VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE STANOVENÍ POKLESU TLAKU NAPÁJECÍHO ČERPADLA V ZÁVISLOSTI NA KMITÁNÍ HLADINY V NAPÁJECÍCH NÁDRŽÍCH BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR JAROSLAV SŮKAL BRNO 009

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE STANOVENÍ POKLESU TLAKU NAPÁJECÍHO ČERPADLA V ZÁVISLOSTI NA KMITÁNÍ HLADINY V NAPÁJECÍCH NÁDRŽÍCH PRESSURE DROP DETERMINATION OF THE CHARGING PUMP IN THE WATER LEVEL OSCILLATION DEPENDENCE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR JAROSLAV SŮKAL Ing. SIMONA FIALOVÁ, Ph.D. BRNO 009

Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta strojního nženýrství Energetcký ústav Akademcký rok: 008/009 ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE student(ka): Jaroslav Sůkal který/která studuje v bakalářském studjním programu obor: Strojní nženýrství (30R06) Ředtel ústavu Vám v souladu se ákonem č./998 o vysokých školách a se Studjním a kušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce: Stanovení poklesu tlaku napájecího čerpadla v ávslost na kmtání hladny v napájecích nádržích v anglckém jayce: Pressure drop determnaton of the chargng pump n the water level oscllaton dependence Stručná charakterstka problematky úkolu: Využtí Bernoullho rovnce pro nestaconární proudění ke stanovení tlaků ve větveném systému. Cíle bakalářské práce: Výsledků bude využto pro stanovení poklesu tlaku na sání napájecího čerpadla v tepelné elektrárně.sestavení možností využtí tohoto jevu v prax.

Senam odborné lteratury: Brdčka, Samek, Sopko - Mechanka kontnua Vedoucí bakalářské práce: Ing. Smona Falová, Ph.D. Termín odevdání bakalářské práce je stanoven časovým plánem akademckého roku 008/009. V Brně, dne 7.0.008 L.S. doc. Ing. Zdeněk Skála, CSc. Ředtel ústavu doc. RNDr. Mroslav Doupovec, CSc. Děkan fakulty

Anotace Bakalářská práce pojednává o ákladních rovncích hydromechanky. V prác je odvoená Eulerova rovnce hydrodynamky a Bernoullho rovnce. Zahrnuje robor proudění skutečných kapaln a nemalou část věnuje třecím trátám. V prác je popsán kmtavý pohyb me dvěma spojeným nádobam. Tento jev je řešen pomocí Bernoullho rovnce s nestaconárním členem. Součástí práce je odvoení rovnce pro pops výchylky hladny rovnovážné polohy. Dále se věnuje jednodušenému řešení této rovnce. Na ávěr je uveden ukákový modelový příklad tohoto jevu. Klíčová slova: Bernoullho rovnce, nestaconární proudění, kmtání hladn Abstract The bachelor thess deals wth basc equatons of hydromechancs. The dervaton process of Euler equaton for hydrodynamcs and Bernoull equaton s outlned. It also ncludes the analyss of the real lquds flow as well as the frcton losses. The osclatory moton n between two jont tanks s descrbed. The phenomenon s solved by Bernoull equaton wth an unsteady term. A part of the thess treats the dervaton process of the equaton of the equlbrum surface deflecton descrpton and ts smplfed resolvng. A model problem of the phenomenon s put forward. Key words: Bernoull equaton, unsteady flow, water level osclaton. 5

Bblografcká ctace SŮKAL, J. Stanovení poklesu tlaku napájecího čerpadla v ávslost na kmtání hladny v napájecích nádržích. Brno: Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta strojního nženýrství, 009. 39 s. Vedoucí bakalářské práce Ing. Smona Falová, Ph.D. 6

Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou prác na téma Stanovení poklesu tlaku napájecího čerpadla v ávslost na kmtání hladny v napájecích nádržích vypracoval samostatně po konultacích s vedoucím bakalářské práce. Vycháel jsem př tom e svých nalostí a čerpal nternetových a lterárních drojů. V Brně dne 9.05.009 Jaroslav Sůkal 7

Poděkování Toto místo je věnováno všem, kteří m byl jakýmkolv působem nápomocn jak př studu, tak př řešení této bakalářské práce. Největší podíl díku patří vedoucí mé práce paní Ing. Smoně Falové, Ph.D. a cenné rady, přpomínky a čas. 8

Obsah Úvod... 0 Danel Bernoull... 3 Defnce pojmů... 3. Enstenova sumační konvence... 3. Ideální kapalna... 3.3 Proudnce... 3.4 Rovnce kontnuty... 3.5 D, D a 3D proudění... 3 4 Odvoení rovnc... 3 4. Eulerova rovnce hydrodynamky (ERHD)... 3 4. Bernoullho rovnce pro deální kapalnu... 5 5 Proudění skutečných kapaln... 6 5. Druhy proudění skutečných kapaln... 6 5. Ztráty př proudění skutečné kapalny (Hydraulcké tráty)... 8 5.. Třecí tráty v potrubí... 8 5.. Ztráty místním odpory... 5 6 Tvary Bernoullho rovnce... 6 7 Nestaconární proudění... 6 7. Volný kmtavý pohyb ve spojených nádobách... 7 7. Zjednodušené řešení... 9 7.3 Konkrétní případ... 3 8 Závěr... 35 Senam použté lteratury... 36 Senam použtých kratek a symbolů... 37 9

