Lalaceova transformace - studijní text ro cvičení v ředmětu Matematika -. Studijní materiál byl řiraven racovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za odory grantu IG ČVUT č. 300043 a v rámci rozvojového rojektu MŠMT. Obsah. Definice a základní vzorce. Zětná Lalaceova transformace, ředmět k racionální funkci 3. Lalaceova transformace imulsu 4. Zětná transformace obrazu imulsu 5. Obraz eriodické funkce 6. Řešení lineárních diferenciálních rovnic Lalaceova transformace.. Definice a základní vzorce Při řešení lineárních diferenciálních rovnic a jejich soustav s konstantními koeficienty můžeme oužít integrální transformace, které nahrazují oerace derivování a integrování násobením či dělením a vlastní řešení diferenciální rovnice je řevedeno na řešení soustavy lineárních rovnic. Jedna z nejčastěji oužívaných integrálních transformací je tzv. Lalaceova transformace. Přiomeneme nejrve definici a základní vlastnosti Lalaceovy trasformace, které ři řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav oužíváme. Definice Lalaceovy transformace. Je-li funkce f : 0, ) R, ak její Lalaceovou transformací rozumíme funkci F (), která je definována vztahem F () = 0 f(t)e t dt, kde je komlexní číslo. O funkci f(t) mluvíme jako o ředmětu, funkci F () nazýváme obrazem. Přiřazení f(t) F () nazýváme římou Lalaceovou transformací a budeme ji značit symbolem L {f(t)} = F (). Inverzní transformaci F () f(t) nazýváme zětnou Lalaceovou trasformací a budeme ji označovat symbolem f(t) = L {F ()}. Vztah mezi ředmětem a obrazem budeme někdy stručněji zaisovat omocí symbolu f(t) F () či F () f(t). Poznamenejme, že roměnná je sice komlexní, ale ři výočtu běžných obrazů očítáme odle stejných ravidel jaká jsme oužívali ři integrování a derivování reálných funkcí reálné roměnné. Při očítání obrazů můžeme ředokládat, že je reálná kladná roměnná. Uvedeme základní vlastnosti římé a zětné Lalaceovy transformace, které využíváme ři řešení diferenciálních rovnic.
Přehled základních vzorců: Linearita transformací. n n n L { a i f i (t)} = a i L {f i (t)}, L { a i F i ()} = i= i= i= Základní vztahy transformace. Označme L {f(t)} = F (). n a i L {F i ()}. i= Předmět Obraz f(t) F () f(t)e at F ( a) f(at) a F ( ) a f (t) F () f(0+) f (t) F () f(0+) f (0+) f (n) (t) n F () [ n f(0+) + n f (0+) +... + f (n ) (0+) tf(t) F () t n f(t) ( ) n F (n) () t f(t) F (q)dq t 0 f(z)dz F () Obraz konvoluce. Konvolucí funkcí f(t) a g(t) nazýváme funkci (f g)(t) = (g f)(t) = t 0 f(t u)g(u) du = a označíme-li L {f(t)} = F () a L {g(t)} = G(), ak t 0 f(u)g(t u) du L {(f g)(t)} = L {(g f)(t)} = F ()G(). Tabulka některých obrazů. Předmět Obraz Předmět Obraz ω sin ωt t +ω +ω cos (ωt) t ω sinh ωt 3 t n n!, n N cosh ωt n+ e at a te at ( a) t sin ωt ω ω ω ( +ω ) ω ( +ω ) t cos ωt t e at e at ω sin (ωt) ( a) 3 ( a) +ω t n e at, n N n! ( a) n+ e at cos (ωt) ω ( a) +ω Řešené úlohy na římou Lalaceovu transformaci. Pomocí základních vztahů transformace a s využitím uvedených obrazů některých funkcí určete obraz F () k ředmětu f(t).
. f(t) = + 3te t 4t e 3t F () = + 3 (+) 4. (+3) 3 Použijeme linearitu, vztah e at f(t) F ( a), a =, a = 3 a vzorce, t, t 3.. f(t) = 3 sin t 5 cos t F () = 3. +4 5 +4 = 6 5 +4 Použijeme linearitu a vzorce sin t, cos t +4 3. f(t) = 3t sin t F () = 3 +4 +4. Použijeme linearitu transformace a vzorce t, sin t +4. 4. f(t) = t + 3e t + cos t F () = 3 + 3 + + +4 Použijeme linearitu a vzorce t n n!, e t n+ +, cos t +4. 5. f(t) = 4e t + e 3t + sin t F () = 4 + +3 + +4 Použijeme linearitu, vztah e at f(t) F ( a), a =, a = 3 a vzorce, sin t +4. 6. f(t) = (t + 5)e t + 3 cos t sin 3t F () = (+) + 5 + + 3 + 6 +9 Použijeme linearitu, vztah e t f(t) F ( + ) a vzorce, t, cos t sin 3t 3 +9. 7. f(t) = t(sin t + 4 cos t) F () = ( +4 + 4 +4 ) = 4 +4 6 ( +4) Použijeme linearitu, vztah tf(t) F () a vzorce sin t, cos t +4 8. f(t) = (t + ) cos 3t F () = ( +9 ) + +9 = 9 + ( +9) +9 = 3 + +8 9 ( +9) Použijeme linearitu, vztah tf(t) F () a vzorec cos 3t +9. +4. +, 9. f(t) = (3t + t )e t + (t + ) sin t ( ) F () = 6 + (+) 3 (+) + +4 + +4 = 6 + (+) 3 (+) + + 4 + ( +4) +4 Použijeme linearitu, vztahy e t f(t) F ( + ), tf(t) F () a vzorce, t, t 3, sin t +4. 0. f(t) = te 3t + (t 5) cos 3t F () = (+3) ( +9 ) 5 +9 = (+3) + 9 ( +9) 5 +9
