Střední půslová šola sdělovací techni Pansá Paha 1 Jaoslav Reichl, 017 učená studentů 4 očníu technicého lcea jao doplně e studiu apliované ateati Jaoslav Reichl
Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 OBSAH 1 Záladní poj algeb Veto (lineání obinace, závilost, nezávislost, geneáto) Matice 4 Soustav ovnic 5 Deteinant 4 6 Opeace s veto 5 7 Paciální deivace 5 8 Lineání difeenciální opeáto 5 9 Lineání difeenciální opeáto 6 10 Difeenciální ovnice 6 1 Záladní poj algeb 8 Veto (lineání obinace, závilost, nezávislost, geneáto) 8 Matice 8 4 Soustav ovnic 8 5 Deteinant 9 6 Opeace s veto 9 7 Paciální deivace 10 8 Lineání difeenciální opeáto 10 9 Lineání difeenciální opeáto 10 10 Difeenciální ovnice 11
Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 1 Záladní poj algeb 11 Jsou dán dvě nožin: nožina K ocových lubů v Paze a nožina S ocových supin hajících v ocových lubech Rozhodněte, za jaých podíne je atézsý součin K S : a) zobazení, b) postý zobazení, c) bijecí Podín v jednotlivých částech úloh vpište slovně Řešte bez ohledu na eálný ssl nalezených podíne 1 Je dána nožina S všech staveb, teé lze vtvořit ze stejných oste dětsé stavebnice, a opeace p postavení dvou oste na sebe Zjistěte, zda gupoid (K, p) je a) gupou, b) Abelovou gupou Podín (ověření definice) vpište slovně Řešte bez ohledu na eálný ssl platných podíne Veto (lineání obinace, závilost, nezávislost, geneáto) lineáně závislé nebo nezávislé Poud jsou lineáně závislé, napište příslušnou lineání obinaci vetoů Zjistěte, zda jsou veto u 4;1; 5, v 1; 0; 1 a w 0; 1; lineáně závislé nebo nezávislé Poud jsou lineáně závislé, napište příslušnou lineání obinaci vetoů Zjistěte, po teé jsou veto e ; ;, f 4; 1; 0 a g ; 0; a) lineáně závislé, b) lineáně nezávislé V případě a) napište příslušnou lineání obinaci vetoů 4 Zjistěte, zda veto u 1; ;, v 0; ; a w 4; ; 1 geneují vetoový posto 5 Zjistěte, zda veto a 1; ;, b 0; ; 0 a c 0; ; 1 geneují vetoový posto 6 Zjistěte, zda veto 0;1;, n 0; ; 0 a p 0; ;1 geneují vetoový posto 7 Zjistěte, po teá veto p 1; ;, q ;0; a 1; 1; 0 geneují vetoový posto 1 Zjistěte, zda jsou veto a ; 1;, b 0; ; 1 a c ; 1; Matice 1 1 Učete hodnost atice 4 5 6 7 8 9 1 Učete hodnost atice 4 0 6 9 8 7 1 1 0 4 1 Jsou dán atice A 5 1, B 1 1 a C 1 1 1 0 Vpočtěte součet atic A a B 4 Vpočtěte ozdíl atic A a B 5 Vpočtěte součin atic B a C 6 K součinu atic A a C přičtěte atici B 7 5 Učete invezní atici atici: a), b) 1 1 1 4 8 1 Učete invezní atici atici v závislosti na eálné oeficientu 9 1 Učete invezní atici atici 1 1 1 0 4 Soustav ovnic 41 V nožině z 1 řešte soustavu ovnic o neznáých,, z: z 1, z 0 a
