Dvojný integrál. Kapitola 2. 1 Násobná integrace.

Kapitola Dvojný integrál. Násobná integrace. V této části se budeme zabývat nalezením elegantnějšího a hlavně efektivnějšího způsobu výpočtu objemu tělesa M(f, ) než nám posktuje obecná konstrukce (viz Příklad. V minulé kapitole). Začneme na první pohled poněkud odtažitě. Zapomeneme chvíli na objem V (f, ) a podíváme se na integrování funkcí dvou proměnných. Nechť f(x, ) je spojitá funkce na obdélníku = a, a b, b. Pro každé pevně zvolené x je funkce f(x, ) spojitě závislá jen na. Můžeme ji integrovat v mezích b, b : ento výraz je funkcí x. Označme jej b b ϕ(x) = f(x, ) d. b b f(x, ) d. Příklad.. Nechť f(x, ) = x + x sin a =,,. Pak ϕ(x) = ( x + x sin ) d = x d + = x [ x sin d = ] + x [ ] cos = x + x ( cos ). Stejně tak můžeme volit pevně. ím f(x, ) bude spojitou funkcí v x. Jejím integrováním dostaneme funkci v proměnné, kterou označíme ψ() = a a f(x, ) dx. 9

KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. Příklad.. Nechť f i jsou stejné jako v Příkladu.. Pak ψ() = ( x + x sin ) dx = x dx + x sin dx [ x 3 = 3 ] + sin [ x ] = 7 3 + 3 sin. V obou příkladech všl funkce ϕ(x) a ψ() spojité. Ukážeme, že to neblo náhodou: vjdeme-li od spojité funkce f(x, ), tak integrováním podle jedné či druhé proměnné dostaneme vžd spojitou funkci. Věta.3. Nechť funkce f je spojitá na obdélníku = a, a b, b. Pak funkce ϕ(x) a ψ(x) dané integrál jsou spojité. ϕ(x) = b b f(x, ) d a ψ() = a a f(x, ) dx Důkaz. Ukážeme pouze první část tvrzení, tj. že funkce ϕ(x) je spojitá. Druhá část má důkaz zcela analogický (proměnné x a si vmění role). Nechť x a, a. Dokážeme, že ϕ je spojitá v x. Mějme ε >. Hledáme δ > takové, ab kdkoli se x od x liší o méně než δ, x x < δ, tak hodnot ϕ(x) a ϕ(x ) se liší nejvýše o ε, ϕ(x) ϕ(x ) ε. Upravíme si nejprve zadané ε tím, že zavedeme ε = ε b b. Nní použijeme Větu.. a nám posktne k ε takové δ, že (.) f(u) f(v) ε, kdkoli bod u a v jsou od sebe vzdálen nejvýše o δ. A toto δ je už ono hledané. Ověřme si to. Nechť x je takové, že x x < δ a zkusme odhadnou rozdíl funkčních hodnot ϕ: (.) ϕ(x) ϕ(x ) = b ( f(x, ) f(x, ) ) d b f(x, ) f(x, ) d. b b Vzdálenost bodů (x, ) a (x, ) je (x x ) + ( ) = x x < δ. Podle (.) je tak f(x, ) f(x, ) ε.

. NÁSOBNÁ INEGRACE. Můžeme ted poslední člen v (.) dále odhadnout b b b f(x, ) f(x, ) d ε d = ε(b b ) = ε. b Zjistili jsme, že ϕ(x) ϕ(x ) ε a spojitost funkce ϕ je dokázána. Kdž nní už víme, že funkce ϕ(x) = b b f(x, ) d je spojitá, nic nám nemůže zabránit v tom, abchom ji neintegrovali podle x v mezích od a do a : Podobně pro funkci ψ: a a ϕ(x) dx = b a b a b b a f(x, ) d dx. ψ() d = f(x, ) dx d. b b a Integrál na pravé straně budeme nazývat dvojnásobné integrál funkce f přes obdélník. Někd, bude-li to třeba, můžeme pro přesnost naznačit závorkami pořadí integrace a b a b f(x, ) d dx = a ( b a b ) f(x, ) d dx. Příklad.4. Spočteme oba dvojnásobné integrál (tj. v obou pořadích) funkce f(x, ) = x + x sin přes obdélník =,,. Vužijeme samozřejmě toho, že příslušné funkce ϕ(x) a ψ() máme již spočten v Příkladech. a.. x + x sin d dx = Nní při prohozeném pořadí integrace: x + x sin dx d = [ x x 3 + x( cos ) dx = 3 ( 7 3 + 3 ) sin d = 7 [ 3 ] ] + 3 + ( cos ) [ x ] = = 4 3 + 3 ( cos ). [ ] cos = 4 3 + 3 ( cos ).

KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. Jen těžko může uniknout naší pozornosti fakt, že oba integrál v předchozím příkladě všl stejně. Jestliže jsme se pročetli první kapitolou a částí druhé kapitol až sem, získali jsme sice malou ale přece jenom jistou matematickou zkušenost. a nám už nedovolí, abchom přijali laciné vsvětlení, že je to náhoda. ušíme, že se za rovností skrývá hlubší důvod. Věta.5. Zobrazení, které uzavřenému obdélníku a nezáporné spojité funkci f na přiřadí dvojnásobný integrál funkce f přes vhovuje axiomům (A) a (M). ím hodnota násobných integrálů nezávisí na pořadí integrace. Poznámka.6. p tvrzení, že hodnota násobného integrálu nezávisí na pořadí integrace, se v matematické literatuře nazývá Fubiniova věta. V našem výkladu je to právě Věta.5. Fubini dokázal toto tvrzení pro mnohem obecnější integrál, tzv. Lebesgueův integrál a měřitelné funkce. Důkaz. Z důvodů smetrie stačí, kdž důkaz provedeme pro jedno pořadí integrace. Začneme s ověřením monotonie: mějme obdélník = a, a b, b. Pak (.3) a ( b a b ) f(x, ) d dx a ( b a b ) max (f) d dx = = max a a max (f)(b b ) dx (f)(b b )(a a ) = max(f) obsah( ). Podobně (.4) a ( b a b ) f(x, ) d dx a ( b a b ) min(f) d dx = a a min(f)(b b ) dx = min(f)(b b )(a a ) = min(f) obsah( ). Nerovnosti (.3) a (.4) spolu dávají min(f) obsah( ) a b a b f(x, ) d dx max(f) obsah( ), což je axiom (M). Aditivita: Nechť obdélník je sjednocení dvou obdélníků a, jak je znázorněno na obr..(a).

. NÁSOBNÁ INEGRACE. 3 b b β b b a α a (a) Obr... a a (b) Při známém označení ϕ(x) = b f(x, ) d bude dvojnásobný integrál I přes obdélník roven Stejně pro obdélník a pro původní obdélník I = I = I = α b a b b f(x, ) d dx = a b α a b a b f(x, ) d dx = b f(x, ) d dx = α a a α a a ϕ(x) dx. ϕ(x) dx ϕ(x) dx. Zřejmě platí I = I + I, což je však již axiom aditivit. Ještě je třeba ověřit druhý způsob rozdělení obdélníku na dva menší, jak je znázorněno na obr..(b). Zde je situace dokonce jednodušší než v prvním případě. Můžeme rovnou počítat a b a b f(x, ) d dx = a a ( β b f(x, ) d + b β ) f(x, ) d dx = = a β a b f(x, ) d dx + a b a β f(x, ) d dx.

4 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. Opět vidíme, že dvojnásobný integrál příslušný je součet dvojnásobných integrálů pro a. Věta.9 říkala, že existuje právě jediné zobrazení V vhovující axiomům (A) a (M). Věta.5 ukazuje, že oba násobné integrál vhovují zmíněným axiomům. Z toho plne, že a b a b f(x, ) d dx = V (f, ) = b a b a f(x, ) dx d. Předchozí věta tvrdí, že dvojnásobné integrál pro nezáporné spojité funkce nezávisí na pořadí integrace. Omezení dané nezáporností integrované funkce však není podstatné. Věta se dá rchle zobecnit na obecný případ. Uvažujme proto spojitou funkci f(x, ) (ne nutně nezápornou) na obdélníku =< a, a > < b, b >. ato funkce má na minimum c = min (f). Přičteme-li nní k funkci f(x, ) konstantu c, dostaneme funkci g(x, ) = f(x, ) + c, která je na nezáporná. Pro funkci g ted platí Věta.5, a proto (.5) a b b a a b b (f(x, ) + c) d dx = a (f(x, ) + c) dx d. Lehce se můžeme přesvědčit, že dvojný integrál z konstantní funkce c přes obdélník nezávisí na pořadí integrace a je vžd roven c plocha( ). Odečtením této hodnot od obou stran rovnosti (.5) získáme závěrem a b a b f(x, ) d dx = b a b a f(x, ) dx d. Dvojnásobné integrál ted vcházejí pro jakékoliv spojité funkce vžd stejně. Jejich společnou hodnotu budeme značit f, eventuelně f(x, ). Pro nezápornou funkci f má tato hodnota význam objemu. Násobné integrál mají však smsl i pro obecnou spojitou funkci na. Pomocí nich tak zavádíme pojem dvojného integrálu pro obecnou spojitou funkci. Definice.7. Nechť R je uzavřený obdélník a nechť funkce f : R je spojitá na obdélníku. Dvojným integrálem funkce f přes množinu nazýváme a b b a f = f(x, ) d dx = f(x, ) dx d a b a b

