžeme setat s jevem známým jao hyerchaos [5]. 5. Exermentální ověření Přílady vyraných stavových atratorů měřené na dgtálním osclosou etronx jsou uvedeny na Or. 5. Využto řtom ylo jednotlvých onfgurací ovodových rvů uvedených v a. resetve v a.. Or. 5: Rovnné rojece stavových atratorů ozorované na osclosou. 4-7

8 9/ Or. 6: Rovnné rojece stavových atratorů ozorované na osclosou, oračování. 4-8

9 9/ Závěr V článu yla odvozena a měřením exermentálně ověřena unverzální strutura zětnovazeního RC osclátoru, umožňujícího modelovat omlované dynamcé chování včetně chaosu. ransarentnost uvedeného osclátoru umožňuje jeho jednoduchý řevod do roudového režmu. Jednotlvé sumace zde udou zovány uzly, což y vedlo dalšímu zjednodušení výsledného ovodu. Složtost výsledného ovodu je srovnatelná s ostuem založeným na ntegrátorové syntéze a úzce souvsí jadna s modelovaným dynamcým systémem ta taé s onrétní množnou arametrů. Acnowledgement ento článe vznl s fnanční odorou výzumného záměru Mnsterstva šolství Česé Reuly číslo MSM 65. Lteratura [] PERŽELA, J. Modelování zvláštních jevů ve vyraných nelneárních dynamcých systémech. Dsertační ráce, FE VU v Brně, 7. [] POSPÍŠIL, J., OLA, Z., HANUS, S., BRZOBOHAÝ, J. Synthes of Otmzed Pecewse-Lnear Systems Ung Smlarty ransformaton Part III: Hgher-Order Systems. Radoengneerng., vol., no.. ISSN -5. [] POSPÍŠIL, J., BRZOBOHAÝ, J., OLA, Z., HORSÁ, J. New Reference State Model of the hrd-order PWL Dynamcal System. Radoengneerng., vol. 9, no.. ISSN -5. [4] PERŽELA, J., POSPÍŠIL, V., HANUS, S. On the Degn of Roust Chaotc Oscllator. WSEAS ransactons on Crcuts. 5, vol. 5, no., ISSN [5] WY, M. A., SEEB, W. H. Chaos n Electroncs. luwer Academc Pulshers, ages. ISBN