4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi y, x y x v prvním kvdrntu. Křivk je orientován v kldném smyslu tj. proti směru hodinových ručiček). Podle Greenovy věty pro pole F F, F 2 ) máme F d s ds, kde výrz n prvé strně si můžeme pmtovt jko F 2 x F x. Je to nlogie rotce pole jkéhosi víru v F F 2 dném bodě) ve třech dimenzích. Interpretcí Greenovy věty je to, že víry pole uvnitř oblsti se v sousedních bodech vyruší zbyde jen vír n okrji oblsti. áme tedy oblst : x & y x. Její hrnicí je po částech diferencovtelná křivk, která má orientci odpovídjící použití Greenovy věty. Dále je F 2 x F 8xy2 6xy 2 2xy 2 proto F d s ds 2xy 2 ds x 2xy 2 dy dx 2 x dx 2. 4.2 použití Greenovy věty) rčete i) yx 2 + ) dx + xy 2 ) dy kde je kldně orientovná hrnice obdélník,, 2. ii) xy + y) dx + xy + x) dy kde : x 2 + y 2 2x & y, se zápornou orientcí.
V obou příkldech můžeme použít Greenovu větu. ) i) Zápis znmená, že máme pole F x, y) yx 2 + ), xy 2 ). Orientce křivky odpovídá použití Greenovy věty pro oblst : x & y 2. Dále je proto F 2 x F y2 x 2 + ) F d s ds 2 y 2 x 2 2 ds y 2 x 2 2 dy dx 2 2 4 2. ii) Zde máme pole F ) x, y) xy + y, xy + x. Orientce křivky je nyní opčná než je v Greenově větě. usíme proto ještě otočit znménko v integrálu. Oblst, kterou ohrničuje je půlkruh : x ) 2 + y 2 & y. Dále je proto máme F d s F 2 x F y + x + ) y x F d s ds x y ds [ x r cos ϕ ] yr sin ϕ r ϕ π π r cos ϕ r sin ϕ + )r dr dϕ π cos ϕ sin ϕ) + 2 dϕ 2 + π 2. 4. Greenov vět) Pomocí Greenovy věty spočítejte i) y 2 dx + xy dy kde 2 je hrnice mezikruží určeného záporně orientovnou kružnicí s poloměrem 2 středem v počátku kldně orientovnou kružnicí 2 s poloměrem středem tké v počátku. ii) y e sin x ) dx + 7x + y 4 + ) dy Pge 2
kde je kldně orientovná kružnice x 2 + y 2 9. iii) x 4 dx + xy dy kde je kldně orientovná hrnice trojúhelníku s vrcholy A, ), O, ), B, ). i) Orientce hrnice mezikruží odpovídá orientci pro Greenovu větu správná orientce znmená, že při postupu podél hrnice máme oblst po levé strně). Nše oblst je tvru : x 2 + y 2 2 2 pole je F x, y) y 2, xy ). ůžeme proto psát F d s 2π 2 ds y 2y ds y ds r 2 cos ϕ dr dϕ ii) Nše oblst je kruh o poloměru 2 2π r 2 dr cos ϕ dϕ. : x 2 + y 2 2 [ xr cos ϕ ] yr sin ϕ r 2 ϕ 2π pole je F x, y) y e sin x, 7x + ) y 4 +. Orientce křivky je v souhlse s Greenovou větou. ůžeme proto psát s využitím znlosti obshu kruhu) F d s ds 7 ) ds 4 ds 4 π 2 6π. Je vidět, že původní křivkový integrál bychom těžko počítli, le s využitím Greenovy věty je výpočet sndný. iii) Trojúhelník popíšeme jko : y & x y pole je F x, y) x 4, xy ). Orientce křivky je v souhlse s Greenovou větou. ůžeme proto psát F d s ds y ds y y dx dy y y) dy 2 6. Pge
4.4 Stokesov vět) Pomocí Stokesovy věty spočítejte F d s, i) kde F x, y, z) y 2 z 2, z 2 x 2, x 2 y 2 ) je řez kostky J, rovinou x + y + z 2. Orientce okrje je určen pořdím bodů 2,, ), ),, 2, 2, ). ii) kde F x, y, z) xz, 2xy, xy) je hrnice části roviny x + y + z, která je v prvním oktntu. Okrj plochy je orientovný v záporném smyslu při pohledu seshor. Stokesov vět je zobecnění Greenovy věty z R 2 do R orientovná ploch, jejíž je křivk nyní okrjem, už může být různě zkřivená v prostoru): F d s rot F ) ds, kde