Základní pojmy. Autorkou následujícího textu je RNDr. Vlasta Krupková, CSc. (UMAT FEKT VUT v Brně), které patří velký dík.
|
|
- Radovan Vaněk
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Zákldí ojmy Autokou ásledujícího tetu je RND Vlst Kuková, CSc (UMAT FEKT VUT v Bě), kteé tří velký dík Úvy lgebických výzů Mociy odmociy Po kždé eálé, s kždé 0, b 0 (es o kždé celé, s kždé 0, b 0 ) ltí: 0 s s, b b s s b b s s b : b Dále ltí, ( ), ( ) Je-li, 0, eistuje ávě jedo číslo 0 tk, že zčí se Je-li číslo 0, 0 liché, má ovice íšeme Neí-li liché, symbol o 0 edeiujeme Toto číslo se zývá -tá odmoci z čísl ávě jedo eálé řešeí, totiž číslo 0 Místo POZOR: sudé odmociy jsou deiováy ouze o ezáoá čísl, liché odmociy jsou deiováy o všech eálá čísl (tedy i o záoá)! Pltí 0 0,,, b b,, b b m m m m,,, b b m m Po 0,, deiujeme Potom ltí: Po všech 0, b 0 o všech, s ltí: s s s s s, ( ), ( b) b,, s b b POZOR!, le!
2 Umocňováí ozkld dvojčleů b b b, b 3 b 3 b b, b 4 b 6 b 4 b b, obecě (Newtoov biomická vět): Čísl k k k k k b ( ) b ; k 0 jsou tzv biomické koeiciety (kombičí čísl),! k ( k )! k! Jejich hodoty lze sdo jít omocí Psclov tojúhelíku: mocitel dvojčleu biomické koeiciety ( zčátku koci kždého řádku je jedičk, dlší čísl jsou vždy součtem ejbližších dvou čísel o řádek výš) Po ozkld dvojčleů ltí: b ( b)( b) 3 3 b ( b)( b b ) 4 4 b ( b)( b)( b ) b elze ozložit 3 k k k b ( b)( b b ( ) b b b ) b ( b)( b b ( ) b k k k Rozkld olyomu P ( ) 0 b b ) kořeové čiitele: Pltí-li P ( ) 0 0, zývá se číslo 0 koře olyomu P ( ), výz 0 kořeový čiitel ltí P ( ) ( ) Q ( ) 0 Polyom -tého stuě má (v obou komleích čísel) ávě kořeů Jsou-li,,, (e utě ůzé) kořey (eálé ebo komleí) olyomu P ( ), ltí P ( ) ( ) ( ) ( ) - ozkld kořeové čiitele dále 0 ( ) Po kořey olyomu duhého stuě ( ) ltí zámý vzoec b b 4c, ; P b c k k c je-li koeiciet b sudý, b k, můžeme oužít vzoec, Zřejmě ltí P ( ) b c ( )( ), tedy o je ( )( ) ( ) b ( ), c ; jik ltí ( )( ) ( ) b ( ), c obecě o olyom P ( ) 0 ltí 0 ( )
3 Fukce Fukce je ředis, kteý řiřzuje kždému vku ějké možiy (deiičího obou možiy (obou hodot H ) D ) vek jié Fukcí (jedé oměé) obvykle ozumíme tkové zobzeí, kdy deiičí obo i obo hodot jsou číselé možiy Budeme se věovt řevážě eálým ukcím jedé eálé oměé, tedy zobzeím : D H, D, H Je-li ukce zdá ějkým ředisem, řičemž eí elicitě zdá její deiičí obo, ozumíme jím možiu všech, o kteá má říslušý ředis smysl Tuto možiu zýváme řiozeým deiičím oboem ukce G ukce jedé oměé je moži bodů v oviě dá vzthem (, y) D y ( ) Rovost ukcí: Přímo z deiice ojmu ukce lye, že ltí g, jestliže D D g : ( ) g( ) Zúžeí ukce: Zúžeí ukce možiu M (ebo též ciálí ukce) je ukce dé ředisem : ( ) ( ) M M M D M s deiičím oboem D M Někteé tyy ukcí: Fukce je ostoucí es klesjící možiě M, ltí-li, M ( ) ( ) es ( ) ( ) eklesjící es eostoucí možiě M, ltí-li, M ( ) ( ) es ( ) ( ) Fukce je ostá, ltí-li, D : Fukce je sudá es lichá, ltí-li ( ) ( ) es ( ) ( ) D eiodická, jestliže 0 tk, že ltí ( ) ( ) D Fukce je ohičeá (sho es zdol), je-li její obo hodot ohičeý (sho es zdol), tedy ltí-li k y H : y k es k y
