U n i v e r z i t a T o m á š e B a t i v e Z l í n ě Fakulta aplikované informatiky MATEMATIKA I

Transkript

1 U i v e r z i T o m á š e B i v e Z l í ě Fkul plikové iformiky MATEMATIKA I STRUČNÝ VÝKLAD ŘEŠENÉ PŘÍKLADY CVIČENÍ S APLIKACEMI UKÁZKY SYSTÉMU MAPLE MILOSLAV FIALKA HANA CHARVÁTOVÁ ZLÍN 9

2 Recezovl: oc RNDr Josef Hošek CSc RNDr Miloslv Filk CSc ISBN:

3 PŘEDMLUVA Přemluv Skripum Memik I oshuje jk uváí už jeho poiul sručý ázorý moivující výkl záklů učiv z prvího semesru přeměu Memik I s možsvím kvliích orázků řešeé příkly ejuější miimum příklů s výsleky k smosému procvičeí ze širokého spekr plikcí Zhruje ukázky řešeí ěkerých memických prolémů sysémem počíčové lgery Mple v ěmž jsou vyvořey veškeré orázky vlsě i segmey ozoých prvků v přemluvě závěru skrip keré jsme v Mple moelovli z čásí křivek používých v echické pri (z proloužeé cykloiy klooiy oočeé Archiméovy spirály) Zápis eu respekuje plou Českou echickou ormu [] Skripum může ý vzhleem ke kocerové formě výklu přehleou učeí pomůckou sueům UTB ve Zlíě o eje z Fkuly plikové iformiky le i z Fkuly echologické popř z Fkuly mgemeu ekoomiky kerá y jim měl spolu s ezsupielým výklem přeáškách prcí v semiářích i smosuiu pomoci jk jsou uoři přesvěčei k kivímu zvláuí láky z memické lýzy změřeé ifereciálí iegrálí poče reálých fukcí jeé reálé proměé Vhoou lieruru k smosému propočíáí lších příklů jisě oporučí jeoliví přeášející eo lze využí es už ohou íku weu Příkly meší ž sřeí oížosi keré jsme zřili k smosému procvičeí voří osvěčeé miimum jehož zvláuí y se mělo sá ruiou ím i jeou z uých pomíek úspěchu u zkoušky Oížos příklů ve cvičeích je proo srovelá př se srším skripem vážeého kolegy F Dučák [] Pmovli jsme rověž zřzeí příklů z plikcí Cílem zřzeých pozámek je učivo zjímvě uvés ojsi o zejmé geomerickou ázorosí po moivci prolému popř výkl osvěži úji z hisorie memiky Nší shou ylo ps pro suey UTB ve Zlíě sručý zároveň srozumielý ázorý i memicky korekí úvoí učeí e ke zmíěému přeměu kerý y jim ké pomohl úspěšě zvláou vzující přemě Memik II popořeý skripy M Filky [] [] Čás I II ohoo skrip zprcovl Miloslv Filk čás III zprcovl H Chrváová Děkujeme recezeovi skrip oc RNDr Josefu Hoškovi CSc z Uiverziy Plckého v Olomouci z užiečé áměy k eu i z poěé iskuze keré přispěly k jeho výsleé úrovi Sueům hoě chui o sui přejí pečlivým čeářům z ispirující připomíky k omuo eu přeem ěkují uoři Zlí srpe 6 Zlí červeec 7 RNDr Miloslv Filk CSc Ig H Chrváová PhD Lepší je zpáli ře je jeu svíčku ež proklí mu (Kofucius) Ko víězí limi je mocý Ko víězí seou je ejmocější (Lo-c) Učeos ez cosi je jko kvě ez su (J Ámos Komeský)

4 PŘEDMLUVA OBSAH Přemluv Osh I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 Pojem reálé fukce reálé proměé rozěleí fukcí o možiě R R * 5 Okolí ou ěkeré vlsosi fukcí složeá fukce 7 Iverzí fukce Cyklomerické fukce 5 Elemeárí fukce 6 Cvičeí A 7 Limi fukce včeě Heieho efiice pomocí limiy poslouposi čísel 5 8 Šes ůležiých příklů limi lší vlsosi limiy 6 9 Spojios fukce včeě Heieho efiice věy o limiě složeé fukce Cvičeí B Derivce fukce 5 Cvičeí C 9 Derivce fukce vyšších řáů Cvičeí D 5 Difereciál fukce 6 Cvičeí E 7 Beroulliovo l Hospilovo prvilo (vr záklí i zoecěý) 5 8 Cvičeí F 6 9 Lokálí erémy fukce 8 Gloálí (soluí) erémy fukce 9 Koveos kokávos fukce 9 Ifleí o Iflee fukce Asympoy fukce Vyšeřováí průěhu fukce 5 Cvičeí G 6 Tylorův polyomický rozvoj fukce pozámky k jeho výzmu 5 7 Cvičeí H 9 8 Derivce fukce é prmericky Pojem implicií fukce 5 9 Cvičeí I 5 Záklí věy ifereciálího poču 5 Cvičeí J 57 II INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 58 Neurčiý iegrál 58 Záklí vlsosi eurčiého iegrálu 59 Cvičeí K 6 5 Iegrce rcioálích fukcí 6 6 Cvičeí L 66 7 Iegrce susiucí 67 8 Cvičeí M 68 9 Iegrce per pres (po čásech) 69 Cvičeí N 69 Iegrce goiomerických fukcí 7 Cvičeí O 7 Iegrce lších fukcí 75 Cvičeí P 76 5 Určiý iegrál Riemův 77 6 Vě Newo Leiizov Záklí vě iegrálího poču 8 7 Cvičeí Q 8 8 Vlsosi výpoče určiého iegrálu 8 9 Cvičeí R 87 5 Geomerické plikce určiého iegrálu 89 5 Příkly geomerické plikce určiého iegrálu 9 5 Cvičeí S 95 5 Nevlsí iegrál 97 5 Cvičeí T 99 III UKÁZKY SYSTÉMU MAPLE 55 Ukázky z úvou o memické lýzy lgery 56 Ukázky z ifereciálího poču fukcí jeé proměé 5 57 Ukázky z iegrálího poču fukcí jeé proměé 5 LITERATURA 7

5 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ POJEM REÁLNÉ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ rozěleí fukcí o možiě R R * FUNKCE DEFINIČNÍ OBOR OBOR HODNOT GRAF Zorzeí f možiy M R o možiy všech reálých čísel R se zývá fukce (reálá fukce jeé reálé proměé) Píšeme f : M R eo M R Pomoži M v R ozčeá čso D f či om f efiová ásleově D f om f { R ( eisuje jeié ) y R ( k že ): ( y) f R R} se zývá efiičí oor fukce f Píšeme f y čeme: vzoru (ezávisle proměé rgumeu) je při zorzeí f přiřze orz (závisle proměá) y Symol f() ozčuje jk pouze fukčí hoou y v čísle (oě) k ěky éž smoou fukci f Neí-li D f přeem zá pk jím rozumíme (ejvěší) možiu všech pro ěž má výrz f() smysl Moži orzů H f f (D f ) im f { y R (eisuje spoň jeo) R: ( y) f } se zývá oor hoo fukce Moži oů eukliovské roviy E ozčeá G f G( f ) {( f()) E D f } ke čísl f() jsou souřice oů ze sousvy souřic (ovykle krézské j prvoúhlé) se zývá (krézský) grf fukce f PŘÍKLAD Pro fukci f ou rovicí y určeme D f H f Plí D f R H f [ ) R * ke moži R * : R { } { } což čeme: R * je z efiice rovo přičemž symol : eo : je efiiorická rovos Moži R * je rozšířeí možiy reálých čísel o evlsí čísl hooy oy Poroěji o R * pojeává v závěru éo kpioly čláek POZNÁMKA Fukce emusí ý vžy á je vzorcem lyicky le éž př grficky elcí (ulkou měřeých hoo) jko limi (ekoečé) poslouposi fukcí Nše ozčeí f() fukce pochází z r 75 o Leohr Euler (77 78) ROZDĚLENÍ FUNKCÍ (přičemž ázvosloví eí jeoé) FUNKCE ALGEBRAICKÉ Jsou o fukce y f() ieicky splňující lgerickou rovici vou proměých [j rovici p( y) ke p( y) je polyom proměých y Npř lgerická fukce y pro vyhovuje rovici y ] eoli svým lyickým vyjářeím p( y) přepisují pro rgume koečý poče čyř opercí: sčíáí očíáí ásoeí umocňováí rcioálím epoeem; RACIONÁLNÍ CELISTVÉ POLYNOMY př LOMENÉ (eryze) (ryze) IRACIONÁLNÍ ( ) ; TRANSCENDENTNÍ (rsceeo skuečo): Ty co ejsou lgerické NIŽŠÍ Npř co si ( π) rcco () l ( ) ; VYŠŠÍ Npř e sg Dirichleov fukce χ() Dále o jsou iegrálí fukce eo je lze vyjáři jko ekoečou řu fukcí - př fukce iegrálsius eoli siusiegrál si ± F( ) Si eo F( ) e f