. NÁSOBNÁ INEGRACE. 5 ím jsme završili cestu započatou otázkami Co je objem? a Jak vpočítat jeho hodnotu?. Odpověď na první z nich je Definice. spolu s Větou.9 a na druhou můžeme nní odpovědět, že hodnota V (f, ) je dvojný integrál funkce f přes. Někd se vsktne nutnost integrovat přes neomezený obdélník, např. =, + ) (,. akový obdélník je vlastně nekonečným sjednocením postupně rostoucích omezených obdélníků n = ( n, n n, n ), viz obr.: = n. n= Integrál přes n již máme definován a je intuitivně jasné, že jejich hodnota b se měla blížit k hodnotě integrálu přes. o nás vede k přirozené volbě, že položíme f = lim f. n n Obecně můžeme definovat integrál přes neomezený obdélník následovně. Definice.8. Nechť je uzavřený neomezený obdélník a nechť f : R je spojitá a nezáporná. Položíme n = ( n, n n, n ). Existuje-li vlastní lim n n f, řekneme, že existuje integrál f a jeho hodnota je rovna této limitě, (.6) f = lim f. n n Nezápornost funkce f zaručuje existenci výše uvedené limit neboť posloupnost n f je nezáporná. V případě obecné funkce f definujeme dvojný integrál tak, že si f rozložíme na kladnou a zápornou část následovně: f + (x, ) = max{f(x, ), } a f ( x, ) = max{ f(x, ), }. Obě funkce f + a f jsou nezáporné a platí, že f = f + f. Existují-li vlastní integrál f + a f přes neomezený obdélník, pak položíme f = f + V opačném případě říkáme, že integrál neexistuje. f.

6 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. Cvičení. Úloha. Zjistěte, zda existuje e x+, =, + ) (,. Řešení. Položíme n = ( n, n n, n ). Obdélník n je znázorněn na obr... n n n n x n Obr... Počítejme, n e x+ = = n n n e x+ d dx = n e x e x n dx = ( e n ) [ e x+ ] n dx Protože lim n (e e n+ e n + e n ) = e, dostáváme e x+ = e. n e x dx = ( e n ) [ e x] n = = ( e n )( e n + e) = e e n+ e n + e n. Vpočtěte následující dvojné integrál přes zadané obdélník.. x, =,,

3. INEGRÁLY PŘES ZÁKLADNÍ OBLASI. 7. 3. 4. 5. 6. 7. 8. e x+, =,, x, =,, +, =,, ( + x + ), =,, ( + x + ) 3 x sin(x + ), =, π, π/ x e x, =,, x cos(x), =, π/, Spočtěte dvojné integrál přes neomezený obdélník. 9. + x + + x, = (, ) (, ). x e x, =, ), ).. 3. e x, = (, ) (, ), = (, ) (, ) ( + x + ) 3 (a + x +, =, ), ) ) Výsledk.. ;. (e ) ; 3. π ; 4. ln 4 3 ; 5. ln + + 3 ; 6. π ; 7. ; 8. ; 9. π ;. 4 ;. 4;. π, ve vnitřním integrálu použijte substituci = + x sinh t; 3. π 4a. 3 Integrál přes základní oblasti. o, že umíme určit objem tělesa s obdélníkovou podstavou omezeného shora grafem spojité funkce, nás nemůže nadlouho uspokojit. Vadí nám tu příliš jednoduchý tp podstav.

