Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. 6.cvičeí - tbilit regulčího obvodu 6.. tbilit regulčího obvodu Při ávrhu zpětovzebího řízeí vycházíme z poždvku stbilitu chováí uzvřeé regulčí smyčky, tedy z poždvku, by se chováí uzvřeého regulčího obvodu vyvedeého z rovovážého stvu vlivem působeí poruch ebo vlivem změy žádé hodoty regulové veličiy ustálilo v původím popř. ovém rovovážém stvu. Využijme k objsěí pojmu stbility obr. 6., ěmž je zázorě pohyb kuličky po tvrové kulise. Je zřejmé, že kuličk se po vychýleí odstrěí příčiy vychýleí vlivem své tíže vždy vrátí do původího rovovážého stvu, tj. do bodu A. Nopk, byl-li původí rovovážý stv v bodě B, jk ukzuje obr.6., kuličk se buď do původího rovovážého stvu evrátí (), ebo se od ěj vzdluje (b). Vzhledem k uvedeým příkldům můžeme říci, že systém je stbilí, když po vychýleí zujme původí rovovážý stv. tbilit se ám tudíž jeví jko vlstost systému, která je spoje s jeho podsttou. B A B Obr. 6..: tbilí systém () (b) Obr. 6..: Nestbilí systémy Pro vysvětleí pojmu stbility uzvřeé regulčí smyčky budeme vycházet ze zákldího blokového schémtu regulčího obvodu (obr.6.). Pro jedoduchost budeme předpokládt, že všechy veličiy obvodu jsou jedorozměrové. regulová soustv (řízeý systém) v(t) u(t) y(t) R regulátor (řídicí systém) y R (t) R e(t) w(t) Obr.6..: Zákldí blokové schém regulčího obvodu y regulová veliči w žádá hodot regulové veličiy e regulčí odchylk y R kčí veliči u řídicí veliči v poruchová veliči Vstupími veličimi regulčího obvodu jsou žádá hodot regulové veličiy w(t) poruchová veliči v(t), výstupí veličiou obvodu je regulová veliči y(t). Defiujme regulčím obvodu tzv. přeos řízeí G w ( s ) v, tj. přeos žádé hodoty regulové veličiy w(t) výstup - regulovou veličiu y(t) - z podmíky v(t) : G w ( s ) Y( s ) W( s ) v v GR( s )G ( s ) + G ( s )G ( s ) R (6.) - -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. přeos poruchy G v ( s ), tj. přeos poruchové veličiy v(t) regulovou veličiu y(t) w z podmíky w(t) : Y( s ) G ( s ) Gv( s ) (6.) w V( s ) + G ( s )G ( s ) w Přeosy (6.) resp. (6.) jsou čsto ozčováy pouze jko G w ( s ) resp. G v ( s ) priori se předpokládá podmík v(t) resp. w(t). Cílem zpětovzebího řízeí je, by řídicí veliči u( t ) vyrovávl skutečou hodotu regulové veličiy y(t) úměrě změám žádé hodoty regulové veličiy w(t) tk, by veliči y(t) kopírovl veličiu w(t), tj. by v ideálím přípdě pltilo: y(t)w(t) tedy G w ( s ), dále by byly kompezováy ežádoucí vlivy poruchové veličiy v(t), tj. by v ideálím přípdě pltilo: G v ( s ) Přeosy G w ( s )(6.) i G v ( s ) (6.) uzvřeého regulčího obvodu mjí stejý chrkteristický polyom tedy i stejou chrkteristickou rovici: s + s + s +... + s + která je určující pro řešeí stbility uzvřeého regulčího obvodu. R, (6.) Příkld 6..: Vypočítejte přeos řízeí G w ( s ) přeos poruchy G v ( s ) pro regulčí obvod obr.6., kde: - přeos regulové soustvy : G( s ) s( s + ) - přeos regulátoru (PD): ( s ) r r s. G ( s ) w G ( s ) v v w Y( s ) W( s ) Y( s ) V( s ) G ( s )G ( s ) GR + ( r + r s ) R 4 + GR( s )G ( s ) s + 6s + s + ( r + 8 )s + r G ( s ) 4 + GR ( s )G ( s ) s + 6s + s + ( r + 8 )s + r Je zřejmé, že chrkteristické rovice přeosu řízeí G v ( s ) uzvřeého regulčího obvodu: G w ( s ) přeosu poruchy 4 4 6 8 { 4 s + s + s + s + s + s + s + ( r + )s + r 44 jsou stejé koeficiety jsou (v omezeé míře) ovlivitelé stveím regulátoru! - -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Z rovic (6.) (6.) je ptré, že regulčí pochod (průběh regulové veličiy y(t)) jko odezv vstupí sigál (tedy sigál žádé hodoty regulové veličiy w(t) resp. sigál poruchové veličiy v(t)) je ve spojitých lieárích regulčích obvodech s kosttími prmetry popsá lieárí difereciálí rovicí obecě -tého řádu: y ( ) + y ( ) +... + y + y b m c w v ( m ) ( m ) m + b + c m m w ( m ) +... + b w + b w resp. ( m ) v +... + c v + c v, (6.4) jejíž prvá str je modifiková podle toho, která z veliči w(t) resp. v(t) regulčí pochod vyvoll. Řešeí y(t) difereciálí rovice (6.4): y( t ) y ( t ) y ( t ) (6.5) hom + je dáo obecým řešeím y hom (t) homogeí difereciálí rovice: prt ( ) ( ) y y... y y, (6.6) + + + + popisujícím chováí regulové veličiy y(t) po dobu přechodového děje, prtikulárím řešeím y prt (t) ehomogeí difereciálí rovice, popisujícím vuceou složku regulové veličiy y(t). tbilit řešeí y(t) je dá vitří strukturou systému ikoli chrkterem vstupích sigálů w(t) resp. v(t). Proto je určová chrkterem přechodového (volého) pohybu systému ezávisle fyzikálě relizovtelých (tz. eergeticky omezeých) vstupech, tedy pouze obecým řešeím homogeí difereciálí rovice (6.6). Regulčí obvod je stbilí, jestliže obecé řešeí y hom (t) se s rostoucím čsem blíží k ule: lim y ( t ) (6.7) t hom Pro posouzeí stbility uzvřeého regulčího obvodu je tedy rozhodující homogeí difereciálí rovice (6.6). kde Řešeím y hom (t) této homogeí difereciálí rovice je: s i, i,,..., y hom ( t ) i C e i sit jsou kořey chrkteristické rovice: s + s + s +... + s +, (6.8), (6.9) tedy chrkteristické rovice přeosů G w ( s )(6.) G v ( s ) (6.) uzvřeého regulčího obvodu. Vzhledem k tomu, že chrkteristický polyom levé strě rovice (6.9) je polyomem s reálými koeficiety, mohou být kořey chrkteristické rovice reálé komplexě sdružeé (s eulovou reálou částí či ryze imgiárí). Podívejme se yí, jk poloh kořeů v komplexí roviě ovlivňuje řešeí yhom(t) homogeí difereciálí rovice (6.6). - -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. ) Reálé kořey si αi určují periodické složky řešeí: αit y ( t ) C e hom,i i (6.) N obr.6.4 jsou zázorěy typické periodické průběhy regulčího pochodu, které v závislosti poloze kořeů chrkteristické rovice (6.9) reálé ose mjí chrkter stbilího děje, děje mezi stbility či estbilího děje. ) Im(s) b) y hom (t) c) y hom (t) d) y hom (t) α α α α α α Re(s) t t t Obr.6.4.: Aperiodický stbilí regulčí pochod (b), pochod mezi stbility (c) periodický estbilí regulčí pochod (d) určeý polohou kořeů chrkteristického polyomu () m-ásobý reálý koře m s α m určuje složku řešeí homogeí rovice ve tvru: m αt yhom( t ) ( C + C t + C t +... + Cm t ) e (6.) N obr.6.5. je