Použijeme linearitu, vztahy e 3t f(t) F ( + 3), tf(t) F () a vzorce t, cos 3t +9.. f(t) = 3 sin 3t cos t Je f(t) = 3 (sin 4t + sin t), tedy ( ) F () = 3 4 +6 + = 6 +4 +6 + 3 +4 Použijeme linearitu a vzorce sin 4t 4, sin t +6 +4.. f(t) = e 3t cos 5t F () = (+3) (+3) +5 = +6 +6+34 Použijeme vztah e 3t f(t) F ( + 3) a vzorec cos 5t 3. f(t) = e t (3 cos 3t 4 sin 3t) F () = 3(+) (+) +9 4.3 (+) +9 = 3 6 +4+3 +5. Použijeme linearitu, vztah e t f(t) F ( + ) a vzorce cos 3t 4. f(t) = te 3t e t sin 3t + 4 F () = (+3) 6 (+) +9 + 4. 3, sin 3t +9 +9. Použijeme linearitu, vzorce t, sin 3t 3 +9, a vztah f(t)e at F ( a), a =, a = 3. 5. f(t) = t sin 4t + (3te t ) F () = ( 4 +6 ) + 3 (+) lim t 0+ (3te t ) = 8 + 3 ( +6) (+) Použijeme linearitu, vztahy tf(t) F (), f (t) (F () f(0+)) a vzorce sin 4t 4 +6, te t. (+) 6. f(t) = e 3t ( sin 3t) + t 0 e3u cos 3udu F () = +3 6 (+3) +9 + 3 ( 3) +9 Použijeme linearitu, vztahy f(t)e at F ( a), a = 3, a = 3 a t 0 f(u)du F () a vzorce 3, sin 3t, cos 3t +9 +9. 7. f(t) = tsinh t cos 3t + 5 ( ) Je f(t) = tsinh t cos 6t + 5, tedy F () = 4 + +5 +36 = 4 + 4 ( 4) +36. Použijeme linearitu, vztah tf(t) F () a vzorce sinh t 4, a cos 3t +9. 8. f(t) = 4t sin t cos t + (e t cosh t 4) Je sin t cos t = sin t a cosh t = + cosh t, tudíž f(t) = t sin t + (e t + e t cosh t 4). Odtud lyne F () = ( +4 ) + ( + ( ) ( ) 4 4 ) lim t 0+ (et + e t cosh t 4) =
8 ( +4) + + ( ) 4. Použijeme linearitu, vztahy tf(t) F (), f (t) F () f(0+), e t f(t) F ( ) a vzorce sin t, cosh t +4 4,. 9. f(t) = e 3t cos (t + π ) + sin 3(t π) Je cos (t + π ) = cos t cos π sin t sin π = sin t a sin 3(t π) = sin 3t cos 3π + cos 3t sin 3π = sin 3t. Je f(t) = e 3t sin t sin 3t tedy F () = (+3) +4 3 +9. Použijeme linearitu, vztah e 3t f(t) F ( + 3) a vzorce sin ωt 0. f(t) = 5. t 4t3 t ω +ω, ω = 3, ω =. Je f(t) = 5e t ln 4te t ln 3, tudíž F () = 5 +ln 4 ( ln 3). Použijeme linearitu, vztah e at f(t) F ( a), a = ln, a = ln 3 a vzorce, t.. f(t) = t 0 ( + 4eu sinh 3u)du (3 t tsinh 5t) ( ) [ ( ) Je F () = + 4.3 ( ) 9 ln 3 + 5 lim 5 t 0+ (3t tsinh 5t) = + ( 8) ln 3 0. ( 5) Použijeme linearitu, vztahy t 0 f(u)du F (), eat f(t) F ( a), a =, a = ln 3, f (t) F () f(0+), tf(t) F () a vzorce, sinh ωt ω, ω = 3, ω = 5. ω. f(t) = 6 sin t sinh 3t 4t 3 cos t cosh t Je f(t) = 3 sin t(e 3t e 3t ) 4t 3 cos t(e t + e t ), tedy 3 F () = ( 3) + + 3 (+3) + 4 3! 4 ( ) + + (+) + = 3 6+0 + 3 +6+0 4 4 + + ++. Použijeme linearitu, vztah e at f(t) F ( a), a = 3, a = 3, a, a = a vzorce t 3 3!, sin t, cos t 4 + +. 3. f(t) = (e t sinh t + t 3 e t 6) + 3 t 0 (u4 u cos u) du [ Je F () = ( ) + 3! 6 ( ) 4 + 6 6 + 6 + 7 + 3 +4 ( ) 4 6 = +4 + lim t 0+ (et sinh t + t 3 e t 6) + 3 6 ( ) 4 + 7 6 + 3(4 ) ( +4). [ ( ) 4! + 5 +4 Použijeme linearitu, vztahy f (t) (F () f(0+)), t 0 f(u)du F (), tf(t) F (), e at f(t) F ( a), a =, a = a vzorce t 3 6, t 4 4!, sinh t, cos t 4 5 4. f(t) = 3 4 t 0 sinh (t u) cos udu ( ) F () = 3 4 = 3 + 4 ( )( +) Použijeme linearitu, větu o obrazu konvoluce (f g)(t) F ()G() a vzorce, sinh t, cos t +. = +4.
5. f(t) = t 0 eu t (t u) sin 3u du Je f(t) = t 0 e (t u) (t u) sin 3u du = te t sin 3t a tedy F () = 3 (+) +9, když oužijeme vztah ro obraz konvoluce na funkce te t te t, sin 3t 3 (+) +9. a sin 3t a vzorce Neřešené úlohy na římou Lalaceovu transformaci. K dané funkci f(t) nalezněte obraz F (). f(t) F (). f(t) = 3t 5t + [F () = 6 5 + 3. f(t) = e t 3e t + 5e t [F () = 3 + + 5 + 3. f(t) = te t + t e 3t [F () = (+) + (+3) 3 4. f(t) = 6te t + e t + t 3 e 4t [F () = 6 (+) + (+) + 6 (+4) 4 5. f(t) = sin t 3 cos t [F () = 3 + 6. f(t) = 3 sin t + 4 cos t [F () = 6+4 +4 7. f(t) = 8t e t + 3 sin t [F () = 6 + 3 (+) 3 + 8. f(t) = t sin t [F () = 4 ( +4) 9. f(t) = t cos 5t [F () = 5 ( +5) 0. f(t) = e 3t sin t [F () = +6+3. f(t) = e t cos t [F () = + +4+8. f(t) = (3t )e t [F () = (+) 3. f(t) = (3 + t) cos t [F () = 33 + +3 ( +) 4. f(t) = ( t) sin 5t [F () = 5 0+5 ( +5) 5. f(t) = te 3t sin t [F () = 4( 3) ( 6+3) 6. f(t) = (t 3)e t cos 4t [F () = 33 6 76 44 ( +4+0) 7. f(t) = ( t)e 3t sin t [F () = 0+ ( 6+0) 8. f(t) = t sin t [F () = 6 ( +4) 3 9. f(t) = t cos 3t [F () = 3 54 ( +9) 3 0. f(t) = 4 sin 3t + te 3t cos t [F () = 7. f(t) = sin 3t cosh t cos 3t sinh t [F () =. f(t) = + e 3t cos t cos 3t [F () = + ( +36) + 6+5 ( ( 6+3) ) 5 4+3 + 5+ ( +4+3 +3 +6+5 + +3 +6+3 9 3. f(t) = (e t sinh t + t 4 e t cosh 3t) [F () = + + 4 ( ) 5 ( 4. f(t) = (3 t sin t sinh t + 4) [F () = ( 5. f(t) = t 0 (4 6u cos 3u + 8 sin u cos u)du [F () = ) ) + ln 3 4+5 + 4 + ( 4 3 + 3(36 ) + 6 ( +36) +6 6. f(t) = 4e t + 3e 3t + 5 sin t [F () = 4 + + +3 + 0 +4 7. f(t) = ( + 3t)e t + 4 cos t sin t [F () = 3 ) +4+5 + (+) + + 4 ( ) +4 4 +4 + +5 8. f(t) = sin t sin 3t [F () = 9. f(t) = ta t, a > 0 [F () =, a t = e t ln a ( ln ( a) ) 30. f(t) = 3 cos t [F () = 3 + +6 ) 7