8 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. V aplikacích se vsktují tělesa s mnohem obecnější podstavou než obdélník. Budeme proto nní uvažovat množin následujícího tvaru. Mějme dvě spojité funkce = s (x) a = s (x) na intervalu I = a, a takové, že platí s (x) s (x). Prvním tpem podstav je množina { } = (x, ) R x I, s (x) s (x), viz obr..3(a). Mějme dvě spojité funkce x = p () a x = p () na intervalu J = b, b, takové, že platí p () p (). Druhý tp podstav je množina { } = (x, ) R J, p () x p (), viz obr..3(b). s (x) b p () p () s (x) b a a (a) Obr..3. (b) Není žádný standardní název pro takovéto tp množin, proto jim budeme pro naší potřebu říkat základní oblasti. ělesa, kterými se budeme zabývat, mají formálně stejný zápis M(f, ) jako v Kapitole, jen smbol nní značí základní oblast: { } M(f, ) = (x,, z) R 3 (x, ), z f(x, ). Proto se zdá, že i definice objemu takového tělesa bude stejná jako Definice.. Na axiomu monotonie (M) není třeba měnit vůbec nic, neboť jak min (f) a max (f), tak i obsah( ) mají jasný smsl i pro základní oblasti. (Z integrálního počtu jedné proměnné víme, jak spočítat obsah( )). U aditivit je však nutné si ujasnit, co znamená rozdělění základní oblasti na dvě menší. Nejjednodušší způsob je ten, že opíšeme oblasti obdélník a ten rozdělíme na dva menší. Jejich průnik s oblastí jsou opět základní oblasti a tvoří rozdělění, viz obr..4(a). Aditivitu lze pak formulovat tak, že V (f, ) = V (f, ) + V (f, ), kde a jsou základní oblasti dělící ve výše uvedeném smslu. oto rozdělení na dvě části můžeme přirozeným způsobem zobecnit na pojem dělení základní oblasti: každý prvek dělení opsaného obdélníku pronikneme s oblastí, viz obr..4(b).

3. INEGRÁLY PŘES ZÁKLADNÍ OBLASI. 9 (a) Obr..4. Náš cíl je teď dokázat větu o existenci a jednoznačnosti zobrazení V i pro základní oblasti. Vzpomeňme si, co blo třeba k důkazu v případě obdélníku: za prvé pojem dělení a za druhé stejnoměrná spojitost funkce (viz Větu.). Dělení jsme již zobecnili z obdélníků na základní oblasti a Věta. platí i pro základní oblasti. Nní bchom mohli slovo od slova opisovat důkaz vrzení.8 a., a tím i důkaz hlavní Vět.9, s jedinou změnou, že všude bchom považovali za základní oblast. o samozřejmě dělat nebudeme, pouze si na základě této skutečnosti uvědomíme, že platí Věta.9. Pro každou spojitou funkci f a každou základní oblast, na které je f definována, existuje právě jedna hodnota V (f, ), která splňuje axiom axiom (A) a (M). Poznámka.. Už v Poznámce. jsme si uvědomili, že axiom aditivit můžeme aplikovat na rozklad obdélníku na více než dvě části. V případě základních oblastí je situace zcela stejná: (.7) V (f, ) = V (f, ) + + V (f, n ), kdkoli základní oblast = n je sjednocením základních oblastí,..., n takových, že žádné dvě nemají společný vnitřní bod. ato obecnější formulace se nám bude hodit v dalších kapitolách. Přistoupíme nní k násobným integrálům přes základní oblasti. jsou formálně podobné integrálům přes obdélník. Je tu jen jedna odlišnost, na kterou si musíme dávat pozor. K ní se dostaneme až po důkazu následující vět, která zobecňuje Větu.3 Věta.. Nechť f je spojitá funkce na základní oblasti tpu (a) z obr..3. Pak funkce ϕ(x) = s (x) s (x) f(x, ) d je spojitá na intervalu a, a. Podobně pro oblast tpu (b) z obr..3 je funkce ψ() = p () f(x, ) dx (b) spojitá na intervalu b, b. p ()

3 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. Důkaz. Ukážeme opět jen první část tvrzení, neboť druhá je zcela analogická. Nechť x a, a a ε > jsou dán. Budeme dokazovat, že existuje tak malé okolí bodu x, že se na něm liší hodnota ϕ(x) od ϕ(x ) nejvýše o ε. Označme si M = max f, M = max s (x), M = max s (x). x a,a x a,a K upravenému ε, ε ε =, M + M + M existuje z Vět. takové δ >, že kdkoli jsou dva bod u, v vzdálen o nejvýše δ, tak (.8) f(u) f(v) ε. Protože i funkce s (x) a s (x) jsou spojité v x, existuje jisté δ >, že (.9) s (x) s (x ) ε, s (x) s (x ) ε, kdkoli je x v δ -okolí bodu x, tj. x x < δ. Položíme hledané δ rovné δ = min{δ, δ }. Odhadněme nní rozdíl ϕ(x) ϕ(x ) pro x z δ-okolí bodu x. (.) ϕ(x) ϕ(x ) = s (x) s (x) f(x, ) d s (x ) s (x ) f(x, ) d. K rozdílu přičteme a odečteme dva integrál s (x) s (x ) f(x, ) d a s (x) s (x ) f(x, ) d. ím dostaneme s (x) s (x) f(x, ) d s (x ) s (x ) ( s (x) + f(x, ) d ( s(x) f(x, ) d = f(x, ) d s (x) s (x) ) ( s (x) f(x, ) d + s (x) s (x ) f(x, ) d ) f(x, ) d + s (x ) f(x, ) d). s (x ) s (x ) s (x ) s (x ) Podívejme se na první a poslední rozdíl. V prvním mají integrál stejnou horní mez, a proto (.) s (x) f(x, ) d s (x) f(x, ) d = s (x ) f(x, ) d. s (x) s (x ) s (x) Podobně v posledním rozdílu mají integrál stejnou dolní mez, a tak (.) s (x) f(x, ) d s (x ) f(x, ) d = s (x) f(x, ) d. s (x ) s (x ) s (x )