zázorě příkld stbilího regulčího pochodu systému s -ásobým reálým kořeem v levé poloroviě komplexí roviy. Im(s) y hom (t) α α α α Re(s) t Obr.6.5.: Příkld stbilího regulčího pochodu (-ásobý reálý koře v levé poloroviě) b) Komplexě sdružeé kořey si,i α i ± jω určují kmitvé složky řešeí: + i y αit + ( t ) Cie cosωit + Ci hom i,i + e αit siω t i (6.) N obr.6.6 jsou zázorěy typické periodické průběhy regulčího pochodu, které v závislosti poloze kořeů chrkteristické rovice (6.9) v komplexí roviě mjí chrkter stbilího děje, děje mezi stbility či estbilího děje. ) Im(s) b) y hom (t) c) y hom (t) d) y hom (t) α α α α,α α,α α,α Re(s) t t t α α α - 4 -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Obr.6.6.: Periodický (kmitvý) stbilí regulčí pochod (b), periodický estbilí regulčí pochod (c) periodický pochod mezi stbility (d) určeý polohou kořeů chrkteristického polyomu () stbilí oblst Im (s) mez stbility estbilí oblst Re (s) Obr.6.7.: Rozložeí kořeů chrkteristické rovice v komplexí roviě Z uvedeé lýzy je zřejmé, že utou postčující podmíkou pro stbilitu uzvřeého lieárího regulčího obvodu je, by všechy kořey chrkteristické rovice obvodu měly záporou reálou část, tj. by ležely v levé poloroviě komplexí roviy (obr.6.7)! Kořey chrkteristické rovice uzvřeého regulčího obvodu, ležící imgiárí ose, vymezují chováí obvodu mezi stbility kořey s kldou reálou částí, tj. ležící v prvé poloroviě komplexí roviy, estbilí chováí obvodu. Příkld 6..: Rozhoděte o stbilitě uzvřeého regulčího obvodu s přeosem řízeí: Y( s ) GR( s )G ( s ) s + s + s + 4 Gw( s ) v W( s ) + G ( s )G ( s ) ( s + 5 ) ( s + )( 4s + )( s R + s + ) Kořey chrkteristické rovice ( tedy póly přeosu řízeí G w ( s ) uzvřeého regulčího obvodu) jsou: 5 s, s s4 s5, 6 ± j 4 Všechy kořey chrkteristické rovice mjí záporou reálou část, leží v levé poloroviě komplexí roviy uzvřeý regulčí obvod je tudíž stbilí. Záme-li kokrétí přeos uzvřeého regulčího obvodu, jko tomu bylo v příkldu 6.., je jeho stbilit urče polohou pólů (kořeů chrkteristické rovice) přeosu. Poloh pólů uzvřeého regulčího obvodu se všk měí s kždým přestveím kostt PID regulátoru (příkld 6.). Póly se v závislosti stveí kostt regulátoru pohybují po jistých trjektoriích mohou se ze stbilí oblsti (levé poloroviy komplexí roviy) posuout po těchto trjektoriích do oblsti estbility (prvé poloroviy komplexí roviy). K posuu pólů smozřejmě dochází i vlivem změ prmetrů řízeého systému. Jk uvidíme v odstvci 6., existuje řd postupů, kterými lze vymezit oblsti, v ichž mohou jedotlivé prmetry PID regulátoru ležet, by byl zruče stbilit uzvřeého regulčího obvodu. Tyto oblsti zýváme oblstmi stbility. - 5 -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Příkld 6..: Mějme uzvřeý regulčí obvod (obr.6.). Nechť je regulová soustv s sttismem. řádu popsá přeosem G ( s ) PD regulátor R přeosem s ( s + ) GR( s ) r + rs. Cílem je určit roviu prmetrů, v íž leží prmetry PD regulátoru ( r r ), pro kterou je uzvřeý regulčí obvod stbilí. Pro určeí chrkteristického polyomu uzvřeého regulčího