4 V nožině pq 1 4 V nožině abc 1 44 V nožině l 1 Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 řešte soustavu ovnic o neznáých p, q, : p q 1 řešte soustavu ovnic o neznáých a, b, c: a b c 1 řešte soustavu ovnic o neznáých, l, : l 1 45 Učete, po teá á soustava ovnic o neznáých c, d a e v nožině toto řešení učete: cd e, c4d e a d ec 0, pq 1 a, abc 0 a, l 1 a pávě jedno řešení a 46 V nožině učete řešení zadané soustav ovnic o neznáých u, v a w v závislosti na oeficientu : uw, uvw 1 a wv 4 47 V nožině řešte soustavu ovnic o neznáých w,,, z: w, z 1, wz a w 1 5 Deteinant 51 Vpočtěte deteinant atice M 1 1 5 Řešte v nožině eálných čísel ovnici 4 0 5 1 Vpočtěte deteinant atice A 1 5 4 1 54 0 1 1 Vpočtěte deteinant atice Q 1 1 55 Řešte v nožině eálných čísel ovnici 56 Řešte v nožině eálných čísel ovnici 57 Řešte v nožině eálných čísel ovnici 1 15 1 1 4 1 4 1 u 0 u 4 0 u 6 u 1 1 1 5 1 58 Vpočtěte deteinant atice W 1 1 1 1 1 59 Vpočtěte deteinant atice 510 Vpočtěte deteinant atice 1 4 1 5 1 1 R 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 K 1 0 1 0 4
Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 1 1 4 4 0 0 1 0 511 Vpočtěte deteinant atice G 1 0 0 1 0 0 0 0 1 6 Opeace s veto Jsou dán veto a ; 1; 0, b ; 1;1, c 1; ; a d 1; ; 61 Vpočtěte c 6 Vpočtěte cd 6 Vpočtěte ab 64 Vpočtěte bca 65 Vpočtěte cdba 66 Vpočtěte adcb 67 Najděte jednotový veto ve sěu vetou b 68 Je dán ovnoběžní AHOJ bod A 1; ;1, H ;;1 a O ;1;0 Učete obsah ovnoběžníu AHOJ 69 Člově zavíá ono volně otočné ole pantů Rua člověa působí v ístě, teé je popsáno polohový vetoe 1; 0, 5; 1, 5, a veto síl je F ; 1; 0 N Učete veto oentu sil a jeho veliosti 6 1 610 Eleton vletí chlostí v 1; 1; 10 s do hoogenního agneticého pole popsaného agneticou inducí B ; ; 1 T Učete veto agneticé síl a vpočtěte její veliost Jaý úhel svíá veto chlosti s vetoe agneticé induce? 4 1 611 Poton uchlovaný eleticý pole s intenzitou E ; ; 1 10 V vletí chlostí 6 1 v 1; 0; 10 s do hoogenního agneticého pole popsaného agneticou inducí B 10;10; 0 T Učete veto agneticé síl a vpočtěte její veliost Jaý úhel svíá veto chlosti s vetoe eleticé intenzit? 7 Paciální deivace Vpočtěte paciální deivace zadané funce: z sinz f,, z z e ; 71 4 7 g,, z lnz cosln 7 ; h, sin e ln 74 Vpočtěte paciální deivace zadané funce a ve sěu os najděte bod podezřelé z loálního inia: v, 4 ln 75 Vpočtěte paciální deivace zadané funce a ve sěu os najděte bod podezřelé z loálního cos,, z z lne z z inia: 8 Lineání difeenciální opeáto 81 Je dána funce zsinz f,, z z e Učete gad f v,, z ;sin z ;cos z Vpočtěte div v 8 Je dán veto z 8 Je dán veto u,, z ; ; z z z Vpočtěte ot u 5
Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 z 84 Je dán veto w,, z ; ; Vpočtěte ot u z z z 85 Apliujte na veto a,, z ln ; cos z ; z opeáto otace a divegence ve spávné pořadí 86 Apliujte na salání funci,, log g z ze z opeáto gadient a divegence ve spávné pořadí 87 Apliujte na veto b,, ze ln z; z; zsin z opeáto gadient a divegence ve spávné pořadí 88 Vpočtěte divegenci vetou eleticé intenzit, teý je v oolí bodového náboje Q v postředí Q s