3. f(t) = 4 cos t cos 3t [F () = 4( +3) ( +)( +5) 3. f(t) = 6 sin 3t cos t [F () = 8( +8) ( +6)( +4) 40 ( +9)( +5) 33. f(t) = 5 sin 4t sin t [F () = 34. f(t) = 4e t sin 3t 7 [F () = (+)( +4+40) 35. f(t) = 3e t cos t [F () = 3( +3+7) (+)( ++7). Zětná Lalaceova transformace, ředmět k racionální funkci. Hledáme funkci f(t), ro kterou je F () f(t), (tedy L {f(t)} = F ()) a F () je racionální funkce. Poznamenejme, že z vlastností Lalaceovy transformace vylývá, že ve funkci F () je stueň čitatele alesoň o jednu menší než stueň jmenovatale. Pois algoritmu. Funkci F () rozložíme na součet arciálních zlomků a k jednotlivým sčítancům najdeme ředměty omocí vztahů a vzorců, které jsme uvedli v rvním odstavci. Zde se omezíme na nejjednodušší říady. Budeme uvažovat, že jmenovatel funkce F () má komlexní kořeny násobnosti nejvýše. Pro reálné kořeny není třeba nějaké omezení uvažovat. V rozkladu racionální funkce dostaneme jako jeho členy zlomky těchto tvarů: A a ro reálný jednoduchý kořen = a. A ( a) ro dvojnásobný reálný kořen = a. A ( a) n ro reálný kořen = a násobnosti n, n. A+B +ω ro ryze imaginarní dvojici jednoduchých kořenů = ±jω. A+B ( a) +ω ro dvojici jednoduchých komlexních kořenů = a ± jω, a 0. A+B [ +ω ro ryze imaginarní dvojici dvojnásobných kořenů = ±jω. A+B ro dvojici dvojnásobných komlexních kořenů = a ± jω, a 0. [( a) +ω Uvedeme základní vzorce, které budeme ři výočtu ředmětu oužívat. Přehled vzorců Je a R, b > 0 a ω > 0. F (). a. ( a) f(t) e at te at 3. ( a) 3 t e at 4. ( a), n N n (n )! tn e at 5. sin ωt +ω ω +ω ( a) +ω 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. ( a) +ω cos ωt ( +ω ) ( +ω ) ω [( a) +ω [( a) +ω b b ω eat sin ωt e at (cos ωt + a ω sin ωt) (sin ωt ωt cos ωt) ω 3 t sin ωt ω 3 e at (sin ωt ωt cos ωt) e at (ω t sin ωt + a sin ωt aωt cos ωt) ω 3 b sinh bt cosh bt
Řešené úlohy na zětnou Lalaceovu transformaci. Určete ředmět f(t) k funkci F ().. F () = +3 +4+3 Rovnice + 4 + 3 = 0 má dva reálné kořeny = 3 a =. Je tedy F () = +3 +4+3 = A +3 + B +. Rovnici vynásobíme jmenovatelem a ro neurčité koeficienty A a B dostaneme rovnici + 3 = A( + ) + B( + 3). Dosadíme hodnoty kořenů = 3 a = a dostaneme: = 3 : 3 = A A = 3 ; = : = B B =. Je tedy F () = 3 +3 + f(t) = 3 e 3t + e t, t 0. +, a tudíž Použijeme linearitu zětné transformace a vztah a eat ro a = a a = 3.. F () = 3 + 4 3 +7 +0 Rovnice 3 + 7 + 0 = 0 má kořeny = 0, = a 3 = 5 a tudíž je F () = 3 + 4 (+)(+5) = A + B + + C +5 Rovnici vynásobíme jmenovatelem a ro neurčité koeficienty dostaneme rovnici: 3 + 4 = A( + )( + 5) + B( + 5) + C( + ). Do rovnice ostuně dosadíme hodnoty kořenů jmenovatele a dostaneme: = 0 : 4 = 7A A = 4 7 ; = : 4 = 6B B = 3 ; = 5 : 6 = 5C C = 6 5. Je tedy F () = 4 7 3 + + 6 5 +5 a tudíž je f(t) = 4 7 3 e t + 6 5 e 5t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace a vztah a eat ro a = 0, a = a a = 5. 3. F () = 3 +5 (+)(+3) Jmenovatel má jednoduchý kořen = a dvojnásobný kořen = 3. Pro funkci F () dostaneme rozklad ve tvaru 3 +5 (+)(+3) = A + + B (+3) + C +3 Po vynásobení jmenovatelem dostaneme ro neurčité koeficienty rovnici ( ) 3 + 5 = A( + 3) + B( + ) + C( + )( + 3). Dosadíme hodnoty kořenů jmenovatele a dostaneme: = : 8 = 4A A = ; = 3 : 3 = B B = 6. Hodnotu C určíme dosazením některé jiné hodnoty do rovnice ( ) a nebo orovnáním koeficientů u některé mocniny roměnné. Přiomeňme, že volíme nejvyšší nebo nejnižší mocniny. Ty obvykle mají jednodušší vyjádření. Zvolíme mocninu a dostaneme odmínku:
: 3 = A + C C = 3 A = 3 =. Je tedy F () = + 6 (+3) + +3 a tudíž f(t) = e t + e 3t ( 6t), t 0. Použijeme linearitu zětné transformace a vztahy a eat ro a =, a = 3 a te 3t. (+3) 4. F () = 4+7 +6 Je 4+7 +6 = 4 a tudíž +6 + 7 4 4 +6 f(t) = 4 cos 4t + 7 4 sin 4t, t 0. 4 Použijeme linearitu zětné transformace a vztahy sin 4t +6 cos 4t. +6 5. F () = 7 (+6)( +4) Pro funkci F () dostaneme rozklad na zlomky ve tvaru 7 (+6)( +4) = A +6 + B+C +4. Po vynásobnení jmenovatelem získáme ro neurčité koeficienty rovnici ( ) 7 = A( + 4) + (B + C)( + 6). Po dosazení hodnoty = 6 do rovnice ( ) dostaneme = 6 : 9 = 40A A = 9 40. Zbývající koeficienty určíme oět orovnáním vhodné mocniny roměnné v rovnici ( ). Postuně získáme: : 0 = A + B B = A = 9 40 ; 0 : 7 = 4A + 6C C = ( ) 6 7 + 9 0 = 5 60. Je tedy F () = 9 a tudíž 40 +6 + 9 40 +4 5 0 +4 f(t) = 9 40 e 6t + 9 5 40 cos t 0 sin t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace a vztahy +6 e 6t a sin t, +4 cos t. +4 6. F () = 4+5 +4+3 Rovnice + 4 + 3 = 0 má komlexní kořeny. Lze tedy jmenovatele uravit na tvar + 4 + 3 = + 4 + 4 + 9 = ( + ) + 9 a tedy 4+5 +4+3 = 4(+) (+) +9 + 5 8 (+) +9. Odtud lyne, že f(t) = e t (4 cos 3t sin 3t), t 0. Použijeme linearitu zětné transformace a vztahy F ( + ) f(t)e t 3 a cos 3t. +9 +9 sin 3t