6 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 6 Sklááím (Viz ále pojem složeá fukce) lgerických fukcí ižších rsceeích fukcí vzikou fukce s hisorickým ázvem fukce elemeárí (osí fukce jsou eelemeárí) Poroěji viz čláek 5 5 ABSOLUTNÍ HODNOTA FUNKCE f se zývá ková fukce g že g ( ) f ( ) pro D f Píšeme g f 6 OPERACE S FUNKCEMI Součem fukcí u v se zývá ková fukce w že w ( ) u( ) v( ) pro D u Dv Píšeme w u v w ( ) ( u v)( ) po Pooě efiujeme rozíl souči i poíl fukcí u v s ím že efiičím oorem poílu je moži ( D D ) \ { D v( ) } u v v 7 PŘÍKLAD Fukce (srší ázev: celá čás z gl eire celý) zývá chrkerisik čísl R se ozčuje e Je o ejvěší celé číslo ejvýše rové (j meší ež eo rové ) j plí pro ěj: e < e (e eí zv elemeárí fukce ) Pro chrkerisiku e čísl je ey e k Z ( moži celých čísel) plí k < k Npř e 5 5 e 5 e ( 85) 8 PŘÍKLAD Fukce sigum ( zméko ): sg (Aglossové píší: sig opě o eí zv elemeárí fukce ) má grf ; plí sg > < Plí éž př sg 9 PŘÍKLAD 8 Moifiková Dirichleov fukce ozčeá řeckým chí emá v souřicové roviě zázorielý grf ( eí zv elemeárí fukcí emoifiková y míso měl ): Q χ( ) I ke Q resp I je moži všech rcioálích resp ircioálích čísel (víme že I R \ Q); fukce eí iegrovelá (ve smyslu Riem) le χ( ) je koečý j je iegrovelá (ve smyslu Riem) v soluí hooě [Je ké iegrovelá v zv Leesgueově smyslu eo iegrál je rove ( ) ( ) Poroěji o om ž v čláku 55 sr 8] ROZŠÍŘENÍ R * MNOŽINY VŠECH REÁLNÝCH ČÍSEL R Moži R všech reálých čísel s (iárí) relcí uspořááí < (resp >) v í efiovou je jk víme uspořáou možiou Tuo možiu si přesvujeme jko zv číselou reálou osu (přímku) o íž ké říkáme že je geomerickým moelem jeorozměrého reálého eukliovského (oového) prosoru E Rozšířeí R * možiy reálých čísel R o možiu oshující prvky ozčeé zývé plus ekoečo míus ekoečo je moži efiová sjeoceím * R : R { } { } Prvky éo rozšířeé možiy reálých čísel R * ueme věšiou zýv evlsí oy (čísl hooy) osí prvky (j čísl z R) vlsí oy N možiu R *

7 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 7 přirozeým způsoem rozšíříme z R operce sčíáí očíáí ásoeí ěleí pro ásleujícími vzhy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) pro R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /( ) /( ) c) pro R \ {}: ( ) ( ) ( ) kyž je > eo kyž je < ( ) ( ) ( ) kyž je < eo kyž je > ( ) / sg ( ) ( ) / sg ( ) Nále zůsávjí eefiováy (emjí smysl) operce: ěleí ulou ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ) N R * lze z R rověž rozšíři uspořááí < k že pro liovolé R efiujeme: < < EXTRÉMY MNOŽIN V R Je-li M moži v R pk mimum možiy M se zývá číslo ozčeé m M M kové že M : m M Alogicky miimum možiy M se zývá číslo ozčeé mi M z M kové že pro kžé M plí mi M ( Npř eeisuje mi ( ] m ( ] ); Posým zoecěím přeešlých vou pojmů jsou v ásleující pojmy: * Supremum možiy M reálých čísel se zývá číslo K R kové že ) M : K ( říkáme že číslo K je horí ohričeí závor mez oh) možiy M ) K je ejmeší ze všech čísel s vlsosí ) Supremum možiy M ozčujeme sup M Alogicky efiujeme ifimum možiy M ozčujeme je if M jko ejvěší ze všech čísel * (olích ohričeí) k R kových že M : k ( Npř if( ] sup( ] m( ] ) Lze okáz že supremum možiy (resp ifimum) vžy eisuje zo všk emusí ý prvkem é možiy Eisuje-li všk př m M pk sup M m M Dále je if sup OKOLÍ BODU NĚKTERÉ VLASTNOSTI FUNKCÍ SLOŽENÁ FUNKCE DEFINICE Okolím ou R poroěji δ-okolím ou ke δ > rozumíme kžý oevřeý iervl ( δ δ) ozčujeme jej O δ ( ) popř O( ) DEFINICE Levým (levosrým) resp prvým (prvosrým) okolím ou R rozumíme kžý polouzvřeý iervl ( δ ] : O( ) resp [ δ) : O( ) ke δ > (Je o jeosrá okolí ou ) Reukové či eúplé či ryzí okolí ou je moži O( )\{ } ( δ ) ( δ) : O * δ ( ) j epří o reukového okolí ( O * δ ( )) Reukovým levým okolím ou je oevřeý iervl ( δ ) : O * δ ( ) Pooě reukové prvé okolí ou je iervl ( δ) : O * ( ) ke δ > Okolím O ( ) resp reukovým okolím O ( ) ou R * rozumíme liovolý iervl kerý je vru ( ) ke R (liovolé) Okolím O ( ) resp reukovým okolím O ( ) ou R * rozumíme liovolý iervl kerý je vru ( ) ke R (liovolé) Defiujeme ey O ( ) O ( ) : ( ) <

8 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 8 pooě pro o POZNÁMKA Plí O * ( ) O * ( ) O * ( ) O( )\{ } DEFINICE Fukce f () se zývá rosoucí fukce v oě D f kyž eisuje okolí O( ) ou k že plí O( ) < f() < f( ) O( ) < f( ) < f() (Smi pole orázků efiuje fukci klesjící ) klesjící eklesjící erosoucí < : f() > f( ) f() f( ) f() f( ) Klesjící rosoucí fukce (v oě ) se zývjí ryze mooóě klesjící resp ryze mooóě rosoucí Plí-li eosrá erovos je o fukce eryze mooóě rosoucí resp klesjící eoli ké fukce eklesjící resp fukce erosoucí Všechy zmíěé ypy jsou fukce mooóí 5 POZNÁMKA Npř fukce f ( ) cos je zároveň eklesjící i erosoucí v kerémkoli oě Dále říkáme že fukce ƒ() je erosoucí možiě M Df ( M může ý éž iervlem J ) kyž pro kžé v oy M plí implikce < ƒ( ) ƒ( ) (Osí přípy si promyslee smi) 6 DEFINICE Fukce f() se zývá shor ohričeá R: f() D ƒ číslo zveme horí ohričeí fukce resp se zývá zol ohričeá c R: f() c D ƒ číslo c zveme olí ohričeí fukce Fukce f() se zývá ohričeá (éž omezeá) je-li zároveň shor i zol ohričeá (Fukce ƒ() je ohričeá eisuje k R : f() k ) 7 PŘÍKLAD Pro kžé je si k j si je ohričeá fukce (shor i zol) 8 DEFINICE Fukce f se zývá suá kyž plí D ƒ D ƒ f( ) f() [Grf je OSOVĚ symerický pole osy y] Fukce f se zývá lichá kyž plí D ƒ D ƒ f( ) f() [Grf je STŘEDOVĚ symerický pole počáku sysému souřic] 9 PŘÍKLAD Fukce je lichá ( po čásech kosí) DEFINICE Nechť R je moži všech klých reálých čísel Fukce f je perioická kyž D ƒ má vlsosi: ) D ƒ oshuje éž o p ke číslo p R ; ) plí f( p) f() Číslo p resp ejmeší kové číslo se zývá perio resp záklí perio fukce f PŘÍKLAD Pro fukci f ( ) si je p π záklí perio Osí perioy jsou jejími ásoky