rot F ) : F i j k x z F F 2 F F F 2 z, F z F x, F 2. Orientce plochy jejího okrje musí být v souldu to pomocí prvidl prvé ruky vztyčený plec poblíž okrje ukzuje směr orientce plochy prsty směr orientce okrje). i) nožin je prvidelný šestiúhelník s hrnou o délce 2 2. Dále máme rot F ) 2y 2z, 2x 2z, 2x 2y ). Podle zdání je normálové vektorové pole orientovné plochy určené normovným) vektorem roviny, ve které ploch leží, sice n,, ) směru vektoru tké odpovídá zdání). K výpočtu využijeme definici toku pole plochou, toho, že ploch splňuje rovnici x + y + z 2 toho, že známe velikost plochy prvidelného šestiúhelníku: F d s rot F ) ds ) rot F 4 ) n ds x + y + z ds 4 2 ds 2 ds 2 4 2 9 2. ii) Ploch je trojúhelník. Orientce plochy v souldu s orientcí okrje je tedy směrem dolů při pohledu zdol bude okrj orientovný v kldném smyslu). Normovné normálové pole je tk dné směrem vektoru n,, ). Dále máme rot F ) i j k x z xz 2xy xy x, x y, 2y ). Plochu zprmetrizujeme jko grf funkce z x y, tedy Φx, y) x, y, x y) Pge 4
pomocí množiny : x & y x. je jen projekcí do roviny xy). Pro tečné vektory máme x,, ),, ) x,, ). Protože tento vektorový součin má opčný směr než zdná orientce n, musíme ho do integrálu dosdit s opčným znménkem nebo prostě změnit pořdí vektorů v součinu, tj. dosdit nmísto x ). Tkže máme F d s Φ) x, x y, 2y) rot F ) ds rot F ) ) Φ ) ds x ds x + y) ds x) 9 2 x)2 x x) dx 2 6 7 2. x y x dy dx 4.5 Stokesov vět) Pomocí Stokesovy věty spočítejte rot F ) d S, kde F x, y, z) xyz, x, e xy cos z) je polosfér x 2 + y 2 + z 2 z s orientcí směrem vzhůru. áme : x 2 + y 2 + z 2 & z : x 2 + y 2 & z. Ploch je orientovná směrem nhoru orientce jejího okrje tedy odpovídá orientci dné npř. prmetrizcí ϕα) cos α, sin α, ) pro α 2π. áme tedy ϕ α) sin α, cos α, ) rot F ) ds 2π F d s, cos α, e sin α cos α ) sin α cos α 2π dα cos 2 α dα π. Pge 5
4.6 Stokesov vět) rčete kde je kldně orientovná křivk při pohledu seshor. y z) dx + z x) dy + x y) dz : x 2 + y 2 & x + z Křivk je elips, která vznikne jko průnik roviny x + z, která šikmo přeřízne povrch válce x 2 + y 2. ůžeme ji chápt jko hrnici plochy S : x 2 + y 2 & x + z s orientcí nhoru. Použijeme proto Stokesovu větu. Spočítáme si rotci rot F i j k ) x z 2, 2, 2 ). y z z x x y Normovné normálové vektorové pole orientovné plochy je určené normálovým vektorem roviny, ve které ploch leží, sice n 2 2,, ) směr vektoru tké odpovídá zdání). ůžeme pk psát F d s rot F ) ds ) rot F ) n ds 2 2 ds. Ted už stčí jen určit velikost povrchu plochy tj. ds). Protože le jde o plochu ohrničenou elipsou s délkmi poloos b 2 sndno určíme z obrázku), je obsh roven πb 2π. Doszením pk dostáváme F d s 2 2 ds 2 2 2π 4π. 4.7 Gussov vět) Pomocí Gussovy věty vypočtěte plošný integrál S F d S, kde F x, y, z) x 2, y 2, z 2 ) S je sfér x ) 2 + y b) 2 + z c) 2 R 2 s vnější orientcí R > je prmetr. Gussov vět F ds div F ) dv Pge 6