Úvod Př čerpání kapalny větveného systému (e dvou a více napájecích nádrží) docháí k nerovnoměrnost průtoku v jednotlvých větvích systému. Nerovnoměrnost působuje rokmtání hladn v napájecích nádržích, což má a důsledek pokles tlaku napájecího čerpadla. Kmtání a následný pokles tlaku v napájecím čerpadle se objevuje například u chladících systémů elektráren, kde se čerpá chladící kapalna více nádrží. Pro pops mňovaného jevu je důležtá Bernoullho rovnce, kterou se tato práce velké částí abývá. 0

Danel Bernoull Danel Bernoull se narodl v holandském Gronngenu 8. února 700. Pocháel e slavného klanu Bernoullů, kteří se v 8. století asadl o výnamné přínosy na pol matematky a fyky. Bernoull sám byl velce všestranně nadaný. Vystudoval medcínu v Baslej, kde mmo jné proslul jako vynkající lékař. Zde také ponal výjmečně nadaného matematka Leonarda Eulera, se kterým udržoval celý žvot důvěrné přátelství. Výnamnou část Bernoullho karéry představovalo působení v petrohradské Akadem věd právě spolu s Eulerem. Po nastolení krutovlády carevny Anny však Ruska odcháí a věnuje se přednášení matematky, fyky, botanky a anatome na růných evropských unvertách. Bernoullho nejvýnamnější přínos spočívá v položení ákladů fykálního oboru hydrodynamka, jež shrnuje v latnsky psaném díle Hydrodynamca (738). Bernoull de věnuje poornost plynům a první knetcké teor plynů, ncméně kvůl skeptcsmu doby s jeho teore musela na své novuobjevení počkat celé století. I přesto Danel Bernoull umírá ve namení unání a úspěchu ověnčen mnoha oceněním nejvýnamnějších nsttucí své doby v roce 78 v Baslej. [6] 3 Defnce pojmů 3. Enstenova sumační konvence Jedná se o konvenc, která načně jednodušuje áps určtých matematckých operací. V této prác budeme uvažovat trojroměrný Eukldovský prostor. Jednotlvé osy tohoto prostoru budeme načt jako x, x, x3. To namená, že všechny sumační ndexy budou nabývat hodnot,, 3. Například roepíšeme-l vektor v : v v + v j + v k, () x y kde, j, k jsou jednotkové vektory v jednotlvých osách, potom a použtí Enstenovy sumační symbolky můžeme stejný vektor apsat v v e + v e + v3 e3 v 3 e v e () Skalární násobení dvou vektorů je možné vyjádřt jako

j j j ( e e ) u v u e v e u v (3) j Př ápsu se jednotkové vektory většnou vypouští, můžeme vtah (3) přepsat do tvaru u v u v j [3] (4) 3. Ideální kapalna Ideální kapalnou roumíme kapalnu, která: - je dokonale nestlačtelná ( ρ konst. ), - je be vntřního tření; tečné napětí je rovno nule (nevskoní kapalna), - nevypařuje se, napětí nasycených par je také nulové. [] 3.3 Proudnce Proudnce je množna bodů (čára), pro které platí, že v lbovolném bodě této množny je vektor rychlost tečnou proudnce. Př staconárním (ustáleném) pohybu proudnce splývá s trajektorí. Obecná rovnce proudnce je v dx dx dx3 [3] (5) x, x, x, t) v ( x, x, x, t) v ( x, x, x, t) ( 3 3 3 3 3.4 Rovnce kontnuty Př proudění kapalny musí být splněn ákon achování hmotnost. Stanovíme lbovolný kontrolní objem. Podle rovnce kontnuty hmotnost kapalny vtékající do kontrolního objemu musí být rovna hmotnost kapalny něj vytékající. Rovnce kontnuty pro D proudění v obecném tvaru ( ρ S v) + ( ρ S ) 0 (6) l t Tato rovnce le a určtých předpokladů jednodušt. Pokud budeme uvažovat, že kapalna je nestlačtelná a proudí ustáleně, dostaneme mnohem námější tvar rovnce kontnuty S v konst. [] (7)