9 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 9 POZNÁMKA V prvoúhlém rojúhelíku ázorě všk umericky epřesě zveeé goiomerické j kruhové fukce jsou k memickým účelům přeefiováy ekoečým polyomickým rozvojem (zv ekoečou mociou fukčí řou) ásleově 5!! 5! si : ( ) R! ( ) ( ) ( )! cos :!! R : ( π < < π ) 5 5 co : 5 ( < < π ) 5 95 Jk můžeme yo jié ůležié rozvoje získ proereme v Tylorově věě 6 srě 6 DEFINICE složeé fukce Nechť g je fukce zv viří fukce ( viří složk ) efiová D g s oorem hoo H g Nechť f je vější fukce (složk) efiová D f echť plí H g D f Poom fukce h ozčová věm zápisy: h f g f(g) {( y) u R pro ějž plí ( u) g (u y) f } se zývá fukce složeá (kompozice) z fukcí g f Jsou-li fukce f g áy lyicky (vzorci) y f(u) u g() píšeme y f(g()) eo y f g() eo je y h() Přiom symol zčí operci sklááí fukcí v zpsém poří ky ejprve zorzuje g pk f PŘÍKLAD Rozepišme ásleující složeou fukci y si Nechť g : si : u g u u g : u u f : y u g g g f Pk u u u u u u y Tey h y přičemž y h() f( g ( g ( g )))() f g g g () ( ) 5 DEFINICE Ať M je vlsí pomoži efiičího ooru D f fukce f j M D f ( přičemž M D f ) Fukce efiová je M kerá kžému M přiří uéž hoou f() jko fukce f se zývá resrikce eo zúžeí fukce f možiu M zčíme ji f M Ozčeí ooru jejích hoo je H( f M ) či je f(m) 6 PROSTÁ ( INJEKTIVNÍ ) FUNKCE f se zývá kžá fukce kerá je prosým zorzeím j ky liovolým věm růzým vzorům jsou přiřzey v růzé orzy eoli plí implikce D f : f ( ) f ( ) Plí-li implikce je možiě M D f říkáme že f je prosá fukce možiě M Tvrzeí: Je-li fukce f ryze mooóí je prosá (Neplí o oráceě př pro fukci ) r 7 FUNKCE OBECNÁ MOCNINA eoli MOCNINNÁ FUNKCE je fukce f ( ) r R Její efiičí oor i průěh závisí čísle r Pro r celé klé je D R Pro r celé záporé je R \ { } eoť pro ecelá r lze D Neí-li r celé číslo uváí se ovykle že D ( ) f r efiov rovosí r l r r l e e ke fukce logrimus je r efiová je pro > Přiom le pro ěkerá ecelá r můžeme efiici fukce rozšíři r r ásleově: Pro r > položíme kže efiičím oorem je pk iervl [ ) Pro rcioálí r keré lze zps ve vru r p q ke p q jsou celá esouělá čísl f f

10 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ číslo q je liché lze r efiov i pro < ; j př pro ( 7) 7 7 r 7 je pk INVERZNÍ FUNKCE DEFINICE Nechť y f () je prosá fukce s efiičím oorem D f oorem hoo H f (j H f f ( D f ) Pk fukce f (y) {(y ) R R ( y) f } kerá kžému číslu y H f přiřzuje právě o číslo D f pro ěž f() y se zývá iverzí fukce k fukci f Píšeme f (y) [ čeme: f iverzí ( popř f míus ) ypsilo] POZNÁMKA Jsou ey fukce f f vzájemě iverzí Je ře si uvěomi že při zkreslováí grfu iverzí fukce f ( y) (k é fukci y f () ) hooy rgumeu y vyáším ričě osu O hooy ové závisle proměé pochopielě osu Oy kže y si vyměí při omo zkreslováí grfu svůj půvoí výzm ze zorzováí Grf ko zkresleé ozčeé iverzí fukce y f ( ) (vziklý ze zorzeí půvoí iverzí fukce f ( y ) ) je vžy osově symerický pole symerály kvru o rovici y s grfem půvoí fukce y f () POZNÁMKA Je ey zřejmé že echceme-li úvhy o iverzí fukci f ( ) komplikov př ve vzorci o erivci iverzí fukce f ( ) echceme změňov y pk jko výchozí závislos vezmeme vžy fukci f ( y) kže y f ( ) VĚTA o eiseci iverzí fukce Je-li fukce f klesjící (rosoucí) [j je ryze mooóí] M pk k í eisuje iverzí fukce f f (M ) je klesjící (rosoucí) Plí vzorce ) f ( M ) : f ( f ( )) f f ( ) přičemž je symol operce sklááí zorzeí ) M : f ( f ( )) f f ( ) 5 PŘÍKLAD Pole čási ) přeešlé věy vyjřující příslušé možiě ekvivleci složeí vou zorzeí s ieickým zorzeím přejěme o fukce si v lším příklu pk o fukce e k fukci iverzí: y f() si [ π π ] rcsi ( ) rcsi y rcsi (si ) (Pole čási ) přeešlé věy) rcsi y f ( y ) rcsi f ( ) y Nyí vyměíme y: eoli pro zkresleí grfu iverzí fukce f ( ) oseme y rcsi f ( ) 6 PŘÍKLAD y e f() R l ( ) l y l e l y výměou y pro zkresleí pk osáváme y l f ( ) Tey fukce epoeciálí logrimická jsou (vzájem) iverzí fukce 7 PŘÍKLAD CVIČENÍ 87 Nečěe he e ve zvojeých složeých závorkách { } v ichž je opověď ásleující úlohu keré si rzy zvykee eoť uou rověž používáy pro oělováí výsleků k příklům z kpiol pro smosá cvičeí Tey zkuse si promysle z pole věy o eiseci iverzí fukce eisuje iverzí fukce f k fukci f ( ) e Nčrěe f () Lze f vyjáři fukčím přepisem? { f eisuje R eoť f je R

11 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ klesjící j i prosá; elze f epliciě vyjáři eoť z rovice y 8 POZNÁMKA V memické lýze je epoeciálí fukce ěky zpsá ep() efiová zv ekoečou (mociou fukčí) řou e : R!!!! Ou oszeím lze Eulerovo číslo e efekivě vyčísli př PC koečě moh čley z číselé řy e:!!!! Eulerovo číslo e lze rověž vyjáři limiou e lim ( ) CYKLOMETRICKÉ FUNKCE e elze vyjáři POZNÁMKA Goiomerické fukce po řě si cos co ejsou ( svých D f : f f eoli v efiičích oorech) prosé fukce j eplí ( ) ( ) růzé vzory emusí mí růzé orzy Proo je ře se omezi při efiováí fukcí k im iverzích po řě rcsi (či: rkussius ) rccos rc rcco což jsou pole ČSN-ISO - zv cyklomerické fukce eo éž iverzí kruhové fukce je kový iervl ěmž je výchozí goiomerická fukce prosá zároveň eí leko o počáku Cyklomerická fukce je ey vžy iverzí fukce pouze k resrikci zúžeí výchozí goiomerické fukce Npř resrikce fukce sius iervl [ π π ] už je prosou fukcí Defiičím oorem fukce rkussius je iervl [ ] oorem hoo iervl [ π π ] Tey [ ] : y rcsi si y Zpmujme si grfy cyklomerických fukcí! Z fukce si se vezme čás ke je PROSTÁ (prosé zor) j INJEKCÍ 5 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 5 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE Mezi fukce ozčové hisorickým ázvem elemeárí fukce elemeárí rsceey pří kosí fukce fukce oecá r moci ( y ke r R ) e l goiomerické fukce cyklomerické fukce hyperolické fukce hyperolomerické fukce všechy fukce keré lze z uveeých vyvoři koečým počem rimeických opercí (j sčíáím očíáím ásoeím ěleím fukcí) ále opercí (přípusého) sklááí ěcho fukcí j pří sem př polyomy 5 PŘÍKLAD Je zorze grf fukce f ( ) D f R Je o elemeárí fukci? 6 CVIČENÍ A Určee efiičí oor D oor H hoo fukcí 8 f ( ) D H R f f

12 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ g ( ) D g [ ) H g [ ) R y rcsi( 5) D y [ 5 5] H y [ π π ] 8 ϕ () D H ϕ ϕ Zjisěe z je fukce f možiě M ohričeá ) shor ) zol c) ohričeá jěe ze její supremum ifimum eisují-li éž její mimum i miimum jesliže 5 f ( ) si M D f ) o f ( ) ) o f ( ) c) o f ( ) sup f m f if f mi f 6 ( ) 6 5 M ) o f ( ) ) o f ( ) c) o f ( ) f ( ] f ( M ) m f ( M ) if f ( M ) mi f ( M ) sup 7 f ( ) M ( ) M D f ) o f ( ) < ) o f ( ) c) o f ( ) < sup f ( M ) eeisuje m f ( M ) if f ( M ) mi f ( M ) 8 Sove v příklech ž supremum ifimum možiy D H popř eisují-li ké její mimum miimum ozíky??? zčí že výsleek euváíme * N možiě N N \ { } všech klých celých čísel ke { } je á fukce f : N * R zývá posloupos { } reálých čísel f ( ) 9 ( ) ( ) rc N je moži všech přirozeých čísel přepisem Nčrěe si grf poslouposi jkožo možiy izolových oů pk jěe supremum sup ifimum if oou poslouposí 9 sup if ; sup π if π Zvole grf ekosí fukce f ( ) y Pro celočíselé kosy př k ± l pk kreslee geomerickou ermiologií chrkerizuje grfy fukcí m ± ± y f ( ) k y f ( l) y f ( l) k y f ( ) 5 y m f ( ) 6 y f ( ) 7 y f ( ) 8 y m f ( l) k 9 y f ( ) y f ( ) y f ( ) m ke iverzí fukce f eisuje Určee hooy cyklomerických (eoli iverzích kruhových) fukcí rcsi ( ) π rcsi rccos π 6 rc rcco 6 rcco 8 ( ) π 9 ( ) π ( ) π 7 ( ) π Keré z ásleujících fukcí jsou sué liché popř u ich eí přeešlá pri? Přiom { π rccos { rc π e e e e sih resp cosh jsou fukce hyperolický sius resp hyperolický kosius prví vě ze čyř zv hyperolických fukcí Jsou áy fukce y sih lichá y cosh { { suá y si cos eí y { 5 si 6 y suá 7 si y 5 e { y { lichá y { lichá si { { { suá { eí Sove záklí periou p v přípě že ásleující fukce je perioická 8 y { je perioická le p eeisuje eoť záklí perio p > může ý oiž liovolá