obvodu určíme ejdříve přeos řízeí G ( s ): Y( s ) GR( s )G ( s ) r + r s GW ( s ) W( s ) + GR( s )G ( s ) s + s + r s + r. Chrkteristická rovice je tedy rov: s + s + r s + r Je možo dokázt, že mjí-li kořey chrkteristické r rovice uzvřeého regulčího obvodu ležet ve stbilí oblst stbility oblsti, je ezbyté, by prmetry r r PD hrice stbility regulátoru splňovly ásledující podmíky: 45 r r r >, r >, ( r r ) > r > r. r V roviě prmetrů (obr.6.8) je oblst stbility vyzče šrfováím; mezí stbility je přímk r r. Obr.6.8: Oblst stbility v roviě prmetrů r r 6.. Míry stbility V odstvci 6. jsme vysvětlili eje příčiy posuu pólů přeosu uzvřeého regulčího obvodu v komplexí roviě, le i ásledky tohoto posuu pólů stbilitu regulčí smyčky. Aktuálí poloh pólů určuje, zd je systém stbilí či ikoli, le ikterk evypovídá o tom, jk dleko je systém od přípdé estbility. Z těchto důvodů byly zvedey tzv. míry stbility, které jsou měřítkem této vzdáleosti. Zmííme 4 ejčstěji používé míry stbility: stupeň stbility, reltiví tlumeí, mplitudovou fázovou bezpečost. ) tupeň stbility δ je defiová jko miimálí bsolutí hodot reálé části pólů stbilího systému (uzvřeého regulčího obvodu), tedy jko vzdáleost pólu/ů ležícího/ležících ejblíže imgiárí osy komplexí roviy od této osy: δ mi Re( si ) i,,...,, (6.) kde s i jsou póly stbilího systému. Aby měl systém stupeň stbility δ, musí všechy jeho póly ležet ve vyšrfové oblsti (obr.6.9). W - 6 -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. b) Reltiví (poměré) tlumeí ξ mi je defiováo jko kosius mximálího úhlu ϕ mx, který s reálou osou svírjí spojice jedotlivých párů komplexě sdružeých pólů s počátkem komplexí roviy: ξ mi cosϕ mx (6.4) Aby měl systém reltiví tlumeí ξ mi, musí všechy jeho póly ležet ve vyšrfové oblsti (obr.6.). Im(s) Im(s) estbilí oblst ϕ mx estbilí oblst δ Re(s) Re(s) Obr.6.9.: tupeň stbility δ Obr.6..: Miimálí reltiví tlumeí ξ mi cosϕ mx c) Amplitudová bezpečost m fázová bezpečost γ jsou mírmi stbility, které se odečítjí z frekvečích chrkteristik (v komplexích ebo logritmických souřdicích) otevřeého regulčího obvodu. Pozmeejme, že otevřeý regulčí obvod (tzv. rozpojeá smyčk) vzike rozpojeím uzvřeého regulčího obvodu libovolém místě jeho přeos je dá součiem přeosů systému G ( s ) regulátoru G R ( s ) : c) γ b) ω ) - /m ImG (jω) ω ImG (jω) Obr.6..: Amplitudová fázová bezpečost v komplexích souřdicích G ( s ) G ( s )G ( s ) Změy prmetrů otevřeé regulčí smyčky ovlivňují stbilitu uzvřeého regulčího obvodu. N obr. 6. je zkresle frekvečí chrkteristik ()) otevřeého regulčího obvodu, která protíá reálou osu komplexích souřdic uvitř jedotkové kružice se středem v počátku. Uzvřeme-li rozpojeý regulčí obvod s touto frekvečí chrkteristikou, bude uzvřeý regulčí obvod stbilí. Zvětšíme-li zesíleí otevřeého (rozpojeého) regulčího obvodu tk, by frekvečí chrkteristik protíl reálou osu v bodě, tedy obvodu jedotkové kružice (obr.6.b), bude uzvřeý regulčí obvod mezi stbility. Zvětšíme-li zesíleí otevřeého regulčího obvodu tolik, že bude R - 7 -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. frekvečí chrkteristik otevřeého regulčího obvodu protít reálou osu komplexích souřdic vě jedotkové kružice (obr.6.c), bude již uzvřeý regulčí obvod estbilí. Vzdáleost frekvečí chrkteristiky otevřeého regulčího obvodu od kritického bodu (-, j) udává bezpečost ve stbilitě uzvřeého regulčího obvodu. K pochopeí podstty mplitudové fázové bezpečosti dobře poslouží Nyquistovo kritérium, jemuž je věová odstvec 6... Amplitudová bezpečost m u stbilího regulčího obvodu určuje, kolikrát (m-krát) je třeb zvětšit resp. F (jω) db zmešit zesíleí otevřeého regulčího obvodu, by uzvřeý regulčí obvod dosáhl meze stbility (obr.6.). Fázová bezpečost γ u log ω m stbilího regulčího obvodu určuje o rg F (jω) kolik (úhel γ ) je třeb zvětšit resp. zmešit fázi otevřeého regulčího γ obvodu, by uzvřeý regulčí obvod dosáhl meze stbility (obr.6.). Amplitudová fázová bezpečost log ω uzvřeého regulčího obvodu pro frekvečí chrkteristiky otevřeého regulčího obvodu v komplexích sou- Obr.6..: Amplitudová bezpečost m fázová souřdicích je zázorě obr.6.; bezpečost γ v logritmických souřdicích v logritmických souřdicích obr.6.. -π 6.. Kritéri stbility Jk již bylo řečeo, stbilit uzvřeého regulčího obvodu je urče polohou pólů přeosu uzvřeé smyčky v komplexí roviě. Vzhledem k tomu, že výpočet pólů je mohdy poměrě složitý vyžduje použití iterčích lgoritmů, byl vyviut řd kritérií, která umožňují rozhodout o stbilitě systému bez zlosti polohy jeho pólů. Kritéri dělíme do dvou zákldích skupi lgebrická kritéri frekvečí kritéri stbility. 6... Algebrická kritéri stbility Algebrická kritéri stbility umožňují rozhodout o stbilitě resp. estbilitě zákldě koeficietů,,..., chrkteristického polyomu (s) přeosu G(s) uzvřeého regulčího obvodu: ( s ) s + s + s +... + s (6.5) + Nejčstěji používými lgebrickými kritérii jsou Routhovo, Hurwitzovo Routh- churovo kritérium. Dříve ež přistoupíme k objsěí jedotlivých kritérií, uvedeme - 8 -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. ěkolik obecě pltých prvidel, pomocí kterých lze okmžitě rozhodout o stbilitě resp. estbilitě obvodu. ) Nutou, ikoli postčující, podmíkou stbility systému je, by všechy koeficiety,,..., chrkteristického polyomu (s) přeosu G(s) měly stejé zméko zároveň žádý z těchto koeficietů esmí být rove. Příkld 6.4.: Rozhoděte o stbilitě regulčího obvodu podle tvru chrkteristického polyomu: 4 ( s ) s + 8s + 6s + (Obvod je estbilí, eboť koeficiet ). Příkld 6.5.: Rozhoděte o stbilitě regulčího obvodu podle tvru chrkteristického polyomu: 4 ( s ) s + s + 8s 6s + (Obvod je estbilí, eboť koeficiety chrkteristické rovice emjí stejé zméko). b) Je-li chrkteristický polyom. řádu všechy koeficiety,, jsou eulové stejého zmék, je regulčí obvod vždy stbilí bez ohledu velikost koeficietů,,. Příkld 6.6.: Rozhoděte o stbilitě regulčího obvodu podle tvru chrkteristického polyomu: ( s ) 8s + 6s + (Obvod je stbilí, eboť všechy koeficiety chrkteristického polyomu. řádu mjí stejé zméko jsou eulové). c) Je-li chrkteristický polyom. vyššího řádu všechy jeho