3.5 D, D a 3D proudění Z knematckého hledska se proudění roděluje do tří skupn A. Proudění tříroměrné (3D) velčny, např. rychlost je určena polohou v prostoru ( x, x x ) v v., 3 B. Dvouroměrné proudění (D) nebo také rovnné, např. v ( ) v x, x. C. Jednoroměrné proudění (D) je to proudění po křvce, např. v ( ) v. [] x 4 Odvoení rovnc Elementárním cílem této práce je odvoení Bernoullho rovnce, kterou budeme nebytně potřebovat k popsání kmtavého pohybu ve spojených nádobách. Bernoullho rovnce vycháí Eulerovy rovnce hydrodynamky, proto bude vhodné nejprve odvodt ERHD. 4. Eulerova rovnce hydrodynamky (ERHD) ERHD je rovnce, která popsuje slovou rovnováhu př proudění. Na kapalnu působí tř síly. Vektor síly tíhové F, vektor síly tlakové účnky F. s m Fp a také vektor síly, vyjadřující setrvačné F + F F (8) m p s Vytkneme-l s trojnásobně elementární prvek kapalny, budou na něj působt elementární síly df, df, df. Tyto síly musejí být v rovnováe: m p s df + df df (9) m p s Nyní jednotlvé elementární síly roepíšeme. Dferenece síly hmotnostní: df m a dm a ρ dx. (0) j Elementární tlaková síla: df p p p ( p + dp ) ds dp ds df df p ds. () Jelkož víme, že po roepsání elementu plochy ds pro jednotlvé osy 3

ds ds ds x x x3 dx dx 3 dx dx 3 dx dx () a roepsání totální dervace tlaku dp p dx (3) x můžeme po dosaení do rovnce () psát: df p p dx j. (4) x Elementární setrvačnou síly vypočítáme Newtonova ákona. df s dv dv dm ρ dx j (5) dt dt Nyní můžeme napsat slovou rovnováhu pomyslného elementu: p dv a ρ x j dx j ρ dx j (6) x dt Pro jednodušení je vhodné rovnc vydělt ρ a x j. Tímto postupem dostaneme rovnováhu v podobě rychlení p a ρ x dv dt (7) dv Totální dervac je možné roepsat na parcální dervace: dt dv dt v dx v + dt j x j t v dx j v dt v v + + v j. (8) dt x j dt t dt t x j Po dosaení rovnce (0) do rovnce (9) dostaneme Eulerov rovnc hydrodynamky (ERHD) (). v t v + x j v j a ρ p x (9) 4

Tahle rovnce platí obecně pro 3D proudění. Našm cílem je popsat chování kapalny př kmtání hladn ve spojených nádobách. Ve spojovacím potrubí bude proudění kapalny D, proto je vhodné s ERHD apsat ve tvaru pro D proudění. v v + v a t l ρ p l [] [] (0) 4. Bernoullho rovnce pro deální kapalnu Nyní, když jsme odvodl ákon pro slovou rovnováhu, Eulerovu rovnc hydrodynamky, můžeme přejít přímo k odvoení ákona achování energe. Bernoullho rovnce, jak se tento ákon naývá, vycháí předpokladu, že energe nevnká an neanká, poue se mění její druhy. Pokud se částečka tekutny pohybuje po elementární dráe (proudnc) koná elementární prác. Sečtením těchto elementárních prací po proudnc dostaneme prác (energ) celkovou. Ještě před ntegrací roepíšeme objemové rychlení. Přpustíme, že má potencál. Roepsáním objemového rychlení pomocí potencálu pro 3D a U () x pro D proudění U a () l kde dl je element délky proudnce a du je element potencálu. Potencál můžeme apsat U g h, kde g je gravtační rychlení a h je poloha hladny. Nejprve ERHD upravíme pro následné ntegrování. Do rovnce (0) dosadíme vtah pro objemové rychlení. v v U + v t l l p ρ l (3) Následně vynásobíme ERHD skalárně elementem délky proudnce dl. 5

v v dl + v dl t l U l dl ρ p dl l (4) Vykrácením jednotlvých elementů délky proudnce ískáme vtah, který můžeme ntegrovat. v dl + v dv du t dp ρ (5) V našem případě budeme řešt chování proudění kapalny me dvěma místy. Budeme tedy ntegrovat bodu do bodu. v dl + t v dv du ρ dp (6) v v v p p dl + U U + (7) t ρ ρ Bernoullho rovnce ovšem platí po celé délce proudnce v v dl + t U + p konst, (8) kde první člen je tv. nestaconární. Jeho podrobnější pops bude v kaptole 7. Druhý člen vyjadřuje měrnou knetckou energ, třetí je měrná potencální energe a čtvrtý je měrná tlaková energe. [] [] [4] 5 Proudění skutečných kapaln U proudění skutečných kapaln se projevuje vntřní tření kapalny a stlačtelnost. Protože v této prác uvažujeme proudění vody, u které se stlačtelnost projevuje nepatrně, můžeme j cela anedbat. 5. Druhy proudění skutečných kapaln Proudění skutečných kapaln se dělí na dvě ákladní skupny, lamnární a turbulentní. Změnám uvntř potrubí a přechodům me lamnárním a turbulentním prouděním se věnoval Osborne Reynolds. Dokáal exstenc obou proudění pomocí jednoduchého pokusu. Do proudící tekutny v kruhovém potrubí přváděl velm malou trubčkou barevnou tekutnu. Př malých rychlostech barevná tekutna ůstala neporušená a rovná v obr.. Pokud se rychlost výšla nad krtckou me, dráha barevné tekutny přestala být přímá a 6