7. F () = + (+) 4 Je + (+) 4 tedy F () = = (+)+ (+) 4 = (+) 3 + (+) 4, Odtud lyne, že! + 3! (+) 3 6. (+) 4 f(t) = 3 t e t + 6 t3 e t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace, vztah F ( + ) f(t)e t a vzorce 3 t a 6 4 t 3. 8. F () = 3 (+) (+)(+3) Nejrve rozložíme funkci F () na součet arciálních zlomků. Příslušný rozklad má tvar 3 (+) (+)(+3) = A + B (+) + + C + + D +3. Po vynásobení rovnosti jmenovatelem dostaneme ro neurčité koeficienty rovnici ( ) 3 = A( + )( + 3) + B( + )( + )( + 3) + C( + ) ( + 3) + D( + ) ( + ). Dosadíme do této rovnice hodnoty kořenů jmenovatele a dostaneme: = : 8 = A A = 8; = : = C C = ; = 3 : 7 = D D = 7. Jestliže dosadíme do rovnice ( ) hodnotu = 0, získáme odmínku ro oslední z koeficientů. Je 0 = 3A + 6B + C + 4D B = 6 (4 6 + 54) =. Je F () = 8 (+) 3 tudíž + + + 7 +3, f(t) = 8te t e t e t + 7 e 3t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace, vztah F ( a) f(t)e at, a =, a =, a = 3 a vzorce t a. 9. F () = (+) Danou funkci rozložíme na arciální zlomky. Rozklad má tvar = A (+) + B + C (+) + a o vynásobení jmenovatelem dstaneme ro neurčité koeficienty rovnici ( ) = A( + ) + B + C( + ). Do této rovnice dosadíme hodnoty kořenů jmenovatele a ostuně dostaneme: = 0; = 4A A = 4 ; = ; = B B =. Dosadíme-li do rovnice ( ) některou jinou hodnotu, nař. =, dostaneme vztah = 9A + B + 3C C = 3 ( 9A B) = 3 ( 9 4 + ) = 4. Je tedy F () = 4 (+) 4 +,
tudíž f(t) = 4 te t 4 e t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace, vztah F ( + ) e t f(t) a vzorce t. Úlohu můžeme řešit také jinak, jestliže oužijeme vztah Je (+) te t a tedy (+) F () t 0 f(u)du. t 0 ue u du = [ ue u 4 e u t 0 = te t 4 e t + 4, t 0., 0. F () = ( ) 3 Danou funkci nejrve vyjádříme jako součet arciálních zlomků. Zde můžeme rozklad získat jednoduchou úravou. Je ( ) 3 tudíž = ( 4+4)+4 4 ( ) 3 f(t) = e t ( + 4t + t ), t 0. = ( ) +4( )+4 ( ) 3 = + 4 ( ) + 4 ( ) 3, Použijeme linearitu zětné transformace, vztah F ( ) e t f(t) a vzorce, t, t. 3. F () = 5 ++0 Polynom ve jmenovateli nemá reálné kořeny a roto danou funkci uravíme takto: 5 ++0 = Je ak 5 ( ++)+9 = (+) 6 (+) +9 = + (+) +9 3 (+) +9. f(t) = e t (cos 3t sin 3t), t 0, jestliže oužijeme vztah F ( + ) e t f(t) a vzorce. F () = +3 ( +) + ( ) 3 První ze dvou zlomků rozdělíme na součet a získáme: +3 ( +) = + + Odtud lyne, že 3 + +. ( ) 3 +9 cos 3t, 3 sin 3t. +9 f(t) = sin t + 3 t 0 sin udu + t e t = sin t + 3 3 cos t + t e t, t 0. Použijeme linearitu transformace a vzorce + sin t, ( ) 3 t e t. Neřešené úlohy na zětnou Lalaceovu transformaci. Určete ředmět f(t) k racionální funkci F ().. F () = + [f(t) = 3 +3 + + 5 e t e t, t 0. F () = [f(t) = (+3) 9 3 te 3t 9 e 3t, t 0 3. F () = [f(t) = ( ) (+) 3 tet 9 et + 9 e t, t 0 4. F () = [f(t) = t sin t, t 0 ( +) 5. F () = [f(t) = (+) 3 t e t, t 0 6. F () = [f(t) = e t sin t, t 0 +4+5 7. F () = 4 3 [f(t) = e t (4 cos t + +5 sin t), t 0
8. F () = +3 +4 [f(t) = cos t + 3 sin t, t 0 9. F () = 3+4 ++0 [f(t) = e t (3 cos 3t + 3 sin 3t), t 0 0. F () = 3 5 [f(t) = e t (3 cos t 4 sin t), t 0 ++5 6+3. F () = [f(t) = 3 3 +5 +9+5 e t + 3 e t (cos t + 5 sin t), t 0 4 3. F () = [f(t) = 3 (+) (+) t + 3 4 7te t 3e t 4 e t, t 0 3. F () = +3 ( +4) [f(t) = 3 8 t cos t + 3 t sin t + 6 sin t, t 0 4. F () = 4+5 3 +7 +9+8 [f(t) = 3 e t e t + 43 6 e 4t, t 0 5. F () = 4+5 +6+3 [f(t) = e 3t (4 cos t 7 sin t, t 0 6. F () = 3 6+ (+) 3 (+3) [f(t) = t e t 35 4 te t + 47 8 e t 47 8 e 3t, t 0 7. F () = 3+5 (+)(+3) [f(t) = 5 3 5e t + 6 3 e 3t, t 0 4+6 8. F () = [f(t) = 3 3 +7 +0 5 + 3 e t 4 5 e 5t, t 0 9. F () = 5 +4+5 [f(t) = e t (5 cos t sin t), t 0 0. F () = +3 (+) 3 [f(t) = ( t + t)e t, t 0. F () = +3 ( +) [f(t) = 3t + cos t 3 sin t, t 0. F () = 5 +0 ( +5) [f(t) = + e t (3 cos t + 7 sin t), t 0 t sin t + t cos t, t 0 4. F () = [f(t) = +4+3 e t e 3t, t 0 3. F () = + 4 (+4) [f(t) = 3. Lalaceova transformace imulsu. Při hledání obrazu funkce f(t), která je definována na omezeném intervalu nebo je dána několika vzorci na různých intervalech ze svého definičního oboru oužíváme ři výočtu římo vzorec ro obraz a nebo oužíváme tvrzení o obrazu osunuté funkce. Toto tvrzení se nazývá věta o translaci. Označíme symbolem (t) funkci jednotkový skok, která je definována ředisem 0, ro t < 0, (t) =, ro t 0 a jejíž růběh je znázorněn na obrázku. f(t) (t) f(t) (t a) (t b) t a b t Obr.. Jednotkový skok Obr.. Imuls Věta o translaci. Je-li f(t) F (), ak f(t a)(t a) e a F () ro a > 0. Ukážeme na říkladech výočet obrazu funkcí osaného tyu. Přiomeňme, že stále ředokládáme, že uvažované ředměty jsou definovány ouze ro nezáornou hodnotu argumentu.