13 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 9 y si p π y cos p π y si( ) p π y eí y ( rc ) eí y rc ( ) p π 5 Nkreslee grfy fukcí z přeešlého příklu y f ( g ) pole vzoru y f ( u) u g( ) je-li cos 6 y si { y u u si 7 ( π y e ) u y e u cos ( π) Bez určeí efiičího ooru zpiše složeou fukci ( ) Jsou áy fukce f f Sesve složeé fukce h f f h f f pro fukce 8 f ( ) f ( ) 5 { f ( ) e f ( ) l 5 f ( ) l f ( ) e 5 f ( ) f ( ) rc { { h ( ) ( ) ( ) h ( ) 5( ) { h ( ) pro R h ( ) { h ( ) h ( ) pro > { h ( ) h ( ) k π z přepoklu že y ( π π ) k Z { { { Zjisěe z je fukce f prosá v klém přípě k í jěe iverzí fukci f f ( ) o eoť rovos f ( ) ( ) f á což plí je kyž ; ( pro ( ) ( ) f ) f ( ) e eoť rovos f ( ) ( ) f á ( ) ( ) čemuž vyhovuje eje le i f ( )??? Úloh z echické pre vel jisou ifereciálí rovici jejíž řešeí eylo lezeo v epliciím vru y f ( ) le ylo u ěj resp y určeo kžé zvlášť fukcí ϕ ( ) resp ψ () závislou prmeru z možiy M j plilo ϕ() y ψ() M Njěe závislos y f ( ) k že určíe ϕ ( ) pomocí iverzí fukce ϕ ( ) (eisuje-li) j ue y ψ ( ϕ ( )) f ( ) jsou-li áy 55 y si M R ϕ () je ryze mooóí (rosoucí) prosá (oráceá implikce emusí pli což je zřejmé př z grfu fukce y ) v R ϕ ( ) f ( ) si R 56 y M [ ) ϕ( ) je rosoucí prosá v M (ikoli všue v R) ϕ ( ) f ( ) M jejím grfem je horí věev ležé proly ( y ) oevřeé ve směru osy 57 si y cos M [ π ] ϕ ( ) si je ryze mooóí prosá M ϕ ( ) rcsi f ( ) cos ( rcsi ) grfem fukce y f ( ) je čvrkružice y v kvru moelová při rosoucím (popř ) pohyem ve smyslu oáčeí hoiových ručiček 58 e y R ze elze z rovice vyjáři eoli i ϕ ( ) čkoli eorie její eiseci gruje (PROČ gruje?) Ze je výhoější prcov se závislosí g ( y ) e y y y R Njěe mimálí iervly ichž je á fukce f ryze mooóí určee k í oěch iervlech iverzí fukci f ( ) vč jejího efiičího ooru D je-li 59 ( ) ( 5) f l { l 6 ( ) f { 6 ( ) f { f { ( ) 5 ( ) ( 5) f e R { ( ) f ( ) ( log ) { ) ( ] f ( ) [ ) D ; ) [ ) f ( ) f D f ep R D f D [ ) f

14 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 6 f ( ) rcsi { f ( ) D ( π ) ( π ) si f { ( ] [ ) Určee zpiše efiičí oory ásleujících fukcí ejlépe ez použií rozílu moži 6 ( ) ep y 7 ( ) ( ) ( ) 6 y 5 ( ] 65 l y 8 66 y l ( e ) 67 y l( l ) ( ) ( ) ( ) R ( e) ( e ) si y { l l y { { ápově: z R je ué vyech 7 oů 6 6 cos { y { ( ] [ ) { [ π ] [ π 6] y l si cos R \ { 7π 6 kππ 6 kπ} ( π 6 kπ 7π 6 kπ) y rccos ( 9 ) ( log ) ( 5 ) k Z ( π 6 kπ π 6 kπ) 7 Z k [ ) 8 7 y rcco ( π / rc( π) ) { { ( ) ( ] [ ) ( π ) ( π ) rcsi( ) 7 y [ ) ( ] Nkreslee grfy fukcí keré jsou s výjimkou jeoho příklu čásí kuželoseček zámých ze sřeí školy 75 y 6 7 kuická prol y ( ) ke I ( ) je zv ifleí o y 9 { y 5 { y { { olí polokružice ( ) r 9 S { horí poloelips ( ) S { horí poloviy levé i prvé věve rovoosé hyperoly S ( ) 79 8 y grf je je jeooová moži y { ( f ) { ( y) E ( y) ( )} O G { grf je sjeoceím ří čásí ze vou rovoosých hyperol

15 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 7 LIMITA FUNKCE VČETNĚ HEINEHO DEFINICE POMOCÍ LIMITY POSLOUPNOSTI ČÍSEL Limií přecho už používli ve srověku - EUKLIDES z Alerie (± 65 - ± př l) zvlášě ARCHIMEDES ze Syrkus (±87 - př l) Úsřeí pojem memické lýzy zvel v 7 soleí Aglič Joh Wllis (66-7) o memiky jej ůsleě rozšířili áš ejvěší memik Berr Bolzo (78-88) Frcouz Augusi Luis Cuchy ( ) Němec Krl Weiersrss (85-897) Víme že R * R { } { } je rozšířeí možiy reálých čísel o evlsí (éž: ekoečé) hooy * E E { } { } je rozšířeí reálé osy (jeorozměrého eukliovského prosoru) o v evlsí oy Práce v eukliovských prosorech umoží použív ázorější geomerické pojmy * 7 DEFINICE Nechť ƒ je fukce mějme o (číslo) E (R * * ) o (číslo) l E (R * ) Řekeme že fukce f má v oě limiu rovu l píšeme lim f ( ) l právě kyž ke kžému okolí O(l) ou (čísl) l eisuje reukové okolí O * ( ) kové že pro kžé O * ( ) plí ƒ() O(l) Bo se zývá limií o Násleují efiice ěkolik lších přípů limiy fukce Vlsí limi ve vlsím oě (Použijeme Cuchyho (-Weiersrssovu) ε δ symoliku): lim f () l ε > δ > : < < δ f() l < ε Tzv ε-pás (pruh) oshuje všechy fukčí hooy oů z vhoého (poku eisuje) reukového okolí O * ( ) Vůec emusí D f!! Nevlsí limi l ve vlsím oě : ( Zvolíme vhoé δ > eisuje-li ) lim f() η R δ > k že plí: < < δ f() > η Tey ť zvolíme jkkoli velké číslo η (př ) vžy lze jí kové reukové okolí O * δ ( ) že jsou v ěm všechy fukčí hooy věší ež zvoleé η (říkáme že je o hooy shor eohričeé) Vlsí limi l v evlsím oě : ( ): lim f() l ε > číslo ξ R k že plí: > ξ f() l < ε

16 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 6 Nevlsí limi v evlsím oě: Npř limiu l v oě efiujeme: lim f() η ξ k že pro všech plí < ξ ƒ() > η (Pooě pro zývjící siuce l () ( ) ( ) v oě () () ( ) ) 7 POZNÁMKA Eisece limiy i její hoo l ezávisí fukčí hooě f( ) i om z je v oě fukce ƒ vůec efiová Eisuje-li všk limi fukce v oě poom je fukce f efiová v ějkém okolí O * ( ) O( )\{ } 7 VĚTA (o ejvýše jeé limiě ohričeosi fukce v okolí vlsí limiy) ) Liovolá fukce má v liovolém oě ejvýše jeu limiu ( Tey ji má jeu či žáou ) ) Má-li fukce ƒ v oě vlsí limiu (j koečou) pk eisuje reukové okolí O * ( ) v ěmž je fukce ohričeá (j v ěmž k > že f() k) 7 VĚTA o limiě fukce sevřeé věm fukcemi Nechť o E echť eisuje lim f lim h pk plí O * ( ) v ěmž pro všech plí ƒ() g() h() Je-li ( ) ( ) l ( ) l lim g 75 DEFINICE 8 Heieho ) efiice limiy fukce pomocí limiy poslouposi čísel 7 Nechť fukce f () je efiová v reukovém okolí O ( ) ou (j emusí ý v efiová) Řekeme že fukce f () má v oě (vlsí) limiu l právě kyž pro kžou číselou posloupos { } N { } kerá koverguje ) k číslu (píšeme ) přičemž je koverguje příslušá posloupos fukčích hoo { f ( ) } k číslu l Píšeme lim f ( ) l Přiom přepoklááme že všech R j éž R (Defiici lze zoeci i pro l R ) [ Sručě: lim f ( ) l ( { } ) ( ) ( ) ( f ( ) l ) ] ) Heirich E Heie (8-88) ěmecký memik ) Defiice limiy kovergeí poslouposi Říkáme že posloupos { } { } reálých čísel koverguje k číslu R eo éž že číslo R je vlsí eoli koečá limi poslouposi { } právě kyž pro kžé ε > eisuje kové N že pro všech (eoli pro skoro všechy iey přičemž ie závisí ε j (ε) ) plí < ε Píšeme pk lim eo je Defiice pomocí logických symolů je ásleující: ε > N : < ε Jesliže kové číslo s uveeými vlsosmi eeisuje (vč přípu ky je evlsí) říkáme že posloupos { } iverguje pro (j pro joucí o ) Neví epochopíe-li he efiici limiy číselé poslouposi zvl její symolický zápis výrokem Memik ohužel eumí jeoušeji formulov pojem líži se jež je u limiy z ázoru zřejmý že oiž limi poslouposi { } je číslo k ěmuž se { } líží jesliže se iey líží k plus ekoeču (eoli jesliže je o ) Symol zvel r 655 glický memik Joh Wllis (66 7) Zvel rověž pojem limi Je s poivem že eo pojem evyužil i Newo i Leiiz Učiil k ž áš Berr Bolzo j 8 ŠEST DŮLEŽITÝCH PŘÍKLADŮ LIMIT DALŠÍ VLASTNOSTI LIMITY 8 PŘÍKLAD Ukážeme že eeisují oě limiy lim si ± Dokážeme (epřímo j z logiky se použije záko o korpozici: p q o q o p ) že př v oě emá fukce f ( ) si limiu Přepoklááme-li oiž že ji má ozčíme-li si ji l musel y pole Heieho pojeí limiy (viz 75) pro kžou posloupos

