Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem P(třeba(0,0),resp.(0,0,0)),sčítáníanásobení reálným číslem 1.DefiniceNechť Ljeneprázdnámnožina,nakteréjedefinovánajednabinárníoperace aprokaždé reálné číslo λ unární operace λ, a nechť jsou splněny následující podmínky 1. (komutativitaoperace )prokaždédvaprvky u, vzmnožiny Lplatí u v= v u, 2. (asociativitaoperace )prokaždétřiprvky u, v, wzmnožiny Lplatí ( u v) w= u ( v w), 3. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí α (β u)=(α β) u, 4. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí (α+β) u=(α u) (β u), 5. prokaždéreálnéčíslo αakaždédvaprvky u, vzlplatí α ( u v)=(α u) (α v), 6. pro libovolný prvek u z množiny L platí 1 u= u, 7. prokaždédvaprvky u, vzmnožiny Lplatí 0 u=0 v (= o...nulovýprvek). Takovouto strukturu nazýváme lineární(nebo také vektorový) prostor nad tělesem reálných čísel. 2. Poznámka Lineární prostor můžeme obecně definovat nad každým komutativním tělesem. 3. Definice Prvky lineárního prostoru nazýváme vektory, reálným číslům(tj. prvkům tělesa) říkáme skaláry. 4. Poznámka Někdy se v definici lineárního prostoru místo 7. axiomu uvádějí tyto dva axiomy 7.a)Existujevektor o Ltakový,žeprovšechnyvektory u Lje o u= u.(existencenulovéhoprvku) 7.b)Kekaždémuvektoru u Lexistujevektor u Ltakový,že u ( u)= o(exist.opačnýchprvků) 5.TvrzeníPodmínky1.až7.jsouekvivalentníspodmínkami1.až6.,7.a),7.b). 6. Poznámka Díky vlastnosti 7.b) můžeme definovat odčítání vektorů jako přičítání opačného vektoru, tedy pro každé dva vektory u, v z množiny L definujeme u v= u ( v). 7. Poznámka Pokud v definici lineárního prostoru odhlédneme od operace násobení skalárem a uvažujeme jen neprázdnou množinu L s operací, která splňuje podmínky 1., 2., 7.a), 7.b), získáme komutativní grupu.
8. Pozorování Další vlastnosti: 1. pro libovolné reálné číslo α platí α o= o, 2. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí (α β) u=(α u) (β u), 3. prokaždéreálnéčíslo αakaždédvaprvky u, vzlplatí α ( u v)=(α u) (α v), 9. Poznámka V definici lineárního prostoru jsme pro každé reálné číslo λ uvažovali unární operaci λ. Místotěchtooperacíjemožnézavéstzobrazení :R L L(Olšák).Takovémuzobrazeníseříkáakce na množině. Přesněji: Nechť(G, ) je monoid(neprázdná množina s jednou binární operací, která je asociativní a má jednotkovýprvek).akcímonoidugnamnožinělnazývámezobrazení :G L L,kterésplňuje 1. prolibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí1 u= u, 2. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí α (β u)=(α β) u. Reálná čísla s operací násobení jsou určitě monoidem. Přihlédneme-li k předchozí poznámce, můžeme lineární prostornadtělesemreálnýchčíseldefinovatjakokomutativnígrupu(l, )sakcí tělesa Rnamnožině L, která splňuje následující dvě podmínky: 1. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí(α+β) u)=(α u) (β u), 2. prokaždéreálnéčíslo αakaždédvaprvky u, vzlplatí α ( u v)=(α u) (α v). 10. Příklady lineárních prostorů 1. triviální lineární prostor L = { o} 2. reálná čísla s obvyklými operacemi 3. komplexní čísla s obvyklými operacemi 4. polynomy s obvyklými operacemi 5. matice typu(m, n) s obvyklými operacemi 6. aritmetické vektory(uspořádané n-tice reálných čísel) s obvyklými operacemi 7. reálné posloupnosti s obvyklými operacemi 8. reálné funkce definované na reálném intervalu I s obvyklými operacemi 9. množinavázanýchvektorůve 2 spočátkemvpevnězvolenémbodě P,můžemechápatjakotutorovinu 10.množinavázanýchvektorůvE 3 spočátkemvpevnězvolenémbodě P,můžemechápatjakocelýtento prostor 11. množina kladných reálných čísel s operací definovanou jako součin a operacemi λ definovanými jakoumocněnína λ 12... 11. Příklad Uvažujme množinu reálných funkcí reálné proměnné, které jsou shora omezené číslem 1 a zdola číslem 1. Definujme operace 1. (f g)(x)=max{f(x), g(x)} 2. (λ f)(x)=f(x)pro λ 0,0 fjekonstantnínulováfunkce. Tvoří tato množina s takto definovanými operacemi lineární prostor?