4 Vytvářeí ových ukcí z dých ukcí, g, (vzthy ltí o všech z deiičích oboů vziklých ukcí) složeá ukce ivezí ukce (čti o ) je dá vzthem ( ) ( ), má ivezí ukci je ukce s deiičím oboem ovým obou hodot ukce s vlstostí ( ) y ( y) - je ostá jsou vzájem souměé odle římky y Gy ukcí (osy 3 kvdtu) součet, ozdíl, souči odíl ukcí ukce g, g, g s vlstostmi g ( ) ( ) g( ), g ( ) ( ) g( ), ( ) ( ) g g( ) Elemetáí ukce Polyomy jsou ukce zdé omocí ředisu tvu P ( ) 0 řičemž je stueň olyomu, i 0 je koeiciet u i-té mociy i je bsolutí čle 0 Číslo 0, o kteé ltí P ( ) 0 0, je koře olyomu Je-li 0 koře olyomu P ( 0 ), zývá se výz 0 kořeový čiitel, řičemž ltí P ( ) ( 0 ) Q ( ) Vlstosti olyomů - olyom -tého stuě má v obou komleích čísel ávě kořeů - jsou-li,,, (e utě ůzé) kořey olyomu P ( ) 0 (eálé ebo komleí), ltí P ( ) ( )( ) ( ) - ozkld kořeové čiitele dále ( ) - 0 Fukčí hodoty olyomu učujeme omocí Hoeov schémtu Učeí P ( ) o b P ( ) : i i 0 i 0 b b b i b i i b0 b P( ) b0 0 i Přitom ltí i 0 P ( ) ( ) b b b b b P( ) Je-li koře olyomu P, tedy ltí P ( ) 0, dostáváme v dolím řádku tbulky koeiciety olyomu, kteý vzike o vytkutí kořeového čiitele
5 Seciálí řídy: Lieáí ukce je ukce tvu ( ) k q, D, H (o k 0 Gem je římk: (0) k 0 q q - úsek ose y k k tg - směice 0 k q q ůsečík k s osou Kvdtická ukce je ukce tvu ( ) b c, D, gem je bol: b b b b b y b c y c y c ovice tvu y b k ; V, b je vchol boly k, je bol otevřeá hou, v itevlu, ukce klesá, v itevlu, k, je bol otevřeá dolů, v itevlu, ukce oste, v itevlu, Je-li 0 je-li 0 oste; klesá y y k 0 otevřeá hou V, 0 ( 0) vchol [0,0] y 4 4 y 0 ( ), vchol V [,0], k 0, otevřeá hou y y ( ), vchol V [, ], k 0, otevřeá hou y y ( 0), vchol V [0, ], k 0, otevřeá dolů Rcioálí lomeé ukce P ( ) jsou ukce tvu R( ), Qm ( ) kde P ( ) es Qm ( ) jsou olyomy stuě es m Rcioálí ukce je yze lomeá o m eyze lomeá o m Seciálí říd:
6 b d Lieáí lomeá ukce je ukce tvu ( ),, b, c, d,, c 0 c d c b d b c b d řičemž y y d eboli d c d c c c c můžeme uvit tv c c gem je hyebol s vcholem V, b symtotmi, y b y b k ; Nříkld o 3 5 y 5 je gem hyebol y 5, V, symtoty, y, kteá má vchol, je ostoucí itevlech (,) (, ) ostá celém deiičím obou Mocié ukce jsou ukce tvu ( ), kde Přitom mohou stt tyto možosti: ) 0 - jedá se o kosttu b) je řiozeé číslo, Potom se jedá o seciálí říd olyomu c) je celé záoé číslo,, Potom ( ), D 0 d) je řeváceá hodot řiozeého čísl, Potom ( ), D 0, o sudé, D o liché e) je cioálí číslo, ) je icioálí číslo Potom 0, ) Gy mociých ukcí ( ) : q q q Potom je složeá ukce, ( ) q D o 0 D (0, ) o 0
7 Eoeciálí ukce jsou ukce tvu ( ), kde 0; D, H (0, ) Fukce je ostoucí o, klesjící o 0 ; o se jedá o kosttu ( ) Gy všech eoeciálích ukcí ocházejí bodem [0,] Logitmické ukce ři zákldu, kde 0 ebo k ukcím ( ), tedy ltí, jsou ukce tvu ( ) log ; D o, log H jik řečeo log je číslo, ěž je třeb zákld umocit, bychom dostli číslo Jsou ivezí Logitmická ukce ři zákldu e, se stučě zývá logitmická ukce (řiozeý logitmus) zčí se l : log e Logitmickou ukci ři zákldu 0 (dekdický logitmus) zčíme log : log0 logb l Je-li 0, b 0, řičemž, b, ltí log, seciálě log logb l Všechy logitmické ukce ocházejí bodem [,0] Gy eoeciálích ukcí Gy logitmických ukcí Goiometické ukce ebo tké tigoometické ukce eálého gumetu (úhlu v obloukové míře) jsou ukce ( ) si, ( ) cos, ( ) tg, ( ) cotg Lze je zvést omocí jedotkové kužice tkto: je-li délk oblouku jedotkové kužici mezi bodem [,0] ůsečíkem této kužice s olořímkou, kteá vychází z očátku souřdic, je si ove duhé souřdici tohoto ůsečíku, cos jeho ví souřdici Zřejmě ltí zákldí tigoometická idetit si cos (z Pythgoovy věty)
8 Dále deiujeme si cos tg, cotg cos tg si k k k k D D, D ( ),, D, si cos tg cotg Fukce si cos jsou eiodické s eiodou, si je lichá, cos sudá, ukce tg cotg jsou liché ukce eiodické s eiodou Gy ukcí ( ) = si ( ) = cos ( ) = tg ( ) = cotg Hodoty goiometických ukcí o ěkteé gumety: 0 / 3 / / 6 / 4 / 3 si / / 3 / cos / / / tg 0 eí de 0 eí de 0 3 /3 3 cotg eí de 0 eí de 0 eí de 3 3 /3 Užitečé vzthy: si si( ) si( ) si( ), 0, ltí : cos cos( ) cos( ) cos( ), tg tg( ), cotg cotg( )
9 Vyjádřeí goiometické ukce dého gumetu omocí jié goiometické ukce téhož gumetu: si cos si tg si cotg si cos tg cotg tg si cos tg cotg si cos tg si si cos cos cos cos tg tg cotg cotg cotg cotg Následující idetity o goiometické ukce ltí vždy o ty gumety, o kteé mjí obě sty smysl: Součtové vzoce: tg tg y si( y) si cos y cos si y tg( y) tg tg y cotg cotg y cos( y) cos cos y si si y cotg( y) cotg cotg y Po souči goiometických ukcí ltí: si si y cos( y) cos( y) si cos y si( y) si( y) cos cos y cos( y) cos( y) cos si y si( y) si( y) Goiometické ukce ásobků gumetů: tg tg si si cos cos cos si tg tg 3 si 3 3si 4 si cos 3 4 cos 3cos tg cotg tg cotg tg cotg tg cotg cotg tg Goiometické ukce olovičích gumetů: cos si cos cos si si si tg cos si cos cos si cos cos cos si si cotg cos si cos Mociy ukcí si cos : 3 si cos si 4 3si si 3 cos cos cos 3cos cos 3 3 4
10 Alytická geometie Vektoem v oviě (es v ostou) ozumíme možiu všech ovoběžých souhlsě oietových stejě dlouhých úseček Zvolíme-li jedu kokétí z těchto úseček, ř u AB, mluvíme o umístěí vektou do očátečího bodu A Jestliže vekto umístíme do očátku souřdé soustvy [0,0] (es [0,0,0] ), otom souřdice kocového bodu jsou souřdice vektou u Je-li vekto umístě v bodě A, u AB, A [, ], B [ b, b ] (es A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ] ), B A b, b u b, b, b ) otom o souřdice vektou u ltí u (es Ze vzthu u B A lye B A u Oece s vektoy u u, u, v v, v (es u, u, u, v, v, v Velikost vektou u u u (es u v ): 3 3 u u u u ) 3 Očý vekto u u, u (es u u, u, u3 ) k-ásobek vektou ku ku, ku (es k ku, ku, ku u ), k 3 O vektoech u k u říkáme, že jsou kolieáí 3 3 Rovost vektoů u v u v u v (es u v u v u3 v3 Součet vektoů u v u v, u v (es u v u v, u v, u3 v3 ) Rozdíl vektoů u v u v, u v (es u v u v, u v, u3 v3 ) Lieáí kombice vektoů ku kv ku kv, ku kv (es ku k v ku kv, ku kv, ku3 kv3 ), k, k Skláí souči vektoů u v uv uv (es u v uv uv u3v3 ), u v u v cos, kde u, v, 0, ) Vektoový souči vektoů u u, u, u, v v, v, v 3 3 (ouze v