Řešené říklady na obraz imulsu., 0 t,. f(t) = 0, t >. Podle definice je L {f(t)} = F () = 0 f(t)e t dt = 0.e t dt = [ e t 0 = ( e ). Pomocí věty o translaci a známých vzorců můžeme tento obraz nalézt omocí následujícího ostuu. Je f(t) =.[(t) (t ) ( e ), když oužijeme vzorec a vztah f(t )(t ) F ()e.. f(t) = t, 0 t 3, 0, t > 3. Podle definice je L {f(t)} = F () = 0 f(t)e t dt = 3 0 te t dt = 3 e 3 e 3, když oužijeme integraci er-artes. Pomocí věty o translaci a vzorce ro obraz t Je [ 3 t e t e t = 0 můžeme očítat takto. f(t) = t[(t) (t 3) = t(t) [(t 3) + 3(t 3) = t(t) (t 3)(t 3) 3(t 3). Odtud lyne, že F () = e 3 3 e 3, když oužijeme vzorce, t a vztah f(t 3)(t 3) F ()e 3. V dalších úlohách budeme hledat obraz imulsu omocí věty o translaci. Přímý výočet z definice využívá integračních metod, které byly robírany v ředchozím kursu matematiky. 3. f(t) = Je 0, 0 t, e t, < t, 0, t >. f(t) = e t [(t ) (t ) = e (t ) (t ) e (t ) (t ) = e e (t ) (t ) e e (t ) (t ). Podle věty o translaci je F () = (e e e e ) +, když oužijeme vzorec e t 4. f(t) = Je cos t, 0 t π,, t > π. +. f(t) = cos t[(t) (t π ) + (t π ). Nejrve uravíme výraz cos t(t π ) = cos [(t π ) + π (t π ) =
(t π ) ( cos (t π ) cos ( π ) sin (t π ) sin ( π )) = sin (t π )(t π ). Pro funkci f(t) máme celkové vyjádření f(t) = cos t(t) + sin (t π )(t π ) + (t π ). Použijeme větu o translaci a dostaneme obraz F () = + + + e π + e π. Při výočtu jsme oužili vzorce cos t 5. f(t) = Je 0, 0 t π, sin t, π < t π, 0, t > π., sin t + +,. f(t) = sin t[(t π) (t π) = sin [(t π) + π(t π)+ sin [(t π) + π(t π) = sin (t π)(t π) + sin (t π)(t π). Odtud lyne, že F () = + (e π + e π ), když oužijeme větu o translaci a vzorec sin t +. 6. f(t) = Je, 0 t π π 4, sin t, 4 < t π, 0, t > π. f(t) = (t) (t π 4 ) + sin t[(t π 4 ) (t π ) = (t) (t π 4 ) + sin [(t π 4 ) + π 4 (t π 4 ) sin [(t π ) + π (t π ) = (t) (t π 4 ) + cos (t π 4 )(t π 4 ) + sin (t π )(t π ). Odtud lyne, že obraz F () = ( e π 4 ) + +4 e π 4 + +4 e π. Použijeme větu o translaci a vzorce, cos t 7. f(t) = t, 0 t, t, < t, 0, t >. Je f(t) = t[(t) (t ) + ( t)[(t ) (t ) =, sin t +4 +4. t(t) [(t ) + (t ) [(t ) (t ) + (t )(t ) = t(t) (t )(t ) + (t )(t ). Odtud lyne, že obraz F () = ( e + e ), jestliže oužijeme větu o translaci a vzorec t. 8. f(t) = sin t, 0 t π, 0, t > π. Je f(t) = sin t[(t) (t π) = sin t(t) sin [(t π) + π(t π) = sin t(t) + sin (t π)(t π).
Odtud lyne, že F () = + ( + e π ), jestliže oužijeme větu o translaci a vzorec sin t 9. f(t) = cos t, 0 t π, 0, t > π. Je f(t) = ( cos t)[(t) (t π) = +. (t) (t π) cos t(t) + cos [(t π) + π(t π) = (t) (t π) cos t(t) cos (t π)(t π). Odtud lyne, že F () = ( e π ) + ( + e π ), jestliže oužijeme větu o translaci a vzorec cos t +. Neřešené úlohy na obraz imulsu. Určete obraz F () k danému imulsu f(t).. f(t) =. f(t) = 3. f(t) = 4. f(t) = 5. f(t) = 6. f(t) = 7. f(t) = 8. f(t) = 9. f(t) =, 0 t, [F () = ( e ) 0, < t. 0, 0 t, [F () = (e e 3 ), < t 3, 0, t > 3. e t, 0 t, [F () = + ( e (+) ) 0, t >. t, 0 t, [F () = ( e ), t >. t, 0 t, [F () = ( e ) e 0, t >., 0 t [F () = ( e + e ), < t, 0, t >. t, 0 t, [F () = ( 3e + e 3 ) 3 t, < t 3, 0, t > 3. t, 0 t, [F () = ( e e + e 3 ), < t, 3 t, < t 3, 0, t > 3. sin t, 0 t π, [F () = + ( e π ) 0, t > π.
0. f(t) = t, 0 t, [F () = ( e + e 3 e 4 ) t, < t 3, t 4, 3 < t 4, 0, t > 4. 4. Zětná transformace obrazů imulsů. Při hledání ředmětu k funkcím, které obsahují výraz e a, a > 0, oužíváme větu o translaci, kterou interretujeme takto. Rozdělíme danou funkci na součet členů tvaru F ()e a, kde k funkci F () známe ředmět. Je-li f(t) F (), ak hledaný ředmět k funkci F ()e a je funkce f(t a)(t a), t 0. Výraz e a je ouze návěští, které nás uozorňuje na to, že v získaném ředmětu rovedeme osunutí. Ukážeme zůsob výočtu na říkladech. Řešené úlohy na zětnou transformaci funkcí s faktorem e a. Nalezněte ředmět f(t) k dané funkci F ().. F () = e + e 3 Je t a, tudíž ro ředmět k funkci F () dostaneme vyjádření f(t) = (t )(t ) + (t 3), t 0. Funkci f(t) lze také zasat 0, 0 t, f(t) = t, < t 3, t, t > 3.. F () = ( ) e Nejrve funkci ( ) rozložíme na součet částečných zlomků. Dostaneme (viz odst. ) ( ) = + a tedy f(t) = (t ) + e t (t ), t 0, jestliže oužijeme vzorce, et a větu o translaci (a = ). 0, 0 t, Funkci f(t) lze také zasat f(t) = (e t ), t >. 3. F () = e π ++ Obdobně jako v odstavci dostaneme: ++ = (+) (+) + (+) + e t (cos t sin t); ++ = (+) + e t sin t. Je tedy f(t) = e t (cos t sin t)(t) e (t π) sin (t π)(t π). Funkci f(t) lze také zasat e f(t) = t (cos t sin t), 0 t π, e t ( cos t ( e π ) sin t) + sin t, t > π.
4. F () = 3+ 6e π +4. Jestliže oužijeme vzorců +4 cos t, sin t dostaneme, že +4 f(t) = [3 cos t + sin t(t) 3 sin (t π)(t π). Funkci f(t) lze také zasat 3 cos t + sin t, 0 t π, f(t) = 3 cos t sin t, t > π. 5. F () = 3e +e +3+. Obdobně jako v odstavci rovedeme rozklad na arciální zlomky a dostaneme: +3+ = a (+)(+) = + + + e t e t +3+ = (+)(+) = + + + e t + e t. Odtud vylývá, že f(t) = (e t e t )(t) + 3(e (t ) e (t ) )(t ) + (4e (t ) e (t ) )(t ). Funkci f(t) lze také zasat vzorcem e t e t, 0 t, f(t) = ( + 3e )e t ( + 3e)e t, < t, ( + 3e + 4e 4 )e t ( + 3e + e )e t, t >. Neřešené úlohy na zětnou transformaci funkcí s faktorem e a. Nalezněte ředmět f(t) k obrazu F ().. F () = e [f(t) = (t )(t ), t 0 [ 0, 0 t, f(t) = t, t >.. F () = ( e e 3 ) [f(t) = t(t) (t )(t ) (t 3), t 0 t, 0 t, f(t) =, < t 3, 0, t > 3. 3. F () = + (e e ) [f(t) = e e (t ) (t ) e e (t ) (t ), t 0 0, 0 t, f(t) = e t, < t, 0, t >. 4. F () = +9 (3 3e π (3 + )e π 6 ) [f(t) = sin 3t(t) ( sin 3(t π 6 ) + cos 3(t π 6 )) (t π 6 ) sin 3(t π )(t π ), t 0 sin 3t, 0 t π f(t) = 6, π cos 3t, 6 < t π, 0, t > π.