Lineární podprostor Lineární podprostor- intuitivně- nějaká podmnožina lineárního prostoru, která je sama také lineárním prostorem,operacenatépodmnožinějsou podoperacemi operacínapůvodnímprostoru.podmínka,aby podmnožinastěmi podoperacemi splňovalaaxiomylin.prostoru,jelehcesplnitelná,protoževlastnostise zachovají.(když mám krabičku plnou černých kostek a z ní jich několik vyberu a přendám do menší krabičky, pak v této menší krabičce jsou také všechny kostky černé.) Problém ale může nastat s operacemi. Neplatí totiž, že když vybereme libovolnou podmnožinu, výsledky všech operací s prvky této podmnožiny(operace jsou definované na celém lin. prostoru) jsou prvky této podmnožiny.(když jsou některé černé kostky ve větší krabičce navzájem spojené provázkem, musím do menší krabičky s každou kostkou přendat i ty, které jsou sníspojené,jinakseporuší struktura.)nutným(azároveňipostačujícím)požadavkemnato,abynějaká (neprázdná) podmnožina lin. prostoru byla lin. podprostorem, je tedy to, aby byla uzavřená na všechny operace. 12.DefiniceNechť Lsoperacemi aλ jelineárníprostor.neprázdnoupodmnožinu L Lnazveme lineárním podprostorem lineárního prostoru L, jestliže 1. provšechnyvektory u, v L platí,že u v L. 2. provšechnareálnáčísla λaprovšechnyvektory u L platí,že λ u L. 13. Příklady lineárních podprostorů 1. polynomy nejvýše n-tého stupně 2. čtvercové matice řádu n komutující s pevně zvolenou maticí A(čtvercovou řádu n) 3. symetrické čtvercové matice řádu n 4. omezené reálné posloupnosti 5. konvergentní(reálné) posloupnosti 6. (reálné) posloupnosti s limitou 0 7. aritmetické posloupnosti 8. geometrické posloupnosti s pevným kvocientem q(pro všechny stejným) 9. omezenéreálnéfunkcena I 10.spojitéreálnéfunkcena I 11. n-krát diferencovatelné reálné funkce 12.přímkaneborovinavE 3,přímkavE 2 13... Lineárními podprostory nejsou např. tyto podmnožiny lin. prostorů 1. polynomystupněprávě n,kde n N(nulovýpolynommástupeň 1). 2. aritmeticképosloupnostispevnoudiferencí d R \ {0} 3. všechny geometrické posloupnosti(se všemi možnými kvocienty) 4. posloupnostislimitou l R \ {0} 5. reálné posloupnosti omezené shora číslem 5 6.... 14.VětaNechť V a Wjsoulineárnípodprostorytéhožlineárníhoprostoru L.Potom V Wjeopětlineární podprostor lineárního prostoru L. 15. Poznámka Sjednocení lineárních podprostorů téhož lineárního prostoru naproti tomu nemusí být lineární podprostor.
Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost vektorů 16.ÚmluvaOperacesvektoryužnebudeme kroužkovat.asociativitasčítánívektorů(vlastnost2.)nám dovolujenepsatzávorkypřisčítánívícevektorů.místo( u+ v)+ wa u+( v+ w)budemestručnějipsát u+ v+ w. 17.DefiniceNechť Ljelineárníprostor, u 1, u 2,..., u n L, α 1, α 2,...,α n R.Vektor n α 1 u 1 + α 2 u 2 +...+α n u n = α i u i nazvemelineárníkombinacívektorů u 1, u 2,..., u n skoeficienty α 1, α 2..., α n. 18.DefiniceLineárníkombinacivektorů u 1, u 2,..., u n skoeficienty α 1, α 2,..., α n nazvemenulovou,jestliže je rovna nulovému vektoru, tedy i=1 α 1 u 1 + α 2 u 2 +...+α n u n = o. Lineárníkombinacivektorů u 1, u 2,..., u n skoeficienty α 1, α 2,..., α n nazvemetriviální,jestližejsouvšechny koeficientytétokombinacerovnynule,tedy α i =0provšechna i {1,2,..., n}.vopačnémpřípadě,když je aspoň jeden koeficient nenulový, ji nazveme netriviální. 19. Poznámka Triviální lineární kombinace je zřejmě nulová(součtem konečně mnoha nulových vektorů musí být nulový vektor). Naopak to neplatí. Pro některé vektory lze najít jejich netriviální lineární kombinaci, která se rovná nulovému vektoru(je nulová). 20. DefiniceŘekneme,ževektory u 1, u 2,..., u n jsoulineárnězávislé,jestližeexistujejejichnetriviální nulová kombinace. V opačném případě, tedy když existuje jediná nulová lineární kombinace těchto vektorů (totiž triviální), nazveme tyto vektory lineárně nezávislé. 21.PoznámkaVpředchozídefinicijsmepoužilispojení vektoryjsoulineárnězávislé,resp. vektoryjsou lineárněnezávislé,cožmůževéstkurčitýmnejasnostem. 1. lineární závislost a nezávislost je vždy vlastnost celého souboru vektorů(třeba i jednoprvkového), ne jednotlivých vektorů z tohoto souboru. Pokud je soubor jednoprvkový, je to samozřejmě vlastnost toho jediného vektoru, zřejmě je vektor lineárně závislý pouze v případě, že je nulový. Každý nenulový vektor je lineárně nezávislý. Dva nenulové vektory mohou být lineárně závislé i lineárně nezávislé. Pokud jsou lineárně závislé, musí být jeden z nich násobkem(i nulovým) druhého. 2. Mezivektory u 1, u 2,..., u n mohoubýtněkteréshodné.budemeještědefinovattutovlastnostpro množiny vektorů, tam nic takového nastat nemůže, prvky množiny jsou navzájem různé. Někdy ale dostaneme soubor(dr. Olšák to nazývá skupina) vektorů jako výsledek něčeho(operace, zobrazení,...) nebo třeba vyšetřujeme řádky či sloupce matice a v tom případě mohou být některé vektory souboru stejné. Proto se užívá tato definice. 3. Pokud jsou v souboru nějaké vektory stejné, jsou zřejmě vektory souboru(všechny) lineárně závislé. Také se říká, že tento soubor je lineárně závislý. Analogicky- pokud některý z vektorů je nulový, jsou vektory lineárně závislé. 22.PozorováníNechťjsouvektory u 1, u 2,..., u n lineárníhoprostoru Llineárnězávisléa v L.Potom jsouvektory v, u 1, u 2,..., u n takélineárnězávislé. Nechťjsouvektory u 1, u 2,..., u n lineárníhoprostoru Llineárněnezávislé,potomjsoulineárněnezávislétaké vektory u 1,..., u i 1, u i+1,..., u n,kde i {1,2,..., n}. 23.VětaVektory u 1, u 2,..., u n, n 2lineárníhoprostoru Ljsoulineárnězávisléprávětehdy,kdyžaspoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. 24.PoznámkaAnalogickymůžemeříci,ževektory u 1, u 2,..., u n lineárníhoprostoru Ljsoulineárněnezávislé právě tehdy, když žádný z nich není lineární kombinací ostatních. 25. Definice Řekneme, že neprázdná konečná množina M vektorů z lineárního prostoru L je lineárně závislá, jestliže existuje netriviální nulová lineární kombinace vektorů z této množiny. V opačném případě řekneme, že je tato množina lineárně nezávislá. Nekonečná množina M vektorů z lineárního prostoru L je lineárně závislá, jestliže nějaká její neprázdná konečná podmnožina je lineárně závislá. V opačném případě(tedy když každá její neprázdná konečná podmnožina je lineárně nezávislá) řekneme, že je tato množina lineárně nezávislá. Prázdnou množinu vektorů vždy považujeme za lineárně nezávislou.