3. INEGRÁLY PŘES ZÁKLADNÍ OBLASI. 3 Protože obecně platí následující odhad b a f d b a f d max f (b a), máme tak částečně odhadnut výraz (.) hodnotou M s (x ) s (x) a výraz (.) hodnotou M s (x) s (x ). ím jsme dostali částečný odhad rozdílu ϕ(x) ϕ(x ) M s (x ) s (x) + s (x) s (x ) f(x, ) d s (x) s (x ) f(x, ) d + + M s (x) s (x ) Vzdálenost bodů (x, ) a (x, ) je x x, a ta je menší než δ, speciálně menší něž δ. Z (.8) pak plne, že f(x, ) f(x, ) ε. Můžeme tak pokračovat v předchozím odhadu: ϕ(x) ϕ(x ) M s (x ) s (x) + s (x) ε d + M s (x ) s (x) = s (x ) = M s (x ) s (x) + ε s (x) s (x ) + M s (x ) s (x). S vužitím (.9) a volb ε dostaneme ϕ(x) ϕ(x ) M ε + ε (M + M ) + M ε = ε ( M + M + M ) = ε. A tím je důkaz hotov. eď, kdž víme, že integrál s (x) s (x) f(x, ) d, p () p () f(x, ) dx jsou spojité funkce postupně v x a v, můžeme je integrovat podle zbývajících proměnných a s (x) a s (x) f(x, ) d dx, b p () b p () f(x, ) dx d. Rozdíl oproti integraci přes obdélník je ten, že zde nemůžeme volně prohazovat pořadí integrálů. Vnější integrál musí být vžd t, které neobsahují ve svých mezích proměnnou. Při konkrétních výpočtech je důležité mít na paměti následující interpretaci dvojnásobné

3 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. integrace. Pro každé x a, a nejprve zintegrujeme funkci f(x, ) podél svislé úsečk mezi bod (x, s (x)) a (x, s (x)), viz obr..6(a). Dostaneme hodnotu s (x) s (x) f(x, ) d. Pak tuto hodnotu integrujeme přes všechn svislé úsečk, které tak vplní celou množinu. (x, s (x)) b (x, s (x)) (p (), ) (p (), ) b a a (a) Obr..6. (b) Podobně druhý tp základní oblasti vplňujeme vodorovnými úsečkami, přes které je počítán vnitřní integrál, obr..6(b). Příklad.. Nalezněte objem tělesa shora omezeného grafem funkce f(x, ) = x + a s podstavou ohraničenou křivkami Podstavu P tvoří základní oblast P = = x, a = x3. { (x, ) R x,, x3 } x. a je znázorněna na obr..7. Vidíme, že je poněkud výjimečná. Může být totiž považována za oblast obou tpů. Jednak je omezena funkcemi s (x) = x3 a s (x) = x, viz obr..7(a), nebo ji můžeme považovat za omezenou funkcemi viz obr..7(b). p () = () a p () = () 3,