ostou!) je vekto uv3 u3v, u3v uv3, uv uv u v i j k u u u 3 v v v 3, kteý je kolmý oviu, v íž leží vektoy u, v o jeho velikost ltí u v u v si (lošý obsh kosodélík tvořeého vektoy u, v ) řičemž tojice vektoů u, v, u v tvoří votočivý systém (viz obázek) Přímk v oviě Pochází-li římk body A, B, otom o bod X tedy o ěkteé t ltí X A t B A, eboli u v ) je vekto X A kolieáí s vektoem B A, X A t B A, t metická ovice římky zdé dvěm body A, B Po jedotlivé složky o A [, ], B [ b, b ]: t ( b ), t y t( b )
11 Pochází-li římk bodem A [, ] ovoběžě s vektoem s ( s, s ), kteý se zývá směový vekto římky, otom o bod X je vekto X A kolieáí s vektoem s, tedy o ěkteé t ltí X A t s, eboli X A t s, t metická ovice římky zdé bodem A směovým vektoem s Po jedotlivé složky je-li A [, ] s s s (, ) : t s y t s, t Obecá ovice římky : by c 0 se odvodí z metických ovic elimicí metu: dále t s s s t s s s s y 0 s y t ss y t s s s s y s s 0 s, b s s s y s s X A,, 0, 0, tedy o libovolý bod X římce by c 0 je olohový vekto X A Nomálový vekto římky o ovici by c 0 je vekto, b Po b 0 můžeme obecou ovici římky řevést směicový tv kolmý vekto, b b ( libovolý jeho ásobek) c y k q římk je gem lieáí ukce (viz kitol ukce) 0 by0 c Vzdáleost bodu A [ 0 y0 ] od římky : by c 0: d(, A) b Odchylk římek : b y c 0, q : b y c 0 je ov úhlu jejich omálových vektoů, ltí tedy Přímk ovi v ostou (, b ) (, b ) b b cos, 0, (, b ) (, b ) b b Alogickou úvhou, omocí kteé jsme odvodili metickou ovici římky v oviě, odvodíme Pmetické ovice římky zdé dvěm body A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ] : t ( b ), y t( b ), z t b, t zdé bodem A [,, 3 ] směovým vektoem s ( s, s, s3 ) : t s, y t s, z ts t 3 3 Přímku v ostou lze zdt jko ůsečici dvou ovi; obecá ovice římky v ostou eeistuje! Jestliže z metických ovic vyjádříme met t vziklé vzthy oováme, dosteme tk zvé y z 3 koické ovice římky s s s 3 Třemi body A, B, C, kteé eleží v římce, je zdá ovi, o jejíž libovolý bod X je vekto X A ěkteou lieáí kombicí vektoů B A C A, ltí tedy X A t ( B A) t ( C A), t, t X A t B A t C A metická ovice oviy zdé třemi body A, B, C eboli ve složkách o t ( b ) t ( c ) A [,, ], B [ b, b, b ], C c, c, c : y t ( b ) t ( c ) t, t z t ( b ) t ( c )
12 Pochází-li ovi bodem A [,, 3 ] ovoběžě se dvěm ekolieáími vektoy u ( u, u, u3), v v, v, v, otom o bod X je vekto X A ěkteou lieáí kombicí vektoů u, v, tedy o 3 ěkteá t, t ltí X A t u t v, eboli X A t u t v metická ovice oviy zdé bodem A ve složkách o A [,, 3 ], u, u, u v, v, v u, v : 3 3 dvěm ekolieáími vektoy u, v t u t v y t u t v t, t z t u t v Obecá ovice oviy : by cz d 0 se odvodí z metických ovic elimicí metů: t u t v v v v y t uv uv uv3 u3v y t u t v v y t u t v v v y v z t u v u v u v u v z t u t v v u v u v y u v u v z u v u v Pltí tedy, b, c k u3v uv3, uv3 u3v, uv uv k teto vekto je kolmý směové vektoy oviy, tedy, b, c u v ; Vzdáleost bodu A [ 0 y0, z0] od oviy : by cz d 0 : omálový vekto oviy d(, A) by cz b c Kuželosečky jsou ovié křivky, kteé dostly solečý ázev oto, že vzikou jko řez kužele oviou odle toho, jký má tto ovi sklo vzhledem k ose es ovchové římce kuželu, dosteme ) bolu ovi je ovoběžá s ovchovou římkou (kteá ochází vcholem kuželu), b) elisu ovi svíá s osou kuželu úhel 0, b) kužici ovi je kolmá osu kuželu,, d) hyebolu ovi je ovoběžá s osou kuželu 0 viz obázek (kteý ochází z Wikiedie) Elis je křivk, jejíž kždý bod má od dých dvou bodů v oviě stejý součet vzdáleostí Elis má dvě ohisk, ozčme je E F