ačala se vlnt v - obr.. Oba druhy proudění se od sebe lší rychlostním proflem, a také velkostí hydraulckých trát. Obr. lamnární proudění [4] Obr. turbulentní proudění [4] Pomocí tohoto pokusu určl vtah, podle kterého le vyjadřuje druh proudění kapaln. Tento vtah nese jméno po svém autorov (Reynoldsovo číslo): v s D Re, (9) υ kde v s je střední průřeová rychlost, D je charakterstcký roměr potrubí, kterým kapalna proudí a υ je knematcká vskota. Tu le spočítat podle následujícího vtahu. µ υ, (30) ρ kde µ je dynamcká vskota a ρ je hustota. 7

Přechod lamnárního na turbulentní proudění je určen krtckou hodnotou Reynoldsova čísla Re k. Jeho hodnota pro kruhové potrubí, které se vyskytuje v této prác, je rovno hodnotě 30. Toto číslo platí poue tehdy, jestlže je proudění ustálené. Pokud by před místem, kde jšťujeme druh proudění, byl například místní odpor (úžení, kolena, atd.), hodnota Re k by byla menší. Pro Re < Rek se jedná o lamnární proudění, jestlže Re > 4 000 jde o proudění turbulentní. Přechodové oblast náleží nterval Re ( Re, 4 000). [] [] [4] 5. Ztráty př proudění skutečné kapalny (Hydraulcké tráty) Př proudění skutečné kapalny potrubím docháí ke trátám. Ztráty jsou působeny vájemným třením molekul, měnou tvaru potrubí atd. Bernoullho rovnce bude obsahovat další člen a to člen vyjadřující trátovou energ. Nejde o trátovou energ v pravém slova smyslu, to by odporovalo ákonu achování energe. Je to energe, která se přemění v teplo. Bernoullho rovnce pro skutečnou kapalnu: v v p dl U Y t + + ρ + k konst, (3) kde Y je měrná trátová energe, která se počítá pomocí Wessbachova vtahu: Y vs ς c, (3) kde ς c je celkový součntel všech trát v potrubí a v s je střední průřeová rychlost. Hydraulcké tráty se dělí na dvě ákladní skupny. Na tráty třením a tráty místní. Wessbachův vtah můžeme roepsat následujícím působem: Y ( + ) vs ς m ς t, (33) kde ς m je součntel místních trát a ς t je součntel třecích trát. [] [] [4] 5.. Třecí tráty v potrubí Tyto tráty vnkají vájemnou nterakcí me jednotlvým molekulam. Jsou přímo úměrné délce a růně velké pro jednotlvé typy proudění. 8

Obr. 3 trátový tlak [4] Př výpočtu součntele třecích trát u lamnárního proudění vycháíme e střední rychlost. Tuto rychlost ískáme následujícím postupem. V potrubí s kruhovým průřeem se kapalna pohybuje v jednotlvých vrstvách válcového tvaru s osou symetre totožnou s osou symetre potrubí. Zvolíme nekonečně malý element tohoto válce. Na ten působí tlak p, který se a dráhu dl mění na p+ dp. Tyto tlaky vyvolají tlakové síly: F p p r Obr. 4 lamnární proudění v potrubí kruhového průřeu [] π, (34) ( p + dp) F p r π. (35) Na plášť elementu působí třecí síla. F t τ π r dl (36) Součet všech sl působících na element musí být roven nule. F F F 0 (37) p p t 9

p ( p + dp) π r τ π r dl 0 π r (38) Z rovnce (38) vyjádříme smykové napětí: dp τ r (39) dl Protože trátový tlak roste lneárně v ávslost na délce, platí (39) apsat ve tvaru dp dl p a můžeme rovnc l p τ r, (40) l kterou dosadíme do Newtonova vtahu pro smykové napětí τ dv µ dr dv p µ r (4) dr l Z rovnce vyjádříme měnu rychlost a následně ntegrací ískáme rychlost: dv p r dr, (4) µ l p r v 4 µ l + C. (43) Integrační konstantu C určíme okrajové podmínky pro potrubí je rychlost kapalny nulová. p d C 6 µ l D r je v 0, protože na stěnách (44) Po dosaení ntegrační konstanty (44) do rovnce (43) a po úpravě ískáme vtah pro rychlost v následujícím tvaru: v p D 4 µ l r. (45) Z rovnce pro rychlost v jakémkolv místě průřeu vdíme, že je kvadratcky ávslá na vdálenost od osy potrubí. V prostoru bude mít rychlostní profl tvar rotačního parabolodu, s maxmální rychlostí v jeho vrcholu. 0