17 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 7 { } v R pli implikce si l Tj př i pro kovou posloupos pro jejíž -ý čle je π π Opovíjící posloupos { } pk sice má evlsí limiu rovu všk příslušá posloupos { si } fukčích hoo ey posloupos {( ) } { } limiu emá (eoli iverguje ze je o zv oscilující posloupos) o je spor s ším (esprávým) přepoklem 8 PŘÍKLAD Moifiková Dirichleov fukce χ ( ) z příklu 9 emá v žáém oě limiu 8 PŘÍKLAD lim si Plí oiž pro kžé ± : si (eoť si ) ále lim ± kže pole přeešlé věy o limiě fukce sevřeé věm fukcemi plí uveeé vrzeí j si pro ± si [Ze sřeí školy je zámo že lim ] 8 PŘÍKLAD lim si eeisuje Grf příslušé fukce [je zv souvislý i kyž fukce je zv espojiá v ] se v okolí počáku rozkmiá Lze oiž okáz že v kžém okolí počáku ývá o fukce jk hoo k hoo Lze ukáz že 85 PŘÍKLAD lim si 86 PŘÍKLAD eeisují oě limiy lim si ± 87 VĚTA o rimeických opercích s limimi fukcí 8 Nechť f g jsou (reálé) fukce eisují limiy lim f ( ) l R lim g( ) l R Pk plí lim f ( ) l [ α f ( ) ] α lim f ( ) α l lim ke α R f ( ) l lim f g l ± l ( ) ± ( ) lim je-li l přičemž o vrzeí plí éž pro evlsí g ( ) l limiy mjí-li prvé sry rovosí v R * R { } { } smysl (j prvé sry rovosí eveou k zv eurčiým výrzům ypu ) 88 VĚTA 8 (o limiě soluí hooy reciproké (j převráceé ) fukce) Nechť plí že lim f ( ) echť eisuje reukové okolí O * ( ) v ěmž f()

18 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 8 Pk plí rovos lim [ Zpišme ji jko memoechiku f ( ) pro užií v příklech ko: ] ( ) 89 DEFINICE Nechť ƒ() je fukce je vlsí číslo Řekeme že ƒ() má limiu zlev (zprv) v oě rovu l l R * píšeme lim f ( ) l ( lim f ( ) l ) jesliže pro kžé okolí O(l) čísl l ( ou l ) eisuje levé (prvé) reukové okolí ( δ ) : O * ( ) ( O * ( )) k že pro všech O * ( ) ( O * ( )) plí ƒ() O(l) 8 POZNÁMKA ) Jeosré limiy jsou jk plye z efiice určey pouze ve vlsích oech z R ) Pro levo (prvo)-sré limiy se čso používá ásleujících sručých ozčeí lim f ( ) f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) f ( ) 8 VĚTA o vzhu limiy jeosrých limi Mějme fukci ƒ() o R Pk plí že eisuje limi (popř i evlsí) fukce ƒ() je rov l R * právě kyž eisují jeosré limiy rovjí se l Píšeme lim f ( ) l lim f ( ) lim f ( ) l f ( ) f si 8 PŘÍKLAD S využiím zámé limiy ze sřeí školy lim vyčíslíme si si z lim lim lim lim cos z z lim cos z 8 POZNÁMKA K PŘEKONÁNÍ OBTÍŽÍ S VÝPOČTEM LIMITY FUNKCE Touo pozámkou oshující šes příklů lespoň zčíme jk zvláou zmíěou čios Při výpoču limiy (oousré) elemeárí fukce f () (ále v éo kpiole je fukce) v oě R vžy přepoklááme eiseci éo limiy j že eisují oě jeosré limiy f ( ) f ( ) jsou si rovy K omu čso využíváme zlosí grfů ěcho fukcí kyž víc D f pk pouhým oszeím o f () získáme lim f ( ) f ( ) Tey př lim P( ) P( ) ke ( ) růzých rovosí ( př že ( ) f ( ) ( ) P je polyom resp lim l l lim e f ( ) e lim f ( ) z Užíváme přiom věu 87 eisuje-li lim f ( ) ) Neí-li zřejmé f počíáme kžou limiu zvlášť Jesliže všk D f ojevují limií ypy (symoly) ve vru ) eo ) c ke c c R pk se po oszeí speciálě rcioálí Příp ) sává kyž je vyšeřová limi lomeé fukce g ( ) h( ) lomeé fukce P ( ) Q( ) v oě ke polyomy P ( ) ( ) (ey P ( ) Q( ) ) j o jsou ělielé mociou ( ) lieárího vojčleu ( ) ke N * { } provés ěleí polyomů ey počí lim P( ) Q( ) lim P ( ) Q ( ) Q mjí ýž (reálý) koře ey lze lomeou fukci ouo mociou krái eo lze rovou Přiom využíváme kromě vě o limiách růzých úprv (př výše zčeého rozklu polyomu kořeové

19 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 9 čiiele) přeevším přímý ůsleek efiice limiy fukce v oě pole ějž: Dvě fukce jejichž fukčí hooy jsou sejé ž fukčí hoou v oě mjí v sejou limiu eisuje-li limi jeé z ich To okumeují ásleující příkly ( )( ) ( ) PŘÍKLAD lim lim lim 5 6 ( )( ) Mezi lší úprvy pří rozšířeí výrzu při výskyu goiomerických fukcí éž užií vzorců si rovosí již zámých limi př lim PŘÍKLAD lim lim si ( 7) si 7 si 7 lim lim lim ( ) si Příp ) vee siuci v íž je výslekem evlsí limi ( ) či ( ) fukce f ( ) v oě eo je evlsí jeosré limiy lomeé fukce ( ) g( ) h( ) lim g( ) c c lim h( ) evlsí limiy f ( ) f ( ) f j ky V omo přípě počíáme zvlášť oě jeosré vžy přičemž ejůležiější je urči jejich zméko Kromě jeho lyického určeí (Viz příkl íže) si ěky pomáháme oszováím číselých hoo z co ejužšího reukového levého resp prvého okolí ou Zméko oou jeosrých limi je uď sejé resp opčé j evlsí limi fukce uď eisuje je rov jeosrým limiám resp eeisuje eoli eisují je y evlsí jeosré limiy s opčými zméky PŘÍKLAD lim f ( ) Uvžujme δ ke δ > ( δ) lim δ δ δ lim lim lim Pole věy 88 o limiě soluí hooy δ δ δ δ δ δ ( δ) reciproké fukce je δ δ PŘÍKLAD lim f ( ) lim sručěji ( ) ( ) ( δ) lim δ ( δ) δ( δ) δ ( ) lim δ lim δ ( ) δ Závěr z příklů : Jelikož f ( ) f ( ) eeisuje v oě limi (oousrá) fukce Geomericky o zmeá že přímk je verikálí sympo grfu fukce y f ( ) Je-li počíá limi fukce f ( ) v evlsím oě ( ) resp ( ) kerou ozčíme f ( ) resp f ( ) j ky uď rose kžou mez eo klesá po kžou mez vyšeříme ji př ) susiucí čímž ji převeeme ěkerou z jeosrých limi v ule ( ) lim f ( ) lim f jk ukzuje ásleující ± ± PŘÍKLAD 5 lim lim lim pooě lim lim ± pro klé celé eo ou limiu vyšeříme