5. F () = ( +)( +4) ( + e π ) [f(t) = ( 4 5 e t 0 cos t 0 sin t)(t)+ ( 4 5 e t+π [ f(t) = 0 cos (t π) 0 4 5 e t 0 cos t 0 5 e t ( + e π ) 0 cos t 5 sin (t π))(t π), t 0 sin t, 0 t π, sin t, t > π. 5. Obraz eriodické funkce. Pomocí věty o translaci snadno odvodíme obraz eriodické funkce. K jeho určení otřebujeme vyočítat obraz imulsu, který danou eriodickou funkci vytváří. Je-li f T : R R funkce, která je nenulová ouze v intervalu 0, T ), ak je její eriodické rodloužení definováno vztahem k je celé číslo. Vztah lze řesat ve tvaru f(t + kt ) = f T (t), 0 t < T, f(t) = f T (t kt ), kt t < (k + )T, k je celé číslo. Periodické okračování funkce f(t) můžeme zasat jako součet osunutých imulsů f T, kdy rovádíme osun vždy o jednu eriodu. Je tedy f(t)(t) = f T (t kt )(t kt ), t 0. k=0 Odtud dostaneme omocí věty o translaci vyjádření obrazu F () = L {f(t)(t)} = F T ()e kt = k=0 F T () e T, kde F T () = L {f T (t)} je obraz imulsu f T (t). Použili jsme skutečnosti e kt = (e T ) k toho, že součet geometrické řady s kvocientem e T je roven, e T Obraz imulsu F T (t) očítáme buď odle definice ze vztahu a nebo z vyjádření F T () = L {f T (t)} = T 0 f(t)e t dt, kde oužijeme větu o translaci. f T (t) = f(t)[(t) (t T ), t 0, Řešené úlohy na obraz eriodické funkce. Určete obraz F () eriodické funkce f(t), která je vytvořena imulsem f T (t), 0 t < T a má eriodu T., 0 t,. f T (t) =, < t <. Je f T (t) = (t) (t ) + (t ), t 0. Odtud a z věty o translaci lyne F T () = ( e + e ),
tudíž F () = e + e ( e ) = ( e ) ( + e )( e ) = e ( + e ). Použili jsme vzorce ro obraz eriodické funkce, vztahu dané funkce je T =. a skutečnosti, že erioda. f T (t) = sin t, 0 t π, 0, π < t < π. Je f(t) = sin t[(t) (t π) = sin t(t) + sin (t π)(t π), tedy F T () = + + + e π. Vzhledem k tomu, že erioda funkce f(t) je rovna T = π, je F () = + e π ( + )( e π ) = ( + )( e π ). Použili jsme vzorec ro obraz eriodické funkce a vztahy sin t +. 3. f T (t) = t, 0 t, t, < t, 0, < t < 3. Je f T (t) = t[(t) (t ) + ( t)[(t ) (t ) = t(t) [(t ) + (t ) + [ + ( t)(t ) + (t )(t ) = t(t) (t ) + (t ) + (t )(t ). Odtud dostaneme obraz F T () = ( e + e ) a tedy obraz funkce f(t) je F () = e + e ( e 3. ) Použili jsme vzorce ro obraz eriodické funkce s eriodou T = 3 a vztah. Neřešené úlohy na obraz eriodické funkce. Určete obraz F () eriodické funkce f(t), která je vytvořena imulsem f T (t) a má eriodu T.. f T (t) =, 0 t, 0, < t <, T =. [F () = (+e ). f T (t) = sin t, 0 t < π, T = π [F () = +e π ( +)( e π ) 3. f T (t) = t, 0 t, t, < t 3, t 4, 3 < t < 4, T = 4. [F () = e +e 3 e 4 ( e 4 ) 4. f T (t) = t, 0 t <, T =. [F () = ( e )
6. Řešení lineárních diferenciálních rovnic. Lalaceovu tramsformaci můžeme oužít k řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty nebo jejich soustav. Pomocí vztahů mezi obrazem funkce a obrazem jejich derivací lze rovnici řevést na lineární rovnici nebo soustavu lineárních rovnic ro obraz či obrazy řešení. Obrazem řešení obvykle bývá racionální funkce. Jak se hledá ředmět k takové funkci jsme ukázali v odstavci. Obecně lze řešení zasat jako konvoluci ravé strany rovnice a ředmětu k racionální funkci. Budeme hledat řešení diferenciální rovnice ak ( ) x (n) (t) + a x (n ) (t) +... + a n x(t) = f(t) v intervalu t 0, ), které vyhovuje očáteční odmínce Jestliže označíme ( ) x(0) = x, x (0) = x,..., x (n ) (0) = x n. L {x(t)} = X(), L {x (t)} = X() x, L {x (t)} = X() x x,..., L {x (n) (t)} = n X() n x... x n. Po dosazení do rovnice ( ) dostaneme rovnici ro obraz řešení ve tvaru ( n + a n +... + a n )X() Q() = L {f(t)}, kde Q() je nějaký olynom stuně nejvýše (n ). Odtud dostaneme obraz řešení ve tvaru kde X() = Odtud lze vyjádřit řešení ve tvaru v(t) L {f(t)} Q() n + a n + +... + a n n + a n. +... + a n x(t) = f(t) v(t) + w(t), t 0, n + a n +... + a n a w(t) Q() n + a n +... + a n jsou ředměty k uvedeným racionálním funkcím. Je- li ředmět L {f(t)} = F () racionální funkcí dostaneme řešení jako ředmět k racionální funkci a není třeba využívat jeho vyjádření omocí konvoluce. Je ak x(t) = L { F () P () } + L { Q() P () }, kde P () = n + a n +... + a n. Poznamenejme, že z rozboru ostuu vylývá, že rvní člen ve vzorci je řešením rovnice ( ) za nulových očátečních odmínek a druhý člen je řešením homogenní rovnice říslušné rovnici ( ), které vyhovuje očátečním odmínkám ( ). Stejným zůsobem můžeme řešit i rovnici tvaru ( ), která obsahuje ještě člen tvaru t 0 x(u)du. Zde oužijeme vztahu L { t 0 x(u)du} = X() a ro obraz řešení X() dostaneme analogické vyjádření.
Obdobně můžeme ostuovat ři řešení soustav diferenciálních rovnic, kde dostaneme soustavu lineárních rovnic ro obrazy řešení. Po jejím vyřešení hledáme řešení soustavy jako ředměty k funkcím výše osaného tvaru. Postu řešení jednotlivých úloh budeme ilustrovat na říkladech. Řešené úlohy na diferenciální rovnice. Nalezněte řešení dané rovnice v intervalu odmínkám.. x + x = 3, x(0) = 0. 0, ), které vyhovuje uvedeným očátečním Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici X() 0 + X() = 3. Odtud vyočteme, že X() = 3 (+). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = 3 ( + ) = 3 3 ( + ). x(t) = 3 ( e t ), t 0. Použili jsme vztah x (t) X() x(0) a vzorce, e t +.. x + 4x = sin t, x(0) = 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici X()( + 4) 3 = +4. Odtud vyočteme, že X() = 3 +4 + (+4)( +4). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = 3 + 4 + ( + 4)( + 4) = 3 + 4 + 0 + 4 + 0 + 5 + 4. x(t) = 3 0 e 4t 0 cos t + sin t, t 0. 5 Použili jsme vztah x (t) X() x(0) a vzorce sin t, cos t +4 3. x x 6x =, x(0) =, x (0) = 0. +4, e 4t +4. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici X(). 0 (X() ) 6X() =.