dává do souvislosti tok pole F přes okrj oblsti v R s integrálem přes tuto oblst. Funkce div F ) F x + F 2 + F z, která se integruje v se nzývá divergence pole F interpretuje se jko zdroj pole v dném bodě při kldné hodnotě) přípdně odtok pole v dném bodě při záporné hodnotě). Smyslem Gussovy věty tedy je, že celková změn pole v objemu odpovídá příslušnému toku pole přes okrj. V nšem přípdě je orientce plochy S v souldu s Gussovou větou. Spočítáme si divergenci div F ) F x + F 2 + F 2x + y + z). z Protože sfér S má střed v obecném bodě, vezmeme si příslušně posunuté sférické souřdnice Φ, které budou prmetrizovt kouli pro kterou je S jko pomocí množiny : x ) 2 + y b) 2 + z c) 2 R 2 Φ : x y b z c r sin ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ : r R & ϕ 2π & ϑ π. Použijeme tedy obvyklou větu o substituci opět máme detφ ) r 2 sin ϑ) dostneme, že F ds div F ) dv div F ) ) Φ detφ ) dr dϕ dϑ S } {{ } Φ) [ 2 rsin ϑ cos ϕ + sin ϑ sin ϕ + cos ϑ) + + b + c ] r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ 2π ) 2π ) cos ϕ dϕ... + sin ϕ dϕ... + +2 + b + c) R } {{ } 2π r 2 dr dϕ }{{} R } {{ } 2π π π ) 2 cos ϑ sin ϑ dϑ... + } {{ } sin ϑ dϑ } {{ } 2 8πR + b + c). Srovnejte výsledek i náročnost postupu se stejným příkldem z minulého cvičení počítným ovšem přímo ). 4.8 Gussov vět) rčete S xz dx dy + xy dy dz + yz dz dx Pge 7
kde S je hrnice čtyřstěnu orientovná vnější normálou. : x + y + z & x, y, z Použijeme Gussovu větu. Orientce plochy S je v souldu s Gussovou větou. Spočítáme si divergenci div F ) F x + F 2 + F z z + x + y. Čtyřstěn si rozřežeme kvůli Fubiniově větě) npř. jko áme tedy : x & y x & z x y F ds S div F ) dv x x y x + y + z dz dy dx 2 x [x + y) + 2 x y) ] x y) dy dx 2 [y ] y x x + y) y dx 2 x x + y) 2 dy dx 2 x + x dx 2 2 2 + ) 2 8 4.9 Gussov vět) Ověřte Gussovu větu pro pole F x, y, z) x, y, z ) sféru x 2 + y 2 + z 2. áme : x 2 + y 2 + z 2 : x 2 + y 2 + z 2. Orientce okrje je dán vnější normálou. Gussovu větu F ds div F ) dv ověříme tk, že zjistíme, zd ob integrály dávjí stejnou hodnotu. hodnot div F ) dv : áme div F ) x 2 + y 2 + z 2 ) div F ) dv [ x 2 + y 2 + z 2) dv xr sin ϑ cos ϕ yr sin ϑ sin ϕ zr cos ϑ r,ϕ,ϑ),,2π,π ] Pge 8
π 2π hodnot r 2 r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ F d S: 2π r 4 dr dϕ Pro druhý integrál si zvolíme prmetrizci pomocí sférických souřdnic s definičním oborem áme π Φϕ, ϑ) sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ), : ϕ 2π & ϑ π. ϕ sin ϑ sin ϕ, sin ϑ cos ϕ, ) sin ϑ dϑ 5 2π 2 2 5 π. ϑ cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ ) ϕ ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ) sin ϑ Φϕ, ϑ). Vektor ϕ ϑ tedy má směr normály směřující dovnitř. Protože plochu máme orientovnou směrem ven, musíme při výpočtu toku pole vzít tento vektor s opčným znménkem, tj. Doszením tedy obdržíme F ds F Φϕ, ϑ)) π π 2π ϕ ) ds ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ. F Φϕ, ϑ)) sin ϑ Φϕ, ) ϑ) ds ) sin ϑ sin 4 ϑ cos 4 ϕ + sin 4 ϑ sin 4 ϕ + cos 4 ϑ dϕ dϑ 2π sin 5 ϑ dϑ cos 4 ϕ + sin 4 ϕ dϕ + Pro první dv integrály máme díky posunutí symetriím, že Pro n 2 spočítáme tedy integrál A n : π 2 π 2π 2π cos 4 ϕ dϕ sin 4 ϕ dϕ 4 π sin 5 ϑ dϑ 2 π 2 sin n α dα [ cos α sin n α] π 2 + n ) π 2 2π cos 4 ϑ sin ϑ dϑ dϕ. π 2 sin 5 ϑ dϑ. π 2 sin 4 ϕ dϕ n ) sin n 2 α cos 2 α dα sin n 2 α sin 2 α) dα n )A n 2 n )A n. Pge 9
Tedy máme A n n n A n 2 A 2 π 4 A. Dokončením výpočtu dostáváme [ ] ϑπ ) cos5 ϑ F d S 2 4 5 2 ) 8 4 π ) + 4 Gussov vět je tk pro tento přípd ověřen. 5 ϑ ) 2π 8 5 π + 4 5 π 2 5 π, Pge