koeficiety jsou stejého zmék jsou růzé od, je stbilit regulčího obvodu závislá velikosti jedotlivých koeficietů je uté ji řešit př. pomocí lgebrických kritérií stbility. Algebrická kritéri stbility umožňují rozhodout o stbilitě resp. estbilitě systému bez výpočtu pólů. Vycházejí z chrkteristického polyomu systému ve tvru: ( s ) s + s + s +... + s (6.6) předpokldu, že i >, i,,,...,. + tvru: ) Routhovo kritérium stbility Routhovo kritérium stbility vychází z výpočtu tzv. pole Routhových koeficietů ve s - -4-9 -
kde: Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. s - - - -5 s - b - b -4 b -6 s - c - c -5 : s d d s e e s f s g b b b 4 k f g d e 4 M k M d e e 5 k c c k + M b k + Prví dv řádky pole Routhových koeficietů jsou tvořey smotými koeficiety chrkteristického polyomu (s). Pozmeejme, že pole Routhových koeficietů má + řádků, má tvr trojúhelíku libovolý řádek pole je možé dělit ebo ásobit libovolým kldým číslem. Routhovo kritérium stbility: Chrkteristický polyom (s) má všechy kořey se záporou b( s ) reálou částí (tj. systém s přeosem G ( s ) je stbilí), jsou-li všechy koeficiety ( s ) v Routhově poli kldé. Počet kořeů s kldou reálou částí (tj. estbilích kořeů) je rove počtu změ zmék koeficietů v prvím sloupci pole Routhových koeficietů. Příkld 6.7.: Pomocí Routhov kritéri rozhoděte o stbilitě systému, jehož chrkteristický polyom (s) je rove: b b 4 ( s ) s + s + s + 4s + 5 Routhovo pole koeficietů: s 4 + 5 s + 4 s + 5 Prví změ zmék s -6 Druhá změ zmék s +5 4 b k - -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. ystém s dým chrkteristickým polyomem je estbilí existují dv kořey s kldou reálou částí. Pokud je ěkterý koeficiet v prvím sloupci Routhov pole rove osttí koeficiety v tomtéž řádku jsou eulové, hrdíme ulový čle mlým kldým číslem ε vypočítáme zbytek koeficietů Routhov pole. Jsou-li zmék d ulovým pod ulovým koeficietem stejá, chrkteristický polyom má pár ryze imgiárích kořeů (komplexě sdružeých kořeů s ulovou reálou částí). Jsou-li zmék opčá, pk to zmeá pouze jedu změu zmék v poli Routhových koeficietů. Ukžme si tuto situci ázorém příkldě. Příkld 6.8.: Pomocí Routhov kritéri rozhoděte o stbilitě systému, jehož chrkteristický polyom (s) je rove: ( s ) s + 5s + s + 5 Routhovo pole koeficietů: + s +5 5 s ε s +5 ystém s dým chrkteristickým polyomem má dv ryze imgiárí komplexě sdružeé kořey (±j) jede záporý reálý (-5) je tudíž systémem mezi stbility. Pokud jsou všechy koeficiety určitého řádku ulové, pk má chrkteristický polyom pár ebo páry reálých kořeů stejé velikosti, le opčého zmék, ebo pár či páry komplexě sdružeých ryze imgiárích kořeů. Výpočet zbytku pole Routhových koeficietů provedeme tk, že hrdíme ulový řádek koeficiety, které jsou rovy derivci polyomu c(s), tedy dc(s)/ds. Polyom c(s) utvoříme z koeficietů řádku, předcházejícího ulový řádek. Je-li polyom c(s) stupě k, pk existuje k párů kořeů stejé velikosti, le opčého zmék. b) Hurwitzovo kritérium stbility Z koeficietů chrkteristického polyomu (s) přeosu Hurwitzovu mtici: b( s ) G ( s ) sestvíme