10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí bodu f ( b ) nkresleného n ose y. f(b) Obrz okolí bodu n ose y určíme pomocí obrzu krjních bodů tohoto okolí: f() f(b) Obdobně njdeme n ose vzor okolí bodu f ( b ). 1
f() b f(b) Jk pomocí zobrzování okolíček rozlišíme spojitou funkci od nespojité? f() f() Pokud budeme zmenšovt poloměr okolí bodu, bude zmenšovt i jeho obrz n ose y f() f() Když se bude poloměr okolí bodu zmenšovt k nule, bude k nule zmenšovt i velikost obrzu n ose y. Kvůli díře, kterou způsobuje nespojitost, se velikost obrzu nezmenší k nule bude minimálně tk velká jko dír.
Při definici spojitosti postupujeme z druhé strny: nkreslíme si n osu y okolí kolem bodu f ( ) hledáme okolí bodu tk, by se celé zobrzilo do vyznčeného okolí n ose y: f() f() Zvolíme si n ose y okolí U f hledáme n ose x okolí U δ do okolí U f., které funkce zobrzí f() f() Ať zvolíme jkkoliv mlé, vždy se nám U podří njít δ tkové, by se δ zobrzilo do U f. Pro libovolně mlé f tkové U δ f U njdeme, které se celé zobrzí do U definice spojitosti v bodě: Když zvolíme menší než je velikost díry, nepodří se nám njít δ tkové, by se U f (v nšem U zobrzilo do δ přípdě, se i nezntelně menší čísl než U f. zobrzí pod díru tedy mimo to se nám oprvdu nepodří Funkce f je spojitá v bodě, jestliže k libovolně zvolenému -okolí bodu existuje tkové δ -okolí bodu, že pro všechn x z tohoto okolí bodu ptří f. hodnoty f ( x ) do zvoleného okolí bodu f, 3
Vyjádření pomocí nerovnic s bsolutní hodnotou: Funkce f je spojitá v bodě, jestliže ke kždému > 0 existuje δ > 0 tk, že pro všechn reálná x pltí: je-li x δ f x f <. <, pk Z definic je zřejmé, že nemá cenu uvžovt o spojitosti v bodech, ve kterých (nebo v jejichž okolí) není funkce definován. Dodtek: Oprvdu mtemticky úsporně vypdá definice spojitosti tkto: Funkce f je spojitá v bodě > 0 δ > 0 x R, ( x δ f ( x) f ) < <. Pedgogická poznámk: Dokzovt spojitost funkce y = x + 1 n první pohled vypdá zcel nesmyslně, le oproti funkcím y = c y = x je při důkzu, lespoň něco vidět důkz není tk obtížný jko u funkce y = sin x. Jk se dá dokázt, že funkce y = x + 1 je spojitá v kždém bodě? Nejdříve si nkreslíme obrázek: y y=x+1 f() 3 1-3 - -1 1 3-1 x - - Zdá se, že U njdeme pro libovolně mlé U f δ, z obrázku se zdá, že pltí δ. Teď to zkusíme početně. Zvolíme si libovolné musíme k němu njít δ. Neurčujeme si žádný speciální bod z x pokud to dokážeme, výsledek bude pltit pro všechn x. Dosdíme si do podmínky pro f U : 1 ( 1) δ f x f = x + + <. U úprvmi zkusíme zjistit, jk by mělo vypdt x + 1 1 = x = x = x < Uprvíme bsolutní hodnotu: x < v bsolutní hodnotě už jsme získli výrz pro body z okolí n ose x 4
x < = δ když si zvolíme n ose y libovolné okolí bodu f ( ), stčí když si U uděláme n ose x kolem bodu okolí s polovičním poloměrem, by se všechny x z δ zobrzily do U f dokázáno, funkce y = x + 1 je spojitá v kždém bodě. Dlší funkce, které jsou spojité v kždém bodě: y = c, c R y = x y = sin x, y = cos x Spojitost dlších funkcí je možné dokzovt pomocí následující věty: Jsou-li funkce f, g spojité v bodě, pk je tké spojitou funkci v bodě jejich: součet f + g, rozdíl f g, součin f g je-li g 0 tké jejich podíl f g. Př. : Pomocí definice spojitosti funkce f v bodě zformuluj definici spojitosti funkce f v bodě zprv. Funkce f je v bodě spojitá zprv, jestliže ke kždému > 0 existuje δ > 0 tk, že pro všechn reálná x pltí: je-li x ; + δ ), pk f ( x) f <. Pedgogická poznámk: Zcel smosttně seství definici jenom minimum studentů. Osttním se snžím u tbule pomoci tím, že se bvíme o tom, jk jsme n grfech určovli spojitost nebo limitu zprv, která x pro nás pk byl zjímvá pod. Př. 3: Pomocí definice spojitosti funkce f v bodě zformuluj definici spojitosti funkce f v bodě zlev. Funkce f je v bodě spojitá zlev, jestliže ke kždému > 0 existuje δ > 0 tk, že pro všechn reálná x pltí: je-li x ( δ ; f x f <., pk Pltí vět, o které jsme si říkli již při kreslení obrázků: Funkce f je spojitá v bodě, právě když je v tomto bodě spojitá zprv i zlev. Spojitost funkce není pouze bodová záležitost, sledujeme zd je funkce spojitá v intervlu. Otevřený intervl ( ; b ) (neobshuje krjní body): Funkce f je spojitá v intervlu ( ; b ), jeli spojitá v kždém bodě tohoto intervlu. Jk vypdá funkce spojitá v uzvřeném intervlu ; b. 5
b Př. 4: Vyslov definici funkce spojité v uzvřeném intervlu ; b. ; b - uzvřený intervl, body, b do něj ptří Funkce f je spojitá v intervlu ; zlev. b, jeli spojitá v intervlu ( ; ) b, v bodě zprv v bodě b S pomocí předchozích vět je možné rozšířit seznm spojitých funkcí: x y =, y = log x jsou spojité v kždém bodě svého definičního oboru n y x, n N 0;. = je pro liché n spojitá v R, pro sudé v intervlu Shrnutí: Spojitost funkce v bodě definujeme pomocí zobrzování velmi mlých okolí bodu. 6