Pro jštění střední rychlost je potřeba vypočítat průtok v potrubí, který se určí ntegrací rychlost přes plochu průřeu potrubí. Tento vtah je nám jako Hagen-Poseullův ákon. dr r d l p r dr r v ds v Q s d d 0 0 µ π π (46) l p d Q µ π 8 4 (47) Dosaením do rovnce kontnuty ískáme vtah (48), e kterého následně vyjádříme hledanou střední rychlost průřeu (49). l p D v D v S Q s s µ π π 8 4 4 (48) l D p v s µ 3, (49) kde l je délka na které vnkne trátový tlak p, D je průměr potrubí a µ je dynamcká vskota. Z rovnce (49) vyjádříme trátový tlak ρ ρ υ µ Re 64 64 3 s s s v D l v D l D v D v l p, (50) kde třecí součntel pro vyvnutý rovnoměrný rychlostní profl lamnárního proudění je Re 64 λ. Potom je trátový tlak určen vtahem (5). ρ λ s v D l p (5) Ztráty se také často vyjadřují jako trátová výška. g v D l g p h s λ ρ [4] (5) Součntel třecích trát u turbulentního proudění je vlvem vyšších třecích sl větší. Počítají se podobně jako u lamnárního proudění. Rodílem je, že u turbulentního proudění není třecí součntel ávslý poue na velkost Reynoldsova čísla. Na velkost třecího

součntele mají také vlv relatvní drsnost stěn potrubí k D, kde k je absolutní drsnost stěny potrubí a D je průměr potrubí. Součntel tření u turbulentního proudění λ f ( Re, ) nele stanovt obecně, proto se pro jeho určení používají expermentálně odvoené vtahy a grafy. Ztrátam třením se abýval například Johann Nkuradse. V letech 930-933 pomocí expermentů sestavl graf ávslost součntele tření na poměrné drsnost povrchu a Reynoldsově čísle. Nkuradse př svém expermentu používal bronové potrubí kruhového průřeu. Nejprve ačal měřt trátový součntel na hladkém potrubí a poté povrch potrubí postupně drsňoval nalepováním tříděného písku. Měřením ískával ávslost třecího součntele na Reynoldsově čísle př konstantní poměrné drsnost. Z grafu na obr. 5 je řejmé, že př vyšších hodnotách Reynoldsova čísla je ávslost téměř konstantní, tedy že součntel tření neávsí na poměrné deformac. Tuto oblast naýváme oblastí vyvnutého turbulentního proudění. Lamnární proudění je v grafu obraeno červenou přímkou. Oblast me lamnárním prouděním a vyvnutým turbulentním prouděním naýváme přechodovou oblastí. Obr. 5 Nkuradseho dagram ávslost f ( Re, ) λ [5]

Modrou barvou v grafu je náorněn Blasuv vtah, který byl odvoen pro hladké potrubí k 0 0 0,364 λ pro 4 Re Re Re 80 4 k (53) Jelkož Nkuradse př svém expermentu drsňoval povrch potrubí uměle, drsnost stěn potrubí byla rovnoměrná. V reálných podmínkách však drsnost není rovnoměrná. Vlv skutečné drsnost na třecí součntel řešlo více autorů. Jedním nch byl Colebrook, který odvodl rovnc (54), která upravuje přechodovou oblast v Nkuradseho dagramu. λ (54),5 k log + 0,7 Re λ d Obr. 6 vlv druhu drsnost na tráty třením [5] U skutečné drsnost nevnká žádné sedlo, jaké je vdět v Nkuradseho dagramu, ale součntel tření asymptotcky přecháí Blasusovy přímky k přímce vyjadřující oblast vyvnutého turbulentního proudění. 3

Obr. 7 Moody-Colebrookův dagram ávslost f ( Re, ) λ [5] Př turbulentním proudění skutečné kapalny vnká na stěnách potrubí vrstva tekutny, která přkrývá nerovnost povrchu. Tato vrstva se naývá lamnární podvrstva. Fromm a Hopf jstl, že na tloušťku lamnární podvrstvy a tedy na trátový součntel má vlv nejen velkost absolutní drsnost, ale také její tvar. Roenáváme dva druhy drsnost, tedy ostrou a vlntou. Obr. 8 druhy drsnost [5] Vhledem k velkost a tvaru nerovnost povrchu potrubí roenáváme u turbulentního proudění tř oblast. 4

A. Hydraulcky hladká stěna V této oblast lamnární podvrstva akryje nerovnost povrchu, třecí součntel má stejnou velkost jako př proudění kapalny hladkým potrubím. B. Oblast přechodová Jednotlvé výčnělky drsnost jsou větší, než lamnární podvrstva, čehož vyplývá, že třecí součntel je ávslý jak na Reynoldsově číslu, tak na poměrné deformac povrchu potrubí. C. Oblast vyvnutého turbulentního proudění V této oblast je lamnární podvrstva velm malá a neakrývá nerovnost povrchu potrubí. To namená, že třecí součntel je ávslý poue na poměrné deformac potrubí a ne na Reynoldsově čísle. V grafu tuto oblast charakterují vodorovné polopřímky. [] [] [4] 5.. Ztráty místním odpory Do této kategore trát patří například tráty př náhlé měně průměru potrubí, měně velkost nebo směru proudění, tráty v růných armaturách atd. Velkost místních trát se stanoví podobně jako u trát vyvolaných třením. Ztrátovou výškou (55), měrnou trátovou energ (56), nebo trátovým tlakem (57) h Y p vs ς m, (55) g vs g h ς m, (56) vs g ρ h ς m ρ, (57) kde ς m je součntel místních trát a ostatní velčny mají stejný výnam jako v předchoích rovncích. Je řejmé, že ς m bude u jednotlvých prvků růné. Děje v místech, kde vnkají místní tráty, jsou přílš složté, a proto se součntelé místních trát určují expermentálně. Expermentálně naměřené hodnoty můžeme použít poue v případě, že byly naměřeny a podobných podmínek. Pro stanovení místních trát se používají růné tabulky, grafy atd. [] 5