Lineární obal, množina generátorů, báze 26.DefiniceNechť Ljelineárníprostor, M L.Lineárnímobalemmnožiny M(značíme M )nazveme množinu všech lineárních kombinací konečného počtu vektorů z M, tedy { n } M = α i u i ; n N, α i R, u i M. i=1 27. Poznámka Pokud je množina M konečná, je jejím lineárním obalem množina všech lineárních kombinací vektorůzm,tedy u 1, u 2,..., u n ={α 1 u 1 + α 2 u 2 +...+α n u n ; α 1, α 2,..., α n R}. 28. Pozorování Nechť L je lineární prostor, M L. Potom 1. M M L. 2. M = M 29.PozorováníNechť Ljelineárníprostor, M, P L. 1. Jestliže M P( L),potom M P L. 2. Jestliže M P M,potom M = P. 3. M P právětehdy,když M P. 30. Tvrzení Lineární obal neprázdné množiny M L je lineárním podprostorem lineárního prostoru L. 31.VětaNechť Ljelineárníprostor, M L.Potom Mjelineárnímpodprostoremlineárníhoprostoru Lprávětehdy,když M= M. 32.VětaNechť Ljelineárníprostor, M L.Potom M jeprůnikemmnožinyvšechpodprostorů W prostoru L,kteréobsahují M. 33. Poznámka Někdy se lineární obal definuje právě tímto způsobem. Lineárním obalem prázdné množiny je pak triviální prostor { o}. 34.VětaNechť Ljelineárníprostor, M L.Potom M jenejmenším(vesmysluinkluse)lineárním podprostorem lineárního prostoru L, který obsahuje množinu M. 35.PozorováníNechť Ljelineárníprostor, v 1, v 2,..., v n L, α R \ {0}, β R. 1. v 1, v 2,..., v n = α v 1, v 2,..., v n. 2. v 1, v 2,..., v n = v 1, v 2 + β v 1,..., v n. 36.TvrzeníNechťjemnožinaMlineárněnezávisláa vneležív M.Potomjemnožina M { v}také lineárně nezávislá. 37. Tvrzení Množina M je lineárně nezávislá právě tehdy, když pro všechny její vlastní podmnožiny K platí,že K jevlastnípodmnožinou M. 38.DefiniceNechť L 1 a L 2 jsoulineárnípodprostorytéhožlineárníhoprostoru L.Spojenímlineárních podprostorů L 1 a L 2 nazvemelineárníobaljejichsjednocení,tedy L 1 L 2 = L 1 L 2 39.TvrzeníNechť L 1 a L 2 jsoulineárnípodprostorytéhožlineárníhoprostoru L.Potom L 1 L 2 = { u 1 + u 2 ; u 1 L 1, u 2 L 2 }
40. Příklady 1. Nechť Lje lineárníprostorvázanýchvektorůvprostoru,kterémajíspolečnýpočátekvbodě P. Spojením dvou různoběžných přímek procházejících bodem P (chápaných jako podprostory prostoru L) je rovina těmito přímkami proložená. Spojením přímky p a roviny, které obě procházejí bodem P,jecelýprostorvpřípadě,že pneležíve,vopačnémpřípadějespojenímrovina.spojenímdvou různých rovin procházejících bodem P je celý prostor L. 2. Spojenímpodprostorů W 1 = (1,2,3,4),(2,1,0, 1) a W 2 = (2, 2,1,0),( 2,3, 1,1) (podprostory R 4 )jepodprostor(v R 4 ) W 1 W 2 = (1,2,3,4),(2,1,0, 1),(2, 2,1,0),( 2,3, 1,1). 41. Definice Nechť L je lineární prostor, M L. Řekneme, že M je množinou generátorů lineárního prostoru L,jestliže M =L.