tzv. ( s ) - -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. H 5 4 L O (6.7) Její hlví digoál zčíá koeficietem kočí koeficietem ; Hurwitzov mtice je tedy mticí -tého řádu. Jedotlivé řádky mtice jsou doplěy koeficiety chrkteristického polyomu (s) tk, by se směrem doprv zmešovly jejich idexy. Osttí prvky Hurwitzovy mtice jsou ulové. Hurwitzovo kritérium stbility: Nutou postčující podmíkou k tomu, by chrkteristický polyom (s) měl všechy kořey se záporou reálou částí (tj. systém s přeosem b( s ) G ( s ) byl stbilí), je splěí ásledujících podmíek: ( s ) Δ > Δ > Δ > Δ > Δ > M pro sudé pro liché, (6.8) kde: Δ Δ det... det Δ H Δ jsou hlví miory mtice H - tzv. Hurwitzovy subdetermity. Je zřejmé, že pro > musí být všechy Hurwitzovy subdetermity kldé. Příkld 6.9.: Pomocí Hurwitzov kritéri rozhoděte o stbilitě systému, jehož chrkteristický polyom (s) je rove: 4 ( s ) s + s + s + 4s + 5 Hurwitzov mtice (6.7) je rov: 4 5 H 4 5 Hurwitzovy subdetermity jsou zřejmě: Δ Δ Δ Δ 4 6 - -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Vzhledem k tomu, že koeficiet > všechy Hurwitzovy determity ejsou kldé, je systém estbilí. Je-li ěkterý z kořeů chrkteristické rovice ulový, tj. leží-li mezi stbility, je koeficiet tedy i Δ det H Δ. Má-li chrkteristická rovice pár komplexě sdružeých ryze imgiárích kořeů (tj. kořeů, ležících opět mezi stbility), je Δ. Mez stbility proto můžeme zjišťovt z podmíky: resp. Δ (6.9) Příkld 6..: Mějme uzvřeý regulčí obvod s regulovou soustvou s přeosem G (s) regulátorem s přeosem G R (s): K G ( s ) s( + st )( + st ), kde K, 5 T, 5s T, s R r G ( s ) (proporcioálí regulátor) Pomocí Hurwitzov kritéri zjistěte kritické zesíleí r krit regulátoru, tj. zesíleí, při kterém se systém dostává mez stbility při jehož dlším zvýšeí se systém ste estbilím. Nejdříve zjistíme z přeosu řízeí G W ( s ) : G W ( s ) Y( s ) W( s ) GR( s )G ( s ) + G ( s )G ( s ) uzvřeého regulčího obvodu chrkteristický polyom (s) uzvřeého regulčího obvodu: ( s ) T { T s + (T + T )s + { s + r { K 44 Nutá podmík stbility je zřejmě splě (všechy koeficiety chrkteristického polyomu (s) jsou kldé). Hurwitzov mtice je rov: Podle podmíek (6.8) pltí: T + T H TT R r K Δ TT (T + T ) > Máme-li zjistit kritické zesíleí r krit regulátoru, tj. zesíleí, při kterém se systém dostává mez stbility, musíme split podmíku (6.9), tj. Δ. Proto: - -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6..!! ( T + T ) TT r K r r krit Δ 4 Kritické zesíleí proporcioálího regulátoru je tedy r 4. Pro r < 4 se regulčí obvod chová jko stbilí, pro r > 4 jko estbilí. krit Hurwitzovo kritérium, stejě jko osttí lgebrická kritéri, umožňují tedy vyšetřovt oblsti stbility regulčích obvodů, tj. oblsti stvitelých prmetrů regulčího obvodu, pro které je uzvřeý regulčí obvod stbilí. Příkld 6..: Vyšetřete oblst stbility regulčího obvodu pomocí Hurwitzov kritéri, je-li přeos otevřeého regulčího obvodu: r G( s ) GR( s )G ( s ) s(t s + )(T s + ) Nejdříve určíme přeos G(s) uzvřeého regulčího obvodu: r G ( s ) s(t s + )(Ts + ) G( s ) + G r ( s ) (T + T + s + s(t s + )(T s + ) T T r TT ) s + Chrkteristický polyom uzvřeého regulčího obvodu je tedy rove: Hurwitzov mtice má tvr: ( s ) s (T + T + T T T + T TT H ) s + r TT TT T + T T T T T r s + T T r TT T T r s + T T Vzhledem k tomu, že koeficiet >, musí být všechy Hurwitzovy subdetermity Δ, Δ Δ kldé, tj.: T + T! T + T! Δ > r TT TT TT > r T T! + Δ Δ r > T T TT Vzhledem k tomu, že T,T, r >, postčí pro zjištěí stbility splěí podmíky: - 4 -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. 5 T + T T T r > r- [s - ] r- [s - ] pro T,5s estbilí oblst mez stbility r - 5 < T + T estbilí oblst pro T,5s mez stbility 5 stbilí oblst 5 stbilí oblst T [s] Obr.6..: Příkldy závislosti r - (T ) pro T,5 s r - (T ) pro T,5 s T [s] c) Routhovo-churovo kritérium stbility Routhovo-churovo kritérium vychází opět z koeficietů chrkteristického polyomu (s) přeosu systému. Provádí se postupá redukce stupě chrkteristického polyomu (s) podle ásledujícího lgoritmu (viz příkld 6.): ) koeficiety prvího řádku Routhov-churov pole jsou rovy sestupě uspořádým koeficietům chrkteristického polyomu (s). b) sudé řádky tvoříme z předchozích lichých řádků ásledujícím postupem. V lichých řádcích podtrheme zprv všechy koeficiety ležící sudé pozici (tedy koeficiety s lichým idexem). Podtržeé koeficiety opíšeme do ásledujícího sudého řádku, posueme je le o jedu pozici doprv. Osttí koeficiety sudého řádku jsou ulové. c) liché řádky (kromě prvího) se tvoří tk, že k předchozímu lichému řádku přičteme předchozí sudý řádek vyásobeý tkovým koeficietem, by se ve vytvářeém lichém řádku vyulovl prví koeficiet zprv. Routhovo-churovo kritérium stbility: Pokud jsou všechy koeficiety v Routhově- churově poli kldé (z předpokldu > ), pk všechy kořey chrkteristického polyomu (s) leží ve stbilí oblsti. Jkmile se při vytvářeí pole Routhových-churových koeficietů objeví záporý koeficiet, je možo výpočet ukočit, eboť chrkteristická rovice má koře v estbilí oblsti. Popsou redukci eí třeb provádět kroků, stčí pouze - kroků (tj. do okmžiku získáí tří kldých koeficietů). Příkld 6..: Pomocí Routhov-churov kritéri rozhoděte o stbilitě systému, jehož chrkteristický polyom (s) je rove: 4 s s + s + s + 6s +. () - 5 -
Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Postupujeme tk, že píšeme všechy koeficiety do řdy ozčíme podtržeím šipkou kždý druhý zlev doprv. 6 6 k k Podtržeé koeficiety ásobíme redukčí kosttou, která je podílem prvího druhého koeficietu zlev. Získé součiy píšeme do míst vyzčeých šipkmi odečteme od předchozích epodtržeých koeficietů. Po odečteí těchto součiů od předchozího řádku získáme prví redukovou řdu. Když i tto řd vyhovuje uté podmíce, tj. má všechy koeficiety kldé, pokrčujeme v dlší redukci stejým způsobem. V redukci pokrčujeme tk dlouho, dokud se v redukové řdě eobjeví záporé zméko ebo dokud počet čleů redukové řdy je větší ež tři. V dém přípdě obě redukové řdy mjí všechy koeficiety kldé proto chrkteristická rovice má všechy kořey v levé poloroviě komplexí roviy odpovídjící systém je stbilí. k - 6 -