6 Tvary Bernoullho rovnce Bernoulho rovnce se používá př výpočtech nejrůnějších hydraulckých a hydrodynamckých strojů. Proto je občas výhodné j apsat v jných tvarech. Například se uvádí ve tvaru výšek (6), nebo tlaků (60). Bernoullho rovnce ve formě energ [J]: p v v m g h + m + m + m dl m Y konst ρ t + (58) Bernoullho rovnce ve formě měrných energ [ J kg ] : p v v g h + + + dl Y konst ρ t + (59) Bernoullho rovnce v tlakové formě [Pa] : v v ρ g h + p + ρ + ρ dl p konst t + (60) Bernoullho rovnce ve výškovém tvaru [m]: p v v h + + + dl h konst ρ g g g t + (6) 7 Nestaconární proudění Je to proudění, které je ávslé na čase. Nestaconární chování se projevuje například př roběhu proudění v potrubí, nebo př kmtání v U-trubc atd. Především jde o měny rychlost kapalny, které vyvolávají měny tlaku. Nestaconární proudění le řešt dvěma působy. A. Pokud jsou měny rychlost, tedy tlaku, malé, neprojeví se stlačtelnost kapalny. Takové proudění le řešt pomocí Bernoullho rovnce s nestaconárním členem. B. V případech, kdy jsou měny rychlost, respektve tlaku přílš velké, soustava se řeší jako hydraulcký (vodní) rá. V následující část budeme uvažovat poue první případ (A). Pro jednodušení budeme uvažovat nestlačtelnou kapalnu a dokonale tuhé potrubí. Za těchto podmínek bude 6

rychlost ávslá poue na jedné proměnné a to na čase v( t) jednoduše ntegrovat. l v dl t l dv dl a dt n v. Nyní le nestaconární člen l, (6) kde a n je rychlení sloupce kapalny v potrubí o délce l. Obr. 9 neustálené proudění nestlačtelné kapalny v tuhém potrubí [] Bernoullho rovnce pro nestaconární proudění nestlačtelné vaké kapalny v tuhém potrubí me body a bude p ρ v + g h + a v p ρ n l + + + Y [] (63) 7. Volný kmtavý pohyb ve spojených nádobách Cílem této práce je popsat chování kapalny př kmtavém pohybu, me dvěma nádržem. Př kmtání volných hladn docháí k perodckým přeměnám potencální energe na polohovou a naopak. Dokonalá kapalna v tuhém potrubí by kmtala netlumeně. Ovšem pohyb skutečné kapalny je tlumen vskotou. 7

Obr. 0 kmtavý pohyb ve spojených nádržích [] Př popsu kmtavého pohybu ve spojených nádobách bude nejvhodnější vyjádřt s ávslost výchylky jedné hladn od rovnovážné polohy na čase. Protože průře jednotlvých hladn je mnohem větší, než průře potrubí, jednodušíme úlohu tak, že nebudeme uvažovat rychlost hladn v 0. v Beronoullho rovnc budeme psát me body a. p ρ v + p ρ v + + g H + a L + n Y (64) V případě, že je průře potrubí konstantní, platí v v, a tak můžeme knetcké členy odečíst. p p + g H + an L + Y (65) ρ ρ Po roepsání jednotlvých tlaků v bodě a dostaneme rovnc. p a + ( H + ) p + ρ g ( H H ) ρ g a ρ ρ + g H + a n L + Y (66) Úpravou rovnc načně jednodušíme. ( + ) an L Y g + (67) V rovnc (67) se vyskytuje několk nenámých hodnot, které jsou ávslé na čase nebo na výchylce první hladny. Měrnou trátovou energ roepíšeme pomocí Wesbachova vtahu 8