13 Elis obshuje dv hlví vcholy A B dv vedlejší vcholy C D Střed elisy, obázku vchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohisky Přímk, kteá ochází hlvími vcholy ( tké ohisky), se zývá hlví os elisy, římk kteá ochází vedlejšími vcholy, se zývá vedlejší os elisy Úsečk, kteá sojuje libovolý hlví bod střed elisy, se zývá hlví oloos N obázku se jedá o úsečky AS BS Úsečk, kteá sojuje libovolý vedlejší bod střed elisy, se zývá vedlejší oloos N obázku se jedá o úsečky CS DS Rovice elisy se středem v očátku souřdic osmi v souřdých osách má tv y, b S m, osy jsou ovoběžé se souřdými osmi, má ovice tv je-li střed elisy v bodě m y b V řídě b dostáváme kužici s ovicí y es m y Hyebol je kuželosečk, o jejíž kždý bod ltí, že bsolutí hodot ozdílu vzdáleostí od dvou evě dých bodů je vždy stejá Bodům F F se říká ohisk Bod S se zývá střed hyeboly chází se ve středu úsečky FF Přímk FF se zývá hlví os hyeboly Kolmice k této ose v bodě S se zývá vedlejší os hyeboly Půsečíky hyeboly s hlví osou se zývjí vcholy hyeboly, obázku vvo to jsou body A B Úsečky AS BS se zývjí hlví oloosy hyeboly Jejich délku zčíme Délku vedlejší oloosy hyeboly zčíme b Vzdáleost ohisk od středu se zývá eceticit, zčíme ji e Pltí vzth e b Přímky,, ocházející středem hyeboly odloužeé úhloříčky obdélíku vytvořeého omocí oloos viz obázek jsou symtoty hyeboly Rovice hyeboly se středem v očátku souřdic hlví osou v ose o es v ose oy má tv y y es, b b S m, hlví os je ovoběžá s osou o es s osou oy má ovice tv je-li střed hyeboly v bodě m y y m es b b
14 Pbol je křivk, kteá má od dé římky od dého bodu, kteý té římce eleží, kosttí vzdáleost Bod F se zývá ohisko boly Přímk d se zývá řídící římk boly Přímk FD se zývá os boly, je kolmá k řídící římce ochází ohiskem Bod V se zývá vchol boly chází se ve středu úsečky FD Délku úsečky FD zýváme metem boly Jedá se o vzdáleost ohisk od řídící římky Rovice boly U boly ozlišujeme celkem čtyři ůzé řídy Jk je oietová os boly, tj jestli je os svislá (ovoběžá s osou y), jko obázku, ebo jestli je os vodoová (ovoběžá s osou o) Dále k ozlišujeme říd, kdy je bol otevřeá hou ebo dolů levo ebo vo Nechť má bol V m, vchol ) Pbol má osu ovoběžou s osou oy je otevřeá hou Potom má ovici: m y y ohisko má souřdice F m, ) Pbol má osu ovoběžou s osou oy je otevřeá dolů Potom má ovici: m y y ohisko má souřdice F m, 3) Pbol má osu ovoběžou s osou o je otevřeá dov Potom má ovici: y m ohisko má souřdice F m, 4) Pbol má osu ovoběžou s osou o je otevřeá dolev Potom má ovici: y m ohisko má souřdice F m, V řídech ) ) je bol gem kvdtické ukce, v řídech 3) 4) se ejedá o gy ukcí (viz mtemtikcz) Komleí čísl
