Graf elementárních funkcí v posunutém tvaru Vsvětlíme si, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkční předpis základní elementární funkce Všechn změn původního grafu budou demonstrován na mocninné funkci pravidla platí i pro všechn ostatní funkce Přičtení (odečtení) čísla k hodnotě funkce Nechť je dáno reálné číslo c a funkce = f () Graf funkce = f ) + c [, f ( ) =, ale popsaná ( je množina bodů [ f ( ) + c, jsou bod grafu funkce f () Graf funkce = f ( ) + c (případně = f ( ) c ) ted dostaneme posunutím grafu zadané funkce f () o c jednotek nahoru (dolů) = + = Přičtení (odečtení) čísla k argumentu funkce Nechť je dáno reálné číslo c a funkce = f () Graf funkce f ( + [, f ( ) = je množina bodů [ c, f ( ) jsou bod grafu funkce f () Graf funkce = f ( + (případně = f ( ) ted dostaneme posunutím grafu zadané funkce f () o c jednotek doleva (doprava) = ( + ) = ( ) Vnásobení hodnot funkce číslem Nechť je dáno reálné číslo c a funkce = f () Graf funkce c f () [, f ( ) jsou bod grafu funkce f () = je množina bodů [, c f ( ) Druhá souřadnice bodů grafu funkce c f () je ted c-krát větší (je-li c > ) nebo c-krát menší (je-li c < ) než druhá souřadnice původního grafu Graf funkce = f () je souměrný s grafem funkce = f () podle os
= = Vnásobení argumentu funkce číslem Nechť je dáno reálné číslo c a funkce = f () Graf funkce = f ( c ) je množina bodů [, f ( ) jsou bod grafu funkce f () Graf funkce = f ( ) je souměrný s grafem funkce = f () podle os, f ( ) c = ( ) Absolutní hodnota funkce Připomeňme, že absolutní hodnotou čísla definujeme vztah : Graf funkce f () = je množina bodů [, f ( ) = ( ) R rozumíme nezáporné číslo, které značíme, a které = pro 0, = pro < 0 [, f ( ) jsou bod grafu funkce f () Pro ta, pro která je f ( ) 0, jsou graf funkcí f () a f () shodné Pro ta, pro která je f ( ) < 0, jsou graf funkcí f () a f () souměrné podle os =
Při kombinaci více modifikací původního grafu musíme na tento graf postupně aplikovat všechna odpovídající pravidla = ( ) = ( + ) Příklad Načrtněte graf funkce a určete její průsečík s osami souřadnic : a) f : = +, b) e) = log ( + ) l : 0, g : =, h : = + sin +, d) k : = +, Řešení : a) Graf funkce f vznikne posunutím grafu funkce nahoru po ose Definiční obor funkce : = + f je množina ( f) = R /{} D = o jednotku doprava po ose a o jednotk Nejprve vpočítáme průsečík s osami souřadnic Průsečík s osou je bod o souřadnicích [,0 Určíme ho dosazením nul za do rovnice funkce : 0 = + = Průsečík s osou je bod o souřadnicích [ = + = 0 Graf funkce f : Ted průsečík s osou je bod P =, 0 0, Určíme ho dosazením nul za do rovnice funkce : Ted průsečík s osou je bod = [ 0, P b) Graf funkce g vznikne posunutím grafu funkce os a posunutím o jednotk nahoru po ose = o jednotku doprava po ose, otočením kolem
Definiční obor funkce : = g je množina ( g) = R D Průsečík s osou : 0= = = = 0 P = 0, 0 Je zřejmé, že tento bod je zároveň průsečík s osou (vzhledem Ted průsečík s osou je bod [ k monotónnosti funkce je to jediný průsečík) Graf funkce g : 4 Poznámka : Pro přesnější kreslení grafů vužíváme tzv asmptot Jsou to přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje Například v poslední řešené úloze je to přímka = Asmptotami se budeme podrobněji zabývat ve 4 kapitole π Graf funkce h vznikne posunutím grafu funkce = sin o doleva po ose a o jednotku nahoru po ose Definiční obor funkce h je množina ( h) = R 0= + sin + = π, k ve tvaru [( k + ), 0, k Z [ 0, P = Graf funkce h : ( k+ ) Z D Průsečík s osou : Ted společných bodů s osou je nekonečně mnoho a zapíšeme je π Průsečík s osou : = + sin 0+ = Ted průsečík s osou je bod d) Graf funkce k vznikne posunutím grafu funkce = o jednotku doleva po ose, otočením kolem os a posunutím o jednotk nahoru po ose Definiční obor funkce k : = + je množina ( k) =, ) D Průsečík s osou : 0 = + = Průsečík s osou : = 0+ = Ted průsečík s osou je bod = [, 0 Ted průsečík s osou je bod = [ 0, P P
Graf funkce k : e) Graf funkce l vznikne posunutím funkce = log 0, o jednotku doleva po ose a o jednotk dolů po ose Definiční obor funkce l je množina D ( l) = (, ) Průsečík s osou : 0= log 0, ( + ) = Ted 4 průsečík s osou je bod P =, 0 4 Průsečík s osou dostaneme řešením rovnice : = log 0, ( 0+ ) = Ted průsečík s osou P = [ 0, Graf funkce l : Úloh π Sestrojte graf funkcí : a) = ( ) +, b) = sin( ), = + Výsledk úloh a) b) 0 π/ π π/ 0 π/ π π/ π 0 4