(3). V něm se objevu střední rychlost v potrubí, kterou a použtí rovnce kontnuty (7) a defnce pro rychlení d můžeme apsat ve tvaru (68). dt v S d S v (68) S dt S v s Výsledný vtah pro měrnou trátovou energ. Y vs ς c S d ς c (69) S dt Podle defnce rychlení můžeme roepsat člen a n. dv d S (70) dt dt S a n Zbývá uvést ávslost me a. Tuto ávslost dostaneme e ákona achování hmoty (7). S S S (7) S Vtahy (68), (69) a (70) dosadíme do rovnce (67). g + S S d dt S S L ± ς c S S d dt (7) Po převedení všech členů na jednu stranu a nepatrných úpravách ískáme dferencální rovnc d dt ± ς c S d S L dt g S S + + S L S 0 [] (73) 7. Zjednodušené řešení Rovnc (73) nele řešt obecně. Pro další výpočet anedbáme místní tráty a budeme uvažovat poue tráty třenímς c ς. Ve většně případů kapalny v potrubí, spojující obě t nádrže proudí turbulentně. Pro jednodušené řešení budeme předpokládat, že kapalna proudí lamnárně. Součntel trát třením pro lamnární proudění L 64 L 64 υ L ς c ς t λ (74) D Re D v D s 9

Protože střední průřeová rychlost ve spojovacím potrubí je ávslá na čase, potřebujeme tuto ávslost určt. Toho docílíme pomocí vtahu (68), e kterého vyjádříme převrácenou hodnotu střední rychlost v s. S (75) d S dt v s Rovnce popsující výchylku nádrže př kmtavém pohybu bude mít výsledný tvar (76) d dt ( S + S ) 3υ d g S ± + D dt L S S 0 (76) Pokud uvažujeme kladný smysl pohybu kapalny bodu do bodu, trátový součntel bude kladný. d dt ( S + S ) 3 υ d g S + + D dt L S S 3 υ Protože a D ( S + S ) g S l S S 0 (77) jsou konstantní, avedeme pro přehlednost načení 3υ α (78) D ( S + S ) g S L S S ω (79) Potom rovnc (77) můžeme apsat ve tvaru d dt d + α + ω 0 [] (80) dt Podle rovnce (80) mohou nastat dvě stuace: A. Pokud ω < α hladna po vychýlení bude plynule klesat, až se dostane do rovnovážné polohy. Tomuto jevu se říká aperodcký pohyb hladny. 30

Obr. Aperodcký pohyb hladny [] V tomto případě že by řešení rovnce (80) bylo ve tvaru C e α + α ω t + C e α α ω t (8) Kde C a C jsou ntegrační konstanty. Jejch tvar áleží na počátečních podmínkách rovnce (80). B. Pokud ω > α hladna po vychýlení bude tlumeně kmtat, až se ustálí na rovnovážné poloe. Jde o tv. perodcký tlumený pohyb hladny. Obr. Perodcký tlumený pohyb hladny [] 3

V tomto případě že by řešení rovnce (80) bylo ve tvaru α e C t + C sn α ω cos ω t α t (84) Kde C a C jsou opět ntegrační konstanty. Jejch tvar áleží na počátečních podmínkách rovnce (80). Perodu kmtu spočítáme e vtahu (85). T π (85) ω 7.3 Konkrétní případ Odvoené rovnce předchoí kaptoly aplkujeme na konkrétní modelový případ. Zvolíme konkrétní velčny. Průměr první nádrže D 0, 5 m, průměr druhé nádrže D 0, 5 m, průměr spojovacího potrubí D 0, 03 m, délka potrubí L m, knematcká vskota pro teplotu 0 C s υ 6,0 0 m s g 9,8 m. Zbylé roměry v obr. 3.. Gravtační rychlení pro střední evropu Obr. 3 Modelový příklad pohybu ve spojených nádržích [] 3

K vyřešení rovnce (80) je třeba nát počáteční podmínky. Hladnu vychýlíme rovnovážné polohy o 0, 05 m a následně j uvolníme. V moment odlehčení má hladna 0 stále stejnou polohu a její rychlost je nulová. Z toho vyplývají následující počáteční podmínky (86) a (87): t 0) 0, m (86) ( 0 d dt ( t 0) 0 m s (87) Nyní můžeme rovnc vyřešt. Konstanty α respektve ω spočítáme rovnc (78) respektve (79). 6υ 6,00 D 0,03 6 α 0, 07956 s (88) π 0,03 π 0,5 π 0,5 9,8 ( ) 4 + 4 4 g S S + S ω 0, 7305 s (89) L S S π 0,5 π 0,5 4 4 Protože platí ω > α bude docháet k perodckému tlumenému kmtání. Proto př řešení voleného problému použjeme rovnc (84). Hodnoty konstant C a C ískáme okrajových podmínek. Př aplkac první počáteční podmínky (86) ískáme konstantu C. α + 0 ( t 0) e C sn α ω t C cos α ω t t (90) α 0 + 0,05 e C sn 0 cos 0 α ω C α ω (9) ( 0 + ) 0,05 C C (9) C 0,05 (93) Dále dervujeme rovnc (84) podle času. Po dosaení počáteční podmínky (87) ískáme hodnotu konstanty C (98). d ( t 0) α e dt + e α t C α t α C ω sn cos α α ω ω t + C t C cos α α ω ω sn t + α ω t (94) 33