elativní peitivitou definován vztahe E 0, de 0 je jednotový veto Výpočet poveďte v atézsé soustavě souřadnic 89 Vpočtěte gadient potenciálu eleticého pole, teý je v oolí bodového náboje Q v postředí Q s elativní peitivitou definován vztahe Výpočet poveďte v atézsé soustavě souřadnic M 810 Vpočtěte gadient potenciálu gavitačního pole, teý je definován vztahe V, de M je hotnost centálního tělesa, je hotnost tělesa pohbujícího se v centální poli a je gavitační onstanta Výpočet poveďte v atézsé soustavě souřadnic 9 Lineání difeenciální opeáto 91 Odvoďte vztah po gad, de, jsou salá poěnných, a z 9 Odvoďte vztah po div v 9 Vpočtěte 94 Vpočtěte, de je salá poěnných, a z a v je veto poěnných, a z gad, de sin zcos a z e div v, de 5zcos v z; z; z 95 Vpočtěte, de e z sin a 96 Je dána funce,,, sin f t t zt t t t zt t podle poěnné t 97 Vsvětlete fziální význa Mawellov ovnice div D 98 Vsvětlete fziální význa Mawellov ovnice div B 0 B 99 Vsvětlete fziální význa Mawellov ovnice ot E t D 910 Vsvětlete fziální význa Mawellov ovnice ot H j t 10 Difeenciální ovnice Vpočtěte totální deivaci funce f 101 Hotný bod o hotnosti se pohbuje po úsečce pod vlive síl, jejíž veliost naůstá lineáně s čase, tj platí: F t, de je ladná onstanta Najděte závislost uažené dáh, veliosti chlosti a veliosti zchlení na čase, jestliže v čase t 0 0s á hotný bod veliost chlosti v 0 a již uaženou dáhu s 0 10 Hotný bod o hotnosti se pohbuje po úsečce pod vlive síl, jejíž veliost lesá eponenciálně t s čase, tj platí: F F0 e, de F 0 a jsou ladné onstant Najděte závislost uažené dáh, veliosti chlosti a veliosti zchlení na čase, jestliže v čase t0 0s á hotný bod veliost chlosti v 0 a již uaženou dáhu s 0 10 Hotný bod o hotnosti se pohbuje po úsečce pod vlive síl, jejíž veliost lesá lineáně s veliostí chlosti, tj platí: F v t, de je ladná onstanta Najděte závislost uažené dáh, veliosti 6
Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 chlosti a veliosti zchlení na čase, jestliže v čase t0 0s á hotný bod veliost chlosti v 0 a již uaženou dáhu s 0 104 Hotný bod o hotnosti se pohbuje po úsečce pod vlive síl, jejíž veliost oste eponenciálně vt s veliostí chlosti, tj platí: F F0 e, de F 0 a jsou ladné onstant Najděte závislost uažené dáh, veliosti chlosti a veliosti zchlení na čase, jestliže v čase t0 0s á hotný bod veliost chlosti v 0 a již uaženou dáhu s 0 7
Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 Řešení úloh 1 Záladní poj algeb 11 a) O zobazení se bude jednat, jestliže v aždé lubu bude hát aiálně jedna supina b) Zobazení bude posté, poud v aždé lubu bude hát aiálně jedna supina a současně aždá supina bude hát aiálně v jedno lubu c) O bijeci se bude jednat, poud budou splněn podín z části b) a současně supin i lubů bude stejný počet 1 Ab bl daný gupoid gupou, usí být splněn čtři záladní vlastnosti: uzavřenost opeace na dané