15 Deiujeme imgiáí jedotku i jko číslo, jehož duhou mociou je, i Komleím číslem se zývá výz z y i kde, y Přitom se zývá eálá složk, y imgiáí složk čísl z; íšeme Re z, y Im z Komleí čísl, jejichž imgiáí složk je ulová, ztotožíme s eálými čísly Komleí čísl, jejichž eálá složk je ulová, se zývjí yze imgiáí Po očítáí s komleími čísly ltí ásledující vidl : Rovost komleích čísel : Sčítáí (odčítáí) Násobeí Děleí y i y i y y y i y i y y i y i y i y y y y i yi yi y y y y y y i Absolutí hodotu komleího čísl z deiujeme ředisem z y i y Komleě sdužeé číslo k číslu z je číslo z y i Pltí:, z z y i y i z z y i y i y z z z z z, z z z z z z z z z z z z,, z z Zázoěí komleích čísel Komleí čísl zázoňujeme jko body v oviě, kteé říkáme Gussov ovi ebo ovi komleích čísel Vodoová os souřdic se zývá eálá os, svislá imgiáí os Komleí číslo z yi zázoňujeme jko bod, y Přitom zřejmě (odle Pythgoovy věty) je z ov vzdáleosti bodu, y od očátku souřdic z z
16 Úhel (v oboukové míře), kteý svíá ůvodič obzu čísl z s kldým směem eálé osy, se zývá gumet komleího čísl z zčí se g z y ctg 0 y ctg 0, y 0 g z y ctg 0, y 0 y 0 0, y 0 Nechť z y i, g z Výz z z cos isi se zývá goiometický tv komleího čísl z Je vhodý o ásobeí umocňováí komleích čísel : cos si cos si z z cos( ) i si( ) z z z i z i z z cos isi z z z i z i cos si cos( ) si( ) z z cos i si z cos isi, kde Předchozí vzth se zývá Moiveov vět Řešeí ovice z, kde z je komleí číslo celé, je dáo ávě všemi čísly k k z cos isi, k 0,,, Souh těchto čísel zýváme -tou odmociou z čísl z Jestliže oložíme e i cos isi ( Euleův vzoec), dosteme eoeciálí tv komleího čísl z z e i Vzthy o ásobeí umocňováí komleích čísel v eoeciálím tvu vyývjí z vlstostí eoeciálí ukce ( ) 0 0
( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1
Úrvy lgebrických výrzů Mociy odmociy Pro kždé reálé r, s kždé > 0, b > 0 (res ro kždé celé r, s kždé 0, b 0 ltí: r 0 s rs, r r ( b b r r r r s r+ s b b r s rs b : b Dále ltí +, (, ( Je-li N, 0, eistuje
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
VíceVEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček
Vícenazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).
ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VícePRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceCílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.
temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme
VíceAnalytická geometrie
7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor
. LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící
VíceAlgebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceKuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně
Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
VíceMocniny, odmocniny, úpravy. Repetitorium z matematiky
Mociy, odmociy, úpvy lgeických výzů epetitoium z mtemtiky Podzim Iv culová . Mociy přiozeým celým mocitelem Po kždé eálé čílo kždé přiozeé čílo pltí:... čiitelů moci Zákld mociy (mocěec) mocitel (expoet)
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.
KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VícePRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05
Vícea q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)
..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí
Více1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
.. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceSTŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA
STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
Vícea) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-
Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,
Více1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26
Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)
FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )
Více9. Racionální lomená funkce
@ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
VíceKomplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1
Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,
VíceDigitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.
Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +
VíceD = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n
/9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x
Vícea my chceme data proložit nějakou hladkou funkcí, která by vystihovala hlavní vlastnosti dat, ale ignorovala malé fluktuace a nepřesnosti.
Vyováváí dat Naše pozoováí jsou dáa tabulkou čísel, kde y y y i často bývají časové údaje, a my chceme data položit ějakou hladkou fukcí, kteá by vystihovala hlaví vlastosti dat, ale igoovala malé fluktuace
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
VícePLANIMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY PŘÍMKA A JEJÍ ČÁSTI
Předmět: Ročník: ytvořil: Dtum: MTEMTIK DRUHÝ Mg. Tomáš MŇÁK 17. květn 2012 Název zcovného celku: PLNIMETRIE ZÁKLDNÍ POJMY Plnimetie = geometie v ovině. Zákldními útvy eukleidovské geometie jsou: bod římk
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceNové symboly pro čísla
Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly
VíceNapíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.
8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VícePosloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a
Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické
VícePRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z
VícePosloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost
Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích
VíceStřední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl
Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY KVĚTNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T KVĚTNA 09 Dtum koáí koušky:. květ 09 M. možé skóre: 0 Počet řešitelů testu: 80 M. dosžeé skóre: 0 Počet úloh: 0 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, % Mi. dosžeé skóre:
VíceFunkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D
Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí
VíceIng. Vladimíra Michalcová, Ph.D. Katedra stavební mechaniky (228)
Stavebí statka - vyučující Dooručeá lteratura Ig. Vladmíra chalcová, h.d. Katedra stavebí mechaky (228) místost: LH 47/ tel.: (59 732) 348 e mal: vladmra.mchalcova@vsb.c www: htt://fast.vsb.c/mchalcova
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava
Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VícePosloupnosti na střední škole Bakalářská práce
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které
VíceZákladní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.
Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů
Více4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema
4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou
Více8.3.1 Pojem limita posloupnosti
.3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceM a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e
M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
VíceLINEÁRNÍ TRANSFORMACE V ROVINĚ
LINEÁRNÍ TRANSFORMACE V ROVINĚ Kil Mleček Dgr Szrková FSv ČVUT Prh Thákurov 7 66 9 Prh 6 ČR e-il: kil@tfsvvutz SjF STU Brtislv Ná Slood 7 8 3 Brtislv SR e-il: szrkov@sjfstusk Astrkt V řísěvku je osý geoetriký
VíceMarie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA ZÁKLADY MATEMATIKY Mrie Dostálová Elišk Grdvská Rdk Hmříková Věr Jků Miloslv Tebergová Vtvořeo v rámci projektu Operčího progrmu Rozvoje lidských zdrojů
VíceVektory a matice. P r. P x
Vektoy tie Vektoy Vekto je lieáí oslouost vků V, kteá oshuje vků. Kždý vek vektou V je řístuý ostředitví idexu k v ozshu [, ]. Vekto řioíá dtový ty ole, le eí to ole. P P P P P Oee s vektoe Pvek ozii oee
Více=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:
3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
VícePřehled vzorců z matematiky
) Výz: Přehled vzoů z tetik ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + + + ( ) + ( ) ( ) + + + ( ) ( ) + + ) Moi:....... s + s (. ). s ( ) s s.s ) Odoi: ( ).p... p ( ). 4) Kvdtiká ovie: 5) Kopleí čísl: + + 0 kde
Více; c) lim. 1 3x C x 2 x 2 x 6 x 5 6. tg.sin x/ sin.tg x/ x n : e) lim. x a sin x b tg x. ; f) n. sin 1 p n. log 1 C 3p 1. b) 1 C 2.x.
. TAYLORŮV POLYNOM. Nalezěte Talorov olom řádu k v bodě a ro ásledující fukce: a) arctg, k D, a D b) tg, k D, a D c) e, k D 5, a D. Vočtěte: a) cos.;/ s chbou meší ež. b) log.;/ s chbou meší ež. c) e s
Více