0 α e + e α t α 0 C C sn α ω α ω cos 0 + C α ω cos 0 C α ω α ω 0 + sn α ω 0 (95) Vyjádříme konstantu C. 0,07956 C C (96) 0,07956 0,7305 0,07956 C 0,05 (97) 4 3,4 0 0,533664 C 0,093 (98) Obecný tvar výsledné rovnce (99), vyjadřuje ávslost výchylky hladny na čase. Po dosaení konkrétních hodnot ískáme rovnc (00) α α + e ( t 0) sn α ω t ( t 0) cos α ω α ω t ( 0,093sn( 0,7303t) + 0,05 cos ( 0,7303t) ) t 0,077956t e (00) Závslost výchylky hladny pro modelový příklad je akreslena v grafu (4). (99) Obr. 4 ávslost výchylky hladny na čase ( ) 34 t

8 Závěr Bernoulho rovnce je jednou e ákladních rovnc hydrodynamky. Její použtí je nebytné pro řešení většny problému v hydrodynamce a výnamnou rol hraje v této prác. Zde se využívá k popsu ávslost výchylky hladny na čase u soustavy spojených nádob. Pomocí Bernoullho rovnce s nestaconárním členem byla odvoena poměrně složtá dferencánlí rovnce druhého řádu, kterou nele řešt obecně. Proto bylo uvedeno jednodušené řešení kmtavého pohybu ve spojených nádržích, působeno prostým anedbáním místních trát a předpokladem lamnárních proudění ve spojovacím potrubí. Ve skutečných systémech se vyskytují místní odpory a je velm pravděpodobné, že kapalna bude proudt turbulentně. Zajímavou dplomovou prací by mohlo být srovnání výpočtových modelů a naměřených hodnot. 35

Senam použté lteratury [] ŠOB, Frantšek. Hydromechanka.. vyd. Brno : Akademcké nakladatelství CERM, s.r.o., 00. 38 s. ISBN 80-4-037-5. [] NOSKIEVIČ, J., et al. Mechanka tekutn.. vyd. Praha : SNTL - Nakladatelství techncké lteratury, 987. 356 s. ISBN 04-33-87. [3] BRDIČKA, Mroslav, SAMEK, Ladslav, SOPKO, Bruno. Mechanka kontnua. 3. vyd. Praha : Academa, 005. 799 s. ISBN 80-00-344-X. [4] JANALÍK, J., ŠŤÁVA, P. Mechanka tekutn. [s.l.] : [s.n.], 00. 3 s. Dostupný WWW: <http://www.338.vsb.c/studum9.htm>. [5] JANALÍK, Jaroslav. Vybrané kaptoly mechanky tekutn.. vyd. Ostrava-Poruba : [s.n.], 008. 78 s. Dostupný WWW: <http://www.338.vsb.c/studum9.htm>. ISBN 978-80-48-90-5. [6] http://www.gap-system.org/~hstory/bographes/bernoull_danel.html 36

Senam použtých kratek a symbolů a -hmotnostní rychlení [ m s ] a -lokální rychlení sloupce kapalny v potrubí [ m s ] n C, C, C -ntegrační konstanta [-] D -průměr potrubí [ m ] D, D -průměry nádrží [ m ] E -modul pružnost v tahu [Pa] F m -vektor hmotnostní síly [N] F p - vektor tlakové síly [N] F s - vektor setrvačné síly [N] g -gravtační rychlení [ m s ] h -výška hladny [ m ] H -rodíl me dny nádrží [ m ] H -větší výška kldové hladny od dna nádrže [ m ], j -sčítací ndexy [-] k -absolutní drsnost stěn potrubí [ m ] K -modul objemové pružnost kapalny [Pa] 37

l -délka proudnce [ m ] L -délka spojovacího potrubí [ m ] m - hmotnost [ kg ] N, N - onačení nádrží [-] p - tlak [ Pa ] p a -atmosfercký tlak [ Pa ] p -trátový tlak [ Pa ] 3 Q -průtok [ m s ] r -poloměr potrubí [ m ] Re -Reynoldsovo číslo [-] Re k -Reynoldsovo krtcké číslo [-] S -obsah průřeu potrubí [ m ] S, S - průře nádrží [ m ] t - čas [ s ] T -peroda kmtu [ s ] U -potencál [ m s ] v - rychlost v daném bodě [ m s ] v -střední průřeová rychlost [ m s ] s 38

3 V -objem [ m ] Y -trátová měrná energe [ J kg ] -rodíl výšky hladn [ m ], -výchylka hladn od ustáleného stavu v nádrž [ m ] α -konstanta [ s ] -relatvní drsnost stěn potrubí [-] ς c -celkový trátový součntel [-] ς m -součntel místních trát [-] ς t -součntel třecích trát [-] λ -třecí součntel [-] µ -dynamcká vskota [ Pa s ] υ -knematcká vskota [ m s ] π -Ludolfovo číslo [-] τ -tečné napětí [ Pa ] 3 ρ -hustota [ kg m ] ω -úhlová frekvence kmtu [ H ] 39