nožině, asociativní záon, eistence neutálního pvu a eistence seticého pvu Uzavřenost na nožině jistě splněná je - postavení dvou oste na sebe vtvoříe stavbu, teou lze z oste ealizovat Při stavění stejných oste na sebe lze postavit pvní, na ní duhou a až na ně postavit třetí, ale lze postupovat i ta, že na pvní postavíe ovnou dvě přede na sebe postavené ost Neutální pve eistuje - nepostavíe žádnou ostu Seticý pve lze nalézt taé - ostu z dané ost sundáe Taže daný gupoid je gupa Vzhlede tou, že lze ost na sebe stavět v libovolné pořadí, je tato gupa Abelovou gupou Veto (lineání obinace, závilost, nezávislost, geneáto) 1 jsou lineáně závislé; c ab jsou lineáně nezávislé a) 5, 4 ano, geneují 5 ano, geneují 6 ne, negeneují 7 Matice 1 1 6 4 4 4 g f e ; b) 5 5 5 4 5 6 1 1 6 1 1 1 0 11 8 1 16 7 a) 5, b) 1 1, c) neeistuje 7 1 8 po 6 invezní atice neeistuje, po 6 je to atice 1 1 6 9 6 10 1 1 1 1 4 1 7 4 Soustav ovnic 41 O D, P 4; 5; 8
Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 4 4 44 O O O D, P 1; 1; 1 D, 0 P D, P 1; t; t ; t 45 O D, 10 145 P ; ; ; 46 O D, po 9 je P 0, po 9 je 5 4 5 4 P ; 5 1 4 ; ; \ 9 9 9 9 47 O 4 D, 1 5 P ;0; ; 5 Deteinant 51 6 5 O D 5 5 54-9 55 O D 56 O D 57 O D 58 0 59-8 510 15 511-7, P 6, P 1,, P 1,, P 0, 1 1, 1 1 6 Opeace s veto 61 14 6-1 6 1; ; 5 64-8 65 18; 6; 54 66 8 6 67 6 6 6 ; ; 6 6 68 95 j M 1, 5; ; N 69 16 610 F ; M, 9 N 5; 7; 1 1, 60 10 N ; F 6; ; 0 1,60 10 N ; F 15 611 F 15 1, 4 10 N 14 1,110 N ; 59,5 ; 109 9
7 Paciální deivace 71 7 g 4 z z f zsin z z e z cos z g sin ln 4 lnz Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 f, 4, h 7 e cos e sin 74 75 v 4 z, podezřelé bod: 0 nebo 8 Lineání difeenciální opeáto 81 v 4, podezřelé bod: z f zsin z e z cos z sin z z g, 4 cosln sin ln h e cos ln, z, 4 z z sin z, cos z z sin z zsinz zsinz zze cos z ;4 ; e zcos z sin z 8 zsin z 6 cos z ; z 0 8 z 4z ; ; ; ; ; z 0; 0; 0 z z z 84 z z z z ; ; ; ; ; z 0; 0; 0 z z z 85 0 86 5z e ; 0 87 e cosz z sin z e ln z; cosz z sin z ; e 6zcosz 4z sinz z 88 0 89 Q Q Qz ; ; ; ; ; z 0; 0; 0 z z z M 810 ; M ; M z M,, M z 0 ; z z z z ; ; z 0; 0; 0 9 Lineání difeenciální opeáto 91 9 gad gadgad div v divvvgad,, 10
Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl, SPŠST Pansá, Paha, 017 z e z sin sin e z z cos sin ; z cos z e cos sin ; 9 ze cos e sin 94 4 z 15z cos 5 z cos 5z z sin 95 e 1 zsin z 6 df d d dz,cos,1,, t dt dt dt dt 96 zsin z ; z 0 z 97 6 cos 10 Difeenciální ovnice 101 a t t F0 e 10 a t t, v t v, t 10 v t v0 e 0 t s t v t s 6 t F e F 0 0 0, v t v t t 0 0 t F e F F 0 0 0 0 0, s t v ts, a t v0 e, s t v0 e v0 s0 1 0 0 104 ln v F v t e t t, v 0 F a t v 0 v 0 0 ln 0 1 e e t v v F 0 0 v0 e s t ttln e t s0 F0 F0 F0, F 0 e t Zdoje a inspiace příladů: [1] život, fantazie a zušenosti Jaoslava Reichla Sbía nepošla jazovou úpavou Za případné chb se olouvá a posí na jejich upozonění 11