Říkámetaké,žemnožina Mgenerujelineárníprostor L. 42. Tvrzení Podmnožina M lineárního prostoru L je množinou generátorů tohoto prostoru právě tehdy, kdyžkaždývektorzljelineárníkombinacívektorůzm. 43.DefiniceNechť Ljelineárníprostor, M L.Řekneme,že Mjebázelineárníhoprostoru L,jestliže 1. M generuje lineární prostor L 2. M je lineárně nezávislá množina 44. Tvrzení Každý netriviální lineární prostor má bázi. Důkaz- používá Zornovo lemma. Pro konečně generované prostory dokážeme později. 45. Poznámka Pokud definujeme = { o}, má triviální prostor bázi. Lineární množiny 46. Definice Nechť L je lineární prostor, W jeho podprostor. Lineární množinou určenou vektorem v L a podprostorem W nazveme množinu v+ W= { v+ w; w W }. 47.PoznámkaLineárnímnožinu v+ Wsimůžemepředstavitjakopodprostor W posunutý ovektor v. 48.TvrzeníNechť Ljelineárníprostor, Wjehopodprostor, v 1, v 2 L.Potomplatí: 1. Prokaždývektor v Lje v v+ W. 2. Jestližeje v 1 v 2 + W,potom v 1 + W= v 2 + W. 3. Lineárnímnožiny v 1 + Wa v 2 + Wsebuďrovnajínebojsoudisjunktní(majíprázdnýprůnik). 4. Rovnost v 1 + W= v 2 + Wplatíprávětehdy,když v 1 v 2 W. 5. Lineárnímnožina v+ Wjeurčenavektorem v(apodprostorem W). 6. Lineární prostor L je disjunktním sjednocením lineárních podmnožin určených(libovolným) pevně zvoleným podprostorem W. 49. Příklady 1. Nechť Ljelineárníprostorvázanýchvektorůvprostoru,kterémajíspolečnýpočátekvbodě P, Wje podprostortvořenývšemivektory,kteréležínapřímce pprocházejícíbodem P.Prokaždývektor v L je lineární množina v + W tvořena všemi vektory, jejichž vrcholy leží na přímce q, která je rovnoběžná s p a prochází vrcholem vektoru v. Celý prostor V je disjunktním sjednocením všech podprostorů určených podprostorem W. 2. Nechť L je lineární prostor všech polynomů nejvýše n-tého stupně a W je lineární podprostor polynomů nejvýše n-tého stupně, které mají nulový absolutní člen. Lineární množina určená pevně zvoleným polynomem P Lapodprostorem WjetvořenavšemipolynomyzL,kterémajístejnýabsolutníčlen jakopolynom P.
50. Definice Nechť L je lineární prostor, W jeho podprostor. Na množině všech lineárních množin určených podprostorem W můžeme definovat sčítání a násobení skalárem takto: 1. pro u, v Ldefinujeme( u+w) ( v+ W)=( u+ v)+w. 2. pro u L, α Rdefinujeme α ( v+ W)=(α v)+w. Operace jsou definovány korektně(ověřit). 51. Tvrzení Množina všech lineárních množin určených podprostorem W s takto definovanými operacemi splňuje axiomy lineárního prostoru. 52. Definice Nechť L je lineární prostor, W jeho podprostor. Lineární prostor všech lineárních množin určených podprostorem W se nazývá faktorový prostor lineárního prostoru L podle podprostoru W.