3. INEGRÁLY PŘES ZÁKLADNÍ OBLASI. 33 = s (x) x = p () = s (x) x x = p () x (a) Obr..7. (b) Každý si určitě všiml, že funkce = s (x) a x = p () jsou navzájem inverzní. Stejně tak s (x) a p (). První tp násobného integrálu je x (x + ) d dx = x3 Druhý tp je = [x + ] x dx = x3 ( ) x 3 x + 8 x4 x6 8 dx = 5 + 6 56 = 8 56. () 3 () (x + ) dx d = = [ x ( 3 3 ] () + x d = () 3 + 3 4 3 8 4 4 3 ) d = 3 + 3 8 6 = 8 56. Souvislost násobných integrálů přes základní oblasti s objemem je stejná jako u obdélníků. Ověříme, že oba násobné integrál vhovují axiomům aditivit a monotonie. o je úkol nevžadující žádnou zvláštní invenci. Jednoduše kopírujeme důkaz obdobného tvrzení pro obdélník (Věta.5). Co je však důležité, je z tohoto pohledu Věta.9. Podle ní zobrazení V (f, ) existuje pouze jediné a tudíž se musí rovnat našim násobným integrálům: a s (x) V (f, ) = f(x, ) d dx a s (x) ( eventuelně b p () b p () ) f(x, ) dx d, v závislosti na tpu základní oblasti. Obě pořadí integrace dají stejnou hodnotu. Je to opět Fubiniova věta pro tuto situaci. Výše uvedené násobné integrál se nemusí omezovat pouze na nezáporné funkce. Definujeme proto dvojný integrál obecné spojité funkce jako

34 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. Definice.3. Nechť je základní oblast a nechť f : R je spojitá funkce. Dvojný integrál funkce f přes množinu je f = a s (x) a s (x) f(x, ) d dx ( event. pro oblast tpu (a), (eventuelně pro oblast tpu (b)). b p () b p () ) f(x, ) dx d V praktických výpočtech je důležité mít představu o tvaru oblasti a na základě toho zvolit vhodné pořadí pro násobný integrál. Podle toho, co jsme dosud uvedli, b mohl vzniknout mlný dojem, že pro daný tp oblasti je možné použít jen jediné pořadí integrace. Opak je pravdou. Pořadí integrálů si můžeme zvolit zcela libovolně. Jiná věc je ale složitost výpočtu. Obecně platí, že vnější integrace podle proměnné x je výhodnější pro oblasti tpu (a) a podle proměnné pro oblasti tpu (b). Zatím jsme integrovali funkce spojité na základní oblasti. V mnoha případech však funkce, které potřebujeme integrovat jsou spojité pouze ve vnitřku a na hranici nemusí být vůbec definován. Např. funkce f(x, ) = x je spojitá ve vnitřku jednotkového čtverce =,. V některých hraničních bodech není definována (úsečk {}, a, {}). Pro takovou funkci f jsme přísně vzato dvojný integrál nedefinovali. Abchom odstranili tuto potíž zavedeme integrál přes přes základní oblast i pro funkce spojité pouze na vnitřku. (Vnitřek množin je \, kde je hranice, viz [], Kapitola nebo v těchto skriptech Definice.). Nechť je základní oblast např. tpu (a) z obr..3 { } = (x, ) x a, a, s (x) s (x) a nechť s (x) < s (x) na (a, a ). Nechť dále f je nezáporná funkce spojitá na vnitřku. Označíme { n = (x, ) x a + n, a, s (x) + n n s (x) }. n Pak pro dostatečně velká n jsou n základní oblasti obsažené ve vnitřku, viz obr..8. s (x) n n n n n s (x) a a Obr..8.

3. INEGRÁLY PŘES ZÁKLADNÍ OBLASI. 35 Oblasti n se zvětšují s rostoucím n, n n+, a sjednocení všech n= n dá celý vnitřek. Funkce f je spojitá na každém n. Pro ni máme integrál definován, n f. Definujeme nní (.3) f = lim f. n n Integrál f může být nní i nekonečný, což se v případě funkce spojité na celém stát nemohlo. Je-li nní f obecná spojitá funkce na vnitřku (tj. už nikoli jen nezáporná), rozložíme ji už známým způsobem na kladnou a zápornou část f = f + f, f + = max{f, }, f = max{ f, }. Existují-li konečné oba integrál f + a f, pak položíme f = f + f. V opačném případě říkáme, že integrál f neexistuje. Závěrem této kapitol uvedeme jednoduché základní vlastnosti dvojného integrálu, které snad ani nepotřebují důkaz. Všechn vplývají bezprostředně z definice. Věta.4. Nechť f a g jsou spojité funkce na vnitřku základní oblasti a nechť existují f a g. Pak platí (i) (αf + βg) = α f + β g pro každé α, β R. (ii) Je-li f g na, pak f g. Příklad.5. V integrálním počtu jedné proměnné jsme odvodili vzorec pro objem rotačního tělesa. Jestliže množina omezená shora grafem funkce h na intervalu a, a rotuje kolem os x, tak objem vzniklého tělesa je V = π a a h (x) dx. K témuž vzorci je možné dospět i tak, že budeme počítat objem pomocí dvojného integrálu. Situaci máme zachcenou na obr..9. z A C B x