Odtud vyočteme, že X() = + ( 3)(+). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = + ( 3)( + ) = 4 8 3 + 5 + + 5 3. x(t) = 5 ( 5 + e t + 8e 3t ), t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0) a vzorce, eat a, a =, a = 3. 4. x 6x + 9x = 0, x(0) =, x (0) = 4. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( X() + 4) 6(X() ) + 9X() = 0. Odtud vyočteme, že X() = 6 6+9. Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = 6 ( 3) + 6 6 = 6 + 9 ( 3) = x(t) = ( 0t)e 3t, t 0. ( 3) 0 ( 3). Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0) a vzorce e 3t 3, te3t. ( 3) 5. x + x + x = 0, x(0) =, x (0) =. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( X() ) + (X() ) + X() = 0. Odtud vyočteme, že X() = +4 ++. Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = + 4 + + = + ( + ) + + 3 ( + ) +. x(t) = e t (cos t + 3 sin t), t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), e at f(t) F ( a), a = a vzorce cos t, sin t + +.
6. x 9x = t, x(0) = 0, x (0) =. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( 9)X() =. Odtud vyočteme, že X() = + ( 3)(+3). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = 6 7 7 + 9 + 7 3 7 + 3. x(t) = 7 ( 6 + 3t + 7e3t e 3t ), t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0) a vzorce, t, e at a, a = 3, a = 3. 7. x + 4x = cos t, x(0) = 0, x (0) = 4. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + 4)X() 4 = +4. Odtud vyočteme, že X() = 4 +4 + ( +4). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Odtud lyne, že x(t) = (4 + t) sin t, t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0) x (0) a vzorce t sin t sin t +4. 4 ( +4), 8. x + t 0 x(τ) dτ =, x(0) =. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace a obrazem integrálu, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + )X() =. Odtud vyočteme, že X() = + +. Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Odtud lyne, že X() = + + +. x(t) = sin t + cos t, t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), t 0 x(τ) dτ X() a vzorce, sin t, cos t + +.
9. x + x + t 0 x(τ) dτ = 3e t, x(0) =. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace a obrazem integrálu, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + + )X() = 3 +. Odtud vyočteme, že X() = +5 (+)( ++). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků X() = Úravou dostaneme vyjádření X() = + 5 ( + )( + + ) = 3 + + 5 + 6 + +. 3 5( + ) + + ( + ) + + ( + ) +. Odtud lyne, že x(t) = 3e t + e t (5 cos t + sin t), t 0. Použili jsme vztahy vzorce e t +, sin t, cos t + 0. x x = f(t), x(0) =, kde f(t) = x (t) X() x(0), t 0 x(τ) dτ X(), e t f(t) F ( + ) a +. t, 0 t, 0, t >. Poznamenejme, že f(t) = ( t)[(t) (t ) a ostuem z odstavce 3 dostaneme f(t) ( e ). Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici Odtud vyočteme, že ( )X() + = ( e ). X() = + ( ) + ( ) e. Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkce rozložíme na součet arciálních zlomků X() = ( + + ) e. Použijeme ostuů, které jsme robrali v úlohách v odstavcích a 4 a dostaneme ro řešení vzorec x(t) = (t )(t) + ( (t ) + e (t ) )(t ), t 0.
Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = t, 0 t, e t, t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce, t, e t.. x + x = f(t), x(0) =, x (0) =, kde f(t) =, 0 t, 0, t >. Poznamenejme, že f(t) = (t) (t ), tedy L f(t) = ( e ), kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + )X() + = ( e ). Dále vyočteme, že X() = + e ( +). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = ( + ) e. + x(t) = ( sin t)(t) ( cos (t ))(t ), t 0. Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = sin t, 0 t, sin t(sin ) + cos t cos, t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce, sin t, cos t + +., 0 t,. x + 4x + 3x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0, kde f(t) = 0, t > 0. Poznamenejme, že f(t) = (t) (t ), tedy L f(t) = ( e ), kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici X()( + 4 + 3) = ( e ). Dále vyočteme, že X() = e ( +4+3). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků X() = ( ) 3 ( + ) + ( e ). 6( + 3)
Odtud lyne, že ( x(t) = 3 e t + ) ( 6 e 3t (t) 3 e (t ) + ) 6 e 3(t ) (t ), t 0. Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = 3 e t + 6 e 3t, 0 t, (e )e t + 6 ( e3 )e 3t, t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce, eat a, a =, a = 3. 3. x + x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0, kde f(t) =, 0 t,, < t, 0, t >. Poznamenejme, že f(t) = (t) (t ) + (t ), tedy L f(t) = e +e, kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavcích 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + )X() = e +e. Dále vyočteme, že X() = e +e ( +). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích 5, 6 a. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = ( ) ( e + e ). + x(t) = ( cos t)(t) ( cos (t ))(t ) + ( cos (t ))(t ), t 0. Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = cos t, 0 t, + ( cos ) cos t + sin sin t, < t, cos t( cos cos ) (sin sin ) sin t, t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 8 a vzorce, sin t, cos t + +. 0, 0 t, 4. x + x + x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0, kde f(t) = e t, t >. Poznamenejme, že f(t) = e t (t ) = e e (t ) (t ), tedy L f(t) = e e +, kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici
( + + )X() = e e +. Dále vyočteme, že X() = e e (+)( ++). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = ( ) X() = e + ( + ) e. + x(t) = e ( e (t ) cos (t ))(t ), t 0. 0, 0 t, e e t (cos cos t + sin sin t), t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce cos t +, e t + a vztah f(t)e t F ( + ). 5. x + 4x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0, kde f(t) = t, 0 t, (t ), < t, 0, t >. Poznamenejme, že f(t) = t((t) (t )) + (t )((t ) (t )) = t(t) 4(t )(t ) + (t )(t ), tedy L f(t) = ( e + e ), kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + 4)X() = ( e + e ). Dále vyočteme, že X() = ( e + e ) ( +4). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že x(t) = X() = Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = ( ) e + e. + 4 (t ) sin t (t) [(t ) sin (t ) (t )+ [(t ) sin (t ) (t ), t 0. t 4 sin t, 0 t, t + sin t( cos 4 ) sin cos t, < t, sin t( 4 + cos 4 cos 4) + ( 4 sin 4 sin ) cos t, t >.
Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce, t, sin t, cos t +4 +4. 6. x + 5x = f(t), x(0) =, kde f(t) = Poznamenejme, že 5 cos t, 0 t π, 0, t > π. f(t) = 5 cos t [(t) (t π ) = 5 cos t (t) + 5 cos (t π )(t π ), tedy L f(t) = 5 +4 ( + e π ), kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + )X() = 5 +4 ( + e π ). Dále vyočteme, že X() = 5 ( +4)(+) ( + e π ) + +. Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že x(t) = (cos t + sin t)(t) + Řešení lze také zasat omocí vzorce X() = + 4 ( + 4 + 4 + + 4 ) e π. + x(t) = ( cos (t π ) + sin (t π ) e (t π )) (t π ), t 0. cos t + sin t, 0 t π, e π e t, t > π. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce cos t, sin t +4 +4, e t +. Řešení rovnice se dá také vyjádřit jako konvoluce. Toto vyjádření můžeme oužít ve dvou říadech. Buď je funkce na ravé straně rovnice složitá ro hledání obrazu a nebo chceme vyjádřit řešení rovnice ro obecnou ravou stranu. Při výočtu konkrétního řešení ak zbývá vyočítat integrál, kterým je konvoluce zasaná. Využijeme vztahu L {F ()G()} = L {F ()} L {G())}. Dostaneme stejné vyjádření řešení, které získáme metodou variace konstant. Postu řešení úlohy budeme ilustrovat na říkladech. 7. x + 3x + x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0. Označme X() x(t) obraz řešení a F () f(t). Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + 3 + )X() = F () a odtud dostaneme ro řešení rovnice vyjádření X() = F () + 3 +.