20 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ ) vykuím vhoé mociy z čiele i jmeovele lomeé fukce ( ) f (eoli ěleím jejího čiele i jmeovele vhoou mociou ) jemuž popř přecházelo př rozšířeí výrzu jk ukzuje ásleující ( PŘÍKLAD 6 )( ) lim lim ( ) lim ( ) Závěr z příklu: Ze vyšl vlsí limi v evlsím oě Geomericky o zmeá že y f přímk y je zv horizoálí sympoou grfu fukce ( ) 9 SPOJITOST FUNKCE VČETNĚ HEINEHO efiice věy o limiě složeé fukce Teo pojem pří pro své čeé ůsleky v memické lýze k ěm ejvýzmějším 9 DEFINICE (pole Cuchyho-Weiersrssovy symoliky ε δ) Fukce ƒ() je v oě R spojiá právě kyž ke kžému číslu ε > eisuje číslo δ > k že pro všech splňující: ( ) < δ plí f() f( ) < ε 9 POZNÁMKA 6 Přeešlou efiici spojiosi fukce v oě lze ekvivleě zps př ko: ( ε > ) ( δ > ) ( < δ f() f( ) < ε) Jko smosé cvičeí zpiše přeešlý vzh pomocí pojmů okolí O ε (f( )) ou f( ) okolí O δ ( ) ou přičemž ěžkopáé závorky ehrozí-li eorozuměí se ěky vyechávjí N rozíl o úvh o limiě fukce ƒ() v oě viíme že připoušíme o eoť může ý j může ze s rovos což zmeá že musí eisov f( ) j musí D f Tey y vůec mohl ý fukce v oě spojiá uou pomíkou (ikoli posčující) je y yl v efiová Evieě δ δ(ε) j δ je fukcí zvoleého ε Uvžový o D f je uď zv hromý o možiy ze efiičího ooru D f fukce f eoli pole efiice hromého ou kžé jeho δ-okolí O δ ( ) oshuje spoň o D f kový že ( ey evieě oshuje ekoečě moho oů z D f ) eo D f eí hromý o D f eoli je o izolový o D f v izolovém oě * je fukce f vžy spojiá (eoť kyž * < δ pk f ( ) f ( ) * < ε pro kžé zvoleé ε > ) kže je o ezjímvý příp Čeí uoři jej proo při efiici spojiosi vylučují My ueme ále při vyšeřováí spojiosi v oě přepoklá že je hromý o D f ( oousrý či levosrý či prvosrý v závislosi ypu okolí ou ) Spojios fukce f() v oě zmeá u lokálí vlsos že mlé změě rgumeu v jeho okolí opovíá mlá změ fukčí hooy Tj kyž Δ pk Δ y ke iferece fukce f v oě je Δ y f ( Δ ) f ( ) Δ f ( ) Příkl 8 oshující fukci si (/) kerá eí v oě spojiá (je o espojios ruhu viz ále) všk má všue zv souvislý grf okláá že souvislos možiy (ze grfu fukce) spojios fukce jsou sice lízké le přece je rozílé pojmy (Kromě riviálích přípů prázé možiy E éž jeooové možiy všechy koečé či ekoečé iervly v reálé ose E jsou souvislé možiy) Ekvivleě ázorě lze spojios fukce v oě vyslovi éž Heiovou efiicí spojiosi (viz ále) využívjící poslouposi { } oů jež koverguje k ou 9 DEFINICE (Jeosrá spojios) Fukce ƒ() je v oě spojiá zlev resp spojiá zprv ε > δ > : O( ) ( δ ] resp O( ) [ δ) plí:

21 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ f() f( ) < ε 9 VĚTA (Tři záklí věy o vzhu vlsí limiy fukčí hooy v oě vhoé pro prkické zjišěí spojiosi v ém oě!) Fukce ƒ() je v oě spojiá resp spojiá zlev resp spojiá zprv právě kyž plí opovíjící rovos lim f ( ) f ( ) resp lim f ( ) f ( ) resp lim f ( ) f ( ) 95 POZNÁMKA Rovos lim f ( ) f ( ) efiující spojios fukce v oě zmeá ásleující vrzeí ) eisuje limi ) D f j eisuje fukčí hoo ƒ( ) ) oě přeešlé hooy se musí soě rov 96 VĚTA o spojiosi jeosrých spojiosech Fukce ƒ() je v oě R spojiá je-li v spojiá zlev i zprv 97 POZNÁMKA Neí-li ƒ() spojiá v přiom je efiová v ějkém jeho okolí pk sou vě možosi: A) f() eeisuje B) lim lim f() l l f( ) Rozlišujeme yo přípy espojiosi I) Eisují oě jeosré limiy j limi zlev f( ) i zprv f( ) oě jsou vlsí (j koečé) oecě o see růzé j f( ) f( ) všk uď ) spoň je z ich je růzá o ƒ( ) eo ) ƒ( ) eeisuje ( j D f ) Pk řekeme že o je oem espojiosi ruhu Číslo f ( ) f( ) se zývá skok fukce v oě Fukce sg má espojios ruhu v Skok je ze ( ) Speciálě jesli v omo přípě ) ky ƒ( ) eeisuje všk eisuje limi ey lim f ( ) l ( f( ) f( ) l ) pk se kový o espojiosi ruhu zývá o osrielé espojiosi Zcel přirozeým způsoem (Viz or) můžeme v kovém oě oefiov fukci ƒ() y ze yl spojiá ko f ( ) : l lim f ( ) Je o zv spojié rozšířeí (proloužeí) fukce v oě (její limiou) si 98 NAPŘÍKLAD fukce f ( ) eí pro efiová všk víme si že lim Doefiujeme ji efiiorickou rovosí f ( ) : Můžeme psá pro ovou už všue efiovou limiou spojiě rozšířeou (proloužeou) fukci: si f ()

22 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ II) Alespoň je z jeosrých limi f( ) f( ) eeisuje eo je evlsí (j je rov či ) Pk o se zývá o espojiosi ruhu 99 NAPŘÍKLAD moifiková Dirichleov fukce χ (je o eelemeárí fukce) ozčeá řeckým chí ( elze zázori její grf ): pro Q moži rcioálích čísel př 7 ( ) χ pro R\Q moži ircioálích čísel (př je v kžém oě espojiá je o oy espojiosi ruhu 9 PŘÍKLAD Plí χ () π e ) 9 VĚTA [ Heieho ekvivleí efiice spojiosi (z r 87)] Fukce ƒ() je spojiá v oě oů (čísel) je splě implikce R právě kyž pro kžou posloupos { } lim lim f ( ) f ( ) Píšeme éž f( ) f( ) [Tj posloupos fukčích hoo musí kovergov k fukčí hooě v oě kyž ] 9 VĚTA Jsou-li fukce ƒ g spojié v c R je ějká kos pk jsou v oě spojié rověž fukce f c ( ) f ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) g ( ) g ( ) ( ) g( ) f (ey je spojiá i lieárí komice fukcí c f() c g() ke c c R) f f f / poku g() v ějkém okolí O( ) 9 DEFINICE Řekeme že fukce ƒ() je spojiá iervlu J D f plí-li: ) ƒ je spojiá v kžém viřím oě J ) pří-li levý resp prvý krjí o o J (j je př o uzvřeý iervl [ ] J ) je v ěm spojiá zprv (j f() f()) resp zlev ( ey f( ) f()) 9 POZNÁMKA C[ ] resp C( ) resp C(J) je čsé ozčeí pro možiu všech fukcí spojiých [ ] resp ( ) resp J Tey zápisem ƒ C(J) po sělujeme že fukce f je iervlu J spojiá 95 POZNÁMKA Je zřejmé že spojios fukce v oě R je lokálí vlsosí fukce zímco spojios iervlu je gloálí vlsosí fukce 96 DEFINICE FUNKCE SPOJITÉ PO ČÁSTECH 8 Fukce ƒ() se zývá po čásech spojiá iervlu [ ] má-li [ ] koečý poče oů espojiosi pouze ruhu (Viz or) jiými slovy: je-li možé rozěli [ ] koečý poče poiervlů přičemž

23 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ fukce f je spojiá ve viřku kžého z ich Z orázku je zřejmé že D f [ ] { } D f D f le f ze má osrielou espojios! f ( ) f ( ) lim f ( ) 97 POZNÁMKA V ižeýrské pri se čso prcuje s fukcemi keré jsou je po čásech spojié uvžovém iervlu 98 VĚTA o spojiosi složeé fukce (zv kompozice fukcí) Nechť fukce y g() je spojiá v oě Nechť plí g( ) y Je-li fukce (vější fukce) f (y) v oě y spojiá pk éž složeá fukce h() f(g()) je spojiá v oě 99 POZNÁMKA Násleující vě popř z í ásleující její speciálí všk ejčsější příp umožňují výpoče limi věšiy složiějších fukcí s imiž se sekáváme 9 VĚTA (oecá) o limiě složeé fukce Mějme složeou fukci y f ( g( )) echť ) lim g( ) λ λ R ( resp kyž eo ) f ( u) l lim u λ l R ) eisuje kové reukové ( popř jeosré reukové) okolí O ( ) ou že pro všech O ( ) je g () λ (Je-li λ evlsí je přepokl ) yečý) Pk lim f ( g( )) l ( resp pro eo ) 9 PŘÍKLAD Ukžme že lim rc[ / ( )] π/ Viří fukce g ( ) / ( ) má v oě limiu rovu (eoť čiel má limiu jmeovel má limiu přičemž jmeovel se k ule líží zprv) Vější fukce f ( u) rc( u) má v limiu rovu π / 9 POZNÁMKA Je-li vější fukce f (u) v oě u λ spojiá ( popř jeosrě spojiá) opá pomík ) přeešlé věy S ímo přípem se čso sekáváme kže jej uveeme v ásleující věě 9 VĚTA (speciálí) o limiě složeé fukce se spojiou vější složkou Je-li g( ) λ λ R je-li fukce f (u) spojiá v oě λ pk lim f ( g( )) f ( λ) eoli lim f ( g( )) f ( lim g( ) ) 9 PŘÍKLAD Ukžme že lim ep[ /( )] / e Položíme-li f lim u ( u) e u g() /( ) je lim[/( )] / Jelikož je f (u) v oě u spojiá máme pole přeešlé lim věy lim e e e 95 VĚTA o spojiosi iverzí fukce Nechť spojiá fukce ƒ je ryze mooóí fukcí [rosoucí či klesjící j je prosým (ijekivím) zorzeím] iervlu J Nechť fukce ƒ zorzuje iervl J D f iervl J H f Pk iverzí fukce f je spojiá iervlu J 96 POZNÁMKA Pro ryze mooóí fukce plí: D H f H D f ; f f 97 VĚTA O SPOJITOSTI ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Kžá elemeárí fukce kerá je efiová oevřeém iervlu je m spojiá Je-li efiová uzvřeém eo polouzvřeém iervlu je v krjím oě jež pří o jejího efiičího ooru spojiá jeosrě