36 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. Obr..9. Budeme počítat čtvrtinu celkového objemu. a je reprezentována částí tělesa ležícího nad množinou. Podstava má zápis { } = (x, ) R x a, a, h(x). Ještě je třeba určit funkci f(x, ), jejíž graf omezuje těleso nad množinou. V obrázku máme vznačen pravoúhlý trojúhelník ABC. Nechť bod C má souřadnice C = (x, ). Pak velikost odvěsn BC je a velikost přepon AB je h(x). Naše hledaná hodnota f(x, ) je pak velikost AC. Z Pthagorov vět plne f (x, ) + = h (x), tj. f(x, ) = h (x). Nní můžeme psát, že celkový objem V je roven V = 4 a f = 4 a h(x) h (x) d dx. Pro výpočet vnitřního integrálu užijeme substituci = h(x) sin t. akže h(x) h (x) d = π Dosazením do původního integrálu tak máme h (x) h (x) sin t h(x) cos t dt = h (x) V = 4 a a π 4 h (x) dx = π = h (x) a a π h (x) dx. π cos t dt = ( + cos t) dt = π 4 h (x). Poznámka.6. Povšimněme si jednoduché, ale velmi důležité interpretace dvojného integrálu z konstantní funkce rovné. Víme, že je objem tělesa s podstavou shora omezeného rovinou z =. ento objem je však číselně roven obsahu. Budeme si proto pamatovat, že obsah( ) =. Závěrem se zastavme u otázk, jak počítat integrál přes neomezené základní oblasti. Příklad takových oblastí je např. množina { } = (x, ) R x

4. CVIČENÍ. 37 nebo = { (x, ) R x, }, x viz obr... (a) (b) Obr... S touto úlohou si poradíme stejně, jako v případě neomezených obdélníků. Definice.7. Nechť R je neomezená základní oblast a nechť f : R je spojitá a nezáporná na vnitřku. Položíme n = ( n, n n, n ). Existuje-li vlastní lim n n f, řekneme, že integrál f existuje a jeho hodnota je rovna limitě f = lim f. n n V případě obecné spojité funkce postupujeme analogick jako v při definici integrálu přes neomezené obdélník. Funkci f rozložíme na kladnou a zápornou část f = f + f, kde f + = max{f, } a f = max{ f, }. Existují-li vlastní integrál f + a f, pak položíme f = f + f. V opačném případě říkáme, že f neexistuje. 4 Cvičení. Úloha. Vpočtěte x +, kde je množina omezená křivkou x + =.

38 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. = x x Obr... Řešení. V prvním kroku si musíme množinu alespoň v hrubých rsech nakreslit. V našem případě si uvědomíme, že změna znaménka u souřadnice x nebo nemá vliv na tvar množin. Jinými slov to znamená, že je smetrická jak podle os x, tak podle os. Stačí ted zjistit její tvar v. kvadrantu, kde x a. Zde je omezena přímkou x + =. Označme smbolem množinu bodů v. kvadrantu ležící pod přímkou x + =. Celá množina je pak na obr... Rovněž hodnota integrované funkce f(x, ) = x + se nezmění při záměně x x a. Stačí ted integrovat přes a výsledek vnásobit čtřmi. je základní oblast omezená shora grafem funkce = x a zdola =. ím x + = 4 x + = 4 x x + d dx = 4 (x ( x) + ) ( x)3 dx = 3 3. 4 Úloha. Změňte pořadí integrace v integrálu x x f d dx. Obr... x Řešení. Zjistíme nejprve, přes jakou množinu se vlastně integruje. Z vnějšího integrálu vidíme, že Z vnitřního pak x. x x. to dvě podmínk určují základní oblast zobrazenou na obr... Při změně pořadí bude vnější integrace podle proměnné. Průmět do os je interval, 4. Proto bude první integrál v mezích od do 4. Ale pozor!je-li,,