Protože je je + 3 + = + + (e t e t ), x(t) = f(t) (e t e t ) = t 0 f(u)(e t+u e t+u ) du, t 0. 8. x + 4x + 5x = f(t), x(0) =, x (0) = 0, Označme X() x(t) obraz řešení a F () f(t). Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + 4 + 5)X() 4 = F () a odtud dostaneme ro řešení rovnice vyjádření X() = F () + 4 + 5 + + 4 + 4 + 5. Protože je a je + 4 + 5 = ( + ) + e t sin t + 4 + 4 + 5 = + ( + ) + + ( + ) + e t (cos t + sin t) x(t) = e t (cos t + sin t) + f(t) e t sin t = e t (cos t + sin t) + t 0 f(u)e (t u) sin (t u) du, t 0. 9. x + x + 0 t 0 x(u)du = f(t), x(0) =, Označme X() x(t) obraz řešení a F () f(t). Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace a integrálu, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + + 0 )X() = F () a odtud dostaneme ro řešení rovnice vyjádření Protože je X() = F () + + 0 + + + 0. + + 0 = + ( + ) + 9 ( + ) + 9 e t (cos 3t sin 3t), 3 je x(t) = e t (cos 3t 3 sin 3t) + f(t) e t (cos 3t sin 3t) 3 = e t (cos 3t 3 sin 3t) + t 0 f(u)e t+u (cos 3(t u) sin 3(t u))du, t 0. 3
0. x + 6x + 9 t 0 x(u)du = f(t), x(0) =, Označme X() x(t) obraz řešení a F () f(t). Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace a integrálu, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + 6 + 9 )X() = F () a odtud dostaneme ro řešení rovnice vyjádření Protože je je + 6 + 9 = X() = F () + 6 + 9 + + 6 + 9. ( + 3) = + 3 3 ( + 3) e 3t ( 3t), x(t) = e 3t ( 3t) + f(t) (e 3t ( 3t)) = e 3t ( 3t) + t 0 f(u)(e 3(t u) ( 3(t u)))du, t 0. Neřešené úlohy na diferenciální rovnice. Nalezněte řešení rovnice, které vyhovuje uvedeným očátečním odmínkám.. x + 3x = 0, x(0) = 5; [x(t) = 5e 3t, t 0. x x + x = 0, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = e t cos t, t 0 3. x + 3x + x = 4e 3t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = e 3t 4e t + e t, t 0 4. x + x = sin t, x(0) = 0; [x(t) = 5 (e t cos t + sin t), t 0 5. x + 3x = e t, x(0) = 0, x (0) = ; [x(t) = (e 3t e t ), t 0 6. x + 4x = cos t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = 3 (cos t cos t), t 0 7. x + x = t sin t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = 5 (e t 0t cos t 5t sin t cos t + 4 sin t), t 0 8. x + x + x = sin t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = (te t + e t cos t), t 0 9. x x + x =, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = ( et (cos t sin t)), t 0 0. x + x = cos t, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = t sin t cos t + sin t, t 0. x + 5x + 6 t 0 x(τ) dτ = 0, x(0) = ; [x(t) = 3e 3t e t, t 0. x + x + t 0 x(τ) dτ = sin t, x(0) = 0; [x(t) = (te t + sin t), t 0 3. x = x + y + e t, x(0) = 0, [x(t) = e t, t 0 y = x y + e t, y(0) = 0; [y(t) = e t, t 0 4. 5. x = y, x(0) =, [x(t) = e t (cos t sin t), t 0 y = x + y, y(0) = ; [y(t) = e t (cos t + 3 sin t), t 0 x = x + 3y, x(0) =, [x(t) = 9 6 et 3 4 te t 3 6 e t, t 0 y = x + y + e t, y(0) = ; [y(t) = 9 6 et + 4 te t 3 6 e t, t 0
6. x 4x = 4t, x(0) =, x (0) = 0; [x(t) = 4 (3et + e t 4t), t 0 7. x 4x = 4e t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = te t 4 et + 4 e t, t 0 8. x + x = t 3 + 6t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = t 3, t 0 9. x + x = sin t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = 3 ( sin t sin t), t 0 0. x + x = cos t + sin t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = 6 ((3t + 4) sin t sin t), t 0. x + x = + e t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = (4 + e t + sin t 5 cos t), t 0. x + 6x + 9 t 0 x(τ) dτ = 0, x(0) = ; [x(t) = ( 3t)e 3t, t 0 3. x + x + t 0 x(τ) dτ = 0, x(0) = ; [x(t) = e t cos t, t 0 8 4t, 0 t, 4. x x = f(t), x(0) = 3; f(t) = 0, t >. [x(t) = (t 3)(t) + (e (t ) t + 3)(t ), t 0 [x(t) = t 3, 0 t, x(t) = e (t ), t > 5. x + x = f(t), x(0) =, x (0) = ; t, 0 t π, f(t) = 0, t > π. [x(t) = (t cos t)(t) (t + sin t + π cos t)(t π), t 0 [x(t) = t + cos t, 0 t π, x(t) = cos t sin t π cos t, t > π, 0 t 6. x + 4x = f(t), x(0) =, x π (0) = 0; f(t) = 4,, t > π 4 [. x(t) = 4 (3 cos t + ), 0 t π 4, 4 ( + 3 cos t sin t), t > π 4. e 7. x + x = f(t), x(0) = 0, x (0) = ; f(t) = t, 0 t π, [ x(t) = 9t, 0 t, 8. x + 3x = f(t), x(0) = ; f(t) = 9. x x = f(t), x(0) = ; f(t) = 0, t > π. e t cos t, 0 t π, cos t + e π (cos t + sin t), t > π. 9, t >. [ e x(t) = 3t + 3t, 0 t, e 3t + 3 e 3 e 3t, t >. 5 sin t, 0 t π, 0, t > π. [ x(t) = 3e t cos t sin t, 0 t π, 3e t + e t π, t > π. sin t, 0 t π, 30. x + 9x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0; f(t) = 0, t > π. [ x(t) = 4 (3 sin t sin 3t), 0 t π, 0, t > π. 3. x + x + 0x = 0, x(0) = 0, x (0) = 6; [x(t) = e t sin 3t, t 0
3. x + x = 0, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = e t, t 0 33. x + 3x + x = 0, x(0) =, x (0) = 0; [x(t) = e t e t, t 0 34. x x = t, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = e t + t, t 0 35. x + x = 4e t, x(0) = 4, x (0) = 3; [x(t) = e t + cos t 5 sin t, t 0 36. x + x = 3 sin t, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = cos t + 3 sin t sin t, t 0 37. x + 9x = 5 cos 3t, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = cos 3t 3 sin 3t + 5 6t sin 3t, t 0 38. x + x = t 3, x(0) = 0, x (0) = ; [x(t) = 6( e t ) + t 5t, t 0 39. x + 6x + 9x = (t + )e t, x(0) = 5, x (0) = 8 ; [x(t) = 5e 3t + 5te 3t + 8 tet, t 0