MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz
MT MATEMATIKA Vektory, matice 2 V rovině: Vektory a operace s nimi y b 2 u B a 2 A 0 a 1 b 1 x Bod A má souřadnice [a 1,a 2 ], bod B má souřadnice [b 1,b 2 ]. Vektor u = AB (šipka od A do B) vypočítáme u = AB = B A = [b1,b 2 ] [a 1,a 2 ] = (b 1 a 1,b 2 a 2 ). Souřadnice vektoru značíme v kulatých závorkách. Vektor je veličina, která má svoji velikost a směr.
MT MATEMATIKA Vektory, matice 3 V prostoru: Bod A má souřadnice [a 1,a 2,a 3 ], bod B má souřadnice [b 1,b 2,b 3 ]. Vektor u = AB (šipka od A do B) vypočítáme u = AB = B A = [b1,b 2,b 3 ] [a 1,a 2,a 3 ] = (b 1 a 1,b 2 a 2,b 3 a 3 ). Souřadnice vektoru značíme v kulatých závorkách. Vektor je veličina, která má svoji velikost a směr. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, jen se liší posunutím, jsou shodné!!!
MT MATEMATIKA Vektory, matice 4 V n-rozměrném prostoru: DEFINICE (Vektor). Uspořádanou n-tici čísel u = (u1,u 2,...,u n ) nazýváme číselným vektorem. Čísla u 1,...,u n jsou souřadnice vektoru u. Číslo n nazýváme rozměrem vektoru u. DEFINICE (Operace s vektory). u = (u 1,u 2,...,u n ), v = (v 1,v 2,...,v n ) jsou vektory, n N, c R je konstanta. Pak platí u ± v = (u 1 ±v 1,u 2 ±v 2,...,u n ±v n ) c u = (c u 1,c u 2,...,c u n ) u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 + +u n v n skalární součin u = u 2 1 +u2 2 + +u2 n velikost vektoru cosϕ = u v u v odchylka vektorů, úhel sevřený dvěma vektory
MT MATEMATIKA Vektory, matice 5 DEFINICE (Nulový vektor). Vektor, jehož souřadnice jsou samé nuly u = (0,0,...,0), se nazývá nulový vektor. Věta (Kolmost vektorů). Dva vektory jsou na sebe kolmé, když je jejich skalární součin roven nule. u v = 0 Cvičení 1. Jsou dány vektory u = (1,3, 2,5), v = ( 2,0,1,2). Vypočítejte 1. w = 2 u 3 v 2. velikost vektoru w 3. skalární součin u v 4. úhel vektorů u, v 5. jsou vektory u a w na sebe kolmé?
MT MATEMATIKA Vektory, matice 6 V rovině: Lineární kombinace vektorů y w = c1 u +c 2 v u v w 0 x Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v, c 1,c 2 R jsou konstanty.
MT MATEMATIKA Vektory, matice 7 V n-rozměrném prostoru: DEFINICE (Lineární kombinace vektorů). Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,..., u n stejného rozměru je vektor w = c1 u 1 +c 2 u 2 + +c n u n, kde c 1,...,c n R jsou konstanty. Lineární závislost a nezávislost vektorů DEFINICE (Lineární závislost a nezávislost vektorů). Vektory u 1, u 2,..., u n stejného rozměru jsou lineárně závislé, jestliže alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních lineárně nezávislé, jestliže žádný z nich není lineární kombinací ostatních
MT MATEMATIKA Vektory, matice 8 Matice a operace s nimi DEFINICE (Matice typu (m,n)). Matice typu (m,n), kde m,n N, je množina prvků (reálných čísel) uspořádaných do m řádků a n sloupců. Píšeme A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn nebo A = (a ij), kde i = 1...m, j = 1...n Když m n, matice se nazývá obdélníková. Když m = n, matice se nazývá čtvercová. Prvky matice a 11,a 22,... se nazývají hlavní diagonála.
MT MATEMATIKA Vektory, matice 9 DEFINICE (Druhy matic). Nulová matice - všechny prvky jsou rovny nule Transponovaná matice A T - vznikne z matice A tak, že zaměníme řádky za sloupce. První řadek za první sloupec, druhý řádek za druhý sloupec... Diagonální matice - čtvercová matice, která má na hlavní diagonále libovolná nenulová čísla a mimo hlavní diagoválu má nuly Jednotková matice I - čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a mimo hlavní diagoválu má nuly Schodovitá matice - každý další řádek začíná větším počtem nul než ten předchozí Cvičení 2. K matici A napište matici transponovanou. Určete typ matice A. Určete typ matice A T. A = 2 1 1 0 3 1 5 8 1 0 2 2
MT MATEMATIKA Vektory, matice 10 Cvičení 3. Napište jakoukoli nulovou matici, diagonální matici, jednotkovou matici, schodovitou matici. DEFINICE (Operace s maticemi - sčítání a odčítání, násobení konstantou). A = (a ij ) a B = (a ij ) jsou matice stejného typu (m,n), c R je konstanta. Pak platí A ± B = (a ij ± b ij ) sečteme, resp. odečteme čísla na stejných místech c A = (c a ij ) konstantou c vynásobíme všechna čísla matice DEFINICE (Operace s maticemi - násobení matic). A = (a ij ) je matice typu (m,p) a B = (a ij ) je matice typu (p,n). Pak platí A B = (a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj ) všechny řádky první matice vynásobíme se všemi sloupci druhé matice - viz příklad
MT MATEMATIKA Vektory, matice 11 Součin matic A B existuje pouze tehdy, když počet sloupců první matice A se rovná počtu řádků druhé matice B!!! Součin matic A B není komutativní, což znamená A B B A!!! A B = B A jen v některých případech.
MT MATEMATIKA Vektory, matice 12 Příklad. A = Řešení. 3 2 1 0 1 2, B = 2 0 1 2 1 3 0 1 3. Vypočítejte A B, B A, A 2. A B existuje, protože A je typu (3, 3) a B je typu (3, 2). 3 2 1 2 1 3 2+2 3+( 1) 1 3 1+2 0+( 1) 3 A B = 0 1 2 3 0 = 0 2+1 3+2 1 0 1+1 0+2 3 = 2 0 1 1 3 2 2+0 3+1 1 2 1+0 0+1 3 B A neexistuje, protože B je typu (3, 2) a A je typu (3, 3). 11 0 5 6 3 1 A 2 = A A existuje, protože A je typu (3,3) a A je typu (3,3). 3 2 1 3 2 1 11 8 0 A 2 = A A = 0 1 2 0 1 2 = 4 1 4 2 0 1 2 0 1 8 4 3
MT MATEMATIKA Vektory, matice 13 Cvičení 4. Jsou dány matice A = 1 1 5 2 1 2 2 4 1,B = 0 3 0. 2 3 2 2 4 2 Vypočítejte C = 2A+B T +3I, D = 2(A B)+A T I. Cvičení 5. Jsou dány matice A = ( ) 1 2 1,B = 1 0 2 1 3 0 2 1 1 0,C = 1 1 3. 2 1 2 2 0 Vypočítejte A B,B A,B C,C B,A C,C A,A 2,B 2,C 2.