4. CVIČENÍ. 39 pak je omezeno zleva přímkou x = a zprava přímkou x =. V našem označení to jsou funkce p () = a p () =. Pro, 4 je omezeno graf jiných funkcí: x = / a x =, tj. p () = a p () =. Musíme tak integraci přes rozdělit do dvou integrálů; první pro, a druhý pro, 4. Výsledek je pak x x f d dx = 4 f dx d + f dx d. Úloha. Vpočtěte hmotnost čtverce se stranou a, je-li jeho plošná hustota úměrná druhé mocnině vzdálenosti od středu a její maximum je. Řešení. Čtverec označený si umístíme tak, ab jeho střed bl v počátku souřadnic a stran rovnoběžné s osami. Pak = a, a a, a. Protože hustota ρ(x, ) je úměrná druhé mocnině vzdálenosti od středu, musí mít tvar ρ(x, ) = k(x + ), kde k je konstanta úměrnosti. Navíc víme, že maximální hodnota ρ je. a se zřejmě nabývá v nejvzdálenějších bodech, což jsou právě vrchol (±a, ±a). ím Hmotnost m je tak možno vjádřit = ρ(±a, ±a) = k(a + a ) = ka, tj. k = a. m = ρ = a a a a a (x + ) d dx = 4 a a a x + d dx = 4 3 a. Úloha. Zjistěte těžiště základní oblasti M omezené shora parabolou = px, x, p a osou x. Plošná hustota je ρ =. Řešení. Základní oblast M je popsána M = { (x, ) x, p, } px. Pro souřadnice těžiště (x t, t ) platí x t = M xρ M ρ, t = M ρ M ρ.

4 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. Musíme tak vpočítat všechn tři dvojné integrál. M M M xρ = ρ = = p px p px p px x d dx = d dx = d dx = p p p px 3 dx = 6 5 p3, px dx = p3 px dx = 8 3 p. Nní můžeme dosadit do vztahů pro souřadnice těžiště a dostáváme, že těžiště množin M je bod ( 6 5 p, 3 4 p). V následujících příkladech vpočtěte dvojné integrál přes zadané základní oblasti... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.. je omezena křivkami = x, = 4x + 4, ( ) x je omezena křivkami x =, = x, x =, x + je omezena křivkami = x, x =, x + je omezena křivkami x =, =, x + = 3, cos(x + ) je omezena křivkami x =, = π, = x, x + je omezena křivkami =, = x, = + x, e x je omezena křivkami x =, x =, =, 4x je omezena křivkami =, x =, = x, x je omezena křivkami = x, = 4 ( x), ax x je omezena křivkami x =, = a ax.

4. CVIČENÍ. 4 V následujících integrálech změňte pořadí integrace:. a 3. 5. f dx d. ax x x 6 4 a 7. ax ax x 9.. f d dx 4. π f dx d 6.. x 3 x. 3 f d dx 8. 3 f d dx + x f dx d + 3 f d dx + f d dx + 4 (3 x) 3 x x 6 x x sin x x f d dx f d dx x f d dx + f d dx f d dx f d dx f d dx + f dx d 7 4 x x 4 x f d dx f d dx Vpočtěte následující integrál přes neomezené oblasti: 3. x p q, = {(x, ) R x, x } 4. e (x+), = {(x, ) R x } 5. 6. 7. ln x 3, = {(x, ) R x } e, = {(x, ) R x } sin x e {(x,, = ) R x }

4 KAPIOLA. DVOJNÝ INEGRÁL. 8. { + x, = (x, ) R x, } + x V následujících příkladech vpočtěte souřadnice těžiště daných homogenních množin, tj. hustota ρ = : 9. Množina omezená křivkami = x 3 a = 4x. 3. Množina omezená parabolou = x 3x a osou x. 3. Nechť K je polovina kruhu s poloměrem R, K = {(x, ) x + R, }. Označme A = (R, ) a B = ( R, ). Zavěsíme-li volně půlkruh v bodě A, vpočtěte, jaký úhel α bude svírat úsečka AB se svislým směrem. Plošná hustota je ρ =. 3. Nechť množina A je omezena parabolou = ax, a > a osou x. Určete hodnotu parametru b tak, ab parabola = bx rozdělila množinu A na dvě části stejného obsahu.. 64 3 ;. 9 4 ; 3. 33. x 6 + 7. 9.. 4 x f d dx;. 6 a a a 3 a f dx d; 5. 3 f dx d + Výsledk. 4 ; 4. 7 ; 5. ; 6. 3 ; 7. ; 8. a f dx d; 3. x+ x+ a ( a a f dx d;. +4 / f dx d + 8 3 a x x 8 + + + x x+ a a+ a x 3 + π 9 a a f dx d; 4. f d dx; 6. ) f dx d; 8. x f d dx. 3 π arcsin arcsin f dx d; ; 9. ;. 4a; f dx d; 4 / f dx d; f dx d+ f dx d; 3. (p q)(q ), p > q, q > ; 4. ln ; 5. 4 ; / 6. ; 7. 6 ; 8. π 8 ; 9. ( 5, 6 7 ); 3. ( 3, 4 5 ); 3. tg α = 3π, α 3 ; 3. b = 3a.