24 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ CVIČENÍ B Vyšeřee limiy přiom si oře promýšleje keré memické výsleky používáe Vypočeý výsleek zázorěe čási grfu kerá opovíá reukovému okolí vyšeřového limiího ou je-li rccos lim 8 8 lim e 8 5 rcsi l 8 lim l eeisuje 85 Po úprvě fukcí určee jejich limiy lim { lim lim 5 87 lim 88 } { eeisuje f ( ) eeisuje f ( ) 5 lim 5 { { } cos 89 lim 9 si lim 5 si S využiím zámé limiy lim vypočíeje ásleující limiy lim co 9 9 lim 9 si si 9 lim 5 si } 7 si 9 lim { 7 95 lim si( ) Njěe limiu fukce v kžém z krjích oů jejího efiičího ooru vhoě ji zpiše Určee rovice sympo rovoěžých s osmi črěe čás grfu fukce v jejich lízkosi je-li 96 f ( ) f ( ± ) f ( ± ) f ( ± ) ± sympo horizoálí y ± verikálí fukce je suá f ( ) f ( ± ) ± f ( 5± ) ± f ( ± ) verikálí sympoy 5 5 f ( ) f ( ± ) ± f ( ± ) ± verikálí sympo 99 f { ( ) { f ( ± ) f ( ± ) f ( ) lim souřicové osy jsou sympoy f je suá f ( ) { { f ( ± ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) horizoálí sympo v lších příklech víc uveďe kerou věu je ře při výpoču limi použí je-li f ( ) rc { f ( ) rc { f ( ± ) ( ± ) y π f ± horizoálí sympo y ; je použi vě o limiě složeé fukce se spojiou vější složkou???

25 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 DERIVACE FUNKCE (Pojem erivce zveli G W Leiiz I Newo ázev pojmu pk J L Lgrge) f ( ) f ( ) Δ f Nechť směrice sečy s je: k s Δ f ( ) f ( ) pk směrici ečy : k lim f ( ) získáme jko limiu směric seče procházejících pevým oem A ( f( )) lším oem B ( f()) jež se líží po grfu fukce y f() k ou A ž o oy splyou sou se k oykovým oem T ečy grfu fukce DEFINICE Řekeme že fukce ƒ() má v oě D f erivci jesliže eisuje vlsí f ( ) f ( ) f ( h) f ( ) (koečá) limi zpsá lim resp lim Tuo limiu pk h h zýváme erivce fukce ƒ() v oě zčíme ji f ( ) Neeisuje-li o limi říkáme že ƒ emá v oě erivci (GEOMETRICKY o zmeá že v ém oě grfu fukce y ƒ() eeisuje eč) POZNÁMKA - Má-li ƒ() erivci v oě pk je efiová eje v oě le i v jeho okolí - Fukce ƒ má v liovolém oě ejvýše jeu erivci - f ( ) je opě fukcí přičemž D f D f - Fukce má erivci f ( ) iervlu J má-li erivci v kžém oě J přičemž v krjích oech se opě vyžuje zv prvo- či levosrá erivce DEFINICE jeosrých erivcí Mějme fukci ƒ() R Eisuje-li jeosrá f ( ) f ( ) f ( ) f ( limi f ) ( ) : lim resp f ( ) : lim pk uo limiu zýváme erivcí fukce v oě ƒ() zlev resp zprv Lze ji éž efiov f h f (při h < ) jko f ( ) ( ) ( ) : lim eo h h (při h > ) jko f h f f ( ) ( ) f h f ( ) : lim resp f ( ) ( ) ( ): lim h h h h (ke jsme je použili rovos h ) DEFINICE Nechť ƒ() je fukce R Jesliže plí f ( ) f ( ) lim ± pk řekeme že ƒ() má v evlsí erivci ± píšeme f ) ± 5 POZNÁMKA Pooě opě vyjeme z příslušých efiic erivce jkožo evlsí limiy efiujeme jeosré evlsí erivce ve vlsím oě př f () 6 ÚMLUVA Řekeme-li že f() má v oě erivci ueme ím vžy míi erivci vlsí j koečou 7 VĚTA o erivci jeosrých erivcích Fukce ƒ() má v R (i evlsí) * erivci f ( ) R právě kyž má v omo oě erivci zlev i zprv plí jejich rovos f ( ) f ( ) [ ] (

26 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 6 8 GEOMETRICKY je f ( ) velikos směrice k poloečy jkožo oykové polopřímky (zlev) f ( ) velikos směrice k poloečy jkožo oykové polopřímky (zprv) [Viz or] 9 VĚTA 58 (o vzhu erivce spojiosi fukce v oě) Má-li fukce ƒ v oě R erivci f ) pk je v omo oě spojiá (Opčě o eplí!!) ( PŘÍKLAD 5 Vypočíejme erivci f () v oě espojié fukce f() sg jež eí zřejmá z říve uveeého grfu éo eelemeárí fukce pomocí jeosrých erivcí Plí f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim lim ( ) ( ) j ( ) sg V osích oech má erivci ulovou ZÁVĚR: Fukce kerá eí v oě spojiá le je v ěm efiová ze může mí evlsí erivci POZNÁMKA Jisou přesvu o jeosrých erivcích poskyou grfy ásleujících spojiých fukcí Tk př fukce f() je spojiá le eeisuje f () eoť plí f ( ) f () Poroěji: f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim eo jik: δ pro δ > osáváme f ( δ) f ( ) ( ) ( δ) f lim lim lim δ δ δ δ δ δ Přiom f () eeisuje Říkáme že erivce f má v oě sigulriu V memice se oy spojié fukce f() ke eeisuje erivce f ( ) le eisují v ich růzé (popř i evlsí) jeosré erivce j f ( ) f ( ) zývjí př HROTY ( úhlové oy oy vru ermiologie eí jeoá) POZNÁMKA Má-li fukce erivci f ( ) pk má v oě T ( ƒ( )) její grf eču o rovici y f ( ) f ( ) ( ) poku f ( ) pk rovice ormály (přímky kolmé eču) je y y ( ) f ( ) GEOMETRICKÝ VÝZNAM NEVLASTNÍ DERIVACE FUNKCE Nevlsí erivce spojié fukce v oě siglizuje verikálí TEČNU o rovici přičemž u jeosrých evlsích erivcí se uvžuje je POLOTEČNA (zkreslová čárkovou polopřímkou) kolmá k ose O vychází z ou ( f( )) Te může př ý krjím oem iervlu [ ] eo oem hrou Je ey o VERTIKÁLNÍ POLOTEČNY Alogicky efiujeme evlsí erivce v evlsích oech ± př f ( ) FYZIKÁLNÍ INTERPRETACE DERIVACE spočívá v om že zkoumáme okmžiou rychlos v() i zrychleí () přímočrého erovoměrého pohyu v čse s élkou ráhy s() Δ s s() s( ) Δ s Plí v( ) s ( ) lim lim j oecě v ( ) s ( ) () v () s ( ) Δ Δ Δ

27 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 7 Newoovo ozčeí ve fyzice je s v s v ke vě čárky či ečky už zčí erivci fukce řáu kerou efiujeme ále 5 POZNÁMKA Derivci fukce y f() efiovou v oě resp D f zčíme př ( ) ( ) [ ( )] f y f y f y f f ( ) y( ) D f ( ) D ( ) f f ( ) Lgrge Leiiz Cuchy Leiizovy zápisy jsou zv ifereciálí vry Pozáme že jsou výhoé př při erivováí složeé fukce či iverzí fukce 6 VZORCE PRO DERIVACE NĚKTERÝCH ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ uveeme ez přepoklů o jejich plosi vzhleem k Čeář si je může urči sám ) ( c ) [c je kosí fukce] ) ( ) r r r r R\{} ) ( e ) e 6) ( log ) l cos 9) ( ) ) ( ) l [ R \{}] 7) ( cos ) si [ R ] 5) ( l ) si 8) ( si ) cos ) ( co ) ) ( rcsi ) rcco ) ( rccos ) ) ( ) rc ) ( ) 7 PŘÍKLAD ( si ) kos ( h) si si si cos h cos si h si lim lim h h h h cos h si h si lim cos lim si cos cos h h h h 8 GLOBÁLNÍ VZORCE PRO VÝPOČET DERIVACÍ (eisují-li erivce) ( c f ( ) ) c f ( ); [ u ( ) v( ) ] u ( ) v ± ± ( ); u ( ) v( ) u v u v u ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) ke v() ; v( ) v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); y g ( ) y f y Derivce složeé fukce: [ f ( g ( ) )] f ( g ( ) ) g ( ) y Poroěji lze oo gloálí vrzeí formulov lokálě (j v oě ) ko: 9 VĚTA o erivci složeé fukce Nechť fukce u f(y) má erivci v y D f echť fukce y g() má erivci v D g plí y g( ) Pk složeá fukce f(g()) má erivci v plí: u u y [ f ( g( ) )] f ( y ) g ( ) f ( g( )) g ( );sručěji y Ou plye ásleující VĚTA o erivci iverzí fukce Nechť fukce f(y) je spojiá ryze mooóí [ey je o prosé zorzeí j ijekci f ] iervlu J má erivci f (y ) ve viřím oě y J Pk fukce iverzí y f ( ) k fukci f(y) má erivci v oě f(y ) plí:

28 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 8 [ f ( )] f ( y ) eoli (méě přesě le pro výpočy ázorě) y y PŘÍKLAD Derivujme fukci y rcsi [kerá při je iverzí k fukci π π si y pro y ] Plí y y ± π y cos pro proo pro y cos y si y y π π < < Zméko volíme proo že cos y > pro < y < f > Pole efiice logrimu plí PŘÍKLAD Derivujme fukci ( ) v v lu v lu e l [ > ] u e e Proo ( ) ( ) ( ) z z e l ( e ) e z ( ) e l l ( l ) pro > Toéž ává zv LOGARITMICKÁ DERIVACE zmeá že se ejprve logrimuje pk erivuje Je výhoá u moci keré se k zjeouší souči kéž u součiu kerý se zjeouší souče PŘÍKLAD (přeešlý le logrimickou erivcí) y l y l y y y l l l l y 5 PŘÍKLAD Derivujme fukci 5 y ( ) > l l y l( ) l( ) 5l( ) ( ) ( ) ( ) y l l 5l y y y 5 5 y ( ) 5 Plí ásleující věy o fukci rosoucí či klesjící l

29 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 9 6 VĚTA (o fukci rosoucí či klesjící v oě má-li v ěm erivci klou či záporou) Nechť fukce ƒ() má v oě vlsí eo evlsí erivci echť plí: f ( ) > resp f ( ) < Pk je ƒ() v oě rosoucí resp klesjící 7 PŘÍKLAD vou orázků k přeešlé i ásleující věě pro přípy evlsích erivcí f ( ) spojiých fukcí (Siuci pro příp evlsí erivce v oě fukce kerá je v oě espojiá rosoucí emosruje př grf říve zázorěé fukce y sg ) 8 VĚTA (o ekvivleci růsu eo klesáí spojié fukce J se zmékem své erivce) Nechť ƒ() je spojiá iervlu J [ j f() C(J) ] má J vlsí eo evlsí erivci Pk fukce ƒ() je rosoucí resp klesjící právě kyž plí f ( ) resp f ( ) J přičemž všk rovos f ( ) ese v žáém poiervlu J * J [Jik y f yl kosí J * j f ( ) může s viz or je v izolových oech ( ifleích )] CVIČENÍ C Zjisěe jkou hooou je ře efiov ásleující fukci f ( ) v pořeém oě y ko oefiová rozšířeá fukce f ( ) yl i v ěm spojiá (j šlo y o o osrielé espojiosi) f ( ) f ( ) Sove hoou prmeru λ k y fukce f yl spojiá iervlu ( ) λ pro < 5 f( ) λ 6 e pro 7 Vypočíeje erivci fukce 8 si () f( ) ( ) f ( ) λ λ pro < λ pro f λ y v oě pole efiice erivce j limiou { Pomocí efiice erivce jko limiy určee erivci fukce f ( ) { 9 Dokže vzorec (cos ) si s využiím vzorce cos ( h) cos cos h si si h { { V oě vyčíslee erivci fukce eveou-li k cíli vzorce pro erivováí elemeárích fukcí uprve fukci resp použije jeosré erivce či efiici erivce fukce y D y j eeisuje y () y y y ( ) pro R y y y () eeisuje v je hro Derivuje ásleující fukce výsleek zjeouše (přičemž si vžy určee efiičí oor erivce fukce) 5 π ( ) f () 5 π 5 π π 6 l 7 log 8 l

30 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 9 f ( y) y y y z cos z z si z f( z) cos z cos z si co f ( ) e e (cos ) si cos rcsi rccos π (rccos ) eoť π rcsi rccos pro 5 rc rcco π ( ) (rcco ) eoť π rc rcco u 6 f ( u) e u e u ( u ) f ( u)( u ) 7 u v v f ( v) { v ( v ) { Určee erivce složeých fukcí (Nezpomeňe efiičí oor erivce) e 8 9 e { { l { eeisuje eoť á fukce eeisuje Proč? l(l(si )) { e e y f ( y) l ( y ) l( y ) y f( z) si z si z cos z si z sg 5 f( ) rcsi 6 λ λ 7 f( ) e f() 8 f u) l u f( ) l cos ( si u cos u si u rc rc l rc 9 ( ) 9 l l l ( ) ( 5 { f ) { ( ) ( ) 5 f Vhoým zápisem vysihěe chováí erivce fukce v okolí oů ke eí zá fukce efiová v krjích oech jejího efiičího ooru je-li f ( ) f ( ± ) lim f ( ) lim ( ) f ( ) eeisuje f ( ± ) lim f ( ) ± ± ± f( ) f ( ± ) lim ( ) ± ( ) f( ) si f (± ) eeisují eoť eeisují lim cos ± 5 Dvě oázky ke vzájemému vzhu pojmů spojios fukce erivce fukce v oě: ) Může mí erivci vč evlsí erivce fukce kerá je v ém oě efiová le eí v ěm spojiá? ) Tipěe si z může u spojié fukce s o že u í eeisuje jk zámo erivce (vlsí) eje v izolových oech (vořících př ekoečou posloupos) le že yo oy mohou vyvoři okoce i iervl?

31 I DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ ) o le je evlsí erivci viz fukce sg z příklu ky (sg ) ; ) o i kyž si kovou křivku eumíme přesvi ) Určee rovici ečy i ormály ke grfu fukce y f () v oě T ( f ( ) ) ké velikos úhlu α jež svírá s klou čásí osy (j s klou poloosou ) je-li 6 f ( ) l ke T je průsečík grfu f () s osou 6 7 f ( ) l ke T je průsečík grfu f () s přímkou y e Nápově: koře rsceeí 7 rovice l e uhoěe oszováím celých moci čísl e ( V pri lze kořey rovice g ( ) léz grficky eo rěji umericky Newoovou meoou eče popř oecěji meoou seče po) 6 : y : y ϕ rc π ( 5 ) 7 e : y e : y ϕ rc e 8 (r) ( 7 ) e e Dokže že é fukce vyhovují uveeé oyčejé ifereciálí rovici ( řáu) v kžém oě v ěmž jsou é fukce efiováy 8 9 y C ( C R) ; lieárí ifereciálí rovice y y y C C y ( C R) ; Cliruov (či: kleróov) ifereciálí rovice y y ( y ) 5 Dráhu s kerou urzí ěleso o hmoosi m kg v čse (seku) přímočrým pohyem lze v merech vyjáři vzhem s 5 Ovoďe si vzorce pro okmžiou rychlos v okmžié zrychleí Pk zjisěe v jkém čse v resp jsou rychlos resp zrychleí ulové jkou kieickou eergii E k má ěleso po 6 sekuách pohyu s v s s mv v s (s) v v (s) 5 (s) 6 ( J ) E k 5 Pohyuje-li se cyklis rychlosí v lze vyjáři voorovou resp svislou polohu ou ovou jeho v oáčejícího se kol o poloměru R v závislosi čse vzhy v R si ( ) resp R cos ( v v y R R ) keré efiují perioický pohy zmíěého ou po cykloiě (Přiom ω je R R úhlová frekvece oáčeí) Sove v okmžiku voorovou resp svislou složku rychlosi i příslušá zrychleí pohyu zmíěého ou v v v v v cos ( ) v si ( ) resp y v v v si ( ) y cos ( ) R R R R R R 5 Celkový elekrický (klý) áoj Q (v coulomech ky C As ) kerý proje z seku při sejosměrém prouu voičem počíje čsem je á vzorcem Q 6 Vypočíeje prou I koci řeí sekuy Q I( ) 8 6 (A) ) Jko prví sesvil spojiou fukci kerá má v kžém svém oě hro j o v ěmž sice eisují oě jeosré erivce le jsou růzé áš ejvěší memik Berr Bolzo (78-88) o už kolem r 8 DERIVACE FUNKCE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ Derivujeme-li fukci f() D f pk fukce f je efiová D f ke oecě Jesliže -krá erivujeme fukci f (poku erivce eisují) pk f ( f N * { } (moži všech klých celých čísel) ke oecě Df D f ( ) ( ) ( ) ( ) ) pro